Acumen:
International Journal of
Multidisciplinary Research
ISSN: 3060-4745
IF(Impact Factor)10.41 / 2024
Volume 2, Issue 7
26
Acumen: International Journal of Multidisciplinary Research
MATEMATIKA KURSIDAGI TENGLAMA TURLARI VA ULARNI
YECHISH METODIKASI
Djurayeva Dilnoza Shakirjonovna
Termiz Davlat universiteti “Algebra va geometriya ” kafedrasi o’qituvchisi
Qo’ldosheva Dilnoza Shunqorbek qizi
Termiz Davlat universiteti Matematika ta’lim yo’nalishi 2-kurs talabasi
Annotatsiya
:Maqolada tenglama va tenglamaning ildizlari o’rganiladi
Tayanch so’z va yangi tushunchalar:
Tenglama ,tenglamaning ildizi
,parametrlar,no’malum kattaliklar,teng kuchli tenglamalar,shakl almashtirish,chet
ildiz,ildizni yo’qotish,proporsiya.
Аннотация:
В статье изучается уравнение и корни уравнения
Ключевые слова и понятия:
Уравнение, корень уравнения, параметры,
неизвестные величины, эквивалентные уравнения, преобразование, посторонний
корень, исключение корня, пропорция
.
Annotatsion:
The article studies the equation and the roots of the equation.
Key words and concepts:
Equation, root of equation, parameters, unknown
quantities, equivalent equations, transformation, extraneous root, elimination of root,
proportion.
Kirish:
Muhokamani tushuntirishdan oldin , tenglama va tenglamaning ildizlari , uning
tarixi haqida qisqacha to’xtalib o’tishdan oldin mamlakatimizdagi ilmiy rivojlanish
haqida biroz ma’lumot berib o’tsam.
Yurtimizda ilmiy rivojlanish so'nggi yillarda jiddiy sur'atlar bilan amalga oshirilmoqda.
Hukumat ilm-fan va texnologiyalarni rivojlantirishga katta e'tibor qaratib, ilmiy
tadqiqotlarni rivojlantirish uchun yangi tashabbuslar va dasturlarni amalga
oshirmoqda.
Acumen:
International Journal of
Multidisciplinary Research
ISSN: 3060-4745
IF(Impact Factor)10.41 / 2024
Volume 2, Issue 7
27
Acumen: International Journal of Multidisciplinary Research
Birinchidan, O'zbekistonda ilmiy tadqiqotlar va innovatsiyalarga davlat tomonidan
qo'llab-quvvatlash kuchaygan. Yangi ilmiy institutlar va tadqiqot markazlari tashkil
etilib, ularning faoliyati modernizatsiya qilinmoqda. Shuningdek, oliy ta'lim
muassasalarida ilmiy izlanishlar darajasini oshirishga qaratilgan dasturlar amalga
oshirilmoqda.
Ikkinchidan, xalqaro hamkorlik mustahkamlanmoqda. O'zbekiston ilmiy jamoatchiligi
xalqaro ilmiy konferensiyalar, simpoziumlar va loyihalarda faol ishtirok etmoqda. Bu
tajriba almashinuvi va yangi texnologiyalarni o'rganishga imkon yaratayotir
Uchinchidan, ilmiy tadqiqotlar natijalari iqtisodiyot, qishloq xo'jaligi, tibbiyot va
boshqa sohalarda qo'llanilmoqda. Innovatsion yechimlar va yangi texnologiyalar ishlab
chiqish, iqtisodiy o'sishni qo'llab-quvvatlash uchun muhimdir.
Shuningdek, yoshlarni ilmiy faoliyatga jalb etish borasida ham ko'plab tashabbuslar
amalga oshirilmoqda. Talabalarga ilmiy tadqiqotlar o'tkazish, grantlar yoki
stipendiyalar asosida qo'llab-quvvatlash orqali ularning ilmiy salohiyatini oshirish
maqsad qilinmoqda.
Tenglamalar va uning tarixi
Tenglama – bu o'zgaruvchilar va parametrlarni o'z ichiga olgan algebraik
ifodalarni tenglik belgisida bog'laydigan matematik ibora. Tenglamalar
muammolarni modellash va yechish uchun zarur vositadir.
Tenglama tushunchasi qadimiy Misr va Mesopotamiya matematiklarining
ishlarida uchraydi. Qadimiy matematiklar oddiy tenglamalarni yechishda
geometrik usullarni qo'llaganlar.
Grek matematiklari, masalan, Eudoks va Diophantus tenglamalar nazariyasiga
katta hissa qo'shganlar. Diophantus "Arithmetica" asarida birinchi bo'lib
tenglamalarni tizimli ravishda o'rganishga harakat qilgan va "Diophantine
tenglamalari" tushunchasini kiritgan.
IX asrda al-Khwarizmi algebra va tenglamalar nazariyasini rivojlantirishda
muhim rol o'ynadi. Uning "Al-Kitab al-Mukhatalabat" asari algebra fani va
tenglamalar yechimini kafolatlaydi.
Acumen:
International Journal of
Multidisciplinary Research
ISSN: 3060-4745
IF(Impact Factor)10.41 / 2024
Volume 2, Issue 7
28
Acumen: International Journal of Multidisciplinary Research
XV asrdan boshlab, Yevropada algebra va tenglamalar nazariyasi rivojlanishda
davom etdi. Matematiklar, masalan, Descartes va Fermat, yangi yondashuvlar va
metodlarni taklif qildilar, bu esa tenglamalarning yechimlarini sifat jihatidan
yaxshiladi.
Maqsad:
Tenglama va tenglamaning ildizlari (yechimlar)ga doir misollar ishlash
- Ular ma'lumotlar o'zgarishlariga nisbatan barqaror va izchil amal qilish
jarayonlarini ta'minlaydi.
Izlanish ob’yekti:
O’qituvchilar va o’quvchilar ,talabalar o’rtasida tenglama va
tenglamalar yechimlari haqida batafsil bilim va ko’nikmalarga ega bo’lish va uni
amaliyotda qo’llash.
Ikkita algebraik ifodani bir-biriga tenglaylik. Bu ifodalarda sonlar va harf bilan
belgilanadigan kattaliklar qatnashadi. Ba'zi harfiy kattaliklarning qiymatlari oldindan
ma'lum bo‘lsa, boshqa kattaliklarning qiymati oldindan berilmagan bo‘ladi.
Matematikada birinchi tur kattaliklar parametrlar deb, ikkinchilari esa noma'lum
kattaliklar deyiladi.
Ta'rif: Noma'lum kattaliklar qatnashgan tenglik tenglama deb ataladi. Agar tenglamada
bittagina noma'lum kattalik qatnashsa, tenglama bir noma'lumli, ikkita noma'lum
qatnashsa, ikki noma'lumli va hokazo tenglama deb ataladi. Odatda, parametrlar
alifboning boshida, noma'lumlar esa oxiridagi harflar bilan belgilanadi: a, b, c, d, m, n,
p, q parametrlar bo'lsa, t, x, y, z noma'lumlar bo'ladi.
Ta'rif: Noma'lumlarning tenglamada qatnashgan ifodalari ma'noga ega bo'lgan
qiymatlari to'plamiga tenglamaning aniqlanish sohasi deb ataladi.
Ta'rif: Tenglamaning ildizi (yechimi) deb noma'lumning tenglamani to'g'ri tenglikka
aylantiradigan qiymatiga aytiladi.
Ta'rif: Tenglamani yechish deb uning barcha ildizlarini topishga yoki ildizlari mavjud
emasligini aniqlashga aytiladi.
x + 1 = 3 tenglamaning bittagina x = 2 ildizi bor, x² + 2 = 0 tenglamaning ildizi yo'q,
ya'ni bu tenglamaning ildizlari to'plami bo'sh to'plam, chunki x² + 2 > 0.
Ta'rif: Agar berilgan ikki tenglamaning ildizlari to'plami bir xil bo'lsa, u holda ular teng
kuchli tenglamalar deb ataladi.
Acumen:
International Journal of
Multidisciplinary Research
ISSN: 3060-4745
IF(Impact Factor)10.41 / 2024
Volume 2, Issue 7
29
Acumen: International Journal of Multidisciplinary Research
Masalan, x + 1 = 3 va 2x = 4 tenglamalar teng kuchli, lekin ular (x - 2)(x - 1) = 0
tenglamaga teng kuchli emas. Birinchi ikki tenglama yagona, x = 2 echimga ega, oxirgi
tenglamaning esa ikkita x₁ = 1 va x₂ = 2 ildizlari bor.
Tenglamalarni yechishda turli shakl almashtirishlar bajariladi. Bunda teng kuchli
tenglamaga kelish mumkin, lekin teng kuchli tenglamaga olib kelmaydigan shakl
almashtirishlar ham mavjud.
Masalan, x = 2 tenglamaning ikkala tomonining x - 1 ko'paytirilsa, natijada x(x - 1) =
2(x - 1) tenglama kelamiz. Uning esa ikkita, x = 2 va x = 1 ildizlari bor. Aksincha, agar
x(x - 1) = 2(x - 1) tenglamaning ikkala tomonini x - 1 ga bo'lib yuborsak, u holda x =
2 ko'rinishdagi teng kuchli bo'lmagan tenglama kelamiz.
Birinchi shakl almashtirishda tenglamaning ildizlari soni oshgan bo'lsa, ikkinchi shakl
almashtirishda ildizlar soni kamayadi. Birinchi holatda chet ildiz paydo bo'ldi deb
aytiladi. Ikkinchi holatda ildiz yo'qotilgan hisoblanadi.
Tenglamani yeatayotganda faqat teng kuchli shakl almashtirishlarni bajarish kerakki,
natijada chet ildiz paydo bo'lmasin va ildiz yo'qotilmasin. Buning uchun quyidagi sonli
tengliklarning xossalaridan foydalanamiz:
1) Agar sonli tenglikning ikkala tomoniga bir xil son qo'shilsa yoki ayirilsa, tenglik
saqlanib qoladi, masalan, A = B ekanda A + C = B + C.
2) Agar sonli tenglikning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan son bilan ko'paytirilsa
yoki bo'linmasa, u holda tenglik saqlanib qoladi, masalan, A = B va C ≠ 0 bo'lsa, AC =
BC.
Bu xossalarni tenglamalar uchun qaytadan yozib chiqamiz:
1) Tenglamaning ikkala tomoniga bir xil son yoki aniqlanish sohasi berilgan
tenglamaning aniqlanish sohasi kichik bo'lmagan ifoda qo'shilsa yoki ayirilsa, natijada
teng kuchli tenglama hosil bo'ladi.
2) Tenglamaning ikkala tomonini nolga farqli son yoki tenglamaning aniqlanish sohasi
bo'yicha nolga aylanmaydigan ifodaga ko'paytirsa yoki bo'lsa, u holda teng kuchli
tenglama hosil bo'ladi.
Bu xossalardan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:
1) Tenglamada siz kiritgan qo'shiluvchi ifodani tenglik belgisining boshqa tomoniga
ishorasini o'zgartirib o'tkazish mumkin.
Acumen:
International Journal of
Multidisciplinary Research
ISSN: 3060-4745
IF(Impact Factor)10.41 / 2024
Volume 2, Issue 7
30
Acumen: International Journal of Multidisciplinary Research
2) Tenglamaning ikkala tomonini tenglamaning aniqlanish sohasi bo'yicha nolga
aylanmaydigan ko'paytuvchiga qisqartirish mumkin.
3) Agar A₁B₂ = A₂B₁ bo'lsa, u holda berilgan tenglama va A₁B₂ = A₂B₁ teng kuchli
tenglamalar bo'ladi.
Xulosa.
Maqolamizda matematikadagi tenglama turlari va ularni yechish metodikasiga
e'tibor qaratdik. Tenglamalar, ikki algebraik ifodani tenglik belgisida bog'lagan holda,
noma'lum va parametrli kattaliklarni o'z ichiga oladi. Ularning ildizlari (yechimlari)
tenglamani to'g'ri tenglikka aylantiradigan qiymatlar sifatida aniqlanadi.
Ushbu xulosalar orqali, tenglamalarni yechish jarayonida turli shakl almashtirishlarni
amalga oshirish mumkinligini ko'rdik. Biroq, faqat teng kuchli shakl almashtirishlar
o'z ichiga olinishi kerak, aks holda chet ildizlar paydo bo'lishi yoki asli mavjud ildizlar
yo'qotilishi mumkin.
Tenglamalar yechimi algebraik operatsiyalarga asoslangan bo'lib, parametrlar va
noma'lumlar o'rtasida bog'lanish o'rnatadi. Ular orqali zamonaviy matematik tahlil va
amaliy yechimlarni yaratish imkoniyati paydo bo'ladi.
Shuning uchun tenglamalar nazariyasi va uning metodlari nafaqat matematikada, balki
kundalik hayotimizda ham keng qo'llaniladi. Bu bilimlar, muammolarni hal etishda va
yangi fikrlar yaratishda muhim ahamiyatga ega. Matematikadan zamonaviy
rivojlanishlar va ko'plab ilmiy tadqiqotlar uchun asos bo'lib xizmat qiladi.
Adabiyotlar ro‘yxati:
1. Jumaniyazov. I. (2006). "Matematika: O'quv qo'llanma". O'zbekiston Respublikasi
Ta'lim vazirligi.
2. Stewart.J. (2015). "Calculus: Early Transcendentals". Cengage Learning.
3. "Yangi O'zbekistonni barpo etishda ilm-fan va innovatsiyalarning roli".Shavkat
Mirziyoyev. (2020). Toshkent: O'zbekiston Respublikasi Prezidentining nashriyoti.
4. Abdullayev. A. (2010). "Matematika: Diferensial hisob". Fan va texnologiyalar.
5. "O'zbekistonni 2030 yilgacha rivojlantirishning strategik yo'nalishlari".Shavkat
Mirziyoyev. 2017.Toshkent: O'zbekiston Respublikasi Prezidentining nashriyoti.
6. "Yangi O'zbekistonni barpo etishda ilm-fan va innovatsiyalarning roli".Shavkat
Acumen:
International Journal of
Multidisciplinary Research
ISSN: 3060-4745
IF(Impact Factor)10.41 / 2024
Volume 2, Issue 7
31
Acumen: International Journal of Multidisciplinary Research
Mirziyoyev. (2020). Toshkent: O'zbekiston Respublikasi Prezidentining nashriyoti.
7.
Thomas.G. B, Weir.M. D, Hass. J. (2013). "Thomas' Calculus". Pearson..
8.
’’Yangi O‘zbekiston: zamonaviy jamiyatni qurishda ilm-fanning o‘rni’’-
Mirziyoyev, Sh.Tashkent, 2021.
9.
’’ O‘zbekistonning ilmiy-texnologik rivojlanishi va raqamli jamiyat’’- Shavkat
Mirziyoyev Tashkent, 2023.
10.
Karimov.K. (2015). "Matematik analiz asoslari." O'zbekiston Milliy Universiteti.
