EURASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL
THEORY AND COMPUTER SCIENCES
Innovative Academy Research Support Center
Volume 5 Issue 8, August 2025 ISSN 2181-2861
Page 7
INITIAL-BOUNDARY PROBLEM FOR DIFFERENTIAL
EQUATIONS WITH FRACTIONAL DERIVATIVES OF
HIGHER ORDER IN THE SOBOLEV CLASS
Daniyarova Gulayim Kuwatbayevna
Mathematic teacher of number of 27th secondary school
https://doi.org/10.5281/zenodo.16927356
ARTICLE INFO
ABSTRACT
Received: 16
th
August 2025
Accepted: 21
st
August 2025
Online: 22
nd
August 2025
Due to the large applicability of fractional equations to
physical, technical, and biological processes, scientists
around the world are increasingly interested in the study of
higher-order equations involving fractional derivatives.
Today, the study and solution of initial boundary value
problems for higher-order mixed-type equations involving
fractional derivatives has become an urgent task. In this
work, the initial-boundary value problem in a cylindrical
domain for a partial differential equation involving a
fractional derivative in the Miller-Ross sense and the initial-
boundary value problem for a higher-order fractional
differential equation in the Sobolev class are investigated.
Spherical functions are a method that allows us to find
solutions to problems in mathematical physics more simply,
easily, and quickly. With the help of these functions, it is
possible to easily find solutions to even more complex
problems.
KEYWORDS
Initial-boundary
value
problem,
fractional
derivative, initial-boundary
value
problem
in
a
cylindrical
domain,
fractional partial differential
equation,
higher-order
differential equations in the
Sobolev class, fractional
differential equations in the
Sobolev class.
SOBOLEV SINFIDA YUQORI TARTIBLI KASR HOSILALI DIFFERENSIAL
TENGLAMALAR UCHUN BOSHLANG’ICH-CHEGARAVIY MASALA
Daniyarova Gulayim Kuwatbayevna
27-sonli o’rta umumta’lim maktabi o’qituvchisi
https://doi.org/10.5281/zenodo.16927356
ARTICLE INFO
ABSTRACT
Received: 16
th
August 2025
Accepted: 21
st
August 2025
Online: 22
nd
August 2025
Kasr tartibli tenglamalarning fizik, texnik va biologik
jarayonlarga tadbiqi katta boʻlgani uchun butun dunyo
olimlari tomonidan kasr tartibli hosila qatnashgan yuqori
tartibli tenglamalarni oʻrganishga boʻlgan qiziqish ortib
bormoqda. Bugungi kunda kasr tartibli hosila qatnashgan
yuqori tartibli aralash tipdagi tenglamalar uchun
boshlang’ich chegaraviy masalalarni oʻrganish va yechish
dolzarb masalaga aylandi. Ushbu ishida Miller-Ross
ma’nosidagi kasr tartibli hosila qatnashgan ayrim xususiy
EURASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL
THEORY AND COMPUTER SCIENCES
Innovative Academy Research Support Center
Volume 5 Issue 8, August 2025 ISSN 2181-2861
Page 8
KEYWORDS
hosilali differensial tenglama uchun silindrik sohadagi
boshlang’ich – chegaraviy masala va Sobolev sinfida yuqori
tartibli kasr hosilali differensial tenglama uchun
boshlang’ich – chegaraviy masalalar oʻrganilgan.
Sferik funksiyalar bizga matematik fizika masalalarining
yechimlarini soddaroq, oson va tezroq topishga imkon
yaratadigan usuldir. Bu funksiyalar orqali bir muncha
murakkab boʻlgan masalalarni ham osongina yechimini
topish mumkin.
Boshlang’ich-chegaraviy
masala, kasr tartibli hosila,
silindrik
sohadagi
boshlang’ich-chegaraviy
masala, kasr tartibli xususiy
hosilali
differensial
tenglama, Sobolev sinfida
yuqori tartibli differensial
tenglamalar, sobolev sinfida
kasr tartibli differensial
tenglamalar.
Ushbu maqolada
(0, )
Q
U
T
shohada, bunda
U
markazi koordinata boshida boʻlgan
R
radiusli uch oʻlchamli shar,
T
– esa, oldindan berilgan musbat son boʻlib, quyidagi
2
2
2
2
2
2
2
( , , , )
( , , , )
( , , , )
( , , , )
0,
( , , , )
,
1
, 0
1,
, ,
1
j
u x y z t
u x y z t
u x y z t
D u x y z t
a
x
y
z
x y z t
Q
l
l
j
n
l n j
(1)
koʻrinishdagi tenglamani
1
0
1
0
0
0
( , , , )
( , , ),
0,...,
1,
( , , , )
( , , ),
0,...,
1
i
j i
i
t
s
s
s
t
D
u x y z t
x y z
i
j
u x y z t
x y z
s
l
j
x
(2)
boshlang’ich shart va
( , , )
( , , , )
0
x y z
U
u x y z t
(3)
chegaraviy shartlar bilan qaraymiz, bunda
j
D
Riman–Liuvill boʻyicha Miller–Ross
ma’nosidagi hosila boʻlgan integro–differensial operatordir.
( ) :
m
f t
qandaydir
l
marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiya boʻlsin.
1
,
l
l l
uchun
– tartibli Riman–Liuvill boʻyicha kasr tartibli hosilani
1
0
1
( )
( )
(
)
(
)
l t
l
d
f
D f t
d
l
dt
t
(4)
tenglik bilan kiritamiz, bunda
( )
– gamma-funksiya boʻlib,
(
1)
( )
z
z
z
tenglikni
qanoatlantiradi.
Ushbu
EURASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL
THEORY AND COMPUTER SCIENCES
Innovative Academy Research Support Center
Volume 5 Issue 8, August 2025 ISSN 2181-2861
Page 9
( )
1
( )
1
0
0
1
( )
( )
(0)
(
1)
(
)
(
)
t
k
l
l
k
l
k
t
f
D f t
f
d
k
l
t
(5)
formula oʻrinlidir.
Shunday qilib,
– tartibli Riman–Liuvill boʻyicha kasr tartibli hosilani
1
( )
0
(0)
(
1)
k
l
k
k
t
f
k
(6)
singulyar hadlar va
( )
1
0
1
( )
(
)
(
)
t
l
l
f
d
l
t
(7)
integrallarning yig’indisi koʻrinishida tasvirlash mumkin. Bu oxirgi (7) integral Kaputo
ma’nosidagi
– kasr tartibli hosila deb, yoʻki regulyarlashgan kasr tartibli hosila deb aytiladi.
Ushbu (6) koʻrinishdagi hadlarning qatnashishi
– tartibli Riman–Liuvill boʻyicha kasr tartibli
hosilaning nol nuqtada maxsuslikga egaligini bildiradi va
– tartibli Riman–Liuvill boʻyicha
kasr tartibli hosilali differensial tenglama uchun Koshi masalasini qoʻyishda maxsus
koʻrinishdagi boʻshlang’ich shartlarni berish zarur boʻladi.
Riman–Liuvill boʻyicha kasr tartibli hosilaning bunday kamchiligi
1
,
l
l l
uchun
– tartibli regulyarlashgan kasr tartibli hosila
( )
1
( )
( )
1
0
0
1
( )
( )
( )
(0)
(
)
(
)
(
1)
t
l
k
l
k
l
k
f
t
D
f t
d
D f t
f
l
t
k
(8)
koʻrinishida boʻlib, birinchi bor Kaputo ishlarida, hamda boʻliq boʻlmagan holda
Djarbashyan va Nersesyan ishlarida paydo boʻlgan.
Bu Riman–Liuvill boʻyicha kasr tartibli hosila va Kaputo boʻyicha kasr tartibli hosila ham
yarim gruppa xossalarini, shuningdek kommutativlik xossalarini ham qanoatlantirmaydi, ya’ni
( )
( ),
( )
( )
f t
f t
f t
f t
D
D D
D D
D D
boʻladi, bunda
D
orqali Riman–Liuvill boʻyicha kasr tartibli hosila, yoki Kaputo boʻyicha
kasr tartibli hosilani bildiradi. Shu sababdan, Miller va Ross tomonidan sekventsial hosila deb
ataluvchi quyidagi ta’rif kiritilgan:
1
2
D
( )
...
( )
m
f t
f t
D D
D
, (9)
bunda
1
2
( ,
,...,
)
m
– mul’tiindeks,
( )
f t
funksiya esa, yeatarlicha uzluksiz
differensiallanuvch deb olinadi. Umuman olganda, Miller–Ross sekventsial hosilasining asosida
joylashgan
D
operator sifatida Riman–Liuvill boʻyicha kasr tartibli hosila, yoki Kaputo
boʻyicha kasr tartibli hosilani, yoki boshqa shu koʻrinishdagi operatorlarni qoʻllash mumkin.
Xususan,
i
butun son uchun
i
d
dt
oddiy differensiallash operatori boʻlishi mumkin. Miller–
EURASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL
THEORY AND COMPUTER SCIENCES
Innovative Academy Research Support Center
Volume 5 Issue 8, August 2025 ISSN 2181-2861
Page 10
Ross sekventsial hosilasining qoʻllanilishi, xususan differensial tenglamaning tartibini
pasaytiradi.
Qandaydir
,
1
,
l
l l
sonni tanlaymiz.
( ,
1,
1
)
j
l
l
j
,
0,...,
1
j
l
boʻlgan holda toʻxtalamiz.
belgilashlarni kiritamiz, bunda
0,...,
1
j
l
.
Shunday qilib, (1)–(3) boshlang’ich chegaraviy masalaning yechimi
1
0
1
; , ,
1
0
0
, , ,
;
1
l j
n
s
mn
s m n j
m
n
j
n
s
u r
t
t E
t
s
1
1
0
1
; , ,
0
;
,
j
j
i
n
mn
i m n j
n
i
n
kr
t
E
t
i
Y
kR
(10)
koʻrinishida hosil boʻladi, bunda
1
0
;
(
)
k
k
x
E
x
k
Mittag –Leffler funksiyasidir.
Masalaning qoʻyilishi.
Strukturaviy mexanikada katta ahamiyatga ega boʻlgan sterjen,
balka va plastinka tebranishlarining koʻplab masalalari yuqori tartibli differensial
tenglamalarga olib kelinadi. Balka tenglamasiga olib kelinuvchi vallar barqarorligini hisoblash
va kema tebranishlari oʻrganilgan. Bu ishda
(0, )
Q
П
T
sohada
(0, ) ... (0, )
П
l
l
,
,
l T
lar esa oldindan berilgan musbat sonlar,
4
2
4
1
( , )
( , )
( , ), ( , )
,
1
,
0,
1,
,
m
N
j
m
p
p
u y t
D u y t
f y t
y t
Q n
n j
n
m n
N
y
(11)
tenglamani
1
0
1
0
0
( , ) |
( ),
0,...,
1,
,
( ,0)
( ),
0,...,
1.
i
j i
t
i
s
s
s
D
u y t
y i
j
u y
y s
n
j
y
(12)
boshlang’ich shartlar va
4
4
2
0
0
4
4
1
4
2
4
3
4
4
2
( , )
( , )
|
0,
|
0,
( , )
( , )
|
0,
|
0,
0,
1,
1,
p
p
p
p
k
k
y
y
s
k
s
k
p
p
k
k
y
l
y
l
s
k
s
k
p
p
u y t
u y t
y
y
u y t
u y t
k
m
p
N
y
y
(13)
EURASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL
THEORY AND COMPUTER SCIENCES
Innovative Academy Research Support Center
Volume 5 Issue 8, August 2025 ISSN 2181-2861
Page 11
chegaraviy shartlar bilan qaraymiz. Bu yerda,
1
( , )
( ,...,
,...,
, )
p
N
y t
y
y
y t
Q
,
0
a
fiksirlangan,
~0
( , ),
( ),
0,...,
1,
i
f y t
y i
j
va
0
( ),
0,...,
1
s
y
s
n
j
esa yetarli darajada
silliq
funksiyalar
va
xos
funksiyalar
boʻyicha
qatorga
yoyish
mumkin
1
,...,
1
1
( ,...,
)
(
)
N
p
N
m
m
N
m
p
p
v
x
x
X
x
, bu yerda
4
1
1
(
)
sin
sin
1
p
p
p
p
p
p
p
m
p
m
p
m
m
p
s
m
m
X
x
b x
shb x
l
b
b
,
j
m
,
p
m
b
-tenglamaning ildizi
( )
( )
tg lb
th lb
,
cos
p
p
p
m
m
m
b l
ch b l
.
j
D
Riman–Liuvill boʻyicha Miller–Ross ma’nosidagi sekvensial hosila boʻlgan integro–
differensial operatordir.
N
oʻzgaruvchili
1
( )
( ,...,
)
N
f x
f x
x
funksiya
1
2
3
2 ,2
,2
,...,2
2
( )
N
s
s
s
s
W
П
fazoda barcha
{ ( ),
}
N
n
v y n
Z
lar bilan toʻla ortonormal sistema tashkil qiladi. Shunday qilib, quyidagi
teorema oʻrinli.
Teorema.
Aytaylik
~0
0
( ),
0,...,
1,
( ),
0,...,
1
i
i
y
i
j
y
s
n
j
boshlang’ich
shartlar va (11) tenglikning oʻng qismi
( , )
f y t
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
~0
1
,...,
;
,...,
1
,...,
;
,...,
0
0
0
0
2
1
1
2
1
,...,
,...,
1
0
...
|
(
;
1)
(
;
)
(
)
(
;(
)
)
( )
|
(1
)
N
N
N
N
N
k
N
N
k
n j
j
s
k
m
m
s m
m
m
m
s m
m
m
m
s
k
l
N
s
m
m
m
m
m
k
t E
t
s
t
E
t
k
t
E
t
t
f
d
b
har bir
0
t
uchun shartlarni qanoatlantirsin. U holda (11), (12), (13) masalaning
regulyar yechimi
1
2
...
4
,
[
]
2
N
N
s
s
s
m
koʻrsatkichli
1
2
3
,
, ,...,
2
( )
N
s s s
s
W
Q
fazoda mavjud, yagona va uni quyidagi koʻrinishda ifodalash mumkin
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
,...,
;
,...,
0
0
0
1
1
~0
1
,...,
;
,...,
0
1
,...,
(
,...,
)
1
,...,
,...,
( )
0
( , )
...
[
(
;
1)
(
;
)
(
)
(
; )
]
N
N
N
N
N
N
N
N
N
n j
s
m
m
s m
m
m
m
s
j
k
m
m
s m
m
k
l
m
m
y
y
m
m
m
m
d
u y t
t E
t
s
t
E
t
k
t
E
t
f
v
EURASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL
THEORY AND COMPUTER SCIENCES
Innovative Academy Research Support Center
Volume 5 Issue 8, August 2025 ISSN 2181-2861
Page 12
bundagi
1
1
1
1
,...,
2
2
4
,...,
,....,
1
,...,
1
1
0
(
)
,
(
)
(
)
N
N
N
j
j
N
q
N
N
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
j
j
q
t
a
a
b
E
t l
k
Г
q
k
koeffisientlarni formulalar bilan aniqlanadi.
References:
1.
Владимиров В.С., “Уравнения математической физики”
2.
Тихонов А.Н., Самарский А.А., Уравнения математической физики, М-Л., изд. 2-е,
Гостехиздат, 1953.
3.
Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М., Уравнения в частных производных
математической физики, Москва 1970
4.
Арсенин В. Я., Математическая физика основные уравнения и специальные
функции, Москва 1966.
5.
Будак Б.Н., Самарский А.А., Тихонов А.Н., Сборник задач по математической физике,
Москва 1980.
