T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
60-son_1-to’plam_Aprel-2025
211
ISSN:3030-3613
DAVRIY FUNKSIYALAR SINFIDA KAUPNING YUKLANGAN HADLI
SISTEMASINI INTEGRALLASH
Omonov Sherzod Shavkat o‘g‘li
Oliy va amaliy matematika kafedrasi Katta o‘qituvchisi
Toshkent Davlat Iqtisodiyot Universiteti
E-mail:
Annotatsiya:
Ushbu maqolada yuklangan hadli nochiziqli differensial
tenglamalarni davriy funksiyalar sinfida integrallash masalasi o'rganiladi. Tadqiqot
obyekti sifatida Korteveg-de Friz, nochiziqli Shredinger va Kaup tenglamalari
tanlangan. Tahlil davomida Floke yechimlari, Lyapunov funksiyasi, Dubrovin-
Trubovits sistemasi, izlar formulalari hamda teskari spektral masala metodlari
qo'llanilgan. Olingan natijalar orqali ushbu tenglamalarning davriy yechimlari
aniqlangan bo‘lib, bu yondashuvlarning boshqa yuqori tartibli tenglamalarga nisbatan
qo‘llanilishi taklif etiladi.
Kalit so‘zlar:
Yuklangan hadli tenglama, davriy funksiyalar, Korteveg-de Friz
tenglamasi, nochiziqli Shredinger tenglamasi, Kaup sistemasining yechimlari, teskari
spektral masala, Lyapunov funksiyasi, Floke yechimlari, Dubrovin-Trubovits
sistemasi, izlar formulasi.
Kaupning yuklangan hadli sistemasini
x
x
x
x
xxx
t
x
x
x
x
t
q
p
t
pq
qp
p
q
p
p
t
q
pp
p
0
0
)
(
2
4
)
(
6
(1)
ushbu
)
(
)
,
(
0
0
x
p
t
x
p
t
,
)
(
)
,
(
0
0
x
q
t
x
q
t
(2)
boshlang`ich shartlar bilan birga
x
bo`yicha
davrli
)
,
(
)
,
(
t
x
p
t
x
p
,
)
,
(
)
,
(
t
x
q
t
x
q
(3)
hamda ushbu
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
,
(
),
,
(
1
3
t
C
t
C
t
C
t
x
q
t
x
p
t
x
(4)
silliqlik shartlarini qanoatlantiruvchi haqiqiy funksiyalar sinfida ko`rib chiqamiz. Bu
yerda
)
(
t
berilgan haqiqiy uzluksiz funksiya,
)
(
)
(
),
(
3
0
0
R
C
x
q
x
p
berilgan haqiqiy
davrli funksiyalar bo`lib,
0
)
(
0
x
q
.
Teorema 1.
Agar
)
,
(
t
x
p
va
)
,
(
t
x
q
funksiyalar juftligi (1)-(4) masalaning
yechimi bo`lsa, u holda koeffitsiyentlari
)
,
(
t
x
p
va
)
,
(
t
x
q
bo`lgan Shturm-
Liuvill operatorlari kvadratik dastasining spektri
va
t
parametrlarga bog`liq
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
60-son_1-to’plam_Aprel-2025
212
ISSN:3030-3613
bo`lmaydi,
)
,
(
t
n
,
}
0
{
\
Z
n
spektral parametrlari esa quyidagi Dubrovin-Trubovits
sistemasini qanoatlantiradi:
)
)(
(
)
(
)
,
(
)
1
(
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
sign
t
t
)
,
0
(
)
(
)
,
(
2
)
,
(
2
)
(
t
p
t
t
t
p
h
n
n
,
}
0
{
\
Z
n
. (5)
Bu yerda
0
,
2
2
1
2
0
1
1
1
)
(
)
)(
(
)
)(
(
...)
,
,
(...,
)
(
n
k
k
n
k
n
k
n
n
n
n
n
h
h
.
Bunda
1
)
,
(
t
n
,
}
0
{
\
Z
n
ishoralar
)
,
(
t
n
spektral parametr
]
,
[
2
1
2
n
n
o`z
lakunasining chetiga kelganida qarama-qarshi ishoraga o`zgaradi. Bundan tashqari
ushbu
)
(
)
,
(
),
(
)
,
(
0
0
0
0
n
t
n
n
t
n
t
t
,
}
0
{
\
Z
n
boshlang`ich shartlar ham bajariladi. Bu yerda
)
(
),
(
0
0
n
n
,
}
0
{
\
Z
n
lar
)
(
0
x
p
va
)
(
0
x
q
koeffitsientlarga mos keluvchi spektral parametrlardir.
Isbot.
Ushbu
0
)
,
(
2
)
,
(
2
y
y
t
x
p
y
t
x
q
y
(6)
Shturm-Liuvill tenglamalarining kvadratik dastasi uchun qo`yilgan
0
)
0
(
y
,
0
)
(
y
Dirixle masalasining
)
,
(
t
n
n
,
}
0
{
\
Z
n
xos qiymatlariga mos keluvchi
normallangan xos funksiyalarni
)
,
,
(
t
x
y
n
,
}
0
{
\
Z
n
orqali belgilaymiz.
Ushbu
0
)
,
(
2
)
,
(
)
,
(
2
n
n
n
n
n
n
n
n
y
py
y
qy
y
y
ayniyatni
t
bo`yicha differensiallab, quyidagi tenglikka ega bo`lamiz
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
n
n
n
n
n
t
n
n
n
n
y
qy
y
y
q
y
q
y
y
y
y
0
2
)
,
(
2
)
,
(
2
)
,
(
2
n
n
n
n
n
n
n
n
t
n
n
n
n
y
py
y
y
p
y
p
y
py
. (7)
Bu yerda
2
(0, )
L
fazoning skalyar ko`paytmasi ishlatildi.
Oxirgi tenglikni quyidagi tarzda yozib olamiz
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
py
qy
y
y
y
p
y
q
y
,
2
,
2
0
2
)
,
(
2
,
2
n
n
n
n
n
n
n
t
n
n
t
y
py
y
y
p
y
q
,
n
n
t
n
n
t
n
n
n
n
y
y
p
y
q
y
py
,
2
)]
,
(
[
2
,
ya’ni
0
2
0
2
)
2
(
2
dx
y
p
q
dx
py
n
t
n
t
n
n
n
. (8)
Ushbu
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
60-son_1-to’plam_Aprel-2025
213
ISSN:3030-3613
)
,
(
)
,
0
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
6
)
,
(
t
x
p
t
p
t
t
x
q
t
x
p
t
x
p
t
x
p
x
x
x
t
,
)
,
(
)
,
(
4
)
,
(
)
,
(
t
x
p
t
x
q
t
x
p
t
x
q
x
xxx
t
)
,
(
)
,
0
(
)
(
)
,
(
)
,
(
2
t
x
q
t
p
t
t
x
q
t
x
p
x
x
ayniyatlardan foydalanib, (8) tenglikni quyidagi tarzda yozib olamiz
0
0
2
)
,
0
(
)
(
2
4
{
2
x
x
x
xxx
n
n
n
q
t
p
t
pq
qp
p
dx
py
dx
y
p
t
p
t
q
pp
n
x
x
x
n
2
]}
)
,
0
(
)
(
6
[
2
. (9)
Integral ostidagi funksiyaning boshlang`ichini
n
y
va
n
y
ga nisbatan kvadratik forma
ko`rinishida izlaymiz, ya’ni
}
{
2
2
n
n
n
n
y
c
y
by
ay
2
]}
)
,
0
(
)
(
6
[
2
)
,
0
(
)
(
2
4
{
n
x
x
x
n
x
x
x
xxx
y
p
t
p
t
q
pp
q
t
p
t
pq
qp
p
. (10)
Bu yerda
)
,
,
,
(
n
t
x
a
a
,
)
,
,
,
(
n
t
x
b
b
,
)
,
,
,
(
n
t
x
c
c
lar
n
y
va
n
y
ga bog`liq
emas. (10) tenglik chap tomonidagi hosilalarni hisoblab, ushbu
n
n
n
n
y
p
q
y
]
2
[
2
ayniyatlardan foydalansak, quyidagi tenglik hosil bo`ladi
2
2
2
2
)
(
)
2
4
2
2
(
)
2
(
n
n
n
n
n
n
n
n
y
c
b
y
y
c
pc
cq
b
a
y
b
bp
bq
a
2
]}
)
,
0
(
)
(
6
[
2
)
,
0
(
)
(
2
4
{
n
x
x
x
n
x
x
x
xxx
y
p
t
p
t
q
pp
q
t
p
t
pq
qp
p
.
(11)
Bunga ko`ra
c
b
,
)
2
(
2
1
2
q
p
c
c
a
n
n
,
]
)
,
0
(
)
(
6
[
2
)
,
0
(
)
(
2
4
x
x
x
n
x
x
x
xxx
p
t
p
t
q
pp
q
t
p
t
pq
qp
p
)
2
(
)
2
(
2
2
1
2
q
p
c
q
p
c
c
n
n
n
. (12)
Oxirgi tenglikning chap tomoni
n
ning chiziqli funksiyasi bo`lgani uchun o`ng tomoni
ham
n
ning chiziqli funksiyasi bo`lishi kerak.
)
,
,
,
(
n
t
x
c
ni
n
ga nisbatan 1-darajali
ko`phad ko`rinishida izlaymiz:
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
,
(
1
0
t
x
c
t
x
c
t
x
c
n
n
. (13)
(13) ifodani (12) tenglikka qo`ysak va
n
ning mos darajalari oldidagi koeffitsientlarni
taqqoslasak, ushbu
2
)
,
,
(
0
t
x
c
,
)
,
0
(
)
(
)
,
(
2
)
,
,
(
1
t
p
t
t
x
p
t
x
c
(14)
tengliklarga ega bo`lamiz.
(10) ayniyatga ko`ra
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
60-son_1-to’plam_Aprel-2025
214
ISSN:3030-3613
0
2
2
2
0
2
)]
2
(
2
1
[
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
c
y
y
c
y
q
p
c
c
dx
py
)
,
,
0
(
)
,
,
,
0
(
)
,
,
(
)
,
,
,
(
2
2
t
y
t
c
t
y
t
c
n
n
n
n
. (15)
Ushbu
)
,
,
,
(
n
t
x
c
funksiya
x
bo`yicha
davrli ekanini hisobga olsak, (15) tenglik
quyidagi ko`rinishni oladi
)]
,
,
0
(
)
,
,
(
)[
,
,
,
0
(
2
2
2
0
2
t
y
t
y
t
c
dx
py
n
n
n
n
n
n
. (16)
Bu yerda ushbu
)
,
0
(
)
(
)
,
(
2
2
)
,
,
,
(
t
p
t
t
x
p
t
x
c
n
n
ifodadan foydalansak, quyidagi
)]
,
,
0
(
)
,
,
(
)}[
,
0
(
)
(
)
,
(
2
2
{
2
2
2
0
2
t
y
t
y
t
p
t
t
p
dx
py
n
n
n
n
n
n
(17)
tenglik kelib chiqadi.
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)]
,
(
[
2
0
2
t
s
t
s
t
s
t
s
dx
t
x
s
t
x
p
formuladan foydalansak, quyidagi tenglikni olamiz:
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
(
2
2
0
2
2
t
s
t
s
dx
t
x
s
t
x
p
n
n
n
n
n
. (18)
Bu yerda
0
2
2
)
,
),
(
,
(
dx
t
t
x
s
n
n
.
Ushbu
)
,
),
(
,
(
1
)
,
,
(
t
t
x
s
t
x
y
n
n
n
ifodani (17) formulaga qo`yib, (18) tenglikdan foydalanamiz:
0
2
2
)
,
,
,
(
2
dx
t
x
ps
n
n
n
n
]
1
)
,
,
,
(
[
)}
,
0
(
)
(
)
,
(
2
2
{
2
t
s
t
p
t
t
p
n
n
,
]
1
)
,
,
,
(
[
)}
,
0
(
)
(
)
,
(
2
2
{
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
2
t
s
t
p
t
t
p
t
s
t
s
n
n
n
n
n
,
)
,
,
,
(
1
)
,
,
,
(
)}
,
0
(
)
(
)
,
(
2
2
{
)
,
,
,
(
t
x
s
t
s
t
p
t
t
p
t
s
n
n
n
n
n
. (19)
Ushbu
1
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
t
x
s
t
x
c
t
x
s
t
x
c
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
60-son_1-to’plam_Aprel-2025
215
ISSN:3030-3613
Vronskiy ayniyatida
x
va
n
desak,
)
,
,
,
(
1
)
,
,
,
(
t
s
t
c
n
n
(20)
kelib chiqadi. Bu tenglikdan hamda ushbu
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
4
)
4
)
(
(
)]
,
,
,
(
)
,
,
,
(
[
2
2
t
s
t
c
t
s
t
c
ayniyantdan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz
4
)
(
)
,
(
)
,
,
,
(
1
)
,
,
,
(
2
n
n
n
n
t
t
s
t
s
. (21)
Bu yerda
( )
( , , )
( , , )
c
t
s
t
,
)
,
,
,
(
1
)
,
,
,
(
)
,
(
t
s
t
s
sign
t
n
n
n
.
Agar (21) ifodani (19) ga qo`ysak, quyidagi tenglikni olamiz
)
,
,
,
(
4
)
(
)
,
(
)}
,
0
(
)
(
)
,
(
2
2
{
2
t
s
t
t
p
t
t
p
n
n
n
n
n
. (22)
Ushbu
k
k
k
k
0
2
2
1
2
0
1
2
2
)
)(
(
)
)(
(
4
4
)
(
,
k
k
k
t
s
0
)
,
,
,
(
yoyilmalardan foydalanib, (22) ayniyatni quyidagi tarzda yozamiz:
)
(
)
)(
(
)
(
)
,
(
)
1
(
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
h
n
sign
t
)}
,
0
(
)
(
)
,
(
2
2
{
t
p
t
t
p
n
. (23)
Bunda biz quyidagi tenglikdan ham foydalandik:
)
(
)
1
(
0
,
n
sign
k
n
sign
n
n
k
n
k
.
Demak, (5) tenglik kelib chiqdi.
Agar chegaraviy shartlarni davriy yoki antidavriy shartlar bilan almashtirsak,
(17) tenglamalar o`rnida
0
n
,
Z
n
tenglamalar hosil bo`ladi. Demak,
n
,
Z
n
davriy va antidavriy masalaning xos qiymatlari
t
parametrga bog`liq emas ekan.
Teorema 1 isbotlandi.
Izox 1.
Ushbu izlar formulasi
k
k
k
k
t
t
p
0
2
1
2
0
1
)
,
(
2
2
)
,
(
(24)
yordamida (5) sistemani “yopiq” ko`rinishda yozish mumkin.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
60-son_1-to’plam_Aprel-2025
216
ISSN:3030-3613
Natija 1.
Yuqoridagi 1-teorema (1)-(4) masalani yechish usulini beradi:
1)
Avvalo
)
(
0
x
p
va
)
(
0
x
q
koeffitsientli
Shturm-Liuvill
tenglamalarining kvadratik dastasi uchun
n
,
Z
n
,
)
(
),
(
0
0
n
n
,
}
0
{
\
Z
n
spektral berilganlarini topamiz;
2) So`ngra, (5)+(6) Koshi masalasini
0
bo`lganida yechib,
)
,
0
(
t
n
,
}
0
{
\
Z
n
spektral parametrlarni topamiz hamda (24) formula yordamida
)
,
0
(
t
p
ni
aniqlaymiz;
3) Shundan so`ng, (5)+(6) Koshi masalasini
parametrning ixtiyoriy
qiymatida yechib,
)
,
(
t
n
,
)
,
(
t
n
,
}
0
{
\
Z
n
spektral parametrlarni topamiz;
4) Bu yechimlarni (24) va quyidagi
k
k
k
k
t
t
p
t
q
0
2
2
2
2
1
2
2
0
2
1
2
)
,
(
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
,
(
2
)
,
(
izlar formulasiga qo`yib,
)
,
(
t
x
p
va
)
,
(
t
x
q
funksiyalarni aniqlaymiz.
Izox 2.
Yuqoridagi usul yordamida tuzilgan
)
,
(
t
p
,
)
,
(
t
q
funksiyalar (1)
sistemani qanoatlantirishini ko`rsatamiz. Buning uchun Dubrovinning quyidagi
sistemasidan
)
)(
(
)
(
)
,
(
)
(
)
1
(
2
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
h
t
n
sign
,
}
0
{
\
Z
n
(25)
va ushbu
)
,
(
)
,
(
3
)
,
(
4
)
,
(
4
3
3
t
q
t
p
t
p
t
p
k
k
k
k
t
0
3
3
2
3
1
2
3
0
3
1
)
,
(
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
(26)
izlar formulasidan ham foydalanamiz ([8]). (5) va (9) sistemalarga ko`ra
k
k
k
t
p
t
p
t
)
,
0
(
)
(
2
2
,
}
0
{
\
Z
k
. (27)
Agar (7) izlar formulasini
t
bo`yicha differensiallab, (11) ayniyatlarni e’tiborga olsak,
ushbu
k
k
k
k
k
k
k
k
k
t
t
p
t
p
t
p
0
0
0
0
)
,
0
(
)
(
2
2
(28)
tenglik kelib chiqadi. (7) va (8) izlar formulalaridan
bo`yicha hosila olamiz:
p
k
k
0
,
q
pp
k
k
k
4
2
0
. (29)
Bu ifodalarni (28) tenglikka qo`yib, ushbu
p
t
p
t
q
pp
p
t
)
,
0
(
)
(
6
(30)
ayniyatni olamiz.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
60-son_1-to’plam_Aprel-2025
217
ISSN:3030-3613
Endi (24) izlar formulasini
t
bo`yicha differensiallaymiz va (27) ayniyatlarni
ishlatamiz
k
k
k
t
t
t
pp
q
0
2
4
k
k
k
k
k
k
k
k
k
t
t
p
t
p
pp
0
0
2
0
)
,
0
(
)
(
2
4
4
4
.
Bu tenglikka (29) ifodalarni qo`ysak, hamda (26) izlar formulasidan foydalansak,
ushbu
)
4
4
16
(
)
4
(
2
4
2
pq
q
p
p
p
p
q
pp
p
pp
q
t
t
)
4
)(
,
0
(
)
(
q
pp
t
p
t
ayniyat kelib chiqadi. Bu yerga (30) ifodani qo`ysak, u quyidagi ko`rinishni oladi
q
t
p
t
pq
qp
p
q
t
)
,
0
(
)
(
2
4
.
Demak, tuzilgan
)
,
(
t
p
,
)
,
(
t
q
funksiyalar (1) sistemani qanoatlantirar ekan.
Natija 2.
Agar boshlang`ich shartlardagi
)
(
0
x
p
va
)
(
0
x
q
funksiyalar haqiqiy
analitik funksiya bo`lsa, u holda unga mos keluvchi lakunalar uzunliklari eksponensial
ravishda nolga intiladi, bu lakunalar
)
,
(
t
x
p
va
)
,
(
t
x
q
funksiylaraga ham mos keladi.
Shuning uchun
)
,
(
t
x
p
va
)
,
(
t
x
q
yechimlar
x
o`zgaruvchi bo`yicha haqiqiy analitik
funksiya bo`ladi ([12]).
Natija 3.
Аgar boshlang`ich shartlardagi
)
(
0
x
p
va
)
(
0
x
q
funksiyalar
2
davrga ega bo`lsa, u holda unga mos keluvchi barcha toq nomerli lakunalar yo`qoladi,
bu lakunalar
)
,
(
t
x
p
va
)
,
(
t
x
q
koefitsiyentlarga ham mos keladi. Shuning uchun
)
,
(
t
x
p
va
)
,
(
t
x
q
yechimlar
x
o`zgaruvchi bo`yicha
2
davrga ega bo`ladi ([13]).
Foydalanilgan adabiyotlar.
1.
Ахмедиев Н.Н., Корнеев В.И. Модуляционная неустойчивость и
периодические решения нелинейного уравнения Шредингера. // ТМФ,
1986, т. 69, № 2, с. 189-194
2.
Ахмедиев Н.Н., Елеонский В.М., Кулагин Н.Е. Точные решения первого
порядка нелинейного уравнения Шредингера. // ТМФ, 72, № 2, 1987, с. 183-
196.
3.
Alfimov G.L., Its A.R., Kulagin N.E. Modulation instability of solutions of the
nonlinear Schrödinger equation. //Theoret. Mat. Fiz., 84:2, 163-172 (1990).
4.
Alisher Yakhshimuratov.
The Nonlinear Schrodinger Equation with a Self-
consistent Source in the Class of Periodic Functions. // Mathematical Physics,
Analysis and Geometry, (2011) 14, pp.153-169.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
60-son_1-to’plam_Aprel-2025
218
ISSN:3030-3613
5.
А. О. Смирнов, Вещественные конечнозонные регулярные решения
уравнения Каупа-Буссинеска.
Теорет. мат.физ.
,
66
:1, (1986), 30-46.
6.
А. О. Смирнов, Матричный аналог теоремы Аппеля и редукции
многомерных тэта-функций Римана.
Мат. сб.
,
133
(
175
):3(7), (1987), 382-
391.
7.
А. Б. Хасанов, А. Б. Яхшимуратов, Об уравнении Кортевега-де Фриза с
самосогласованным источником в классе периодических функций.
Теорет. мат.физ.
, 164:2, 214-221.
8.
Alisher Yakhshimuratov.
The Nonlinear Schrödinger Equation with a Self-
consistent Source in the Class of Periodic Functions. // Mathematical Physics,
Analysis and Geometry, (2011) 14, pp.153-169, DOI 10.1007/s11040-011-
9091-5.
9.
А. Б. Яхшимуратов, Аналог обратной теоремы Борга для квадратичного
пучка операторов Штурма-Лиувилля.
Вестник Елецкого государственного
университета им. И.А.Бунина, серия «Математика. Компьютерная
математика»
,
8
:1, (2005), 121-126.
10.
Б. А. Бабажанов, А. Б. Хасанов, А. Б. Яхшимуратов, Об обратной задаче
для квадратичного пучка операторов Штурма-Лиувилля с периодическим
потенциалом.
Дифференциальные уравнения
,
41
:3, (2005), 298-305.
