T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_4-to’plam_Iyun-2025
242
ISSN:3030-3613
MAPLE DASTURIDA DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI YECHISH
1
Nastinov Sadriddin Tojiddin o‘g‘li
1
Namangan davlat universiteti Raqamli ta’lim
texnologiyalari kafedrasi o‘qituvchisi
2
Abduqodirov Elbek Abduvali o‘g‘li
2
Namangan davlat universiteti Raqamli ta’lim
texnologiyalari kafedrasi o‘qituvchisi
e-mail:
Tel: +
998-97-256-29-95
Annotatsiya.
Ushbu maqola Maple tizimida oshkor, parametrik, oshkormas
ko‘rinishda berilgan bir va ikki o‘zgaruvchili funksiyalarning grafiklari o‘rganilgan.
f(x) oshkor funksiyani Ox o‘qining kesmasida va Oy o‘qining kesmasida grafigini
chizish uchun plot(f(x),x=a..b, y=c..d, parametrs) komandasi ishlatilgan, bu yerda
parametrs-tasvirni boshqarish uchun ishlatiladigan parametrlar ko`rib chiqilgan.
Kalit so‘zlar
. Plot komandasi yordamida y=f(x) funksiya parametrik
ko‘rinishda
x=x(t),y=y(t)
berilsa
ham
grafigini
chizish
mumkin:
plot([y=y(t),x=x(t),t=a..b], parametrs).
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В MAPLE
1
Настинов Садриддин Тожиддин ўғли
1
Преподаватель кафедры цифровых образовательных технологий
Наманганского государственного университета
2
Абдукодиров Элбек Абдувалиевич
2
Преподаватель кафедры цифровых образовательных технологий
Наманганского государственного университета
e-mail:
Tel: +
998-97-256-29-95
Аннотация
. В этой статье исследуются графики функций с одной и
двумя переменными, заданные в явном, параметрическом и неявном виде в
системе Maple. plot(f(x),x=a..b, y=c..d, параметры) построен график выявленной
функции f(x) в сечении оси Ax и в поперечное сечение оси Луны, где учитываются
параметры-параметры, используемые для управления изображением.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_4-to’plam_Iyun-2025
243
ISSN:3030-3613
Ключевые слова.
С помощью команды plot можно построить график
функции y=f(x), даже если x=x(t),y=y(t) заданы в параметрической форме:
plot([y=y(t), x=x(t), t=a..b], параметры).
SOLVING DIFFERENTIAL EQUATIONS IN MAPLE
1
Nastinov Sadriddin Tojiddin o‘g‘li
1
Teachers of the Department of Digital Educational
Technologies, Namangan State University
2
Abdukodirov Elbek Abduvali o‘g‘li
2
Teachers of the Department of Digital Educational
Technologies, Namangan State University
e-mail:
Tel: +
998-97-256-29-95
Annotation
. This article explores the graphs of functions of one and two
variables given in exact, parametric, and imprecise form in Maple. plot(f(x),x=a..b,
y=c..d, parameters) plot the graph of the function f(x) in the cross section of the White
axis and the cross section of the Moon axis section, where parameters - parameters
used to control the image are taken into account.
Keywords
. Using the plot command, the graph of the function y=f(x) can be drawn
even if x=x(t),y=y(t) is given in parametric form: plot([y=y(t),x=x(t), t=a..b],
parameters).
KIRISH
Maple da ODT ni analitik usulda echish uchun dsolve(eq,var,options)
komandasi ishlatiladi, bu erda eq-tenglama, var-no‘malum funktsiya, options-
parametrlar. Parametrlar ODT ni echish usulini ko‘rsatishi mumkin, masalan, sukut
saqlash printsipiga asosan, analitik echim olish uchun typeqexact parametri beriladi.
ODT da hrsilani berish uchun diff komandasi ishlatiladi. Masalan,
x
y
y
tenglamasi diff(y(x),x$2)Qy(x)qx ko‘rinishda yoziladi. ODT ning umumiy echimi
o‘zgarmas sonlarni o‘z ichiga oladi, masalan, yuqoridagi tenglama ikkita o‘zgarmasni
o‘z ichiga oladi. O‘zgarmaslar Maple da _C1, _C2 ko‘rinishda belgilanadi.
Ma’lumki, chiziqli ODT bir jinsli (o‘ng tomon 0) va bir jinsli bo‘lmagan (o‘ng
tomon 0 emas) ko‘rinishda bo‘ladi. Bir jinsli bo‘lmagan tenglama echimi smos bir
jinsli tenglamaning umumiy echimi va bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning xususiy
echimlari yiғindisidan iborat bo‘ladi. Maple da ODT ning echimi ana shunday
ko‘rinishda chiqariladi, ya’ni o‘zgarmaslarni o‘z ichiga olgan qism bir jinsli
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_4-to’plam_Iyun-2025
244
ISSN:3030-3613
tenglamaning umumiy echimi bo‘ladi, va o‘zgarmas son ishtirok etmagan qismi bir
jinsli bo‘lmagan tenglamaning xususiy echimi bo‘ladi.
dsolve komandasi bergan echim hisoblanmaydigan formatda beriladi. Echim
bilan kelajakda ishlash uchun, masalan grafik chizish uchun, uning o‘ng tomonini
rhs(%) komanda bilan ajratish kerak.
ADABIYOTLAR TAHLILI:
A.Imomovning ilmiy ishlarida Maple tizimi yordamida elementar va oliy
matematikaning deyarli barcha masalalarini yechish mumkin. Maple tizimida analitik
va differensial geometriya, matematik analiz, algebra, differensial tenglamalar,
hisoblash usullari, kompyuter grafikasi kabi fanlarda amaliy va laboratoriya darslarida
hisoblashga doir masalalarni yechishda, kompyuter texnologiyalari asosida interaktiv
darslar tashkil etishda foydalanish mumkin.
TADQIQOT METODOLOGIYASI
Misollar. 1.
x
x
x
y
y
cos
sin
cos
tenglama echilsin.
> restart;
> de:=diff(y(x),x)+y(x)*cos(x)=sin(x)*cos(x);
)
cos(
*
)
sin(
)
cos(
)
(
))
(
(
:
x
x
x
x
y
x
y
x
de
> dsolve(de,y(x));
1
_
1
)
sin(
)
(
))
sin(
(
C
e
x
x
y
x
.
Ya’ni tenglamaning echimi matematik tilda ushbu ko‘rinishga ega:
1
)
sin(
)
(
))
sin(
(
1
x
e
C
x
y
x
.
2.
x
e
x
y
y
y
sin
2
tenglamaning umumiy echimi topilsin.
> restart;
> deq:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)+y(x) =sin(x)+exp(-x);
)
(
2
2
)
sin(
)
(
))
(
(
2
))
(
(
:
x
e
x
x
y
x
y
x
x
y
x
deq
> dsolve(deq,y(x));
)
(
4
1
)
cos(
2
1
2
_
1
_
)
(
x
x
x
e
x
x
e
C
e
C
x
y
3.
)
sin(
2
qx
y
k
y
tenglamaning umumiy echimi
k
q
k
q
,
hollar uchun topilsin.
> restart; de:=diff(y(x),x$2)+k^2*y(x)=sin(q*x);
)
sin(
)
(
))
(
(
:
2
2
2
qx
x
y
k
x
y
x
de
> dsolve(deq,y(x));
)
cos(
2
_
)
sin(
1
_
)
cos(
)
)
sin(
2
1
)
sin(
2
1
(
1
)
sin(
)
)
cos(
2
1
)
cos(
2
1
(
1
)
(
kx
C
kx
C
kx
q
k
x
q
k
q
k
x
q
k
k
kx
q
k
x
q
k
q
k
x
q
k
k
x
y
Rezonans holatdagi echim (qqk) ni topamiz:
> q:qk:= dsolve(de,y(x));
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_4-to’plam_Iyun-2025
245
ISSN:3030-3613
)
cos(
2
_
)
sin(
1
_
)
cos)
)
2
1
)
sin)
)
cos(
2
1
(
1
)
sin(
)
cos(
2
1
)
(
2
kx
C
kx
C
kx
kx
kx
kx
k
k
kx
kx
x
y
Fundamental (bazis) yechimlar sistemasi
dsolve komandasi ODT ning bazis echimlar sistemasini ham topishda ishlatiladi.
Uning uchun parametrlar bo‘limida outputqbasis deb ko‘rsatish kerak . Masalan,
0
2
)
4
(
y
y
y
ODT ning bazis echimlar sistemasini topaylik.
>de:qdiff(y(x),x$4)Q2*diff(y(x),x$2)Qy(x)q0;
g‘g‘
0
)
(
)
(
2
))
(
(
:
2
2
24
4
x
y
x
y
х
x
y
x
de
> dsolve(de, y(x), outputqbasis); g‘g‘[cos(x), sin(x), xcos(x), xsin(x)]
TAHLILLAR VA NATIJALAR
Koshi yoki chegara masalani echish
dsolve komandasi yordamida Koshi yoki chegara masalani ham echish mumkin.
Buning uchun blshlanғich yoki chegara shartlarni qo‘shimcha ravishda berish kerak.
Qo‘shimcha shartlarda hosila differentsial operator D bilan beriladi. Masalan,
2
)
0
(
y
shart
2
)
0
)(
)(
2
@@
(
y
D
ko‘rinishda,
0
)
0
(
y
shart
0
)
1
)(
(
y
D
ko‘rinishda,
k
y
n
)
0
(
)
(
shart
k
y
n
D
)
0
)(
)(
@@
(
ko‘rinishda yozilishi kerak.
Misollar 1.
0
)
0
(
,
0
)
0
(
,
1
)
0
(
,
2
)
0
(
,
cos
2
)
4
(
y
y
y
y
x
y
y
Koshi masalasi
echilsin.
> de:qdiff(y(x),x$4)Qdiff(y(x),x$2)q2*cos(x);
> cond:qy(0)q-2, D(y)(0)q1, (D@@2)(y)(0)q0,
(D@@3)(y)(0)q0; g‘g‘
)
cos(
2
))
(
(
))
(
(
:
2
2
4
4
x
x
y
x
x
y
x
de
> dsolve({de,cond},y(x)); g‘g‘
x
x
x
x
x
y
)
sin(
)
cos(
2
)
(
2.
0
)
2
(
,
0
)
0
(
,
2
)
2
(
y
y
х
y
y
chegara masala echilsin.
> restart; de:qdiff(y(x),x$2)Qy(x)q2*x-Pi; g‘g‘
x
x
y
x
y
x
de
2
)
(
))
(
(
:
2
2
> cond:qy(0)q0,y(PiG‘2)q0; g‘g‘
0
)
2
(
,
0
)
0
(
:
y
y
cond
> dsolve({de,cond},y(x)); g‘g‘
)
cos(
2
)
(
x
x
x
y
Echim grafigini chizish uchun tenglama hng tomonini ajratib olish kerak:
> y1:qrhs(%):plot(y1,xq-10..20,thicknessq2);
ODT sistemasi
dsolve komandasi yordamida LN sistemasini ham echish mumkin. Buning uchun uni
dsolve({sys},{x(t),y(t),…}), ko‘rinishda yozib olish kerak, sys-ODT lar sistemasi,
x(t),y(t) ,...-no‘malum funktsiyalar sistemasi.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
63-son_4-to’plam_Iyun-2025
246
ISSN:3030-3613
Misollar 1.
}
1
3
3
6
,
1
2
2
4
t
t
e
y
x
y
e
y
x
x
> sys:qdiff(x(t),t)q-4*x(t)-2*y(t)Q2G‘(exp(t)-1),
diff(y(t),t)q6*x(t)Q3*y(t)-3G‘(exp(t)-1):
> dsolve({sys},{x(t),y(t)}); g‘g‘
)
1
ln(
3
_
2
3
_
2
4
_
1
6
1
_
6
)
(
{
),
1
ln(
2
_
2
2
_
2
2
_
1
4
1
_
3
)
(
{
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
C
C
e
C
C
t
y
e
e
e
C
C
e
C
C
t
x
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения.
2.
Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.:
Наука, 1989.
3.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука. 1970.
4.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука. 1970.
5.
Никольский С.М. Курс математического анализа (2 т.). М.: Наука. 1991.
6.
B. W. Char. Maple Learning Guide. Maplesoft, a division of Waterloo Maple Inc.
2003
