33
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
CHIZIQLI MODULLI TENGLAMALARNI FUNKSIYANING XOSSASIDAN
FOYDALANIB YECHISH USULLARI
Quvonov Baxtiyor Sayfiyevich
Shamsiddinov Nasriddin Baxriddinovich
TDTU akademik litseyi matematika fani o’qituvchisi, t.f.n.
TDTU akademik litseyi matematika fani o’qituvchisi, f.-m.f.n.
https://doi.org/10.5281/zenodo.14323159
Annotatsiya
Maqolada modul belgisi ostida qatnashgan chiziqli ifodalar yig’indisidan
tashkil topgan tenglamani, mazkur tenglamadan hosil qilingan funksiyaning xossalaridan
foydalanib yechish usullari keltirilgan.
Kalit so’zlar:
tugun nuqta, sonlar o’qi, tenglama, absolyut qiymat, modul belgisi,
tenglamaning yechimi, yechish usullari, funksiya grafigi.
Аннотация
В статье приведены методы решения уравнения, состоящего из
суммы линейных выражений под знаком модуля, с помощью свойств функции,
составленной из данного уравнения.
Ключевые слова:
точка узла, ось чисел, уравнение, абсолютное значение, знак
модуля, решение уравнения, методы решения, график функции.
Abstract
The article presents methods for solving an equation consisting of a sum of
linear expressions under the modulus sign using the properties of a function composed of this
equation.
Keywords:
node point, number axis, equation, absolute value, modulus sign, solution
of equation, solution methods, function graph.
Innovatsion ta’lim muhitida o‘quvchilarni fikrlash va mulohaza yuritishga o‘rgatish,
o‘rganilayotgan mavzu yoki masala bo‘yicha tanqidiy, kreativ, ijodiy fikrlash qobiliyatiga ega
bo‘lgan, kuchli raqobat muhiti mavjud bo‘lgan sharoitda raqobatga bardoshli kadrlar
tayyorlash muhimdir. Shu sababli bugungi kunda ta’lim muassasalarida o‘quvchilarni
masalani har tomonlama tahliliy o‘rganishga odatlantirish talab qilinmoqda.
Modulli tenglamalarni yechish tenglamani modul belgisidan qutqarish uchun shakl
almashtirishlar orqali berilgan tenglamaga teng kuchli tenglamaga keltirishdan iborat. Biroq,
bunday o'zgarish har doim ham bir vaqtning o'zida barcha modullardan qutilish imkonini
bermaydi. Bunday hollarda modulli tenglamalarni yechishda berilgan ifodalalarning
aniqlanish sohasi topilgandan keyin, sonlar o’qida modul ostidagi ifodani ishorasi
o‘zgarmaydigan oraliqlar ajratib olinadi va har bir oraliqda misollar alohida-alohida yechilib,
so‘ngra natijalar birlashtiriladi. Bunda, ifodaning ishorasi o‘zgarmaydigan oraliqni aniqlash va
tengsizlikni teng kuchli (ekvivalent) sistemalarga ajratish muhim ahamiyatga ega.
Ushbu ishorasi o’zgarmas oraliqlarni noma'lum o’zgaruvchiningning tugun qiymatlari
bilan ajratilanadi, bu qiymatlarda modul belgilari ostida ifodalar nolga aylanadi. Shunday
qilib, modulli tenglamaning ildizlarini ushbu oraliqlarning har birida alohida izlash kerak.
Tenglamani yechishning tavsiya etilgan usuli oraliqlar usuli deb ataladi.
Aksariyat o‘quvchilar modulli tenglamalarni yechishda qiyinchilikka duch kelishadi.
x
a
b
,
x
a
bx
c
,
ax
b
cx
d
ko‘rinishdagi tenglamalarni yechishda qiyin
bo‘lmasligi mumkin. Lekin
x
a
x
b
x
c
d
kabi modullar ayirmasi yoki yig‘indisi
qatnashgan tenglamalarni yechish o‘quvchilarda muammo tug‘diradi. Bu tenglamani
34
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
yechimini aniqlash uchun bir nechta oraliqlar aniqlanib, har bir oraliqda hosil qilingan
tenglamani yechish va olingan natijani shu oraliqqa tegishli ekanini tekshirish talab etiladi.
Maqolada modul belgisi ostida qatnashgan chiziqli ifodalar yig’indisidan tashkil topgan
tenglamalar mazkur tenglamadan hosil qilingan funksiyaning xossasidan foydalanib yechish
usullari keltirilgan.
Ta’rif.
1
0
n
k
k
k
k
a b x
c
dx
c
ko’rinishdagi tenglamalar chiziqli modulli
tenglamalar deyiladi.
Yuqoridagi misoldan ko’rinib turibdiki oraliq usulida tenglamada qo’shiluvchilar soni
ortganida oraliqlar soni ham ortib boradi. Bunday tenglamalarni funksiya grafigi yordamida
yechish o’quvchini vaqtini tejaydi, avvaldan tenglama yechimga ega bo’lgan oraliqlarni
aniqlash va tenglama yechimga ega bo’ladigan oraliqlarda tenglamani yechish talab qilinadi.
Bu tenglamalarni yechish uchun quyidagi ko’rinishdagi
1
n
k
k
k
k
y
a b x
c
dx
c
(1)
funksiyalarning nollarini topishdan foydalanamiz.
Ta’rif.
(1) funksiyaning modul belgisi ostidagi har bir ifodani nolga tenglashdan hosil
bo‘lgan
x
ning qiymatlarini funksiyaning tugun nuqtasi deb aytiladi.
i
i
i
c
x
b
.
min
i
x
a
va
max
i
x
b
deb belgilasak,
a
va
b
nuqtalarni chegaraviy nuqtalar deb
ataymiz.
Chegaraviy nuqtalardan chap va o‘ng tomonda ikkita ixtiyoriy nuqta olamiz
x
a
va
b
x
va bu
x
va
x
nuqtalarni qo‘shimcha nuqtalar deb ataymiz.
A, B, C va D lar
x
ning chiziqli ifodalari bo‘lsin.
1. Agar funksiya
y
A
bo‘lsa,
0
A
tenglamaning yechimi tugun nuqta bo‘ladi.
2. Agar funksiya
y
A
B
bo‘lsa,
0
A
va
0
B
tenglamalarning yechimlari
tugun nuqta bo‘ladi.
3. Agar funksiya
y
A
B
bo‘lsa,
0
A
,
0
B
va
0
A
B
tenglamalarning
yechimi tugun nuqtalar bo‘ladi.
4. Agar funksiya
y
A
B
C
D
bo‘lsa,
0
A
,
0
B
,
0
C
,
0
D
,
0
A
B
va
0
C
D
tenglamalarning yechimi tugun nuqtalar bo‘ladi.
5. Agar funksiya
y
A
B
C
bo‘lsa,
0
A
,
0
A
B
va
0
A
B
C
tenglamalarning yechimi tugun nuqtalar bo‘ladi.
2-misol.
1
5
y
x
x
funksiya berilan bo‘lsin, bu erda
1
A
x
va
5
B
x
.
Funkning tugun nuqtalari
1 0
x
va
5
0
x
tenglamalarning yechimlari bo‘ladi. (
1
x
va
5
x
)
3-misol.
1
3
5
y
x
funksiya berilan bo‘lsin.
35
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
Berilgan funksiyaning tugun nuqtasi:
1
0
x
(
1
x
),
1
3
0
x
(
2
x
va
4
x
) va
1
3
5
0
x
(
7
x
va
9
x
) tenglamalarning yechimlari bo‘ladi. Demak
1
x
,
2
x
,
4
x
,
7
x
va
9
x
nuqtalar funksiyaning tugun nuqtalari bo‘ladi.
(1) ko‘rinishda berilgan funksiyaning grafigini chizish uchun funksiyaning tugun
nuqtalari va bu nuqtalardagi funksiyaning qiymatlari juftligi
;
i
i
x y x
aniqlanadi va Dekart
koordinatalar tekisligida tasvirlanadi. Bizga berilgan funksiya chiziqli ifodalar yig‘indisi
bo‘lganligi sabab, har bir intervalda ularning yig‘indisi chiziqli funksiya bo‘ladi. Shuning uchun
funksiya grafi tugun nuqtalarni ketma-ket tutushtirishdan tashkil topgan siniq chiziqdan
iborat bo‘ladi.
4-misol.
1
2
3
y
x
x
x
funksiya grafigini quring.
Berilgan funksiyaning tugun nuqtasi:
1
x
,
2
x
,
3
x
. Ikkita ixtiyoriy
qo‘shimcha nuqta olamiz:
1
x
va
5
x
.
Bu nuqtalarda funksiyaning qiymatlarini hisoblaymiz:
1
1
y
,
1
1
y
,
2
0
y
,
3
3
y
va
5
5
y
.
Olingan qiymatlarni Dekart koordinatalar sistemasida belgilab chiqamiz va bu
nuqtalarni birlashtirib funksiya grafigini chizamiz:
5-m
isol.
2
1
3
y
x
x
funksiya grafigini
quring.
Funksiyaning
tugun
nuqtalarini
topamiz:
2
1
0
x
,
3
0
x
va
2
1
3
0
x
x
tenglamalarni yechamiz. Bundan funksiyaning tugun
nuqtasi:
1
2
x
,
3
x
,
4
3
x
va
2
x
.
min
2
i
x
va
max
3
i
x
bo‘lgani uchun ixtiyoriy qo‘shimcha
nuqtani olamiz:
3
x
va
4
x
.
Bu nuqtalarda funksiyaning qiymatlarini hisoblaymiz:
1
2,5
2
y
,
3
5
y
,
4
0
3
y
,
2
0
y
,
3
1
y
va
4
6
y
.
Olingan qiymatlarni Dekart koordinatalar sistemasida belgilab chiqamiz va bu
nuqtalarni birlashtirib funksiya grafigini chizamiz:
6-misol.
2
2
3
9
5
x
x
tenglamaning nechta
ildizi bor.
Berilgan
tenglamani
yechish
uchun
2
2
3
9
y
x
x
va
5
y
funksiyalarning
grafiklarini quramiz.
2
2
3
9
y
x
x
funksiyaning
tugun
nuqtalarini topamiz:
1
x
,
3
x
,
2, 2
x
va
7
x
.
36
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
min
1
i
x
va
max
7
i
x
bo‘lgani uchun ixtiyoriy qo‘shimcha nuqtani uchun
1
x
va
12
x
nuqtalarni olamishimiz mumkin.
Bu nuqtalarda funksiyaning qiymatlarini hisoblaymiz:
1
6
y
,
3
4
y
,
2, 2
0
y
,
7
0
y
1
8
y
va
12
5
y
.
Endi olingan qiymatlargi Dekart koordinatalar sistemasida belgilab chiqamiz va bu
nuqtalarni birlashtirib
2
2
3
9
y
x
x
funksiyaning grafigini va
5
y
funksiya
grafigini bitta koordinata tekisligida chizamiz:
Demak,
grafikdan
ko‘rinib
turibdiki,
2
2
3
9
y
x
x
va
5
y
funksiyalar ikkita nuqtada
kesishadi. Shu sababli berilgan tenglama 2 ta ildizga ega.
7-misol.
1
2
1
2
3
x
x
x
x
x
tenglamani yeching.
Yechish: Odatiy usulda yechilishi.
Modul ichida
turgan har bir ifodani nolga tenglab, tugun nuqtalarini
topamiz:
2
x
;
1
x
;
0
x
;
1
x
;
2
x
. Ular sonlar o’qini
2
;
,
2
;
2
,
0
;
1
,
1
;
0
,
2
;
1
,
;
2
oraliqlarga
ajratadi. Berilgan tenglamani shu oraliqlarning har birida yechamiz. Qulaylik uchun ushbu
ishora jadvalini tuzib olaylik:
oraliq
Ifoda
2
;
1
;
2
0
;
1
1
;
0
2
;
1
;
2
2
x
0
0
0
0
0
0
1
x
0
0
0
0
0
0
x
0
0
0
0
0
0
1
x
0
0
0
0
0
0
2
x
0
0
0
0
0
0
1)
2
x
bo‘lsa,
1
2
1
2
3
x
x
x
x
x
tenglamaga
egamiz. Uning
2
x
ni qanoatlantiruvchi yechimi:
x
3
;
2)
1
2
x
bo‘lsa,
1
2
1
2
3
x
x
x
x
x
tenglama hosil
bo‘ladi. Uning
1
;
2
dagi yechimi:
x
1
;
3)
0
1
x
bo‘lsa,
1
2
1
2
3
x
x
x
x
x
tenglama hosil bo‘ladi.
Uning
0
;
1
dagi yechimi:
x
1
;
4)
1
0
x
bo‘lsa,
1
2
1
2
3
x
x
x
x
x
tenglama hosil bo‘ladi.
Uning
1
0
x
dagi yechimi:
x
1
;
5)
2
1
x
bo‘lsa,
1
2
1
2
3
x
x
x
x
x
tenglamaga ega
bo‘lamiz. Uning
2
;
1
dagi yechimlari:
x
1
.
6)
2
x
bo‘lsa,
1
2
1
2
3
x
x
x
x
x
tenglama hosil bo‘ladi.
;
2
oraliqda bu tenglamani yechimi:
x
3
.
37
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
Grafik usulda yechilishi.
Tenglamani yechish uchun uning barcha hadlarini
tenglikning bir tomoniga o‘tkazamiz:
1
2
1
2
3
0
x
x
x
x
x
.
Bu tenglamaning yechimi
1
2
1
2
3
f x
x
x
x
x
x
funksiyaning nollaridan iborat.
Modul ichida turgan har bir ifodani nolga tenglab,
2
x
;
1
x
;
0
x
;
1
x
;
2
x
tugun nuqtalarni topamiz va qo‘shimcha nuqtani uchun
4
x
va
4
x
nuqtalarni
olamishimiz mumkin.
Funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlarini aniqlaymiz va funksiyani qiymatlar
jadvalini tuzamiz.
x
-4
-2
-1
0
1
2
4
f x
-1
+1
0
+1
0
+1
-1
Jadval va funksiya grafigidan ko‘rib
turganimizdek funksiya
1
0
f
va
1
0
f
bo‘lgani
uchun
1
x
va
1
x
berilgan
tenglamaning yechimi bo‘ladi. Funksiya
2
;
va
;
2
oraliqlarda o‘z ishorasini almashtirgani
uchun shu oraliqlarda funksiya
Ox
o‘qini kesib
o‘tadi va nollari mavjud.
1)
2
x
bo‘lsa,
1
2
1
2
3
x
x
x
x
x
tenglamaga
egamiz. Uning
2
x
ni qanoatlantiruvchi yechimi:
x
3
;
2)
2
x
bo‘lsa,
1
2
1
2
3
x
x
x
x
x
tenglama hosil bo‘ladi.
;
2
oraliqda bu tenglamani yechimi:
x
3
;
8-misol.
2
3
1
7
3
2
x
x
x
x
x
tenglamani yeching.
Grafik usulda yechilishi:
Tenglamani yechish uchun har bir modulni nolga
aylantirivchi
x
ning qiymatlarini topamiz: 1, 2, 3, 7. Bundan tashqari
2
3
0
x
x
dan
2,5
x
va
1
7
0
x
x
dan
4
x
ni olamiz. Qqo‘shimcha nuqtani uchun
0
x
va
8
x
nuqtalarni olamishimiz mumkin.
Berilgan tenglamadan quyidagi funksiyani hosil qilamiz:
2
3
1
7
3
2
f x
x
x
x
x
x
.
Yuqorida aniqlangan
x
lar uchun funksiyaning qiymatlar jadvalini tuzamiz.
x
0
1
2
2,5
3
4
7
8
f x
-10
-9
-6
-6,5
-5
-2
-10
-12
Funksiyaning qiymatlari jadvalidan ko‘rinib turibdiki xar bir oraliqda funksiya ishorasi
manfiy. Bu funksiya
Ox
o‘qini kesib o‘tmaydi. Tenglama yechimga ega emas.
38
«UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM
ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA
ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI
www.in-academy.uz
Maqolada mazkur turdagi masalalarni yechishni o‘quvchilarga o‘rgatishda tenglama
umumiy ko‘rinishda berilib, modul ostidagi ifodani ishorasi o‘zgarmaydigan sohalarga
ajratish, ya’ni tugun nuqtalarini topish va tugun nuqtalarda funksiyaning ishorasi
almashinuvchi oraliqlarda tenglamani yechish tavsiya qilingan.
Ushbu masalalarni o‘rganish o‘quvchilarga matematik kompetensiyasini rivojlantirish,
masalalarni yechishda mustaqil ravish fikrlash, mulohaza qilish imkoniyatini beradigan bilim,
ko‘nikma va malakalarga ega bo‘lish imkonini beradi. Bundan tashqari, o‘rganilgan usullar
o‘quvchilarning kelgusida modul qatnashgan tenglama va tengsizliklarni yechishda, tahlil
qilishlari va o‘rganishlariga yordam beradi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.Abduhamidov A.U., Nasimov X.A., Nosirov U.M.,HusanovJ.H. “Algebra va matematikanaliz
asoslari”. I qism. Akademik litseylar uchun darslik. – T.: 2008y.
2.Mirzaahmedov va boshqalar. Tenglama va tengsizliklarni yechish. – T.: “O‘qituvchi”,1993y.
3.Х.Р.Расулов, С.Ж.Собиров “Модуль қатнашган баъзи тенглама, тенгсизлик ва
тенгламалар системаларини ечиш йўллари”. "Science and Education" Scientific Journal
September 2021 / Volume 2 Issue 9.
4.N.Naqiyev Modul qatnashgan tenglama va tengsizliklarni son o’qi yordamida yechish.
“Fizika, matematika va informatika” ilmiy – uslubiy jurnal. Toshkent – 2008. 5-son. 39-44 bet.
