“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
36
MONJ TEOREMASINING FAZOVIY SHAKLLAR
YORDAMIDAGI ISBOTI
Rasul Qo‘shnazarov
Abu Rayhon Beruniy nomidagi Urganch davlat universiteti matematika
mutaxassisligi magistranti.
Annotatsiya
: Ushbu maqolada tekislikdagi uchta aylanaga jufti-jufti bilan
olinib o‘tkazilgan urinmalar kesishgan uchta nuqtaning bir to‘g‘ri chiziqda yotishi
haqidagi Monj teoremasini fazoviy shakllar yordamida isbotlaymiz va bu natijani
ixtiyoriy uchta tashqi gomotetik shakllar uchun umumlashtiramiz.
Kalit so‘zlar:
Gomotetiya markazi, tekislik, shar, konus, to‘g‘ri chiziq.
Аннотация:
В данной статье мы докажем теорему Монжа о том, что три
точки пересечения попарно проведенных касательных к трем окружностям на
плоскости лежат на одной прямой, используя пространственные фигуры, и
обобщим этот результат для любых трех внешних гомотетических фигур.
Ключевые слова:
Центр гомотетии, плоскость, шар, конус, прямая
линия.
Annotation:
In this article, we prove Monge's theorem, which states that the
three intersection points of tangents drawn pairwise to three circles in a plane lie on
a straight line, using three dimensional space. We then generalize this result for any
three externally homothetic figures.
Keywords:
center of homotety, plane, sphere, cone, straight line.
Quyida keltiriladigan fransuz matematigi Gaspard Monj nomiga
atalgan Monj teoremasi olimpiadachilarga yaxshi tanish bo‘lib maktab o‘quvchilari
orasidagi ko‘pgina xalqaro olimpiada masalalarini yechishda qo‘llanilib kelinadi.
Teorema
(Monj teoremasi). Tekislikda radiuslari o‘zaro farqli hamda biri
boshqasining ichida to‘liq joylashmaydigan
1
,
2
,
3
aylanalar berilgan bo‘lib, P
1
nuqta
2
va
3
, P
2
nuqta
1
va
3
, P
3
nuqta esa
1
va
2
aylanalarning tashqi
urinmalari kesishgan nuqtalar deylik. U holda P
1
, P
2
va P
3
nuqtalar bitta to‘g‘ri
chiziqda yotadi.
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
37
1-rasm
Isbot.
Bu teoremaning bir qancha isbotlari mavjud bo‘lib, ulardan ba’zilari
qo‘shimcha teoremalarda, masalan Menelay yoki Dezarg teoremalaridan
foydalanishni talab qiladi. Lekin ushbu masalaning fazodagi analogini qarasak,
Monj teoremasi nuqta va tekisliklarning oddiy xossalaridan kelib chiqadigan natija
bo‘lib qoladi! Teorema isbotiga ikki xil usulda yondashamiz: sharlar yordamida va
konuslar yordamida.
Birinchi yondashuv.
1
,
2
,
3
aylanalarni mos ravishda S
1
, S
2
, S
3
sferalarning ekvator aylanasi sifatida qaraylik. U holda P
1
, P
2
, P
3
nuqtalar mos
ravishda S
2
va S
3
, S
1
va S
3
, S
1
va S
2
sferalarga o‘tkazilgan tashqi urinmalarning ham
kesishish nuqtasi bo‘lib qoladi. Haqiqatdan ham, ma’lumki radiuslari turli bo‘lgan
ikki sferaning barcha tashqi urinmalari to‘plami konus hosil qiladi. Bu konusning
uchi sferalar uchun tashqi gomotetiya markazi (o‘xshashlik markazi) bo‘lgani
uchun, bir tekislikda yotuvchi ekvator aylanalarining tashqi urinmalari konusning
yasovchilari bo‘ladi. Demak bu yasovchilar kesishadigan P
1
, P
2
, P
3
nuqtalar jufti-
jufti bilan olingan sferalarning tashqi o‘xshashlik markazlari ham bo‘ladi.
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
38
2-rasm
Demak, quyidagicha xulosa qilsak bo‘ladi. Fazoda berilgan uchta sferadan
jufti-jufti bilan olinib tashqi urinma konuslari o‘tkazilsa, bu konuslarning uchlari bir
to‘g‘ri chiziqda yotishini ko‘rsatsak, bu sferalar va urinmalarni sferalarning ularning
markazlaridan o‘tuvchi tekislikdagi qismini qarash natijasida Monj teoremasi kelib
chiqadi.
Keling, ushbu sferalar yordamidagi yondashuvda, uchta sferaga ham urinuvchi
tekislik mavjud bo‘lsin deb qaraylik. Ravshanki bu holda teoremani biroz xususiy
holda isbotlagan bo‘lamiz, lekin bu albatta isbotni keyinchalik konuslar yordamida
to‘ldirib ketamiz.
Berilgan S
1
, S
2
va S
3
sferalarning uchalasiga ham urinuvchi
tekislik
o‘tkazamiz. Bu
tekislik bir vaqtda S
1
va S
2
sferaga uringani uchun, S
1
va S
2
ga
tashqi urinuvchi konusga ham yasovchisi bo‘ylab urinadi. Bundan bu konusning
uchi, ya’ni S
1
va S
2
sferalarning o‘xshashlik markazi P
3
nuqtaning
tekislikka
tegishli bo‘lishi kelib chiqadi. Ayni paytda esa P
3
nuqta
1
,
2
,
3
aylanalar
yotgan tekislikda ham yotgani uchun, u
va berilgan aylanalar yotgan tekislik
kesishmasiga ham tegishli bo‘ladi. Xuddi shu mulohazani S
1
, S
3
va S
2
, S
3
sferalar
uchun ham yuritib, P
2
va P
1
nuqtalar ham yuqoridagi ikkita tekislik kesishmasida
yotishini bilib olamiz. Stereometriya kursidan ma’lumki parallel bo‘lmagan ikkita
tekisli to‘g‘ri chiziq bo‘ylab kesishadi.
1
,
2
,
3
aylanalarning radiuslari turlicha
bo‘lgani uchun
tekislik ular yotgan tekislikka parallel bo‘la olmaydi. Demak P
1
,
P
2
va P
3
nuqtalar ushbu ikkita tekislik kesishmasi bo‘lgan to‘g‘ri chiziqda
joylashar ekan.
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
39
Yuqorida aytganimizdek S
1
, S
2
, S
3
sferalar umumiy urinmaga ega bo‘lsin deb,
isbotni biroz xususiy hol uchun berdik. Aslida bu uchta sfera umumiy urinmaga ega
bo‘la olmagan holda ham Monj teoremasi o‘rinli bo‘ladi
3-rasm
Masalan 3-rasmdagidek sferalarning uchalasiga ham urinadigan tekislik
o‘tkazzib bo‘lmaydi, lekin
1
,
2
,
3
aylanalar uchun Monj teoremasi o‘rinli.
Aylananing fazodagi analogi sfera bo‘lganligi uchun dastlab birinchi
yondashuv xayolga kelishi ta’biiy edi. Lekin ko‘rdikki, sferalarga bizga isbotda
kerak bo‘lgan asosiy tekislik: umumiy urinma tekisligini har doim ham o‘tkazib
bo‘lmas ekan. Ammo sfera o‘rniga asoslari mos ravishda berilgan
1
,
2
,
3
aylanalardan iborat bo‘lgan K
1
, K
2
, K
3
konuslarni qarasakchi.
Ikkinchi yondashuv.
Endi asoslari bir tekislikda yotuvchi
1
,
2
,
3
aylanalardan iborat konuslarning balandliklari nisbatini mos asoslari radiuslarining
nisbatlaricha qilib, aniqrog‘i bu K
1
, K
2
, K
3
konuslarni o‘zaro o‘xshash bo‘ladigan
qilib olaylik.
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
40
4-rasm
Konusning afzallik tomoni shundaki, 3 ta konusga, ular qanday joylashishidan
qat’iy nazar ularning uchlaridan o‘tuvchi tekislik har doim mavjud bo‘ladi. K
1
, K
2
,
K
3
konuslarning uchlari orqali o‘tuvchi tekislikni
bilan belgilaylik. K
1
va K
2
konuslar tuzib olishimizga ko‘ra o‘xshash bo‘lgani uchun ularning o‘xshashlik
markazi asoslari
1
va
2
aylanalarning o‘xshashlik markazi bo‘lgan P
3
nuqta bilan
ustma-ust tushadi. Shu sababli bu konuslarning uchlari orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq
P
3
nuqtadan o‘tadi. Bundan tashqari
tekislik K
1
va K
2
ning uchlaridan o‘tgani
uchun, bu uchlar orqali o‘tadigan to‘g‘ri chiziq
da yotadi. Demak P
3
nuqta ushbu
to‘g‘ri chiziqqa va bundan
tekislikka ham tegishliligi kelib chiqadi. Xuddi
shunday mulohazani K
2
va K
3
, K
1
va K
3
konuslar uchun yuritib,
1
P
va
2
P
ekanligini ham topamiz. Boshqa tomondan P
1
, P
2
, P
3
lar
1
,
2
va
3
aylanalar
yotgan tekislikda joylashgan edi, shu sababli bu nuqtalar ushbu tekislik va
tekislikning kesishmasidan iborat bo‘lgan to‘g‘ri chiziqda yotishi kelib chiqadi.
Demak teorema to‘liq isbotlandi.
1-Izoh.
Aslida Monj teoremasida keltirilgan aylanalar biri ikkinchisining
ichida joylashib qolganda ham o‘rinli bo‘ladi, chunki bunday aylanalarga umumiy
tashqi urinma o‘tkazib bo‘lmagani bilan, ular har doim tashqi o‘xshashlik markaziga
ega bo‘laveradi va bu o‘xshashli markazi urinmalar kesishgan nuqta vazifasini
bajarib keladi. Biz keltirgan isbotda ham aslida tashqi urinmalar kesishgan nuqta
o‘rniga, yanada umumiyroq bo‘lgan tashqi o‘xshashlik markazidan foydalanilgan.
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
41
2-Izoh.
Ushbu isbot usuli yordamida nafaqat tekislikdagi uchta aylana, balki
ixtiyoriy bir biriga uchta tashqi gomotetik shakllarning ham tashqi gomotetiya
markazlari bir to‘g‘ri chiziqda yotishini ko‘rsatsa bo‘ladi. Bunda konus o‘rniga
asosi berigan shakldan iborat bo‘lgan o‘zaro o‘xshash piramidasimon jismlarni
qarash yetarli bo‘ladi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
A. Y. Narmanov. Analitik geometriya // O‘zbekiston faylasuflari milliy
jamiyati nashriyoti. Toshkent 2008.
2.
Graham, L. A. Ingenious Mathematical Problems and Methods. New
York: Dover. (1959).
3.
https://en.wikipedia.org/wiki/Monge’s_theorem
