MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
82
ПРЕИМУЩЕСТВА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КООРДИНАТНОГО МЕТОДА
ПРИ РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Эшимова Феруза Кенжабоевна,
ассистент кафедры экономики и инженерии,
Самаркандский кампус университета экономики и педагогики,
Г. Самарканд, Республика Узбекистан.
Аннотация: В данной работе изучается преимущества использования
координатного метода при решении геометрических задач. С помощью этого
метода можно разместить фигуры на плоскости или в пространстве в
системе координат и решать задачи с использованием алгебраических
методов.
Ключевые слова: Точка, плоскость, число, уравнение, метод, абсцисса,
ордината, окружность, парабола, координатная ось, длина, вектор.
ADVANTAGES OF USING THE COORDINATE METHOD IN SOLVING
GEOMETRIK PROBLEMS
Feruza Eshimova Kenjaboyevna
Assistant of the Department of Economics and Engineering,
Samarkand Campus of the University of Economics and Pedagogy,
Samarkand City, Republic of Uzbekistan.
Abstract: This paper examines the advantages of using the coordinate method
in solving geometric problems. With the help of this method, it is possible to place
figures on a plane or in space within a coordinate system and solve problems using
algebraic methods.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
83
Keywords: Point, plane, number, equation, method, abscissa, ordinate, circle,
parabola, coordinate axis, length, vector.
Введение
Использование координатного метода при решении геометрических задач —
это размещение фигур на плоскости или в пространстве в системе координат и
решение задач с помощью алгебраических методов. Этот метод является одним
из основных направлений аналитической геометрии и упрощает работу с
сложными формами или фигурами. В рамках математических понятий, задач и
методов, изучаемых в общеобразовательных школах, понятия координат и
векторов, широко применяемые на практике и являющиеся одними из основных
в математике, имеют большое значение. Благодаря свойствам векторов в
координатной форме и простоте векторных вычислений, сводящихся к
операциям над числами и координатами векторов, координатно-векторный
метод является одним из надёжных способов решения геометрических задач.
Основная часть
Координатный метод — это способ изучения геометрических фигур
аналитическим методом, то есть с помощью вычислений, который сводит
геометрические
задачи
к
алгебраическим.
Такие
задачи
легко
алгоритмизируются, то есть приводятся к определённой последовательности
вычислений. Координатный метод является пересечением двух отраслей
математики — алгебры и геометрии, устанавливая тесную связь между
геометрическими объектами и алгебраическими формулами. Эта связь
осуществляется через систему координат.
Если взглянуть на историю, более чем за 100 лет до н. э. греческий
ученный Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и
меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты:
широту и долготу – и обозначить их числами. В ХIV в. французский математик
Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он
предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
84
долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой. Это нововведение
оказалась чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат,
связавший геометрию с алгеброй. Точка плоскости – геометрический объект –
заменяется парой чисел (x; y), т. е. алгебраическим объектом. Принадлежность
точки заданной кривой теперь соответствует тому, что числа x и y
удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты точки окружности с
центром в заданной точке (a; b) удовлетворяют уравнению
(𝑥 − 𝑎)
2
+
(𝑦 − 𝑏)
2
= 𝑅
2
. Основная заслуга в создании координат принадлежит
французскому математику Р. Декарту. Такую систему координат стали
называть декартовой.
Трудно переоценить значение декартовой системы координат в развитии
математики и ее предложений. Огромное количество задач, требовавших для
решения геометрической интуиции, специфических методов, получило
решения, состоящие в аккуратном проведении алгебраических выкладок.
Кривые в поверхности, определяемые ранее геометрически, получили
описание в виде формул. Более того, рассматривая различные уравнения и
изображая соответствующие линии и поверхности, математики получили
новые геометрические образы, оказавшиеся очень полезными в приложениях,
например гиперболические функции.
Существует на плоскости и другие системы координат, например
полярная система координат. Чтобы ее ввести, выбирают начальную точку О,
называемую полюсом, поэтому система и называется полярной. Из этой точки
проводят луч, называющийся полярной осью. Чтобы определить координаты
точки на плоскости, ее соединяют отрезком с полюсом и вычисляют длину
этого отрезка и угол между ним и полярной осью.
Таким образом, каждой точке А плоскости сопоставляется пара чисел
(
𝛼; 𝛽
). Но если в декартовой системе координат эта пара определялась
однозначно, то в полярной системе число
𝛽
определено уже неоднозначно:
парам чисел (
𝛼; 𝛽 + 2𝜋𝑛
) соответствует одна и та же точка при любом целом
числе
n.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
85
1 – Пример:
Найдите координаты точки C, делящей отрезок с вершинами в точках A
(3; 5) и B (1; -4), в отношении AC : CB = 2 : 3
Решение: По условию λ =
2
3
; тогда
𝑥 =
3 + 1 ∙
2
3
1 +
2
3
=
11
3
5
3
=
11
5
; 𝑦 =
5 + (−4) ∙
2
3
1 +
2
3
=
7
3
5
3
=
7
5
Ответ:
𝐶(
11
5
;
7
5
)
2 – Пример:
Найдите периметр треугольника
ABC
с вершинами в точках
А
(9; 3; -5),
В
(2; 10; -5),
С
(2; 3; 2)
Решение: Периметр треугольника
ABC
равен
P = AB + AC+ BC
Найдем стороны треугольника, используя формулу расстояния между
двумя точками
: d
=
√(𝑥
2
− 𝑥
1
)
2
+ (𝑥
2
− 𝑥
1
)
2
+ (𝑥
2
− 𝑥
1
)
2
Получаем:
AB
=
√(2 − 9)
2
+ (10 − 3)
2
+ (−5 − 5)
2
=
√49 + 49
=
7√2
AC
=
√(2 − 9)
2
+ (3 − 3)
2
+ (2 − 5)
2
=
√49 + 49
=
7√2
BC
=
√(2 − 2)
2
+ (3 − 10)
2
+ (2 + 5)
2
=
√49 + 49
=
7√2
Следовательно, треугольник
ABC
равносторонний, и его периметр
равен:
𝑃 = 3 ∙ 7√2
=
21√2
Ответ:
𝑃 = 21√2
Заключение
Выражение геометрических фигур, например треугольников, прямых,
окружностей, трапеций и т. д., в виде алгебраических уравнений с помощью
координат создает большие удобства при их решении. Кроме того, облегчается
построение фигур на координатной плоскости и анализ их взаимного
расположения. Например, можно быстро определить, пересекаются ли отрезки
или перпендикулярны, используя координаты. В методе координат
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
86
используются алгебраические представления геометрических фигур, не
зависящие от их действительной величины, т.е. размера, длины, угла. Это
снижает вероятность ошибки. В общеобразовательных школах метод
координат используется в физике для изучения механических движений, что
облегчает проверку функций и построение графиков в курсе алгебры. Особенно
в задачах, связанных с такими фигурами, как прямые, круги, параболы, метод
координат дает существенные преимущества. В результате этот метод
развивает у учащихся пространственное воображение, укрепляет логическое
мышление и формирует аналитический подход. Поэтому изучение и
применение метода координат в обучении геометрии является актуальным и
полезным.
ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИ:
1.
Федорец Г. Ф. Межпредметные связи процесса обучения – М. Нар.
Образование. 1985 г.
2. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ 1,
М. Издательство МГУ. 1987 г.
3. Kудрявцев Л. Д. и др. Сборник задач математическому анализу.
T 1, 2,3. М. ’’Наука‘‘. 1984 г, 1986 г.
4. Buvraziya Fayzullayeva, Тolliboy Absalomov, (2020). Bisingular Integral In
The Space Of Summable Functions.
The American Journal of Applied
Sciences
,
2
(08), 21–30 p. Vol. 02
5. Эшимова Ф.К. Применение метода математической индукции к некоторым
задачам геометрии // Вестник науки и образования, 2023. № 11(142). Часть 2. 6-
9 стр.
6. Хожиев Ж.Х., Файнлейб А.С., Алгебра ва сонлар назарияси курси,
Тошкент, «Ўзбекистон», 2001 й.
7.
F.E.Kenjaboyevna,
B.Fayzullayeva.
``THE
IMPORTANCE
AND
APPLICATIONS OF COMPARISON THEORY IN MODERN SCIENCE AND
TECHNOLOGY``
Galaxy International Interdisciplinary Research Journal
,
(2025).
13
(5), 188–190.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
87
8. ’’Энциклопедический словарь юного математика’’, Москва изд.
``Педагогика`` 1985 г.
