Universal International Scientific Journal
341
N.A.Usmonova
Andijon texnika instituti, Iqtisodiyot kafedrasi o’qituvchisi
Uzbekistan
Annotatsiya.
Bu maqolada ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli sistemaning trayektoriyasini
matritsaning xossonlariga qarab yasash, hamda sistemaning maxsus nuqtalari turlari o’rganilgan va
misollar keltirilgan.
Kalit
so‘zlar:
xos
vektorlar,
xossonlar,
trayektoriya,
dekartkoordinatalrsistemasi,
affinkoordinatalarsistemasi, turg’untugunnuqta, markaz, noturg’untugunnuqta, turg’un focus nuqta,
aynigantugunnuqta.
Аннотация:
Эта статья является второй линией той же -sex системы траектории A типичной
матрицы системы, в зависимости от количества изделий, а также конкретных примеров этих типов
изученных и точек.
Ключевые слова:
вектор, конкретные цифры, конкретный SPIE, декан рукописи системы,
координаты система, фиксированный узел, центр, узел, нестабильная фиксированная точка фокуса
на одном узле.
Abstract:
This article is the second line of the same - sex system trajektory A typical matrix system,
in dependence on the number of products, and specific examples ofthese types studied and points.
Keywords:
vector, specific numbers, specific SPIE, deanof the manuscript koordinatalr system,
coordinate system, afixed node, center, node, unstable fixed point of focus on one site.
UNIVERSAL XALQARO ILMIY
JURNAL
Jurnalning bosh sahifasi: https://universaljurnal.uz
IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLI BIR JINSLI SISTEMANING HOLATLAR TEKISLIGI
Universal International Scientific
Year: 2025 Issue: 2 Volume: 5
Published: 31.05.2025
International indexes
Universal International Scientific Journal
34
2
Language:
Uzbek
Citation:
Usmonova, N. (2025). THE PLAIN OF THE CONDITION OF THE SECOND ORDER LINEAR
SYSTEM.
Universal
International
Scientific
Journal,
2(5),
341–344.
Retrieved
from
https://universaljurnal.uz/index.php/jurnal/article/view/2824
Copyright © 2025 by author(s) and Scientific Research Publishing Inc. This work is licensed under
the
Creative
Commons
Attribution
International
License
(CC
BY
4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Quyidagi tenglamalar sistemasi berilgan
bo’lsin. Ushbu sistemaning suslanish nuqtasining
tipini aniqlaymiz. Bu uchun xossonlar topiladi.
Xos sonlar haqiqiy va kompleks bo’lgan
hollarni alohida tekshiramiz.
{
𝑥
1
̇ = 𝑎
11
𝑥
1
+ 𝑎
12
𝑥
2
𝑥
2
̇ = 𝑎
21
𝑥
1
+ 𝑎
22
𝑥
2
(1)
A
matritsaning xos sonlari haqiqiy, har xil va
noldan farqli. Xos sonlari
𝜆
1
𝑣𝑎𝜆
2
desak,
ularga mos kelgan chiziqli erkli xos
vektorlarni
toppish
mumkin.
Shuninguchun
(1)
sistemaning
umumiy
yechimi
𝑥 = 𝐶
1
ℎ
(1)
𝑒
𝜆
1
𝑡
+ 𝐶
2
ℎ
(2)
𝑒
𝜆
2
𝑡
(2)
кo’rinishdayoziladi. Uniyana
𝑥 = 𝜉
1
ℎ
(1)
+ 𝜉
2
ℎ
(2)
(3)
(bunda
𝜉
1
= 𝐶
1
𝑒
𝜆
1
𝑡
, 𝜉
2
= 𝐶
2
𝑒
𝜆
2
𝑡
) (4)
кo’rinishda
ℎ
(1)
va
ℎ
(2)
vektorlar bo’yicha yoyib
yozish mumkin.
𝜉
1
va
𝜉
2
sonlar holat tekisligida
to’g’ri burchakli Dekart koordinatalaridan
iborat bo’lishi shart emas, bu
ℎ
(1)
va
ℎ
(2)
vektorlar bo’yicha yo’nalgan o’qlarga bog’liq.
Holatlartekisligini
𝑃
deylik. Unda
𝜉
1
va
𝜉
2
o’qlar
ℎ
(1)
va
ℎ
(2)
vektorlar bo’yicha
yo’nalgan bo’ladi.(1-rasm)
1-rasm.
{
𝑦̇
1
= 𝜆
1
𝑦
1,
𝑦̇
2
= 𝜆
2
𝑦
2,
(5)
Endi
(5)
sistemaningtrayektoriyalarinitasvirlaymiz.Av
val
|𝜆
1
| < |𝜆
2
|
va
𝜆
2
< 𝜆
1
< 0
yoki
𝜆
2
> 𝜆
1
>
0
tengsizliklar
o’rinli
bo’lsin
.
(4)
dan
ko’rinibturibdiki,
birinchichorakdachizilgantrayektoriyalaryord
amidaqolganchorakdagitrayektoriyalarni ham
yozishmumkin. Undantashqari,
𝜆
2
< 𝜆
1
<
0
bo’lganholda
𝐶
1
≠ 0
,
𝐶
2
= 0
bo’lsa,
𝜉
1
=
𝐶
1
𝑒
𝜆
1
𝑡
, 𝜉
2
= 0
,
yani
𝜉
1
o’qigaegamiz.
Unda
𝐶
1
> 0
bo’lganda harakat o’ngdan
chapga,
𝐶
1
< 0
holat uchun esa chapdan
o’ngga bo’ladi. Boshqacha aytganda,
𝑡 → +∞
da
𝐶
ning ishorasidan qat’I nazar,
lim
𝑡→+∞
𝜉
1
=
lim
𝑡→+∞
𝐶
1
𝑒
𝜆
1
𝑡
= 0
va koordinata boshidan ikki
tomonda harakat shu nuqtaga yo’nalgan
bo’ladi. Xuddi shu xususiyat
𝜉
2
o’qiga ham
tegishli
Universal International Scientific Journal
34
3
bo’ladi(2-rasm).
2-rasm.
Trayektoriyalar
chekli
vaqtda
koordinata boshiga kelaolmaydi. Koordinata
boshi
berilgan
sistema
uchun
yagona
muvozanat nuqtasidan iborat bo’lib, u
mustaqil
yechimdir.
Qolganchoraklardagitrayektoriyalarnishuchizi
lgantrayektoriyalardanularni
𝜉
1
va
𝜉
2
o’qlargani
sbatansimmetrikaylantirishyordamidahosilqili
nadi.
𝜆
2
> 𝜆
1
> 0
bo’lganda ham xuddi shu
usul
bilan
trayektoriyalar
chziladi.
Trayektoriyalar avvalgisidan farq qilmasada,
ularda yo’nalish teskari bo’ladi.
Xossonlarning
𝜆
2
< 𝜆
1
<
0
qiymatlargamosmanzara
turg’untugunnuqt
a
,
𝜆
2
> 𝜆
1
> 0
qiymatlarga
mos
manzaraesa
noturg’untugunnuqta
deyiladi
.Tr
ayektoriyalar
𝜆
2
< 𝜆
1
<
0 𝑏𝑜’𝑙𝑔𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑎 𝑡 → +∞ da
,
𝜆
2
> 𝜆
1
>
0
bo’lgandaesa
𝑡 → −∞
da
P
tekislikda
𝜉
1
o’qigaurinadi,
P
tekislikdabuhol
𝜆
1
ga mos kelgan xos vektorning yo’nalishi bilan
bog’liq bo’ladi.Xos sonlar uchun
𝜆
1
< 0 < 𝜆
2
(
𝜆
2
< 0 < 𝜆
1
)tengsizlikni
qanoatlantirsa,
trayektoriyalarni yasashda hosil bo’lgan
manzara
egar
deyiladi.
A matritsaning xossonlari kompleks
bo’lgan
holat.
Bu
holdaxossonlarqo’shmakompleksbo’lib,
ularni
𝜆 = 𝜇 + 𝜈𝑖
,
𝜆 = 𝜇 − 𝜈𝑖
,
𝜈 ≠ 0
deb
belgilaymiz.
𝜈
nidoim
𝜈 > 0
deb
qarashmumkin.Trayektoriyaningko’rinishi
𝜇 < 0, 𝜇 > 0, 𝜇 = 0
qiymatlarga qarab har xil
bo’ladi.
𝜇 < 0
holda
𝜈 > 0
bo’lgani uchun
holat nuqtasi koordinata boshiga yaqinlashadi.
Hosil bo’lgan manzara
turg’un focus nuqta
deyiladi.Agar
.
𝜇 > 0
holda
𝜈 > 0
bo’lgani
uchun holat nuqtasi koordinata boshiga
yaqinlashadi.
Hosil
bo’lgan
manzara
noturg’un focus nuqta
deyiladi.(3-rasm)
3-rasm
Agar
𝜇 = 0
bo’lsa, trayektoriyasi
markazi
koordinata
boshida
bo’lgan
konsentrik aylanalardan iborat bo’ladi. Hozil
bo’lgan manzara
markaz
deyiladi.
A
matritsaning xossonlari teng va noldan farqli
bo’lsa,
uni
umumiy
holda
aynigantugunnuqta
deyiladi,
ungamosxosvektorlaruchunikkiholyuzberishi
mumkin:
1.Amatritsaningxossonini
𝛌
deb olsak,
𝜆 < 0
bo’lganda
turg’un
tug’ilma
tugun
nuqtadeyiladi.
2. A matritsaningxossonini
𝛌
deb olsak,
𝜆 > 0
bo’lganda
noturg’un
tug’ilma
tugun
nuqtadeyiladi.
Misol:
{
𝑥̇ = 𝑥 + 6
𝑦̇ = 2𝑦 − 𝑥
𝐴 = (
3
0
−1
2
)
{
0 = 𝑥 + 6
0 = 2𝑦 − 𝑥
sistemani
bajarib
maxsus
nuqtalarni topamiz, va xos sonlari orqali uning
turini
aniqlaymiz.
Bunda
{
𝑥 = −6
𝑦 = −3
𝑀(−6; −3)
nuqta maxsus nuqta.
Xarakteristiktenglamadan
𝜆
larni
aniqlaymkiz.
|𝐴 − 𝜆𝐸| = |
3 − 𝜆
0
−1
2 − 𝜆
| =
0, (3 − 𝜆)(2 − 𝜆) = 0
Universal International Scientific Journal
34
4
𝜆
1
= 3, 𝜆
2
= 2
, bunda A matritsaning
xossonlariharikkalasi
ham
musbat,
demakbu
𝜆
1
> 𝜆
2
> 0
holga to’g’ri keladi,
bundan
𝑀(−6; −3)
nuqta noturg’un tugun
nuqta bo’ladi, trayektoriyasi 2-rasmda
tasvirlangan.
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yhati
1. Salohiddinov M.S, NasriddinovG’.N “Oddiy differensial tenglamalar” Toshkent – 1994y.
2. Филиппов “Сборник задач по дмфференциальным уравнениям”
3. Internet resurslari.
