Конференсияи илмии байналмилалй
“Муаммоҳои илму фан дар шароити ҷаҳонишавӣ”
“Globallashuv sharoitida ilm-fan muammolari” mavzusidagi xalqaro ilmiy konferensiya
~ 95 ~
ҲАЛЛИ МАСЪАЛАҲОИ МУШАХХАС БО ИСТИФОДА АЗ ТЕОРЕМАИ
ЛЯПУНОВ
Абдуллоева Манижахон Аззамҷоновна
магистранти бахши дуюми факултети математикаи МДТ «ДДХ ба номи
академик Б.Ғафуров», математика
Усмонов Диловарҷон Давронҷонович
донишҷӯи бахши дуюми факултети математикаи МДТ «ДДХ ба номи академик
Б.Ғафуров», математикаи амалӣ
Аннотатсия.
Дар фишурдаи мазкур, таҳлили сифатии муодилаҳои
дифференсиалӣ, яъне муайян намудани устуворияти ҳалли системаи
муодилаҳои дифференсиалӣ бо истифода аз теоремаи Ляпунов бо ҳалли
масъалаҳои мушаххас дида баромада шудааст.
Вожаҳои калидӣ:
системаи муодилаҳои дифференсиалӣ, устуворият,
муодилаи характеристикӣ, Ляпунов.
Бигузор модели математикии ягон ҳодисаи реалӣ тавассути системаи
муодилаҳои дифференсиалии намуди
𝑑𝑥
𝑖
𝑑𝑡
= 𝐹
𝑖
(𝑡, 𝑦
1
, … , 𝑦
𝑛
) (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛)
(1)
ва шартҳои аввалаи
𝑥
𝑖
(𝑡
0
) = 𝑥
𝑖
0
ифода ёбад. Ҳангоми ҳалли система
ёфтани баъзе шартҳо ба миён меояд, ки ба ҳалли система таъсири худро
мерасонад, ки инро назарияи устуворият муайян менамояд.
Системаи муодилаҳои дутағйирёбандаи намуди зеринро тадқиқ менамоем:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑓(𝑡, 𝑥)
(2)
Ҳалли система дар нуқтаи
𝑥 = 𝜑(𝑡)
мувофиқи Ляпунов устувор номида
мешавад, агар, барои дилхоҳ
𝜀 > 0
чунин
𝛿 > 0
ёфт шавад, ки барои ҳамаи
ҳалҳои система шарти зеринро қонеъ гардонад:
|𝑥(𝑡
0
) − 𝜑(𝑡
0
)| < 𝛿
ва барои ҳамаи
𝑡 ≥ 𝑡
0
нобаробарии
Конференсияи илмии байналмилалй
“Муаммоҳои илму фан дар шароити ҷаҳонишавӣ”
“Globallashuv sharoitida ilm-fan muammolari” mavzusidagi xalqaro ilmiy konferensiya
~ 96 ~
|𝑥(𝑡) − 𝜑(𝑡)| < 𝜀
(3)
иҷро гардад.
Агар барои баъзе
𝜀 > 0
чунин
𝛿
мавҷуд набошад ва ақалан якто ҳалли
система нобаробарии (3)-ро қонеъ нагардонад, пас ҳалли
𝜑(𝑡)
ноустувор
номида мешавад.
Ҳалли
𝜑(𝑡)
асимптотӣ устувор номида мешавад, агар вай аз рӯи қоидаи
Ляпунов устувор бошад ва ғайр аз ин ҳангоми иҷроиши шарти (3) баробариии
зерин ҷой дошта бошад:
𝑙𝑖𝑚
𝑡→∞
|𝑥(𝑡) − 𝜑(𝑡)| = 0.
Тадқиқи устуворият аз рӯи наздикшавии якум.
Бигузор системаи (2)
дода шуда бошад, ки функсияи
𝑓
дар ягон атрофи ибтидои координата
дифференсиронидашаванда бошад. Ҳангоми тадқиқи ин система чунин усулро
истифода мебаранд. Аз дифференсиронидашаванда будани функсияи
𝑓(𝑡, 𝑥)
бармеояд, ки дар атрофи ибтидои координата онро дар намуди
𝑓(𝑡, 𝑥) = ∑ 𝑎
𝑚
(𝑡)𝑥
𝑚
+ 𝑅
𝑛
𝑚=1
навиштан мумкин аст, ки дар инҷо
𝑅
бузургии беохир хурд дар атрофи
ибтидои координата мебошад. Ба ҷойи тадқиқи устуворияти чунин система
тадқиқи системаи зерин гузаронида мешавад:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= ∑ 𝑎
𝑚
(𝑡)𝑥
𝑚
𝑛
𝑚=1
(4)
Системаи муодилаҳои дифференсиалии (4) системаи хаттикунонидашуда ё
системаи муодилаҳои наздикшавии якуми системаи (2) номида мешавад.
Теоремаи Ляпунов.
Агар коэффитсиентҳои системаи (4) доимӣ бошанд ва
қисми хаттии ҳамаи решаҳои муодилаи характеристикии
|
𝑎
11
− 𝜆
𝑎
12
𝑎
21
𝑎
22
− 𝜆
| = 0
манфӣ бошад, он гоҳ ҳалли нулии системаи (2) асимптотӣ устувор аст.
Агар ақаллан якто решаи муодилаи характеристикӣ дорои қисми хаттии мусбат
бошад, он гоҳ ҳалли системаи (2) ноустувор мебошад.
Конференсияи илмии байналмилалй
“Муаммоҳои илму фан дар шароити ҷаҳонишавӣ”
“Globallashuv sharoitida ilm-fan muammolari” mavzusidagi xalqaro ilmiy konferensiya
~ 97 ~
Дар ин теорема ҳолати ба нол баробар будани қисми хаттии баъзе решаҳо
муоина намешавад.
Тадқиқи устуворият бо ёрии функсияи Ляпунов.
Барои системаи
муодилаҳои дифференсиалии (2) функсияи
𝜐( 𝑥
1
, 𝑥
2
)
функсияи Ляпунов номида
мешавад, агар вай дар атрофи ибтидои координата муайян ва
дифференсиронидашаванда бошад ва дар ин атроф шартҳои зеринро қаноат
кунонад:
1)
𝜐( 𝑥
1
, 𝑥
2
) ≥ 0
⇔ 𝑥
1,2
= 0
2)
𝑑𝜐
𝑑𝑡
=
𝑑𝜐
𝑑𝑥
𝑓(𝑥
1
) +
𝑑𝜐
𝑑𝑥
𝑓(𝑥
2
) ≤ 0
ҳангоми
𝑡 ≥ 𝑡
0
будан.
Сатҳи савиявии
(𝜐 = С)
барои функсияи
𝜐 = 𝜐( 𝑥)
маҷмӯи зеринро
меномем:
(𝜐 = С) = { 𝑥: 𝜐( 𝑥) = 𝐶 }
. Агар барои системаи (2) функсияи
Ляпунов
𝜐( 𝑥)
мавҷуд бошад, он гоҳ нуқтаи
𝑥 ≡ 0
устувор мебошад. Бигузор
барои системаи (2) функсияи Ляпунов
𝜐( 𝑥)
мавҷуд бошад ва беруни дилхоҳ
𝛿
-
атрофи ибтидои координата, яъне дар маҷмӯи
{(𝑡, 𝑥): ∑ 𝑥
𝑘
2
≥ 𝛿
2
> 0
𝑛
𝑘=1
, 𝑡 ≥ 𝑇
0
≥ 𝑡
0
}
ҳосила
𝑑𝜐
𝑑𝑡
≤ −𝛽 < 0
бошад, ки дар инҷо
𝛽
- адади доимӣ мебошад, он гоҳ
нуқтаи
𝑥 ≡ 0
асимптотӣ устувор мебошад.
Якчанд ҳалли масъалаҳои мушаххасро дида мебароем.
Масъалаи 1.
Системаи муодилаи зеринро аз рӯи қоидаи наздикшавии
якум тадқиқ менамоем:
{
𝑥̇ = 𝑒
𝑥+2𝑦
− 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 ,
𝑦̇ = √4 + 8𝑥 − 2𝑒
𝑦
.
Ҳал:
Функсияҳои тарафи рости системаи додашударо ба қатори Маклорен
паҳн менамоем, яъне:
𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑓(0; 0) + 𝑓
𝑥
′
(0; 0)𝑥 + 𝑓
𝑦
′
(0; 0)𝑦 +
1
2!
𝑓
𝑥𝑥
′′
(0; 0)𝑥
2
+
1
2!
𝑓
𝑦𝑦
′′
(0; 0)𝑦
2
+ 𝑓
𝑥𝑦
′′
(0; 0)𝑥𝑦 + 𝑅
2
(𝑥; 𝑦).
ё
Конференсияи илмии байналмилалй
“Муаммоҳои илму фан дар шароити ҷаҳонишавӣ”
“Globallashuv sharoitida ilm-fan muammolari” mavzusidagi xalqaro ilmiy konferensiya
~ 98 ~
𝑓(𝑥) = ∑
𝑓
(𝑘)
(𝑎)
𝑘!
(𝑥 − 𝑎)
𝑘
𝑛
𝑘=0
+ 𝑅
𝑛
(𝑥).
Аз инҷо
𝑒
𝑥+2𝑦
= 1 + (𝑒
𝑥+2𝑦
)
(0;0)
𝑥 + 2(𝑒
𝑥+2𝑦
)
(0;0)
𝑦 +
𝑥
2
2
(𝑒
𝑥+2𝑦
)
(0;0)
𝑥
2
+
+2𝑦
2
(𝑒
𝑥+2𝑦
)
(0;0)
𝑦
2
+ 2(𝑒
𝑥+2𝑦
)
(0;0)
𝑥𝑦 + 𝑅
2
(𝑥; 𝑦) = 1 + 𝑥 + 2𝑦 + ⋯,
𝑐𝑜𝑠 3𝑥 = 1 −
(3𝑥)
2
2!
+
(3𝑥)
4
4!
− ⋯ = 1,
√4 + 8𝑥 = 2 +
1
2
∙ 4𝑥 +
1 ∙ 3
2 ∙ 4
∙ 4𝑥
2
+ ⋯ = 2 + 2𝑥,
𝑒
𝑦
= 1 +
𝑦
1!
+
𝑦
2
2!
+
𝑦
3
3!
+ ⋯ = 1 + 𝑦.
Аз ин қаторҳо қисми хаттиашро ҷудо карда, системаи зеринро ҳосил
мекунем ва муодилаи характеристикии онро тартиб дода, қиматҳои хосро
меёбам:
{
ẋ = 𝑥 + 2𝑦,
ẏ = 2𝑥 − 2𝑦.
𝐴 = (
1
2
2
−2
) ; 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐸) = (
1 − 𝜆
2
2
−2 − 𝜆
) = 0,
−(2 − 𝜆)(1 − 𝜆) − 4 = 0 ; 𝜆
2
+ 𝜆 − 6 = 0 ; 𝜆
1
= 2, 𝜆
2
= −3
Қиматҳои хос яке мусбат дигаре манфӣ мебошад, аз рӯи қоидаи
наздикшавии аввали Ляпунов ҳалли нуллии система ноустувор аст.
Масъалаи 2.
Барои кадом қиматҳои параметрии
𝑎
ва
𝑏
ҳалли нулии
системаи зерин асимптотӣ устувор аст, тадқиқ менамоем:
{
ẋ = 𝑦 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥
ẏ = 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦
Ҳал:
Аз рӯи формулаи Тейлор ба қатор паҳн мекунем ва қисми хаттии
онро меёбем:
𝑠𝑖𝑛 𝑥 =
𝑥
1!
−
𝑥
3
3!
+
𝑥
5
5!
− ⋯ = 𝑥
{
ẋ = 𝑥 + 𝑦
ẏ = 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦
𝐴 = (
1
1
𝑎
−𝑏
) ; 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐸) = (
1 − 𝜆
1
𝑎
−𝑏 − 𝜆
) = 0
Конференсияи илмии байналмилалй
“Муаммоҳои илму фан дар шароити ҷаҳонишавӣ”
“Globallashuv sharoitida ilm-fan muammolari” mavzusidagi xalqaro ilmiy konferensiya
~ 99 ~
−(𝑏 + 𝜆)(1 − 𝜆) − 𝑎 = 0 ; 𝜆
2
+ 𝜆(𝑏 + 1) − 𝑏 − 𝑎 = 0.
Муодилаи квадратии ҳосилшударо нисбат ба
𝜆
бо ёрии теоремаи Виет ҳал
мекунем ва ба назар мегирем, ки аз рӯи шарти асимптотӣ будани ҳалли нулии
система қиматҳои
𝜆
бояд ҳамавақт мусбат бошанд:
{
𝜆
1
+ 𝜆
2
= −𝑏 − 1
𝜆
1
∙ 𝜆
2
= −𝑏 − 𝑎
⇒ {
−𝑏 − 1 > 0
−𝑏 − 𝑎 > 0
⇒ {
𝑏 < −1
𝑏 < −𝑎
⇒ −𝑎 < 𝑏 < −1
Ҳамин тариқ, барои қиматҳои
𝑎 > 1
ва
𝑏 < −1
ҳалли нулии системаи
додашуда асимптотӣ устувор аст.
Масъалаи 3.
Ҳалли нулии системаро бо ёрии функсияи Ляпунов тадқиқ
менамоем:
{
ẋ = 𝑦 − 𝑥 + 𝑥𝑦,
ẏ = 𝑥 − 𝑦 − 𝑥
2
− 𝑦
3
.
Ҳал:
Функсияи дифференсиронидашавандаи
𝜐( 𝑥, 𝑦) = 𝑥
2
+ 𝑦
2
шартҳои
зеринро қоноат мекунонад:
a)
𝜐( 𝑥, 𝑦) > 0 ҳангоми 𝑥
2
+ 𝑦
2
≠ 0 ва 𝜐(0; 0) = 0
b)
𝑑𝜐
𝑑𝑡
=
𝑑𝜐
𝑑𝑥
ẋ +
𝑑𝜐
𝑑𝑦
ẏ = 2𝑥(𝑦 − 𝑥 + 𝑥𝑦) + 2𝑦(𝑥 − 𝑦 − 𝑥
2
− 𝑦
3
) =
= −2((𝑥 − 𝑦)
2
+ 𝑦
4
) ≤ 0
Барои системаи муодилаҳои дифференсиаллиии додашуда функсияи
Ляпунов мавҷуд аст ва ҳалли нулии система устувор аст, ҳосилаи
𝑑𝜐
𝑑𝑡
≤ −𝛽 < 0
аст, ва
𝛽 = −2
. Пас ҳалли нулии система асимптотӣ устувор мебошад.
Адабиёт:
1.
Петровский
И.Г.
Лекции
по
теории
обыкновенных
дифференциальных уравнений. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 208 с.
2.
Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.
Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 176 с.
