ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–5_ Мая –2025
111
2181-3187
ANIQ INTEGRALNING TATBIQLARI
Muallif:
Yorboboyev Alisher Kamolovich,
Qaxxarov Akmal Abdug’ofurovich
. Shahrisabz
“Temurbeklar maktabi” harbiy – akademik
litseyi matematika fani bosh o’qituvchilari.
Annotatsiya:
Mazkur maqolada aniq integral tushunchasi va uning amaliy
tatbiqlari tahlil qilinadi. Geometriya va fizikadagi asosiy masalalar – yuzalar maydoni,
jism hajmi, egri chiziqli ko‘prik uzunligi, ish va bosim kabi fizik kattaliklarni
hisoblashda aniq integralning o‘rni ko‘rsatiladi. Misollar yordamida bu tatbiqlarning
yechish usullari ochib beriladi.
Kalit so‘zlar:
Aniq integral, maydon, hajm, egri chiziq uzunligi, fizik tatbiqlar
Аннотация:
В данной статье рассматривается определённый интеграл и его
практические применения. Показано, как он используется для вычисления
площади, объёма тел, длины дуг, работы и давления в геометрических и
физических задачах. Через примеры раскрываются методы решения подобных
задач.
Ключевые слова:
Определённый интеграл, Площадь, Объём, Длина
кривой, Физические применения
Abstract:
This article discusses the definite integral and its practical applications.
It shows how the definite integral is used to calculate areas, volumes, arc lengths, work,
and pressure in geometric and physical problems. The solution methods of such
problems are explained with examples.
Keywords (English):
Definite integral, Area, Volume, Curve length, Physical
applications
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–5_ Мая –2025
112
2181-3187
1.Aniq integral yordamida yassi figuralar yuzlarini hisoblash.
2
.
Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash.
3. Aylanma jism hajmini hisoblash.
Yuzalarni hisoblash, egri chiziqli trapesiya, egri chiziq yoyining uzunligi,
aylanma jism hajmi, o‘zgaruvchan kuchning bajargan ishi, ishlab chiqarishning mehnat
unumdorligi, mahsulotlar (tovarlar) zahirasi, mahsulot ishlab chiqarish hajmi, daromad
funksiyasi,
1.Aniq integral yordamida yassi figuralar yuzlarini hisoblash
)
(
x
f
y
=
funksiya grafigi,
b
x
a
x
=
=
,
ikkita to‘g‘ri chiziqlar va
OX
o‘qi bilan chegaralangan
figuraga
egri chiziqli trapesiya
deyiladi. Bunday egri chiziqli trapesiyaning yuzi
=
=
b
a
b
a
dx
x
f
ydx
S
)
(
(1)
formula bilan hisoblanadi (1-chizma)
Umumiy hol, ya’ni
)
(
)
(
),
(
),
(
1
2
2
2
1
1
x
f
x
f
x
f
y
x
f
y
=
=
chiziqlar bilan
chegaralangan yuza
( )
( )
dx
x
f
x
f
S
x
x
−
=
2
1
1
2
1
(2)
aniq integralga teng bo‘ladi .
( )
0
,
,
,
=
=
=
=
x
d
y
c
y
y
x
chiziqlar bilan chegaralangan yuza
( )
dy
y
dy
x
S
d
c
d
c
=
=
2
(3)
aniq integral bilan hisoblanadi.
Egri chiziq parametrik
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–5_ Мая –2025
113
2181-3187
( )
( )
=
=
t
y
y
t
x
x
,
tenglama bilan berilgan bo‘lsa, yuza
( ) ( )
=
2
2
t
t
dt
t
x
t
y
S
(4)
formula bo‘yicha hisoblanadi.
4-misol.
0
,
,
1
,
8
=
=
=
=
y
e
x
x
xy
chiziqlar bilan chegaralangan yuzani
hisoblang
Yechish.
x
y
8
=
bo‘lib, (3) formulaga asosan,
(
)
=
−
=
=
=
=
.
8
1
ln
ln
8
ln
8
8
1
e
x
dx
x
ydx
S
5-misol.
x
y
x
y
=
=
2
2
,
chiziqlar bilan chegaralangan yuzani toping.
Yechish:
=
=
x
y
x
y
2
2
,
tenglamalar
sistemasidan
1
;
0
,
0
,
2
1
4
4
=
=
=
−
=
x
x
x
x
x
x
kesishish
nuqtalarining abssissalari bo‘lib, bu yuza
−
−
−
=
−
=
−
=
0
3
1
0
3
2
3
2
3
1
0
3
1
0
2
3
1
0
2
x
x
dx
x
x
S
=
3
1
bo‘ladi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–5_ Мая –2025
114
2181-3187
6-misol. Ellipsning
=
=
t
y
t
x
sin
2
,
cos
3
parametrik tenglamasidan foydalanib uning yuzini toping.
Yechish. Ellips koordinata o‘qlariga nisbatan simmetrikligidan foydalanib,
hamda
t
x
cos
3
=
tenglamada
3
,
=
=
x
o
x
bo‘lganda
2
1
=
t
,
0
2
=
t
bo‘lganligini hisobga olib,
(
)
(
)
(
)
.
6
0
sin
sin
6
0
2
12
2
sin
2
12
12
2
cos
1
12
2
2
cos
1
24
sin
24
sin
3
sin
2
4
2
0
2
0
0
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
=
−
−
−
−
=
=
−
=
−
=
=
−
−
=
=
t
t
dt
t
dt
t
tdt
dt
t
t
ydx
S
2.
Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash.
To‘g‘ri burchakli koordinatlar
sistemasida
( )
b
a
x
f
y
,
=
kesmada silliq (ya’ni
( )
x
f
y
=
hosila uzluksiz) bo‘lsa,
bu egri chiziq yoyining uzunligi
( )
+
=
b
a
dx
y
l
2
1
(5)
formula yordamida hisoblanadi.
Egri chiziq parametrik tenglama
( )
( )
=
=
t
y
y
t
x
x
bilan berilgan bo‘lsa, yoy uzunligi
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–5_ Мая –2025
115
2181-3187
=
l
( ) ( )
dt
y
x
b
a
+
2
2
aniq integral bilan hisoblanadi.
Silliq egri chiziq qutb koordinatalarida
( ) (
)
=
,
r
r
tenglama bilan
berilgan bo‘lsa, yoy uzunligi
( )
d
r
r
l
+
=
2
2
(6)
formula bilan hisoblanadi.
7-misol.
3
2
3
2
3
2
a
y
x
=
+
astroida yoyining uzunligini toping.
Yechish: Astroida koordinat o‘qlariga nisbatan simmetrik bo‘lganligi uchun 1/4
yoy uzunligini topamiz.
Oshkormas funksiya hosilasiga asosan
0
3
2
3
2
3
1
3
1
=
+
−
−
y
y
x
bundan,
.
3
3
x
y
y
−
=
Yoy uzunligi formulasiga asosan,
( )
(
)
.
6
0
2
3
4
4
4
4
4
/
1
4
1
4
3
2
3
0
3
2
3
2
3
0
3
1
3
0
3
1
3
1
0
3
2
3
2
0
2
3
3
0
2
a
a
a
x
a
dx
x
a
dx
x
a
dx
x
a
dx
x
y
dx
y
l
a
a
a
a
a
a
=
−
=
=
=
=
=
=
+
=
+
=
−
3
. Aylanma jism hajmini hisoblash
( )
0
,
,
,
=
=
=
=
y
b
x
a
x
x
f
y
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning
OX
o‘qi
atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–5_ Мая –2025
116
2181-3187
( )
=
=
b
a
b
a
x
dx
x
f
dx
y
V
2
2
(7)
aniq integral bilan hisoblanadi.
( )
0
,
,
,
=
=
=
=
x
d
y
c
y
y
x
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning
OY
o‘qi
atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi
=
=
d
c
d
c
y
dy
y
dy
x
V
)
(
2
2
(8)
formula bilan hisoblanadi.
8-misol.
x
y
2
2
=
parabola,
3
=
x
to‘g‘ri chiziq va
OX
o‘qi bilan chegaralangan
figuraning
OX
o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmini hisoblang.
Yechish. Masala shartiga ko‘ra
x
o dan 3 gacha o‘zgaradi. Demak,
=
−
=
=
=
=
3
0
3
0
2
2
0
3
2
2
9
)
0
3
(
2
x
xdx
dx
y
V
x
.
9-misol.
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
ellipsning
o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan
jism hajmini hisoblang.
Yechish. Bunday jismga aylanma ellipsoid deyiladi. Ellips tenglamasidan
−
=
2
2
2
2
1
b
y
a
x
bo‘lib, integralning chegaralari
b
d
b
c
=
−
=
,
bo‘ladi. (8)
formulaga asosan,
OY
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–5_ Мая –2025
117
2181-3187
.
3
4
3
2
2
)
(
3
)
(
3
1
2
2
2
3
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
b
b
a
y
b
a
y
a
dy
y
b
a
dy
a
dy
b
y
a
V
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
y
=
−
=
−
−
−
−
−
=
=
−
=
−
=
−
=
−
−
−
−
−
Demak,
b
a
V
y
2
3
4
=
R
b
a
=
=
bo‘lsa, shar hosil bo‘lib
3
3
4
R
V
ш
=
bo‘ladi.
1. Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan figuralarning yuzlarini hisoblang.
;
0
,
,
ln
)
3
;
0
,
4
)
2
;
0
,
8
6
)
1
2
2
=
=
=
=
−
=
=
+
−
=
y
e
x
x
y
x
y
x
y
x
x
y
2
)
4
2
x
y
=
parabola,
3
,
1
=
=
x
x
to‘g‘ri chiziqlar va
OX
o‘qi bilan
chegaralangan;
.
,
3
)
8
;
4
,
4
)
7
;
,
2
)
6
;
0
,
2
)
5
3
3
2
2
2
2
2
2
t
t
y
t
x
x
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
−
=
=
+
=
+
=
=
−
=
=
−
−
=
2.
0
,
4
,
1
,
4
=
=
=
=
y
x
x
xy
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning
OX
o‘qi atrofida aylanishdan hosil bo‘lgan jism hajmini hisoblang.
3. 1)
0
)
4
(
3
2
=
+
=
x
va
x
y
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning
OY
o‘qi
atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jism hajmini hisoblang.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-69
Часть–5_ Мая –2025
118
2181-3187
2)
8
,
0
,
3
=
=
=
y
x
x
y
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning
OY
o‘qi
atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jism hajmini hisoblang.
Aniq integral yordamida geometriya va fizikaga oid ko‘plab masalalarni hal qilish
mumkin. Uning tatbiqlari maydon, hajm, uzunlik, ish va bosim kabi real hayotdagi
ko‘plab kattaliklarni ifodalashda qo‘llaniladi. Bu esa uni amaliyotda qo‘llashga juda
qulay va zarur vositaga aylantiradi.
Foydalanilgan adabiyotlar
[1] Zamkov O.O. va boshq. Matematik usullar iqtisodiyotda – M.: DIS 1997. 336 s.
[2] Abdalimov B.A. Oliy matematika – T.: O‘qituvchi, 1994y.
[3] Soatov Yo.U. Oliy matematika. 1 jild. – T.: O‘qituvchi, 1992.
[4]
[5] Juraev T.J. va bosh. Oliy matematika asoslari. – T.: O‘zbekiston. 1999.
[6] Azlarov T., Mansurov Q. Matematik analiz. 1,2-jild. – T.: O‘qituvchi, 1992,1994.
[7] Soatov Yo.U. Oliy matematika 3-jild. – T.: O‘zbekiston. 1996. – 619 b.
[8] Tojiev Sh.I. Oliy matematikadan masalalar yechish. – T.: O‘zbekiston. – 512 bet.
[9] Krass M.S. Matematika iqtisodiy mutaxassisliklar uchun. – M.: 1998.
[10] Masagutova R.V. Iqtisodchilar uchun masalalar orqali matematika – T.:
O‘qituvchi, 1996. 184 s
