ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
81
2181-3187
ODDIY
DIFFYERENSIAL
TENGLAMALAR U
CHUN QO‘
YILGAN
CHEGARAVIY
MASALALARNI
YECHISHNING SONLI
USULLARI.
Axrorjon.Ismoilov
FarDU,Amaliy matematika va informatika
kafedrasi katta o'qituvchisi.
Fizika-matematika fanlari bo'yicha falsafa doktori(PhD)
E-mail:
ismoilovaxrorjon@yandex.com
Abdug’aforov Dilyorbek Dilshodjon zoda
Farg‘ona Davlat Universiteti Amaliy matematika
yo‘nalishi 3-kurs talabasi 22-08-guruh talabasi
E-mail:
abdugaforov02@bk.ru
Annotatsiya
Maqolada oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechishda
qo‘llaniladigan sonli usullar, xususan, Eylyer usuli va Runge-Kutta usuli haqida so‘z
yuritiladi. Ushbu usullarning matematik asoslari, qo‘llanilishi va amaliy masalalarni
yechishda jadval ko‘rinishida echim olishning qulayliklari tahlil qilinadi. Eylyer
usulining geometrik ma’nosi va Runge-Kutta usulining yuqori aniqlik darajasi misollar
orqali ko‘rsatiladi. Har bir usulning hisoblash jarayoni, boshlang‘ich shartlari va
integrallash qadami tushuntiriladi.
Kalit so’zlar:
Noma`lum koeffitsientlar, koeffitsientlarni topish, eylyer usuli,
Runge-Kutta usuli, boshlang’ich shart, funktsiyaning orttirmasi.
Аннотация
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
82
2181-3187
В статье рассматриваются численные методы решения краевых задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности, метод Эйлера и
метод Рунге-Кутты. Анализируются математические основы этих методов, их
применение и преимущества табличного представления решений при решении
практических задач. Геометрический смысл метода Эйлера и высокая точность
метода Рунге-Кутты демонстрируются на примерах. Подробно объясняются
вычислительные процессы каждого метода, начальные условия и шаг
интегрирования.
Ключевые
слова: Неопределенные
коэффициенты,
нахождение
коэффициентов, метод Эйлера, метод Рунге-Кутты, начальное условие,
приращение функции.
Annotation
The article discusses numerical methods for solving boundary value problems of
ordinary differential equations, particularly the Euler method and the Runge-Kutta
method. The mathematical foundations of these methods, their applications, and the
advantages of obtaining solutions in tabular form for practical problems are analyzed.
The geometric interpretation of the Euler method and the high accuracy of the Runge-
Kutta method are illustrated with examples. The computational process of each
method, initial conditions, and integration step are explained in detail.
Keywords:
Undetermined coefficients, finding coefficients, Euler method, Rung-
Kutta method, initial condition, function increment
Kirish
EYLYER USULI.
Yuqorida ko`rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo`lib, bu
hollarda echimlar analitik (formula) ko`rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan
echimning aniqlik darajasi haqida fikr yuritish birmuncha murakkab bo`ladi. Masalan,
ketma – ket diffyerentsiallash usulini qo`llaganda qatorning juda ko`p hadlarini
hisoblashga to`g’ri keladi va ko`p hollarda bu qatorning umumiy hadini aniqlab
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
83
2181-3187
bo`lmaydi. Pikar algoritmini qo`llaganimizda esa, juda ko`p murakab integrallarni
hisoblashga to`g’ri keladi va ko`p hollarda integral ostidagi funktsiyalar elementar
funktsiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni yechishda echimlarni formula
ko`rinishida emas, balki jadval ko`rinishida olish qulay bo`ladi. Diffyerenuial
tenglamalarni raqamli usullar bilan echganda echimlar jadval ko`rinishida olinadi.
Amaliy masalalarni yechishda ko`p qo`llaniladigan eylyer va Runge – Kutta usullarini
ko`rib chiqamiz.
Eylyer usuli.
Quyidagi
)
,
(
'
y
x
f
y
=
(1)
birinchi tartibli diffyerentsial tenglamaning [a,b] kesmada boshlang’ich shart
x=x
0
bo`lgan hol uchun
y=y
0
ni qanoatlantiruvchi echimi topilishi lozim bo`lsin. [a,b]
kesmani
x
0
,
x
1
,
x
2
,…,
x
n
nuqtalar bilan n ta teng bo`lakchalarga ajratamiz; bunda
ih
x
х
i
+
=
0
(
i
= 0,1,2,…
n
),
n
a
b
h
−
=
- qadam.
(1) tenglamani [a,b] kesmaga tegishli bo`lgan biror [x
k
, x
k+1
] kesmada
integrallasak,
k
k
k
k
x
x
x
x
x
x
y
y
x
y
x
y
x
y
dx
y
dx
y
x
f
k
k
k
k
k
k
−
=
−
=
=
=
+
+
+
+
+
1
1
)
(
)
(
|
)
(
'
)
,
(
1
1
1
ya`ni,
+
+
=
+
1
)
,
(
1
k
k
x
x
k
k
dx
y
x
f
y
y
(2)
Bu yerda integral ostidagi funktsiyani
x=x
k
nuqtada boshlang’ich o`zgarmas
qiymatiga teng deb qabul qilinsa, quyidagini hosil qilamiz:
h
y
x
x
y
x
f
x
y
x
f
dx
y
x
f
k
k
k
k
k
x
x
x
x
k
k
k
k
k
k
=
−
=
=
+
+
+
'
1
)
(
)
,
(
|
)
,
(
)
,
(
1
1
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
84
2181-3187
U holda (2) dan
h
y
y
y
k
k
k
'
1
+
=
+
(3)
k
k
k
y
y
y
=
−
+
1
ya`ni
k
k
y
h
y
=
'
deb belgilasak,
k
k
k
y
y
y
+
=
+
1
(4)
Ushbu jarayonni [a,b] ga tegishli bo`lgan har bir kesmacha uchun takrorlab, (1)
ning echimini ifodalovchi jadvalini to`zamiz. eylyer usulining geometrik ma`nosi
shundayki, bunda (1) ning echimini ifodalovchi integral egri chiziq siniq (II) chiziqlar
bilan almashtiriladi (1 - rasm).
1 – rasm
Quyidagi tizim
=
=
)
,
,
(
'
)
,
,
(
'
2
1
z
y
x
f
z
z
y
x
f
y
(5)
uchun
x=x
0
da
y=y
0
,
z=z
0
(6)
x
0
y
x
0
x
1
x
2
x
3
x
n-1
x
4
y
0
- II
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
85
2181-3187
boshlang’ich shart byerilgan. (5) ning taqribiy echimlari quyidagi formulalar
orqali topiladi:
i
i
i
i
i
i
z
z
z
y
y
y
+
=
+
=
+
+
1
1
,
bu yerda
,...)
2
,
1
,
0
(
)
,
,
(
);
,
,
(
2
1
=
=
=
i
z
y
x
hf
z
z
y
x
hf
y
i
i
i
i
i
i
i
i
Misol.
eylyer usuli yordamida
у
х
у
у
2
−
=
diffyerentsial tenglamaning
[0,1] kesmada olingan va
u
(0)
=
1 boshlang’ich shartni qanotlantiruvchi
u(x)
echimining taqribiy qiymatlarini
h
=0,2 qadam bilan toping.
Yechish
:
2
,
0
,
1
,
0
,
1
,
0
;
2
)
,
(
0
0
=
=
=
=
=
−
=
h
y
x
b
a
y
x
y
y
x
f
Quyidagi hisoblash jadvalini to`zamiz.
1- qator .
i
=0,
0000
,
1
,
0
0
0
=
=
y
x
2000
,
1
2
,
0
1
;
0
,
2000
,
0
1
*
2
,
0
)
,
(
0000
,
1
1
0
*
2
1
2
)
,
(
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
=
+
=
+
=
=
+
=
=
=
=
=
−
=
−
=
+
y
y
y
i
y
y
y
y
x
hf
y
y
x
y
y
x
f
i
i
i
2
-
qator.
i
=1 ,
;
2000
,
1
;
2
,
0
2
,
0
0
1
1
=
=
+
=
y
x
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
86
2181-3187
3733
,
1
1733
,
0
2
,
1
1733
,
0
8667
,
0
*
2
,
0
)
,
(
8667
,
0
2
,
1
2
,
0
*
2
2
,
1
2
)
,
(
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
=
+
=
+
=
=
=
=
=
−
=
−
=
y
y
y
y
x
hf
y
y
x
y
y
x
f
va xakazo
i
=2,3,4,5lar uchun hisoblanadi.
i
i
x
i
y
;
2
)
,
(
i
i
i
i
i
y
x
y
y
x
f
−
=
)
,
(
i
i
i
y
x
hf
y
=
0
0,1
1,0000
1,0000
0,200
1
0,2
1,2000
0,8667
0,1733
2
0,4
1,3733
0,7908
0,1582
3
0,6
1,5315
0,7480
0,1496
4
0,8
1,6811
0,7293
0,1459
5
1,0
1,8270
RUNGE-KUTTA USULI
Runge - Kutta usuli ko`p jihatdan Eylyer usuliga o`xshash, ammo aniqlik
darajasi eylyer usuliga nisbatan yuqori bo`lgan usullardan biridir.
Runge-Kutta usuli bilan amaliy masalalarni yechish juda qulay. CHunki, bu usul
orqali noma`lum funktsiyaning
x
i+1
dagi qiymatini topish uchun uning
x
i
dagi qiymati
aniq bo`lishi etarlidir. Runge-Kutta usuli uning aniqlash darajasiga ko`ra bir necha
turlarga bo`linadi. Shulardan amaliyotda eng ko`p qo`llaniladigani to`rtinchi daraja
aniqlikdagi Runge-Kutta usulidir.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
87
2181-3187
Birinchi tartibli
y=f(x,y)
diffyerentsial tenglama uchun
x=x
i
(
i=0,1,2,…n
)
y=y
i
ma`lum bo`lsin. Bu yerda
y
i
boshlang’ich shart ma`nosida bo`lmasligi ham mumkin.
Noma`lum funktsiya
y
ning
x=x
i+1
dagi qiymati
y
i+1
=y
i+1
(x)
ni topish uchun quyidagi
ketma-ket hisoblash jarayonini amalga oshirmoq lozim bo`ladi:
+
+
+
=
+
=
+
=
+
+
],
2
2
[
6
1
,
,
)
(
4
)
(
3
)
(
2
)
(
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Q
Q
Q
Q
y
y
y
y
h
x
x
(7)
bu yerda
),
,
(
),
2
,
2
(
),
2
,
2
(
),
,
(
)
(
3
)
(
4
)
(
2
)
(
3
)
(
1
)
(
2
)
(
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Q
y
h
x
hf
Q
Q
y
h
x
hf
Q
Q
y
h
x
hf
Q
y
x
hf
Q
+
+
=
+
+
=
+
+
=
=
(8)
i
=0,1,2,…,
n
-1,
n
a
b
h
−
=
- integrallash qadami.
Tenglamaning echimi qidirilayotgan [a,b] kesma
ih
x
x
i
+
=
0
(i=0,1,2,…,n)
nuqtalar bilan o`zaro teng n ta bo`lakka bo`lingan.
i
ning ha bir qiymati uchun (7) va
(8) dagi amallarni bajaramiz va noma`lum funktsiya
y
ning qiymatlarini (tenglamaning
echimini) quyidagi formuladan topamiz:
)
,...,
2
,
1
,
0
(
1
n
i
y
y
y
i
i
i
=
+
=
+
(9)
Misol:
Runge-Kutta usuli bilan
)
5
cos(
y
x
y
+
=
tenglamaning [1,8; 2,8]
kesmada aniqlangan va
u(
1,8
)=
2,6 boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi echimini
h
=0,1 qadam bilan hisoblang.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
88
2181-3187
Yechish:
f
(
x
,
y
)=
x
+
c
o
s
(
6
,
2
;
8
,
1
);
5
0
0
=
=
y
x
y
,
,
6
,
2
;
8
,
1
;
0
,
10
;
1
,
0
;
8
,
2
;
8
,
1
;
1
,
0
0
0
=
=
=
=
=
−
=
=
=
=
y
x
i
n
n
a
b
h
b
a
h
=
+
=
=
)
5
cos(
1
,
0
)
,
(
0
0
0
0
)
0
(
1
y
x
y
x
hf
Q
2196
,
0
,
2012
,
0
)
7098
,
2
;
85
,
1
(
*
1
,
0
)
2
,
2
(
)
0
(
1
0
0
0
2
=
=
+
+
=
f
Q
y
h
x
hf
Q
,
2205
,
0
)
7006
,
2
;
85
,
1
(
*
1
,
0
)
2
,
2
(
)
0
(
2
0
0
)
0
(
3
=
=
+
+
=
f
Q
y
h
x
hf
Q
,
0408
,
3
;
0259
,
2
;
9
,
1
;
1
,
0259
,
2
]
2
[
6
1
,
2927
,
0
)
6099
,
2
;
9
,
1
(
*
1
,
0
)
,
(
2
1
1
)
0
(
4
)
0
(
2
)
0
(
1
0
1
)
0
(
3
0
0
)
0
(
4
=
=
=
=
=
+
+
+
=
=
=
+
+
=
y
y
x
i
Q
Q
Q
y
y
f
Q
y
h
x
hf
Q
va hokazo.
Qiymatlar jadvali
i
0
1
2
3
4
5
i
x
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,
3
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
89
2181-3187
i
y
2,6
2,0
259
3,0
408
3,2
519
3,4
861
3,
4861
I
6
7
8
9
10
i
x
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
i
y
3,9
260
4,1
478
4,3
700
4,5
971
4,9
172
Xulosa
Maqola oddiy differensial tenglamalarni sonli usullar yordamida yechishning
amaliy va nazariy jihatlarini yoritadi. Eylyer usuli integral egri chiziqni siniq chiziqlar
bilan taqribiy ifodalashga asoslangan bo‘lib, soddaligi bilan ajralib turadi. Runge-Kutta
usuli, xususan, to‘rtinchi darajali aniqlikdagi versiyasi, Eylyer usuliga nisbatan yuqori
aniqlik va qulaylikni ta’minlaydi. Har ikki usulning hisoblash jarayonlari misollar
orqali tahlil qilinib, ularning amaliy masalalarni jadval ko‘rinishida yechishdagi
afzalliklari ta’kidlanadi. Maqola hisoblash matematikasi sohasida sonli usullarni
qo‘llash bo‘yicha muhim ma’lumotlarni taqdim etadi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO`YXATI
1.
Isroilov M. «Hisoblash metodlari», T., "O`zbekiston", 2003
2.
Shoxamidov Sh.Sh. «Amaliy matematika unsurlari», T., "O`zbekiston",
1997
3.
Boyzoqov A., Qayumov Sh. «Hisoblash matematikasi asoslari», O`quv
qo`llanma. Toshkent 2000.
4.
Abduqodirov A.A. «Hisoblash matematikasi va programmalash», Toshkent.
"O`qituvchi" 1989.
5.
Vorob`eva G.N. i dr. «Praktikum po vichislitel’noy matematike» M. VSh.
1990.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
90
2181-3187
6.
Abduhamidov A., Xudoynazarov S. «Hisoblash usullaridan mashqlar va
laboratoriya ishlari», T.1995.
7.
Siddiqov A. «Sonli usullar va programmalashtirish», O`quv qo`llanma.
T.2001.
8.
Intyernet ma`lumotlarini olish mumkin bo`lgan saytlar:
