ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-72
Часть–3_ июня–2025
90
2181-
3187
CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISH USULLARI VA
ULARNING IQTISODIYOTDA QO‘LLANILISHI
Mahlarchaxon Isakova Mahamadaliyevna
(
Marg’ilon iqtisodiyot va servis texnikumida
matematika fani o’qituvchisi)
Annotatsiya. Ushbu maqolada chiziqli tenglamalar sistemasini
yechishning asosiy usullari – matritsa usuli, Kramer qoidasi va Gauss
eliminatsiya usuli yoritilgan. Shuningdek, bu usullarning iqtisodiyotdagi
qo‘llanilishi – xomashyo taqsimoti, bozor muvozanati va Leontyevning input–
output modellari misolida tahlil qilingan.
Kalit so‘zlar: chiziqli tenglama, matritsa usuli, Kramer qoidasi, Gauss
usuli, iqtisodiy modellashtirish, Leontyev modeli, resurs taqsimoti, input-output.
Abstract.
This article discusses the main methods for solving systems of linear
equations - the matrix method, Cramer's rule, and the Gauss elimination method. The
application of these methods in economics is also analyzed using the example of raw
material allocation, market equilibrium, and Leontiev's input–output models.
Keywords:
linear equation, matrix method, Cramer's rule, Gauss method,
economic modeling, Leontiev model, resource allocation, input–output.
Kirish
Zamonaviy iqtisodiyotda matematik modellashtirish muhim o‘rin egallaydi.
Ayniqsa, turli sohalarda ko‘plab qarorlar chiziqli munosabatlar asosida quriladi.
Bunday holatlarda chiziqli tenglamalar sistemasidan foydalaniladi. Chiziqli
tenglamalarni yechish usullari – bu nafaqat matematik hisob-kitoblar, balki iqtisodiy
tahlillar, rejalashtirish va prognozlashda qo‘llaniladigan asosiy vositalardandir.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-72
Часть–3_ июня–2025
91
2181-
3187
1. Chiziqli tenglamalar sistemasi tushunchasi
Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:
a11x1
+
a12x2
+
...
+
a1nxn
=
b1
a21x1
+
a22x2
+
...
+
a2nxn
=
b2
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
2. Yechish usullari
2.1 Matritsa usuli
Chiziqli sistemani matritsa ko‘rinishida quyidagicha ifodalash mumkin:
AX
=
B
Agar det(A) ≠ 0 bo‘lsa, u holda teskari matritsa mavjud va yechim X = A⁻¹B
ko‘rinishida topiladi.
2.2 Kramer usuli
Kichik o‘lchamli sistemalar uchun ishlatiladi. Har bir noma’lum uchun
determinanti hisoblanadi va x_i = D_i / D formulasidan foydalaniladi.
2.3 Gauss usuli
Ustunli matritsa ko‘rinishiga keltirilib, soddalashtiriladi. Keyin orqaga hisoblash
orqali noma’lumlar topiladi.
3. Iqtisodiyotda qo‘llanilishi
3.1 Resurslarni optimal taqsimlash
Xomashyo va ishlab chiqarish imkoniyatlarini modellashtirishda ishlatiladi.
Resurslar cheklangan bo‘lsa, qanday qilib maksimal daromadga erishish chiziqli
tenglamalar orqali aniqlanadi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-72
Часть–3_ июня–2025
92
2181-
3187
3.2 Leontyev input–output modeli
Har bir tarmoq boshqa tarmoqlardan mahsulot oladi. Model: X = AX + D => (I -
A)X = D ko‘rinishida yoziladi.
3.3 Bozor muvozanati
Talab va taklif teng bo‘lgan holatlarda narx va miqdorlar chiziqli tenglamalar
orqali topiladi.
4.Adabiyotlar tahlili va natijalar
Chiziqli tenglamalar sistemasini iqtisodiyotda qo‘llashga oid ko‘plab ilmiy
manbalar mavjud. Ulardan ayrimlarini tahlil qilamiz:
Chiang va Wainwright (2005)
o‘zlarining “Fundamental Methods of
Mathematical Economics” asarida chiziqli tenglamalarning iqtisodiy modellarga
tatbiqini chuqur tahlil qilgan. Ular ayniqsa, matritsa usulining resurs taqsimoti, ishlab
chiqarish rejalashtirish va iste’mol funksiyalarini hisoblashdagi o‘rnini ko‘rsatib
berganlar.
Leontief (1986)
tomonidan ishlab chiqilgan input–output modeli chiziqli
tenglamalar tizimiga asoslangan bo‘lib, bu model milliy iqtisodiyotdagi tarmoqlararo
munosabatlarni matematik asosda ifodalaydi. Leontief modeli real statistik
ma’lumotlarga tayanib iqtisodiy tizimdagi bog‘liqliklarni aniqlash imkonini beradi.
Sydykov (2010)
o‘z asarida O‘zbekiston iqtisodiyoti sharoitida chiziqli
modellashtirish usullarini qo‘llash amaliyotini yoritgan. Muallif Kramer va Gauss
usullarini kichik va o‘rta korxonalarda boshqaruv qarorlarini qabul qilishda qo‘llash
mumkinligini ta’kidlaydi.
Anton va Rorres (2014)
asarida esa matematik asoslar chuqur bayon qilingan
bo‘lib, ular orqali chiziqli tenglamalarni yechish algoritmlarini aniq matematik asosda
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-72
Часть–3_ июня–2025
93
2181-
3187
o‘rganish mumkin. Ayniqsa, Gauss usulining samaradorligi va kompyuter dasturlari
orqali avtomatlashtirish imkoniyatlari ko‘rsatib berilgan.
Ushbu adabiyotlar iqtisodiy modellashtirishda chiziqli tenglamalar tizimi hal
qiluvchi vosita ekanini, ular orqali murakkab iqtisodiy muammolarni tahlil qilish
mumkinligini ko‘rsatadi.
O‘tkazilgan tahlillar asosida quyidagi
asosiy ilmiy va amaliy natijalarga
erishildi:
1.
Chiziqli tenglamalar sistemasi
iqtisodiyotda keng ko‘lamli
vazifalarni – resurslar taqsimoti, ishlab chiqarish hajmini rejalashtirish, bozor
muvozanatini topish, tarmoqlararo bog‘liqliklarni aniqlash kabi masalalarni
yechishda muhim vosita ekanligi aniqlandi.
2.
Matritsa usuli
– katta o‘lchamli tizimlarni hisoblashda qulay
bo‘lib, ayniqsa kompyuter yordamida avtomatlashtirilgan iqtisodiy
modellashtirishda samarali.
3.
Kramer usuli
– kichik o‘lchamli sistemalarda tez va aniq yechim
olish imkonini beradi. Ayniqsa, resurslar soni noma’lumlar soniga teng bo‘lgan
holatlarda juda qulay.
4.
Gauss usuli
– eng universal usullardan biri bo‘lib, soddalashtirish
orqali murakkab tizimlarni ham bosqichma-bosqich yechishga imkon beradi. Bu
usul iqtisodiy prognozlash va optimallashtirish masalalarida samarali
qo‘llaniladi.
5.
Iqtisodiyotdagi qo‘llanilish sohalari
– Leontyev modeli orqali
tarmoqlararo aloqalarni tahlil qilish, sanoat va xizmat ko‘rsatish sohalarida
ishlab chiqarishni optimallashtirish, logistika va ta’minot zanjirlarini
modellashtirishda keng qo‘llanilishi aniqlandi.
6.
O‘zbekistonda ham bu usullar iqtisodiy rejalashtirishda, xususan
Davlat investitsiya dasturlarini baholash, sektorlararo aloqalarni tahlil qilish va
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-72
Часть–3_ июня–2025
94
2181-
3187
samarali byudjet taqsimoti kabi masalalarda qo‘llanilishi mumkinligi asoslab
berildi.
Xulosa
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari – matritsa, Kramer va Gauss –
iqtisodiy modellashtirishda keng qo‘llaniladi. Ular yordamida resurs taqsimoti, ishlab
chiqarish rejalashtirish va bozor muvozanatini aniqlash mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Chiang, A.C. and Wainwright, K. (2005). *Fundamental Methods of Mathematical
Economics*.
4th
ed.
McGraw-Hill
Education.
2.Leontief, W. (1986). *Input-Output Economics*. 2nd ed. Oxford University Press.
3. Sydykov, B. (2010). *Iqtisodiy modellashtirish asoslari*. Toshkent: Iqtisodiyot.
4. Anton, H. and Rorres, C. (2014). *Elementary Linear Algebra: Applications
Version*. 11th ed. Wiley.
