ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
106
NOMALUMLARNI YO‘QOTISH VA DAVOM ETTIRISH HAQIDAGI TEOREMALAR.
ULARGA DOIR MISOLLAR YECHISH.
Jalilov Shaxriyor Sobirovich
Xudoyberdiyeva Alfiya Shermurotovna
“TIQXMMI” MTUning Qarshi irrigatsiya va agrotexnologiyalar instituti.
https://doi.org/10.5281/zenodo.11488270
Annotatsiya.
Ushbu maqolada biz. I=<f_1,…,f_s>
⊂
k[x_1,x_2,…,x_n ] -ideal berilgan
bo‘lsin. U holda I_l ideal k[x_(l+1),…,x_n ] ning l tartibgacha yo’qotilgan ideali deyiladi.
I_l=I∩k[x_(l+1),…,x_n ]. Boshqacha aytganda, I_l ideal f_1=
⋯
=f_s=0, tenglamalar sistemasini
natijalaridir, bunda ular x_1,…,x_l ,noma’lumlarga bo‘liq bo’lmagan polinomlar. Bizning vazifa
I_l ni k[x_(l+1),…,x_n ] polinomial halqaning idealini tashkil qilishini ko‘rsatish.Ushbu I=I_0,
ideal nolinchi yo’qotilgan ideali deyiladi. Keyinchalik tartiblashni o‘zgartirib boshqa bir
yo’qotilgan idealga ega bo‘lamiz.
Kalit so’zlar:
Ideal, bazis, lex tartiblash.
THEOREMS ABOUT LOSS AND CONTINUATION OF UNKNOWNS.
SOLVING EXAMPLES OF THEM.
Abstract.
In this article, we . Let I=<f_1,…,f_s>
⊂
k[x_1,x_2,…,x_n ] -ideal. Then the ideal
I_l is called a lost ideal of order l of k[x_(l+1),…,x_n]. I_l=I∩k[x_(l+1),…,x_n ].
In other words,
I_l are the results of the system of ideal equations f_1=
⋯
=f_s=0, where they are polynomials
x_1,…,x_l independent of the unknowns. Our task is to show that I_l is an ideal of the polynomial
ring k[x_(l+1),…,x_n]. This ideal I=I_0 is called a zero lost ideal. Then, by changing the order,
we get another lost ideal.
Key words:
Ideal, basis, lexical sorting.
ТЕОРЕМЫ О ПОТЕРЕ И ПРОДОЛЖЕНИИ НЕИЗВЕСТНЫХ. РЕШЕНИЕ
ПРИМЕРОВ ИЗ НИХ.
Аннотация.
В этой статье мы . Пусть I=<f_1,…,f_s>
⊂
k[x_1,x_2,…,x_n ] -идеал.
Тогда идеал I_l называется потерянным идеалом порядка l из k[x_(l+1),…,x_n].
I_l=I∩k[x_(l+1),…,x_n ].Другими словами, I_l — это результаты системы идеальных
уравнений f_1=
⋯
=f_s=0, где они представляют собой полиномы x_1,…,x_l, независимые
от неизвестных. Наша задача — показать, что I_l является идеалом кольца многочленов
k[x_(l+1),…,x_n]. Этот идеал I=I_0 называется нулевым потерянным идеалом. Тогда,
изменив порядок, мы получим еще один утраченный идеал.
Ключевые слова:
Идеал, основа, лексическая сортировка.
1-tarif.
𝐼 =< 𝑓
1
, … , 𝑓
𝑠
>⊂ 𝑘[𝑥
1
, 𝑥
2
, … , 𝑥
𝑛
]
-ideal berilgan bo‘lsin. U holda
𝐼
𝑙
ideal
𝑘[𝑥
𝑙+1
, … , 𝑥
𝑛
]
ning
𝑙
tartibgacha yo’qotilgan ideali deyiladi.
𝐼
𝑙
= 𝐼 ∩ 𝑘[𝑥
𝑙+1
, … , 𝑥
𝑛
]
.
Boshqacha aytganda,
𝐼
𝑙
ideal
𝑓
1
= ⋯ = 𝑓
𝑠
= 0
, tenglamalar sistemasini natijalaridir,
bunda ular
𝑥
1
, … , 𝑥
𝑙
, noma’lumlarga bo‘liq bo’lmagan polinomlar. Bizning vazifa
𝐼
𝑙
ni
𝑘[𝑥
𝑙+1
, … , 𝑥
𝑛
]
polinomial halqaning idealini tashkil qilishini ko‘rsatish.Ushbu
𝐼 = 𝐼
0
, ideal
nolinchi yo’qotilgan ideali deyiladi.
Keyinchalik tartiblashni o‘zgartirib boshqa bir yo’qotilgan idealga ega bo‘lamiz.
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
107
1-teorema.
(yo’qotish teoremasi).
𝐼 ⊂ 𝑘[𝑥
1
, … , 𝑥
𝑠
]
-ideal va
𝐺
–uning
𝑥
1
> 𝑥
2
> ⋯ > 𝑥
𝑛
,
lex-tartiblash bo‘yicha Gryobner bazisi bo‘lsin.U holda ixtiyoriy
0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛
,larda ushbu
𝐺
𝑙
= 𝐺 ∩ 𝑘[𝑥
𝑙+1
, … , 𝑥
𝑛
]
to‘plam chetlashtirilgan
𝐼
𝑙
idealning Gryobner bazisini tashkil qiladi.
Chiqarib tashlash teoremasi ko‘rsatadiki lex-tartiblash faqat birinchi nomalumni emas
balki birinchi ikkita,birinch uchta va h.k nomalumlarni nomalumlar safidan chiqarib tashlaydi.
Endi davom ettirish qadamini ko‘rib chiqamiz.
𝐼 ⊂ 𝑘[𝑥
1
, … , 𝑥
𝑛
]
,ideal berilgan
bo‘lsin.Ushbu ko‘pxillikni qarab chiqamiz
𝑉(𝐼) = {(𝑎
1
, … , 𝑎
𝑛
) ∈ 𝑘
𝑛
: 𝑓(𝑎
1
, … , 𝑎
𝑛
) = 0
для
всех
𝑓 𝜖 𝐼}
.
Qanday qilib uning barcha nuqtalarini toppish mumkin? Yechimni topishning asosiy
g’oyasi shundan iboratki sistema yechimining bitta kordinatasi aniqlanadi va boshqalarini topishda
undan foydalanamiz. Endi
1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛
lar uchun
𝐼
𝑙
,idealni qarab chiqamizUshbu
(𝑎
𝑙+1
, … , 𝑎
𝑙
) ∈
𝑉(𝐼
𝑙
)
,nuqtaga asosiy sistemaning qism yechimi deyiladi.
Agarda biz
(𝑎
𝑙+1
, … , 𝑎
𝑛
)
ning to‘la yechimini topmoqchi bo‘lsak, biz asosiy sistemani
to‘la yechimini topmoqchi bo‘lsak unda bitadan kordinatalarni topib boraverishimiz kerak
bo‘ladi.
𝐼
𝑙−1
= 〈𝑔
1
, … , 𝑔
𝑟
〉 ⊂ 𝑘[𝑥
1
, … , 𝑥
𝑛
]
bo‘lsin. Biz ushbu
𝑔
1
(𝑥
𝑙
, 𝑎
𝑙+1
, … , 𝑎
𝑛
) = ⋯ =
𝑔
𝑟
(𝑥
𝑙
, 𝑎
𝑙+1
, … , 𝑎
𝑛
) = 0
tenglamalar sistemasini yechimini topishimiz kerak bo‘ladi. Ko‘plab holatlarda birinchi
𝑥
1
,o‘zgaruvchini chetlashtirishimizga to‘g’ri keladi. Biz shuni bilmoqchimizki
(𝑎
2
, … , 𝑎
𝑛
) ∈
𝑉(𝐼
1
)
ekanligidan,
(𝑎
1
, 𝑎
2
, … , 𝑎
𝑛
) ∈ 𝑉(𝐼)
ekanligi kelib chiqadimi ?.Keyingi teorema bu savolga
javob bera oladi.
2-teorema.
(Davom ettirish teoremasi).
Bizga
𝐼 = 〈𝑓
1
, … , 𝑓
𝑠
〉 ⊂ 𝐶[𝑥
1
, 𝑥
2
, … , 𝑥
𝑛
]
, ideal
berilgan bo‘lsin.
𝐼
1
- ideal
𝐼
idealning birinchi yo’qotilgan ideali bo’lsin. Har bir
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑠
lar
uchun
𝑓
𝑖
ni quyidagicha ifodalashimiz mumkin.
𝑓
𝑖
=
𝑔
𝑖
(𝑥
2
, … , 𝑥
𝑛
)
𝑥
1
𝑁
𝑖
+
har bir hadi,
𝑥
1
ga bog’liq va uning darajasi
< 𝑁
𝑖
,
bunda
𝑁
𝑖
≥ 0,
𝑔
𝑖
∈
𝐶[𝑥
2
, … , 𝑥
𝑛
]
– nolmas polinom. Quyidagi qism yechimini qaraymiz
(𝑎
2
, … , 𝑎
𝑛
) ∈ 𝑉(𝐼
1
)
.
U holda
(𝑎
2
, … , 𝑎
𝑛
) ∉ 𝑉(𝑔
1
, … , 𝑔
𝑠
)
, bo‘lsa
𝑎
1
∈ 𝐶
,bo‘ladi bundan esa
(𝑎
1
, 𝑎
2
, … , 𝑎
𝑛
) ∈ 𝑉(𝐼),
ekanligi
kelib chiqadi
.
Noma’lumlarni mohiyatini tushinish uchun quyidagi misolni qaraymiz.
1-misol.
Ushbu sistemani yechish talab qilingan bo’lsin,
{
𝑥
2
− 𝑦 + 𝑧 = 0,
𝑥 + 𝑦
2
= 0,
𝑥
2
+ 𝑦 = 0
(1)
bu sistemadan quyidagi idealga ega bo‘lamiz,
𝐼 = (𝑥
2
− 𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦
2
, 𝑥
2
+ 𝑦
). (2)
Bizning vazifamiz V(
𝑥
2
− 𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦
2
, 𝑥
2
+ 𝑦
) ,ko’pxillikni topishdan iborat.
Endi bu idealning Gryobner bazisini hisoblaymiz, bunda grlex-tartiblashdan foydalanamiz.
𝑔
1
= 4𝑥 + 𝑧
2
,
𝑔
2
= 2𝑦 − 𝑧,
𝑔
3
= 𝑧
4
+ 8𝑧,
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
108
Natijada (3) bazislarga ega bo’lamiz. Bu yerda (1) va (3) sistemalar bir xil yechimlarga
ega bo’ladi. (3) da
𝑔
3
bazisga etibor bersak u faqat
z
nomalumga bog’liq bo‘ldi.Uni quyidagicha
soddalashtirishimiz munkin,
𝑔
3
= 𝑧
4
+ 8𝑧 = 𝑧(𝑧
3
+ 8) = 𝑧(𝑧 + 2)(𝑧
2
− 2𝑧 + 4)
oxirgi tenglikdan
𝑔
3
= 0
tenglamani yechib
z
ning barcha qiymatlarini topamiz,
𝑔
3
polinom
jami to‘rtta 0, -2 va
1 ± 𝑖√3
ildizlarga ega bo‘ldi. Endi
𝑔
1
= 4𝑥 + 𝑧
2
,
ga etibor bersak undan
topilgan
z
larni o’rniga qo’yish bilan
x
ni osongina topish mumkin bo’ladi.
𝑔
2
= 2𝑦 − 𝑧,
dan esa
y
ni oson topish munkin.
Aytilgan mulohazalarni amalga oshirib (1) tenglamalar sistemasining yechimlari
to‘plamiga ega bo‘lamiz.
(0,0,0), (-1,-1,-2),(
1
2
−
1
2
𝑖√3
,
1
2
+
1
2
𝑖√3, 1 + 𝑖√3
)
(
1
2
+
1
2
𝑖√3,
1
2
−
1
2
𝑖√3, 1 − 𝑖√3
).
Berilgan tenglamalar sistemasini yechishda quyidagi ikkita qadamdan foydalandik.
(Yo‘qotish qadami) Ushbu
𝑔
3
= 𝑧
4
+ 8𝑧
polinomni qarasak u faqat
z
ga bog’liq, biz
x
va
y
larni tenglamalar sistemasidan chetlashtirib tashladik.
(Davom ettirish qadami) Biz nega faqat
𝑔
3
= 0
, tenglamani ishladik chunki u faqat
𝑧
dan bog’liq bo‘lib topilgan
z
larni sistemaga qo‘yib,boshqa soddaroq sistemaga ega bo’lamiz.Endi
bu sistemani yechib asosiy sistemani yechimlarini topish munkin bo’ladi.
Yo’qotish qadami qanday qilib ishlashini ko‘rib chiqamiz,Bunda asosiy fakt ,
𝑔
3
ning faqat
𝑧
, ga bog’liq bo‘lishidir, yani
𝑔
3
∈ 𝐼 ∩ 𝐶[𝑧],
bunda
𝐼
ideal (2) belgilashdagi ideal. Bizning asosiy ishimiz barcha,
𝐼 ∩ 𝐶[𝑧]
qisqartirilgan
tenglamalarni aniqlashdan iborat. Ushbu natijalarni umumlashtirish uchun quyidagi
tushunchalarni kiritamiz.
2-misol.
𝑘 = 𝑅
maydonda quyidagi tenglamalar sistemasini qarab chiqamiz.
𝑥
2
= 𝑦
𝑥
2
= 𝑧
.
bu yerdan
𝑥
ni chetlashtiramiz va
𝑦 = 𝑧
, natijani olamiz. Bundan berilgan sistemaning qism
yechimlari XOY tekisligining barcha nuqtalari
(𝑎, 𝑎)
,bunda
𝑎 ∈ 𝑅
, ekanligini olamiz. Topilgan
yechimni sistemaga olib borib qo‘ysak,
𝑥
2
= 𝑎
ko‘rinishdagi tenglama hosil bo‘ladi. Bu
tenglamadan ko‘rinadiki agar
𝑎 ≥ 0
bo‘lsagina sistema
𝑘 = 𝑅
, maydonda yechimga ega bo‘ladi.
Agar
a
manfiy son bo‘lsa sistema yechimga ega bo‘lmaydi.
𝑘 = 𝐶
, deb tanlasak berilgan
sistema
a
ning ixtiyoriy qiymatida yechimga ega bo’ladi.Bu misoldan ko’rish mumkinki davo
ettirish teoremasi
𝑅
maydonda o’rinli bo’lmas ekan.
REFERENCES
1.
A.Soleyev, X.Nosirova, Ya.Muxtorov, T.Buriyev. MATEMATIKA (iqtisodchilar uchun
amaliy mashg’ulotlar). Samarqand 2017-y.
2.
Аржанцев И.В. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений// М. Ж.
МЦНМО, 2003.
ISSN:
2181-3906
2024
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 3 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
109
3.
Говорухин В., Цибулин П., Компьютер в математическом исследовании. –С-
Питербург, Питер, 2002.
4.
Каримова М.А. Задача о принадлежности идеалу.- Самарканд, Магистрантларнинг
XIV илмийконференциясиматериаллари, 2014.
5.
Кокс Д., Литтл Дж., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. – М.:Мир,2000.
6.
Нарзуллаев У.Х. Алгебра и теория чисел. Часты 1,2,3,4. Lambert Academic Publishing,
Germany, 2012.
