JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Aberqulova Farangiz, G’aniyeva Charos Ulug’bek qizi
O’zbekiston Milliy Universiteti Jizzax filiali
Amaliy matematika yo’nalishi talabalari
charosganiyeva10@gmail.com
farangizaberqulova052006@gmail.com
FUNKSIYANING HOSILASI: NAZARIY ASOSLARI, TARIXIY RIVOJLANISHI VA
AMALIY QO‘LLANILISHI
Annotatsiya:
Ushbu maqolada funksiyaning hosilasi tushunchasining nazariy asoslari, uning
tarixiy rivojlanishi, amaliy fanlardagi ahamiyati, asosiy hosila olish qoidalari va ularni o‘qitish
metodikasi yoritilgan. Hosilaning matematik mohiyati va uni hayotiy masalalarga tadbiq qilish
imkoniyatlari chuqur tahlil etiladi.
Kalit so‘zlar:
hosila, funksiya, limit, differensial, tezlik, analiz, grafik tahlil.
Аннотация : В данной статье рассматриваются теоретические основы понятия
производной функции, её историческое развитие, значение в прикладных науках,
основные правила дифференцирования и методика их преподавания. Глубоко
анализируется математическая сущность производной и возможности её применения к
жизненным задачам.
Ключевые слова:
производная, функция, предел, дифференциал, скорость, анализ,
графический анализ.
Abstract:
This article explores the theoretical foundations of the concept of the derivative of a
function, its historical development, significance in applied sciences, basic differentiation rules,
and teaching methodology. The mathematical essence of the derivative and its potential for
solving real-life problems are thoroughly analyzed.
Keywords:
derivative, function, limit, differential, velocity, analysis, graphical analysis.
Matematikaning zamonaviy yo‘nalishlaridan biri bo‘lgan matematik analizda funksiyaning
hosilasi tushunchasi alohida ahamiyatga ega. U funksiyaning qanday tezlikda o‘zgarishini
ifodalovchi ko‘rsatkichdir. Bu tushuncha XVII asrda Nyuton va Leybnits tomonidan mustaqil
kashf etilgan. Hosila hozirgi kunda nafaqat matematikada, balki fizika, iqtisodiyot, biologiya
kabi ko‘plab sohalarda keng qo‘llaniladi.
Funksiya — bu har bir kirish qiymatiga bitta chiqish qiymatini moslashtiruvchi bog‘lanish.
Funksiyaning hosilasi esa, ushbu funksiyaning ma’lum nuqtadagi o‘zgarish tezligini bildiradi.
Quyidagi formula orqali ifodalanadi:
�(�)
=
lim
ℎ→0
� �+ℎ −�(�)
ℎ
Hosila — funksiyaning grafigida teginuvchi chiziqning yo‘nalish koeffitsiyenti sifatida ham
talqin qilinadi.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
2. Hosila olishning asosiy qoidalari va formulalari:
� =
0
� � � � = � � � �
+
� � �(�)
��� � = ����
���� =− ����
(�
�
) =�
�
��� =
1
�
Hosilaning ildizlari qadimgi matematik tafakkurga borib taqaladi. Qadimgi yunon olimlari,
xususan Arximed (miloddan avvalgi III asr), kvadratura va tangentlar orqali cheksiz kichik
miqdorlar bilan ishlagan bo‘lsalar-da, ular hali to‘liq differensial tushunchani ishlab chiqmagan
edilar. Biroq, ularning ishida limit tushunchasining dastlabki ko‘rinishlari mavjud bo‘lib, bu
keyinchalik hosila nazariyasiga olib keldi. Funksiya hosilasi tushunchasining zamonaviy shaklda
rivojlanishi XVII asrda, Isaak Nyuton va Gottfried Wilhelm Leybniz tomonidan mustaqil
ravishda differensial hisob asoslarining yaratilishi bilan bog‘liq. Nyutonton dinamikada tezlik va
tezlanishni ifodalash uchun cheksiz kichik miqdorlarni qo‘llagan bo‘lsa, Leybniz
differensiallarni dy va dx kabi belgilashlar bilan aniqlab, ularni matematik tilga kiritdi. Ular
hosilani harakatning birinchi derivativi, ya’ni tezlik sifatida tushunishgan. Funksiya hosilasi
nafaqat matematik analizning markaziy tushunchalaridan biri, balki ko‘plab tabiiy va ijtimoiy
fanlarda jarayonlarning dinamikasini tushunish va boshqarishda muhim vositadir. U real
hayotdagi o‘zgarishlarning tezligi, yo‘nalishi va muvozanat nuqtalarini aniqlash imkonini beradi.
Quyida hosilaning asosiy amaliy sohalardagi ahamiyati yoritiladi:
Fizika va muhandislikda qo‘llanilishi: Hosila fizikada tezlik, tezlanish, kuch, energiya kabi
asosiy tushunchalarni ifodalashda bevosita ishlatiladi. Masalan, biror jismining holati s(t)
vaqtdan bog‘liq bo‘lsa, uning tezligi v(t)=s′(t) , tezlanishi esa a(t)=v′(t)=s′′(t) tarzida ifodalanadi.
Shuningdek, elektr muhandisligida kuchlanish va tok o‘rtasidagi bog‘liqliklar, mexanik
tizimlarda yuklanish va deformatsiya holatlari hosilalar yordamida tahlil qilinadi.
Biologiya va tibbiyotda : Populyatsiyalar dinamikasini modellashtirishda hosila o‘sish
sur’atlarini aniqlash uchun ishlatiladi. Misol uchun, bakteriyalar sonining vaqt bo‘yicha
o‘zgarishi, yurak urishining ritmikasi yoki dorilarning qondagi kontsentratsiyasi o‘zgarishini
ifodalashda hosila asosiy rol o‘ynaydi. Bu orqali farmakokinetika modellari tuziladi va optimal
davolash protokollari ishlab chiqiladi.
Iqtisodiyot va moliya sohasida : Iqtisodiy modellashtirishda hosila chegara foyda (marginal
benefit), chegara xarajat (marginal cost) va elastiklik kabi tushunchalarni aniqlashda ishlatiladi.
Masalan, ishlab chiqarish funksiyasining hosilasi mahsulot birligini oshirishdan olinadigan
qo‘shimcha foydani ko‘rsatadi. Moliya sohasida esa narxlarning o‘zgarish tezligi, foiz stavkalari
dinamikasi yoki risklarni baholashda differensial modellar keng qo‘llaniladi.
Sun’iy intellekt va ma’lumotlar tahlilida: Hosila gradient tushunchasining asosi hisoblanadi.
Gradient – funksiyaning eng katta o‘sish yo‘nalishini ko‘rsatadi va mashinaviy o‘rganishda
(gradient descent) model parametrlarini optimallashtirishda ishlatiladi. Neyron tarmoqlarda
orqaga tarqatish algoritmi aynan hosila va uning zanjirli qoidasiga asoslangan.
Arxitektura va texnologik dizaynda: Zamonaviy parametrik dizayn va algoritmik arxitektura
hosilaga tayanadi. Egri chiziqli shakllar, stress analizi va modulli tizimlarda geometriyaning
o‘zgarish tezligi tahlil qilinadi. Ayniqsa, parametrik modellashtirishda obyektlarning har bir
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
nuqtasidagi o‘zgaruvchanlik (differensial xususiyatlar) dizaynni funksional va estetik jihatdan
mukammal qiladi. Funksiya hosilasi – bu nafaqat matematik ob’ekt, balki real dunyo
jarayonlarini chuqur tahlil qilish, modellashtirish va optimallashtirish imkonini beruvchi kuchli
vositadir. U yordamida murakkab tizimlar oddiy matematik ifodalarga aylantirilib, ularning xatti-
harakatini bashorat qilish va boshqarish mumkin bo‘ladi.
Xulosa qilib aytganda, funksiya hosilasi tushunchasi matematik analizning markaziy elementi
sifatida tarixan chuqur ildizlarga ega bo‘lib, uning zamonaviy shaklda rivojlanishi matematik
tafakkurning yuksak yutuqlaridan biridir. Arximeddan boshlab, Nyuton va Leybnizning
differensial hisobga oid ishlari, Koshi va Eyler tomonidan ta’riflarning qat’iylashuvi ushbu
tushunchaning shakllanishida muhim bosqich bo‘ldi. Bugungi kunda hosila nafaqat matematik
nazariya, balki tabiat fanlari, muhandislik, iqtisodiyot, biologiya, sun’iy intellekt, arxitektura
kabi ko‘plab amaliy sohalarda keng qo‘llanilmoqda. Funksiya hosilasi harakat, o‘zgarish va
jarayonlarning chuqur tahlilini amalga oshirish imkonini beruvchi matematik vosita sifatida real
muammolarni modellashtirishda ajralmas ahamiyat kasb etadi. U yordamida tizimlarning o‘sish
sur’atlari, chegaraviy tendensiyalari, optimal holatlari va o‘zgarish yo‘nalishlari aniq ifodalanadi.
Ayniqsa, zamonaviy texnologiyalar va axborot sohalarida hosilaning gradient, yo‘nalgan hosila,
qisman hosila kabi shakllari yangi algoritmlarning asosini tashkil qilmoqda.Shunday qilib,
funksiya hosilasining nazariy asoslari va amaliy qo‘llanilish doirasi uning fundamental va
universal xususiyatga ega matematik vosita ekanligini isbotlaydi. Bu esa uni nafaqat o‘quv
fanlarida, balki zamonaviy ilmiy tadqiqot va texnologik taraqqiyotda markaziy o‘ringa olib
chiqadi.
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati:
1. Courant, R., & John, F. (1999).
Introduction to Calculus and Analysis
. Springer.
2. Stewart, J. (2015).
Calculus: Early Transcendentals
. Cengage Learning.
3. Apostol, T. M. (1967).
Calculus, Volume I & II
. Wiley.
4. Boyce, W. E., & DiPrima, R. C. (2017).
Elementary Differential Equations and Boundary
Value Problems
. Wiley.
5. Spivak, M. (2006).
Calculus
. Cambridge University Press.
6. Cauchy, A. L. (1821).
Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique
. Paris.
7. Newton, I. (1736).
The Method of Fluxions and Infinite Series
. Henry Woodfall.
8. Leibniz, G. W. (1684).
Nova Methodus pro Maximis et Minimis
. Acta Eruditorum.
9. Euler, L. (1748).
Introductio in analysin infinitorum
. Lausanne.
10. Lagrange, J. L. (1797).
Théorie des fonctions analytiques
. Paris.
11. Kline, M. (1972).
Mathematical Thought from Ancient to Modern Times
. Oxford University
Press.
12. Thomas, G. B., & Finney, R. L. (2002).
Calculus and Analytic Geometry
. Addison-Wesley.
13. Simmons, G. F. (1996).
Differential Equations with Applications and Historical Notes
.
McGraw-Hill.
14. Bronshtein, I. N., & Semendyayev, K. A. (2004).
Handbook of Mathematics
. Springer.
15. Bishop, C. M. (2006).
Pattern Recognition and Machine Learning
. Springer.
