78
YANGI O'ZBEKISTON ILMIY
TADQIQOTLAR JURNALI
www.in-academy.uz
2-JILD, 6-SON, 2-QISM (YOʻITJ)
CHO’KMA HOSIL BO’LADIGAN SUSPENZIYALARNI
FILTRLASH TENGLAMALARI
Sh.S.Xoʻjamberdiyeva
1
, U.U.Ulashyev
1
, D.E.Xasanov
2
1
Samarqand davlat unversiteti Muhandislik fizikasi instituti
magistrantlari
2
Samarqand viloyati Qoʻshrabod tumani 11-umum ta’lim maktabi
oliy toifali oʻqituvchisi
https://doi.org/
10.5281/zenodo.15723026
ARTICLE INFO
ABSTRACT
Qabul qilindi:11-iyun 2025 yil
Ma’qullandi: 13-iyun 2025 yil
Nashr qilindi: 23-iyun 2025 yil
Ishda keyk-qatlam hosil bo‘ladigan holatda
suvpenziyalarni sızıshining o‘qqa nisbatan simmetrik
masalasi sonli yechilgan. Modelda turli parametrlarning
keyk-qatlam bo‘ylab kompressiyaviy va suyuqlik
bosimiga hamda keyk-qatlam qalinligining o‘sishiga
ta’siri o‘rganilgan
KEY WORDS
keyk-qatlam,
sızısh,
tsilindrik filtr, suvpenziya.
Silindr koordinatalaridagi suyuq va qattiq fazalar uchun uzluksizlik tenglamalari
quyidagicha [4-7]:
0
2
1
=
¶
¶
+
¶
¶
r
q
r
t
l
p
e
,
(1)
0
2
1
=
¶
¶
+
¶
¶
r
q
r
t
s
s
p
e
,
(2)
bu yerda
t
- vaqt,
r
- radial koordinata,
l
q
- suyuq fazaning tezligi,
s
q
- qattiq fazaning
tezligi,
e
- gʻovaklik,
s
e
- qattiq zarrachalar ulushi.
(1) va (2) tenglamalardan quyidagiga kelamiz
0
=
¶
¶
+
¶
¶
r
q
r
q
s
l
.
Bu tenlikdan
s
out
q
q
q
+
=
l
,
(3)
kelamiz. Bu erda
out
q
- umumiy filtrlash tezligi, koordinata
r
dan bogʻliq emas..
Silindrik koordinatalarda Darsi qonuni [5,6] quyidagi koʻrinishga ega
r
p
k
r
q
q
s
s
¶
¶
m
p
-
=
e
e
-
l
l
2
,
(4)
l
p
- suyuq faza bosimi.
(4) ni
r
boʻyicha deffirensialllab
e
e
-
¶
¶
m
p
¶
¶
-
=
¶
¶
s
s
q
r
p
k
r
r
r
q
l
l
2
(5)
kelamiz. Cho’kma va filtr elementi chegarasida suzpenziya qattiq fazasining tezligi nolga teng
ekanligidan
(
)
0
=
=
R
r
s
q
, cho’kmaning ixtiyoriy nuqtalarida quyidagi munosabtaga kelamiz
79
YANGI O'ZBEKISTON ILMIY
TADQIQOTLAR JURNALI
www.in-academy.uz
2-JILD, 6-SON, 2-QISM (YOʻITJ)
m
m
R
r
out
s
R
p
r
p
k
r
q
q
q
m
m
p
l
l
l
-
=
¶
¶
-
=
=
+
=
2
,
(6)
bu erda
R
filtr elementining tashqi radiusi,
m
p
l
filtr elementidagi bosim va
m
R
-
R
r
=
dagi
nisbiy qarshiligi.
Tenglama (3) va (4) dan
¶
¶
m
p
-
¶
¶
m
p
e
=
=
R
r
s
s
r
p
k
r
r
p
k
r
q
l
l
2
2
(7)
munosabatga kelamiz.
(7) ni (5) ga qoʻysak quyidagi tenglikka kelamiz
(
)
¶
¶
-
+
¶
¶
¶
¶
-
=
¶
¶
=
R
r
s
s
r
p
k
r
r
p
k
r
r
r
q
l
l
l
m
p
e
m
p
e
2
1
2
.
Yoki
r
r
p
k
r
r
p
k
r
r
r
q
s
R
r
s
¶
¶
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
-
=
¶
¶
=
e
m
p
m
p
e
l
l
l
2
2
.
(1), (2) dan foydalanib, oxirgi tenglikni quyidagi shakla yoza olamiz
r
r
q
r
p
k
r
r
r
t
s
вых
s
s
¶
e
¶
p
-
¶
¶
m
e
¶
¶
-
=
¶
e
¶
1
2
1
l
,
(8)
bu yerda
2
out
r R
k p
q
r
r
p
m
=
¶
= -
¶
l
filtrda chiqishdagi filtrat tezligi.
(8) tenglama
silindr koordinatalarida choʻkma qatlamini hosil boʻladigan
suspenziyalarni filtrlash
ning asosiy tenglamasidir. Bu tenglama
( )
t
R
r
L
=
nuqtadagi
qoʻzgʻaluvchan chegarani aniqlash tenglamasi hamda boshlang’ich va chegara shatrlar bilan
birgalikda yechiladi.
Choʻklma qatlamining xususiyatlari bir necha parametrlar bilan ifodalanadi [1]:
s
e
-
qattiq zarrachalar ulushi,
k
- filtrning o’tkazuvchanligi. [1,2] adabiyotlardan foydalanib,
ushbu parametrlarning
s
p
suyuqlik bosimining funksiyasi ekanligini koʻrish mumkin:
b
+
e
=
e
A
s
s
s
p
p
1
0
,
(9)
d
-
+
=
A
s
p
p
k
k
1
0
,
(10)
bu erda
0
s
e
,
0
k
,
0
a
- mos ravishda
0
=
s
p
nuqtadagi
s
e
,
k
a
qiymatlari,
A
p
- xarakteristik
bosim,
b
, ,
d
b
-
d
=
n
– doimiy qiymatlar.
(9) va (10) lardan foydalanib (8) ni
s
p
dan bogʻlik tenglamaga kelamiz
80
YANGI O'ZBEKISTON ILMIY
TADQIQOTLAR JURNALI
www.in-academy.uz
2-JILD, 6-SON, 2-QISM (YOʻITJ)
,
1
2
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
r
p
r
q
p
p
p
r
p
r
p
p
r
r
k
t
p
p
p
p
s
out
A
s
A
s
A
s
s
s
A
s
A
s
¶
¶
+
-
-
¶
¶
+
¶
¶
-
=
¶
¶
+
-
-
-
p
be
m
e
be
b
d
b
b
l
(11)
bu yerda
R
r
s
A
s
R
r
A
s
m
r
p
p
p
k
r
r
p
p
p
k
r
q
=
=
¶
¶
+
m
p
=
¶
¶
+
m
p
-
=
1
2
1
2
0
0
l
l
.
[2] adabiyotgan foydalanib,
l
p
va
s
p
o’rtasidagi bogʻlanish munosabatini olamiz:
0
=
+
s
dp
dp
l
,
(12)
yoki
1
-
=
=
¶
¶
f
p
p
s
l
.
(13)
1
'
-
=
f
ekanligidan (11) quyidagi koʻrinishga keladi
-
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
+
-
-
r
p
r
p
p
r
r
k
t
p
p
p
p
s
A
s
s
s
A
s
A
s
d
b
b
m
e
be
1
1
1
0
0
1
0
r
p
r
q
p
p
p
s
out
A
s
A
s
¶
¶
+
-
-
1
2
1
1
0
p
be
b
(14)
koʻrinishga keladi
Endi cho’kma qatlamning o’sishini tavsiflovchi qoʻzgʻaluvchan chegara tenglamasini
(Stefan shartini) keltirib chiqaraylik.
L
R
- cho’kma qatlamning qalinligi boʻlib, qoʻzgʻaluvchan
chegara ifodalaydi va jarayon boshlangandan o’suvchi boʻlib, vaqtning funksiyasi sifatida
cho’kma qatlamning qalinligi bildiradi. Choʻkma yuzasidagi massaning saqlanish qonunidan
foydalanib bogʻlanish tenglamasini toppish mumkin. Quydagi belgilashlarni kiritamiz:
+
L
q
l
va
-
L
q
l
mos ravishda
+
=
L
R
x
(choʻkma-suspeziya chegarasining suspenziya sohasidagi) va
-
=
L
R
x
(choʻkma-suspeziya chegarasining choʻkma sohasidagi) dagi suyuqlik tezliklari.
+
L
s
e
va
-
L
s
e
mos ravishda
+
=
L
R
x
(choʻkma-suspeziya chegarasining suspenziya sohasidagi) va
-
=
L
R
x
(choʻkma-suspeziya chegarasining choʻkma sohasidagi) dagi choʻkmadagi qattiq
fazalar ulushi. Agar
t
d
vaqt monetida choʻkma qalinligi
L
R
d
ga oshsa quyidagi suyuqlik uchun
massa saqlanish tenglamasini olamiz
(
)
[
]
(
) (
)
[
]
L
L
L
s
L
s
L
L
R
R
t
q
q
d
p
e
e
d
2
1
1
+
-
+
-
-
-
-
=
-
l
l
.
Oxirgi munosabatdan choʻkma qatlamining oʻsishi tenglamasini olamiz:
-
+
+
-
-
-
=
L
s
L
s
L
L
L
L
q
q
dt
dR
R
e
e
p
l
l
2
,
(15)
bu erda
-
=
L
R
r
nuqtada zarralarning siqilishi kuzatilmaydi, ya’ni nolga teng ekanligidan
81
YANGI O'ZBEKISTON ILMIY
TADQIQOTLAR JURNALI
www.in-academy.uz
2-JILD, 6-SON, 2-QISM (YOʻITJ)
-
e
L
R
s
ni
0
s
e
teng deb olish mumkin.
+
e
L
R
s
esa suspenziyada qattiq zarralarning
kosentrasiyasi
0
s
e
ga teng boʻladi. U holda (15) ni qayta ypzib olish mumkin.
0
0
2
s
s
L
L
L
L
q
q
dt
dR
R
e
e
p
-
-
=
+
-
l
l
.
(16)
Darsi qonunidan quydagi munosabatlarga olamiz
R
r
m
L
s
L
L
s
L
r
p
k
r
q
q
q
q
q
=
¶
¶
-
=
=
+
=
+
-
-
+
+
l
l
l
l
m
p
2
.
(18)
-
=
L
R
x
nuqatada
-
-
-
=
¶
¶
-
=
-
-
L
R
x
L
s
s
s
L
r
p
k
r
q
q
l
l
m
p
e
e
2
1
0
0
.
(19)
(3) e’tiborga olsak
R
r
L
L
s
r
p
k
r
q
q
=
¶
¶
-
-
=
-
-
l
l
m
p
2
.
(20)
(19) va (20) dan quydagiga kelamiz
(
)
R
x
s
R
r
s
L
r
p
k
r
r
p
k
r
q
L
=
=
¶
¶
-
-
¶
¶
-
=
-
-
l
l
l
m
p
e
m
p
e
2
1
2
0
0
.
(21)
+
=
L
R
x
sohada esa suspensiyadagi qattiq zarralar va suyuqlik tezliklari bir xil bo’ladi,
uya’ni
0
0
1
s
L
s
L
s
q
q
e
-
=
e
+
+
l
.
Natijada
+
-
e
-
e
=
L
s
s
L
s
q
q
l
0
0
1
.
(22)
(3) va (22) munosabatlarda
(
)
R
r
s
L
r
p
k
r
q
=
¶
¶
-
-
=
+
l
l
m
p
e
2
1
0
(23)
kelamiz.
(21), (23) munosabatlarni (16) qoʻyib quyidagi tenglamaga kelamiz
R
r
R
r
s
s
s
L
L
r
p
k
r
r
p
k
r
dt
dR
R
L
=
=
¶
¶
-
¶
¶
-
=
-
l
l
m
p
m
p
e
e
e
p
2
2
2
0
0
0
.
(24)
l
p
va
s
p
orasidani (13) munosabatni qullasak, (24) tenglamani
s
p
ga nisbatan
qaytadan yozish mumkin
m
L
R
r
s
s
s
s
L
q
R
r
p
k
dt
dR
L
l
-
-
-
¶
¶
-
-
=
=
p
m
e
e
e
2
1
0
0
0
,
(25)
bu yerda
82
YANGI O'ZBEKISTON ILMIY
TADQIQOTLAR JURNALI
www.in-academy.uz
2-JILD, 6-SON, 2-QISM (YOʻITJ)
R
r
s
m
r
p
k
r
q
=
¶
¶
-
=
m
p
2
l
(25) tenglama harakatlanuvchi chegarami aniqlaydi.
( )
t
R
L
- suspenziya va choʻkma
qatlami orasidagi chegara.
Jarayon boshlanishidan oldin filtr toza bo’ladi, ya’ni
( )
R
R
L
=
0
.
(26)
Jarayon uchun boshlangʻich shart quydagicha bo’ladi
( )
0
,
0
=
r
p
l
,
( )
0
,
0
=
r
p
s
.
(27)
Chegara shartlari esa quyidagicha olish mumkin:
Bir xil bosim berilganda
( )
t
R
r
L
=
da
0
p
p
=
l
,
0
=
s
p
,
0
s
s
e
=
e
,
(28)
R
r
=
da
m
-
=
¶
¶
m
p
-
m
R
p
r
p
k
r
l
l
2
.
(29)
Bir xil suyuqlik sarfi boʻlganda
( )
t
R
r
L
=
da
0
=
s
p
,
0
s
s
e
=
e
,
(30)
R
r
=
da
const
R
p
r
p
k
r
m
=
m
-
-
=
¶
¶
m
p
-
l
l
2
.
(31)
O’zgaruvchan bosim boʻlganda;
( )
t
R
r
L
=
da
( )
t
p
p
=
l
,
0
=
s
p
,
0
s
s
e
=
e
,
(32)
R
r
=
da
m
-
=
¶
¶
m
p
-
m
R
p
r
p
k
r
l
l
2
.
(33)
Silindr koordinatalarida choʻkma qatlamini hosil boʻladigan suspenziyalarni filtrlashning
asosiy tenglamasi, suspenziya va choʻkma qatlami orasidagi chegarani toppish tenglamalari
boshlangʻich va chegaraviy shartlar bilan birgalikda yechiladi. Bu tenglamalar sistemasini
yechish uchun sonli usullardan foydalanmiz. Buning uchun tenglamalar sistemasini yechish
uchun quyidagi soddalashtirishlarni amalga oshiramiz.
Bir xil bosim rejimini qaraylik. U holda (28) va (29) chegaraviy shartlarini hisobga
olamiz va (28), (29) larni
s
p
ga nisbatan quyidagicha yozib olamiz:
R
r
m
s
R
r
s
R
p
p
r
p
k
r
=
=
m
-
=
¶
¶
m
p
-
0
2
,
( )
(
)
0
,
=
t
R
t
p
L
s
.
(34)
(14) tenglamani qayta yozib
r
p
r
q
r
p
r
p
p
r
r
p
p
k
p
t
p
s
out
s
A
s
A
s
A
s
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
=
¶
¶
-
-
1
2
1
1
1
1
0
p
bm
d
b
b
(37)
va quyidagi belgilashlani kiritsak,
( )
b
-
+
bm
=
1
0
1
A
s
A
p
p
k
p
p
a
,
( )
d
-
b
+
=
A
s
p
p
p
b
1
,
( )
d
-
+
m
e
-
e
e
=
A
s
s
s
s
p
p
k
p
c
1
0
0
0
0
.
( )
R
r
A
s
p
p
k
p
c
=
d
-
+
m
=
1
0
0
(37) quyidagi koʻrinishga keladi
83
YANGI O'ZBEKISTON ILMIY
TADQIQOTLAR JURNALI
www.in-academy.uz
2-JILD, 6-SON, 2-QISM (YOʻITJ)
( )
( )
r
p
r
q
r
p
k
r
p
b
r
r
p
a
t
p
s
out
s
s
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
1
2
1
p
m
.
(38)
( )
t
R
L
- suspenziya va choʻkma qatlami orasidagi chegaraning oʻzgarishi belgilashlarda
quyidagi shaklga keladi
( )
out
L
R
r
L
q
R
r
p
p
c
dt
dR
L
-
-
+
¶
¶
=
=
p
2
1
l
,
(39)
bu yerda
( )
R
r
out
r
p
r
p
c
q
=
¶
¶
-
=
l
p
2
0
.
Quyilgan tenglamalar sistemasini yechish uchun chekli ayirmalar usulidan foydalanamiz
[8,9]. Tenglamalar sistemasi quyidagi parametrlarning qiymati hisobga sonli yechildi:
4
10
=
A
p
Pa
5
0
10
=
p
Pas
12
10
=
m
R
1/ m
2
,
3
10
-
=
m
s
Pа
,
13
0
10
-
=
k
m2,
20
.
0
0
=
e
s
,
0076
,
0
0
=
e
s
,
13
,
0
=
b
,
57
,
0
=
d
. Sonli natijalar 1 - 2 rasmda keltirilgan. Oligan natijalardan
ko’rinib turibdiki, filtrlash jarayoni davomda choʻkma qatlamining qalinligi oshadi hamda
choʻkma qatlamining qalinligi bo’ylab qattiq zarralar bosimi va suyuqlik bosimining
taqsimlanishi belgilanadi. Qattiq zarralar bosimi filtrning yuzasidan choʻkma qatlami va
suspenziya chegarasiga qarab kamayadi. 1- va 2-rasmlarda harakatlanuvchi qatlam bilan
aniqlanadigan aniq tugashga ega
( )
t
R
L
.
Shunday qilib, taqdim etilgan model suspenziyalarni silindr filtrlar orqali filtrlashning
asosiy ko’rsatkichlarini to’g’ri hisoblash va shuningdek, choʻkma qatlamini shakllantirish
imkonini beradi degan xulosaga kelish mumkin.
84
YANGI O'ZBEKISTON ILMIY
TADQIQOTLAR JURNALI
www.in-academy.uz
2-JILD, 6-SON, 2-QISM (YOʻITJ)
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Tien C., Ramarao B.V. Granular Filtration of Aerosols and Hydrosols. Elsevier Science &
Technology Books: Syracuse, New York, 2007. 522 p.
2.
Tien C. Principles of filtration. Elsevier, The Netherlands. 2012.
3.
Жужиков В.А. Фильтрование. Теория и практика разделения суспензий. – 4-е изд.,
перераб. и доп. –М.: Химия, 1980. – 400 с.
4.
Федоткин И.М., Воробьев Е.И., Вьюн В.И. Гидродинамическая теория фильтрования
суспензией. Киев:Вища. шк., Головное изд-во.1986. -166с.
5.
Федоткин И.М. Математическое моделирование технологических процессов. Киев:
Вища шк., Головные изд-во. 1988.-415с.
6.
Atsumi K., Akiyama T. A study of cake filtration. Formulation as a Stefan problem// Chem.
Techn. – 1979. – 31, №6. – P. 487-492.
7.
Shirato M., Aragaki T. Verification of internal flow mechahism theory of cake filtration//
Filr. and Separ. – 1972. - №3. – P.290-297.
8.
Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. – М.: Едиториал
УРСС, 2003. – 784 с.
9.
Caldwell J., Kwan Y.Y. Numerical methods for one-dimensional Stefan problems.
Communications in Numerical Methods in Engineering, 2004; 20: 535–545.
