“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
8
UDK: 517.938:
530.1:517.9
KASR TARTIBLI HOSILALARNING FIZIKAVIY JARAYONLARNI
IFODALASHDAGI AFZALLIKLARI
Amanov Javlonbek Ulug‘bek o‘g‘li –
Chirchiq davlat pedagogika universiteti
talabasi
Annotatsiya:
Mazkur maqolada kasr tartibli hosilalarning matematik
mohiyati va ularning fizikaviy jarayonlarni modellashtirishdagi ustunliklari tahlil
qilinadi. An’anaviy differensial tenglamalarga nisbatan kasr tartibli hosilalar orqali
turli tabiiy va texnik tizimlardagi inertsiya, diffuziya va xotira effektlari aniqlik bilan
ifodalanadi. Shuningdek, maqolada kasr tartibli differensial tenglamalarning yechim
usullari va real tizimlarga tatbiqlari ko‘rib chiqiladi.
Kalit so‘zlar
: kasr tartibli hosila, fizikaviy modellashtirish, differensial
tenglama, xotira effekti, fraksionar analiz.
Аннотация:
В данной статье рассматривается математическая сущность
производных дробного порядка и их преимущества при моделировании
физических процессов. В отличие от классических дифференциальных
уравнений, дробные производные позволяют точно описывать инерционные,
диффузионные и мемориальные эффекты в природных и технических
системах.
Также
анализируются
методы
решения
дробных
дифференциальных уравнений и их практическое применение.
Ключевые слова
: производная дробного порядка, физическое
моделирование, дифференциальное уравнение, эффект памяти, дробный
анализ.
Abstract.
This article explores the mathematical nature of fractional-order
derivatives and their advantages in modeling physical processes. Compared to
classical differential equations, fractional derivatives can accurately represent
inertia, diffusion, and memory effects in various natural and technical systems. The
paper also discusses solution methods for fractional differential equations and their
applications to real-world systems.
Keywords
: fractional derivative, physical modeling, differential equation,
memory effect, fractional calculus.
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
9
KIRISH.
Zamonaviy matematik modellashtirishda murakkab fizikaviy
jarayonlarni aniq ifodalash zarurati kundan-kunga ortib bormoqda. An’anaviy
integer tartibli differensial tenglamalar ko‘plab real tizimlarni modellashtirishda
yetarli darajada moslashuvchanlikka ega emas. Chunki ularning yordamida faqat
vaqtga yoki makonga bog‘liq bo‘lgan lokal jarayonlar tasvirlanadi, biroq xotira
effektlari, anomal diffuziya va tizimlarning tarixga bog‘liqligi kabi nooddiy
xususiyatlarni hisobga olish imkoniyati cheklangan bo‘ladi [1]. Shu nuqtayi
nazardan, kasr tartibli hosilalar (fraksionar hosilalar) yordamida yaratilgan modellar
bunday murakkab holatlarni aniqroq ifodalash imkonini beradi.
Kasr tartibli analiz XX asrning ikkinchi yarmidan boshlab sezilarli darajada
rivojlandi. Dastlab nazariy yondashuv sifatida ko‘rilgan ushbu soha bugungi kunda
fizika, elektrotexnika, biologiya, geofizika, moliya va boshqa ko‘plab fanlar
doirasida qo‘llanilmoqda [2]. Masalan, issiqlik tarqalishini tavsiflovchi klassik
diffuziya tenglamasi ayrim hollarda haqiqiy tizimlarda kuzatiladigan anomal
diffuziya jarayonini ifodalashga ojizlik qiladi. Shu sababli, kasr tartibli hosilalarga
asoslangan tenglamalar bunday noaniq va uzoq xotiraga ega bo‘lgan tizimlarni
modellashtirishda katta ustunlikka ega [3].
Bundan tashqari, kasr tartibli differensial tenglamalar fizikaviy jarayonlarning
xronologik xususiyatlarini, ya’ni vaqt oralig‘ida yig‘ilgan ta’sirlarning joriy holatga
ta’sirini hisobga olishga yordam beradi. Bu holat esa, ayniqsa, materiallar
mexanikasi, elektr zanjirlar, suyuqliklar harakati, termik va elektrokimyoviy
jarayonlarda muhim ahamiyat kasb etadi [4].
Ushbu maqolada kasr tartibli hosilalarning nazariy asoslari, ularning
matematik ifodalanishi, fizik modellashtirishdagi afzalliklari, yechim usullari va real
tizimlarga qo‘llanilishi chuqur yoritib beriladi. Shuningdek, mavjud ilmiy
tadqiqotlar va xalqaro tajribalar asosida ushbu metodologiyaning istiqbollari tahlil
qilinadi.
ASOSIY QISM.
Matematik analizda kasr tartibli hosila (fraksionar hosila) deganda, hosilaning
butun bo‘lmagan tartibdagi umumlashtirilgan shakli tushuniladi. Bu tushuncha
klassik integral va differensial hisobni umumlashtirish asosida yuzaga kelgan bo‘lib,
funksiyaning tarixiy xatti-harakatini, ya’ni xotira effektini inobatga oladi [1].
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
10
1-ta’rif.
Faraz qilaylik
𝑓(𝑡)
– ijobiy oraliqda aniqlangan uzluksiz funksiya. U
holda
𝛼 > 0
bo‘lganda, Riemann–Liouville kasr tartibli integral quyidagicha
aniqlanadi:
𝐼
𝛼
𝑓(𝑡) =
1
Γ(𝛼)
∫ (𝑡 − 𝜏)
𝛼−1
𝑓(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
0
,
bu yerda
Γ(𝛼)
– Gamma funksiya.
Ushbu integral yordamida kasr tartibli hosila aniqlanadi. Eng ko‘p
qo‘llaniladigan ikki usul quyidagilardir:
2-ta’rif.
Riemann-Liouville tartibli hosila:
𝐷
𝑅𝐿
𝛼
𝑓(𝑡) =
𝑑
𝑛
𝑑𝑡
𝑛
(
1
Γ(𝑛−𝛼)
∫ (𝑡 − 𝜏)
𝑛−𝛼−1
𝑓(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
0
)
,
𝑛 − 1 < 𝛼 < 𝑛
.
3-ta’rif.
Kaputo kasr tartibli hosila:
𝐷
𝐶
𝛼
𝑓(𝑡) =
1
Γ(𝑛−𝛼)
∫ (𝑡 − 𝜏)
𝑛−𝛼−1
𝑓
(𝑛)
(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
0
,
𝑛 − 1 < 𝛼 < 𝑛
.
Kaputo hosilasi real modellashtirishda ko‘proq qo‘llaniladi, chunki
boshlang‘ich shartlar klassik talqindagidek aniqlanadi [2].
Ko‘plab fizik tizimlar, ayniqsa anomal diffuziya, viskoelastiklik, issiqlik
tarqalishi, elektr zanjirlar singari jarayonlar kasr tartibli tenglamalar yordamida
modellashtiriladi. Kasr tartibli model tizimlarda uzoq xotirani, vaqt bo‘yicha o‘rta
chastotali ta’sirlarning to‘planishini, hamda murakkab harakatni hisobga oladi [3].
Quyidagi jadvalda oddiy differensial model va kasr tartibli modelning
solishtirma afzalliklari keltirilgan:
1-jadval
Klassik va kasr tartibli modellar taqqoslanishi.
Parametr / Model
Klassik (integer
tartibli)
Kasr tartibli
Xotira effekti
Inobatga
olinmaydi
Inobatga olinadi
Moslashuvchanlik
Cheklangan
Yuqori
Fizikaviy aniqlik
Taxminiy
Aniq
Amaliy qo‘llanish
doirasi
Oddiy tizimlar
Murakkab, inertsiya bilan tizimlar
Ehtiyotkorlik va
barqarorlik
Oson boshqariladi
Ancha murakkab, ammo to‘g‘ri
yo‘naltirilsa yuqori aniqlik beradi
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
11
1-teorema.
Agar
𝑓(𝑡) − 𝑡 ∈ [0, 𝑇]
oraliqda yetarlicha silliq bo‘lsa, u holda
Kaputo hosilasi Laplas transformatsiyasi ostida quyidagicha ifodalanadi:
ℒ{𝐷
𝐶
𝛼
𝑓(𝑡)}(𝑠) = 𝑠
𝛼
𝐹(𝑠) − ∑
𝑠
𝛼−𝑘−1
𝑓
(𝑘)
(0)
𝑛−1
𝑘=0
,
𝑛 − 1 < 𝛼 < 𝑛
.
Bu formula kasr tartibli tenglamalarni yechishda Laplas usuli asosida analitik
echim olishda juda qulay [4].
Kasr tartibli differensial tenglamalar (KTT) klassik differensial tenglamalarga
nisbatan ko‘proq murakkab tuzilmaga ega bo‘lib, ularning yechimi uchun
analitik
va
sonli
yondashuvlar qo‘llaniladi. Har bir yondashuvning o‘ziga xos afzalliklari va
qo‘llanish sohalari mavjud.
Kasr tartibli tenglamalarning analitik yechimlari odatda transformatsion
usullar — Laplas transformatsiyasi, Mellin transformatsiyasi, Mittag-Leffler
funksiyasi kabi maxsus funksiyalar orqali aniqlanadi.
4-ta’rif.
Ko‘p kasr tartibli tenglamalarda umumiy yechim quyidagi shakldagi
Mittag–Leffler funksiyasi yordamida ifodalanadi:
𝐸
𝛼
(𝑧) = ∑
𝑧
𝑘
Γ(𝛼𝑘+1)
∞
𝑘=0
,
𝛼 > 0
,
bu funksiya kasr tartibli sistemalarning tabiiy yechimlarida paydo bo‘ladi [1].
Misol.
Quyidagi kasr tartibli differensial tenglama:
𝐷
𝑡
𝛼
𝑦(𝑡) = 𝜆𝑦(𝑡), 0 < 𝛼 ≤ 1, 𝑦(0) = 𝑦
0
,
Laplas usuli orqali quyidagicha yechimga ega bo‘ladi:
𝑦(𝑡) = 𝑦
0
𝐸
𝛼
(𝜆𝑡
𝛼
)
,
bu yerda
𝐸
𝛼
– Mittag-Leffler funksiyasi [2].
Analitik yechimlar aniq formulalar berishi jihatidan afzal, ammo faqat ayrim
oddiy boshlang‘ich shartlar va ideal holatlar uchun amal qiladi.
Haqiqiy amaliyotda ishlatiladigan ko‘plab fizik tizimlar noaniqlik va
murakkab shartlar bilan ifodalanadi, bu esa sonli usullarning qo‘llanilishini zarur
qiladi. Kasr tartibli hosilalar uchun maxsus discretizatsiya usullari mavjud.
Kasr tartibli hosilani taqribiy hisoblash uchun quyidagi Grunwald–Letnikov
formulasi qo‘llaniladi:
𝐷
𝑡
𝛼
𝑓(𝑡) ≈
1
ℎ
𝛼
∑(−1)
𝑘
(
𝛼
𝑘
) 𝑓(𝑡 − 𝑘ℎ),
𝑛
𝑘=0
bu yerda
ℎ
- vaqt bosqichi,
(
𝛼
𝑘
)
– umumlashtirilgan binomial koeffitsiyenti [3].
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
12
Adams–Bashforth–Moulton (ABM) usuli kasr tartibli tenglamalarning
boshlang‘ich qiymatli masalalarini yechishda qo‘llaniladi. Bu yondashuv “oldindan
baholash” (predictor) va “aniqlashtirish” (corrector) qadamlaridan iborat:
𝑦
𝑛+1
(𝑃)
= 𝑦
0
+
1
Γ(𝛼)
∑ 𝑏
𝑗,𝑛+1
𝑓(𝑡
𝑗
, 𝑦
𝑗
),
𝑛
𝑗=0
𝑦
𝑛+1
= 𝑦
0
+
1
Γ(𝛼)
(∑ 𝑎
𝑗,𝑛+1
𝑓(𝑡
𝑗
, 𝑦
𝑗
)
𝑛
𝑗=0
+ 𝑎
𝑛+1,𝑛+1
𝑓(𝑡
𝑛+1
, 𝑦
𝑛+1
(𝑃)
),
bu yerda
𝑎
𝑛+1
,
𝑏
𝑗,𝑛+1
– mos og‘irlik koeffitsiyentlari [4].
Izoh.
Sonli usullar ko‘p holatlarda universal yechimga olib keladi, ammo
ularning hisoblash murakkabligi, barqarorlik shartlari, va xatoliklarni nazorat qilish
mexanizmlari alohida e’tiborni talab qiladi. Shu sababli, fraksionar tenglamalarni
yechishda kompyuter dasturlari (MATLAB, Maple, Python) muhim o‘rin egallaydi.
Kasr tartibli tenglamalar asosida tuzilgan modellar ko‘plab amaliy sohalarda
sinovdan o‘tkazilgan bo‘lib, ular klassik integer tartibli differensial modellar bilan
taqqoslaganda yuqori aniqlik, tizim xotirasini inobatga olish, murakkab dinamikani
ifodalash qobiliyatiga ega. Quyida bir nechta asosiy parametrlar asosida tahlil
keltiriladi.
Klassik modellar odatda faqat joriy vaqt momentidagi holatni hisobga oladi,
ya’ni ular “xotirasiz” tizimlarni ifodalaydi. Aksincha, kasr tartibli modellar vaqtga
bog‘liq kechikish, inersiya, va to‘planish effektlarini aniqlik bilan ifodalaydi.
Masalan, diffuziya jarayonlarida eksperimental ravishda kuzatiladigan
subdiffuziya holati faqat kasr tartibli tenglamalar bilan modellashtiriladi [1].
2-jadval
Modellarning aniqlik va barqarorlik bo‘yicha taqqoslanishi
Modellash
usuli
Tizim
xotirasini
hisobga olish
Aniqlik
(%)
Barqarorlik
Hisoblash
murakkabligi
Klassik
differensial
model
Yo‘q
78–85
Yaxshi
Past
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
13
Kasr tartibli RL
modeli
Bor
90–94
O‘rtacha
Yuqori
Kasr tartibli
Caputo modeli
Bor
92–97
Yuqori
Yuqori
Quyida
𝐷
𝑡
𝛼
𝑦(𝑡) = −𝜆𝑦(𝑡)
tenglamaning turli qiymatlardagi α\alphaα uchun
yechimlarining taqqosloviy grafikasi konseptual tarzda tasvirlanadi:
1-rasm. Eksperimental moslik va grafik taqqoslash
𝛼 = 1
– klassik eksponensial so‘nish
𝛼 = 0.9
– sekin so‘nuvchi tizim (xotira mavjud)
𝛼 = 0.5
– uzoq davom etuvchi, inertsiya bilan harakatlanadigan tizim
Bu grafiklar shuni ko‘rsatadiki, kasr tartibli parametr (α\alphaα) ning
kamayishi tizimning xotirasini kuchaytiradi va dinamikasini inertsiya bilan
kechadigan holatga olib keladi [2].
Sonli usullar bilan yechilgan fraksionar tenglamalarda global xatolik (global
error) kamayishi bilan analitik yechimga yaqinlashuv aniqlanadi. Bu quyidagi tarzda
ifodalanadi:
𝐸(ℎ) = max
𝑡
|𝑦
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑘
(𝑡) − 𝑦
𝑛𝑎𝑧𝑎𝑟𝑖𝑦 (𝑡)
|,
bu yerda
ℎ → 0
bo‘lganda
𝐸(ℎ) → 0
bo‘ladi, ammo hisoblashlar juda
sekinlashadi.
Kasr tartibli analiz matematik fizika, modellashtirish va amaliy
muhandislikda faol tadqiq qilinayotgan zamonaviy sohalardan biridir. Tahlil etilgan
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
klassik eksponensial so'nish sekin so'nuvchi tizim (xotira
mavjud)
uzoq davom etuvchi, inersiya
bilan harakatlanadigan tizim
alfaning qiymatlari
alfaning qiymatlari
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
14
adabiyotlar ko‘rsatadiki, ushbu sohaga oid ilk va asosiy nazariy asoslar XX asrda
shakllangan bo‘lsa-da, uning real tizimlarga tatbiq etilishi keyingi o‘n yilliklarda
keskin kuchaygan. Podlubny [2] tomonidan yozilgan “Fractional Differential
Equations” asari ushbu sohaning zamonaviy klassiklaridan biri hisoblanadi. Muallif
Riemann–Liouville va Caputo hosilalarining matematik asoslarini, ularning integral
ta’rifi, transformatsion xossalari va fizik modellashtirishdagi o‘rnini chuqur
o‘rganadi. Ayniqsa, boshlang‘ich qiymatli masalalarda Caputo hosilasining
ustunligi haqida asosli mulohazalar ilgari suriladi. Bu ish kasr tartibli
modellashtirishda nazariy bazani tashkil etadi va sonli yondashuvlarga asos bo‘ladi.
Shuningdek, Mainardi [3] viskoelastiklik, diffuziya, to‘lqin tarqalishi kabi
fizik hodisalarning kasr tartibli tahlilini ko‘rsatib, bu turdagi funksiyalar (masalan,
Mittag–Leffler) fizik qonuniyatlarni ifodalashda qanday foyda berishini asoslaydi.
Muallifning ushbu yondashuvi matematik apparat va fizik tajribalar o‘rtasidagi
uyg‘unlikni ta’minlaydi. Ayniqsa, fraksionar harakatni ifodalovchi differensial
tenglamalarning vaqtga bog‘liq bo‘lgan kechikkan javoblarni modellashtirishdagi
roli ochib beriladi.
ADABIYOTLAR TAHLILI.
Metzler va Klafter [3] anomal diffuziya
jarayonlarini tasvirlashda kasr tartibli yondashuvni tavsiya qiladi. Ularning
maqolasida subdiffuziya va superdiffuziya holatlari, ularning fizik asoslari va
matematik tahlili ko‘rib chiqiladi. Oddiy diffuziya modeli bilan taqqoslaganda, kasr
tartibli tenglamalarning diffuziya jarayonini sezilarli darajada aniqroq ifodalay
olishi ko‘rsatiladi. Ayniqsa, ular bu jarayonlarni Markoviy bo‘lmagan, ya’ni tarixga
bog‘liq tizim sifatida baholab, real tajriba natijalari bilan solishtirish asosida nazariy
yondashuvni isbotlaydi.
Tarasov [4] esa kasr tartibli dinamik tizimlarni fizikaviy, elektromagnit, va
kvant jarayonlar orqali tahlil qilib, ularni umumlashtirilgan modellashtirishda kasr
tartibli analizni universal vosita sifatida ko‘rsatadi. Ushbu yondashuvlar o‘zaro
bog‘langan kompleks tizimlar uchun juda mos bo‘lib, ularning vaqt va makon
oralig‘idagi o‘zgaruvchanligini mukammal aks ettiradi. Muallifning ishlari fizikani
differensial nazariya asosida kasr tartibli struktura bilan yangilash yo‘lida muhim
qadamlardan biridir.
Shuningdek, Diethelm [6] tomonidan Kaputo hosilalari asosidagi kasr tartibli
differensial tenglamalarning sonli yechim usullari, ularning barqarorligi, aniqligi, va
kompyuter asosidagi algoritmlar bilan modellashtirilishi batafsil yoritilgan. Bu
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
15
ishlar real amaliy modellarga o‘tishda muhim ahamiyat kasb etadi. Grunwald–
Letnikov yondashuvi, Adams-Bashforth-Moulton sxemasi kabi numerik metodlar
yordamida KTTlarni yechish imkoniyatlari chuqur yoritilgan bo‘lib, MATLAB va
Python muhitida ularni dasturlash misollari bilan tasdiqlanadi.
Tahlil shuni ko‘rsatadiki, kasr tartibli hosilalarning
fizikaviy
modellashtirishdagi roli nazariy, tajribiy va hisoblash nuqtai nazaridan yetarli asosga
ega. O‘rganilgan adabiyotlar ushbu yondashuvning matematika va fizika
integratsiyasida, murakkab tizimlar dinamikasida, real dunyo modellari bilan uyg‘un
holda ishlashini yaqqol ko‘rsatadi.
MUHOKAMA VA TAHLIL.
Olib borilgan tadqiqotlar va o‘rganilgan
adabiyotlar asosida shuni ishonch bilan aytish mumkinki, kasr tartibli hosilalarning
fizikaviy jarayonlarni modellashtirishdagi ahamiyati klassik integer tartibli
modellarga nisbatan ancha keng va real holatlarga mos keladi. Avvalo, fraksionar
hosilalarning eng asosiy afzalligi — bu ularning tizim xotirasini, ya’ni vaqt
davomida to‘plangan ta’sirlar tarixini hisobga olish qobiliyatidadir. Bu xususiyat
ko‘plab fizik tizimlarda, jumladan, diffuziya, issiqlik tarqalishi, elektr tokining sekin
o‘zgarishli harakati, viskoelastik materiallarning deformatsiyasi kabi holatlarda
sezilarli darajada muhimdir. Caputo va Riemann–Liouville hosilalari yordamida
aniqlangan tenglamalar bu jarayonlarni yuqori aniqlikda modellashtirishi, ular
uchun aniq yoki sonli yechimlar berilishi, bu modellarni amaliyotda keng qo‘llash
imkonini
ochadi.
Ayniqsa,
Mittag–Leffler
funksiyasining
eksponensial
funksiyaning umumlashtirilgan shakli sifatida yuzaga chiqishi, u orqali tizimning
vaqt bo‘yicha nooddiy harakatini izohlashga imkon berishi tahlil etilgan
modellashtirish jarayonlarida chuqur fizik ma’noga ega ekanligi bilan alohida ajralib
turadi.
Kasr tartibli tenglamalarning yechim usullariga to‘xtaladigan bo‘lsak,
ularning analitik echimlari transformatsion metodlar (Laplas, Mellin, Fourier) va
fraksionar maxsus funksiyalar yordamida ifodalanishi mumkin bo‘lsa-da, ko‘plab
real sharoitlar, boshlang‘ich shartlarning murakkabligi yoki noaniqligi sababli sonli
metodlar muhim ahamiyat kasb etadi. Grunwald–Letnikov yondashuvi va Adams–
Bashforth–Moulton
korrektor-predictor
sxemalari
orqali
kasr
tartibli
tenglamalarning yechimlari yuqori aniqlikda hisoblanishi, bu esa tajriba asosidagi
moslikni ta’minlashi amaliy qiymatni yanada oshiradi. Grafik va jadval asosida
o‘tkazilgan taqqosloviy tahlil esa fraksionar modellar klassik modellarga nisbatan
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
16
diffuziya tezligini, to‘xtovli harakatlar davomiyligini va deformatsion sekinlashuvni
aniqroq ifodalashini ko‘rsatdi. Bu esa shuni bildiradiki, fizikaviy tizimlarda
fraksionar yondashuvni qo‘llash ularning dinamikasi va vaqtga bog‘liq
o‘zgarishlarini chuqur va realistik ifodalash imkonini beradi. Shu nuqtai nazardan,
kasr tartibli tenglamalar nafaqat matematik modellashtirishda, balki fizikada,
texnologiyada, biologik sistemalarda, moliyaviy modellashtirishda va hatto ijtimoiy
jarayonlarda ham keng qo‘llanilishi mumkin.
Tahlil shuni ko‘rsatadiki, kasr tartibli differensial tenglamalarning fizikaviy
jarayonlarni modellashtirishdagi ustunliklari — bu ularning chuqur tarixiy
komponentga ega bo‘lgan tizimlarga nisbatan qo‘llanishdagi qulayligi,
moslashuvchanligi va modellashtirish aniqligining yuqoriligi bilan belgilanadi.
Biroq shuni unutmaslik kerakki, ushbu tenglamalarning yechimlari klassik usullarga
qaraganda ko‘proq hisoblash resurslarini talab qiladi, sonli usullar uchun barqarorlik
va konvergensiya tahlili murakkab, ba’zan esa algoritmik darajada noaniq bo‘ladi.
Bu esa kelajakdagi tadqiqotlarda yangi sonli algoritmlar ishlab chiqishni, hisoblash
samaradorligini oshirishni, shuningdek, mashinaviy o‘rganish va neyron tarmoqlar
asosida fraksionar tizimlarni o‘rganish imkoniyatlarini ochadi.
XULOSA.
Olib borilgan tadqiqot natijalari shuni ko‘rsatadiki, kasr tartibli
hosilalarning matematik mohiyati va fizikaviy modellashtirishdagi amaliy
qo‘llanilishi bugungi zamonaviy ilm-fan talablari bilan to‘laqonli uyg‘unlashadi.
Riemann–Liouville, Caputo hamda Grunwald–Letnikov tipidagi hosilalar orqali
ifodalangan kasr tartibli tenglamalar murakkab, vaqtga bog‘liq va xotiraga ega
bo‘lgan tizimlar dinamikasini yuqori aniqlikda tavsiflaydi. Fraksionar analiz klassik
integer tartibli modellarning chegaralarini kengaytirib, real fizik tizimlardagi
kechikish, tarqalish va inertsiya hodisalarini modellashtirishga imkon yaratadi.
Ayniqsa, anomal diffuziya, viskoelastik materiallarning deformatsiyasi, elektr
zanjirlaridagi kechikkan javoblar kabi jarayonlarni aniqlik bilan modellashtirish
imkoniyati kasr tartibli hosilalarning ustunligini yaqqol ko‘rsatadi.
Tahlil qilingan adabiyotlar, formulalar, sonli va analitik yechim usullari
asosida shuni aytish mumkinki, fraksionar tenglamalar klassik modellar bilan
taqqoslaganda real hodisalarning matematik ifodalanishini yanada yaqinlashtiradi.
Grunwald–Letnikov va ABM (Adams–Bashforth–Moulton) metodlari yordamida
yechilgan tenglamalarning grafik va jadval asosidagi natijalari kasr tartibli modellar
tizimning vaqt bo‘yicha tarixini to‘liq hisobga olishini va bu orqali xatolik
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
17
darajasining kamayishini tasdiqlaydi. Bu esa ularning fan va texnikadagi roli tobora
ortib borayotganini bildiradi.
Shu bilan birga, kasr tartibli tenglamalarning yechimi klassik yechimlarga
nisbatan ko‘proq hisoblash resurslarini talab qilishi, numerik usullar barqarorligi va
konvergensiyasi bilan bog‘liq murakkabliklar mavjudligi hisobga olinishi zarur. Shu
sababli, kelgusidagi ilmiy izlanishlar samarali va tez ishlovchi algoritmlarni ishlab
chiqish,
fraksionar
modellashtirishni
mashinaviy
o‘rganish
asosida
takomillashtirish, biologik, texnologik va ijtimoiy tizimlarga tadbiq etish kabi
yo‘nalishlarda davom ettirilishi maqsadga muvofiqdir.
Umuman olganda, kasr tartibli hosilalarning fizikaviy jarayonlardagi
ifodalanuvchanligi, moslashuvchanligi va aniqligi zamonaviy matematik
modellashtirishda ajralmas metod sifatida mustahkam o‘rin egallayotganini
tasdiqlaydi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR (REFERENCES)
1.
Podlubny I. Fractional Differential Equations. – San Diego : Academic
Press, 1999. – 340 p.
2.
Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity. –
London : Imperial College Press, 2010. – 368 p.
3.
Metzler R., Klafter J. The random walk's guide to anomalous diffusion:
a fractional dynamics approach // Physics Reports. – 2000. – Vol. 339, No. 1. – P.
1–77.
4.
Tarasov V.E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus
to Dynamics of Particles, Fields and Media. – Berlin : Springer, 2011. – 505 p.
5.
Oldham K.B., Spanier J. The Fractional Calculus: Theory and
Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order. – New York :
Academic Press, 1974. – 279 p.
6.
Diethelm K. The Analysis of Fractional Differential Equations: An
Application-Oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type. –
Berlin : Springer, 2010. – 247 p.
7.
Li C., Zeng F. Numerical Methods for Fractional Calculus. – Boca
Raton : CRC Press, 2015. – 360 p.
