International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 1 issue 9 (55) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
139
TAKRORLI O‘RIN ALMASHTIRISHLAR
Shaxriyor Sobirovich Jalilov
Qarshi davlat texnika universiteti
Mamadiyor Egamberdiyevich Sattorov
Qarshi davlat texnika universiteti
Nusrat Amonovich Djumayev
Qarshi davlat texnika universiteti
Annotatsiya:
Ushbu maqolada kombinatorikada oldin qaralgan birlashmalardan
tashqari tarkibidagi elementlari takrorlanishi mumkin bo‘lgan boshqa birlashmalar
ham o‘rganiladi. Masalan, takrorlanuvchi elementlar qatnashgan o‘rin
almashtirishlar, o‘rinlashtirishlar va gruppalashlar. Avval o‘rganilgan o‘rin
almashtirishlar shunday tuzilmalar ediki, ular tarkibidagi elementlar bir-biridan farq
qilardi. Endi o‘rin almashtirishlar tarkibidagi elementlar takrorlanishi mumkin
bo‘lgan holni qaraymiz.
Annotation:
In this article, in addition to the previously considered
combinations in combinatorics, other combinations whose elements can be repeated
are also studied. For example, permutations, substitutions, and groupings involving
repeated elements.The permutations studied earlier were such structures in which the
elements in their composition differed from each other. Now we will consider the
case in which the elements in the permutations can be repeated.
Аннотация:
В данной статье, помимо рассмотренных ранее сочетаний в
комбинаторике, будут изучены и другие сочетания, элементы которых могут
повторяться. Например, перестановки, замены и группировки, включающие
повторяющиеся элементы.Изученные ранее перестановки представляли собой
структуры, в которых содержащиеся в них элементы отличались друг от друга.
Теперь рассмотрим случай, когда элементы в перестановках могут повторяться.
Kalit so‘zlar:
O‘rin almashtirish, kortej, kombinatsiya, elementlar soni, turlar
soni, funksiya, tengsizlik, logarifm, teng kuchli.
Takrorli o‘rin almashtirishlar. Kombinatorikada oldin qaralgan birlashmalardan
tashqari tarkibidagi elementlari takrorlanishi mumkin bo‘lgan boshqa birlashmalar
ham o‘rganiladi. Masalan, takrorlanuvchi elementlar qatnashgan o‘rin
almashtirishlar, o‘rinlashtirishlar va gruppalashlar.
Avval o‘rganilgan o‘rin almashtirishlar shunday tuzilmalar ediki, ular
tarkibidagi elementlar bir-biridan farq qilardi. Endi o‘rin almashtirishlar tarkibidagi
elementlar takrorlanishi mumkin bo‘lgan holni qaraymiz. Tabiiyki, aynan bir xil
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 1 issue 9 (55) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
140
elementlar o‘rinlari almashtirilishi natijasida yangi o‘rin almashtirish hosil bo‘lmaydi.
Shuning uchun tarkibidagi elementlari soni o‘zgarmaganda elementlari takrorlanishi
mumkin bo‘lgan o‘rin almashtirishlar soni turli elementlardan tashkil topgan o‘rin
almashtirishlar soniga qaraganda kichik bo‘ladi.
Faraz qilaylik, qandaydir kortejning
ta elementlari orasida bir xil (aynan bir
xil)
ta birinchi tur, bir xil
ta ikkinchi tur, va hokazo, bir xil
ta
- tur
elementlar bo‘lsin, bu yerda
– hech bo‘lmaganda bittasi 1 dan farqli
natural sonlar.
Ta’rif.
Bu
ta elementlarning o‘rinlarini imkoniyati boricha almashtirishlar
natijasida hosil bo‘lgan kortejlar (kombinatsiyalar) takrorlanuvchi elementlar
qatnashgan o‘rin almashtirishlar (qisqacha, takrorli o‘rin almashtirishlar) deb ataladi.
ta elementlari orasida
ta birinchi tur,
ta ikkinchi tur, va hokazo,
ta
-
tur bir xil elementlar bo‘lgan takrorli o‘rin almashtirishlar sonini
bilan belgilaymiz.
Teorema.
Takrorli o‘rin almashtirishlar soni uchun
formula o‘rinlidir, bu yerda
– elementlar soni,
– turlar
soni.
I s b o t .
Har bir o‘rin almashtirishdagi elementlar soni
ga teng. Bu
ta elementlarni quyidagi tartibda joylashtirib, o‘rin almashtirishlardan
birini qaraymiz: birinchi bo‘lib barcha
ta birinchi tur, ulardan keyin barcha
ta
ikkinchi tur, va hokazo, oxirda barcha
ta
-tur elementlar joylashgan bo‘lsin.
Qaralayotgan takrorli o‘rin almashtirishda birinchi tur elementlar soni
ga teng
bo‘lgani uchun ularning mumkin bo‘lgan hamma o‘rin almashtirishlari soni
ga
teng. Ammo bu elementlar bir-biridan farq qilmaganligi sababli ularning o‘rinlarini
almashtirish natijasida yangi takrorli o‘rin almashtirish hosil bo‘lmaydi.
Qaralayotgan takrorli o‘rin almashtirishda ikkinchi tur elementlarning o‘rinlarini
almashtirishlar soni
bo‘lib, bu yerda ham bir-biridan farq qilmagan elementlar
o‘rinlarini almashtirishlar jarayonida yangi takrorli o‘rin almashtirish hosil
qilinmaydi. Ikkinchi tur elementlarning o‘rinlarini almashtirishlar birinchi tur
elementlarning o‘rin almashtirishlariga bog‘liqsiz ravishda amalga oshirilishi
mumkinligini ta’kidlaymiz.
Uchinchi tur elementlarning o‘rinlarini almashtirishlar soni
bo‘lib, ularning
ham hech qaysi biri yangi takrorli o‘rin almashtirish hosil qilmaydi. Bu o‘rin
almashtirishlar
ta birinchi tur elementlarning o‘rinlarini almashtirishlarga va
ta ikkinchi tur elementlarning o‘rinlarini almashtirishlarga, jami, ko‘paytirish
qoidasiga asosan,
ta o‘rin almashtirishlarga bog‘liqsiz ravishda amalga
oshirilishi mumkin.
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 1 issue 9 (55) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
141
Shunday davom etib, qaralayotgan takrorli o‘rin almashtirishda oxirgi
- tur
elementlar o‘rinlarini almashtiramiz. Bunday o‘rin almashtirishlar soni
ga teng
bo‘lib, bu o‘rin almashtirishlar ham yangi takrorli o‘rin almashtirishni hosil qilmaydi.
Bu o‘rin almashtirishlarni birinchi tur, ikkinchi tur va hokazo
-tur
elementlarning jami soni, umumlashgan ko‘paytirish qoidasiga asosan,
bo‘lgan o‘rin almashtirishlariga bog‘liqsiz ravishda bajarish mumkin.
Shunday qilib,
ta o‘rin almashtirishlarni har birida
tadan bir
xil o‘rin almashtirishlar bo‘lgan qismlarga ajratildi deb hisoblash mumkin. Demak,
biz izlagan takrorli o‘rin almashtirishlar soni
bo‘ladi, bu yerda
.
M i s o l .
Ikkita
, bitta
va ikkita
harflardan tashkil topgan kortej uchun
barcha takrorli o‘rin almashtirishlarni tuzing.
Yechish.
Bu misolda uch turdagi (
) harflar soni beshga teng (n=5) bo‘lib,
(ikkita
),
(bitta
) va
(ikkita
). Dastlabki ikkita harflarning
(xuddi shuningdek, oxirgi ikkita harflarning ham) o‘rinlarini o‘zaro almashtirsak
yangi o‘rin almashtirishlar hosil bo‘lmaydi. Barcha takrorli o‘rin almashtirishlar soni
ga teng bo‘ladi.
Misol.
30 ta detalni 5 ta har xil qutiga 6 tadan necha xil usul bilan joylashtirish
mumkin?
Yechish.
Masalaning shartiga ko‘ra 30 ta detalni 5 ta har xil qutiga 6 tadan qilib
joylashtirish kerak. Demak, ularning soni
formula
orqali topiladi. Bunda
,
, joylashtirishlar
soni jami
xil ekan.
Misol. “
Raketa” so‘zida harflar o‘rni almashtirilsa, nechta “so‘z” hosil bo‘lishi
mumkin?
Yechish.
“a”harfi
marta takrorlanmoqda. Ulardan biri ikkinchisi bilan
o‘rin almashganda “so‘z” o‘zgarmay qolaveradi. Shu sababli hosil bo‘ladigan
“so‘z”lar soni takrorli o‘rin almashtirishlar soni
formula bo‘yicha topladi. Bunda
,
,
demak,
ta.
Misol.
O‘quvchining 3 ta ko‘k, 4 ta qora va 5 ta qizil qalami bor. Ulardan faqat
bittasini necha xil usul bilan tanlashi mumkin.?
3
k
30
2
1
1
2
1
5
4
3
2
1
!
2
!
1
!
2
!
5
)
2
,
1
,
2
(
5
C
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 1 issue 9 (55) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
142
Yechish.
Demak, bu yerda
,
. Ulardan faqat
bittasini
tanlashlar
soni
formulaga
ko‘ra
ta bo‘ladi.
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati:
1.
To‘rayev X., Azizov I., Otakulov S. Kombinatorika va graflar nazariyasi.
T.: 2009. 72-147 betlar.
2.
Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: 1986. 50-
146 ст.
3.
To‘rayev X.T., Matematik mantiq va diskret matematika. T.:2003. 71-146
betlar.
4.
Ismailov Sh., Axmedov O., Ro‘ziboyev M. “Matematikadan olimpiada
testlari”, Toshkent-2008y., 17-29 betlar.
5.
Р.Сменли. Перечислителбная комбинаторика.М., Мир, 1990. 70-144
ст.
6.
А.Кофман. Введение в прикладную Комбинаторику. М.,Наука, 1975.
51-165 ст.
7.
В.Липский. Комбинаторика для программистов. М., Мир, 1988. 73-
148 ст.
8.
Н.Я.Виленкин. Комбинаторика. М., Наука, 1969. 71-145 ст.
9.
10.
