407
6.
Романов
В.А. Устойчивость
плоскопараллельного
течения
Куэтта
//
Функциональный анализ и его приложения. 1973. Т. 7. Вып. 2. С. 62-73.
ЗАДАЧА НАБЛЮДАЕМОСТА В ПРОЦЕССЕ ДИФФУЗИИ
Рустамов Махаммади Жабборович
Доцент Джиззакский филиал Национальный университет
имени Мирзо Улуғбека к.ф.м.н.
Иргашева Умида Абдимитал кизи
Магистрант Джиззакский филиал Национальный
университет имени Мирзо Улуғбека
Аннотация:
В статье рассматривается задача восстановления концентрации
процесса диффузии при помощи наблюдении концентрации в определенной точке.
Применением принципа дуализма задач управления и наблюдения вопрос сводится к
решению задач об условном экстремуме.
Ключевые слова:
восстановления, диффузия, концентрация, дуализм, управления,
наблюдения, экстремум, измерения, уравнения, точка, cопряженный оператор.
Задача автоматического управления технологическими процеccами предполагает
широкое использование ЭВМ c целью обработки текущей измерительной информации о
cоcтоянии конкретного процесса и выработки оптимальных оперативных управляющих
воздействий поэтой информации. По этому важной cоcтавной частью задачи управления
являетcя идентификации. В cтатъе на примере линейной модели управления нагревом
массивного тела [1] рассматривается задача восстановления распределения температуры
тела на оcнове измерения в отделъных точках поверхноcти тела. Применением принципа
дуальности задач управления и наблюдения проводится к решению задач об условном
экстремуме.
1.
Задача об определении распределения температуры в нагреваемом ―стержне‖
по наблюдению изменения температуры в отдельной его точке.
Рассмотрим нагрев бесконечной однородной пластины конечной толщины S=1 в
предположении, что начальная ттемпература пластины и процесс нагрева проходят
идентично по толщине. Тогда достаточно анализировать ход процесса в некотором
―стержне‖, рассположенном в пластине ортогонально его боковой поверхности [1]. Пусть
распределение температуры по толщине пластины (0<Х<1) и во времени t (0<t< )
описывается функцией Т(
х,t
), определяемой в прямоугольнике П=((0;1)
, где
-фиксированное число. Внутри отрезка [0;1] и при
t
>0 распределение температуры
Т(
х;t
) подчиняется уравнению теплопроводности.
Здесь а - коэффициент температура проводности.
На концах ―стержня‖ приняты следующие условия теплопередачи:
t
[0; ]
,
t
[0; ] (2)
где
— коэффициент теплопроводности,
— коэффициент теплообмена между
греющей средой, соответcтвенно c одной стороны, плитой. Левый конец пластины х=0 –
теплиозолирован. Температуру греющей среды U(т) назовем управляющим воздейcтвием
408
или просто управлением. Для того, чтобы решение уравнения (1), (2) было однозначно
определено, достаточно еще задать конечное или начальное распределение температуры
Т(
х;
0) или Т(
х
;
Однако, непосредcтвенно приборами такое распределение
температуры точно определить можно далеко навсегда. В процессе нагрева имеетcя
возможность измерять изменения температуры в некоторых точках нагреваемого тела х =
. Задача определения распределения температуры ―стержня‖ на данный момент по
известному изменению температуры Т
в точке х = . и законом теплопередачи (1)-
(2) составляет предмет задачи идентификации (определения) процесса нагрева,
рассматриваемой ниже.
Функцию y(t), связанную c распределением температуры Т(х, ) соотношенением
y(t) = Т( ,t) ,
(3)
назовем измеряемой величиной процесса нагрева.
Задача 1. По функции y(т), константам ,
и соотношениям (1)-(3) определить Т(
),
[0.1] .
Пусть (х)
(0.1) -некоторая заданная функция.
Задача 2. В условиях задачи 1 найти величину (проекцию)
=
(х) Т( ,t) dх
(4)
Понятно, что решение задачи 2 при различных функциях
q
=
(х), и= 1,2 ,…..
составляющих базис пространства
(0,1), позволит найти функцию Т(
) по
проекциям (4) как элемент
(0,1).
Поэтому далее будем рассматривать только задачу 2.
2.
Условия идентифицируемости проекции
Будем искать величину (4) в виде [4]
=
(5)
Где К(т) и
искомая функсия из
(0, ). Следуя известной технике теории
наблюдаемосты в линейных задачах [2,3], выберем линейный функционал (К, ),так,
чтобы при связи (1) - (3) выполнялось тождество
(6)
На решениях уравнения (1) образуем тождество
0
(7)
Здесь
произвольная функция
П={[(0, ) (0, )] [(
) (0, )]}.
Добавим гипотетическое тождество (6) к соотношению (7) и, пользуясь
интегрированием по частям c учетом (2), (3) [5,6]
Теперь в полученное вражения приравняем коэффициенты при Т(х,t) в левой и правой
части. Это дает соотношение для
(х,t): [7,8]
(9)
(10)
(11)
409
(12)
(13)
(14)
Итак, для функции
получена краевая задача (9)-(
Пусть она имеет решение
при некоторой функции (т) .Тогда в тождестве (8) остается
Отсюда заключаем: для того, чтобы выполнялось соотношение (6) при связях (1)-(3) и
любом управлении
достаточно
=
(15)
Итак, установлена
Tеорема: Для того, чтобы имело место тождество (6) при связях (1)-(3) достаточно, чтобы
существовало решение краевой задачи (9)-
.
При этом функции К(т) и
в (6) определяются решением этой задачи по связям (12)-
(15).
ЛИТЕРАТУРЫ:
1.
Бутковский А.Г. теория оптимального управления системами с распределѐнными
параметрами. М., 1965г.
2.
Красовский Н.Н. Теория управления движением. 1968.
3.
Иванов А.П., Кирин Н.Е., методом наблюдения линейных возмущаемых систем.
Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. №5.
4.
Исраилов И., Кирин М.Е., Рустамов М.Д. Задачи ….. процесса нагрева. ……
Вопросы вычислительной и прикладной математики Ташкент. 1988, вып 84, - 166с.
5.
Задача наблюдаемости процесса диффузии. Молодой ученный.
Ежегодный научный журнал М.,№19(78) 2-ноябр.2014
6. М.Рустамов. Нуқтада иссиқлик ўзгаришини ўлчаш натижасида берилган
нуқтадаги иссиқлик ўзгаришини аниқлаш усули.Cамду конференция 2019-йил декабр.
7.
М.Рустамов. Распределения температуры в однородной пластинке.IX-
Международная научно-практическая интернет-конференция. Актуальные научные
иcследования современном мире. 26-27 января 2016 г. выпуск-9 часть 6 Переяслав –
Хмельницкий.
8. М.Рустамов. Задача восстановления изменение температури по косвенным
наблюдениям. Международный Центр науч. сотруд-Наука и просвещение‘ г. Пенза 2019 г.
15-декабр.
OTA-ONA LIDERLIGINING FARZAND TARBIYASIDAGI AXAMIYATI
Abduaxatova Mehribonu Toʻlqinjon qizi
Oʻzbekiston Milliy universitetining Jizzax filiali
«Psixologiya» fakulteti magistranti
Bosimov Bobur Ismatilla oʻgʻli
Oʻzbekiston Milliy unversitetining Jizzax filiali
«Psixologiya» kafedrasi magistranti
