118
HOLATGA BOG’LIQ IMMIGRATSIYALI GALTON-VATSON JARAYONINING
HOSIL QILISH FUNKSIYALARI HAQIDA
Negmatova Kamola
negmatovakamola@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.16927283
Holatga bog’liq immigratsiyali Galton-Vatson tarmoqlanuvchi jarayonini quyidagicha
tushunish mumkin.
Aytaylik
n
Galton-Vatson jarayonining
n
vaqtdagi zarralar soni bo'lsin
(
1,
1,2,...)
0
n
Ma'lumki, Galton-Vatson jarayonini
( )
,
0
j
F x
p x
j
j
,
0.1,...,
1
1
p
P
j
j
x
j
hosil qilish funksiyasi orqali aniqlash mumkin.
Agar biror butun
m
soni uchun
, 0
k
k
m
n
bo'lsa, u holda shu
n
- momentda
populyatsiyaga (jarayonga)
n
sondagi zarralar kelib qo'shiladi, qo'shilgan zarralar sonininig
evolyutsiyasi keyinchalik
( )
F x
hosil qilish funksiyali odatdagi Galton-Vatson jarayoni
qonuniga bo'ysunadi. Bunday jarayonlar dastlab [1] va [2] ishlarda
0
m
bo’lgan hol qaralgan.
Holatga bog’liq immigratsiyali va uzluksiz vaqtli tarmoqlanuvchi jarayonlar [3], [4], [5] ishlarda
o’rganilgan. Endi avlodlar soni cheksiz ko’payganda, immigratsiya intensivligi kamayadi va
nolga intiladi deb taxmin qilamiz. Ushbu jarayonlar, ya’ni, kamayuvchi va holatga bog’liq
immigratsiyali jarayonlar
0
m
bo’lgan holda [6] ishda qaralgan. Shunday qilib, immigratsiya
quyidagi
0
( )
( ) ,
,
j
j
g
x
q
x x
k n
kj
1,
x
0,1,..., ,
k
m
( ) 0,
q
n
kj
0
( ) 1,
j
q
n
kj
0,1,2,...
n
.
hosil qilish funksiyasi orqali beriladi. Faraz qilaylik,
n
Z
bir nechta holatga bog’liq,
kamayuvchu immigratsiyali tarmoqlanuvchi tasodifiy jarayonning n vaqtdagi zarralar soni
bo’lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz :
1
/
(
),
ij
n
n
P
j
i
k Z
Z
0
/
0
( )
(
),
oj
n
P
i
n
P Z
Z
0
( )
( )
,
j
n
oj
j
x
P n x
1,
x
0
00
0
( )
( )
,
n
n
G x
p
n x
1,
x
,
0
max
(1),
n
k n
k m
g
,
0
max
(1).
n
k n
k m
g
Faraz qilaylik quyidagi shartlar bajarilgan bo’lsin:
(1)
1,
F
0
(1)
2
,
F
b
(1)
119
,
n
n
Sup
,
n
n
Sup
(2)
Ma’lumki, tarmoqlanuvchi jarayonlarni o’rganishda hosil qilish funksiyalar usuli muhim
hisoblanadi. Shuning uchun hosilqilish funksiyalari uchun funksional munosabarlarni toppish
masalari kata ahamiyatga ega. Ma’ruza holatga bog’liq immigratsiyali jarayonlar hosil qilish
funksiyalari uchun o’rinli bo’lgan munosabatlarga bag’ishlangan.
Lemma 1.
Holatga bog’liq immigratsiyali tarmoqlanuvchi jarayonning hosil qilish
funksiyasi uchun quyidagi munosabatlar o’rinli:
1
1
1
1
1
0
0
1
m n
k
Ф x
g
F x F
x p
n s
n
s
s
kn
k
s
k
1
1
,
1
1
k
k
F
x
s
s
sB
x
s
bu yerda
,
0
F
x
x
1
F x
F x
,
1
F
x
F F
x
n
n
0,1,2,...
n
Lemma 3.3.3.
Agar (1) va (2) shartlar bajarilsa, u holda
1
x
-da
0
~
,
1
1
ln
1
G
A
x
x
x
bu yerda
A
biror chekli musbat son.
References:
Используемая литература:
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Foster G. A limit theorem for a branching processes with state-dependent immigration.
Ann.Math.Stat. 42, 5(1971), 1773-1776.
2.
Pakes A. A branching processes with state-dependent immigration component.
Adv.Appl.Prob. 3, 2(1971), 301-314.
3.
Yamazato M. A some results continuous time branching processes with statedependent
immigration. Journ.of Math. Soc. of Japan. 27(3) (1975), 479-496.
4.
Formanov Sh.K., Azimov J.B. Markov branching processes with regular varying generating
function and immigration of special form. Theor. Probabilty and Math. Statist. 2002. Vol.65.
p.181-188.
5.
Азимов Ж.Б. Об асимптотическых свойствах ветвящихся случайных процессов с
непрерывным временем и иммиграцией. Тезисы докладов конференции “ Современные
стохастические модели и проблемы актуарной математики 25-сентября 2020 г.,Карши,
Узбекистан, стр. 77-78 .”
6.
Митов К., Ватутин В., Янев Н.Кригические процессы Гальтона-Ватсона с
убывающей иимиграцией, зависящей от состаяния процесса. Сердика Бьлгарско
мат.списание. Т.10. 1984. с. 412-424.
