RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA
ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI
173
BANAX FAZOSIDA OSHKORMAS VA TESKARI FUNKSIYA HAQIDAGI
TEOREMALARNING TATBIQLARI HAQIDA
N.DILMURODOV
Axborot texnologiyalari va menejment universiteti professori,
X.TOSHPO‘LATOV
Axborot texnologiyalari va menejment universiteti magistri,
Annotatsiya.
Oshkomas va teskari funksiyalar haqidagi teoremalar hamda ularning
tadbiqlariga oid misollar keltirilgan.
Kalit so‘zlar:
Banax fazosi, oshkormas funksiya va teskari funksiya haqidagi teoremalar.
О ПРИЛОЖЕНИЯХ ТЕОРЕМ О НЕЯВНЫХ И ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЯХ В
БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
профессор Университета информационных технологий и менеджмента, Н.Дильмурадов
магистр Университета информационных технологий и менеджмента,
Х. Тошпулатов
Аннотация.
Приведены теоремы о неявных и обратных функциях, а также примеры
их применения.
Ключевые слова:
Банахово пространство, теорема о неявных функциях, теорема об
обратных функциях.
ON APPLICATIONS OF IMPLICIT AND INVERSE FUNCTIONS THEOREMS IN
BANACH SPACE
Professor, University of Information Technologies and Management, N.Dilmurodov
Master of the University of Information Technology and Management, Kh.Toshpolatov
Abstract
: This paper presents examples related to the theorems of implicit and inverse
functions, as well as their applications.
Keywords
: Banach space, implicit function theorem, inverse function theorem.
Ma’lumki [1], oshkormas va teskari funksiya haqidagi klassik teorema juda ko‘p tatbiqlarga
ega. Biz bu teoremalarni Banax fazolari uchun keltiramiz va ularning chegaraviy masalalarni
yechishga tatbiq etamiz.
X
,
Y
,
Z
– Banax fazolari bo‘lsin.
(
)
Z
Y
L
;
bilan
Y
fazoni
Z
fazoga o‘tkazuvchi uzluksiz
chiziqli akslantirishlar fazosini belgilaymiz,
( )
{
}
b
a
<
-
<
-
=
0
0
|
,
y
y
x
x
Y
X
y
x
W
(
)
Y
y
X
x
0
0
,
deylik.
Z
W
F
®
:
akslantirishni qaraylik. Tayinlangan
{
}
a
<
-
0
|
x
x
X
x
x
uchun
( )
{
}
Z
y
y
Y
y
x
F
®
<
-
b
0
|
:
,
akslantirishning Freshe ma`nosidagi hosilasini
( )
y
x
F
D
y
,
deb belgilaymiz,
( )
( ) (
)
.
;
,
,
Z
Y
L
y
x
F
D
y
x
y
a
(
)
Z
W
C
;
bilan barcha
Z
W
f
®
:
uzluksiz
akslantirishlar (funksiyalar) sinfini belgilaymiz.
Teorema 1 [1].
Faraz qilaylik,
Z
W
F
®
:
akslantirish quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1.
(
)
.
0
,
0
0
=
y
x
F
2.
(
)
.
;
Z
W
C
F
3.
(
)
-
0
0
,
y
x
F
D
y
chiziqli gomeomorfizm.
U holda
0
x
nuqtaning
X
dagi shunday
U
atrofi va
0
y
nuqtaning
Y
dagi shunday
V
atrofi
topiladiki, ixtiyoriy
x U
uchun
y
ga nisbatan
( )
0
,
=
y
x
F
tenglamaning yagona
V
x
f
y
=
)
(
yechimi mavjud. Bunda
V
U
f
®
:
akslantirish uzluksiz bo‘ladi.
Eslatma.
Agar teoremani shartlariga qo‘shimcha
F
akslantirish
n
marta uzluksiz
RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA
ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI
174
differensiallanuvchi ham bo‘lsa, topilgan
V
U
f
®
:
akslantirish ham
n
marta uzluksiz
differensiallanuvchi bo‘ladi.
Masala 1.
Quyidagi nochiziqli chegaraviy masalani qaraylik:
( )
,
0, 0
, (0)
( ) 0.
y
f t y
t l y
y l
l
+
=
< <
=
=
(1)
Isbotlaymizki, agar
f
uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda bu masala 0 ga yaqin
l
lar uchun yagona yechimga ega bo‘ladi.
Isboti.
Ushbu
[ ]
[ ]
( )
( )
{
}
[ ]
(
)
2
,
: 0;
|
0;
0
0 ,
0; .
X
Y
f
l
f C
l
f
f l
Z C
l
=
=
®
=
=
=
fazolarni kiritaylik. Bu fazolar o‘zlarining odatiy normalariga ega deb hisoblanadi.
Z
Y
X
F
®
:
akslantirishni
( )
)
,
(
,
y
t
f
y
y
F
l
l
+
=
formula bilan aniqlaylik.
F
uzluksiz va
( )
,
0
0
,
0
=
F
ya`ni
0
=
l
da (4) masala
0
y
trivial
yechimga ega. Shuningdek, agar
Y
y
0
bo‘lsa,
(
)
z
y
y
t
f
z
z
y
F
D
y
¶
¶
+
=
)
,
(
)
(
,
0
0
l
l
,
ya`ni
( )
( )
y
F
D
y
y
,
,
l
l
a
akslantirish uzluksiz.
Endi ushbu
( )
Z
Y
F
D
T
y
®
=
:
0
,
0
chiziqli akslantirishni qaraylik. Biz shu akslantirishni
chiziqli gomeomorfizm ekanligini ko‘rsatishimiz kerak. Ma`lumki [3], har bir
[ ]
(
)
0;
h C
l
uchun
( ), 0
, (0)
( ) 0
v
h t
t l v
v l
=
< <
=
=
chegaraviy masala yagona yechimga ega va u
(
)
(
)
0
1
, 0
( )
( , ) ( ) ,
( , )
1
,
l
l t s
s t
l
v t
G t s h s ds G t s
t l s t s
l
p
-
-
=
=
-
-
(2)
formula bilan beriladi. (2) munosabatdan
1
-
T
ning in`ektiv va uzluksizligi kelib chiqadi, chunki
1
,
.
v
T h c h
c const
-
=
-
Demak, oshkormas funksiya haqidagi teoremani barcha shartlari bajariladi. Shuning uchun nolning
yetarlicha kichik atrofidagi
l
larda (1) tenglama yagona
Y
y
yechimga ega.
Teorema 2 [1].
Aytaylik,
X
,
Y
– Banax fazolari,
X
a
U
-
nuqtaning ochiq atrofi bo‘lsin.
Y
U
f
®
:
akslantirish uzluksiz differensiallanuvchi va
-
®
Y
X
a
Df
:
)
(
chiziqli gomeomorfizm
ham bo‘lsin. U holda
a
nuqtaning shunday
U
atrofi,
)
(
a
f
ning shunday
V
atrofi mavjud va bir
qiymatli aniqlanadigan shunday
g
funksiya topiladiki, ular uchun
a
)
-
®
V
U
f
:
biyektiv akslantirish,
b
)
-
®
U
V
g
:
biyektiv akslantirish va
(
)
( )
x U g f x
x
"
=
,
c
)
(
)
(
)
1
1
;
va
( )
( )
g C V U
Dg f a
D f a
-
=
xossalar o‘rinli bo‘ladi.
Teskari funksiya haqidagi bu teorema oshkormas funksiya haqidagi teoremadan standart
usulda keltirib chiqariladi.
Masala 2.
Ushbu
RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA
ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI
175
( )
,
,
(0)
(2 ), (0)
(2 )
x
x f t x
g x
x l x
x l
l
+
+
=
=
=
(3)
chegaraviy masalani qaraylik. Bu yerda
2
g
l
-
davrga ega bo‘lgan uzluksiz funksiya va
l
-
parametr.
Quyidagi fazolarni qaraylik:
[
]
(
)
{
}
[
]
(
)
2
0;2 ;
| (0)
(2 )
(0)
(2 ) ,
0;2 ; .
X C
l
x x
x l
x
x l
Y C
l
=
=
=
=
Bu fazolarda odatiy normalar kiritilgan deb hisoblanadi.
Agar
f
uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda ba`zi
l
lar uchun barcha
g
larda (3)
masala yagona yechimga ega.
Isboti.
Aytaylik
Y
X
F
®
:
funksiya
)
,
(
)
(
x
t
f
x
x
x
F
+
+
=
l
formula bilan berilgan bo‘lsin. Ushbu
(
)
( )
;
x
DF x L X Y
a
akslantirish uzluksiz, ya`ni
F
akslantirish
1
C
sinfga tegishli. Differensial tenglamalar
nazariyasidan ma`lumki [3],
h
x
x
=
+
l
tenglama
2
2
2
,
1,2,
n n
l
p
l
=
K
bo‘lganda har bir
2
l
davrli uzluksiz
h
funksiya uchun
2
l
davrga
ega bo‘lgan yagona yechimga ega va
-
C
h
C
x
,
faqat
l
ga bog‘liq o‘zgarmas. Demak,
-
)
0
(
DF
X
ni
Y
ga o‘tkazuvchi chiziqli gomeomorfizm.
Teorema 2 ga ko‘ra har bir
Y
g
va berilgan
2
2
2
n
l
p
l
uchun (3) masala yagona yechimga
ega.
Keltirilgan teoremalar xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun qo`yilgan chegaraviy
masalalar yechimlarini o`rganishda ham qo`llanilishi mumkin.
Adabiyotlar
[1] В.А.Треногин. Функциональный анализ. -М.:Физматлит, 2007.
[2] В.А.Зорич. Математический анализ,ч.2. -М.: МЦНМО, 2019.
[3] Ф.Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М. Мир, 1973.
