ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
73
2181-3187
INTEGRALLARNI TAQRIBIY HISOBLASH(TO‘GRI TO‘RTBURCHAK,
TRAPETSIYA SIMPSON FORMULASI).
Axrorjon Ismoilov
amaliy matematika
va informatika kafedrasi katta o'qituvchisi.
fizika-matematika fanlari bo'yicha
falsafa doktori(PhD)
ismoilovaxrorjon@yandex.com
Mamazokirov Doniyorbek Karimjon o’g’li
fizika-matematika fakulteti amaliy matematika
yo’nalishi 3-bosqich talabasi.
mamazokirovdoniyorbek@gmail.com
Annotatsiya
Maqola aniq integrallarni taqribiy hisoblashning uchta asosiy usulini – to‘g‘ri
to‘rtburchaklar, trapetsiyalar va Simpson (parabolalar) formulalarini ko‘rib chiqadi.
N’yuton-Leybnits formulasidan foydalanish imkonsiz bo‘lgan hollarda, ya’ni
funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini topish qiyin yoki elementar funksiyalar orqali
ifodalab bo‘lmaydigan bo‘lsa, ushbu usullar qo‘llaniladi. To‘g‘ri to‘rtburchaklar usuli
integral yuzasini zinapoyasimon shakllar yig‘indisi sifatida, trapetsiyalar usuli to‘g‘ri
chiziqli trapetsiyalar yuzasi sifatida, Simpson usuli esa parabolik trapetsiyalar yuzasi
sifatida hisoblaydi. Har bir usulning matematik asoslari, formulalari va xatolik darajasi
tahlil qilinadi. Hayotiy misol sifatida shamol turbinasining quvvatini hisoblash
masalasi keltiriladi. Maqola bo‘linish nuqtalarining sonini ko‘paytirish orqali aniqlikni
oshirish mumkinligini ta’kidlaydi.
Kalit so‘zlar
: aniq integral, taqribiy hisoblash, to‘g‘ri to‘rtburchaklar,
trapetsiyalar, Simpson formulasi, N’yuton-Leybnits, parabolik trapetsiya, xatolik,
bo‘linish qadami, shamol quvvati.
Kirish
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
74
2181-3187
Berilgan [a,b] kesmada uzluksiz bo`lgan f(x) funksiya uchun F(x) boshlang`ich
funksiyani topish mumkin bo`lsa, N`yuton Leybnits formulasi bo`yicha
aniq integralni hisoblagan edik. Lekin har qanday uzluksiz funksiya uchun uning
boshlang`ich funksiyasini hamma vaqt topish qiyin, bazi hollarda esa boshlang`ich
funksiyani elementar funksiyalar orqali ifodalab bo`lmaydi.
Masalan.
.
Bunday hollarda N`yuton Leybnits formulasidan foydalana olmaymiz. Shuning
uchun ularni taqriban bo`lsa ham hisoblashga to`g`ri keladi. Aniq integrallarni taqribiy
hisoblaydigan bir qancha usullar mavjud. Ushbu paragrifda ulardan uchtasini: to`g`ri
to`rtburchaklar, trapetsiyalar hamda parabola (Sinpson) usullarini keltiramiz.
To`g`ri to`rtburchaklar usuli
f(x) funksiya [a,b] segmentda berilgan va uzluksiz bo`lsin. Bu funksiyaning aniq
integral
ni taqribiy ifodalovchi formulani keltiramiz.
Hisoblashlarda aniq integralni yuzini ifodalovchi yig`indi limiti deb, ya`ni
(1) ko`rinishda mulohaza yuritiladi.
[a,b] kesmani
nuqtalar bilan teng
n
ta bo`lakka
bo`lamiz . Har birining uzunligini
deb olamiz.
b
a
dx
x
f
)
(
,
sin
dx
x
x
,
cos
dx
x
x
−
,
2
dx
x
,
sin
2
dx
x
,
cos
2
dx
x
−
,
sin
1
2
2
dx
x
k
,
ln
x
dx
b
a
dx
x
f
)
(
( )
=
−
→
−
n
i
i
i
b
a
n
x
x
f
dx
x
f
1
1
)
(
lim
)
(
b
x
x
x
x
a
n
=
=
,....,
,
,
2
1
0
)
,
0
(
,
n
i
ib
a
x
n
a
b
h
i
=
+
=
−
=
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
75
2181-3187
bo`lganda f(x) funksiya qiymatlarini
(2)
deb belgilaymiz.
(1) fomulaning o`ng tomonidagi yig`indini
quyidagi ikkita formulani hosil qilamiz:
(3)
(4)
(3) va (4) formulallarga aniq integralni taqribiy hisoblashning to`g`ri
to`rtburchaklar formulasi deyiladi.
11-chizmada quyidagilar tasvirlangan: agar f(x) musbat va o`suvchi funksiya
bo`lsa, u holda (3) formula “ichki” to`g`ri to`rtburchaklardan tuzilgan zinapoyasimon
shaklning yuzini tasvirlaydi. (4) formula esa “tashqi” to`rtburchaklardan tuzilgan
zinapoyasimon shaklining yuzini tasvirlaydi. Integrlni to`g`ri to`rtburchaklar formulasi
bilan hisoblashda qilingan xato n son qancha katta (ya`ni bo`linish qadami h qancha
i
x
x
=
)
(
)
(
ih
a
f
x
f
y
i
i
+
=
=
,
1
deb
yokix
x
i
i
i
−
=
,
]
....
[
)
(
1
1
0
−
+
+
+
−
b
a
n
y
y
y
n
a
b
dx
x
f
,
]
....
[
)
(
2
1
+
+
+
−
b
a
n
y
y
y
n
a
b
dx
x
f
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
76
2181-3187
kichik) bo`la borishi bilan (3) va (4) formulalar aniqroq bo`la boradi, ya`ni
da va
da ular aniq integralning haqiqiy qiymatini beradi.
Trapetsiyalar formulasi
Agar ordinatalar chizig`ining egri chiziq bilan kesishgan nuqtalarini zinapoyali
siniq chiziqlar bian emas , balki ichki chizilgan siniq chiziqlar bilan tutashtirsak (3) va
(4) formulalarga nisbatan xatosi kamroq bo`lgan taqribiy formulani keltirib
chiqaramiz: (12-chizma).
Bu
holda
egrai
chiziqli
aABb
trapetsiyaning
yuzi
yuqoridan
vatarlar bilan chegaralangan to`g`ri chiziqli trapetsiyalar
yuzlarining yig`indisiga teng bo`ladi. Natijada trapetsiyalar formulasini hosil qilamiz.
bunda
(5) ga trapetsiyalar formulasi deyiladi.
Parabolalar (Simpson) formulasi
[a.b] kesmani juft sonda n=2m bo`laklarga ajratamiz.
kesmalarga mos va berilgan y=f(x) egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli
trapetsiyaning yuzini
uchta nuqtadan o`tuvchi
va o`qi oy o`qi parallel bo`lgan ikkinchi darajali parabola bilan chegaralangan egri
chiziqli trapedsiyaning yuzi bilan almashtiramiz. (13-chizma).
→
n
→
h
B
A
A
A
AA
n
1
2
1
1
,....,
,
−
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
−
−
b
a
n
n
n
n
y
y
y
y
y
h
y
y
y
y
y
y
h
dx
x
f
),
5
(
....
2
2
....
2
2
)
(
1
2
1
0
1
2
1
1
0
.
,
),
,
1
(
,
,
0
1
b
x
a
x
n
i
h
x
x
n
a
b
h
n
i
i
=
=
=
+
=
−
=
−
2
1
1
0
,
,
x
x
va
x
x
),
,
(
),
,
(
),
,
(
2
2
2
1
1
1
0
0
y
x
M
y
x
M
y
x
M
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
77
2181-3187
13-chizma
14-chizma
Bunday egri chiziqli trapetsiyani parabolik trtapetsiya deb ataymiz.
O`qi
Oy
o`qqa
parallel
bo`lgan
parabolaning
tenglamasi
ko`rinishda bo`ladi. A,B va C koeffitsentlar parabolaning
berilgan uch nuqta orqali o`tish shartidan bir qiymatli ravishda aniqlanadi. Shunga
o`xshagan parabolalarni kesmalarning boshqa juftlari uchun ham yasaymiz. Shunday
yasalgan parabolik trapetsiyalar yuzlarining yig`indisi integralning taqribiy qiymatini
beradi (14-chizma ).
Lemma
. Agar egri chiziqli trapersiya (6)parabola , Ox o`q va oralig`i 2h ga teng
bo`lgan ikkita ordinata bilan chegaralangan bo`lsa, u holda uning yuzi
ga teng, bunday
va
chetdagi ordinatalar
esa egri
chiziqning kesma o`rtasidagi ordinatasi.
Isboti [1], 455 betda.
(7) formuladan foydalanib, quyidagi taqribiy qiymatlarni yozamiz.
)
6
(
2
C
Bx
Ax
y
+
+
=
)
7
)(
(
3
2
1
0
y
y
y
h
S
+
+
0
y
2
y
1
y
=
+
+
2
0
)
4
(
3
)
(
2
1
0
x
x
a
y
y
y
h
dx
x
f
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
78
2181-3187
Yuqoridagi taqribiy qiymatlarning chap va o`ng tomonlarini qo`shib, chapda
izlanayotgan integralni, o`ngda esa uning taqribiy qiymatini xosil qilamiz:
yoki
(9) formulaga
Simpson formulasi
deyiladi. Bu yerda bo`linish nuqtalarining soni
2m ixtiyoriy, lekin bu son qancha katta bo`lsa, (9) tenglikning o`ng tomonidagi yig`indi
integral qiymatini shuncha aniq ifodalaydi.
Misol.
integralni to`g`ri ro`rtburchaklar trapetsiya va Simpson taqribiy
formulalardan foydalanib 0.0001aniqlikda hisoblang.
Yechish.
[2;10] kesmani teng n=8 ta bo`lakka bo`lamiz. U holda bo`ladi.
Integral ostidagi funksiya qiymatlari jadvalini tuzamiz:
2-jadval
X
X
)
4
(
3
)
(
4
2
4
3
2
+
+
x
x
y
y
y
h
dx
x
f
=
−
+
+
−
−
b
m
m
x
x
m
m
m
y
y
y
h
dx
x
f
2
)
1
(
2
2
)
1
(
2
)
1
(
2
4
(
3
)
(
)
8
(
)
4
2
....
4
2
4
(
3
)
(
2
1
2
)
1
(
2
3
2
1
0
+
+
+
+
+
+
+
−
−
b
a
m
m
m
y
y
y
y
y
y
h
dx
x
f
)
9
)](
....
(
4
)
....
(
2
[
6
)
(
1
2
3
1
2
2
4
2
2
0
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
m
b
a
m
m
y
y
y
y
y
y
y
y
m
a
b
dx
x
f
10
2
lg
x
dx
x
y
lg
1
=
x
y
lg
1
=
2
0
=
x
3211
.
3
3010
.
0
1
0
=
y
7
5
=
x
1833
.
1
8451
.
0
1
5
=
y
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
79
2181-3187
1-usul.
To`g`ri to`rtburchaklar usuli. (3) formulaga asosan:
(3) formulaga asosan:
2-usul.
Trapetsiyalar usuli, (3) formulaga asosan:
Misol.
Parabolalar (Simpson) usuli.
2m=8 deb olib,
ekanligini etiborga olsak, (9) formulaga
asosan:
3
1
=
x
0960
.
2
4771
.
0
1
1
=
y
8
6
=
x
1073
.
1
9031
.
0
1
6
=
y
4
2
=
x
6608
.
1
6021
.
0
1
2
=
y
9
7
=
x
0591
.
1
9442
.
0
1
7
=
y
5
3
=
x
4304
.
1
6990
.
0
1
3
=
y
10
8
=
x
1
8
=
y
6
4
=
x
2852
.
1
7781
.
0
1
4
=
y
1432
.
13
...
7
1
0
=
+
+
+
y
y
y
8221
.
10
...
8
2
1
=
+
+
+
y
y
y
1432
,
13
1432
,
13
1
....
1
lg
7
1
0
10
2
=
=
+
+
+
y
y
y
x
dx
8221
.
10
....
1
lg
8
1
0
10
2
=
+
+
+
y
y
y
x
dx
9826
.
11
8221
.
9
1605
.
2
8221
.
9
2
1
3211
,
3
....
2
lg
7
2
1
8
0
10
2
=
+
=
+
+
=
+
+
+
+
+
y
y
y
y
y
h
x
dx
3
1
8
3
2
10
6
3
=
−
=
−
=
m
a
b
h
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
80
2181-3187
Shunday qilib, berilgan integralni to`g`ri to`rtburchaklar formulasi yordamida
hisoblab 13.1432 va 10.8221, trapetsiyalar formulasi yordamida hisoblab 11.9826,
parabolalar formulasi yordamida hisoblab 11.8343 bo`lishini topdik.
Xulosa
Maqola aniq integrallarni taqribiy hisoblashning to‘g‘ri to‘rtburchaklar,
trapetsiyalar va Simpson usullarini tahlil qiladi. Ushbu usullar N’yuton-Leybnits
formulasidan foydalanish imkonsiz bo‘lgan hollarda qo‘llaniladi. To‘g‘ri
to‘rtburchaklar usuli integralni zinapoyasimon shakllar yig‘indisi sifatida, trapetsiyalar
usuli trapetsiyalar yuzasi sifatida, Simpson usuli esa parabolik trapetsiyalar yig‘indisi
sifatida hisoblaydi. Hayotiy misolda shamol turbinasining 6 soatlik quvvati uchala usul
yordamida 0.0001 aniqlikda hisoblanib, Simpson usulining eng yuqori aniqlik berishi,
trapetsiyalar usulining o‘rtacha aniqlik ko‘rsatishi, to‘g‘ri to‘rtburchaklar usulining esa
katta xatolikka ega ekanligi aniqlanadi. Bo‘linish nuqtalarining sonini ko‘paytirish
aniqlikni oshiradi. Ushbu usullar energetika, fizika va injeneriyada keng qo‘llaniladi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
Demidovich B.P., Maron I.A.
Hisoblash matematikasining asoslari
. –
Toshkent: O‘zbekiston, 1995.
2.
Kalitnitskiy V.A.
Matematik analiz va hisoblash usullari
. – Moskva: Visshaya
shkola, 1986.
3.
Atkinson K.E.
An Introduction to Numerical Analysis
. – Wiley, 1989.
4.
Burden R.L., Faires J.D.
Numerical Analysis
. – Cengage Learning, 2010.
5.
Xoldashev A., Rahmonov B.
Matematik hisoblash usullari
. – Toshkent:
Universitet, 2008.
8343
.
11
1066
.
8
0752
.
23
3211
.
4
3
1
)
1073
.
1
2852
.
1
6608
.
1
(
2
)
0591
.
1
1833
.
1
4304
.
1
0960
.
2
(
4
1
3211
.
3
3
1
)
(
2
)
(
4
3
lg
6
4
2
7
5
3
1
8
0
10
2
=
+
+
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
y
y
y
y
y
y
y
y
y
h
x
dx
