328
I
x
p
x
p
2
2
1
1
, (2)
0
1
x
,
0
2
x
(3)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Biz aniqlaganimizdek, optimal nuqtada byudjet cheklovi tenglik ko‘rinishida
bajarilishi kerak, binobarin, ikkala tovar o‘ta zarur bo‘lgani uchun (agar ulardan biri yo‘q
bo‘lsa, foydalilik nolga teng bo‘ladi) o‘zgaruvchilarning nomanfiyligi shartlari avtomatik
ravishda bajariladi. Demak, yechilayotgan matematik programmalash masalasi shartli
ekstremumni topishning klassik masalasiga aylanadi. Ekstremumning zaruriy shartlarini
yozib (ularga asosan tovarlar limit foydaliliklarining nisbatlari ularning bozor narxlari
nisbatlariga teng bo‘lishi kerak, byudjet cheklovi esa tenglik ko‘rinishida bajariladi),
2
1
1
2
p
p
x
x
,
I
x
p
x
p
2
2
1
1
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
Bundagi birinchi shart qaralayotgan masalada ikkala tovarga sarflanadigan pul miqdorlari
bir xil, ya‘ni
1
1
2
2
p
x
p
x
bo‘lishi kerakligini anglatadi.
Bu foydalilik funksiyasida
1
x
va
2
x
o‘zgaruvchilarning «vaznlari» yoki daraja ko‘rsatkichlari tengligidan kelib chiqadi. Demak,
2
1
1
2
2
I
p
x
p
x
va talab funksiyalari
1
1
2
p
I
x
;
2
2
2
p
I
x
ko‘rinishni oladi.
Shunday qilib, har bir tovarga sarf-xarajat iste‘molchi umumiy daromadining yarmini
tashkil etadi va har bir tovarning zaruriy miqdorini topish uchun shu tovarga sarflanadigan
mablag‘ni uning narxiga bo‘lish lozim.
Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:
1.Шодиев Т.Ш. ва бошқалар. Иқтисодий-математик усуллар ва моделлар. Ўқув
қўлланма. –Т.: ТДИУ, 2010. – 297 б.
2.Фомин Г.П.Математические методи и модели в коммерческой деятелности.
Учебник. –М.: ИНФРА-М, 2009. – 395 с.
3.Шапкин А.С. Математические методи и модели исследования операций.
Учебное пособие. –М.: Дашков и К., 2009. – 361 с.
4. Turakulov O. K., Halimov U. H. TENDENCIES FOR THE DEVELOPMENT OF
TECHNICAL EDUCATION FOR FUTURE ENGINEERS //Mental Enlightenment Scientific-
Methodological Journal. – 2022. – Т. 2022. – №. 2. – С. 307-316.
OPTIMAL BOSHQARUV MASALASINING UMUMIY QO‘YILISHI
Hamdamov Foziljon Rustamjon oʻgʻli
O‗zbekiston Milliy universitetining Jizzax filiali
―Amaliy matematika‖ mutaxassisligi magistranti
Annotatsiya:
Ishda optimal boshqaruv masalasining umumiy ko‘rinishida qo‘yilishi:
obyektning harakat dinamikasi, joiz boshqaruvlar sinfi, obyektning boshlang‘ich va so‘ngi
holati,sifat kriteyasi, tezkorlikni chiziqli masalasi o‘rganilgan.
329
Kalit so‗zlar:
obyektning harakati, joiz boshqaruv,boshlang‘ich holati, chiziqli masala,
optimal boshqaruv.
1. Obyektning harakat dinamikasi.
Optimal boshqaruv masalasi uchun vaqt mobaynida
harakati oʻzgarib turuvchi obyektning mavjudligi xarakterlidir. Faraz qilaylik vaqtning har bir
t
momentida obyektning holati
1
( ),...,
( )
n
x t
x t
parametlarning tanlanishi bilan toʻla aniqlansin.
Bu parametlar qandaydir koordinatalar sistemasida obyektning holatining koordinatalari, tezlik
koordinatalari va hokazolar boʻlishi mumkin.
1
( )
( ( ),....
( ))
n
x t
x t
x t
vektorga obyektning
holat vektori
deyiladi. Obyekt harakatini boshqarish, yaniy obyektning holati qandaydir rullar
vositasida oʻzgartirilishi mumkin deb faraz qilamiz. Aytaylik rullarning holati vaqtning har bir
t
momentida
1
( ),...,
( )
m
u t
u
t
parametrlarni
tanlanishi
bilan
harakterlarsin.
1
( )
( ( ),...,
( ))
m
u t
u t
u
t
vektorga obyektning
boshqaruv vektori
yoki
boshqaruv
deyiladi.
Vaqtning berilgan
t
momentida obyektning holati
( )
u t
boshqaruv vaqtning
t
momentigacha
qanday qiymatlar qabul qilganligiga bogʻliq ammo, boshqaruvning kelgusi holatiga bogʻliq
emas. Obyektning
( )
x t
holat vektori
( )
u t
boshqaruvning qiymatiga bogʻliq tarzda turli hil
dinamik obyektlar qaraladi. Masalan, bu bogʻliqlikni
( , , )
x
f t x u
(1.1)
differensal tenglamalar sistemasi bilan yozish mumkin. Bu holda vaqtning har bir
t
momentida
)
(
t
u
boshqaruvning qiymatini bilgan holda
( , , ( ))
x
f t x u t
differensal tenglamani yechib, obyektning
( )
x t
trayyektoriyasini aniqlashimiz mumkin.
Qandaydir tarzda obyektning harakat dinamikasi berilgan, ya‘ni
)
(
t
u
boshqaruv
vektorining oʻzgarishiga bogʻliq ravishda
)
(
t
x
holat vektorning oʻzgarish qonuni berilgan deb
hisoblaymiz [1].
2
.
Joiz boshqaruvlar sinfi.
Muayyan (konkret) fizik obyektlar uchun
)
(
t
u
boshqaruv
ixtiyoriy boʻlmaydi. Bu boshqaruvga boshqaruvning fizik ma‘nosidan kelib chiqadigan
qandaydir cheklanishlar qoʻyiladi. Masalan, agar
)
(
1
t
u
divigatelning quvvati boʻlsa, u holda
vaqtning har bir momentida u
max
1
min
)
(
u
t
u
u
cheklanishlarni qanoatlantiradi. Bunda
)
(
1
t
u
min
u
va
max
u
chetki qiymatlarni ham qabul qilishi
mumkin. Odatda
)
(
t
u
vektor boshqaruv vaqtning har bir
t
momentida
U
t
u
)
(
(1.2)
cheklanishni qanoatlantiradi, bu erda
U
qandaydir berilgan toʻplam. Qonuniyatga koʻra
muayyan fizik obyektlarda
U
yopiq toʻplamdir. Bu yopiqlik boshqariladigan obyektning
holatini umuman klassik variatsion hisob usullari bilan tekshirishga imkoniyat bermaydi. (1.2)
koʻrinishdagi cheklanishlardan tashqari
)
(
t
u
boshqaruvning vaqtga bogʻliqligi boʻyicha
cheklanishlar qoʻyilishi mumkin. Masalan joiz boshqaruvning fizik ma‘nosidan bu boshqaruv
yoki silliq, yoki uzluksiz, yoki bolakli uzluksiz va hokazo boʻlishi mumkin. Qandaydir usulda
)
(
t
u
joiz boshqaruvlar sinfi
berilgan deb hisoblaymiz [2].
330
3.Obyektning boshlangʻich va soʻnggi holati
. Faraz qilaylik vaqtning boshlangʻich
momenti
0
t
va obyektning
joiz boshlangʻich holatlarining
0
M
toʻplami
berilgan boʻlsin.
Bundan tashqari vaqtning qandaydir soʻnggi
1
t
momentida ob‘yekt qandaydir
joiz soʻnggi
holatlarining toʻplami
1
M
ga kelib tushsin.Agar
)
(
t
u
boshqaruvga mos obyektning
)
(
t
x
holati
1
1
0
0
)
(
,
)
(
M
t
x
M
t
x
(1.3)
shartlarni qanoatlantirsa, u holda
]
,
[
1
0
t
t
vaqt oraligida
)
(
t
u
joiz boshqaruv joiz boshlangʻich
holatlarining
0
M
toʻplamini joiz
soʻnggi holatlarining
1
M
toʻplamiga
olib oʻtadi deb
aytamiz.vaqtning har bir soʻnggi momenti
1
t
umuman aytganda maxkamlangan boʻlib,
)
(
t
x
vektorning soʻnggi
1
M
toʻplamga tushish shartidan aniqlanadi.Shunday qilib
1
0
,
M
M
joiz
toʻplamlar berilgan deb hisoblaymiz [3].
4.Sifat kriteriysi.
Boshqariladigan obyektni
0
M
toʻplamdan
1
M
toʻplamga turli hil
usullar bilan oʻtkazish mumkin boʻlishi mumkin. Amaliyotda bunday oʻtishlardan qandaydir
ma‘noda eng yaxshisini tanlash maqsadga muofiqdir. Odatda
]
,
[
1
0
t
t
kesmada aniqlangan har bir
)
(
t
u
joiz boshqaruvga mos obyektning
)
(
t
x
trayektoriyasiga
),
(
t
u
)
(
t
x
juftlikni baholovchi
J
soni, ya‘ni
))
(
),
(
(
t
x
t
u
J
funksional, yoki sifat kriteriysi beriladi.Masalan, bu funksional
1
0
))
(
),
(
,
(
))
(
),
(
(
0
t
t
ds
s
u
s
x
s
f
t
x
t
u
J
(1.4)
koʻrinishda boʻlishi mumkin.
Endi
optimal boshqaruv masalasi
ni ifodalashimiz mumkin. Bu masala obyektni
boshlangʻich holatlarning
0
M
toʻplamidan soʻnggi holatlarning
1
M
toʻplamiga tushuruvchi
shunday
)
(
t
u
boshqaruv va unga mos
)
(
t
x
traektoriyani topish lozimki, bunda
))
(
),
(
(
t
x
t
u
J
funksional oʻzining minimal qiymatiga erishsin, ya‘ni
))
(
),
(
(
min
))
(
),
(
(
t
x
t
u
J
t
x
t
u
J
tenglik bajarilsin. Bu yerda minimum obyektni boshlangʻich holatlarning
0
M
toʻplamidan
soʻnggi holatlarning
1
M
toʻplamiga oʻtkazuvchi barcha joiz
)
(
t
u
boshqaruv va unga mos
obyektning
)
(
t
x
trayektoriyalari boʻyocha olinadi.
Optimal boshqaruv masalalaridan misollar keltiramiz [4].
5.Tezkorlikning chiziqli masalasi.
Shunday qilib biz optimal boshqaruv masalasining
umumiy koʻrinishda qoʻyilishini va bu masalani echishda yuzaga keladigan ba‘zi asosiy
muamolarni qarab chqdik. Bu kitobda biz asosan optimal boshqaruv matematik nazariyasining
soddaroq masalasi boʻlgan chiziqli tezkorlik masalasini oʻrganamiz.
Bu obyektning harakat dinamikasi
,
u
Ax
x
(1.6)
Chiziqli differensial tenglamalar sistemasi bilan yoziladi, bu yerda
x
-obyektning
n
oʻlchamli
holat vektori,
u
-
n
oʻlchamli boshqaruv vektori boʻlib, boshqaruvqa
U
t
u
)
(
cheklanish
qoʻyilgan,
n
n
A
oʻlchamli oʻzgarmas matritsa. Qandaydir
)
(
t
u
joiz boshqaruvni va
obyektning
0
0
)
(
x
t
x
boshlangʻich holatini bilgan holda, obyektning
)
(
t
x
holat vektorini (1.6)
differensial tenglamalar sistemasining yagona yechimi sifatida hosil qilish mumkin. Joiz
331
boshqaruvlar sinfi, keyinroq yordamchi matematik tushunchalar oʻrganilgandan keyin
aniqlanadi.
Oʻbektning boshlangʻich va soʻggi holatlari boʻlgan
0
M
va
1
M
toʻplamlar
n
oʻlchamli vektor
fazoning qandaydir boʻsh boʻlmagan kompakt qism toʻplamlari sifatida olinadi. Sifat kriteriysi
boʻlib,
0
M
toʻplamdan
1
M
toʻplamga
oʻtish
uchun
sarflangan vaqt, ya‘ni
0
1
))
(
),
(
(
t
t
t
x
t
u
J
boʻladi. Bunday sifat kriteriysi (1.4) sifat kriteriysidan integral ostidagi
funksiya
1
))
(
),
(
,
(
0
t
u
t
x
t
f
boʻlganda hosil boʻladi.
Shunday qilib, biz
chiziqli tezkorlik masalasi
ning qoʻyilishiga keldik. Bu masala obektni
boshlang`ich holatlarning
0
M
to`plamida holatlarning so`ngi
1
M
to`plamiga eng qisqa vaqt
ichida olib o`tuvchi
)
(
t
u
joiz boshqaruvni va unga mos (1.6) tenglamaning
)
(
t
x
yechimini
topishdan iborat.
Yuqorida keltirilgan 2-misol chiziqli tezkorlik masalasi bo`ladi.
Optimal boshqaruv nazariyasi bilan birinchi tanishish uchun chiziqli tezkorlik
masalasining tanlanilishi bejiz emas. Bu masala ko`proq ustunlikka ega.
Birinchidan, (1.6) chiziqli differensial tenglamalar uchun
)
(
t
x
trayektoriyani
)
(
t
u
boshqaruvga nisbatan oshkor ko`rinishda yozish mumkin. Bu esa optimal boshqaruv matematik
nazariya-sining asosiy masalalarini effektiv tekshirish imkoniyatini beradi.
Ikkinchidan, chiziqli tezkorlik masalasalalarida optimal boshqaruvning umumiy
masalasidagi barcha harakterli qiyinchiliklar yaqqol namayon bo`ladi [5].
Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:
1.
Р. Рокафеллар
Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.
2.
А.Н. Колмогоров, C.В. Фомин
Элементы теории функций и функционального
анализа. М.: Наука, 1972.
3.
А.А. Ляпунов
О вполне аддитивных вектор-функциях I.// Изв. РАН. Сер.
«Математика». Т. 3, N 6, 1940, с.465-478.
4.
Д.Б. Силин
Субдифференциалы выпуклых функций и интегралы от многозначных
отображений.// Вестник МГУ. Вычисл. Мат. И кибернетика N1, 1984, c.55-59.
5.
В.И. Благодатских
Задача управляемости для линейных систем.
// Тр.МИАН РАН. 1977, Т. 143, с. 57-67.
ЧИЗИҚЛИ ТИЗИМНИ СИЛЛИҚМАС ТЕРМИНАЛ МЕЗОН БЎЙИЧА ОПТИМАЛ
БОШҚАРИШ МАСАЛАСИ
Жуманов Камол Сайфуллаевич
Ўзбекистон Миллий университетининг
Жиззах филиали магистранти
Аннотация:
Ишда чизиқли динамик бошқарув тизимини силлиқмас терминал
функционал бўйича оптималлаштириш масаласи қаралади. Шу масалада оптималлик
шартлари ўрганилган. Оптимал бошқарув учун зарурий ва етарли шартлар олинган.
Калит сўзлар:
бошқарув тизими, терминал функционал, оптимал бошқарув,
оптималлик шартлари.
