DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
20
SINGULYAR QO'ZG'ATILGAN TENGLAMA UCHUN CHEGARAVIY
MASALANI SPECTRAL METOD BILAN SONLI MODELLASHTIRISH
Razzoqov Sherbek To’g’aymurod o’g’li
Termiz Davlat universeti
amaliy matematika mutaxasisligi magistranti
Normurodov Chori Begaliyevich
Ilmiy rahbar : PhD
https://doi.org/10.5281/zenodo.15379062
Annotatsiya:
Mazkur ishda singulyar qoʻzgʻatilgan differensial tenglama
uchun chegaraviy masalani sonli yechish masalasi koʻrib chiqilgan. Bunda
spektral metodlar asosida yechim quriladi va ularning aniqligi, barqarorligi
hamda hisoblashda samaradorligi tahlil qilinadi. Tadqiqot natijalari shuni
ko‘rsatadiki, spektral metodlar singulyar qoʻzgʻatilgan masalalar uchun yuqori
aniqlikdagi natijalarni beradi va murakkab fizik modellarni ifodalashda foydali
vosita boʻla oladi.
Kalit so‘zlar
Singulyar qoʻzgʻatilgan tenglama, spektral metod, chegaraviy
masala, sonli modellashtirish, yuqori aniqlik, cheklangan qatlamlar.
Zamonaviy ilm-fan va texnikaning rivojlanishi bilan bir qatorda, murakkab
fizik jarayonlarni modellashtirishga bo‘lgan ehtiyoj ortib bormoqda. Bunday
tizimlar ko‘pincha keskin o‘zgaruvchan hodisalar, ya’ni chegara qatlamlari, tez
o‘zgaruvchi gradientlar yoki kichik parametrlar bilan bog‘liq sezgirliklarni o‘z
ichiga oladi. Aynan shunday murakkabliklarni ifodalaydigan tenglamalar sinfiga
singulyar qo‘zg‘atilgan differensial tenglamalar kiradi. Bu tenglamalar oddiy
ko‘rinishda ko‘rinsa-da, ularning yechimlari juda murakkab tuzilmaga ega bo‘lib,
klassik sonli metodlar bilan yechishda sezilarli aniqlik yo‘qotilishi yoki
barqarorlik buzilishi holatlari yuzaga keladi. Singulyar qo‘zg‘atilgan tenglamalar
fizikada sirt tarangligi, soddalashtirilgan termo-diffuziya, suyuqliklar
mexanikasi, kimyoviy reaksiyalar va boshqa ko‘plab muhim sohalarda paydo
bo‘ladi. Bu tenglamalarning umumiy xususiyati — ularning yechimlarida kichik
bir parametr mavjudligi sababli keskin o‘zgarishlar sodir bo‘lishidir. Bu
holatlarni oddiy differensial tenglamalar bilan ifodalash yoki ularni oddiy sonli
usullar bilan yechish imkonsizga yaqin.
Aynan mana shunday vaziyatlarda yuqori aniqlikka ega bo‘lgan, silliq
yechimlarni aniqlik bilan ifodalashga qodir bo‘lgan spektral metodlar ilmiy
jamoatchilik e’tiborini o‘ziga jalb etmoqda. Spektral metodlar asosan cheksiz
silliq funksiyalarni ortogonal polinomlar (masalan, Chebyshev yoki Legendre)
orqali ifodalashga asoslanadi. Ularning asosiy afzalligi — oddiy sonli metodlarga
qaraganda kamroq tugunlarda juda yuqori aniqlik taqdim eta olishidir. Ayniqsa,
DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
21
yechimda qatlam mavjud bo‘lsa ham, spektral metodlar moslashuvchan va
aniqligi yuqori bo‘lgan natijalarni beradi. Ushbu tadqiqotda singulyar
qo‘zg‘atilgan tenglama uchun chegaraviy masala ko‘rib chiqiladi va unga
spektral metod asosida sonli yechim taklif etiladi.
Bu yondashuvda Galerkin metodidan foydalaniladi, natijalar esa turli
parametr qiymatlari va solishtirma metodlar yordamida baholanadi. Maqsad —
spektral metodning bu turdagi murakkab masalalarda qanday samarali
ishlashini amaliy va nazariy jihatdan chuqur tahlil qilishdir. Ushbu mavzu
nafaqat nazariy qiymatga ega, balki real hayotda qo‘llaniladigan muhim
texnologik modellar uchun tayanch bo‘la oladi. Shuningdek, spektral metodlar
orqali singulyar holatlarni yechish bo‘yicha zamonaviy yondashuvlarni
rivojlantirish, kelajakda murakkab muhitlarda fizikaviy hodisalarni
kompyuterda modellashtirishning aniqligi va ishonchliligini oshirishga xizmat
qiladi. Singulyar qoʻzgʻatilgan tenglamalarning mohiyatiSingulyar qo‘zg‘atilgan
differensial tenglamalar odatiy differensial tenglamalarning maxsus turidir. Bu
tenglamalarda kichik parametr mavjud bo‘lib, u yechimda keskin o‘zgarishlarni,
ayniqsa, qatlam (boundary layer) deb ataluvchi zonalarni yuzaga keltiradi.
Masalan, quyidagi oddiy ko‘rinishdagi tenglamani olaylik: \varepsilon y''(x) +
a(x) y'(x) + b(x)y(x) = f(x), \quad 0 < x < 1, \quad y(0) = \alpha,\; y(1) = \beta
Bu yerda – kichik musbat parametr (). Ushbu parametr qiymatining juda
kichikligi sababli, yoki nuqtalarda qatlamlar paydo bo‘ladi. Bu qatlamlarda
yechim keskin o‘zgaradi, qolgan intervalda esa silliq bo‘ladi.. An’anaviy sonli
metodlarning cheklovlari Finit farqlar (FD), Cheklangan elementlar (FEM) yoki
Cheklangan hajmlar (FVM) kabi klassik metodlar, qatlam zonalarini aniqlik bilan
ifodalash uchun juda zich (ko‘p) tugun talab qiladi. Bu esa hisoblash xarajatlarini
oshiradi.
Bundan tashqari, aniqlik muhim bo‘lgan joylarda xatoliklar to‘planib ketishi
mumkin. Shu sababli, bunday tenglamalarning yechimida boshqa, kuchliroq
yondashuvlar zarur bo‘ladi.
3. Spektral metodlarning nazariy asosi
Spektral metodlar yechimni global funksiyalar — ko‘pincha Chebyshev yoki
Legendre polinomlari — orqali ifodalashga asoslanadi:
y(x) \approx \sum_{n=0}^{N} c_n \phi_n(x)
Bu yerda — ortogonal polinomlar, — noma’lum koeffitsiyentlar. Galerkin
metodida bu koeffitsiyentlar test funksiyalar bilan ichki ko‘paytma orqali
aniqlanadi. Chebyshev polinomlari yordamida juda yuqori aniqlikdagi
yaqinlashuvga erishish mumkin, ayniqsa yechim silliq bo‘lgan oraliqlarda.
DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
22
4. Singulyar masalaga spektral metodni qo‘llash
Tadqiqotda singulyar qo‘zg‘atilgan tenglamaga Chebyshev-Galerkin
yondashuvi qo‘llanildi. Yechim topish algoritmi quyidagi bosqichlardan iborat:
Tenglama Chebyshev bazisida ifodalanadi.Galerkin sharti asosida test
funksiyalar tanlanadi. Hosil bo‘lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi
(matritsali ko‘rinish) yechiladi. Natijalar grafik va sonli usullar bilan tahlil
qilinadi.
Bunda Chebyshev-Gauss-Lobatto tugunlari tanlab olinadi, bu esa
chekkalardagi qatlam zonalarini yaxshi aniqlashga yordam beradi.
5. Natijalar va taqqoslash
Spektral metod yordamida olingan yechimlar klassik metodlar bilan
taqqoslandi. Aniqlik jihatidan spektral metod ancha ustun bo‘ldi. Ayniqsa,
yaqinlashganda ham metod barqaror ishladi va qatlamlarda aniqlik saqlanib
qoldi. Hisoblash tezligi ham yuqori bo‘lib, kam sonli bazis funksiyalarda yuqori
sifatdagi yechimlar olindi.
4.1. Klassik Spektral Yondashuv
Aniqlik: Chebyshev spektral metodi yuqori aniqlikdagi yechimlarni taqdim
etadi.
Qatlamlar: Chegaraviy qatlamlar mavjud bo‘lsa, maxsus to‘rlar talab etiladi.
Hisoblash xarajati: Matritsali operatsiyalar tufayli hisoblash xarajati yuqori
bo‘lishi mumkin. Zamonaviy Gibrid Yondashuv Aniqlik: Shishkin to‘ri va B-spline
yondashuvi qatlamlarni aniqroq ifodalaydi.Moslashuvchanlik: Turli xil
chegaraviy shartlar va funksiyalar uchun moslashuvchan.Hisoblash
samaradorligi: Hisoblash xarajati nisbatan past va yechimlar tezroq olinadi.
Xulosa
Singulyar qo‘zg‘atilgan differensial tenglamalarni yechishda
spektral metodlar yuqori aniqlik va tez yaqinlashuv xususiyatlari bilan ajralib
turadi. Klassik spektral metodlar, ayniqsa, Chebyshev polinomlari asosida, oddiy
holatlar uchun samarali bo‘lsa-da, chegaraviy qatlamlar mavjud bo‘lsa, maxsus
to‘rlar yoki transformatsiyalar talab etiladi. Zamonaviy gibrid yondashuvlar,
masalan, Shishkin to‘ri va B-spline funksiyalari asosida, qatlamlarni aniqroq
ifodalash va yechimlarni samarali olish imkonini beradi. Kelgusida bu
yondashuvlarni yanada rivojlantirish va murakkabroq masalalarga qo‘llash
istiqbollari mavjud.
Ushbu ishda singulyar qo‘zg‘atilgan tenglamalar uchun chegaraviy masalani
spektral metodlar yordamida sonli modellashtirish masalasi ko‘rib chiqildi.
Singulyar qo‘zg‘atilgan tenglamalar odatiy differensial tenglamalarning maxsus
holi bo‘lib, ularning yechimlarida kichik parametrga bog‘liq ravishda keskin
DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
23
o‘zgarishlar, ya’ni chegara qatlamlari yuzaga keladi. Bunday tenglamalarni
an’anaviy sonli usullar bilan yechishda aniqlikning pasayishi va hisoblashda
barqarorlik muammolari yuzaga chiqadi. Shu sababli, yuqori aniqlikka ega
bo‘lgan va chegaraviy xususiyatlarni aniq ifodalay oladigan spektral metodlar
afzallik beradi.Tadqiqot davomida spektral metodlarning nazariy asoslari tahlil
qilindi, ularning asosiy elementlari — ortogonal funksiyalar tizimi, Galerkin
yondashuvi va to‘liq silliqlik xususiyatlari batafsil o‘rganildi.
Singulyar qo‘zg‘atilgan masala uchun moslashtirilgan algoritm ishlab
chiqildi va MATLAB dasturiy muhitida modellashtirish ishlari olib borildi.
Olingan natijalar an’anaviy sonli metodlar bilan solishtirildi va spektral
metodlarning aniqlik hamda hisoblash samaradorligi yuqori ekani isbotlandi.
Natijalar shuni ko‘rsatadiki, spektral metodlar orqali singulyar qo‘zg‘atilgan
tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni samarali yechish mumkin. Bu
metodlar yordamida yechimdagi keskin o‘zgarishlar aniq qayd etiladi va
umumiy hisoblash xatoligi minimal bo‘ladi. Bundan tashqari, spektral metodlar
yuqori aniqlikni kam sonli tugunlarda ta'minlagani sababli, ularni murakkab
fizik, kimyoviy va muhandislik tizimlarini modellashtirishda keng qo‘llash
mumkin.
Kelgusidagi tadqiqotlarda bu metodlar yanada murakkabroq geometrik
sohalar, noaniq koeffitsiyentli tenglamalar yoki evolyutsion tipdagi (vaziyatga
bog‘liq) tenglamalarga tatbiq qilinishi mumkin. Shuningdek, adaptiv spektral
metodlar yoki hibrid yondashuvlar yordamida aniqlik va barqarorlik yanada
oshirilishi mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1989.
www.openscience.uz / ISSN 2181-0842 0 , 03 ) 19 "Science and Education"
Scientific Journal / Impact Factor 3.848 April 2023 / Volume 4 Issue 4
2. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач
конвекции-диффузии. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2015. – 248 с.
3. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. — М.:
Едиториал УРСС, 2003. — 784 с.
4. Normurodov C. et al. Numerical simulation of the inverse problem for the
vortex-current equation //AIP Conference Proceedings. – AIP Publishing LLC,
2022. – Т. 2637. – №. 1. – С. 040018.
5. Аliyеv S. Stаtsiоnаr kоnvеksiyа–diffuziyа mаsаlаlаrini pythоndа sоnli
mоdеllаshtirish // Eurasian Journal of Mathematical Theory and Computer
Sciences. – 2022. – Т. 2. – №. 5. – С. 7-11.
DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
24
6. Вабищевич П.Н. Численные методы: Вычислительный практикум. — М.:
Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. — 320 с.
