Конференсияи илмии байналмилалй
“Муаммоҳои илму фан дар шароити ҷаҳонишавӣ”
“Globallashuv sharoitida ilm-fan muammolari” mavzusidagi xalqaro ilmiy konferensiya
~ 194 ~
ДАР БОРАИ ЯКЕ АЗ АЛГОРИТМҲОИ ЁФТАНИ ФОРМУЛАҲОИ
СУММАИ ДАРАҶАҲОИ ЯКХЕЛАИ АДАДҲОИ НАТУРАЛӢ ДАР
ЗАБОНИ БАРНОМАРЕЗИИ PYTHON
Шукуров Муҳаммадшариф
узви ҳақиқии академияи хурди илмҳои ҶТ, донишҷӯи бахши дуюми факултети
математикаи МДТ «ДДХ ба номи академик Б.Ғафуров», математикаи амалӣ
Усмонов Диловарҷон Давронҷонович
донишҷӯи бахши дуюми факултети математикаи МДТ «ДДХ ба номи академик
Б.Ғафуров», математикаи амалӣ
Аннотатсия:
Дар мақолаи маскур мо яке аз алгоритмҳои ёфтани
формулаҳои суммаи дараҷаҳои якхелаи ададҳои натуралиро дар забони
барномарезии
PYTHON пешниҳот мекунем ва беҳбудии ҳисобҳои кампю-
териро барои ёфтани суммаи баъзе пайдарпайиҳои охирнок нишон медиҳем.
Вожаҳои калидӣ:
алгоритми ёфтани формулаҳои суммаи дараҷаҳои
якхелаи ададҳои натуралӣ, ададҳои Бернуллӣ, биноми дуузваи Хайём-Нютон,
PYTHON.
Дар адабиётҳо якчанд методи гуногуни ёфтани формулаҳои суммаи
дараҷаҳои якхелаи ададҳои натуралӣ оварда шудааст. Алалхусус дар адабиёти
[1] ва [2] сенздаҳ методи гуногуни ёфтани формулаи суммаи квадратҳои
ададҳои натуралӣ, дар адабиётҳои [3], [4] ва [5] бошад алгоритми навистани код
барои ҳисоби баъзе формулаҳои суммаи охирнок асосан дар забонҳои
барномарезии PASCAL ва VISUAL BASIC дида шудааст. Дар адабиёти [6]
бошад бо ёрии биноми дуузваи Хайём-Нютон формулаҳои рекурентии суммаи
дараҷаҳои якхелаи ададҳои натуралиро ҳосил кардааст ва дар адабиёти [7]
ҳамин формулаҳоро бо метеди индуксияи математикӣ исбот шудааст (то
дараҷаи 7-ум). Лекин ин ҳама натиҷаҳо кофи нестанд, бо ёрии методҳои
рекурентии дар адабиётҳо овардашуда барои ҳосил кардани формула, мо бояд
Конференсияи илмии байналмилалй
“Муаммоҳои илму фан дар шароити ҷаҳонишавӣ”
“Globallashuv sharoitida ilm-fan muammolari” mavzusidagi xalqaro ilmiy konferensiya
~ 195 ~
дараҷаҳои пештараашро донистанамон даркор (яъне барои ҳосил кардани
формулаи дараҷаи
𝑚
-ум,
(𝑚 − 1)
-то формулаи авваларо донистан зарур аст).
Аз даврони юнониёни қадим Пифагору Архимед ҳисоби чунин формулаҳо
маълум буд ва то имрӯз давом дорад. Аз ҳама дастоварди назаррас формулаи
Иоган Бернулли (1667-1748) математики шивет мебошад, ки форму-ла чунин
аст, лек ин формула низ рекурентӣ мебошад.
∑ 𝑘
𝑚
𝑛
𝑘=1
=
1
𝑚 + 1
∑ 𝐵
𝑖
𝐶
𝑖
𝑚+1
𝑛
𝑚+1−𝑖
𝑚
𝑖=0
𝐵
𝑖
-ададҳои Бернуллӣ, ҳамаи аъзоҳои тоқаш ба ғайр аз якумаш ба сифр
баробар аст.
(𝑖 = 2𝑗 + 1)
𝐵
3
= 𝐵
5
= 𝐵
7
=. . . = 𝐵
2𝑗+1
= 0
𝐵
0
= 1; 𝐵
1
= −
1
2
; 𝐵
2
=
1
6
; 𝐵
4
= −
1
30
; 𝐵
6
= −
1
42
; 𝐵
8
= −
1
30
; 𝐵
10
=
5
66
𝐶
𝑖
𝑚+1
-коэффитсиентҳои биномиалии биноми дуузваи Хайём-Нютон.
Формулаи комбинатсия аз
𝑖
элемент
𝑚 + 1
-тогӣ:
𝐶
𝑖
𝑚+1
=
𝑖!
(𝑚+1)!(𝑖−𝑚+1)!
Чихеле, ки дар боло кайд кардем ҳамаи он методҳое, ки ба мо маълум аст
методҳои рекуренти мебошад. Барои бартараф кардани чунин муаммо, мо яке
аз алгоритмҳои ёфтани формулаҳои суммаи дараҷаҳои якхелаи ададҳои
натуралиро дар забони барномарезии PYTHON пешниҳот мекунем.
Акнун дар назди худ масъалаи навиштани код дар забони барномарезии
PYTHON барои ёфтани формулаҳои суммаи дараҷаҳои якхелаи ададҳои
натуралӣ
(∑
𝑘
𝑚
𝑛
𝑘=1
)
мегузорем.
Код дар забони барномарезии PYTHON
import sympy as sp
def sum_of_powers_formula(m):
n = sp.Symbol('n')
return sp.summation(sp.Symbol('k')**m, ('k', 1, n))
def sum_of_powers(n, m):
return sum(k**m for k in range(1, n+1))
Конференсияи илмии байналмилалй
“Муаммоҳои илму фан дар шароити ҷаҳонишавӣ”
“Globallashuv sharoitida ilm-fan muammolari” mavzusidagi xalqaro ilmiy konferensiya
~ 196 ~
m = int(input("Дараҷаро дохил кунед m: "))
formula = sum_of_powers_formula(k)
print(f"Ёфтани формулаи суммаи дилхоҳ m дараҷаҳои якхелаи ададҳои
натуралӣ : {sp.simplify(formula)}")
Агар ба m қимат дода print-ро пахш кунем, формулаҳои дар поён
овардашударо, дар натиҷа ба мо медиҳад. Мисол ба m қимати 3-ро диҳем дар
натиҷа ба мо формулаи суммаи кубҳои ададҳои натуралиро медиҳад (ниг. ба
расми 1).
Расми 1.
Натиҷаи баровардаи барномаро табдилдиҳӣ карда, формуларо ҳосил
мекунем.
∑ 𝑘
3
𝑛
𝑘=1
=
𝑛
2
4
(𝑛
2
+ 2𝑛 + 1) =
𝑛
2
(𝑛 + 1)
2
4
= (
𝑛(𝑛 + 1)
2
)
2
Формулаҳои суммаи дараҷаҳои якхелаи ададҳои натуралӣ (аз 1 то 10)
∑ 𝑘
𝑛
𝑘=1
= 1 + 2 + 3+. . . +𝑛 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
∑ 𝑘
2
𝑛
𝑘=1
= 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+. . . +𝑛
2
=
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
Конференсияи илмии байналмилалй
“Муаммоҳои илму фан дар шароити ҷаҳонишавӣ”
“Globallashuv sharoitida ilm-fan muammolari” mavzusidagi xalqaro ilmiy konferensiya
~ 197 ~
∑ 𝑘
3
𝑛
𝑘=1
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+. . . +𝑛
3
= (
𝑛(𝑛 + 1)
2
)
2
∑ 𝑘
4
𝑛
𝑘=1
= 1
4
+ 2
4
+ 3
4
+. . . +𝑛
4
=
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)(3𝑛
2
+ 3𝑛 − 1)
30
∑ 𝑘
5
𝑛
𝑘=1
= 1
5
+ 2
5
+ 3
5
+. . . +𝑛
5
=
𝑛
2
(𝑛 + 1)
2
(2𝑛
2
+ 2𝑛 − 1)
12
∑ 𝑘
6
𝑛
𝑘=1
= 1
6
+ 2
6
+ 3
6
+. . . +𝑛
6
=
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)(3𝑛
4
+ 6𝑛
3
− 3𝑛 + 1)
42
∑ 𝑘
7
𝑛
𝑘=1
= 1
7
+ 2
7
+ 3
7
+. . . +𝑛
7
=
𝑛
2
(𝑛 + 1)
2
(3𝑛
4
+ 6𝑛
3
− 𝑛
2
− 4𝑛 + 2)
24
∑ 𝑘
8
𝑛
𝑘=1
= 1
8
+ 2
8
+ 3
8
+. . . +𝑛
8
=
=
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)(5𝑛
6
+ 15𝑛
5
+ 5𝑛
4
− 15𝑛
3
− 𝑛
2
+ 9𝑛 − 3)
90
∑ 𝑘
9
𝑛
𝑘=1
= 1
9
+ 2
9
+ 3
9
+ ⋯ + 𝑛
9
=
=
𝑛
2
(𝑛 + 1)
2
(𝑛
2
+ 𝑛 − 1)(2𝑛
4
+ 4𝑛
3
− 𝑛
2
− 3𝑛 + 3)
20
∑ 𝑘
10
𝑛
𝑘=1
= 1
10
+ 2
10
+ 3
10
+. . . +𝑛
10
=
=
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)(𝑛
2
+ 𝑛 − 1)(3𝑛
6
+ 9𝑛
5
+ 2𝑛
4
− 11𝑛
3
+ 3𝑛
2
+ 10𝑛 − 5)
66
Адабиёт:
1.
Абдукаримов М. Ф. “Сенздаҳ методи суммирони квадратҳои
пайдар-пайии ададҳои натуралӣ, қисми I” (Маҷаллаи “Масъалаҳои методикаи
таълим”) №9 2017, 21-28с.
Конференсияи илмии байналмилалй
“Муаммоҳои илму фан дар шароити ҷаҳонишавӣ”
“Globallashuv sharoitida ilm-fan muammolari” mavzusidagi xalqaro ilmiy konferensiya
~ 198 ~
2.
Абдукаримов М. Ф. “Сенздаҳ методи суммирони квадратҳои
пайдар-пайии ададҳои натуралӣ, қисми II” (Маҷаллаи “Масъалаҳои методикаи
таълим”) №10 2017, 32-38с.
3.
Абдукаримов М. Ф. “Формулаҳои аниқи аналитикӣ барои ҳисоби
баъзе суммаҳои охирнок ва таҳлили компютерии онҳо, қисми I” (Маҷаллаи
“Масъалаҳои методикаи таълим”) №11 2019, 3-8с.
4.
Абдукаримов М. Ф. “Формулаҳои аниқи аналитикӣ барои ҳисоби
баъзе суммаҳои охирнок ва таҳлили компютерии онҳо, қисми II” (Маҷаллаи
“Масъалаҳои методикаи таълим”) №12 2019, 12-20с.
5.
Абдукаримов М. Ф. “Масъалаи суммиронии пайдарпайиҳои
охирнок” Душанбе, 2014-226с.
6.
Баротов Р. Н. “Нахождение сумм последовательных
𝑛
натуральных
с данными натуральными показателями чисел” (учёные записи ХГУ имени
академика Б. Гафуров, серия естественные и экономические науки) №1(40)
2017, 3-7с.
7.
Шукуров М. “Исботи формулаҳои суммаи дараҷаҳои ададҳои
натуралӣ бо методи индуксияи математикӣ” (Маҷаллаи “Маърифати омӯзгор”)
№4 2023, 35-39с.
