International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 2 issue 22 (44) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
118
БЕРНУЛЛИ СХЕМАСИ УЧУН ЛИМИТ ТЕОРЕМАЛАР
Имомов А. А.
ф.-м.ф.д.
Қарши Давлат университети
Расулов Ш
Қарши Давлат университети магистранти
Рахматуллаев А
Қарши Давлат университети магистранти
Аннотация:
Мақолада Бернулли схемасининг асосий ғояси ва боғлиқсиз
тажрибалар кетма-кетлигида ҳодиса рўй бериш эҳтимоллиги учун Бернулли
формуласи деб аталадиган формула келтириб чиқарилган . Бернулли
формуласи эҳтимолликлар назариясининг классик формулаларидан бири бўлиб,
у нисбатан кичик сондаги тажрибалар сериясида ҳодиса эҳтимоллигини
бевосита ҳисоблаш имконини беради. Хусусан, янги натижа ҳисобланган 1.1
теореманинг исботи келтирилган, унда муваффақиятлар сонининг тоқ сонда
бўлиши эҳтимоллигини ҳисоблаш имконини берувчи формула келтириб
чиқарилган.
Калит сўзлар:
Ҳодисалар, тажрибалар, тажрибалар кетма-кетлиги, ҳодиса
рўй бериш эҳтимоллиги, Бернулли формуласи, эҳтимолликларнинг классик,
статистик таърифи,
детерминистик доимийлик, статистик доимийлик
Эҳтимолликлар назариясининг предмети тасодифий ҳодисаларни
математик анализ қилишдан иборат. Тасодифий ҳодисалар, ўз навбатида
шундай эмпирик феноменларки, улар берилган муайян шартлар комплексида
қуйидагича характерланади:
•
улар учун детерминистик доимийлик йўқ, яъни улар устида олиб
борилган кузатишлар ҳар доим ҳам бир хил натижага олиб келмайди;
•
айни вақтда улар статистик доимийлик хоссасига эга (бу ҳолат
частоталарнинг статистик турғунлигида намоён бўлади).
Замонавий эҳтимолликлар назарияси шаклланишининг ҳақиқий тарихи
Я.Бернулли (1654–1705) томонидан 1713 йилда чоп этилган «Арс
Cонжеcтанди» («Тасаввур санъати») номли ишидан бошланади. Бу ишда
Бернулли эҳтимолликлар назариясининг биринчи лимит теоремаси бўлган
катта сонлар қонунини баён қилади ва унинг тўлиқ исботини беради. Бироз
кейинроқ, 1730 йилда Муавр (1667–1754) чоп этган «Мисcелланеа Аналйтиcа
Супплементум» (тахминий таржимаси «Аналитик усуллар» ёки «Аналитик
қоришма») номли ишида эҳтимолликлар назариясининг марказий лимит
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 2 issue 22 (44) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
119
теоремаси илк бор симметрик Бернулли схемаси учун баён қилинган ва
исботланган.
Таъкидлаш
ўринлики,
Я.Бернулли
биринчи
бўлиб
такрорий
тажрибаларнинг чексиз кетма-кетлигини қарашнинг муҳим жиҳатлигини сезган
(Бернулли схемасининг асосий ғояси) ва ҳодисанинг эҳтимоллиги билан унинг
частотаси орасидаги фарқни аниқ асослаган.
1812
йилда Лапласнинг (1749–1827) «Тҳеорие Аналйтиқуе дес
Пробабилитéс» («Эҳтимолликларнинг аналитик назарияси») номли йирик
трактати нашрдан чиқди. Бу асарда у ўзининг ва ўзидан олдинги олимларнинг
эҳтимолликлар назарияси соҳасидаги натижаларини эълон қилган. У, хусусан,
Муавр теоремасини Бернулли схемасининг умумий ҳоли учун умумлаштирган.
Бу билан Лаплас Муавр натижасининг аҳамиятини тўла очиб берган.
Лапласнинг эҳтимолий усулларнинг хатоликлар назариясига тадбиқлари
бўйича ишлари эҳтимолликлар назарияси ривожига муҳим ҳисса бўлиб
қўшилди.
Мазкур мақолада Бернулли схемаси учун классик лимит теоремалар
ҳақида фикр юритилган бўлиб, унда Я.Бернуллининг катта сонлар қонуни ва
унинг турли хил умумлашмалари, Муавр ва Лаплас томонидан олинган классик
натижалар баён қилинган.
Фараз қилайлик муайян шатрларда
n
та боғлиқсиз тажрибалар
ўтказилаяпти. Бу тажрибаларнинг ҳар бирида икки хил натижа кутилади:
p
эҳтимоллик билан «муваффақият» ва
1
q
p
эҳтимоллик
билан
«муваффақиятсизлик». Бундай тажрибалар серияси
Бернулли схемаси
деб
аталади.
(Тажрибалар
сериясида
ишлатилаётган
«муваффақият»
ва
«муваффақиятсизлик» терминлари анъанавий атамалар бўлиб, биз учун
уларнинг номларидан кўра тажриба натижалари муҳим.)
Бернулли схемасида муваффақиятлар сонини
n
деб белгиласак, бу
катталик дискрет эҳтимоллик фазосида берилган тасодифий миқдор бўлади.
Дарҳақиқат, агар
k
тажриба муваффақият билан тугаса,
1
k
, акс ҳолда
0
k
деймиз ва
1
2
,
, . . . ,
n
векторни қараймиз. Бу векторни чекли
эҳтимоллик фазосининг нуқтаси сифатида қараймиз:
1
2
,
, . . . ,
n
.
Бу нуқтанинг берилиши барча
n
та тажрибанинг натижаларини аниқлайди ва
аксинча. Шундай қилиб,
n
миқдор тасодифий тажриба натижасининг
функциясидир ва
1
2
. . .
n
n
.
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 2 issue 22 (44) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
120
Энди
эҳтимоллик фазосида
P
P
1
2
,
, . . . ,
n
эҳтимолликни
аниқлаймиз. Барча
n
та тажриба ўзаро боғлиқсиз ва муваффақият эҳтимоллиги
ҳар бир тажрибада бир хил эканлигидан
P
P
P
. . . P
1
2
n
, (1.1)
бу ерда P
k
сон
k
тажрибада
k
натижанинг эҳтимоллигидир;
1
k
n
Шартга кўра
P 1
P 0
,
p
q
.
демак, (1.1) формуланинг ўнг томонида
p
га тенг кўпайтувчиларнинг сони
k
ларнинг орасидаги бирлар сонича,
q
га тенг кўпайтувчиларнинг сони эса
k
ларнинг орасидаги ноллар сонича. Яъни
P
1
1
n
n
k
k
k
k
n
p
q
. (1.2)
Юқоридаги мулоҳазалар асосида
n
тасодифий миқдорнинг тақсимот
қонунини аниқлаймиз:
P
P
P
P
. . . P
1
2
1
1
2
. . .
.
n
n
n
k
k
n
k
k
k
(1.3)
(1.2) формулага кўра (1.3) тенгликнинг ўнг томонидаги ҳар бир қўшилувчи
учун
P
P
. . . P
1
2
k n k
n
p q
тенгликка эга бўламиз. Бу қўшилувчилар сони эса роппа-роса
!
!
!
k
n
n
C
k n
k
та. Ҳақиқатдан ҳам
k
та компонентаси
1
лардан ва
n k
та компонентаси
0
лардан иборат бўлган
n
ўлчовли
1
2
,
, . . . ,
n
векторлар сони
k
n
C
га тенг.
Чунки бундай векторларнинг сони уларнинг компоненталарида
k
та бирларни
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 2 issue 22 (44) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
121
жойлаштириш орқали аниқланади ва маълумки, бирларнинг жойлари
k
n
C
сондаги турли хил усул билан танланиши мумкин.
Демак,
n
тасодифий миқдорнинг тақсимот қонуни
P
( ) :
k k n k
n
n
n
P k
k
C p q
. (1.4)
Ньютон биноми формуласидан фойдалансак, (1.4) формулага кўра
фуйидагига эга бўламиз:
=
=
0
0
( )
1
n
n
n
k k n k
n
n
k
k
P k
C p q
p
q
.
Охирги тенгликни ҳосил қилишда биз эҳтимолликнинг P
1
шартидан фойдаландик. Унга кўра
P 1
P 0
1
p
q
.
Шундай қилиб,
0
( )
1
n
n
k
P k
. (1.5)
Юқоридаги муносабатдан
0,1,. . . ,
( )
0
n
x
n
P x
эканлиги келиб чиқади.
Қуйидаги теорема тасдиғи Бернулли схемаси бўйича
n
та тажрибада
муваффақиятлар сонининг тоқ сонда бўлиши эҳтимоллигини ҳисоблаш
имконини беради.
Теорема 1.1.
Ушбу
P
2
1 ,
n
n
k
k
N
, эҳтимоллик учун ушбу
1
1
,
2
2
n
n
q
p
n
N
формула ўринли.
Исбот.
P
2
1
n
n
k
эҳтимолликнинг таърифига кўра, деярли
равшанки,
2
1,
0
k
k n k
n
n
k
m
m
k n
C p q
N
. (1.6)
Ньютон биноми формуласига кўра
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 2 issue 22 (44) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
122
0
2 ,
2
1,
0
0
1
.
n
n
k
k
k n k
n
k
k
k n k
k
k n k
n
n
k
m m
k
m
m
k n
k n
q
p
C
p q
C p q
C p q
N
N
(1.7)
Иккинчи томондан (1.5) тенгликни ушбу
2 ,
2
1,
0
0
1
k
k n k
k
k n k
n
n
k
m m
k
m
m
k n
k n
p
q
C p q
C p q
N
N
(1.8)
шаклда ёзиб олиш мумкин. Юқорида ҳосил қилинган (1.7) тенгликни
( 1)
га кўпайтириб, (1.8) тенгликка ҳадлаб қўшсак,
2
1,
0
2
1
n
k k n k
n
k
m
m
k n
C p q
q
p
N
.
Охирги тенгликда (1.6) формулани ҳисобга олсак, ушбу
1
1
2
2
n
n
q
p
формулани ҳосил қиламиз.
Теорема исбот бўлди.
Биз ўрганаётган ушбу
( )
k
k n k
n
n
P k
C p q
формула Бернулли формуласи деб
номланади. Бу формулани ҳар бир тажрибада эҳтимоллиги ўзгармас
p
бўлган
бирор
A
ҳодисанинг
n
та боғлиқсиз тажрибалардан роппа-роса
k
тасида рўй
бериш эҳтимоллиги сифатида талқин қилиш мумкин. Бернулли формуласининг
содда кўринишига қарамасдан етарлича катта
n
ларда ундан фойдаланиш
бирмунча ноқулайликларни вужудга келтиради. Бундай ҳолга, айниқса,
тайинланган етарлича катта
n
ва
k
ларда ҳисоблаш жараёнида эмас, балки
аниқ экстремал масалаларда дуч келамиз. Шу муносабат билан муайян шартлар
бажарилганда
( )
n
P k
ни ҳисоблашда тақрибий ҳисоблаш усуллари кенг
қўлланилади.
МАСАЛАЛАР ЙЕЧИШДА НАМУНАЛАР
1.Таня ва Валя лар 10 киши биргаликда янги йилни кутиб олишмоқчи
бўлишди. Улар байрам дастурхонига ёнма-ён ўтиришни жуда хохлашди. Агар
байрам дастурхонига ўтирувчилар қуръа орқали анигланса, уларнинг
хохишлари бажарилиши эҳтимоллигини топинг.
Ечиш. 10 нафар болаларни 10! Усул билан дастурхон атрофида
жойлаштириш мумкин. 10! Тенг имкониятли усулларнинг нечтаси Таня ва Валя
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 2 issue 22 (44) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
123
учун благоприятний? Улар ёнма-ён ўтиришларнинг 20 та имкониятлари бор. Бу
ҳолда уларнинг 8 та ўртоқлри 8! турли жойларда ўтиришлари мумкин. Шунинг
учун
𝑚 = 20 ∙ 8!.
Бунда Таня ва Валяларнинг истаклари бажарилиши
эҳтимоллиги
𝑃 =
𝑚
𝑛
=
20 ∙ 8!
10!
=
2
9
.
2.Иккита ўйин кубиги ташланмоқда. Биринчи кубикда тоқ сонлар,
иккинчисида 5 тушиш эҳтимоллигини нимага тенг?
Ечиш. Тажрибаларни қуйидагича белгилаб оламиз:
𝐴 −
биринчи кубикни ташлаганда тоқ сонлар тушиши;
𝐵 −
иккинчи кубикни ташлаганда бешнинг тушиши;
Биздан
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) −
ни топпиш талаб қилинган.
𝐴 𝑣𝑎 𝐵
ҳодисалар
биргаликда рўй бериши мумкин, лекин уларнинг бири иккинчисига боғлиқ
эмас. У ҳолда,
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵).
Ҳисблашлар орқали
𝑃(𝐴) =
1
2
𝑣𝑎 𝑃(𝐵) =
1
6
=> 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
1
2
∙
1
6
=
1
12
.
3. Қурилиш бригадаи учта уй қуриш комбинатидан темир- бетон
материаллари олишди. Биринчи уй қуриш комбинатидан олинган темир- бетон
материалларининг 30%, иккинчи уй қуриш комбинатидан олинган темир- бетон
материалларининг 55%, учинчи уй қуриш комбинатидан олинган темир- бетон
материалларининг 15% ини ташкил қилади. Биринчи уй қуриш комбинатидан
олинган темир- бетон материалларининг 5%, иккинчи уй қуриш комбинатидан
олинган темир- бетон материалларининг 6%, учинчи уй қуриш комбинатидан
олинган темир- бетон материалларининг 10% И брак. Олинган материаллар
омборхонада сақланади. Таваккалига олинган материалларда бири текшириш
натижасига кўра брак деб топилди. Брак материалнинг биринчи уй қуриш
комбинатидан бўлиш эҳтимоллигини топинг.
Е
чиш:
Қуйидагича белгилашлар киритамиз:
𝐴 −
таваккалига олинган материал брак;
𝐵
1
−
таваккалига
олинган материалнинг биринчи уй қурилиш
комбинатидан бўлиши;
𝐵
2
−
таваккалига олинган материалнинг иккиринчи уй қурилиш
комбинатидан бўлиши;
𝐵
3
−
таваккалига
олинган материалнинг учиринчи уй қурилиш
комбинатидан бўлиши
Биздан
𝑃(𝐵
1
/𝐴)
ни топиш сўралган.
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 2 issue 22 (44) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
124
𝑃(𝐵
1
/𝐴) =
𝑃(𝐴/𝐵
1
) ∙ 𝑃(𝐵
1
)
𝑃(𝐴/𝐵
1
) ∙ 𝑃(𝐵
1
) + 𝑃(𝐴/𝐵
2
) ∙ 𝑃(𝐵
2
) + 𝑃(𝐴/𝐵
3
) ∙ 𝑃(𝐵
3
)
.
Масаланинг шартидан
𝑃(𝐴/𝐵
1
) = 0,05; 𝑃(𝐴/𝐵
2
) = 0,06; 𝑃(𝐴/𝐵
3
) = 0,1;
𝑃(𝐵
1
) = 0,3; 𝑃(𝐵
2
) = 0,55; 𝑃(𝐵
3
) = 0,15.
𝑃(𝐵
1
/𝐴) =
0,05 ∙ 0,3
0,05 ∙ 0,3 + 0,06 ∙ 0,55 + 0,1 ∙ 0,15
= 0,238.
3. 10 нафар ўқувчи математикадан имтиҳон топширишга келишди.
Уларнинг 3 таси аъло даражада тайёрланган, 4 таси яхши таёрраланган, 2 таси
ўртача тайёрланган ва биттаси умуман тайёрланмаган, у барчасини биламан деб
ҳисоблайди. Билетлар 20 та саволдаан тузилган. Аъло даражада тайёрланган
барча 20 та саволга жавоб бера олади, яхши тайёрланган 16 та саволга, ўрта
даражада тайёрланган 10 та саволга, тайёрланмаган ўқувчи 5 та саволга жавоб
бера олади. Ҳар бир ўқувчи 20 та саволдан таваккалига 3 та савол олади.
Таклиф қилинган биринчи ўқувчи 3 та саволнинг барчасига жавоб берди, У
ўқувчининг аълочи бўлиш эҳтимоллигини топинг.
Е
чиш.
Ҳодисаларни қуйидагича белгилаб оламиз:
𝐴
1
−
таклиф қилинган ўқувчи аъло даражада тайёрланган;
𝐴
2
−
таклиф қилинган ўқувчи яхши даражада тайёрланган;
𝐴
3
−
таклиф қилинган ўқувчи қониқарли даражада тайёрланган;
𝐴
4
−
таклиф қилинган ўқувчи имтиҳонларга қониқарсиз даражада
тайёрланган;
𝐴 −
таклиф қилинган ўқувчи 3 та саволнинг барчасига жавиб берган;
Ечиш. Масаланинг шартига кўра:
𝑃(𝐴
1
) = 0,3; 𝑃(𝐴
2
) = 0,4; 𝑃(𝐴
3
) = 0,2; 𝑃(𝐴
4
) = 0,1.
Маълумки,
𝑃(𝐴/𝐴
1
) = 1; 𝑃(𝐴/𝐴
2
) =
16
20
∙
15
19
∙
14
18
≈ 0,491;
𝑃(𝐴/𝐴
3
) =
10
20
∙
9
19
∙
8
18
≈ 0,105; 𝑃(𝐴/𝐴
3
) =
5
20
∙
4
19
∙
3
18
≈ 0,009.
Шунингдек,
𝑃(𝐴
1
/𝐴)
ни топпиш сўралган.
Бейес формуласига асосан
(𝑃(𝐴
1
/𝐴) ) =
0,3 ∙ 1
0,3 ∙ 1 + 0,4 ∙ 0,491 + 0,2 ∙ 0,105 + 0,1 ∙ 0,009
≈ 0,58.
Юқоридагилардан маълумки, изланаётган эҳтимолликлар унчалик катта
эмас. Шу сабабли яна бир неча мисолларни қараб чиқамиз.
Масала.
Танга 10 марта ташланди. Икки марта герб тушиш
эҳтимоллигини топинг.
Е
чиш.
Бунда
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 2 issue 22 (44) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
125
𝑛 = 10, 𝑚 = 2, 𝑝 =
1
2
, 𝑞 =
1
2
,
у ҳолда
𝑃(𝑆
10
= 2) = 𝐶
10
2
(
1
2
)
2
∙ (
1
2
)
8
=
10 ∙ 9
1 ∙ 2
∙ (
1
2
)
10
=
45
1024
= 0,04395.
Масала.
Сув ости кемаси крейсерга ҳужум қилиб кетма-кет тўртта
торпедолар йўналтирди. Ҳар бир торпедонинг крейсерга тегиш эҳтимоли
3
4
га
тенг. Ҳар бир торпедо крейсернинг 10 та бўлимидан биттасига тегиши мумкин,
у ҳолда бу бўлим сув билан тўлади. Крейсернинг ҳеч бўлмаганда икки
бўлинмаси сувга тўлса у чўкади. Крейсернинг ҳалокатга учраш эҳтимоллигини
топинг.
Е
чиш.
Қуйидагича белгилашлар киритамиз:
𝐴
1
−
битта торпедонинг мўлжалга тегиши;
𝐴
2
−
иккита торпедонинг мўлжалга тегиши;
𝐴
3
−
учта торпедонинг мўлжалга тегиши;
𝐴
4
−
тўртта торпедонинг мўлжалга тегиши;
𝐴 −
крейсер чўктирилди.
Юқоридаги формуладан:
𝑃(𝐴
1
) = 𝐶
4
1
(
3
4
) ∙ (
1
4
)
3
=
3
64
, 𝑃(𝐴
2
) = 𝐶
4
2
(
3
4
)
2
∙ (
1
4
)
2
=
27
128
,
P(A
3
) = C
4
3
(
3
4
)
3
∙
1
4
=
27
64
, P(A
4
) = C
4
4
(
3
4
)
4
∙ (
1
4
)
0
=
81
256
,
P(A/A
1
) = 0, P(A/A
2
) = 1 −
1
10
=
8
9
,
P(A/A
3
) = 1 −
1
10
2
=
99
100
, P(A/A
4
) = 1 −
1
10
3
=
999
1000
,
Тўла эҳтимоллик формуласидан
P(A) =
3
64
∙ 0 +
27
128
∙
9
10
+
27
64
∙
99
100
+
81
256
∙
999
1000
≈ 0,9237.
Душман крейсерининг сақлаб қолиш имкониятлари жуда ҳам кам.
Масала. 500 нафар кишилардан таваккалига олимган иккитасининг 1 майда
туғилган бўлиши эҳтимоллиги нимага тенг.
Ечиш. Нотаниш шахснинг туғилган кунининг эҳтимоллиги йилнинг
ихтиёрий кунига тенглиги табиий. Биздан
P(S
500
= 2)
ни ҳисоблаш талаб
қилинган.
.Маълумки
n = 500, m = 2, p =
1
365
, y holda k =
500
365
≈ 1,3699.
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 2 issue 22 (44) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
126
Юқоридаги формуладан
P(S
500
= 2) ≈
1,3699
2
2!
e
−1,3699
≈ 0,2385.
Юқорида келтирилган ифодаларни ҳисоблашда қуйидагиларни эсда
сақлаш фойдали:
lge
−k
= −k ∙ 0,4342945.
Масала
. Ҳар 1000 кишидан тахминан 8 таси чапақай. Таваккалига
танланган юз кишидан бирортаси ҳам чапақай бўлмаслиги эҳтимоллиги нимага
тенг?
Е
чиш.
Бу ҳолатда
n = 100, m = 0, p = 0,008.
Бундан
k = 0,8.
Юқоридаги формуладан
P(S
200
= 0) ≈
0,8
0
0!
e
−0,8
≈ 0,4493.
Масала. Ихтиёрий 1000 та деталдан 4 таси брак. 2400 та шундай деталнинг
нечтаси брак хисобланади (тахминан)?
Ечиш. Қуйидагича белгилашлар киритамиз:
A −
таваккалига олинган детал брак, у ҳолда
P(A) = 0,004.
Агар 2400 деталнинг
x
таси брак бўлса, у ҳолда
P(A) =
x
2400
va P{A} ≈ P(A)
деб қаралганда
x
2400
≈ 0,004 => x ≈ 10.
Масала. Яшикда 4 та оқ ва 7 та қора шарлар бор. Таваккалига олинган
шарнинг оқ бўлиш эҳтимоллигини топинг.
Ечиш. Бу ҳолда
m = 4, n = 4 + 7 = 11
Таваккалига олинган шарнинг оқ бўлиш эҳтимоллиги
P(A) =
m
n
=
4
11
.
Xулоса
Бернулли схемаси учун лимит теоремалар тасодифий ҳодисаларнинг
қайта-қайта амалга оширилиш жараёнларини таҳлил қилишда асосий аҳамиятга
эга. Бернулли схемаси доирасида ҳар бир эксперимент икки мумкин бўлган
натижага эга (муваффақият ёки муваффақиятсизлик), ва улар ўзаро мустақил
ҳисобланади. Бу схемага таянган лимит теоремалар кўплаб амалий масалаларни
ечишда статистик ютуқларни таъминлайди.
Асосий натижалар
1.
Қонунийлик асослари
International scientific journal
“Interpretation and researches”
Volume 2 issue 22 (44) | ISSN: 2181-4163 | Impact Factor: 8.2
127
o
Кичик сандар қонуни: Бернулли синовлари натижасида
муваффақият
эҳтимолининг
тахминий
қиймати
ҳақиқий
эҳтимолга
яқинлашади. Бу қонуният узоқ муддатли жараёнларни таҳлил қилишда
муҳимдир.
o
Катта сандар қонуни: Синовлар сони ошгани сари, муваффақиятли
натижаларнинг улуши ҳақиқий эҳтимолликка конвергенция қилади.
2.
Лимит теоремаларининг ўрни
o
Де Мувр – Лаплас теоремаси: Бернулли схемасида муваффақиятлар
сони катта бўлганида, бу сонинг тақсимоти нормал тақсимотга яқинлашади. Бу
статистик моделларда ва прогноз қилишда юқори аҳамиятга эга.
o
Пуассон лимит теоремаси: Агар муваффақият эҳтимоли кичик ва
синовлар сони катта бўлса, муваффақиятлар сони Пуассон тақсимотига
яқинлашади. Бу ноёб ҳодисаларни моделлаштиришда қўлланилади.
3.
Қўлланилиш соҳалари
o
Иқтисодиёт ва молия: Инвестиция таҳлиллари, таваккалчиликни
баҳолаш ва бозор динамикасини тушунишда.
o
Физика ва техника: Молекуляр ҳодисалар ва электрон ҳодисаларда
тасодифий жараёнларни моделлаштириш.
o
Сўровномалар ва ижтимоий тадқиқотлар: Катта аҳолини қамраб
олган статистик тадқиқотлар натижаларини баҳолаш.
o
Компьютер фанлари: Рандомизация жараёнлари ва алгоритмлар
самарадорлигини баҳолаш.
Бернулли схемаси ва унинг асосидаги лимит теоремалар тасодифий
жараёнларни тушуниш учун мустаҳкам назарий базани таъминлайди. Бу
теоремалар фақат назарий эмас, балки амалий масалаларда ҳам кенг
қўлланилади. Улар орқали тасодифий ҳодисаларнинг узоқ муддатли
натижалари ҳақида ишончли хулосалар чиқариш мумкин. Бернулли схемаси
учун лимит теоремалар катта ҳажмдаги маълумотларни таҳлил қилишда ва
кўплаб илмий соҳаларда фундаментал аҳамиятга эгадир.
Адабиётлар рўйхати:
1.
А.А.Боровков. Теория вероятностей. Москва, «Наука», 1986.
2.
А.Н.Ширяев. Вероятность. Москва, «Наука», 1980.
3.
Б.В.Гнеденко. Курс теории вероятностей. Москва, «Наука», 1969.
4.
В.Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1,2.
Москва, «Мир», 1984.
