JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wordlyknowledge.uz
ILMIY METODIK
JURNAL
428
Jamolov Shahboz Jamil o’g’li
Qarshi davlat texnika universiteti
o’qituvchisi
Eshmurodov Jasur Inoyatovich
Qarshi davlat texnika universiteti
TMJ 316-24 guruh talabasi.
MATRITSANING RANGI VA UNI HISOBLASH.
TESKARI MATRITSA VA UNI TOPISH
Annotatsiya:
ushbu maqolada sistemalarni modellashtirishda matritsalar algebrasi, matritsa
rangini, uni bevosita hisoblashda ko’p sondagi determinantlarni hisoblash,elementar
almashtirishlar,teskari matritsa A kvadrat matritsa teskari matritsaga ega bo’lishi uchun A
matritsaning determinant noldan farqli bo’lishi zarurligi hamda mavzuga oid misollar tadbiqi
haqida so’z boradi
.
Kalit so’zlar:
modellashtirish, matritsalar algebrasi, matritsa rangi, determinantlar, elementlar
almashtirishlar, teskari matritsa.
Sistemalarni modellashtirihda
matritsalar algebrasi
degan tushuncha muhim ahamiyatga ega.
Rejalashtirish muammolari, yalpi mahsulot, jami mehnat sarfi, narxni aniqlash va boshqa
masalalar hamda ularda kompyuterlarni qo’llash matritsalar algebrasini qarashga olib keladi.
o’lchovli matritsa
satr va
ta ustunini ajratamiz, bunda,
va
sonlardan
kichik yoki ularning kichigiga teng bo’lishi mumkun. Ajratilgan satr va ustunlarning kesishuvida
hosil bo’lgan -tartibli determinantga
matritsaning
-tartibli minori deyiadi.
Tarif:
matritsaning 0 dan farqi minorlarining eng yuqori tartibiga
matritsaning rangi
deyiladi.
matritsaning rangi
yoki
bilan belgilanadi.
Matritsa rangini bevosita hisoblashda ko’p sondagi determinantlarni hisoblashga tug’ri keladi.
Quyidagi amallardan foydalanib matritsa rangini hisoblash qulayroq. Matritsada:
1) faqat 0 lardan iborat satri (ustuni)ni uchirishdan;
2) ikkita satr (ustun)ning o’rinlarini almashtirishdan;
3) biror satr (ustun)ning elemntlarini biror
songa ko’paytirib, boshqa satr (ustun) mos
elementlariga qushish;
4) matritsani transponirlashdan, uning rangi o’zgarmaydi.
Bu amallarga odatda
elementlar almashtirishlar
deyiladi.
A
n
m
k
k
m
k
,
n
k
A
k
A
A
A
rangA
)
(
A
r
0
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wordlyknowledge.uz
ILMIY METODIK
JURNAL
429
1-misol.
Matritsaning rangini hisoblang.
Yechish
.
matritsaning rangini hisoblash uchun elementar almashtirishlardan foydalanamiz.
Birinchi satr elementlarini ikkinchi satr elememtlariga, birinchi satr elementlarini (-2)ga
ko’paytirib, uchunchi satr elementlariga, hamda uchinchi satr elementlarini to’rtinchi satr
elementlariga qo’shib quyidagi matritsani hosil qilamiz:
Keyingi matritsada 2-satrini (-1) ga ko’paytirib to’rtinchi satirga qo’shsak
matritsa hosil bo’ladi. Bu matritsada
bo’lib, to’rtinchi tartibli minorlar 0 ga teng. Shunday qilb, berilgan matritsaning rangi 3 ga teng.
Yuqoridagilardan kelib chiqqan holda teskari matritsa va uni topishga etiborimizni qaratsak.
kvadrat matritsa uchun
birlik matritsa bo’lsa,
kvadrat matritsa
matritsaga
teskari matritsa
deyilad. Odada,
matritsaga teskari matritsa
bilan
belgilanadi.
7
3
2
4
1
5
6
2
5
4
3
0
1
1
2
1
3
1
2
3
A
A
2
3
0
1
5
3
0
0
1
2
2
3
0
1
5
1
3
1
2
3
0
0
0
0
0
3
0
0
1
2
2
3
0
1
5
1
3
1
2
3
0
7
2
5
1
2
1
5
0
1
2
0
1
5
1
2
3
A
E
BA
AB
B
A
A
1
A
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wordlyknowledge.uz
ILMIY METODIK
JURNAL
430
Teorema:
kvadrat matritsa teskari matritsaa ega bo’lishi uchun
matritsaning determinanti
0 dan farqli bo’lishi zaur va yetarlidir. (Bu teoremani isbotsiz keltirdik, uning isbotini kengroq
dasturli kurslardan topish mumkun.)
kvadrat matritsa uchun
bo’lsa , unga teskari bo’lgan yagona matritsa
mavjud.
matritsaga teskri
matritsa
Formula bilan topiladi. Bunda
mos ravishda
elementlarning algebraik to’ldiruvchilari va
.
Teskari matritsani topishga misol qaraymiz.
2-misol. Ushbu
matritsaga teskari matritsani toping.
Yechish. Oldin
matritsanining determinantini hisoblaymiz:
Yuqoridagi teremaga asosan teskari matritsa mavjud, chunki
A
A
A
0
det
A
1
A
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
2
1
2
22
21
1
12
11
1
A
nn
n
n
n
n
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
2
1
2
22
12
1
21
11
1
1
ij
A
ij
a
A
det
9
3
1
4
2
1
1
1
1
A
A
.
0
2
9
12
2
3
4
18
9
3
1
4
2
1
1
1
1
0
2
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wordlyknowledge.uz
ILMIY METODIK
JURNAL
431
yani, berilgan matritsa maxsusmas matritsadir.
ni toppish uchun
matritsa hamma
elementarining algebraik to’ldiruvchilarini topamiz:
Teskari matritsani topish
Formulasiga asosan
bo’ladi.
teskari matritsaning to’g’ri topilganligini
tengliknng bajarilishi bilan tekshirib ko’rish mumkun, haqiqatan ham,
1
A
A
.
1
2
1
1
1
,
3
4
1
1
1
,
2
4
2
1
1
,
2
3
1
1
1
,
8
9
1
1
1
,
6
9
3
1
1
,
1
3
1
2
1
,
5
9
1
4
1
,
6
9
3
4
2
33
32
31
23
22
21
13
12
11
A
A
A
A
A
A
A
A
A
33
23
13
32
22
12
31
21
11
1
1
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
5
,
0
1
5
,
0
5
,
1
4
5
,
2
1
3
3
1
2
1
3
8
5
2
6
6
2
1
1
A
1
A
E
A
A
AA
1
1
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wordlyknowledge.uz
ILMIY METODIK
JURNAL
432
yani,
birlik matritsa hosil bo’ladi, bu
teskari matritsaning to’g’ri topilganligini
isbotlaydi.
ФОЙДAЛAНИЛГAН AДAБИЁТЛAР РЎЙХAТИ:
1.
Д.Юнусова, A.Юнусов “Aлгебра ва сонлар назарияси” Тошкент – 2007
2.
Юнусов. Математик мантиқ ва алгоритмлар назарияси елементлари. Т., Янги аср
авлоди, 2006.
3.
Тўраев Ҳ. Математик мантиқ ва дискрет математика. Т., «Ўқитувчи», 2003.
4.
Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика. СанктПетербург, «Лан»,
1999.
5.
П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевников. Высшая математика в упражнениях и
задачах, М., «Высшая школа»1986.
6.
7.
1
0
0
0
1
0
0
0
1
5
.
0
9
5
.
1
3
1
1
1
9
4
3
3
1
5
.
0
9
5
.
2
3
3
1
5
.
0
4
5
.
1
2
1
1
1
4
4
2
3
1
5
.
0
4
5
.
2
2
3
1
5
.
0
1
5
.
1
1
1
1
1
1
4
1
3
1
5
.
0
1
5
.
2
1
3
1
5
.
0
1
5
.
0
5
.
1
4
5
.
2
1
3
3
9
3
1
4
2
1
1
1
1
1
AA
E
AA
1
1
A
