P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
292
HISOBLASH MATEMATIKASINING QISQACHA TARIXI, PREDMETI
VA METODI
Soliyeva Gavharoy Yodgorjon qizi
Namangan davlat universiteti doktoranti
E-mail:gavharoysoliyeva8@gmail.com
Tel : +998 97 250 70 90
Eshnazarova Marg`ubaxon Yunusaliyevna
Namangan davlat pedagogika institute professori
E-mail:kmargo22@list.ru
Hisoblash matematikasi, Al-Xorazmiy, algoritm, algebra,
trigonometrik funksiyalar, matematik jadvallar, sonli metodlar, funksional fazo, operator,
teskari ma
soni,
tarixiy matematiklar, matematik model, tatbiqiy matematika.
Annotatsiya:
Hisoblash matematikasi qadimiy sivilizatsiyalardan boshlab amaliy
ehtiyojlar asosida shakllangan va matematik jadvallar, tenglamalar yechimi hamda sonli
metodlar yordamida rivojlangan. Muhammad ibn Muso Al-Xorazmiy algoritmlar va
hisoblash markazi sifatida tanilgan. Zamonaviy hisoblash matematikasi murakkab
matematik masalalarni samarali yechish, tejamkor va oqilona algoritmlarni yaratish bilan
kompyuter yordamida tatbiq qilinadigan hisoblash metodlarini ishlab chiqishga
qaratilgan.
E-mail:gavharoysoliyeva8@gmail.com
E-mail:kmargo22@list.ru
-
P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
293
-
BRIEF HISTORY, SUBJECT AND METHOD OF COMPUTATIONAL
MATHEMATICS
Soliyeva Gavharoy is daughter of Yodgorjon
PhD student of Namangan State University
E-mail:gavharoysoliyeva8@gmail.com
Tel: +998 97 250 70 90
Eshnzarova Marg`ubakhon Yunusaliyevna
Professor of Namangan State Pedagogical Institute
E-mail:kmargo22@list.ru
Keywords:
Computational mathematics, Al-Khwarizmi, algorithm, algebra,
trigonometric functions, mathematical tables, numerical methods, functional space,
operator, inverse problem, direct problem, iterative method, mathematical physics,
Gaussian method, linear algebraic equations, computer-aided computing, Ulugbek
mathematics.
Abstract:
Computational mathematics was formed based on practical needs from
ancient civilizations and developed using mathematical tables, solutions of equations, and
numerical methods. Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi played a major role as the
founder of algorithms and algebra. The Ulugbek Academy in Samarkand is known as a
computing center. Modern computational mathematics is concerned with the effective
solution of complex mathematical problems, the creation of economical and rational
algorithms. This field is aimed at developing computational methods that are implemented
using computers, in many cases, as an alternative to classical mathematical methods.
Matem
hajmlarni o`lchash, kema harakatini boshqarish, yulduzlar harakatini kuzatish, va
boshqalar tufayli vujudga kelganligi uchun ham u hisoblash matematikasi bo`lib, uning
P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
294
maqsadi masala yechimini son shaklida topishdan iborat. Bu fikrga ishonch hosil qilish
uchun matematika tarixiga nazar tashlash kifoya.
Bobil olimlarining asosiy faoliyati matematik jadvallar tuzishdan iborat bo`lgan.
Shu jadvallardan bizgacha yetib kelganlaridan biri miloddan 2000 yil avval tuzilgan
747- yilda tuzilgan boshqa bir jadvalda Oy va Quyoshning tutilish vaqtlari keltirilgan.
Qadimiy misrliklar ham faol hisobchilar bo`lganlar. Ular murakkab kasrlarni surati birga
teng bo`lgan oddiy kasrlar yig`indisi (masalan:
shaklida ifodalovchi
jadvallar tuzishgan va chiziqli bo`lmagan algebraik tenglamalarni yechish uchun vatarlar
usulini yaratishgan. Yunon matematiklariga kelsak, miloddan avval 220 yillar atrofida
Arximed
soni uchun
tengsizlikni ko`rsatdi. Diofant III asrda aniqmas
tenglamalarni yechishdan tashqari kvadrat tenglamalarni sonli yechish usulini yaratgan.
IX-X asrlarda O`rta Osiyoda matematika, astranomiya va boshqa tabiiy fanlar
rivojlana boshladi. Bu yerda Al-Xorazmiydek buyuk alloma dunyoga keldi.
Hisoblash matematikasining mutaxassisi ingliz matematigi Edward But o`zini
soblash metodlarini sistemaga solganligi
uchun birinchi arab matematigi Muhammad Ibn Muso Al
deb yozgan edi.
Al-
sistemasini va bu sistemada to`rtta arifmetik amallarni bajarish qoidalarini birinchi bo`lib
bayon qilgan. Bu risola XII asrda lotin tiliga tarjima qilingan va u Osiyoda ham,
Yevropada ham o`nlik sanoq sistemasini qo`llanishiga va tarqalishiga poydevor bo`lgan.
Yevropada bunday qoidalar Al-Xora
aylangan.
qo`llaniladigan barcha amallar sistemasining muayyan tartibda bajarilishi haqidagi aniq
qoidaga aytiladi.
Al-
-
risolasida birinchi marta algebra mateatikaning mustaqil bo`limi sifatida qaraladi. Unda
algebraik miqdorlar ustida amallar bajarish qoidalari, 1- va 2-darajali algebraik
tenglamalarni yechish usullari va bunday tenglamalarga keladigan hayotiy masalalar
-
bilan jahonga tarqalgan(shuning uchun bo`lsa kerak o`rta asrlarda
Yevropa davlatlarida singan qo`l-oyoqni tiklaydigan tabibni algebrist deb atashgan).
Xorazmiyning bizgacha yetib kelgan ilmiy merosi, shu davrda Yaqin va O`rta
Sharqda xalqaro til vazifasini bajargan arab tilida yozilgan. Shuning uchun ham Yaqin va
O`rta Sharqdagi olimlarni Yevropada arab olimlari deb bilishgan.
P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
295
Ingliz matematigi Edward But Al-Xorazmiyni arab matematigi va Yevropada hind
raqamlari 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 larni arab raqamlari deyishga ham sabab shu.
Aytilganlardan tashqari, Al-Xorazmiy
qiymatni aniqladi, matematik
jadvallar tuzishda faol qatnashdi.
Abul Vafo Al-Bo`zjoniy 960-yilda sinuslar jadvalini hisoblash metodini ishlab
chiqdi, sin(1/2)
o
ning qiymatini to`qqizta ishonch raqam bilan berdi. Bundan tashqari, u
tg funksiyasidan foydalandi va uning qiymatlari jadvalini tuzdi.
XV asrda Amir Temur saltanatning markazi
Samarqandda ilm-fan, madaniyat
yuqori darajada rivojlandi. Shu paytda Ulug`bekning madrasayu rasadxonasi barpo etildi.
Bu yerda Ulug`bek bilan bir qatorda Ulug`bekning ustozi-zamonasining mashhur
matematigi va astronomi Qozizoda Rumiy hamda G`iyosiddin Jamshid Koshiy, Mansur
Koshiy, Muxammmad Birjondiy va Ulug`bekning shogirdi Ali Kushchilar madrasada
daryo berib, rasadxonada yulduzlarni kuzatish va ilmiy izlanishlar olib borishgan. Ayrim
tadqiqotchilar Ulug`bek madrasasi bilan rasadxonasini birgalikda Ulug`bek akademiyasi
deyishsa, avstriyalik matematika tarixchisi X.Zemanek buni Hisoblash markazi (XM)
deydi. U aytadiki, XM bo`lishi uchun ikkita shart: 1)olimlarning jamoa bo`lib birgalikda
ishlashlari va 2)hisoblashning yuqori darajadagi aniqlikda olib borilishi zarur. Bu yerda
har ikkala shart bajariladi. Shunday qilib, jahonda birinchi Hisoblash markazi(XM).
Ulug`bek rahbarligida Samarqandda barpo etildi. Bu XMda qilingan ishlar to`g`risida
qisqacha to`xtatib o`tamiz:
1. Riyosiddin Koshiy o`nli kasrlar arifmetikasini yaratdi.
2. ax
3
+ bx + s = 0 ko`rinishidagi uchinchi darajali algebraik tenglamani yechishning
iteratsion usuli ishlab chiqildi.
3. Trigonometrik funksiyalar jadvali 17 xona aniqlikda tuzildi.
4. G`iyosiddin Koshiy
so
XVI-XVII asrlarda Yevropada matematika, mexanika, astronomiya rivojlana
boshladi va XIX asrga kelib hozirgi zamon matematikasining asosi yaratildi. Matematika
bilan bir paytda hisoblash matematikasi ham rivojlandi.
Hisoblash matematikasining tarixida logarifmik jadvallarining tuzilishi katta
ahamiyatga ega edi. Ingliz matematigi U.Neper (1614, 1619), Shveytsariyalik I.Byurgi
(1620), Ingliz Bridge (1617), Gollandiyalik Vlakk (1628) va boshqalar tomonidan
yaratilgan logarifmik jadvallar buyuk fransuz matematigi va mexanigi P.S.Laplasning
Laplas hozirgi zamon kompyuterlarining ishlashini ko`rganda nima der ekan?
1845-yilda Adams va 1846-
sayyorasining mavjudligi va fazodagi o`rnini oldindan aytishlari hisoblash
deyishadi.
P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
296
Shuning uchun ham o`tgan zamonning buyuk matematiklari o`z tadqiqotlarida tabiat
jarayonlarini o`rganish, ularning modelllarini tuzish, modellarni tadqiq etish ishlarini
birga qo`shib olib borishgan. Ular bu modelllarni tekshirish uchun maxsus hisoblash
metodlarini yaratishgan. Bu metodlarning ayrimlari Nyuton, Eyler, Lobachevskiy, Gauss,
Chebishev, Ermit nomlari bilan bog`liqdir. Bu shundan dalolat beradiki, hisoblash
metodlarini yaratish bilan o`z zamonasining buyuk matematiklari shug`ullangan.
Shuni ham aytish kerakki, limitlar nazariyasi yaratilgandan so`ng matematiklarning
asosiy diqqat-
metod qo`l
o`rganishga qaratilgan edi. Natijada, matematikaning juda muhim va ayni paytda
ko`pincha qiyinchilik tug`diradigan sohasi: matematik tadqiqotlarni so`nggi sonli
natijalargacha
soha esa matematikaning tatbiqlari uchun zarurdir.
Hisoblash matematikasining predmeti
17
Matematikaning hozirgi zamon fan va texnikasining xilma-xil sohalaridagi
tatbiqlaridan, odatda, shunday tipik matematik masalalarga duch kelinadiki, ularni klassik
metodlar bilan yechish mumkin emas yoki yechish mumkin bo`lgan taqdirda ham yechim
shunday murakkab ko`rinishda bo`ladiki, undan samarali foydalanishning iloji bo`lmaydi.
Bunday tipik matematik masalalarga algebra (odatda, tartibi juda katta bo`lgan chiziqli
algebraik tenglamalar sistemasini yechish, matritsalarning teskarisini topish,
matritsalarning xos sonlarini topish, algebraik va trantsendent tenglamalar hamda bunday
tenglamalar sistemasini yechish) matematik analiz (sonli integrallash va differentsiallash,
funksiyani yaqinlashtirish masalalari) hamda oddiy va xususiy hosilaviy differensial
tenglamalarni yechish masalalari va boshqalar kiradi.
Fan va texnikaning jadal ravishda rivojlanishi atom yadrosidan foydalanish,
uchuvchi apparatlar (samolyot, raketa) ni loyihalash, kosmik uchish dinamikasi,
boshqariladigan termoyadro sintezi muammosi munosabati bilan plazma fizikasini
o`rganish va shunga o`xshash ko`p masalalarni yechishni taqozo qilmoqda. Bunday
masalalar, o`z navbatida matematiklar oldiga yangidan-yangi hisoblash metodlarini
yaratish vazifasini qo`yadi. Ikkinchi tomondan, fan va texnika yutuqlari matematiklar
ixtiyoriga kuchli hisoblash vositalarini bermoqda. Buning natijasida esa mavjud
metodlarni yangi mashinalarda qo`llash uchun qaytatdan ko`rib chiqish ehtiyoji
tug`ilmoqda.
Matematikada tipik matematik masalalarning yechimlarini yetarlicha aniqlikda
hisoblash imkonini beruvchi metodlar yaratishga vas hu maqsadda hozirgi zamon
1.
- qism, 2003, 2-qism, 2008.
P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
297
hisoblash vositalaridan foydalanish yo`llarini ishlab chiqishga bag`ishlangan soha
Hisoblash matematikasi
deyiladi.
Hisoblash matematikasining metodi
Hisoblash matematikasida uchraydigan ko`p masalalarni
shaklida yozish
mumkin, bu yerda
berilgan R
1
va R
2
funksional fazolarining elementlari bo`lib, A
operator yoki xususiy holda funksionaldir. Agar A operator va x element haqida
ni topish lozim bo`lsa, bunday masala
to`g`ri masala
deyiladi. Aksincha,
va
bunday masala
teskari masala
deyiladi. Odatda, teskari masalani yechish ancha
murakkabdir. Bu masalalar har doim ham aniq yechilavermaydi. Bunday hollarda
hisoblash matematikasiga murojaat qilinadi.
bilan kerakli sonli qiymat olish uchun juda ko`p hisoblashlar talab qilinadi. Shuning uchun
ham hisoblash matematikasi zimmasiga konkret masalalarni yechish uchun oqilona va
tejamkor metodlar ishlab chiqishi yuklanadi (masalan, chiziqli algebraik tenglamalar
sistemasini yechishda Kramer formulalariga nisbatan Gauss metodi ancha tejamkor
metoddir). Hisoblash matematikasida yuqoridagi masalalarni hal qilishning asosiy
mohiyati R
1
va R
2
fazolarni va A operatorini hisoblash uchun qulay bo`lgan mos ravishda
boshqa
fazolar va
R
1
va
R
2
operatorni almashtirish
kifoyadir. Bu almashtirishlar shunday bajarilishi kerakki, natijada hosil bo`lgan yangi
(
,
va bu yechi
Bunga misol sifatida shuni ko`rsatish mumkinki, odatda matematik fizika
tenglamalari u yoki bu strukturaga ega bo`lgan algebraik tenglamalar sistemasiga keltirilib
yechiladi.
Demak, hisoblash matematikasi oldidagi asosiy masala funksional fazolarda
to`plamlarni va ularda aniqlangan operatorlar (funksionallar) ni yaqinlashtirish hamda
hozirgi zamon hisoblash mashinalari qo`llaniladigan sharoitda masalalarni yechish uchun
oqilona va tejamkor algoritm va metodlar ishlab chiqishdan iboratdir.
Hozirgi zamon hisoblash mashinalari va sonli metodlar nazariyasi, ularning
Konkret matematik masalani u yoki bu hisoblash metodi bilan yechish uchun
hisoblovchi ixtiyorida bo`lgan his
kerak. Hozirgi zamon hisoblash mashinalari informatsiyani tasvirlash usuliga va ishlash
printsipiga ko`ra ikki sinfga bo`linadi:
1.
Analogli yoki modellovchi hisoblash mashinalari.
Bu mashinalarda informatsiya
uzluksiz ravishda o`zgaradigan fizik miqdorlar (chiziqning uzunligi, valning aylanish
P
mavzusidagi Respublika ilmiy-amaliy anjuman materiallari. Namangan 2025-yil.
298
burchagi, elektr tokening quvvati, kuchlanishi va h.k) yordamida tasvirlanadi. Ular,
odatda biron fizik jarayon yordamida u yoki bu matematik masalani modellaydi. Bunday
mashinaga hozirgacha keng tarqalgan logarifmik lineyka misol bo`la oladi.
EHMda analogli mashinalardan planimetrlar, integraflar, garmonik va differensial
analizatorlar, elektro va gidro analizatorlar ishlatiladi. Analogli mashinalarning aniqligi
odatda katta bo`lmaydi va ular tor sinfdagi maxsus masalalarni yechish uchun
mo`ljallanadi.
2. Raqamli hisoblash mashinalari.
Bularda informatsiya biror fizik miqdorning diskret
qiymatlari yordamida tasvirlanadi va bu mashinalar biror sanoq sistemasi(ikkilik, uchlik,
o`nlik va x.k)da tasvirlangan sonlar ustida amallar bajaradi; hisob natijasi yana biror sanoq
sistemasida yoziladi. Hisobning aniqligi mashina so`zi razryadlarining miqdorlariga
bog`liq. Tarixda birinchi raqamli hisoblash vositasi oddiy cho`tdir.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
- qism, 2003, 2-qism,
2008.
2.
Aloev R.D., Xudoyberganov M.U. Hisoblash usullari kursidan laboratoriya
3.
G
-
Toshkent 2014.
4.
2022 yil.
