342
9.
С.Н.Бернштейн. О наилучшем приближении непрерывных функций
посредством многочленов данной степени, Сообщ. Харьк. Математич. о-ва (2),13 (1912),
49-144 стр.
10.
И.И.Привалов. Интеграл Cauchy, Саратов, 1919.
11.
Jackson D., A generalized problem in weighted approximation, Trans. Amer.
Math. Soc., 26 (1924), 133-154.
IKKI OʻZGARUVCHILI FUNKSIYANING UZLUKSIZLIK MODULI
Musayev Abdumannon Ochilovich
Oʻzbekiston Milliy universitetining Jizzax filiali
―Amaliy matematika‖ kafedrasi dotsenti
Egamqulov Zafar Andaqulovich
Oʻzbekiston Milliy universitetining Jizzax filiali
―Amaliy matematika‖ yoʻnalishi magistranti
Annotatsiya:
Ushbu maqolada ikki o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizlik moduli
tushunchasi kiritilgan va uning ba‘zi xossalari o‘rganilgan.
Kalit so‘zlar:
Lipshis – Gyolder sinflari, funksiya uzluksizlik moduli, funksiyaning lokal
uzluksizlik moduli, nuqtaning – atrofi, ikki karrali maxsus integral.
1.
Gyolder shartini qanoatlantiruvchi funksiyalar
Odatda Koshi tipidagi integralni integrallash chizig‘ida o‘rganish uchun yordamchi
funksiyalar sinfi qaraladi.
argumenti haqiqiy yoki kompleks bo‘lgan
funksiya berilgan. Ma‘lumki, funksiya
uzluksiz bo‘lishi uchun,
yetarlicha kichik bo‘lganda
ni istalgancha
kichik qilib olinadi, boshqacha qilib aytganda argument va funksiyalarning orttirmalari bir
vaqtda nolga intiladi.
Bu ta‘rifda funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatining kichiklik tartibi
qaralmagan. Nisbatning tartibi har qanday bo‘lishi mumkin. Biroq, funksiyaning ko‘pgina
xossalari funksiya uzluksizlik modulining tartibi bilan bog‘liq. Suning uchun, uzluksiz
funksiyalar sinfi uzluksizlik modulining kichiklik tartibiga bog‘liq sinflarga ajratiladi.
Uzluksizlik moduli ko‘rsatkichli funksiya bo‘lganda argument orttirmasiga nisbatining
tartibi muhum funksiyalar sinfini aniqlaydi. Sunday funksiyalar sinfiga ta‘rif beramiz.
Uzluksizlik moduli klassik tushunchalardan bo‘lib, unng asosiy xossalari Valli Puassonning
monografiyasida keltirilgan (
).
- silliq chiziq va unda aniqlangan
funksiya berilgan.
Ta‘rif.
(
).
funksiya – chiziqda Gyolder shartini qanoatlantiradi deyiladi, agar
lar uchun
, (1)
tengsizligi bajarilsa, bu erda va lar musbat sonlar. -
Gyolder o‘zgarmasi
, - esa
Gyolder
ko‘rsatkichi
deyiladi.
Odatda Gyolder sharti qanoatlantiruvchi funksiyalar sinfi
kabi belgilanadi. Masalan,
Agar
bo‘lsa, u holda (1) dan
, bundan esa
. Shuning uchun
deb hisoblanadi. Agar
bo‘lsa, ya‘ni
shart Lipshis sharti deyiladi.
343
Agar
lar yetarlicha bir biriga yaqin bo‘lib, biror
ko‘rsatkich bo‘yicha Gyolder
sharti qanoatlantirsa, u holda barcha
lar uchun ham Gyolder sharti o‘rinli bo‘ladi.
Teskari xulosa o‘rinli emas. Suning uchun ham kichik ga kengroq funksiyalar sinfi mos keladi,
ya‘ni
bo‘lsa, u holda
bo‘ladi.
Shuning uchun, agar
funksiyalar mos ravishda
ko‘rsatkichlar bilan
Gyolder shartlarini qanoatlantirsa, u holda ularning yig‘indisi, ko‘paytmasi va maxraji nolga teng
bo‘lmaganda bo‘linmasi
ko‘rsatkich bilan Gyolder shartlarini qanoatlantiradi.
Agar
funksiya differensiallanuvchi va chekli hosilaga ega bo‘lsa, u holda bu
funksiya Lipshis shartini qanoatlantiradi. Umuman olganda, teskari mulohaza to‘g‘ri emas.
Masalan, haqiqiy sonlar o‘qida quyidagi funksiya berilgan:
funksiya Lipshis shartini qanoatlantiradi, lekin koordinata boshida hosilada ega
emas, chunki chap va o‘ng hosilalar mos ravishda +1 va -1 ga teng.
Gyolder shartlari tushunchasini ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar uchun ham kiritish
mumkin. Aniqlik uchun ikki o‘zgaruvchili funksiyalarni qaraymiz.
Ta‘rif.
funksiya Gyolder shartini qanoatlantiradi deyiladi, agar aniqlanish
sohasiga qarashli bo‘lgan ixtiyoriy
;
juftliklari uchun
(2)
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa. Bu erda
-musbat sonlar.
Bunday funksiyalar sinfini quyidagicha belgilaymiz:
Agar
bo‘lsa, u holda shunday musbat son topish mumkinki ular uchun
quyidagi tengsizlikni yozish mumkin:
(3)
va
egri chiziqlarning dekart ko‘paytmasidan hosil b‘lgan – to‘rni qaraymiz, ya‘ni
da argumentlari mos ravishda
va
Gyolder ko‘rsatkichli
funksiya
berilgan, ya‘ni
.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
(4)
(3) ni e‘tiborga olsak, u holda quyidagini hosil qilamiz:
(5)
(5) ning oxirgi ikki tengsizligidan
. (6)
Ta‘kidlaymizki
(7)
tenglik o‘rinli.
Quyidagi maxsus integrallarni qaraymiz:
344
Ma‘lumki,
va
maxsus integrallari Koshining bosh qiymat ma‘nosida mavjud.
Endi
karrali maxsus integralni aniqlaymiz. Buning uchun
tekisligida markazi
nuqtada radiusi
bo‘lgan aylana chizamiz va
ning shu aylana ichida
qolgan qismini bilan belgilaymiz.
Ta‘rif.
Agar
limit mavjud bo‘lsa, u holda
karrali maxsus integral Koshining bosh qiymat ma‘nosida
mavjud deyiladi
.
Agar
bo‘lsa, u holda (8) ning o‘ng tamonidagi
ni (7) ga
almashtirib (5), (6) e‘tiborga olsak
maxsus integral Koshining bosh qiymat ma‘nosida
mavjud bo‘ladi.
2.
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizlik moduli
va
egri chiziqlarning dekart ko‘paytmasidan hosil b‘lgan to‘rda aniqlangan
funksiya berilgan. Quyidagi ayirmalarni qaraymiz:
(9)
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
bu erda
(10) ni
funksiyaning
nuqtadagi lokal uzluksizlik moduli deb ataymiz.
(11) va (12) larni
funksiyaning
nuqtadagi aralash (yoki ajralgan) lokal uzluksizlik
moduli deb ataymiz. (7) ni quyidagicha yozib olamiz:
345
Buni e‘tiborga olsak, unda quyidagiga ega bo‘lamiz:
(13)
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizlik moduli haqidagi masalalar (
) larda
qaralgan.
Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:
12.
Vallee Poussin Ch., de la. Lecons sur l‘approximation des functions d‘une
variable reelie. Paris, 1919.
13.
Гахов Ф.Д., Краевые задачи, изд. ―Наука‖, Москва 1977, 638 стр.
14.
A.O.Mусаев, А.Абдулхаликов, Икки ўзгарувчили функциянинг локал
узлуксизлик модули ҳақида, ―Инновацион ғоя ва лойиҳаларни ишлаб чиқаришга тадбиқ
этиш муаммолари‖ мавзусидаги IV-Республика илмий-амалий конференцияси илмий
ишлар тўплами, Жиззах 2012, 218-219 бетлар.
15.
Баба-заде М.А., Сингулярный оператор по разомкнутому контуру в модулях
гладкости второго порядка, Уч.зап. МВ и ССО Аз.ССР, сер.физ.-мат. наук, 1977, 2, 13-22
стр.
PARAMETR QATNASHGAN TENGLAMALARNI GRAFIK USULDA YECHISH
Namazov Mirjalol Jo‗raqul o‗g‗li
O‗zbekiston Milliy universitetining Jizzax Filliali
―Amaliy matematika‖ kafedrasi o‗qituvchisi
Annotatsiya:
Akademik litsey ―Algebra va matematik analiz asoslari‖ kursidan yaxshi
ma‘lumki parameter qantashgan har qanday tenglamani oʻquvchilarimiz oʻzlashtirishda biroz
qiynalishadi. Bu muammoli savollarni oʻquvchilarimizga tushuntirish uchun grafik usuldan
foydalanib koʻrsatadigan boʻlsak, masala oddiyligini his qildirishimiz mumkin.
Kalit soʻzlar:
Parametr, tenglama, funksiya, umumiy yechim.
Masalan quyidagi misollarni koʻrib oʻtamiz:
1-misol.
parametr qatnashgan misolni ikkita funksiya grafigi
koʻrinishga keltirib olamiz,
dan
va
funksiyalarni
hosil qilib ularni bitta koordinatalar sistemasida tasvirlaymiz. Bu yerda
chiziq absissalar
oʻqiga parallel boʻladi.
I)
boʻlganda
hosil
boʻladi.
Bunda
OX
oʻqini
kesib
oʻtganda
ya‘ni
uchun funksiya nollari
va
boʻladi. OY oʻqini kesib oʻtganda
da
boʻladi.
II)
boʻlganda
hosil boʻladi. Bunda
OX
oʻqini
kesib
oʻtganda
ya‘ni
uchun funksiya nollari
va
boʻladi. OY oʻqini kesib oʻtganda
da
boʻladi.
