T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
67-son_1-to’plam_Avgust-2025
289
ISSN:3030-3613
RATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH
Samarqand davlat pedagogika instituti
talabasi
Axmatova Mahliyo
Annotatsiya.
Ushbu maqolada ratsional funksiyalarni integrallashning bir necha
usullari keltilgan. Xususan noma’lum koeffitsiyentlar, Xevisayd usuli,
differensiallashdan foydalanish, Gorner sxemasi va usuli keltirilgan. Bir nechta
ratsional kasrlarni ushbu usullardan foydalanib integralini topish masalalari ko‘rib
chiqilgan.
Kalit so‘zlar.
Ratsional, kasr ratsional, integral, differensial, Gorner sxemasi,
Xevisayd usuli, Ostragradskiy usuli.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Аннотация.
В данной статье приведены несколько методов
интегрирования рациональных функций. В частности, представлены методы
неопределённых
коеффициентов,
метод
Хевисайда,
использование
дифференцирования, схема Гонернера и другие. Рассмотрены задачи
нахождения интегралов нескольких рациональных дробей с использованием
данных методов.
Ключевые слова.
Рациональный, рациональная дробь, интеграл,
дифференциал, схема Горнера, метод Хевисайда, метод Остроградского.
INTEGRATING RATSIONAL FUNCTIONS
Annotation.
This article presents several methods for integrating rational
functions. In particular, the methods of undetermined coefficients, the Heaviside cover-
up method, using differentiation, Horner’s scheme and others are provided. Problems
of finding the integrals of several rational fractions using these methods are considered.
Keywords.
Rational, rational fraction, integral, differential, Horner’s scheme,
Heaviside cover-up method, Ostrogradsky method.
No’malum koeffitsiyentlar usuli. Ikkita algebraic ko‘phadlarning nisbatiga,
ya’ni
( )
( )
( )
m
n
P x
f x
Q x
(1)
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
67-son_1-to’plam_Avgust-2025
290
ISSN:3030-3613
Ifodali
ratsional
funksiya
yoki
ratsional
kasr
deb
ataladi.
Bunda,
0
1
( )
...
m
m
m
P x
b
b x
b x
va
0
1
( )
...
n
n
n
Q x
a
a x
b x
(
,
0,
0,
1
m
n
b a
m
n
) haqiqiy
koeffitsiyentli ko‘phadlar , deb faraz qilinadi.
Agar
m
n
bo‘lsa, u holda
( )
( )
( )
m
n
P x
f x
Q x
to‘g‘ri kasr ratsional funksiya,
m
n
bo‘lganda esa, noto‘g‘ri kasr ratsional funksiya deyiladi. Agar (1) ratsional kasr ,
noto‘g‘ri kasr bo‘lsa u kasrning suratini mahrajiga bo‘lish yo‘li bilan,
( )
( )
( )
k
n
P x
f x
w
Q x
k
n
(2)
ko‘rinishga keltiriladi, bunda
( )
w x
- biror ko‘phad.
Oliy algebra kursidan ma’lumki, har qanday
( )
n
Q x
ko‘phadni, ushbu
( )
(
)(
)...(
)
n
n
Q x
a x
x
x
(3)
ko‘rinishda tasvirlash mumkin.(bunda
,
,…,
-lar
( )
0
n
Q x
tenglamaning ildizlari.
Agarda ko‘phadning ildizlari ichida o‘zaro tenglari bo‘lsa, u holda, ko‘phad,
( )
(
) (
) ...(
)
r
s
t
n
n
Q x
a x
x
x
(4)
ko‘rinishga keltiriladi, bunda r,s,…,t – butun sonlar,
,
,…,
sonlar esa, mos
ravishda,
( )
n
Q x
ko‘phadning r,s,…,t – karrali ildizlari deyiladi va
...
r
s
t
n
bo‘ladi.
Ko‘phadning (3) dagi ildizlari Ichida kompleks ildizlar ham bo‘lishi mumkin.
Algebra kursidan ma’lumki, agar
z
a
ib
haqiqiy koeffitsiyentli ko‘phadning r-
karrali ildizi bo‘lsa, u holda unga qo‘shma
z
a
ib
son ham ko‘phadning r – karrali
ildizi bo‘ladi. Boshqacha aytganda, agar (4) ning tarkibidagi
(
)
r
x
va
(
)
r
x
larning
ko‘paytmasi,
quyidagicha
bo‘ladi:
(
) (
)
r
r
x
x
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
2
(
2
)
r
r
x
a
ib
x
a ib
x
x a
ib
x a ib
a
b
x
ax
a
b
x
px
q
Bunda
2
2
2
,
.
0
p
a q
a
b p
q
va
,
p q
R
Xuddi shunday yuqoridagi mulohazalarni boshqa kompleks ildizlar uchun ham
yuritsak, u holda (4) quyidagi ko‘rinishni oladi:
2
( )
(
) (
) ...(
2
) (
2
),...,
r
s
t
n
Q x
A x
x
x
px
q
x
ux
v
Bunda
, ,..., , , ,
p q u v
haqiqiy sonlar,
, ,..., ,
r s
t k
-natural sonlar.
Quyidagi teoremani qaraylik,
Teorema.
Agar
( )
( )
m
n
P x
Q x
to‘g‘ri ratsional kasr tarkibidagi
( )
n
Q x
ko‘phad (5) shaklda
tasvirlangan bo‘lsa, u holda, ratsional kasr, yagona ravishda,
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
( )
...
...
...
..
( )
(
)
(
)
(
)
2
(
2
)
(
2
)
m
t
t
r
r
t
n
P x
M x
N
A
A
A
M x
N
M x
N
Q x
x
x
x
x
px
q
x
px
q
x
px
q
(6)
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
67-son_1-to’plam_Avgust-2025
291
ISSN:3030-3613
(bunda,
1
A
,
2
A
,…,
r
A
,
1
M
,
1
N
,
2
M
,
2
N
,…,
t
M
,
t
N
,…, - no’malum haqiqiy sonlar)
ko‘rinishida tasvirlanadi. (6) tenglik, x ning
( )
n
Q x
ko‘phadning haqiqiy ildizlariga
teng bo‘lmagan hamma qiymatlarida o‘rinli.
(6) dagi no’malum koeffitsiyentlarni toppish uchun (6) ni umumiy mahrajga
keltirib, (umumiy mahraj
( )
n
Q x
) ikki ko‘phadning tengligi haqidagi teoremaga
asosan, o‘ng tomon suratida hosil bo‘lgan ko‘phad bilan
( )
m
P x
ko‘phaddagi x ning bir
xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirish natijasida, no’malum
koeffitsiyentlarga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi. Bu
sistemadan no’malum koeffitsiyentlarni topib, topilgan qiymatlarni (6) tenglikka
keltirib qo‘yamiz. Kasrning yoyilmasidagi no’malum koeffitsiyentlarni topishning bu
usuli, no’malum koeffitsiyentlar usuli deb ataladi.
Shunday qilib,
( )
( )
( )
m
n
P x
f x
Q x
ratsional kasrning integralini hisoblash,
1
0
1
( )
...
k
k
k
w x
c x
c x
c
shakldagi ko‘phadni integrallashga va quyidagi
.
A
I
x
,
.
(
)
r
A
II
x
,
2
.
Mx
N
III
x
px
q
,
2
.
(
)
r
Mx
N
IV
x
px
q
(7)
(
1)
r
(bunda
,
,
, , ,
A M N
p q
- haqiqiy sonlar,
2
0
4
p
q
) ko‘rinishidagi sodda
kasrlarni integrallashga keltiriladi. Bu sodda kasrlarning integrallari quyidagicha
hisoblanadi.
Quyidagi,
2
,
(
)
(
)
m
k
A
Bx
C
x
a
x
px
q
( , , , , ,
, ,
)
A B C a p q
R k m
N
Ko‘rinishidagi sodda kasrlarni qaraymiz. U holda:
1)
1
m
bo‘lganda ,
ln
.
A
dx
dx
A
A
x
a
C
x
a
x
a
2)
1
m
bo‘lganda,
1
1
(
)
1
(
)
(
)
m
m
m
A
A
dx
A
x
a
dx
C
m
x
a
x
a
.
3)
1
k
bo‘lganda,
2
2
,
4
2
p
p
a
q
x
t
almashtirish olib, kvadrat uchhadni,
2
2
2
x
px
q
a
t
ko‘rinishga keltiramiz, va berilgan kasrning aniqmas integralini
topamiz:
2
2
2
2
2
2
2
2
(2
)
2
2
ln(
)
2
2
4
4
Bx
D
tdt
D
Bp
dt
B
D
Bp
x
p
dx
B
x
px
q
arctg
C
x
px
q
a
t
a
t
q
p
q
p
4)
1
k
bo‘lganda,
2
2
,
4
2
p
p
a
q
x
t
almashtirish olib, olib kvadrat uchhadni,
2
2
2
x
px
q
a
t
ko‘rinishga keltiramiz va berilgan kasrning aniqmas integralini
topamiz:
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
67-son_1-to’plam_Avgust-2025
292
ISSN:3030-3613
2
2
2
1
2
1
1
(2
)
2 1
2
(
)
(
)
(
)
k
k
k
Bx
D
B
D
Bp
dt
dx
k
x
px
q
a
t
a
t
Oxirgi integral esa, quyidagi
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
(2
3)
(
)
2(
1)
(
)
(
)
k
k
k
dt
t
dt
k
a
t
k
a
a
t
a
t
Rekurrent formula bilan topiladi.
Xulosa qilib aytganda, har qanday haqiqiy koeffitsiyentli haqiqiy o‘zgaruvchili
ratsional (kasr ratsional ) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi – logarifm, arktangens
va ratsional funksiya orqali ifodalanar ekan.
To‘g‘ri ratsional kasrlarni noma’lum koeffitsiyentli (6) ko‘rinishdagi sodda
kasrlar yig‘indisi shaklida tasvirlaganda undagi no’mlum koeffitsiyentlarni yuqorida
ko‘rsatilgan (*) noma’lum koeffitsiyentlar usulidan foydalanib topishda chiziqli
algebraik tenglamalarni yechishga to‘g‘ri keladi, lekin chiziqli tenglamalar sistemasini
yechish har doim ham yengil bo‘lavermaydi. Xususiy hollarda noma’lum
koeffitsiyentlar usuliga qaraganda qulayroq bo‘lgan, ya’ni noma’lum koeffitsiyentlarni
topishda osonroq bo‘lgan usullar mavjud. Masalan, Xevisayd usuli, Gorner sxemasi,
differensiallashdan foydalanish usullari shular jumlasidandir.
Xevisayd usuli. Agar
( )
( )
m
n
P x
Q x
(
)
m
n
to‘g‘ri kasrning maxraji
( )
( )
m
n
P x
Q x
ushbu
1
2
( )
(
)(
)...(
),
1
n
n
n
n
Q x
a x
x
x
a
(11)
Ko‘rinishida tasvirlansa,
1
2
,
,...,
n
- haqiqiy sonlar bo‘lib ,
0, (
1, )
n
i
Q
i
n
,uning
(6) shakldagi sodda kasrlarga yoyilmasidagi koeffitsiyentlarning, Xevisayd usulidan
foydalanib toppish maqsadga muvofiq bo‘ladi. Bu usulni qisqacha, quyidagi tartibda
amalga oshiramiz:
1-qadam.
( )
( )
m
n
P x
Q x
(
)
m
n
to‘g‘ri kasrning maxraji
( )
n
Q x
ning ifodadagi ko‘paytuvchilar
orqali yozish , ya’ni
1
2
( )
( )
.
( )
(
)(
)...(
)
m
m
n
n
P x
P x
Q x
x
x
x
2-qadam.
( )
n
Q x
ning
(
)(
1, )
i
x
i
n
ko‘paytiruvchisini vaqtincha yopib,
i
ning har bir
qiymatida yopilmagan ko‘paytiruvchilarda
x
ni
i
son bilan almashtiramiz. Bu esa, har
bir
i
ildiz uchun
i
A
sonni beradi:
1
1
2
1
(
)
,
(
)...(
)
m
i
n
P
A
2
2
2
1
2
3
2
(
)
,
(
)(
)...(
)
m
n
P
A
…………………………………………………….
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
67-son_1-to’plam_Avgust-2025
293
ISSN:3030-3613
1
2
1
(
)
.
(
)(
)...(
)
m
n
n
n
n
n
n
P
A
3-qadam.
( )
( )
m
n
P x
Q x
(
)
m
n
ratsional kasrni
1
2
1
2
( )
....
( )
m
n
n
n
P x
A
A
A
Q x
x
x
x
ko‘rinishda yozish.
Misol uchun, bu usul 1-misolga tadbiq qilsak,
, , ,
,
A B C D E
koeffitsiyentlarni osongina
topish mumkin:
1-qadam.
4
3
2
4
5
( )
3
3
13
4
,
( )
(
1)(
1)(
2)(
2)
P x
x
x
x
Q x
x x
x
x
x
1
0,
2
1,
3
1,
4
2,
5
2.
2-qadam.
4
1
( 1) 1 ( 2) 2
A
3
1
;
1 2 ( 1) 3
2
B
3 3 13
4
3
;
( 1) ( 2) ( 3) 1
2
C
3 16
3 8 13 4
4
1;
2 1 3 4
D
3 16
3 8 13 4
4
1;
( 2) ( 1) ( 3) ( 4)
E
3-qadam. Berilgan
1
1
1
3
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
A
B
C
D
E
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
to‘g‘ri kasrni,
4
5
( )
( )
P x
Q x
1
1
1
3
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
A
B
C
D
E
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ko‘rinishda yozamiz.
Ko‘p hollarda
x
ning qiymatlarini, masalan,
0, 1, 2,....
x
kabilarni, tanlash
yordamida ham noma’lum koeffitsiyentlarni toppish qulay bo‘ladi.
Differensiallashdan foydalanish usuli.
Bu usulni,
( )
( )
m
n
P x
Q x
(
)
m
n
to‘g‘ri kasrning
( )
n
Q x
maxraji, haqiqiy karrali ildizlarga ega
bo‘lganda qo‘llash qulay bo‘ladi.
4-misol Ushbu
3
2
3
(
1)
(
2)
(
2)
(
2)
(
2)
x
A
B
C
x
x
x
x
tenglamada
, ,
A B C
noma’lum koeffitsiyentlarni
differensiallashdan foydalanish usuli bo‘yicha topish jarayonini batafsil qarab
chiqamiz.
, ,
A B C
Yechilishi: 1-qadam. Dastlab kasrdan qutilamiz:
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
67-son_1-to’plam_Avgust-2025
294
ISSN:3030-3613
2
1
(
2)
(
2)
x
A x
B x
C
(13)
Bu tenglamada,
2
x
deb olsak,
3
C
bo‘lishini topamiz.
2-qadam. (13) tenglikni ikkala tomonini
x
ga nisbatan differensiallab,
1
2 (
2)
A x
B
(14)
tenglikni hosil qilamiz. Bunda
2
x
deb olsak,
1
B
bo‘ladi.
3-qadam. Endi (14) tenglikni ikkala tomonini
x
ga nisbatan differensiallasak, natijada
0
2 ,
0
A A
bo‘ladi. Demak ,
3
2
3
(
1)
1
3
(
2)
(
2)
(
2)
x
x
x
x
Gorner sxemasi.
Har qanday n- darajali
1
2
1
2
1
0
( )
...
n
n
n
n
n
P x
a x
a
x
a x
a x
a
(
0
0
a
) ko‘phadni
x a
ikkihadning darajalari bo‘yicha yoyish mumkin:
1
2
1
2
1
0
( )
(
)
(
)
...
(
)
(
)
n
n
n
n
n
P x
A x
A
x
A x
A x
A
bunda
(
0, )
i
A i
n
noma’lum koeffitsiyentlar. Gorner sxemasini ketma-ket qo‘llash yordamida,
(
0, )
i
A i
n
noma’lum koeffitsiyentlarni topish jadvalini keltiramiz:
n
x
1
n
x
2
n
x
…
x
0
x
n
a
1
n
a
2
n
a
…
1
a
0
a
0
x
n
a
1
1
n
n
n
a
a
b
1
2
2
n
n
n
b
a
b
…
2
1
1
b
a
b
1
0
0
b
a
A
1
x
n
a
1
1
n
n
n
a
b
c
1
2
2
n
n
n
c
b
c
…
2
1
1
c
b
A
2
x
n
a
1
1
n
n
n
a
c
d
1
2
2
n
n
n
d
c
d
…
2
n
x
n
a
1
1
n
n
n
a
l
h
1
2
2
n
n
n
h
l
A
1
n
x
n
a
1
1
n
n
n
a
h
A
n
x
n
n
a
A
1
2
1
2
1
0
( )
(
)
(
)
...
(
)
(
)
n
n
n
n
n
P x
A x
A
x
A x
A x
A
ko‘phadni
1
(
)
n
x
ga bo‘lamiz,
1
( )
(
)
n
n
P x
x
natijada to‘g‘ri ratsional kasrni soda kasrlarga
yoygan bo‘lamiz:
1
0
2
1
1
2
2
1
1
( )
...
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
P x
A
A
A
A
A
x
x
x
x
x
x
Ostrogradskiy usuli.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
67-son_1-to’plam_Avgust-2025
295
ISSN:3030-3613
( )
( )
P x
Q x
to‘g‘ri kasrning maxraji karrali kompleks ildizlarga ega bo‘lganda uni
integrallashda murakkab hisoblashlarni bajarishga to‘g‘ri keladi. Bunday hollarda
ushbu
1
2
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
P x
P x
P x
dx
dx
Q x
Q x
Q x
(16)
Ostrogradskiy formulasidan foydalanish qukay bo‘ladi, bunda
2
( )
Q x
- ildizlari
( )
Q x
ko‘phadning hamma sodda (bir karrali ) ildizlaridan iborat bo‘lgan ko‘phad
1
2
( )
( )
( )
Q x
Q x Q x
1
( )
P x
va
2
( )
P x
lar noma’lum koeffitsiyentli ko‘phadlar bo‘lib
1
1
( )
( )
P x
Q x
va
2
2
( )
( )
P x
Q x
to‘g‘ri kasrlardan iborat.
1
( )
P x
va
2
( )
P x
ko‘phadlarni topish uchun , ularni noma’lum koeffitsiyentlar yordamida
yozib olib so‘ngra ko‘phadlar bo‘lib (16) ning ikkala tomonini differensiallaymiz,
natijada (16) tenglikka teng kuchli
'
1
2
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
P x
P x
P x
Q x
Q x
Q x
Tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tenglikdan noma’lum koeffitsiyentlar usulidan
foydalanib,
1
( )
P x
va
2
( )
P x
larning tarkibidagi noma’lum koeffitsiyentlarni topamiz.
Ostrogradskiy formulasi intregralning ratsional qismini (integrallamasdan ) ajratishga
yordam beradi,
1
1
( )
( )
P x
Q x
to‘g‘ri kasrni integrallash masalasi unga nisbatan osonroq
integrallanadigan
2
2
( )
( )
P x
Q x
to‘g‘ri kasrni integrallashga keltiriladi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1.
Azlarov T.A, Mansurov X.T. Matemetik analiz. 1-qism. -T.: “O‘qituvchi” 1994.
2.
Azlarov T.A., Mirzaahmedov M.A., Otaqo‘ziyev D.O., Sobirov M.A.,
To‘laganov S.T. – Matemetikadan qo‘llanma, II qism. T.: “O‘qituvchi”, 1990.
3.
Ataxanov K.U., Yerzin V.A., Xodjayev B. – Matematik analizdan misol va
masalalar to‘plami, 1-qism, T., 2004.
4.
Finney, Weir, Giordano Thomas’CALCULUS. 10-th edition.-Boston, San
Francisco, New York, London, Toronto, Sydney, Tokyo. Brisbane Singapore
Toronto, 1999, 708 pp.
