JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Quvvatov Behruz Ulug‘bek o‘g‘li
Osiyo Xalqaro Universiteti
“Umumtexnik fanlar” kafedrasi o‘qituvchisi
behruz.ulughbekovich.20@gmail.com
CHIZIQLI ALGEBRA VA SPLAYNLAR: CHIZIQLI TENGLAMALAR TIZIMLARI
VA MATRITSALAR ASOSIDA SPLAYN HOSIL QILISH
Annotatsiya:
Mazkur maqolada chiziqli algebra va splayn interpolatsiyasi o‘rtasidagi bog‘liqlik,
xususan chiziqli tenglamalar tizimlari va matritsalar yordamida splayn funksiyalarini qurish
masalasi ko‘rib chiqilgan. Splaynlar, ayniqsa kubik splaynlar, interpolatsion hisob-kitoblar uchun
yuqori aniqlikka ega bo‘lgan samarali usullardan biridir. Ularning hosilasi va ikkinchi tartibli
hosilalarining uzluksizligini ta’minlash orqali real sohalarda — grafik dizayn, injiniring,
farmatsiya va statistik tahlil kabi yo‘nalishlarda keng qo‘llanilishi ta’minlanadi. Ushbu maqolada
splayn hosil qilish uchun chiziqli tenglamalar tizimi qanday tuzilishi va matritsalar, ayniqsa
tridiagonal matritsalar yordamida qanday yechilishi, Thomas algoritmining mohiyati va
afzalliklari yoritilgan.
Kalit so‘zlar:
Chiziqli algebra, chiziqli tenglamalar tizimi, matritsa, splayn, kubik splayn,
interpolatsiya, tridiagonal matritsa, Thomas algoritmi, numerik hisoblash, silliqlashtirish.
Kirish
Chiziqli algebra — matematik tahlil, fizika, informatika, injiniring kabi fanlar asosini tashkil
qiluvchi fan hisoblanadi. Uning muhim bo‘limlaridan biri —
chiziqli tenglamalar tizimlari
—
ko‘plab amaliy masalalarni yechishda, ayniqsa
interpolatsiya va silliqlashtirish
algoritmlarini
qurishda muhim o‘rin egallaydi.
Splaynlar
esa ushbu interpolatsion usullarning eng kuchli va
samarali turlaridan biridir.
Splaynlar yordamida funksiya qiymatlarini noaniq bo‘laklarda silliq tarzda taxmin qilish mumkin
bo‘lib, bunda har bir bo‘lakda quyi darajali polinomlardan foydalaniladi. Bu usul aniqligi va
silliqligi bilan boshqa interpolatsion usullardan ajralib turadi.
Splaynlar haqida umumiy tushuncha
Splayn nima?
Splayn — bu ketma-ket nuqtalar orqali chizilgan, silliq va bo‘lak-bo‘lak polinomlardan iborat
funksiya. Ular muayyan nuqtalarda (tugunlar) aniqlangan va bu tugunlar orasidagi segmentlarda
polinom ko‘rinishida bo‘ladi. Har bir segmentda kkk-darajali polinom ishlatiladi, eng ko‘p
uchraydigan turi esa
kubik splaynlar
bo‘lib, har bir oraliqda 3-darajali polinomdan tashkil
topadi.
Splaynlarning turlari
Chiziqli splaynlar
(1-darajali)
Kvadratik splaynlar
(2-darajali)
Kubik splaynlar
(3-darajali)
B-splaynlar (bazis splaynlar)
– kompyuter grafikasi va CAD tizimlarida keng qo‘llaniladi
NURBS
– egri chiziqlarni va yuzalarni modellashtirish uchun ishlatiladi
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Chiziqli tenglamalar tizimlari orqali splayn tuzish
Tugunli nuqtalar va shartlar
Agar
n+1
ta tugun
�
0
, �
0
, �
1
, �
1
, …, �
�
, �
�
berilgan bo‘lsa, kubik splaynlarni qurish uchun
har bir segmentda quyidagi ko‘rinishdagi polinom tanlanadi:
�
�
� = �
�
+ �
�
� − �
�
+ �
�
� − �
�
2
+ �
�
� − �
�
3
Bu polinomlar quyidagi shartlarga bo‘ysunadi:
�
�
� = �
�
va
�
�
�
�+1
= �
�+1
– interpolatsiya sharti
�
�
'
�
�+1
= �
�+1
'
�
�+1
– birinchi tartibli hosila uzluksizligi
�
�
''
�
�+1
= �
�+1
''
�
�+1
– ikkinchi tartibli hosila uzluksizligi
Chegaraviy shartlar (masalan, tabiiy splaynlar uchun
�
0
''
= 0
va
�
�
''
= 0
)
Tenglamalar tizimini tuzish
Har bir oraliq uchun 4 ta noma’lum koeffitsient mavjud bo‘lib, nnn segment uchun
4n
ta
noma’lum aniqlanishi kerak. Yuqoridagi shartlar asosida
4n
ta tenglama tuziladi. Bu tenglamalar
odatda
chiziqli tenglamalar tizimi
ko‘rinishiga ega bo‘ladi va ular
matritsa usullari
bilan
yechiladi.
Matritsalar va ularning roli
Tridiagonal matritsalar
Splayn interpolatsiyasida hosil bo‘ladigan chiziqli tenglamalar tizimi ko‘pincha
tridiagonal
matritsa
shaklida ifodalanadi. Bu matritsalar quyidagi ko‘rinishga ega:
2 1 0
1 5 1
0 1 2
⋯
0
0
0
⋮ ⋮ ⋮
⋱ 1
0 0 0 ⋯ 2
×
�
1
�
2
⋮
�
�−1
=
�
1
�
2
⋮
�
�−1
Bu yerda
c
i
lar — ikkinchi tartibli hosilalarning koeffitsientlari,
r
i
lar esa o‘zgarmaslar.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Thomas algoritmi
Ushbu tridiagonal sistemani samarali yechish uchun
Thomas algoritmi
(yengil Gauss
eliminatsiyasi) ishlatiladi. Bu usul hisoblash jihatdan tez va kam resurs talab qiladi, ayniqsa katta
o‘lchamli sistemalarda.
Splaynlar qo‘llanilishi
Splaynlar quyidagi sohalarda keng qo‘llaniladi:
Kompyuter grafikasi
– egri chiziqlar va shakllar chizishda
Signal va tasvirlarni qayta ishlash
– silliqlashtirish, filtrlash
Mashinasozlik va avtomatlashtirish
– harakat traektoriyalarini modellash
Farmatsiya va biostatistika
– biologik ma’lumotlarni yaqinlashtirish
Ekologik monitoring
– o‘lchovlar orasidagi silliq funksiyalarni topish
Geodeziya va kartografiya
– relyef modellash
Amaliy misol (Python kodi bilan)
Xulosa
Splayn interpolatsiyasi matematik va amaliy jihatdan samarali yechim bo‘lib, uning asosi chiziqli
algebra, xususan chiziqli tenglamalar va matritsalar orqali yotadi. Har bir splayn algoritmining
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
aniqligi va ishonchliligi aynan algebraik modelning to‘g‘ri tuzilishiga bog‘liq. Bu yondashuv
orqali ko‘plab fan va texnika sohalarida amaliy natijalarga erishish mumkin.
FOYDALANGAN ADABIYOTLAR RO`YXATI
1. Behruz Ulugbek og, Q. (2023). TECHNOLOGY AND MEDICINE: A DYNAMIC
PARTNERSHIP.
International Multidisciplinary Journal for Research & Development
,
10
(11).
2. Behruz Ulugbek og, Q. (2024). FUNDAMENTALS OF ALGORITHM AND
PROGRAMMING IN MATHCAD SOFTWARE.
Multidisciplinary Journal of Science and
Technology
,
4
(3), 410-418.
3. Behruz Ulugbek og, Q. (2024). ADOBE PHOTOSHOP CC DASTURIDA
ISHLASH.
PEDAGOG
,
7
(4), 390-396.
4. Behruz Ulugbek og, Q. (2024). INFORMATIKA FANINI O’QITISHDA INTERFAOL
METODLARDAN FOYDALANISH.
PEDAGOG
,
7
(6), 52-62.
5. Quvvatov, B. (2024). Maximum principle and error analysis.
Medicine, pedagogy and
technology: theory and practice
,
2
(9), 420-427.
6. Quvvatov, B. U. (2024). ELEKTRON DARSLIK YARATUVCHI DASTURLAR
XARAKTERISTIKALARI.
PEDAGOG
,
7
(5), 292-301.
7. Behruz Ulug‘bek o‘g, Q. (2023). USE OF ARTIFICIAL NERVOUS SYSTEMS IN
MODELING.
Multidisciplinary Journal of Science and Technology
,
3
(5), 269-273.
8. Quvvatov, B. (2023). ALGEBRAIK ANIQLIGI YUQORI BOLGAN KVADRATUR
FORMULALAR. UMUMLASHGAN TRAPETSIYALAR QOIDASI.
Академические
исследования в современной науке
,
3
(7), 137-142.
9. Quvvatov, B. (2024). ALGEBRAIK ANIQLIGI YUQORI BOLGAN KVADRATUR
FORMULALAR. GAUSS KVADRATUR FORMULALARI.
Models and methods in modern
science
,
3
(2), 114-125.
10. Behruz Ulug‘bek o‘g, Q. li.(2023). Mobil ilovalar yaratish va ularni bajarish
jarayoni.
International journal of scientific researchers
,
2
(2).
11. Quvvatov, B. (2024). ALGEBRAIK ANIQLIGI YUQORI BOLGAN KVADRATUR
FORMULALAR. ROMBERG INTEGRALLASH FORMULASI.
Центральноазиатский
журнал образования и инноваций
,
3
(2 Part 2), 107-112.
12. Quvvatov, B. (2024). ALGEBRAIK ANIQLIGI YUQORI BOLGAN KVADRATUR
FORMULALAR. SIMPSON FORMULASI.
Models and methods in modern science
,
3
(2), 223-
228.
13. Quvvatov, B. (2024). ALGEBRAIK ANIQLIGI YUQORI BOLGAN KVADRATUR
FORMULALAR. KLASSIK GAUSS KVADRATURALARI.
Инновационные исследования в
науке
,
3
(2), 94-103.
14. Babaev, S., Olimov, N., Imomova, S., & Kuvvatov, B. (2024, March). Construction of
natural L spline in W2, σ (2, 1) space. In
AIP Conference Proceedings
(Vol. 3004, No. 1). AIP
Publishing.
15. Quvvatov, B. U. o'g'li.(2023).
ALEXNET-TASVIRLARNI TASNIFLASH UCHUN
KONVOLYUTSION NEYRON TARMOQ. GOLDEN BRAIN
,
1
(34), 77-90.
