153
https://eyib.uz
1-sho‘ba.
O‘zbekiston iqtisodiyoti va boshqa sohalarida raqamlashtirish jarayonlari.
Kirish
. Amaliy statistika va iqtisodning ko`plab sohalarida biz ikkita o`zgaruvchini
o`z ichiga olgan tajribalar va masalalarga duch kelamiz. Masalan,
𝑦 = 𝛽
0
+ 𝛽
1
𝑥
Iste‘mol funksiyasi bo`yicha funksiyadagi “x” ya‘ni biror oilaning daromadni ortishi
bilan funksiyadagi “y” oialaning oziq-ovqatiga qiladigan harajatlarini o`zgarishi ma’lum.
Bu yerda
𝛽
0
va
𝛽
1
aniqlanishi kerak bo`lgan no’malum parametrlardir. Buning uchun biz
oilaning daromadi va unga mos kelgan oialaning oziq-ovqatiga qiladigan harajatlarini bir
nechta qiymatlar to`plamini olamiz
Asosiy masala shundaki, daromad
𝑥
va xarajat
𝑦
lar uchun eng yaxshi qiymatlarni
topishdir. Shunday qilib, umumiy masala ma’lum bir kuzatilgan (
𝑥
𝑖
, 𝑦
𝑖
),
𝑖
=1,2,…,n
qiymatlar to`plamidan
𝑥
va
𝑦
o`zgaruvchilari o`rtasida mavjud bo’lishi mumkin bo’lgan
tegishli munosabat yoki qonunni aniqlashdan iboratdir.
𝑥
va
𝑦
larni bog’lovchi bunday
munosabat empirik qonun deb ataladi. No’malum qiymatlarni prognoz qilish uchun mos
kelishi mumkin bo`lgan “eng yaxshi egri chiziq” tenglamasini topish masalasi juda
dolzarbdir. Quyida egri chiziqni topishning standart usullari keltirilgan [3].
➢
Grafik usuli;
➢
O`rtachalarni guruhlash usuli;
➢
Momentlar usuli;
➢
Eng kichik kvadratlar usuli.
Asosiy qism.
STATISTIKADA KICHIK KVADRATLAR USULI VA
UNING TATBIQLARI
Umarov Tursunboy
Sayfidin o`g`li
AIQI “Tarmoqlar iqtisodiyoti” kafedrasi asistenti
ekonometrika95@gmail.com
A
nno
ta
ts
iy
a
Mazkur maqolada eng kichik kvadrat usuli va uning tatbiqlari haqidagi
masalalarni muhokama qilamiz. Odatda matematik tenglama tajriba
ma’lumotlariga mos keladi. Bu ma’lumotlar asosida to`g`ri chiziq grafigi
chiziladi. Ushbu usulning kamchiliklaridan biri shundaki, chizilgan to`g`ri chiziq
yagona bo`lmasligi mumkin, eng kichik kvadratlar usuli berilgan ma’lumotlar
asosida “eng yaxshi egri chiziq” qurishning eng tizimli prosedurasi bo`lib, amaliy
masalalarda keng qo`llaniladi. Buni kompyuter dasturlarida ham osongina
amalga oshirish mumkin.
Kalit so‘zlar:
Differentsiallanuvchi funksiya, xususiy hosila, eng kichik kvadratlar
usuli, normal tenglamalar sistemasi,absolut og`ish, chetlanish,
154
https://eyib.uz
1-sho‘ba.
O‘zbekiston iqtisodiyoti va boshqa sohalarida raqamlashtirish jarayonlari.
Aytaylik, berilgan ma’lumotlar asosida ushbu
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
to`g`ri chiziqni
o`tkazamiz (1-rasmga qarang). Eng yaxshi ya’ni barcha nuqlarga nisbatan optimal to`g`ri
chiziqni topish uchun quyidagi ifodaga minimal qiymat beruvchi
𝑎
va
𝑏
topilishi talab
qilinadi:
𝑆(𝑎, 𝑏) = ∑
|𝑦
𝑖
− (𝑎 + 𝑏𝑥
𝑖
)|
𝑛
𝑖=1
.
(1)
Ushbu (1) yig`indi absolut og`ish
(yoki chetlanish) deb ataladi. Yuqoridagi
ifodani minimumini topishimiz uchun
𝑎
va
𝑏
parametrlar bo`yicha xususiy hosila olib 0 ga
tenglaymiz.
0
S
a
=
va
0.
S
b
=
(2)
Masalaning
murakkabligi
shundaki,
absolut
qiymat
funksiyasi
nolda
differentsiallanuvchi emas, shuning uchun (2) sistemani yechimini topa olmasligimiz
mumkin. Ushbu muammoga eng kichik kvadratlar usuli javob berib eng yaxshi mos
chiziqni aniqlashni o`z ichiga oladi, qachonki xatolik mos keladigan chiziqdagi
𝑦
qiymatlari va berilan
𝑦
-qiymatlar o`rtasidagi kvadratik yig`indisi bo`lsa. Demak, xatolar
kvadratlarining yig`indisi quyidagicha bo`ladi.
𝑆 = ∑
[𝑦
𝑖
− (𝑎 + 𝑏𝑥
𝑖
)]
2
.
𝑚
𝑖=1
(3)
(3) ifodaning minimumiga erishishi uchun ikkita parametrlar bo`yicha xususiy
hosilalar olamiz,
S
a
= −2 ∑[𝑦
𝑖
− (𝑎 + 𝑏𝑥
𝑖
)]
𝑚
𝑖=1
S
b
= −2 ∑ 𝑥
𝑖
∙ [𝑦
𝑖
− (𝑎 + 𝑏𝑥
𝑖
)]
𝑚
𝑖=−1
Yuqoridagi ifodalarni 0 ga tenglab soddalashtirsak,
𝑚𝑎 + 𝑏 ∑
𝑥
𝑖
𝑚
𝑖=1
= ∑
𝑦
𝑖
𝑚
𝑖=1
,
𝑚𝑎 ∑
𝑥
𝑖
𝑚
𝑖=1
+ 𝑏 ∑
𝑥
𝑖
2
𝑚
𝑖=1
= ∑
𝑥
𝑖
𝑦
𝑖
𝑚
𝑖=1
.
𝑥
𝑖
va
𝑦
𝑖
miqdorlar ma’lum bo`lgani uchun, yuqoridagi ikkita tenglama (normal
tenglamalar deyiladi) no’malum parametrlar
𝑎
va
𝑏
uchun yechilishi mumkin.
S
a
va
S
b
xususiy hosilalardan mos ravishda
𝑎
va
𝑏
parametrlar bo`yicha hosila olinsa, u holda ular
berilgan nuqtalarda musbat bo`ladi. Bunda S yig`indi minimumga erishishini aniqlash
mumkin. Demak
155
https://eyib.uz
1-sho‘ba.
O‘zbekiston iqtisodiyoti va boshqa sohalarida raqamlashtirish jarayonlari.
𝐴 =
𝜕
2
𝑆
𝜕𝑎
2
= −2 ∑(−1) = 2𝑚 > 0,
𝑚
𝑖=1
𝐵 =
𝜕
2
𝑆
𝜕𝑏
2
= −2 ∑ 𝑥
𝑖
∙ (−𝑥
𝑖
) = 2 ∑ 𝑥
𝑖
2
𝑚
𝑖=1
> 0,
𝑚
𝑖=1
𝐶 =
𝜕
2
𝑆
𝜕𝑏𝜕𝑎
= −2 ∑
𝑥
𝑖
∙ (−1)
𝑚
𝑖=1
= 2 ∑
𝑥
𝑖
𝑚
𝑖=1
,
𝐴 ∙ 𝐵 − 𝐶
2
= 4𝑚 ∑
𝑥
𝑖
2
𝑚
𝑖=1
− 4(∑
𝑥
𝑖
𝑚
𝑖=1
) ∙ (∑
𝑥
𝑖
𝑚
𝑖=1
)
,
Minimum uchun
𝐴 ∙ 𝐵 − 𝐶
2
> 0
bo`lishi kerak. Bu esa quyidagi Koshi-Shvartz
tengsizligidan kelib chiqadi:
(∑
𝑥
𝑖
𝑚
𝑖=1
) < √𝑚(∑
𝑥
𝑖
2
𝑚
𝑖=1
)
1/2
.
Chiziqli approksimatsiyani boshqacha usulda, ya’ni quyidagi ifodani
minimallashtirish orqali ham toppish mumkin.
𝑆(𝑎, 𝑏) = 𝑚𝑎𝑥
1≤𝑖≤𝑚
{|𝑦
𝑖
− (𝑎 + 𝑏𝑥
𝑖
)|}
.
Ushbu minimaks usulda odatda xatoga yo`l qo`yilgan ma’lumotlarning bir qismiga
haddan tashqari vazn beradi, absolut og`ish usuli esa taxminiy qiymatdan sezilarli darjada
farq qiladigan nuqtaga yetarli darajada vazn bermaydi. Eng kichik kvadratlar usuli qolgan
ma’lumotlarga mos kelmaydigan nuqtaga sezilarli darajada ko`proq vazn beradi, lekin bu
nuqta yaqinlashuvda to`liq ustun bo`lishiga yo`l qo`ymaydi,
Shunday qilib, yuqoridagi chiziqli
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
modeldagi no’malum parametrlar
uchun statistik baho eng kichik kvadratlar usuli yordamida topilgan baho deyiladi va
quyidagicha aniqlanadi.
𝑎 =
𝑚 ∑
𝑥
𝑖
𝑦
𝑖
𝑚
𝑖=1
−∑
𝑥
𝑖
𝑚
𝑖=1
∑
𝑦
𝑖
𝑚
𝑖=1
𝑚 ∑
𝑥
𝑖
2
𝑚
𝑖=1
−(∑
𝑥
𝑖
𝑚
𝑖=1
)
2
;
𝑏 =
∑
𝑦
𝑖
∙∑
𝑥
𝑖
2
𝑚
𝑖=1
−∑
𝑥
𝑖
𝑚
𝑖=1
∙∑
𝑥
𝑖
𝑦
𝑖
𝑚
𝑖=1
𝑚
𝑖=1
𝑚 ∑
𝑥
𝑖
2
𝑚
𝑖=1
−(∑
𝑥
𝑖
𝑚
𝑖=1
)
2
.
Vaqtli qatorlar tahlilimizda ya’ni trend chizig’ini aniqlashda kichik kvadrat usuli
juda ham qulay hisoblanadi. Eng yaxshi moslik chizig’i bu turli nuqtalarning og’ishlari
chetlanishlari yig’indisi 0 ga teng bo’lgan chiziqdir
. Bu trend qiymatlarini hosil
qilishning eng yaxshi usulidir. Bundan tashqari chetlanishlarning kvadratlari yig’indisi
minimal bo’ladi. Shunday qilib, bu usul eng kichik kvadratlar usuli bo’lib, u quyidagi
shartlarni qanoatlantiradi:
1)
𝑦
-haqiqiy qiymat va
𝑦̂
baholanayotgan o'zgaruvchining chetlanishlari yig'indisi
0 ga teng, ya'ni
∑
(𝑦
𝑖
− 𝑦̂
𝑖
) = 0
𝑛
𝑖=1
.
2)
𝑦
va
𝑦̂
lar qiymatlarining chetlanishlari kvadratlari yig'indisi minimal bo'lsin,
ya’ni
∑
(𝑦
𝑖
− 𝑦̂
𝑖
)
2
𝑛
𝑖=1
→
min
Prosedurasi:
𝑖
) trend to'g'ri chizig'ini
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
deb olamiz, bu yerda
𝑦
haqiqiy
qiymatlar,
𝑥
bu vaqt,
𝑎
va
𝑏
lar no'malum parametrlar.
𝑖𝑖)
No’maum
𝑎
va
𝑏
parametrlarni quyidagi noreal tenglamalar sistemasi orqali
baholaymiz:
1
TA'LIM, V. R. T., & JURNALI, O. I
. КОРРЕЛЯЦИЯ КОЕФФИЦИЕНТИНИ СТАТИСТИК БАҲОЛАШ.
156
https://eyib.uz
1-sho‘ba.
O‘zbekiston iqtisodiyoti va boshqa sohalarida raqamlashtirish jarayonlari.
{
∑ 𝑦
𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑛𝑎 + 𝑏 ∑ 𝑥
𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑥
𝑖
𝑦
𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑎 ∑ 𝑥
𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝑏 ∑ 𝑥
𝑖
2
𝑛
𝑖=1
bu yerda
𝑛
-berilgan ma’lumotdagi yillar soni.
𝑖𝑖𝑖
) Vaqtni o`rta nuqtasini boshlang`ich koordinata deb qabul qilib,
∑
𝑥
𝑖
𝑛
𝑖=1
= 0
ni
olamiz.
𝑖𝑣
)
∑
𝑥
𝑖
𝑛
𝑖=1
= 0
bo`lganidan, ikkita normal tenglamadan
𝑎
va
𝑏
ni aniqlaymiz.
𝑎 =
1
𝑛
∑
𝑦
𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑦̅
va
𝑏 =
∑
𝑥
𝑖
𝑦
𝑖
𝑛
𝑖=1
∑
𝑥
𝑖
2
𝑛
𝑖=1
.
Bu yerda
𝑎
-bu
𝑦
ning o`rtacha qiymati,
𝑏
esa o`zgarish tezligini ifodalaydi. Ushbu
topilganlarni
𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥
trend chiziq tenglamasiga qo`shib, eng yaxshi trend to`g`ri
chizig`ini hosil qilamiz.
Shunday qilib, ushbu maqolada kichik kvadratlar usuli iqtisodiyotdagi vaqtli
qatorlarni tahlili va ular asosida prognozlashtirishda juda muhim ahamiyatga ega ekanligi
hamda ular bog’liq masalalar muhokama etiladi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Das N.G. Statistical Methods, Mc Graw Hill, 2017.
2. Abdushukurov A.A. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika, O’quv
qo’llanma, T.: 2010.
3. Cheryl A. Willard Statistical Methods, Pyrczak Publishing, 2010.
4. Wolberg J. Data analysis using the method of least squares, Springer, 2006.
5. Robert H. Shumway, David S. Stoffer Time series analysis and its applications,
Springer, 2017.
