ResearchBib IF-2023: 11.01, ISSN: 3030-3753, Valume 1 Issue 8
ISSN: 3030-3753. VOLUME 1, ISSUE 2
246
IQTISODIYOTDA MATEMATIK USULLAR
Baymuratova Klara Amangeldievna
QMU.
https://doi.org/10.5281/zenodo.13928024
Annotatsiya. Maqolada matematik modelni tadqiq qilish va o'rganish, yechimni olish va
ushbu model asosida olingan natijalarni amaliy qo'llash masalalari muhokama qilinadi.
Tayanch so'zlar: tenglama, mahsulot ishlab chiqarish, sotishdan tushgan daromad, narx
bo'yicha ishlab chiqarish, mahsulot hajmining o'sishi, bozorning to'yinganligi, mahsulot narxi,
ishlab chiqarish birligi.
MATHEMATICAL METHODS IN ECONOMICS
Abstract. The article discusses the issues of research and study of a mathematical model,
obtaining a solution and practical application of the results obtained on the basis of this model.
Key words: equation, output, sales revenue, output at cost, output growth, market
saturation, output price, unit of output.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ
Аннотация. В статье рассматриваются вопросы исследования и изучения
математической модели, получения решения и практического применения результатов,
полученных на основе этой модели.
Ключевые слова: уравнение, выпуск, выручка от реализации, выпуск по
себестоимости, рост выпуска, насыщение рынка, цена выпуска, единица выпуска.
Iqtisodiyotda matematik usullar, ayniqsa, differensial tenglamalar iqtisodiy, ekologik,
demografik, ijtimoiy va fizik amaliy masalalarni yechishda keng qo‘llaniladi.
Ayrim real jarayonga taalluqli har qanday masalani matematik tadqiq qilishda quyidagi
asosiy bosqichlar ajratiladi: hodisa yoki jarayonning matematik modelini qurish; matematik
modelni o'rganish va tuzilgan matematik modelning yechimini olish; ushbu model asosida olingan
natijalarni amaliy qo'llash
Xuddi shu matematik model bilan qanday hodisalar yoki jarayonlarni tasvirlash
mumkinligini aniqlash ham maqsadga muvofiqdir.
Masalani matematik tadqiq etishning yuqorida bayon qilingan asosiy bosqichlariga
muvofiq to‘g‘ridan-to‘g‘ri yechish nuqtalarga bo‘linadi: aniq masala shartlariga ko‘ra differentsial
tenglama tuzish;
Qoida tariqasida, quyidagi harakatlar ketma-ketligi tavsiya etiladi:
ResearchBib IF-2023: 11.01, ISSN: 3030-3753, Valume 1 Issue 8
ISSN: 3030-3753. VOLUME 1, ISSUE 2
247
Ushbu hodisada o'zgaruvchan miqdorlarni aniqlang; ularni bog‘lovchi qonuniyatlarni
(iqtisodiy, jismoniy va h.k.) aniqlash; topiladigan ushbu o'zgaruvchining mustaqil o'zgaruvchisini
tanlang; masala shartlaridan barcha miqdorlarni mustaqil o‘zgaruvchi, kerakli funksiya va uning
hosilalari orqali ifodalash;masala shartlariga va ko‘rib chiqilayotgan hodisa tobe bo‘lgan qonunga
asoslanib, differensial tenglama tuzing; differensial tenglamaning umumiy yechimini topish;
tuzilgan differensial tenglamaning dastlabki shartlarini aniqlash; boshlang'ich shartlardan
foydalanib, differensial tenglamaning ma'lum bir yechimini toping va natijada yechimni o'rganing.
Keling, qandaydir iqtisodiy muammoning tasvirlangan sxemasini amaliy amalga oshirishni
ko'rib chiqaylik.
Muayyan korxona uchun ishlab chiqarishning o'sish sur'ati k = 1,1 proportsionallik
koeffitsienti bilan uning foydasiga to'g'ridan-to'g'ri proportsional ekanligi aniqlangan. y(t) bu
korxonaning mahsuloti bo'lsin.
Mahsulot ishlab chiqarish hajmining o'zgarish tezligini va mahsulotning p (y) bahosi
bo'yicha sotishdan olingan daromadni bog'lovchi tenglamani tuzing, ishlab chiqarish hajmining
oshishi bilan bozor to'yinganligi va mahsulot narxi p (y) sodir bo'ladi. tushadi. Ma’lumki, bir
mahsulot birligining narxi shakl funksiyasi bilan beriladi
𝑝(𝑦) = 7 − 3𝑦
Korxonaning umumiy xarajatlari funksiya bilan ifodalanadi
𝑐(𝑦) = 6𝑦 + 1
y(t) funksiya uchun differensial tenglama tuzing, sharti bilan y(t) funktsiyani boshlang‘ich
momentda chiqish 100 ga teng bo‘ladi.
Keling, ushbu hodisada o'zgaruvchan miqdorlarni o'rnatamiz: vaqt t, chiqish
𝑦 = 𝑦(𝑡)
,
birlik narxi, foyda, umumiy korxona xarajatlari, ishlab chiqarishning o'sish sur'ati. Ko'rsatilgan
miqdorlarni bog'laydigan qonunlarni aniqlaymiz: ishlab chiqarish tezligi ishlab chiqarishning
vaqtga nisbatan hosilasi sifatida aniqlanadi:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
;
korxona daromadi mahsulot birligi narxi va uni
ishlab chiqarish intensivligi y∙p(y) mahsuloti sifatida aniqlanadi; foyda korxona daromadi y∙p(y)
va umumiy xarajatlar c(y) o'rtasidagi farq sifatida aniqlanadi; Biz mustaqil o'zgaruvchi t ni
tanlaymiz; t o'zgaruvchining topilishi kerak bo'lgan funksiyasi: y=y(t). Masala shartlaridan barcha
miqdorlarni mustaqil o‘zgaruvchi t, kerakli funksiya y=y(t) va uning hosilasi orqali ifodalaymiz:
korxona foydasi.ishlab chiqarish sur'ati 1,1 marta foyda.
Biz mustaqil o'zgaruvchi t ni tanlaymiz; t o'zgaruvchining topilishi kerak bo'lgan
funksiyasi: y=y(t). Masala shartlaridan barcha miqdorlarni mustaqil o‘zgaruvchi t, kerakli funksiya
y=y(t) va uning hosilasi orqali ifodalaymiz: korxona foydasi.
ResearchBib IF-2023: 11.01, ISSN: 3030-3753, Valume 1 Issue 8
ISSN: 3030-3753. VOLUME 1, ISSUE 2
248
𝑦𝑝(𝑦) − 𝑐(𝑦) = 𝑦(5 − 3𝑦) − (6𝑦 + 1) = −(3𝑦
2
+ 𝑦 + 1)
Mahsulot chiqarish darajasi
𝑦
′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
. Muammoning shartlariga asoslanib, biz differentsial
tenglama tuzamiz:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −1,1(3𝑦
2
+ 𝑦 + 1)
Differensial tenglamaning umumiy yechimini o‘zgaruvchilarga bo‘lish yo‘li bilan topamiz:
−
10
11
∫
𝑑𝑦
3𝑦
2
+ 𝑦 + 1
= ∫ 𝑑𝑡, −
10
33
∫
𝑑𝑦
𝑦
2
+
1
3 𝑦 +
1
3
= ∫ 𝑑𝑡
−
10
33
∫
𝑑𝑦
𝑦
2
+
1
3 𝑦 + 1
== −
10
33
∫
𝑑𝑦
𝑦
2
+ 2𝑦 ∙
1
6 +
1
36 −
1
36
= −
10
33
∙ ∫
𝑑𝑦
(𝑦 +
1
6)
2
−
1
36
=
=
|𝑦 +
1
6
= 𝑚, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑚| = −
10
33
∫
𝑑𝑚
𝑚
2
−
1
36
= −
10
33
∙ 3 ∙ 𝑙𝑛 |
𝑚−
1
6
𝑚+
1
6
| + 𝐶 =
= −
10
11
𝑙𝑛 |
6𝑚 − 1
6𝑚 + 1
| + 𝐶 = −
10
11
𝑙𝑛 |
6𝑦
6𝑦 + 2
| + 𝐶
Funkcya umumiy echimi:
𝑦 =
𝑒
−
11
10
(𝑡+𝑐)
3(1−𝑒
−
11
10
(𝑡+𝑐)
)
Boshlang’ich sharti buyicha y(0)=100, hususiy echimini topamiz
100 =
𝑒
−
11
10
𝐶
3(1−𝑒
−
11
10
𝐶
)
,
𝑒
−
11
10
𝐶
=
300
301
,
Hususiy echimi:
𝑦 =
100𝑒
−
11
10
301−300𝑒
−
11
10
𝑡
Qaysi vaqtdan boshlab ishlab chiqarish mahsuloti birdan kam bo'lishini aniqlaymiz, ya'ni
y(t)<1. Buning uchun tengsizlikni yechish kerak
100𝑒
11𝑡 10
⁄
301−300𝑒
−11𝑡 10
⁄
< 1
yoki
100𝑒
−11𝑡 10
⁄
−(301−300𝑒
−11𝑡 10
⁄
)
301−300𝑒
−11𝑡 10
⁄
< 0.
Bu erda
𝑘 = 𝑒
−11𝑡 10
⁄
, 𝑘 > 0.
Ikki tengsizlikni hosil qilamiz
400𝑘−301
300𝑘−301
> 0
𝑘
1
=
301
400
, 𝑘
2
=
301
300
,
Ratsional tengsizlikning yechimi intervallarni birlashtirish bo'ladi:
𝑘 ∈ (0,
301
400
) ∪ (
301
300
, +∞)
.
𝑘 = 𝑒
−11𝑡 10
⁄
,
almashtirishga qaytsak, t- talab qilinadigan vaqt oraliqlarini topamiz.
1)
𝑒
−
11𝑡
10
<
301
400
, bu erdan
−
11
10
t
< 𝑙𝑛
301
400
, 𝑡 > −
10
11
𝑙𝑛
301
400
= 0,258.
2)
𝑒
−
11
10
𝑡
>
301
300
, −
11
10
𝑡 > 𝑒
𝑙𝑛
301
300
yoki
𝑡 < −
10
11
𝑙𝑛
301
300
= −0.003.
ResearchBib IF-2023: 11.01, ISSN: 3030-3753, Valume 1 Issue 8
ISSN: 3030-3753. VOLUME 1, ISSUE 2
249
Biz
𝑡 > 0
bo'lgani uchun begona intervalni oldik
Shunday qilib,
𝑡 = 0.258
momentdan boshlab ishlab chiqarish hajmi birdan kam bo'ladi.
REFERENCES
1.
S.A. Minyuk., N.S. Berezkina, Differensial tenglamalar va iqtisodiy modellar, 2007 yil
2.
Krass M.S., Matematika asoslari va uning iqtisodiy ta’limda qo‘llanilishi. M, 2001 yil
3.
A.K. Boyarchuk, S.P.Golovach, Differensial tenglamalar misollar va masalalarda T.5, M,
1998.
