Ustozlar uchun
pedagoglar.org
73-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 57
ANALITIK GEOMETRIYADA IKKINCHI
TARTIBLI SIRTLAR TALQINI
Sevara Saliyeva Ma’mirbek qizi
Andijon davlat pedagogika insituti
Matematika-informatika kafedrasi o’qituvchisi
G’aniyeva Malika Murodjon qizi
Andijon davlat pedagogika insituti
Matematika yo’nalishi 1-kurs talabasi
Alijonova Zulxumor Nodirbek qizi
Andijon
davlat
pedagogika
insituti
Matematika yo’nalishi 1-kurs talabasi
Elektron pochta: saliyevasevara18@gmail.com
Annotatsiya:
Mazkur maqolada ikkinchi tartibli sirtlarning turlari va ularning
analitik ifodalari yoritilgan. Asosiy e’tibor konus,silindr,ellipsoid, giperboloid, paraboloid
kabi sirtlarga qaratilgan. Har bir sirtning tenglamasi, geometrik shakli va grafik ko‘rinishi
tahlil qilingan. Maqolada sirtlarning klassifikatsiyasi va ularni farqlash usullari ko‘rsatib
o‘tilgan. Amaliy masalalarda bunday sirtlarning muhimligi, xususan, fizika va
muhandislikda qo‘llanilishi bayon etilgan. Har bir sirt uchun misollar keltirilib, ularning
grafik tasvirlari orqali tushunishni osonlashtirishga harakat qilingan. Maqola geometriya
va analitik geometriya fanlarini o‘rganayotgan talabalar uchun foydalidir. U nafaqat
nazariy, balki amaliy bilimlarni ham o‘z ichiga oladi.
Abstract:
This article discusses the types of second-order surfaces and their
analytical expressions. The main attention is paid to surfaces such as conus,ellipsoids,
hyperboloids, and paraboloids. The equation, geometric shape, and graphical
representation of each surface are analyzed. The article presents the classification of
surfaces and methods for distinguishing them. The importance of such surfaces in practical
problems, in particular their use in physics and engineering, is described. Examples are
given for each surface, and an attempt is made to facilitate understanding through their
graphical representations. The article is useful for students studying geometry and
analytical geometry. It contains not only theoretical but also practical knowledge.
Аннотация
: В статье рассматриваются типы поверхностей второго порядка и
их аналитические выражения. Основное внимание уделяется таким поверхностям,
как сфера, конус, цилиндр, эллипсоид, гиперболоид и параболоид. Были
проанализированы уравнение, геометрическая форма и графическое представление
каждой поверхности. В статье представлена классификация поверхностей и методы
их различения. Объясняется важность таких поверхностей в практических вопросах,
в частности их применение в физике и технике. Для каждой поверхности приведены
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
73-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 58
примеры, и сделана попытка облегчить понимание с помощью их графических
изображений. Статья полезна студентам, изучающим геометрию и аналитическую
геометрию. Он включает в себя не только теоретические, но и практические знания.
Kalit so’zlar:
Sirt, dekart koordinatalar sistemasi, sirt tenglamasi, ikkinchi tartibli
sirt, sfera, konus sirt, paraboloid silindr, bir pallali giperboloid, markaz, elliptik sirt,
ellipsoid, paraboloid, ikki pallali giperboloid.
Keywords:
Surface, Cartesian coordinate system, surface equation, second-order
surface, sphere, conical surface, paraboloid cylinder, single-shell hyperboloid, center,
elliptical surface, ellipsoid, paraboloid, double-shell hyperboloid.
Ключевые слова:
Поверхность, декартова система координат, уравнение
поверхности, поверхность второго порядка, сфера, коническая поверхность,
параболоидный цилиндр, однослойный гиперболоид, центр, эллиптическая
поверхность, эллипсоид, параболоид, двухслойный гиперболоид.
Sirt va uning tenglamasi
Berilgan to’g’ri burchakli dekart koordinatlari sistemasida koordinatalari
F (x;y;z)=0 (1)
tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o’rni
sirt
deb ataladi. (1)
ztenglama umuman
sirt tenglamasi
deb ataladi. Bu tenglama x, y, z o’zgaruvchilarning
briga nisbatan yechiladi deb faraz qilamiz. Masalan, u tenglama z ga nisbata yechilishi
mumkin bo’lsin, bu holda
z=f (x,y) (2)
deb yozish mumkin, bunda f (x,y) – x,y o’zgaruvchilarning funksiyasidir.
Sirtga berilgan yuqoridagi ta’rifga ko’ra sirt tenglamasi deb uch o’zgaruvchili
shunday f(x,y,z)=0 yoki z=f(x,y) tenglamaga aytiladiki, bu tenglamani sirtda yotgan har
bir nuqtaning koordinatalari qanoatlantiraladi. Shunday qilib fazodagi nuqtalarning
geometrik o’rni deb qaralgan har qanday sirt, bu nuqtalar koordinatalarini o’zaro
bog’lovchi (1) tenglama bilan tasvirlanadi.
Aksincha, x; y; z; o’zgaruvchilarni bog’lovchi har qanday (1) tenglama
koordinatalari, bu tenglamani qanoatlantiradigan fazodagi nuqtalarning geometrik o’rnini,
ya’ni sirtni aniqlaydi.
Fazodagi sirtni tekshirish ikkita asosiy masalani tekshirishga olib kelinadi;
1.
Fazodagi biror sirt o’zining umummiy xossasi bilan nuqtalarining
geometrik o’rni, deb berilgan. Uning tenglamasini tuzish kerak.
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
73-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 59
2.
Fazodagi biror sirtning tenglamasi berilgan. Bu tenglama yordamida
uning xossalarini va shaklini tekshirish kerak.
To’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasida o’zgaruvchi x; y; z
koordinatalarga nisbatan ikkinchi darajali
Ax
2
+By
2
+Cz
2
+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Kz+L=0 (3)
algebraik tenglama bilan tasvirlangan sirtlar
ikkinchi tartibli sirtlar
deb ataladi. Bu
tenglamada A, B, C, D, E, F koeffisentlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lishi kerak.
Sfera
Ma’lumki fazoda markaz deb ataluvchi 0 (x
1
, y
1
, z
1
) nuqtadan bir xil uzoqlikda
joylashgan nuqtalarning geometrik o’rni
sfera
deb ataladi. Markazdan sferagacha bo’lgan
masofa uning radiusi deyiladi. Ta’rifga ko’ra 0(x
1
,y
1
,z
1
) nuqtadan sfera ustidagi ixtiyoriy
M (x, y, z) nuqtagacha bo’lgan masofa R radiusi bo’lib, u qo’yidagicha hisoblanadi:.
2
1
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
z
z
у
у
x
x
R
yoki (x-x
1
)
2
+(y-y
1
)
2
+(z-z
1
)
2
=R
2
(5). Endi (5)
tenglamada qavslarni ochamiz x
2
+y
2
+z
2
-2x
1
x-2y
1
y-2 z
1
z+x
1
2
+y
1
2
+z
1
2
-R
2
=0. Bu x, y, z
koordinatalarga nisbatan ikkinchi darajali tenglamadan iborat.
Misol. x
2
+y
2
+z
2
-2x+4y+6z-2=0 tenglama sfera tenglamasi ekanligini isbotlang.
Uning markazi va radiusini toping.
Yechish.
Berilgan tenglamaning chap tomonini qo’yidagicha shakl almashtiramiz:
(x
2
-2x+1)+(y
2
+4y+4)+(z
2
+6z+9)-14-2=0 yoki (x-1)
2
+(y+2)
2
+(z+3)
2
=16. Bu esa markazi 0
(1; -2; -3) nuqtada, radiusi esa R=4 ga teng bo’lgan sfera tenglamasi kelib chiqadi.
Eslatma. Bizga ma’lumki, fazoda to’g’ri chiziq ikki tekislikning kesishishdan hosil
bo’ladi. Xuddi shuningdek fazoda egri chiziq ikki sirtning kesishish natijasida hosil
bo’ladi va u ikki F(x;y;z)=0, f(x,yz)=0 tenglamaning berilishi bilan aniqlanadi.
Konus sirt
Berilgan L chiziqini kesuvchi va berilgan P nuqtadan o’tuvchi barcha to’g’ri
chiziqlardan tashkil topgan sirt konus sirt deb ataladi. Bunda L chiziq konus sirtning
yunaltiruvchisi, konus sirtini tashkil etuvchi to’g’ri chiziqlarning har biri unng
yasovchisi
,
P esa konus sirtning
uchi
deyiladi (5-chizma).
Misol uchun uchi koordinata boshida, yo’naltiruvchi esa z=c tekislikda yotuvchi va
yarim o’qlari a va b lar bo’lib
1
2
2
2
2
b
у
a
x
c
z
(6).
ellipsdan iborat bo’lgan konus sirtini qaraymiz. Bu sirt
ikkinchi tartibli konus
deyiladi.
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
73-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 60
Ellipsoid
Ushbu
1
2
2
2
2
2
2
c
z
в
у
a
х
(7)
tenglama bilan aniqlangan sirt
ellipsoid
deb ataladi. a, b, c sonlar
ellipsoidning yarim
o’qlari
deb ataladi. Bu tenglamada x;y;z o’zgaruvchi koordinatalar juft darajada
qatnashganligi uchun ellipsoid koordinata tekisliklariga simmetrik joylashgan bo’ladi.
Ellipsoidning formasini tasavvur qilish uchun uni koordinata tekisliklar bilan kesamiz.
Masalan, (7) ellipsoidni oxy tekislikka paralel bo’lgan z=h tekislik bilan kessak kesimda
ellipis hosil bo’ladi. Haqiqatan
1
2
2
2
2
2
2
c
z
в
у
a
x
h
z
tenglamalardan z ailikatani chiqarsak
1
2
2
2
2
2
2
c
h
в
у
a
x
chiziq hosil bo’ladi. Bundan
1-chizma.
hosil bo’ladi. Bu esa yarim o’qlari qavs ichida turgan sonlardan iborat bo’lgan
ellipsdan iboratdir. Ellipisoid boshqa koordinata tekisliklariga parallel tekisliklar bilan
kesish natijasida kesimda ellipslar hosil bo’lishini ko’rish qiyin emas. Ellipisoid 1-
chizmada tasavirlangan ko’rinishga ega.
Ko’rinib turibdiki, ellipsoidni koordinata tekisliklari bilan kessak ham kesimda
ellipslar hosil bo’ladi. Xususiy holda a=b bo’lsa tenglama ellipsoidni, a=b=c bo’lsa sferani
ifoda etadi.
Giperboloidlar
A.
Bir pallali giperboloid
Ushbu
1
2
2
2
2
2
2
c
z
в
у
a
х
(8)
tenglama bilan aniqlanadigan sirt
bir pallali giperboloid
deb ataladi.
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
)
c
h
в
у
)
c
h
a
x
2-chizma.
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
73-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 61
Bir pallali giperboloidni y=0 tekislik bilan kessak, 0xz tekislikda yotadigan ABCD
giperbola hosil bo’ladi. Uning tenglamasi
0
1
2
2
2
2
у
c
z
a
х
(9)
Xuddi shuningdek bir pallali giperbolaidni x=0 tekislik bilan kessak kesimda EFGH
giperbola hosil bo’lib unming tenglamasi.
0
1
2
2
2
2
х
c
z
a
у
(10)
dan iborat bo’ladi (2-chizma).
Bir pallali giperbolaidni z=h tekislik bilan kesilsa teng-lamasi qo’yidagi ko’inishda
bo’lgan BFCG ellips hosil bo’ladi:
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
)
c
h
в
у
)
c
h
a
x
(11)
Agar h=0 bo’lsa eng kichik yarim o’qlara ega bo’lgan oxy tekislikda yotuvchi ellips
hosil bo’ladi.
B. Ikki pallali giperboloid.
Ushbu
1
2
2
2
2
2
2
c
z
в
у
a
х
tenglma bilan aniqlanadigan sirt
ikki pallali giperboloid
deyiladi. Kooridanata tekisliklari ikki pallali giperboloid
uchun simmetriya teiksliklaridan iborat. Bu sirtni oxz va oyz
tekisliklari bilan kesilsa mos ravishda quyidagi giperbollar
hosil bo’ladi.
0
1
2
2
2
2
у
c
z
a
х
va
0
1
2
2
2
2
х
c
z
a
у
(12)
4-chizma.
Bu giper bolalar 4-chizmada tasvirlangan.
Agar ikki pallali giperbolaidni z=h tekislik bilan kessak,
kesimda
h
Z
c
h
в
у
c
h
a
x
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
tenglama bilan ifodalanuvchi ellipis hosil bo’ladi.
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
73-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 62
Paraboloidlar
A. Elliptik paraboloid.
Ushbu
q
у
p
x
z
2
2
2
(13)
tenglama bilan aniqlanadigan sirt
elliptik paraboloid
deb ataladi. Bu tenglamada p
va q lar bir xil ishorali deb hisoblanadi. Aniqlik uchun p>0, q>0 deb olinadi.
Elliptik parabolaidni oxz va oyz koordinata tekisliklari bilan kesish natijasida
kesimda mos ravishda
0
2
2
у
p
x
z
va
0
2
2
x
q
у
z
parabolalar hosil bo’ladi. Agar elliptik paraboloidni z=h
(h>0) tekislik bilan kesilsa kesimda
h
z
qh
у
рh
x
1
2
2
2
2
(14)
ellips hosil bo’ladi. Uning yarim o’qlari
рh
a
2
qh
b
2
bo’ladi (5-chizma).
Agar p=q bo’lsa,
2pz=x
2
+y
2
(15)
aylanma parabolaidga ega bo’lamiz.
B. Giperbolik paraboloid
Ushbu
q
у
p
x
z
2
2
2
(16)
5-chizma
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
73-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 63
tenglama bilan aniqlangan sirt
giperbolik parabolaid
deb ataladi. Aniqlik uchun
p>0, q>0 deb hisoblandi. Bu sirtni oxz tekislik bilan
kesilsa, natijada
2pz=x
2
, y=0 (17)
parabola hosil bo’ladi (6-chizma ).
Agar gipeorbolaidni x=h tekislik bilan kesilsa
h
x
q
у
р
x
z
2
2
2
yoki
h
x
у
р
h
z
q
2
2
)
2
(
2
(18)
parabola hosil bo’ladi.
h ning har xil qiymmatlarda oyz tekislikka paralel bo’lgan tekisliklarda yotuvchi
parabolalar oilasiga ega bo’lamiz.
Gipebolik parabolaidni z=h tekislik bilan kessak, kesimda
h
z
h
q
у
р
x
2
2
2
(19)
chiziq hosil bo’ladi. Bu chiziq haqiqiy o’qi z=h tekislikda, h>0 bo’lganda, ox o’qqa
parallel giperbolani, h<0 bo’lganda, esa haqiqiy o’qi oy uqqa parallel giperbolani
tasvirlaydi. h=0 bo’lganda (19) tenglama
0
2
2
q
у
р
x
ko’rinishni oladi. Bu tenglama esa
0
q
у
р
х
va
0
q
у
р
х
tenglamalarga ajraladi. Bular koordinatalar boshidan
o’tuvchi to’g’ri chiziqning tenglamalaridir.
Xulosa qilib aytganda, ikkinchi tartibli sirtlar analitik geometriyaning muhim
mavzularidan biri bo‘lib, fazodagi murakkab shakllarni o‘rganishda asosiy rol o‘ynaydi.
Ellipsoid, giperboloid, paraboloid kabi sirtlar ko‘plab amaliy sohalarda, jumladan fizika,
muhandislik va arxitekturada keng qo‘llaniladi. Ularning tenglamalari orqali sirtlarning
geometrik xossalari va grafigi aniqlanadi. Har bir sirtning o‘ziga xos xususiyatlari ularni
bir-biridan farqlashga imkon beradi. Bu sirtlarni o‘rganish fazoviy fikrlashni
rivojlantiradi va amaliy masalalarni yechishda foydalidir. Mavzu bo‘yicha berilgan
misollar va grafiklar nazariy bilimlarni mustahkamlashga xizmat qiladi. Ikkinchi tartibli
sirtlarni chuqur o‘rganish talabalar uchun geometriya fanida mustahkam asos yaratadi.
6-chizma.
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
73-son 1–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 64
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. "Analitik geometriya" Muallif: A.Y. Narmanov
2. "Analitik geometriya va vektorlar algebrasi" Mualliflar: S. Otakulov, A.O. Musayev
Nashriyot: Fan va texnologiyalar nashriyoti
3. "Matematika. I-qism: Chiziqli algebra va analitik geometriya"
Muallif: B.A. Xudayarov Nashriyot: Fan va texnologiya Toshkent, 2018 yil
4. "Chiziqli algebra va analitik geometriya. I-kitob. Analitik geometriya"
Muallif: J.O. Aslonov Nashriyot: Innovatsiya-Ziyo Toshkent, 2020 yil
5. "Chizma geometriya" Muallif: T.D. Azimov Nashriyot: IQTISOD-MOLIYA
Toshkent, 2008 yil
