T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
64-son_5-to’plam_Iyun-2025
27
ISSN:3030-3613
TESKARI TRIGONAMETRIK TENGSIZLIKLARNI GRAFIKLARI
YORDAMIDA YECHISH
Kuljonov Javlon Nematovich
O’zbekiston-Finlandiya Pedagogika
instituti Matematika kafedrasi asisstenti
kuljonovjovlon@gmail.com
Annotatsiya:
Teskari trigonometrik funksiyalarning teskari ko‘rinishlarini
ifodalaydi va ular burchaklarni aniqlashda, geometrik muammolarni yechishda va
boshqa ko‘plab sohalarda qo‘llaniladi.Ushbu maqolada teskari trigonometrik
funksiyalarning ta'rifi, xususiyatlari, grafikasi, amaliyotdagi o‘rni va qo‘llanilishi
yoritlgan.
Kalit so‘zlar:
Trigonometrik funksiyalar, qiymat, kosinus, sinus, geometriya,
tenglama, teskari trigonometrik funksiyalar, kotangens funksiyasi.
Kirish:
Trigonometriya matematikaning juda muhim bo'limidir, ayniqsa,
geometriya, fizika va boshqa ilmiy sohalarda keng qo'llaniladi. Trigonametrik
tenglamalar va tengsizliklar ko'plab amaliy masalalarni yechishda qo'llaniladi. Biroq,
ba'zi hollarda, trigonometrik tengsizliklarni yechish o'ziga xos qiyinchiliklar tug'dirishi
mumkin. Bu maqolada biz teskari trigonametrik tengsizliklarni yechish uchun grafik
usullarni ko'rib chiqamiz, chunki bu usul ko'pincha yechimni aniq va tez topishga
yordam beradi.
Teskari trigonametrik funksiyalarning ko’rinishlari quyidagicha:
1.
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥
,
𝑥 ∈ [−1; 1]
𝑦 ∈ [
−𝜋
2
;
𝜋
2
]
2.
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥
,
𝑥 ∈ [−1; 1]
𝑦 ∈ [0; 𝜋]
3.
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
,
𝑥 ∈ 𝑅
𝑦 ∈ (
−𝜋
2
;
𝜋
2
)
4.
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥
,
𝑥 ∈ 𝑅
𝑦 ∈ (0; 𝜋)
Arkfunksiyalar uchun eng sodda tengsizliklarning yechimlari quyidagi
jadvalda keltirilgan.
Tengsizlik turi
Yechimlar to’plami
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 < 𝑎 (|𝑎| <
𝜋
2
)
𝑥 ∈ (𝑠𝑖𝑛𝑎; 1]
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 > 𝑎 (|𝑎| ≤
𝜋
2
)
𝑥 ∈ [−1; 𝑠𝑖𝑛𝑎)
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 > 𝑎 (0 < 𝑎 < 𝜋)
𝑥 ∈ [−1; 𝑐𝑜𝑠𝑎)
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
64-son_5-to’plam_Iyun-2025
28
ISSN:3030-3613
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 < 𝑎 (0 < 𝑎 < 𝜋)
𝑥 ∈ (𝑐𝑜𝑠𝑎; 1]
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 > 𝑎
(|𝑎| <
𝜋
2
)
𝑥 ∈ (𝑡𝑔𝑎; +∞)
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 < 𝑎
(|𝑎| <
𝜋
2
)
x
∈ (−∞; 𝑡𝑔𝑎)
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥 > 𝑎 (0 < 𝑎 < 𝜋)
𝑥 ∈
(-
∞; 𝑐𝑡𝑔𝑎)
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥 < 𝑎 (0 < 𝑎 < 𝜋)
𝑥 ∈ (𝑐𝑡𝑔𝑎; +∞)
1-misol
arcsin (𝑥 − 3) >
𝜋
6
tengsizlikni grafikdan foydalanib yeching.
Yechim: Aniqlanish sohasini olamiz
−1 ≤ 𝑥 − 3 ≤ 1
2 ≤ 𝑥 ≤ 4
Aniqlanish
sohasi:
[2; 4]
𝑥 − 3 = 𝑡
belgilash olamiz va
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑡
funksiyani grafigini chizib olamiz
Grafikdan ko’rinib turiptiki
1
2
< 𝑡 < 1
t ni joyiga x-3 olib kelib qo’yamiz
1
2
< 𝑥 − 3 < 1
tengsizlikni yechamiz
{
𝑥 − 3 >
1
2
𝑥 − 3 < 1
{𝑥 > 3
2
1
𝑥 < 4
(3
2
1
; 4)
Javobni aniqlanish sohasi bilan birlashtiramiz,
umumiy javob
(3
2
1
; 4)
ko’rinishda bo’ladi.
2-misol.
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
3
2−𝑥
<
𝜋
2
tengsizlikni grafikdan foydalanib yeching.
Yechim:
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
64-son_5-to’plam_Iyun-2025
29
ISSN:3030-3613
3
2−𝑥
= 𝑡
belgilash olamiz va t ga nisbatan
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑡
funksiyani grafigini chizib
olamiz, grafikdan ko’rinib turiptiki
0 <
3
2−𝑥
≤ 1
tengsizlik o’rinli bo’lmoqda bu
tengsizlikni
x
ga
nisbatan
yechamiz,
{
3
2−𝑥
> 0
3
2−𝑥
≤ 1
{
2 − 𝑥 > 0
3−2+𝑥
2−𝑥
≤ 0 {
𝑥 > 2
𝑥+1
𝑥−2
≥ 0 {
𝑥 > 2
𝑥 ≤ −1, 𝑥 ≥ 2
oraliqlarni
kesishmasidan
umumiy javobni olamiz Javob:
(−∞; −1] ∪ (2; ∞)
Xulosa:
Teskari trigonometrik funksiyalar matematikada muhim o‘rin tutadi va
ko‘plab sohalarda qo‘llaniladi. Ular burchaklarni aniqlashda, geometrik muammolarni
yechishda va fizik jarayonlarni modellashtirishda yordam beradi. Teskari
trigonometrik funksiyalarni o‘rganish orqali talabalar matematik ko‘nikmalarini
rivojlantiradilar va amaliyotda qo‘llash imkoniyatiga ega bo‘ladilar. Ularning grafikasi
va xususiyatlari teskari trigonometrik funksiyaning o‘rganilishi va tushunilishi uchun
muhimdir. Teskari trigonometrik funksiyalarni o‘rganish, nafaqat matematikani, balki
boshqa fanlarni ham chuqurroq tushunishga yordam beradi. Matematikada teskari
trigonometrik funksiyalarni o‘rganish jarayonida talabalar o‘z bilimlarini
kengaytiradilar va amaliyotda qo‘llash imkoniyatini oshiradilar.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Abdullayev, A. (2018). "Matematika: Teoriya va amaliyot". Toshkent: O‘zbekiston
Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi.
2.
Saidov, S. (2020). "Trigonometrik funksiyalar va ularning qo‘llanilishi".
Samarqand: Samarqand Davlat Universiteti.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
64-son_5-to’plam_Iyun-2025
30
ISSN:3030-3613
3.
Jalilov, M. (2019). "Matematika asoslari". Toshkent: Yangi avlod nashriyoti.
4.
Xolmatov, R. (2021). "Matematika va uning amaliyotdagi o‘rni". Buxoro: Buxoro
Davlat Universiteti.
5.
Murodov, D. (2017). "Matematik tahlil va trigonometrik funksiyalar". Toshkent:
Fan va texnologiya nashriyoti.
6.
Rasulov, E. (2022). "Matematika va uning zamonaviy metodlari". Andijon: Andijon
Davlat Universiteti.
