“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 2, ISSUE 12, 2024. DECEMBER
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
295
SHTOLS TEOREMASI VA UNING TATBIQLARI
Urganch davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti matematika
yo’nalishi 1-kurs magistranti
Jumaniyozova Xayriniso Xamidbek qizi
Annotatsiya:
Shtols teoremasi matematik analizdagi muhim teorema
hisoblanadi. Quyida teorema isboti va xalqaro olimpiadalarda tadbiqlarini ko’rib
chiqamiz.
Kalit sozlar:
limit, Shtols teoremasi, monoton ketma-ketliklar.
Teorema(Shtols).
Bizga ikkita
1
an n
va
1
bn n
ketma-ketliklar berilgan
bo‘lsin:
1)
1
bn n
ketma-ketlik qat‘iy o‘suvchi va
lim
bn
n
bo‘lsin;
2)
Quyidagi limit mavjud bo‘lsin:
1
lim
1
a
an
n
l
n
b
bn
n
U holda quyidagi ketma-ketlik yaqinlashuvchi va
an
bn
uning limiti
l
ga teng, ya‘ni
lim
an
l
n
bn
Isbot. Teorema shartida
1
bn n
ketma-ketlik qat’iy o’suvchi va limiti
ga teng.
Demak, ketma-ketligimiz biror joydan (
0
n
n
chi hadidan boshlab ) musbat qiymat
qabul qilib boshlaydi va
1
lim
1
a
an
n
l
n
b
bn
n
limiti mavjud.
0
berilganda ham
m
N
mavjudki
n
m
natural sonlar uchun
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 2, ISSUE 12, 2024. DECEMBER
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
296
1
1
a
an
n
l
b
bn
n
bo‘ladi. Bundan quyidagini yozib olamiz
1
1
1
l
b
b
a
a
l
b
b
n
n
n
n
n
n
endi
n
ni
k
bilan,
1
k
bilan
2
k
bilan va hokazo
1
n
bilan almashtirib yozamiz:
1
1
1
l
b
b
a
a
l
b
b
k
k
k
k
k
k
2
1
2
1
2
1
l
b
b
a
a
l
b
b
k
k
k
k
k
k
3
2
3
2
3
2
l
b
b
a
a
l
b
b
k
k
k
k
k
k
…………………………………………………………….
1
1
1
l
b
b
a
a
l
b
b
n
n
n
n
n
n
Bu ifodalarni qo‘shib yuborsak
l
b
b
a
a
l
b
b
n
n
n
k
k
k
bu ifodani
bn
ga bo‘lamiz:
1
1
b
a
b
a
k
n
k
k
l
l
b
b
b
b
n
n
n
n
a
l b
a
l b
a
k
k
n
k
k
l
l
b
b
b
n
n
n
bilamizki
lim
lim
0
a
l b
a
l b
k
k
k
k
n
n
b
b
n
n
yuqoridagi
0
kora
k
N
mavjudki
n
k
natural sonlar uchun quyidagilar
o’rinli:
a
l b
k
k
bn
.
a
l b
k
k
bn
Endi
max
,
p
m p
deb olsak,
n
p
natural sonlar uchun yuqoridagi ikkita
tengsizligimiz bir vaqtda bajariladi. Quyidagiga ega bo‘lamiz
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 2, ISSUE 12, 2024. DECEMBER
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
297
2
2
a
l b
a
l b
a
k
k
n
k
k
l
l
l
l
b
b
b
n
n
n
2
2
an
l
l
bn
2
an
l
bn
sonining ixtiyoriyligidan
2
ixtiyoriy son bo’ladi. Ketma-ketlik limit tarifidan
an
bn
Ketma-ketlik yaqinlashuvchi va limiti
l
ga teng.
Teorema to’liq isbotlandi.
Endi teoremani olimpiada misoliga tatbiq etamiz
Misol.
Quyidagi ketma-ketlikning
n
limitni hisoblang:
1
2
1 11
z
n n
n
Yechilishi:
1
2
1 11
z
n n
n
bu ketma-ketlikni Shtols teoremasini qanoatlantirishi
uchun quyidagicha shakl almashtirish bajaramiz:
.
1
1
ln 1 11
2
2
1 11
z
n
n
n
n
e
n
Endi
zn
ketma-ketlikni
xn
va
yn
ketma-ketliklar orqali ifodalaymiz:
ln 1 11
n
xn
,
2
y
n
n
. Bunda ketma-ketlik quyidagi ko’rinishni oladi:
.
xn
yn
z
e
n
Bilamizki,
lim
lim
lim
x
x
n
n
y
y
n
n
n
z
e
e
n
n
n
munosabat o’rinli. Endi lim
xn
n
yn
qiymatini topish bilan shug’ullanamiz. Bu yerda
ln 1 11
n
xn
,
2
y
n
n
hamda
yn
qat’iy o’suvchi:
1
y
yn
n
. Shtols
teoremasining shartlarini qanoatlantirdi. Endi
1
lim
1
x
xn
n
n
y
yn
n
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 2, ISSUE 12, 2024. DECEMBER
ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869
298
limitni hisoblaymiz:
1
1
11
ln 1 11
ln 1 11
1
1 11
11
lim
lim ln
lim ln
ln11
1
3
2
1 11
1
11
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Shtols teoremasiga ko‘ra
1
lim
lim
1
x
x
x
n
n
n
n
n
y
y
y
n
n
n
munosabat o’rinli. Bundan
lim
ln11
xn
n
yn
ekanligi kelib chiqadi. Endi bu qiymatni
o’rniga qo’yib berilgan ketma-ketlikning
n
dagi limitini hisoblaymiz:
lim
ln11
lim
lim
11
x
x
n
n
y
y
n
n
n
z
e
e
e
n
n
n
Demak,
1
2
lim 1 11
11.
n n
n
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Azlarov T., Mansurov H
Matematik analiz: Unversitet va ped. Institut
talabalari uchun darslik: 2 qismli. 1-q. –qayta ishlangan va toldirilgan 2-
nashri. –T.: Oqituvchi, 1994.-416 b
2.
Brainkart.com.
