Page 138
CENTRAL ASIAN JOURNAL OF EDUCATION
AND INNOVATION
IF = 5.281
Volume 4, Issue 04,April 2025
www.in-academy.uz
ANIQ INTEGRAL VA UNING IQTISODIYOTDA
QO’LLANILISHI VA SHU MAVZUGA OID BA’ZI MISOLLAR
A.Pirimov
NDKTU Oliy matematika va Infarmatika kafedrasi dotsenti
Z.Ochilov
NDKTY KMF iqtisodioyot yo’nalishi 1-kurs talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15278844
ARTICLE INFO
ABSTRACT
Qabul qilindi: 20-Aprel 2025 yil
Ma’qullandi: 23- Aprel 2025 yil
Nashr qilindi: 25- Aprel 2025 yil
Aniq integral usullari amaliy masalalarni hal qilishda
keng qo‘llaniladi. Ushbu maqolada geometriya, fizika,
iqtisodiyot kabi sohalardagi masalalarni hal qilish
usullari muhokama qilinadi. Ba’zi ma’lum integral
hisoblash usullarini o‘zlashtirish hayotdagi amaliy
masalalarni hal qilishga yordam beradi. Ushbu bir
nechta oddiy misollardan ko‘rish mumkinki, aniq
integral yordamida amaliy masalalarni hal qilishning
eng muhim jihati masalani raqamlashtirish, matematik
nazariya yordamida formulani yozib chiqish va oxir-
oqibat integral printsipiga asoslanib natijalarni
hisoblashdir.
KEY WORDS
aniq integral, quyi chegara, yuqori
chegara,
hisoblash
usullari,
iqtisodiyotda qo’llanishi
Aniq integral
- matematik analizning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, u
funksiyaning berilgan oraliqdagi umu yig‘indisini hisoblash uchun qo‘llaniladi. Aniq integral
yordamida yuzalar, hajmlar, fizik va iqtisodiy miqdorlarni hisoblash mumkin.
Aniq integral -
Geometrik nuqtai nazardan, yuqoridan integral ostidagi funksiya
f(x)
grafigi, quyidan
Ox
o’qi va yon tomonlaridan
x=a
va
x=b
vertical to’g’ri chiziqlar grafiglari
bilan chegaralangan sohaning yuzini ifodalaydi va u
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
kabi belgilanadi, f(x) – berilgan funksiya, [a,b] – integrallash oralig’i, dx –
differensial element, ya’ni kichik o‘zgarishlar bo‘lib, funksiyaning aniq qiymatini yig‘ish uchun
ishlatiladi.
Differensial element usuli –
uzluksiz jarayonlarni mayda qismlarga bo‘lib, ularning
har birini alohida tahlil qilish va yig‘indisini integral orqali ifodalash usulidir. Ushbu usul
matematik analiz, fizika, muhandislik va iqtisodiyotda turli jarayonlarni modellashtirish va
hisoblashda keng qo‘llaniladi.
Aniq integralning iqtisodda qo‘llanilishi-
Aniq integral iqtisodiyotda turli jarayonlarni
tahlil qilish, optimallashtirish va bashorat qilish uchun keng qo‘llaniladi. U uzluksiz o‘zgarib
boradigan miqdorlarni hisoblash va yig‘indilarni aniq aniqlash imkonini beradi. Quyida aniq
integralning iqtisodiyotdagi asosiy qo‘llanilish yo‘nalishlari keltirilgan:
1.
Umumiy daromad va xarajatlarni hisoblash
2.
Talab va taklif elastikligini aniqlash
3.
Ishlab chiqarish hajmi va samaradorlik tahlili
4.
Tahlil va rejalashtirish jarayonlari
Ushbu maqolada aniq integralni hisoblashga doir ba’zi misollarni ko’rib chiqamiz.
Page 139
CENTRAL ASIAN JOURNAL OF EDUCATION
AND INNOVATION
IF = 5.281
Volume 4, Issue 04,April 2025
www.in-academy.uz
1-misol.
2
2
12
1
x
dx
x x
ekanligini isbotlaymiz. Va undan foydalanib berilgan integralni
yuqori chegarasini topamiz.
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2
1
x
xdx
tdt
dx
x
t
x x
xdx
tdt x
x t
x
x
t
x t
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
( )
1
1
t
t
t
tdt
dt
dt
x
arctg t
x t
x
t
2
2
1
1
1
4
12
arctg x
arctg
arctg x
2
3
1
12
12
arctg x
2
1
3
3
x
tg
2
2
1
2
1
3
4
2
2
x
x
x
x
Javob: x=2
2-Misol
∫
𝑑𝑥
√𝑒
𝑥
−1
=
𝜋
6
𝑥
ln 2
ekanligini isbotlaymiz. Va undan foydalanib berilgan integralni
yuqori chegarasini topamiz.
∫
𝑑𝑥
√𝑒
𝑥
−1
=
𝑥
ln 2
Page 140
CENTRAL ASIAN JOURNAL OF EDUCATION
AND INNOVATION
IF = 5.281
Volume 4, Issue 04,April 2025
www.in-academy.uz
|
𝑒
𝑥
− 1 = 𝑦
2
𝑒
𝑥
= 1 + 𝑦
2
𝑥 ln 𝑒 = ln(1 + 𝑦
2
),
𝑥 = ln(1 + 𝑦
2
) , 𝑑𝑥 =
1
1+𝑦
2
2𝑦 𝑑𝑦
| |
𝑥 = ln 2
2 − 1 =
𝑦
2
= 1
𝑦
2
𝑥 = 𝑥 𝑔𝑎
𝑦 = √𝑒
𝑥
− 1| =
= 2 ∫
𝑦 𝑑𝑦
(1+𝑦
2
)𝑦
=
√𝑒
𝑥
−1
1
2 ∫
𝑑𝑦
(1+𝑦
2
)
= 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦
√𝑒
𝑥
−1
1
|
𝑒
𝑥
− 1
1
=
=2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑒
𝑥
− 1) − 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1 =
𝜋
6
; 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑒
𝑥
− 1) =
𝜋
6
+ 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1 =
𝜋
6
+ 2
𝜋
4
=
4𝜋
6
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑒
𝑥
− 1) =
2𝜋
3
; tg(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑒
𝑥
− 1)) = 𝑡𝑔 (
2𝜋
3
) ; (𝑒
𝑥
− 1) = 𝑡𝑔(
𝜋
6
+
𝜋
2
)
=ctg
𝜋
6
𝑒
𝑥
= √3
,
𝑥 = ln √3
Aniq integralni iqtisodiy masalalarni yechishda qo’llanilishi
Soliq tushumlarini hisoblash
Bir mamlakatda muayyan vaqt davomida iste'mol darajasi D(t) va unga mos tushum solig‘i
stavkasi R(t) berilgan bo‘lsa, jami soliq tushumini aniq integral yordamida topish mumkin.
D(t)=500+200t, R(t)=0.1+0.02t,
𝑇 = ∫ 𝐷(𝑡) ∗ 𝑅(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ (50 + 30𝑡 + 4𝑡
2
)𝑑𝑡 = 50𝑡 + 15𝑡
2
+
4
3
5
0
5
0
𝑡
3
|
5
0
𝑇(5) = 50 ∗ 5 + 15 ∗ 5
2
+
4
3
∗ 5
2
= 250
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Xurramov Sh. R. Amaliy matematika.1,2-qism. – Toshkent: “Tafakkur” nashriyoti, 2018.
2.
Claudio Canuto, Anita Tabacco. Mathematical Analysis I, II. Springer-Verlag Italia, Milan
2015, 275 bet
3.
Beknazarova N.R., Jumayev X.N. Matematik programmalashtirish va optimallashtirish
usullari. –T.; Iqtisodiyot, 2010 y, -170 b.
4.
Xolmurodov E., Yusupov A.I., Aliqulov T.A. Amaliy matematika. 1,2,3-qismlar. –Toshkent:
“NEXT MEDIA GROUP”, 2017
