Ustozlar uchun
pedagoglar.org
73-son 4–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 85
KVADRAT FUNKSIYA VA UNING GRAFIGI
Elova Lobar Tohir qizi
Buxoro viloyati G'ijduvon tuman 1-son son politexnikumi
Matematika
+998938708681
Annotatsiya:
Ushbu maqola kvadrat funksiya va uning grafigiga bag‘ishlangan
bo‘lib, uning ta’rifi, tasnifi, xossalari, grafigini qurish usullari va amaliy qo‘llanilishini
keng yoritadi. Maqolada kvadrat funksiyaning matematik tuzilishi, parabolaning xossalari,
shuningdek, O‘zbekiston ta’lim tizimidagi o‘rni tahlil qilinadi. Zamonaviy ta’limda
kvadrat funksiyani o‘qitishning innovatsion usullari, masalan, GeoGebra kabi dasturiy
ta’minotlardan foydalanish va real hayotdagi qo‘llanilishi misollar orqali ko‘rsatiladi.
Maqola matematika o‘qituvchilari, talabalar va tadqiqotchilar uchun mo‘ljallangan bo‘lib,
kvadrat funksiyaning nazariy va amaliy ahamiyatini chuqur tushunishga yordam beradi.
O‘zbekiston kontekstida ta’limdagi muammolar va istiqbollar tahlil qilinib, zamonaviy
o‘qitish usullarini joriy etish bo‘yicha tavsiyalar beriladi.
Kalit so‘zlar
: kvadrat funksiya, parabola, graf, matematik tahlil, ta’lim usullari,
GeoGebra, O‘zbekiston ta’limi, amaliy qo‘llanilish, algebra.
Kirish
Kvadrat funksiya algebra va matematik tahlilning asosiy tushunchalaridan biridir. U
nafaqat matematikaning turli sohalari, balki fizika, iqtisodiyot, muhandislik va boshqa
fanlarda keng qo‘llaniladi. Kvadrat funksiyaning grafigi — parabola deb ataluvchi egri
chiziq bo‘lib, uning xossalari va qurilish usullari matematik bilimlarni rivojlantirishda
muhim ahamiyatga ega. O‘zbekiston ta’lim tizimida kvadrat funksiya o‘rta maktablarning
algebra kursida markaziy o‘rin tutadi, lekin zamonaviy ta’lim talablari ushbu tushunchani
o‘qitishda innovatsion yondashuvlarni joriy etishni talab qilmoqda. Masalan, GeoGebra va
Desmos kabi dasturiy ta’minotlar yordamida grafiklarni interaktiv tarzda o‘rganish
talabalarning qiziqishini oshiradi va tushunchani chuqurroq o‘zlashtirishga yordam beradi.
Ushbu maqola kvadrat funksiyaning ta’rifi, grafigining xossalari, ta’limdagi o‘rni va
amaliy qo‘llanilishini tahlil qiladi, shuningdek, O‘zbekiston ta’limidagi muammolar va
istiqbollarni ko‘rib chiqadi.
Kvadrat funksiyaning ta’rifi va tasnifi
Kvadrat funksiya umumiy ko‘rinishda quyidagicha ifodalanadi:
[ y = ax^2 + bx + c ]
Bu yerda:
( a ), ( b ), va ( c ) — haqiqiy sonlar bo‘lib, ( a \neq 0 );
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
73-son 4–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 86
( a ) — kvadrat koeffitsienti, parabola yo‘nalishini va kengligini belgilaydi;
( b ) — chiziqli koeffitsient;
( c ) — erkin had, grafning ( y )-o‘qini kesish nuqtasini ko‘rsatadi.
Tasnifi
Kvadrat funksiyalar bir nechta mezonlar asosida tasniflanadi:
1.
Parabola yo‘nalishi bo‘yicha
:
o
Agar ( a > 0 ), parabola yuqoriga ochiladi (masalan, ( y = x^2 )).
o
Agar ( a < 0 ), parabola pastga ochiladi (masalan, ( y = -x^2 )).
2.
Koeffitsientlar mavjudligi bo‘yicha
:
o
To‘liq kvadrat funksiya: ( a \neq 0 ), ( b \neq 0 ), ( c \neq 0 ) (masalan, ( y =
2x^2 + 3x + 1 )).
o
To‘liqsiz kvadrat funksiya: ( b = 0 ) yoki ( c = 0 ) (masalan, ( y = x^2 + 2 )
yoki ( y = 2x^2 )).
3.
Ildizlar soni bo‘yicha
:
o
Diskriminant (( D = b^2 - 4ac )) asosida:
( D > 0 ): ikkita haqiqiy ildiz (parabola ( x )-o‘qini ikki nuqtada kesadi).
( D = 0 ): bitta haqiqiy ildiz (parabola ( x )-o‘qiga teginadi).
( D < 0 ): haqiqiy ildiz yo‘q (parabola ( x )-o‘qini kesmaydi).
Masalan, ( y = x^2 - 4 ) funksiyasi uchun ( D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 > 0 ),
shuning uchun parabola ( x = 2 ) va ( x = -2 ) nuqtalarda ( x )-o‘qini kesadi.
Kvadrat funksiya grafigining xossalari va qurilishi
Kvadrat funksiyaning grafigi — parabola deb ataladi, uning asosiy xossalari
quyidagilar:
1.
Uch nuqtasi
: Parabola uch nuqtasining koordinatalari quyidagi formula
orqali
topiladi:
[
x_0
=
-\frac{b}{2a},
\quad
y_0
=
f\left(-\frac{b}{2a}\right)
]
Masalan,
(
y
=
x^2
-
4x
+
3
)
uchun:
( x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 ), ( y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1 ). Demak, uch nuqtasi
( (2, -1) ).
2.
Simmetriya o‘qi
: Parabola ( x = -\frac{b}{2a} ) chizig‘iga nisbatan
simmetrikdir.
3.
Kesish nuqtalari
:
o
( y )-o‘qini kesish nuqtasi: ( x = 0 ) bo‘lganda ( y = c ).
o
( x )-o‘qini kesish nuqtalari: ( ax^2 + bx + c = 0 ) tenglamasini yechish orqali
topiladi.
4.
Parabola shakli
: ( |a| ) qiymati katta bo‘lsa, parabola torayadi; kichik bo‘lsa,
kengayadi.
Kvadrat funksiyaning amaliy qo‘llanilishi
Kvadrat funksiya real hayotda va fanlarning turli sohalarida keng qo‘llaniladi:
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
73-son 4–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 87
1.
Fizika
: Traektoriyalar va harakat tenglamalari (masalan, snaryadning
parabolik
harakati).
Misol: Snaryadning balandligi ( h(t) = -4.9t^2 + 20t + 5 ) funksiyasi bilan berilgan bo‘lsa,
maksimal balandlikni topish uchun uch nuqtasini hisoblaymiz.
2.
Iqtisodiyot
:
Daromad
va
xarajat
funksiyalari
(masalan,
foyda
maksimallashtirish).
3.
Muhandislik
: Ko‘prik yoki arqlarning parabolik shaklini loyihalash.
4.
Informatika
: Algoritmlar va grafik dizaynda kvadrat funksiyalar ishlatiladi.
O‘zbekiston kontekstida kvadrat funksiya, masalan, qishloq xo‘jaligida sug‘orish
kanallarining optimal shaklini loyihalashda yoki iqtisodiy modellashtirishda qo‘llanilishi
mumkin
O‘zbekiston ta’limida kvadrat funksiyani o‘qitish
O‘zbekiston maktablarida kvadrat funksiya 9-sinf algebra kursida o‘rganiladi, lekin
o‘qitishda bir qator muammolar mavjud:
An’anaviy usullar
: Ko‘pincha nazariy tushuntirishlar va mashqlar bilan cheklanadi,
bu talabalarning qiziqishini pasaytiradi.
Resurslar yetishmasligi
: Ayniqsa, qishloq maktablarida kompyuterlar va
internetga kirish imkoni cheklangan.
O‘qituvchilar tayyorgarligi
: Zamonaviy dasturiy vositalardan foydalanish
bo‘yicha malaka yetishmaydi.
Zamonaviy yondashuvlar
1.
GeoGebra va Desmos
: Ushbu dasturlar yordamida talabalar grafiklarni
interaktiv tarzda o‘rganishi mumkin. Masalan, ( a ) koeffitsientining o‘zgarishi parabola
shakliga qanday ta’sir qilishini kuzatish mumkin.
2.
Masalaga asoslangan ta’lim (PBL)
: Talabalarga real hayotdagi masalalar
beriladi, masalan, snaryad traektoriyasini modellashtirish.
3.
Raqamli platformalar
: Khan Academy yoki Coursera kabi platformalar
orqali qo‘shimcha resurslardan foydalanish.
Tavsiyalar
O‘qituvchilarni zamonaviy dasturiy vositalardan foydalanish bo‘yicha o‘qitish.
Maktablarni raqamli resurslar bilan ta’minlash, ayniqsa qishloq hududlarida.
Algebra darsliklarini yangilash, real hayot misollarini ko‘paytirish.
Xalqaro ta’lim dasturlari bilan hamkorlikni kengaytirish (masalan, Britaniya
Kengashi).
Xulosa
Kvadrat funksiya va uning grafigi matematikaning asosiy tushunchalaridan biri
bo‘lib, algebra, fizika, iqtisodiyot va muhandislikda muhim ahamiyatga ega. Parabola
shaklidagi grafik uning xossalarini tushunish va amaliy masalalarni yechishda markaziy
o‘rin tutadi. O‘zbekiston ta’lim tizimida kvadrat funksiyani o‘qitishda zamonaviy usullar,
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
73-son 4–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 88
xususan, GeoGebra kabi dasturiy ta’minotlardan foydalanish talabalarning qiziqishini
oshiradi va bilimlarini chuqurlashtiradi. Biroq, resurslar yetishmasligi va o‘qituvchilarning
malakasini oshirish zarurati kabi muammolar mavjud. Ushbu maqola kvadrat funksiyaning
nazariy va amaliy ahamiyatini yoritadi, O‘zbekiston ta’limida innovatsion yondashuvlarni
joriy etish bo‘yicha tavsiyalar beradi. Kelajakda raqamli texnologiyalar va xalqaro
hamkorlikni kengaytirish orqali ta’lim sifatini oshirish mumkin.
Adabiyotlar
1.
Abdullaev, Q. (2020).
O‘zbekiston maktablarida algebra o‘qitish: muammolar va
yechimlar
. Toshkent: Fan nashriyoti.
2.
Axmedov, B. (2022).
Matematikada raqamli texnologiyalardan foydalanish
.
O‘zbekiston ta’lim jurnali
, 17(4), 30–37.
3.
Stewart, J. (2015).
Calculus: Early Transcendentals
(8th ed.). Boston: Cengage
Learning.
4.
Zill, D. G. (2017).
A First Course in Differential Equations with Modeling
Applications
(10th ed.). Boston: Cengage Learning.
5.
Yusupova, N. (2021).
O‘zbekiston ta’limida GeoGebra dasturidan foydalanish
.
Toshkent: Akademnashr.
6.
Larson, R., & Edwards, B. H. (2019).
Calculus
(11th ed.). Boston: Cengage
Learning.
7.
Thomas, G. B., Weir, M. D., & Hass, J. (2014).
Thomas’ Calculus
(13th ed.).
Harlow: Pearson Education.
