ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
72
MARKAZIY PARALLEL PROETKSIYALASH VA ULARNING XOSSALARI
Zaxiriddinova Shaxlo Zaxiriddin qizi
Matematika va taʼlimda axborot texnologiyasi kafedra oʻqtivchisi.
Mamadaliyeva Mashxura Salim qizi
Shahrisabz Davlat Pedagogika instituti Pedagogika fakulteti Matematika va
Informatika yoʻnalishi 2-bosqich talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15130198
Annotatsiya:
Markaziy parallel proektsiyalash va uning xossalari mavzusi geometriya
va kartografiya sohalarida muhim ahamiyatga ega. Ushbu mavzuda o'rganiladigan asosiy
masalalar – proektsiya usulining geometrik xususiyatlari, markaziy parallel proektsiyalarni
ishlatishdagi afzalliklar va kamchiliklar, shuningdek, ularning xarita va tasvirlarni yaratishda
qanday qo'llanilishi. Markaziy parallel proektsiyalar, asosan, sferik yuzalardagi nuqtalarni
yassi yuzaga o'tkazish uchun ishlatiladi, bu esa geografik va astronomik xaritalar yaratishda
muhim ahamiyatga ega. Maqolada markaziy parallel proektsiyaning asosiy turlari, ularning
geometrik xususiyatlari va amaliy qo'llanilishi, shuningdek, bunday proektsiyaning xatoliklar
va aniqlikdagi ta'siri tahlil qilinadi. Bunday tahlillar ilmiy tadqiqotlar va mutaxassislarning bu
usulni yanada rivojlantirishga bo'lgan qiziqishini oshirishga yordam beradi.
Аннотация:
Центральное параллельное проектирование и его свойства являются
важной темой в геометрии и картографии. Основные вопросы, рассматриваемые в
данной работе, включают геометрические особенности метода проекции, его
преимущества и недостатки, а также применение в создании карт и изображений.
Центральные параллельные проекции используются в основном для отображения
точек сферической поверхности на плоскость, что играет важную роль в создании
географических и астрономических карт. В статье рассматриваются основные виды
центрального параллельного проектирования, их геометрические свойства и
практическое применение, а также влияние ошибок и точности. Такой анализ
способствует углубленному изучению метода и его дальнейшему развитию.
Annotation:
Central parallel projection and its properties are an important topic in
geometry and cartography. This paper examines key issues such as the geometric
characteristics of the projection method, its advantages and disadvantages, and its application
in creating maps and images. Central parallel projections are primarily used to map points
from a spherical surface onto a plane, playing a significant role in the development of
geographic and astronomical maps. The article discusses the main types of central parallel
projection, their geometric properties, practical applications, and the impact of errors and
accuracy. Such an analysis contributes to a deeper understanding of the method and its
further development.
Kalit soʻzlar:
Markaziy parallel proektsiya, Proektsiyalash usullari, Geometrik
xususiyatlar, Kartografik proektsiyalar, Sferik va yassi yuzalar, Xaritalash va tasvirlash,
Proektsiya aniqligi va xatoliklar
Ключевое слово:
Центральное параллельное проектирование, Методы
проецирования, Геометрические свойства, Картографические проекции, Сферические и
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
73
плоские поверхности, Картографирование и визуализация, Точность и погрешности
проекции
Keywords:
Central parallel projection, Projection methods, Geometric properties,
Cartographic projections, Spherical and planar surfaces, Mapping and visualization, Projection
accuracy and errors.
Kirish:
Markaziy parallel proektsiyalash geometriya va kartografiya sohalarida muhim
tushuncha bo‘lib, ob’ektlarni bir tekislikdan boshqasiga aniq va o‘zaro bog‘langan holda aks
ettirish usuli hisoblanadi. Ushbu proektsiya usuli sferik yuzalarni yassi tekislikka tushirishda
keng qo‘llaniladi va ayniqsa, xaritalash, texnik chizmalar va tasviriy san’atda muhim
ahamiyatga ega.
Markaziy parallel proektsiyaning asosiy xususiyatlari orasida proektsiyalash
markazining mavjudligi, tekislik va fazoviy o‘lchovlarning saqlanishi hamda shakllarning
aniqligi kiradi. Ushbu maqolada markaziy parallel proektsiyaning nazariy asoslari, uning
asosiy turlari, geometrik xossalari va amaliy qo‘llanilish imkoniyatlari tahlil qilinadi.
Shuningdek, proektsiyalash jarayonida yuzaga keladigan xatoliklar va ularni
minimallashtirish usullari ham ko‘rib chiqiladi.
Mazkur tadqiqot markaziy parallel proektsiyaning ilmiy va amaliy ahamiyatini
chuqurroq anglashga, shuningdek, uning turli sohalardagi qo‘llanilish imkoniyatlarini
kengaytirishga xizmat qiladi.
Markaziy parallel proektsiyalash – bu geometrik proektsiyalash usullaridan biri bo‘lib,
unda barcha proektsiyalovchi nur yo‘nalishlari o‘zaro parallel bo‘ladi, lekin ular bitta umumiy
markaz orqali o‘tadi. Ushbu usul asosan kartografiya, muhandislik grafikasi va tasviriy
san’atda qo‘llanadi.
Asosiy xususiyatlari:
Proektsiyalash nurlari parallel, lekin umumiy markazga ega.
Fazoviy shakllarni yassi tekislikka tushirishda aniqlikni saqlaydi.
Xaritalash va texnik chizmalar yaratishda ishlatiladi.
Markaziy proyeksiyalash usuli geometrik shakllarni tekislikda proyeksiyalashning
umumiy holidir. Markaziy proyeksiyalashda proyeksiyalar markazi S va proyeksiyalar
tekisligi P beriladi (1- rasm). S va P sistemasida fazodagi biror A nuqta berilgan bo‘lsin. A
nuqtani S markaz orqali proyeksiyalar tekisligi P ga proyeksiyalaymiz. Buning uchun S
markaz bilan A nuqtani to‘g‘ri chiziq orqali birlashtirib, uni davom ettiramiz. Hosil bo‘lgan SA
proyeksiyalovchi nur proyeksiyalar tekisligi P bilan AP nuqtada kesishadi (ya’ni AP=SA∩P).
Bunda AP nuqta A nuqtaning S markaz bo‘yicha proyeksiyalar tekisligidagi markaziy
proyeksiyasi deb yuritiladi.
Fazodagi ikkinchi biror ixtiyoriy B nuqta ham A nuqta singari proyeksiyalanib, SB∩P=BP
nuqtaning P proyeksiyalar tekisligidagi vaziyati aniqlanadi. Agar biror S nuqtani P
proyeksiyalar tekisligiga proyeksiyalovchi SS nur P tekislikka parallel bo‘lsa (SS‖P), u holda
bu nur P tekisligi bilan cheksiz uzoqlikda kesishib, SP xosmas nuqtani hosil qiladi. SA, SB,
SS,… to‘g‘ri chiziqlar proyeksiyalovchi nurlar deb yuritiladi. Fazodagi biror nuqtalar to‘plamini
proyeksiyalash markazi S orqali P proyeksiyalar tekisligiga proyeksiyalanganda S markazli
to‘g‘ri chiziqlar dastasi hosil bo‘ladi. Bu dastani proyeksiyalar tekisligi P bilan kesishuvidan
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
74
hosil bo‘lgan nuqtalar to‘plami fazodagi ma’lum bir nuqtalar to‘plamining tasviri bo‘ladi.
Masalan, ABD uchburchakning markaziy proyeksiyasi APBPDP uchburchak bo‘ladi (2-rasm).
Proyeksiyalar tekisligining ostida joylashgan E nuqtaning EP proyeksiyasi SE∩P=EP bilan
aniqlanadi. Proyeksiyalar tekisligida yotgan K nuqtaning KP markaziy proyeksiyasi nuqtaning
o‘zi bilan ustma-ust (K KP) tushadi. Markaziy proyeksiyalash konusli yoki qutbli
proyeksiyalash, yoxud perspektiva deb ham yuritiladi. Masalan, markaziy proyeksiyalash
apparatida biror
m
egri chiziq berilgan bo‘lsin (3- rasm).
m
egri chiziqning nuqtalari
to‘plamini proyeksiyalar tekiligiga S markaz orqali proyeksiyalansa, uning proyeksiyasi
mP
egri chiziq hosil bo‘ladi. U holda S markazdan o‘tuvchi proyeksiyalovchi nurlar to‘plami konus
sirtini hosil qiladi.
Markaziy proyeksiyalashda proyeksiyalash markazi va buyumning proyeksiyasiga qarab
uning fazodagi vaziyatini aniqlab bo‘lmaydi.
1-rasm 2-rasm
3-rasm
Markaziy proyeksiyalashning xossalari:
Markaziy proyeksiyalashda geometrik shakllar quyidagicha tasvirlanadi.
1-xossa
. Nuqtaning markaziy proyeksiyasi nuqta bo‘ladi.
2-xossa
. SA nurda yotuvchi A, A1, A2, A3,… nuqtalarning markaziy proyeksiyalari AP
nuqta bilan ustma-ust tushadi(4- rasm).
3-xossa
. Proyeksiyalash markazidan o‘tmaydigan to‘g‘ri chiziq kesmasining
proyeksiyasi kesma bo‘ladi. Biror
a
to‘g‘ri chiziq BS kesmasi orqali berilgan bo‘lsin (4-rasm)
BS kesma S markaz orqali proyeksiyalar tekisligi P ga proyeksiyalanganda SBS
proyeksiyalovchi tekislik hosil bo‘ladi. Bu proyeksiyalovchi tekislik P bilan BPSP kesma
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
75
bo‘yicha kesishadi. BS
∈
a
bo‘lgani uchun BPSP
∈
aP
bo‘ladi. Proyeksiyalash markazi S dan
o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning markaziy proyeksiyasi nuqta bo‘ladi. Masalan, DE to‘g‘ri chiziq
kesmasining markaziy proyeksiyasi DP≡EP nuqta bo‘ladi (4-rasm).
4-xossa
. S markazdan o‘tmaydigan tekislikning markaziy proyeksiyasi tekislik
bo‘ladi.Masalan,ABS uchburchak tekisligining nuqtalar to‘plamini S markaz bo‘yicha
proyeksiyalar tekisligi P ga proyeksiyalanganda (5-rasm) SABS proyeksiyalovchi piramida
xosil bo‘ladi. Bu piramidaning proyeksiyalar tekisligi P bilan kesishuvidan APBPSP
uchburchak hosil bo‘ladi.
4-rasm 5-rasm
Parallel proyeksiyalash
Markaziy proyeksiyalashdagi S markazni biror yo‘nalishda cheksiz uzoqlashtirilsa,u
holda SA, SB,… proyeksiyalovchi nurlar o‘zaro parallel bo‘ladilar (6-rasm). Bunday
proyeksiyalash parallel proyeksiyalash deb yuritiladi. Demak, parallel proyeksiyalashni
markaziy proyeksiyalashning xususiy holi deb qarash mumkin.
Parallel proyeksiyalashda proyeksiyalar tekisligi P va proyeksiyalash yo‘nalishi beriladi.
P va S sistemasida fazodagi biror A nuqta berilgan bo‘lsin (6-rasm). Bu nuqtaning
proyeksiyasini yasash uchun A nuqtadan
s
yo‘nalishga parallel qilib nur o‘tkaziladi. Bu
nurning proyeksiyalar tekisligi P bilan kesishgan nuqtasi A
P
bo‘ladi. A
P
nuqtani fazodagi A
nuqtaning
s
yo‘nalish bo‘yicha P dagi parallel proyeksiyasi deb yuritiladi. Proyeksiyalar
tekisligining ostida joylashgan fazodagi ixtiyoriy biror B nuqtaning
s
yo‘nalish bo‘yicha
parallel proyeksiyasi B
P
bo‘ladi. Bunda B va A nuqtalarning proyeksiyalovchi nurlari o‘zaro
parallel bo‘lib, faqat ularning yo‘nalishlari qarama-qarshidir. AA
P
,BB
P
to‘g‘ri chiziqlar
proyeksiyalovchi nurlar deb yuritiladi. Proyeksiyalar tekisligi P ga tegishli S nuqtaning
proyeksiyasi shu nuqtaning o‘zida bo‘ladi. Fazodagi ixtiyoriy d to‘g‘ri chiziqni proyeksiyalar
tekisligi P ga
s
yo‘nalish bo‘yicha proyeksiyalash uchun shu to‘g‘ri chiziq ustidagi istalgan ikki
D va E nuqtalar proyeksiyalari yasalsa kifoyadir (6-rasm). Bunda
d
to‘g‘ri chiziq nuqtalari
orqali o ‘tuvchi parallel nurlar to‘plami p royeksiyalovchi tekislikni hosil qiladi.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
76
Parallel proyeksiyalashni
silindrik proyeksiyalash
deb ham yuritiladi. Masalan, biror
m
egri chiziq berilgan bo‘lsin (7-rasm). Bu egri chiziq nuqtalaridan o‘tuvchi
s
proyeksiyalash
yo‘nalishiga parallel bo‘lgan proyeksiyalovchi nurlar to‘plami silindrik sirt hosil qiladi. Bu
silindrik sirt proyeksiyalar tekisligi P bilan kesishib,
m
P
egri chiziqni h osil qiladi.
6-rasm 7-rasm
Parallel proyeksiyalashning xossalari:
Geometrik shakllarni parallel proyeksiyalashning quyidagi xossalari mavjud:
1-xossa
. Nuqtaning parallel proyeksiyasi nuqta bo‘ladi.
2-xossa
. Proyeksiyalovchi nurda yotuvchi barcha nuqtalarning proyeksiyalari bitta
nuqtada bo‘ladi.
3-xossa
. Proyeksiyalash yo‘nalishiga parallel bo‘lmagan to‘g‘ri chiziqning proyeksiyasi
to‘g‘ri chiziq bo‘ladi. Masalan, 8-rasmda
s
proyeksiya yo‘nalishiga parallel bo‘lmagan AB to‘g‘ri
chiziq kesmasi proyeksiyalar tekisligi P ga parallel proyeksiyalangan. Bunda AB kesma
nuqtalaridan o‘tuvchi nurlar proyeksiyalovchi Q tekislikni hosil qiladi. Bu proyeksiyalovchi
tekislik bilan P proyeksiyalar tekisligi APBP kesma bo‘yicha kesishadi. Proyeksiyalash
yo‘nalishiga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning parallel proyeksiyasi nuqta bo‘ladi. 8-rasmda SD
to‘g‘ri chiziq kesmasi proyeksiya yo‘nalishi
s
ga parallel. Uning P dagi proyeksiyasi SP≡DP
nuqta bo‘ladi.
4-xossa
. AB to‘g‘ri chiziq kesmasiga tegishli E nuqtaning parallel proyeksiyasi EP shu
to‘g‘ri chiziq proyeksiyasi APBP kesmaning ustida bo‘ladi (8-rasm).
5-xossa
. Agar nuqta to‘g‘ri chiziq kesmasini biror nisbatda bo‘lsa, bu nuqtaning
proyeksiyasi ham kesma proyeksiyasini shunday nisbatda bo‘ladi.
Biror S nuqta AB kesmani AS:SB=
r:q
nisbatda bo‘lsa, unda SP nuqta APBP kesmani ham
APSP:SPBP=
r:q
nisbatda bo‘ladi (9-rasm). AB to‘g‘ri chiziq kesmasini
s
yo‘nalish bo‘yicha
proyeksiyalar tekisligi P ga proyeksiyalaymiz. Bunda proyeksiyalovchi tekislik bilan
proyeksiyalar tekisligi P kesishib, APBP kesmani hosil qiladi. Unda 4-xossaga asosan S
∈
AB
bo‘lgani uchun SP
∈
APBP bo‘ladi.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
77
8-rasm 9-rasm
Xulosa:
Markaziy parallel proektsiyalash geometriya, kartografiya va muhandislik
grafikasi sohalarida muhim rol o‘ynaydi. Ushbu usul yordamida fazoviy ob’ektlarni yassi
tekislikka proektsiyalash mumkin bo‘lib, bu jarayonda shakl va nisbatlarning muayyan
darajada saqlanishi ta’minlanadi. Markaziy parallel proektsiyalash ayniqsa xaritalash, texnik
chizmalar va vizualizatsiya ishlarida qo‘llaniladi. Biroq, bu usulda ayrim geometrik buzilishlar
yuzaga kelishi mumkin, bu esa aniqroq va kam xatolik bilan proektsiyalash usullarini
takomillashtirish zaruratini tug‘diradi.
Takliflar:
1. Ilmiy tadqiqotlarni kengaytirish – Markaziy parallel proektsiyalashning
samaradorligini oshirish uchun yangi algoritmlar va texnik usullar ishlab chiqish zarur.
2. Raqamli texnologiyalarni qo‘llash – Kompyuter grafikasi va sun’iy intellektdan
foydalangan holda proektsiyalash jarayonini optimallashtirish mumkin.
3. Amaliy qo‘llanilishini kengaytirish – Muhandislik, arxitektura va dizayn sohalarida
markaziy parallel proektsiyaning imkoniyatlarini yanada kengroq o‘rganish lozim.
4. Ta’lim tizimida chuqur o‘rganish – Chizma geometriya va kartografiya bo‘yicha
darsliklar va o‘quv dasturlariga markaziy parallel proektsiyalash bo‘yicha alohida mavzular
kiritilishi maqsadga muvofiq.
5. Xatoliklarni kamaytirish usullarini izlash – Proektsiyalashda yuzaga keladigan
geometriya buzilishlarini minimallashtirish bo‘yicha ilmiy tadqiqotlarni rivojlantirish lozim.
Ushbu takliflar markaziy parallel proektsiyalash usulining amaliy ahamiyatini oshirish
va uning turli sohalardagi qo‘llanilishini kengaytirishga xizmat qiladi.
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
Yodgorov J. "Chizma geometriya" – Toshkent: O‘zbekiston nashriyoti, 2020.
2.
Muratov Sh. "Chizma geometriya" – Toshkent: Fan va texnologiya, 2018.
3.
Sabirova D.U., Karimova V. "Chizma geometriya va muhandislik grafikasi" – Toshkent:
TDPU nashriyoti, 2019.
4.
Xalimov M. "Chizmachilik. Geometrik va proyeksion chizmachilik" – Toshkent:
O‘qituvchi, 2015.
5.
"Geometrik va proyeksion chizmachilik" – Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi, 2017.
6.
"Chizma geometriya va proyeksiyalash usullari" – Elektron darslik, ZiyoNET
kutubxonasi.
7.
"Muhandislik va kompyuter grafikasi" – Renessans ta’lim universiteti, 2023.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
78
8.
"Proyeksiyalash usullari haqida umumiy tushuncha" – Chizma geometriya bo‘yicha ilmiy
maqolalar to‘plami, 2021.
9.
"Kartografiya va geodeziyada proyeksiyalash" – Geodeziya ilmiy jurnali, 2022.
