ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ ҲУЗУРИДАГИ ФАН
ДОКТОРИ ИЛМИЙ ДАРАЖАСИНИ БЕРУВЧИ 16.07.2013.FM.01.01
РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ
ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ ҚОШИДАГИ
МАТЕМАТИКА ИНСТИТУТИ
ХУДОЙБЕРДИЕВ АБРОР ХАКИМОВИЧ
ЧЕКЛИ ЎЛЧАМЛИ КОМПЛЕКС ЛЕЙБНИЦ АЛГЕБРАЛАРИНИНГ
СТРУКТУРАВИЙ НАЗАРИЯСИ ВА НИЛПОТЕНТ ЛЕЙБНИЦ
СУПЕРАЛГЕБРАЛАРИНИНГ ТАСНИФИ
01.01.06 – Алгебра
(физика-математика фанлари)
ДОКТОРЛИК ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ
Тошкент – 2016
2
УДК: 512.554.38
Докторлик диссертацияси автореферати мундарижаси
Оглавление автореферата докторской диссертации
Content of the abstract of the doctoral dissertation
Худойбердиев Аброр Хакимович
Чекли ўлчамли комплекс Лейбниц алгебраларининг структуравий
назарияси ва нилпотент Лейбниц супералгебраларининг таснифи …...
3
Худойбердиев Аброр Хакимович
Структурная теория конечномерных комплексных алгебр Лейбница и
классификация нильпотентных супералгебр Лейбница............................
27
Khudoyberdiev Abror Khakimovich
Structural theory of finite dimensional complex Leibniz algebras and
classification of nilpotent Leibniz suberalgebras ……………………………
51
Эълон қилинган ишлар рўйхати
Список опубликованных работ
List of published works…………………………………………………..
72
3
ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ ҲУЗУРИДАГИ ФАН
ДОКТОРИ ИЛМИЙ ДАРАЖАСИНИ БЕРУВЧИ 16.07.2013.FM.01.01
РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ
ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ ҚОШИДАГИ
МАТЕМАТИКА ИНСТИТУТИ
ХУДОЙБЕРДИЕВ АБРОР ХАКИМОВИЧ
ЧЕКЛИ ЎЛЧАМЛИ КОМПЛЕКС ЛЕЙБНИЦ АЛГЕБРАЛАРИНИНГ
СТРУКТУРАВИЙ НАЗАРИЯСИ ВА НИЛПОТЕНТ ЛЕЙБНИЦ
СУПЕРАЛГЕБРАЛАРИНИНГ ТАСНИФИ
01.01.06 – Алгебра
(физика-математика фанлари)
ДОКТОРЛИК ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ
Тошкент – 2016
4
Докторлик диссертацияси мавзуси Ўзбекистон Республикаси Вазирлар Маҳкамаси
ҳузуридаги Олий аттестация комиссиясида № 30.09.2014/B2014.3-4.FM22 рақам билан
рўйхатга олинган.
Докторлик диссертацияси Ўзбекистон Миллий университети қошидаги Математика
институтида бажарилган.
Диссертация автореферати уч тилда (ўзбек, рус, инглиз) Илмий кенгаш веб-саҳифаси
(http://ik-fizmat.nuu.uz/)
ва
«ZIYONET»
таълим
ахборот
тармоғида
(www.ziyonet.uz)
жойлаштирилган.
Илмий маслаҳатчи:
Аюпов Шавкат Абдуллаевич
физика-математика фанлари доктори, профессор,
академик
Расмий оппонентлар:
Хаджиев Джавват
физика-математика фанлари доктори, профессор,
академик
Кудайбергенов Каримберган Кадирбергенович
физика-математика фанлари доктори
Аллаков Исмаил
физика-математика фанлари доктори, доцент
Етакчи ташкилот:
Қозоғистон
Республикаси
Таълим
ва
фан
вазирлигининг
Математика
ва
математик
моделлаштириш институти
Диссертация ҳимояси Ўзбекистон Миллий университети ҳузуридаги 16.07.2013.FM.01.01
рақамли Илмий кенгашнинг
«24» марть 2016 йил соат 10
00
даги мажлисида бўлиб ўтади.
(Манзил: 100174, Тошкент ш., Олмазор тумани, Университет кўчаси, 4-уй. Тел.: (99871) 227-12-24,
факс: (99871) 246-53-21, 246-02-24, e-mail: nauka@nu.uz)
Докторлик диссертацияси билан Ўзбекистон Миллий университетининг Ахборот-ресурс
марказида танишиш мумкин (
М 14912
рақам билан рўйхатга олинган). (Манзил: 100174, Тошкент
ш., Олмазор тумани, Университет кўчаси, 4-уй. Тел.: (99871) 246-02-24).
Диссертация автореферати 2016 йил
«19» феврал
куни тарқатилди.
(2016 йил
«19» февралдаги 2
рақамли реестр баённомаси).
А.А.Азамов
Фан доктори илмий даражасини берувчи Илмий
кенгаш раиси, ф.-м.ф.д., профессор
А.А.Абдушукуров
Фан доктори илмий даражасини берувчи Илмий
кенгаш илмий котиби, ф.-м.ф.д., профессор
У.А.Розиков
Фан доктори илмий даражасини берувчи Илмий
кенгаш ҳузуридаги илмий семинар раиси,
ф.-м.ф.д. профессор
5
Кириш (докторлик диссертацияси аннотацияси)
Диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати.
Алгебраик
воситалар квант назариясининг элементар зарралар, қаттиқ ва кристал
моддаларнинг хусусиятлари, популяцион биология масалалари, иқтисодий
масалаларнинг моделларини таҳлил қилишда муҳим ҳисобланади. Муайян
айният (яъни аксиома) билан аниқланган ассоциатив алгебралар синфининг
квадрат матрицаларни кўпайтиришга нисбатан ёпиқлиги маълум бўлгач,
алтернатив, Ли ва Йордан алгебралари назарияси вужудга келди ва
ривожлана бошлади. Бунда алгебраларнинг бу омилларини математиканинг
турли соҳалари билан хилма-хил алоқалари муўим омил бўлди. Лейбниц
алгебралари
Ли
алгебраларининг
умумлашмаси
ҳисобланиб,
Ли
алгебраларида ўринли бўладиган бир қанча хоссаларни Лейбниц алгебралари
учун ҳам давом эттириш мумкин. Ли алгебралари назариясидан маълум
бўлган теоремаларни Лейбниц алгебралари учун исботлаш билан бирга Ли
бўлмаган Лейбниц алгебраларининг хоссаларини топиш билан боғлиқ
тадқиқотлар ҳозирги кунда ноассоциатив алгебралар назариясининг устивор
йўналишларидан бири бўлиб келмоқда.
Ли алгебраларининг классик назариясидан маълумки, чекли ўлчамли Ли
алгебралари устида олиб бориладиган тадқиқотлар ечилувчан Ли
алгебраларини таснифлашга олиб келинади. Ўз навбатида Лейбниц
алгебралари ҳам ярим содда Ли алгебраси ва ечилувчан радикалнинг тўғри
йиғиндиси шаклида ифодаланади. Нилрадикали махсус типга эга бўлган
ечилувчан алгебралар турли хил физик моделлар билан боғлиқдир. Шунинг
учун Ли алгебралари назариясида бўлгани каби, нилрадикали берилган
чекли ўлчамли ечилувчан Лейбниц алгебраларни тасниф қилиш ҳам долзарб
муаммолардан ҳисобланади.
Нилпотент
алгебралар
ечилувчан
алгебраларнинг
қисм
синфи
ҳисобланиб, барча нилпотент алгебраларни тасниф қилиш масаласи ўта
мураккабдир. Шунинг учун, нилпотент алгебраларни қўшимча шартлар
асосида тасниф қилинади. Ҳусусан, уларни таснифлашда нилиндекси аниқ
бўлган алгебралар синфини ажратиб олиш асосий омиллардан бири бўлиб,
бундай синфларнинг дастлабкиси филиформ Лейбниц алгебраларидир.
Филиформ Лейбниц алгебралари нисбатан содда шартларга эга бўлишига
қарамасдан, етарлича мураккаб тузилишга эга ва уларни таснифлашда
градуировка
шартини
қўллаш
қулай
ҳисобланади.
Максимал
градуировканинг самарадорлиги шундаки, у алгебранинг кўпайтириш
жадвалидаги структуравий ўзгармаслар ҳақида аниқ маълумот беради.
Сиқиш, бузилиш ва деформация тушунчалари алгебрага физикадан
кириб келган бўлиб, ҳусусан Ли алгебрасини сиқиш, физик нуқтаи назардан,
бирор физик модел бошқасини инвариантлар группаси таъсирининг лимити
ёрдамида ҳосил қилинганлигини англатади. Ўз навбатида, деформация
берилган типдаги объектлар кўпҳиллигининг кичик атрофидаги локал
тузилишини характерлайди. Шунинг учун, Лейбниц алгебраларининг
деформациялари, геометрик хоссалари, структуравий назариялари ва
6
когомологиясини ўрганиш жуда муҳимдир. Берилган алгебраик кўпҳиллик
чекли сондаги келтирилмас компоненталарнинг бирлашмасидан иборат
бўлаганлиги, қаттиқ алгебралар орбиталарининг ёпилмаси эса келтирилмас
компонентани берганлиги сабабли, чекли ўлчамли алгебраларнинг геометрик
хоссаларини аниқлашда қаттиқ алгебраларни топиш алоҳида аҳамиятга эга.
Лейбниц алгебралари ва уларнинг когомологик хоссаларининг, Йордан
алгебралари, Ли алгебралари, ҳамда уларнинг умумлашмалари билан ўзаро
алоқадорлиги
диссертация
мавзуси
билан
боғлиқ
тадқиқотларнинг
заруратини ифодалайди.
Ли
алгебраларининг
яна
бир
умумлашмаси
ҳисобланган
Ли
супералгебралари
математик
физиканинг
суперсимметрия
хоссалари
ёрдамида аниқланган. Лейбниц супералгебралари нафақат Лейбниц
алгебраларининг, балки Ли супералгебраларининг ҳам умумлашмаси
ҳисобланиб, уларнинг хоссаларини аниқлашда табиий равишда Лейбниц
алгебралари
ва
Ли
супералгебралари
кўпҳиллигидаги
усуллардан
фойдаланилади. Лейбниц алгебрасидаги каби максимал нилиндексли ёки
нилиндекси ўлчамига тенг бўлган нилпотент Лейбниц супералгебраларини
таснифлаш чекли ўлчамли Лейбниц супералгебралари назариясининг муҳим
масалаларидан бири ҳисобланади.
Тадқиқотнинг республика фан ва технологиялари ривожланиши-
нинг
устувор
йўналишларига
боғлиқлиги.
Мазкур
диссертация
республика фан ва технологиялар ривожланишининг Ф4 «Математика,
механика ва информатика» устувор йўналишига мувофиқ бажарилган.
Диссертация мавзуси бўйича хорижий илмий-тадқиқотлар шарҳи.
Чекли ўлчамли Ли ва Лейбниц алгебраларини таснифлаш ва уларнинг
когомологик хусусиятларини аниқлаш бўйича етакчи мамлакатларнинг
илмий марказлари ва университетларида, жумладан, Institut de Recherche
Mathématique Avancée, Université de Haute Alsace, Institut de mathématiques de
Jussieu (Фрация); University of Seville, University of Santiago de Compostela,
Complutense University of Madrid (Испания); University of Dusseldorf, Institut
Computational Mathematics (Германия); University of Vienna (Австрия); Eötvös
Loránd University (Венгрия); University of San-Diego, University of Iowa,
University of Toledo (АҚШ); University of Sao Paulo (Бразилия); East China
Normal University (Хитой); University of Putra Malaysia (Малайзия); University
of Sydney (Австралия); Москва Давлат университети, С.Л.Соболев номидаги
Математика институти (Россия); Математика ва математик моделлаштириш
институтларида (Қозоғистон) кенг қамровли илмий-тадқиқотлар олиб
борилмоқда.
Чекли ўлчамли комплекс Ли алгебраларининг бир қанча синфларини
таснифлаш, нилпотент ва ечилувчан Лейбниц алгебраларини таснифини
олиш ва уларнинг орбиталари ёпилмаларини топиш юзасидан олиб борилган
илмий тадқиқотлар натижасида жаҳон миқёсида бир қанча долзарб масалалар
ечилган бўлиб, жумладан, қуйидаги илмий натижалар олинган: табиий
усулда градуирланган филиформ Ли алгебралари ва кичик ўлчамли
нилпотент Ли алгебралари таснифланган (Institut de Recherche Mathématique
7
Avancée, Université de Haute Alsace); 7 ўлчамли нилпотент Ли алгебралари
синфининг тўлиқ таснифи олинган (University of Toledo); уч ва тўрт ўлчамли
Ли алгебраларининг барча орбиталари ёпилмалари топилган (University of
Dusseldorf, Institut Computational Mathematics); нилрадикали табиий усулда
градуирланган филиформ Ли алгебрасидан иборат бўлган ечилувчан Ли
алгебраларининг таснифи олинган (Complutense University of Madrid); қаттиқ
Лейбниц алгебраларининг когомологик иккинчи группаси нолга тенг
эканлиги исботланган (Institut de mathématiques de Jussieu); табиий усулда
градуирланган 2-филиформ ва квази-филиформ Лейбниц алгебралари
таснифланган (University of Seville); ўлчами 10 дан кичик бўлган барча
филиформ Лейбниц алгебралари тавсифланган (University of Putra Malaysia);
ихтиёрий чекли ўлчамли Лейбниц алгебрасининг ярим содда Ли алгебраси ва
ечилувчан радикалнинг яримтўғри йиғиндиси шаклида ифодаланиши
исботланган (University of Sydney).
Нилрадикали маълум бўлган ечилувчан Лейбниц алгебраларини
таснифлаш,
кичик
ўлчамли
Лейбниц
алгебраларининг
орбиталари
ёпилмаларини топиш, Лейбниц алгебралари кўпҳиллигидаги қаттиқ
алгебраларни аниқлаш, Ли ва Лейбниц алгебралари деформацияларини
тавсифлаш, ҳамда уларнинг дифференциаллашлари ва инфинитезимал
деформацияларини таснифлаш каби устувор йўналишларда бугунги кунда
илмий тадқиқот ишлари амалга оширилмоқда.
Муаммонинг ўрганилганлик даражаси.
Ли алгебраларининг классик
назариясидан маълумки, ихтиёрий чекли ўлчамли Ли алгебраси яримсодда
қисм алгебра ва максимал ечилувчан идеалларнинг яримтўғри йиғиндиси
шаклида ифодаланади (Леви теоремаси). Яримсодда Ли алгебраси эса содда
алгебраларнинг тўғри йиғиндиси сифатида ёйилади. Леви теоремасининг
Лейбниц алгебралари учун аналоги эса 2011 йилда Д.Барнс томонидан
исботланган.
Н.Джекобсон томонидан, характеристикаси нол бўлган майдонда
берилган Ли алгебраси хосмас дифференциалга эга бўлса, унинг нилпотент
эканлиги исботланган. Бу масалага тескари бўлган Ли алгебрасининг
нилпотентлигидан унинг хосмас дифференциалга эга бўлиши хақидаги
масалага Ж.Дискмье ва В.Г.Листер томонидан жавоб топилиб, унда барча
дифференциали нилпотент (хусусан, хос) бўлган нилпотент Ли алгебрасига
мисол келтирилган. Кейинчалик барча дифференциаллашлари нилпотент
бўлган алгебралар характеристик нилпотент алгебралар деб аталиб, бундай
Ли алгебраларининг таснифларига Ю.Хакимджанов, Ф.Ж.Кастро-Хименез,
Х.Н.Валдес ва бошқа олимларнинг ишлари бағишланган.
Кичик ўлчамли нилпотент Ли алгебралари, ҳамда n-ўлчамли табиий
усулда градуирланган алгебралар Х.М.Кабезас, Э.Пастор, Х.Р.Гомез,
Х.М.Анкочеа-Бермудес, А.Хименез-Мершан, М.Гозе, Ю.Б.Хакимджанов,
Ж.Рейес ва бошқалар томонидан таснифланган. Лейбница алгебралари эса
Ш.А.Аюпов, Б.А.Омиров, И.С.Рахимов, И.М.Рихсибоев, Х.Р.Казас, М.Ладра,
Х.Р.Гомез, Л.М.Камачо ва А.Р.Гонсалеслар томонидан таснифланган.
Максимал узунликдаги градуировка Ю.Б.Хакимджанов томонидан тавсия
8
этилган бўлиб, Х.Р.Гомез, А.Хименез-Мершан, Ж.Рейесларнинг ишларида
максимал узунликдаги филиформ Ли алгебралари таснифланган. Максимал
узунликдаги филиформ ва квази-филиформ Лейбниц алгебраларининг
таснифи Ш.А.Аюпов, Б.А.Омиров, Х.Р.Гомез ва Л.М.Камачоларнинг
ишларида олинган.
А.И.Мальцев томонидан 1945 йилда, ечилувчан Ли алгебраларини
уларнинг
нилрадикаллари
орқали
аниқланиши
исботланган
бўлса,
кейинчалик 1963 йилда Г.М.Мубарякзянов ечилувчан Ли алгебраларини
уларнинг
нилрадикаллари
ва
нилрадикалнинг
чизиқли
нил-эркли
дифференциаллашлари ёрдамида таснифловчи яна бир усулни жорий қилди.
Ушбу усул ёрдамида Х.М.Анкочеа-Бермудес, Р.Кампамур-Струстберг,
В.Бойко, Ж.С.Ндогмо, П.Винтернитс, Л.Снобл ва Й.Вангларнинг ишларида
ечилувчан Ли алгебраларининг бир қанча синфлари таснифланган.
Б.А.Омиров,
И.А.Каримжанов,
Х.М.Гасаз,
М.Ладра,
Л.Боско,
Ж.Д.Думбарларнинг ишлари нилрадикали берилган ечилувчан Лейбниц
алгебраларини таснифлаш масалаларига бағишланган.
Ассоциатив ва Ли алгебралар учун деформациялар назарияси
М.Герстенхабер, ҳамда А.Нейенхейс, Р.В.Ричардсонлар томонидан ўтган
асрнинг 60-йилларида киритилган. Улар томонидан бир параметрли
деформациялар ўрганилган бўлиб, Ли алгебраларининг когомологияси ва
инфинитезимал деформациялари орасидаги боғланишлар ўрнатилган. Ли
алгебраларининг турли деформациялари А.Фиаловски, М.Пенкава, М.Гильд,
Д.В.Миллионщиковлар ва бошқалар томонидан ўрганилган бўлиб, уларнинг
бир қанча хоссалари исботланган. Ю.Б.Хакимджанов, Р.М.Наварроларнинг
ишларида эса филиформ Ли алгебралари ва супералгебраларининг
инфинитезимал деформациялари таснифланган. Лейбниц алгебраларининг
когомологик хоссалари ва деформациялари Ж.Л.Лоде, Т.Пирашвили,
Д.Балован, Ж.М.Лоддер ва А.Фиаловскийлар томонидан ўрганилган.
Ли супералгебраларининг асосий тушунчалари ва таснифий баёни
В.Кацнинг монографиясида келтирилган. Содда ва ярим содда Ли
супералгебралари Ф.А.Березин, В.Г.Кац ва Д.А.Лейтсларнинг ишларида
ўрганилган
бўлса,
нилпотент
Ли
супералгебралари
Х.Р.Гомез,
Ю.Б.Хакимжонов, Р.М.Наварро, М.Гильд ва бошқа олимларнинг бир қатор
ишларида қаралган. С.Альбеверио, Ш.А.Аюпов ва Б.А.Омировлар томонидан
Лейбниц супералгебрларининг максимал нилиндекси n+m+1 бўлиши
кўрсатилган, ҳамда бундай Лейбниц супералгебраларининг таснифи олинган.
Нилиндекси
супералгебранинг
ўлчамига
тенг
бўлган
Лейбниц
супералгебраларини тавсифлаш борасидаги дастлабки қадам Л.М.Камачо,
Х.Р.Гомез, Р.М.Наварро и Б.А.Омировларнинг ишида қўйилган бўлиб, унда
характеристик кетма-кетлиги (n | m–1, 1) га тенг бўлган n+m нилиндексли
Лейбниц супералгебраларининг таснифи келтирилган.
Диссертация мавзусининг диссертация бажарилаётган олий таълим
муассасасининг илмий-тадқиқот ишлари билан боғлиқлиги.
Диссертация
тадқиқоти Математика институтининг ФЁ4-ФА-Ф016 «Яримсодда Лейбниц
алгебралари ва уларнинг дифференциаллашлари» (2012-2013 йй.), ЁФ4-ОТ-
9
0-20581 «Ечилувчан Лейбниц алгебраларининг чизиқли давом эттирилувчи
ва инфинитезимал деформациялари»
(2014-2015 йй.), Ф4-ФА-Ф013
«Ноассоциатив ва операторлар алгебралари, динамик системалар, ҳамда
уларнинг статистик физика ва популяцион биологияга тадбиқлари» (2012-
2016 йй.), Ўзбекистон Миллий университетининг Ф-4-09 «Ноассоциатив
алгебраларнинг структуравий назарияси, Банах модуллари ва дискрет
динамик системалар» (2012-2016 йй.) мавзусидаги тадқиқотлар таркибий
қисмига киритилган.
Тадқиқотнинг мақсади
чекли ўлчамли комплекс Лейбниц алгебралари
ва уларнинг дифференциаллашларини тавсиф қилиш, ноассоциатив
алгебраларнинг деформация ва бузилиш назарияларини ривожлантириш,
ҳамда нилпотент Лейбниц супералгебраларини таснифлашдан иборат.
Тадқиқотнинг
вазифалари
қуйидагилардан иборат:
чекли ўлчамли Лейбниц алгебраларининг нилпотентлик хоссаларини
топиш;
яримсодда Лейбниц алгебраларининг хоссаларини аниқлаш ва содда
алгебраларнинг тўғри йиғиндиси шаклида ифодаланмайдиган ярим содда
Лейбниц алгебралари мавжудлигини кўрсатиш;
характеристик нилпотент бўлмаган филиформ, ҳамда n–1 га тенг бўлган
n-ўлчамли комплекс филиформ Лейбниц алгебраларини таснифлаш;
кичик ўлчамли ечилувчан Лейбниц алгебраларини ва нилрадикали нол-
филиформ Лейбниц алгебраларининг тўғри йиғиндисидан иборат бўлган
ечилувчан Лейбниц алгебраларини таснифлаш;
берилган алгебралар кўпхиллигидаги қуйи сатҳдаги алгебраларни
аниқлаш;
нол-филиформ ва филиформ Лейбниц алгебраларининг когомологик
группаларини топиш;
тоқ ва жуфт қисмларининг ўлчамлари мос равишда n ва m га,
нилиндекси эса n+m га тенг бўлган нилпотент Лейбниц супералгебраларини
таснифлаш.
Тадқиқотнинг объекти
нилпотент, ечилувчан, яримсодда Лейбниц
алгебралари,
дифференциаллашлар,
деформациялар,
сиқилишлар,
когомологик группалар, нилпотент Лейбниц супералгебраларидан иборат.
Тадқиқотнинг
предмети
градуирланган
филиформ
Лейбниц
алгебралари, характеристик нилпотент, тўрт ва беш ўлчамли Лейбниц
алгебралари, нол-филиформ ва филиформ Лейбниц алгебраларининг
дифференциаллашлари ҳамда деформациялари, максимал нилиндексли
нилпотент Лейбниц супералгебраларидан иборат.
Тадқиқотнинг усуллари.
Диссертацияда чекли ўлчамли алгебраларни
таснифлашнинг
умумий
усулларидан,
градуировка
усулларидан,
структуравий ўзгармаслар усулларидан, деформациялар, бузилишларлар ва
инвариантлар назарияси усулларидан фойдаланилган.
Тадқиқотнинг илмий янгилиги
қуйидагилардан иборат:
хосмас Лейбниц дифференциаллашлар ёрдамида чекли ўлчамли
нилпотент Лейбниц алгебраларининг хусусиятлари аниқланган;
10
характеристик нилпотент бўлмаган филиформ Лейбниц алгебралар,
ҳамда узунлиги n–1 га тенг бўлган n-ўлчамли комплекс филиформ Лейбниц
алгебралари таснифланган;
яримсодда Ли алгебраларини содда идеалларнинг тўғри йиғиндиси
шаклида ифодалаш мумкинлиги Лейбниц алгебралари учун ўринли
бўлмаслиги кўрсатилган;
тўрт ўлчамли комплекс Лейбниц алгебралари ва нилрадикали уч
ўлчамли бўлган беш ўлчамли Лейбниц алгебралари таснифланган;
нилрадикали
нол-филиформ
Лейбниц
алгебраларининг
тўғри
йиғиндисидан иборат бўлган ечилувчан Лейбниц алгебралари таснифланган;
биринчи сатҳдаги барча алгебралар, ҳамда ассоциатив, Йордан и Ли
алгебралари
кўпҳиллигида
иккинчи
сатҳда
жойлашган
алгебралар
аниқланган;
нол-филиформ
Лейбниц
алгебраларининг
когомологик
иккинчи
группалари тавсифланган ва табиий усулда градуирланган филиформ
Лейбниц алгебраларининг инфинитезимал деформациялари топилган;
нилиндекси n+m га тенг бўлган барча Лейбниц супералгебралари
тавсифланиб, нол-филиформ ва филиформ Лейбниц супералгебраларидан,
ҳамда
характеристик
кетма-кетлиги
(n|m–1,1)
га
тенг
бўлган
супералгебралардан бошқа барча нилпотент Лейбниц супералгебраларининг
нилиндекси n+m дан кичик эканлиги исботланган.
Тадқиқотнинг амалий натижаси.
Лейбниц супералгебралари устида
олиб борилган изланишларда супералгебранинг жуфт қисми учун
қўлланиладиган янги усуллар яратилган. Ҳусусан, максимал нилиндексли Ли
супералгебраларининг таснифи анча соддароқ ва самарали йўл билан
олинган.
Диссертациядаги кичик ўлчамли ечилувчан Лейбниц алгебраларининг
таснифига доир натижалар иҳтиёрий ўлчамли ечилувчан Лейбниц
алгебралари учун қўйилган бир қанча гипотезаларнинг бажарилишини
текшириш имконини берган.
Тадқиқот натижаларининг ишончлилиги
Ли алгебралари ва
супералгебралари назариясидаги фундаментал натижаларнинг қўлланиши,
алгебраларнинг
бошқа
синфларидан
маълум
бўлган
усуллардан
фойдаланилганлиги, ҳамда математик мулоҳазаларнинг қатъийлиги билан
асосланади. Бундан ташқари кичик ўлчамли алгебраларнинг таснифига
боғлиқ натижалар Mathematica 12 пакетида тузилган махсус дастурлар
ёрдамида текшириб кўрилган.
Тадқиқот натижаларининг илмий ва амалий аҳамияти.
Тадқиқот
натижаларининг
илмий
аҳамияти
бошқа
турдаги
алгебра
ва
супералгебралари назарияларини ривожлантириш учун фойдаланиш билан
изоҳланади. Хусусан, ушбу диссертацияда олинган натижалар ва топилган
усуллардан Ли алгебралари кўпхиллигида қаттиқ нилпотент алгебраларнинг
мавжуд эмаслиги хақидаги Грюневалд муаммосини ечишда фойдаланиш
мумкин.
11
Тадқиқот натижаларининг амалий аҳамияти диссертацияда олинган
кичик ўлчамли ечилувчан алгебраларнинг таснифлари ихтиёрий ўлчамли
Лейбниц алгбералари учун қўйилган бир қанча гипотезаларни текшириш
имконини бериши билан белгиланади. Бундан ташқари биринчи ва иккинчи
сатҳда жойлашган алгебраларнинг таснифлари берилган алгебралар
кўпҳилликлари бузилишларидан тузилган дарахтлар ҳақида тўлиқ тасаввурга
эга бўлиш учун муҳим ҳисобланади.
Тадқиқот натижаларининг жорий қилиниши.
Узунлиги n–1 га тенг
бўлган n-ўлчамли комплекс филиформ Лейбниц алгебраларининг ва
характеристик нилпотент бўлмаган Лейбниц алгебраларининг таснифига оид
натижалар project FQM143 (University of Sevilla, Spain, 2015 йил 25
сентябрдаги маълумотномаси) хорижий грантида қўлланилган бўлиб, ушбу
натижалар ёрдамида табиий усулда градуирланган Лейбниц алгбраларининг,
ҳамда нилрадикали филиформ алгебрасидан иборат бўлган Ли бўлмаган
ечилувчан Лейбниц алгебраларининг таснифлари олинган.
Диссертацияда
олинган
нилпотент
Лейбниц
алгебраларининг
деформациялари ва яримсодда Лейбниц алгебраларининг хусусиятлари
бўйичаолинган натижалар MTM2009-14464-C02 (Institute of Mathematics at
the University of Santiago de Compostela, Spain, 2015 йил 4 ноябрдаги
маълумотномаси) грантида содда Лейбниц алгебраларининг когомологик
иккинчи группаларини таснифлашда фойдаланилган.
Нилпотент Лейбниц алгебраларининг инфинитезимал деформациялари
таснифларидан Путра Малайзия университетида Малайзия Олий таълим
вазирлиги томонидан ажратилган 05-02-12-2188FR (Путра Малайзия
университети, Малайзия, 2016 йил 2 февралдаги маълумотномаси) илмий
лойиҳасида Лейбниц алгебралари кўпҳиллигига чизиқли группаларни
таъсири ёрдамида баъзи Лейбниц алгебраларининг орбиталари ёпилмасини
таснифини олишда қўлланилган.
Тадқиқот натижаларининг апробацияси.
Диссертациянинг асосий
мазмуни қуйидаги халқаро ва республика миқёсида ўтказилган илмий
анжуманларда муҳокама қилинган: «Операторлар алгебраси ва квант
эҳтимолликлар
назарияси»
(Тошкент,
2005
йил),
«Дифференциал
тенгламалар ва уларнинг тадбиқлари» (Нукус, 2009 йил), «Операторлар
алгебраси ва квант эҳтимолликлар назарияси» (Тошкент, 2012 йил),
«Комплекс ва функционал анализнинг замонавий муоммолари» (Нукус, 2012
йил), «Математик анализнинг долзарб муаммолари» (Урганч, 2012 йил),
«Дифференциал тенгламаларнинг замонавий муаммолари ва уларнинг
тадбиқлари» (Тошкент, 2013 йил), «Замонавий топология муаммолари ва
уларнинг тадбиқлари» (Тошкент, 2013 йил), «Математик физиканинг
ноклассик тенгламалари ва уларнинг тадбиқлари» (Тошкент, 2014 йил),
«Алгебра, анализ ва квант эҳтимолликлари» (Тошкент, 2015 йил). Тадқиқот
натижалари Ўзбекистон Миллий университети қошидаги Математика
институтининг «Операторлар алгебралари ва уларнинг тадбиқлари»
республика семинарида, Ўзбекистон Миллий университетининг «Замонавий
алгебра ва унинг татбиқлари» ва «Функционал анализ ва унинг татбиқлари»
12
семинарларида, Сантяго де Компостела университети қошидаги Математика
институти семинарида (Испания, 2012 йил), Путра Малайзия университети
«On recent achievements on harmonic analysis, algebras and their applications»
семинарида (Малайзия, 2013 йил), Севиля университети «Non-associative
algebras» (Испания, 2014 йил) семинарларида муҳокама қилинган. Олинган
натижалар «International Congress of Mathematicians-Seoul 2014» (Корея, 2014
йил), «TWAS 25
th
General Meeting. 2014» (Уммон, 2014 йил) халқаро
конгрессларда ҳам маъруза қилинган.
Тадқиқот натижаларининг эълон қилиниши.
Диссертация мавзуси
бўйича жами 40 та илмий иш, жумладан, миллий журналларда 5
та, халқаро
журналларда 18 та мақола, илмий анжуманларда 17 та тезис нашр этилган.
Диссертациянинг ҳажми ва тузилиши.
Диссертация кириш қисми,
тўртта боб, хулосалар ва фойдаланилган адабиётлар рўйхатидан ташкил
топган. Ишнинг умумий ҳажми 200 бетдан, адабиётлар рўйхати 184 та
номдан иборат.
ДИССЕРТАЦИЯНИНГ АСОСИЙ МАЗМУНИ
Кириш
қисмида
диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати
асосланган,
тадқиқотнинг
республика
фан
ва
технологиялари
ривожланишининг устувор йўналишларига мослиги кўрсатилган, мавзу
бўйича хорижий илмий-тадқиқотлар шарҳи, муаммонинг ўрганилганлик
даражаси келтирилган, тадқиқот мақсади, вазифалари, объекти ва предмети
тавсифланган, тадқиқотнинг илмий янгилиги ва амалий натижалари баён
қилинган, олинган натижаларнинг назарий ва амалий аҳамияти очиб
берилган, тадқиқот натижаларининг жорий қилиниши, нашр этилган ишлар
ва диссертация тузилиши бўйича маълумотлар берилган.
Диссертациянинг
«Яримсодда ва филиформ Лейбниц алгебралари-
нинг таснифи»
деб номланган биринчи бобида зарурий таъриф ва тушун-
чалар келтирилиб, яримсодда Лейбниц алгебраларинининг бир қанча
хоссалари топилган, характеристик нилпотент бўлмайдиган филиформ
Лейбниц алгебралари ва узунлиги n–1 га тенг бўлган n-ўлчамли комплекс
филиформ Лейбниц алгебралари таснифланган.
Таъриф 1.
F майдон устида аниқланган L алгебранинг ихтиёрий x, y, z
элементлари учун қуйидаги Лейбниц айнияти бажарилса,
[x, [y, z]] = [[x, y], z] – [[x, z], y],
L алгебра Лейбниц алгебраси дейилади, бу ерда [-,-] – L алгебрада
аниқланган кўпайтириш амали.
Ихтиёрий L Лейбниц алгебраси учун қуйидаги кетма-кетликларни
қараймиз:
а) L
[1]
= L, L
[n+1]
= [L
[n]
, L
[n]
];
б) L
1
= L, L
n+1
= [L
n
, L
1
] .
Таъриф 2.
Агар бирор m
N сони учун L
[m]
=0 шарт бажарилса, L
Лейбниц алгебраси ечилувчан дейилади. L
[m-1]
0 ва L
[m]
=0 шартлар ўринли
бўлса, m натурал сони L алгебранинг ечилувчанлик индекси дейилади.
13
Агар бирор s
N сони учун L
s
=0 шарт бажарилса, L Лейбниц алгебраси
нилпотент дейилади. Бу шартни қаноатлантирувчи энг кичик сонга эса L
алгебранинг нилпотентлик индекси ёки нилиндекси дейилади.
Лейбниц алгебрасининг максимал нилпотент (ечилувчан) идеали унинг
нилрадикали (радикали) дейилади.
Маълумки, ихтиёрий Ли бўлмаган L Лейбниц алгебраси элементларнинг
квадратларидан тузилган хос бўлмаган I = span{[x,x], x
L} идеалга эга
бўлиб, фактор алгебра L/I эса Ли алгебрасини ташкил қилади. Шунинг учун
Лейбниц алгебралари классик маънода содда эмас. А.С.Джумадилдаев
томонидан содда Лейбниц алгебрасига қуйидагича таъриф берилган.
Таъриф 3.
Фақат {0}, I, L идеалларга эга бўлиб, L
2
I шартни
қаноатлантирувчи L Лейбниц алгебраси содда дейилади.
Таъриф 4.
Максимал ечилувчан идеали I га тенг бўлган L Лейбниц
алгебраси яримсодда дейилади.
Равшанки, содда Лейбниц алгебрасининг I бўйича фактори L/I содда Ли
алгебраси бўлади. Лекин тескариси хар доим ҳам ўринли эмас, яъни фактор
алгебраси L/I содда Ли алгебраси бўлиб, ўзи содда бўлмайдиган Лейбниц
алгебралари мавжуд.
Таъриф 5.
I бўйича фактори L/I содда Ли алгебраси бўладиган L
Лейбниц алгебраси Ли-содда дейилади.
Юқорида эслатиб ўтилгани каби Леви теоремасининг аналоги Лейбниц
алгебралари учун Д.Барнс томонидан исботланган. Яримсодда Лейбниц
алгебраларини содда идеалларнинг тўғри йиғиндиси шаклида ифодалаш
мумкинми деган саволга диссертациянинг биринчи боби иккинчи
параграфида жавоб топилган.
Айтайлик, L яримсодда Лейбниц алгебраси ва I унинг элементлари
квадратларидан тузилган идеали бўлсин. У ҳолда L = S + I бўлади, бу ерда S
– яримсодда Ли алгебраси ва [I, S] = I. Ярим содда Ли алгебраси S қуйидаги
S=S
1
S
2
…
S
k
, ёйилмага эга бўлгани учун L = (S
1
S
2
…
S
k
) + I ни ҳосил
қиламиз. Белгилаш киритамиз I
j
= [I, S
j
], 1
j
k.
Қуйидаги теоремада S
1
, S
2
, … , S
k-1
содда Ли алгебралари уч ўлчамли
алгебра sl
2
га изоморф бўлиб, барча I
j
лар S
j
да келтирилмас модул бўлса, у
ҳолда L яримсодда Лейбниц алгебраси содда идеалларнинг тўғри йиғиндиси
шаклида ифодаланиши исботланган.
Теорема 1.
L яримсодда Лейбниц алгебраси бўлиб, L=(
1
2
sl
2
2
sl
…
1
-
k
2
sl
S
k
) + I ва I
j
лар
j
2
sl
(1≤j≤k–1) S
j
да, I
k
эса S
k
да келтирилмас модул
бўлсин. У ҳолда L содда идеалларнинг тўғри йиғиндиси шаклида қуйидагича
ифодаланади
L = (
1
2
sl +I
1
)
(
2
2
sl +I
2
)
…
(
1
-
k
2
sl +I
k-1
)
(S
k
+I
k
).
Таъкидлаш жоизки, агар I
j
модул S
j
да келтирилувчи бўлса, у ҳолда
берилган яримсодда Лейбниц алгебраси содда идеалларнинг тўғри
йиғиндиси шаклида ифодаланмайди. Лекин уни Ли-содда идеалларнинг
тўғри йиғиндиси шаклида ифодалаш мумкин. Демак табиий равишда
14
яримсодда Лейбниц алгебраларини Ли-содда идеалларнинг тўғри йиғиндиси
шаклида ифодалаш мумкинми деган савол туғилади.
Қуйидаги мисол ушбу саволнинг жавоби ижобий эмаслигини кўрсатади.
Мисол 1.
Басизи {x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, e
1
, f
1
, h
1
, e
2
, f
2
, h
2
} бўлган, бу ерда I = {x
1
,
x
2
, x
3
, x
4
},
1
2
sl = {e
1
, f
1
, h
1
},
2
2
sl ={e
2
, f
2
, h
2
} ва қуйидаги кўпайтмага эга бўлган
10-ўлчамли яримсодда Лейбниц алгебраси L ни қараймиз:
[
1
2
sl ,
1
2
sl ]: [e
1
, h
1
] = 2e
1
,
[f
1
, h
1
] = –2f
1
,
[e
1
, f
1
] = h
1
,
[h
1
, e
1
] = –2e
1
,
[h
1
, f
1
] = 2f
1
,
[f
1
, e
1
] = –h
1
,
[
2
2
sl ,
2
2
sl ]:
[e
2
, h
2
] = 2e
2
,
[f
2
, h
2
] = –2f
2
,
[e
2
, f
2
] = h
2
,
[h
2
, e
2
] = –2e
2
,
[h
2
, f
2
] = 2f
2
,
[f
2
, e
2
] = –h
2
,
[I,
1
2
sl ]: [x
1
, f
1
] = x
2
,
[x
1
, h
1
] = x
1
,
[x
2
, e
1
] = –x
1
,
[x
2
, h
1
] = –x
2
,
[x
3
, f
1
] = x
4
,
[x
3
, h
1
] = x
3
,
[x
4
, e
1
] = –x
3
,
[x
4
, h
1
] = –x
4
,
[I,
2
2
sl ]: [x
1
, f
2
] = x
3
,
[x
1
, h
2
] = x
1
,
[x
3
, e
2
] = –x
1
,
[x
3
, h
2
] = –x
3
,
[x
2
, f
2
] = x
4
,
[x
2
, h
2
] = x
2
,
[x
4
, e
2
] = –x
2
,
[x
4
, h
2
] = –x
4
.
Кўпайтмалардан [I,
1
2
sl ] = I, [I,
2
2
sl ] = I тенгликларни ва I модул
1
2
sl да {x
1
,
x
2
}
{x
3
, x
4
} кўринишида,
2
2
sl да эса {x
1
, x
3
}
{x
2
, x
4
} кўринишида ёйилишини
ҳосил қиламиз. Бундан L= (
1
2
sl
2
2
sl ) + I яримсодда Лейбниц алгебрасини
1
2
sl
+ I
1
ва
2
2
sl +I
2
Ли-содда идеалларнинг тўғри йиғиндиси шаклида ифодалаб
бўлмаслиги келиб чиқади.
Лейбниц алгебраси учун Лейбниц дифференциаллашлари тушунчасини
киритамиз.
Таъриф 6.
L Лейбниц алгебрасида аниқланган d чизиқли алмаштириш ва
ихтиёрий x
1
, x
2
, …, x
n
L лар учун
].
x
,
],
)
x
(
d
],
x
,
],
x
,
x
...[...[[
[
=
])
x
,
]
x
,
]
x
,
x
...[[
([
d
n
i
1
i
2
1
n
1
=
i
n
3
2
1
тенглик бажарилса, у ҳолда d чизиқли алмаштириш n-тартибли Лейбниц
дифференциаллаши дейилади.
Қуйидаги теоремада комплекс Лейбниц алгебраларининг Лейбниц
дифференциаллаши ёрдамидаги нилпотентлик хоссаси исботланган.
Теорема 2.
Характеристикаси нолга тенг майдон устида берилган
Лейбниц алгебраси нилпотент бўлиши учун унинг хосмас Лейбниц
дифференциалга эга бўлиши зарур ва етарли.
Таъриф 7.
Агар dim L
i
= n – i (бу ерда n = dimL ва 2
i
n) бўлса, L
филиформ Лейбниц алгебраси дейилади.
Маълумки, ихтиёрий n-ўлчамли филиформ Лейбниц алгебрасида
шундай {e
1
, e
2
, …, e
n
} базис топиладики, бу базисда алгебранинг кўпайтмаси
қуйидаги кўринишлардан бирига келади:
F
1
(
4
,
5
, ...,
n
,
): [e
1
, e
1
] = e
3
,
[e
i
, e
1
] = e
i+1
,
2 ≤ i ≤ n – 1,
[e
1
, e
2
] =
4
e
4
+
5
e
5
+ … +
n-1
e
n–1
+
e
n
,
[e
j
, e
2
] =
4
e
j+2
+
5
e
j+3
+ … +
n+2–j
e
n
,
2 ≤ j ≤ n – 2,
F
2
(
4
,
5
, …,
n
,
): [e
1
, e
1
] = e
3
,
[e
i
, e
1
] = e
i+1
,
3 ≤ i ≤ n – 1,
15
[e
1
, e
2
] =
4
e
4
+
5
e
5
+ … +
n
e
n
,
[e
2
, e
2
] =
e
n
,
[e
j
, e
2
] =
4
e
j+2
+
5
e
j+3
+ … +
n+2–j
e
n
,
3 ≤ j ≤ n – 2,
F
3
(θ
1
, θ
2
, θ
3
):
[e
i
, e
1
] = e
i+1
,
2 ≤ i ≤ n – 1,
[e
1
, e
i
] = –e
i+1
,
3 ≤ i ≤ n – 1,
[e
1
, e
1
] = θ
1
e
n
,
[e
1
, e
2
] = –e
3
+θ
2
e
n
,
[e
2
,e
2
] = θ
3
e
n
,
[e
2
, e
j
] = –[e
j
, e
2
]
{e
j+2
, e
j+3
, …, e
n
},
3 ≤ j ≤ n – 2,
[e
i
, e
j
] = –[e
j
, e
i
]
{e
i+j
, e
i+j+1
, …, e
n
}, 3 ≤ i ≤
]
2
n
[
, i ≤ j ≤ n–i,
бу ерда
i
,
,
i
,
ва келтирилмаган кўпайтмалар нолга тенг.
Таъриф 8.
Ихтиёрий дифференциаллаши нилпотент бўлган Лейбниц
алгебраси характеристик нилпотент Лейбниц алгебраси дейилади.
Қуйидаги теоремаларда F
1
(
4
,
5
, ...,
n
,
) ва F
2
(
4
,
5
, …,
n
,
)
синфларда
ётувчи
характеристик
нилпотент
бўлмаган
Лейбниц
алгебраларининг таснифлари келтирилган
.
Теорема 3.
F
1
(
4
,
5
, ...,
n
,
) синфда ётувчи характеристик нилпотент
бўлмаган
Лейбниц
алгебраси
қуйидаги
ўзаро
изоморф
бўлмаган
алгебралардан бирига изоморф бўлади:
,
n
s
4
),
,
,
,
,
(
F
n
n
5
4
s
1
бу ерда
,
3
s
s
k
=
t
for
3))
(s
mod
(
s
k
гар
а
,
Q
1)
(
3));
(s
mod
(
s
k
гар
а
0,
=
1
s
1
t
t
k
4 ≤ k ≤ n ва
)
!
n
1)
p
(
(
!
n
)!
pn
(
1
n
1)
p
(
1
=
Q
p
n
– p даражали Каталан сонлари.
Теорема 4.
F
2
(
4
,
5
, …,
n
,
) синфда ётувчи характеристик нилпотент
бўлмаган
Лейбниц
алгебраси
қуйидаги
ўзаро
изоморф
бўлмаган
алгебралардан бирига изоморф бўлади:
n жуфт бўлганда:
,0,0)
,0
1
,0,
(0,
F
j
j
2
, 1
j
n–2;
n тоқ бўлганда:
,0,1)
,0,
,0,
(0,
F
2
1
n
2
ва
,0)
,0
1
,0,
(0,
F
j
j
2
, 1
j
n–3.
Энди
)
,
,
(
F
3
2
1
3
синфда ётувчи Лейбниц алгебрасини қараймиз. Агар L
учинчи синфда етувчи характеристик нилпотент бўлмаган Лейбниц
алгебраси бўлса, у ҳолда унинг кўпайтириш жадвали қуйидаги кўринишга
эга бўлади:
1.
n
i
2
,
e
1)
(
=
]
e
,
e
[
=
]
e
,
e
[
,
e
=
]
e
,
e
[
,
e
e
=
]
e
,
e
[
,
e
=
]
e
,
e
[
1,
n
i
3
,
e
=
]
e
,
e
[
1,
n
i
2
,
e
=
]
e
,
e
[
=
)
,
,
(
L
n
i
i
i
1
n
i
1
n
i
n
3
2
2
n
2
3
2
1
n
1
1
1
1
i
i
1
1
i
1
i
3
2
1
16
Теорема 5.
L алгебра
)
,
,
(
F
3
2
1
3
синфда ётувчи характеристик
нилпотент бўлмаган Лейбниц алгебраси бўлса, у ҳолда у қуйидаги ўзаро
изоморф бўлмаган алгебралардан бирига изоморф бўлади:
(0,0,1).
L
(0,1,0),
L
(1,0,0),
L
Айтайлик L чекли сондаги нолдан фарқли фазолардан ташкил топган Z-
градуирланган Лейбниц алгебраси бўлсин, яъни L=
Z
i
V
i
, бу ерда ихтиёрий i,
j
Z учун [V
i
, V
j
]
V
i+j
бўлади.
Агар L=
1
k
V
2
k
V
…
t
k
V да барча i (k
1
i
k
t
) лар учун V
i
0 бўлса, L
нилпотент Лейбниц алгебраси боғлиқли градуировкага мувофиқлашади
дейилади.
l
(L)=max{len(
L)=k
t
–k
1
+1 | L=
1
k
V
2
k
V
…
t
k
V боғлиқли
градуировка} сонини L Лейбниц алгебранинг узунлиги деб атаймиз.
Биринчи бобнинг бешинчи параграфи асосой натижаси ҳисобланган,
узунлиги n–1 га тенг бўлган n-ўлчамли комплекс филиформ Лейбниц
алгебралари таснифланган теоремани келтирамиз.
Теорема 6.
Узунлиги n–1 га тенг бўлган ихтиёрий n-ўлчамли комплекс
филиформ Лейбниц алгебраси қуйидаги ўзаро изоморф бўлмаган
алгебралардан бирига изоморф бўлади:
,
1
n
i
3
,
y
=
]
y
,
y
[
,
y
=
]
y
,
y
[
:
F
1
i
1
i
3
1
1
2
n
,
1
n
i
2
,
y
1)
(
=
]
y
,
y
[
=
]
y
,
y
[
,
1
n
i
2
,
y
=
]
y
,
y
[
=
]
y
,
y
[
:
F
n
1
i
i
i
1
n
i
1
n
i
1
i
i
1
1
i
3
n
,
1
n
k
3
,
k
n
i
1
,
y
=
]
y
,
y
[
2,
n
i
1
,
y
=
]
y
,
y
[
:
)
k
(
M
1
i
k
n
i
1
i
1
i
1
,
0
,
y
=
]
y
,
y
[
,
2
1
n
i
1
,
y
=
]
y
,
y
[
2,
n
i
1
,
y
=
]
y
,
y
[
:
M
1
n
n
n
1
i
2
1
n
n
i
1
i
1
i
2
,
y
=
]
y
,
y
[
,
2
n
i
1
,
y
=
]
y
,
y
[
:
M
1
n
n
n
1
i
1
i
3
,
1
n
i
2
,
y
=
]
y
,
y
[
1,
n
i
2
,
y
=
]
y
,
y
[
,
y
=
]
y
,
y
[
:
M
1
i
i
1
1
i
1
i
n
1
1
4
бу ерда {y
1
, y
2
, …, y
n
} – алгебраларниг базислари ва келтирилмаган
кўпайтмалар нолга тенг.
Диссертациянинг
«Кичик ўлчамли ечилувчан Лейбниц алгебралари-
нинг тавсифи»
деб номланган иккинчи бобида тўрт ўлчамли комплекс
Лейбниц алгебраларининг таснифи ва нилрадикали уч ўлчамли бўлган беш
ўлчамли ечилувчан Лейбниц алгебраларининг тавсифлари олинган.
17
Таъкидлаш жоизки, тўрт ўлчамли ечилувчан Лейбниц алгебрасининг
нилрадикали икки ёки уч ўлчамли бўлади. Икки ва уч ўлчамли нилпотент
Лейбниц алгебралари эса мос равишда Ж.Л.Лоде ва Б.А.Омировларнинг
ишларида таснифланган.
Изоморфизм аниқлигида қуйидаги иккита икки ўлчамли нилпотент
Лейбниц алгебралари мавжуд:
1
: [e
1
,e
1
]=e
1
,
2
: абел алгебраси.
Уч ўлчамли нилпотент Лейбниц алгебралари эса қуйидаги олтита
алгебраларидан бирига изоморф бўлади:
1
:
[e
1
, e
2
] = e
3
, [e
2
, e
1
] = –e
3
;
2
(
): [e
2
, e
1
] = e
3
, [e
1
, e
2
] =
e
3
,
≠ –1 и
2
(
)
2
(
'), если
'=1;
3
: [e
1
, e
1
] = e
3
;
4
:
[e
1
, e
1
] = e
2
, [e
2
, e
1
] = e
3
;
5
:
[e
1
, e
1
] = e
3
, [e
2
, e
1
] = e
3
, [e
1
, e
2
] = –e
3
;
6
: абел алгебраси.
Қуйидаги теоремада нилрадикали икки ўлчамли бўлган тўрт ўлчамли
ечилувчан Лейбниц алгебраларининг таснифи келтирилган.
Теорема 7.
Нилрадикали икки ўлчамли бўлган ихтиёрий тўрт ўлчамли
ечилувчан
Лейбниц
алгебраси
қуйидаги
ўзаро
изоморф
бўлмаган
алгебралардан бирига изоморф бўлади:
R
1
: [e
1
, x] = e
1
, [e
2
, y] = e
2
,
R
2
: [e
1
, x] = e
1
, [e
2
, y] = e
2
, [x, e
1
] = –e
1
, [y, e
2
] = –e
2
,
R
3
: [e
1
, x] = e
1
, [e
2
, y] = e
2
, [y, e
2
] = – e
2
,
бу ерда {x, y, e
1
, e
2
} – алгебранинг базиси.
Навбатдаги теоремада нилрадикали
1
га изоморф бўлган тўрт ўлчамли
ечилувчан Лейбниц алгебралари таснифланган.
Теорема 8.
L – нилрадикали
1
га изоморф бўлган тўрт ўлчамли
ечилувчан Лейбниц алгебраси бўлсин. У ҳолда L қуйидаги ўзаро изоморф
бўлмаган алгебралардан бирига изоморф бўлади:
1
2
3
1
2
3
2
1
3
2
1
3
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
3
3
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
[e , e ] = e ,
[e ,e ] = e ,
[e ,e ] = e ,
[e , e ] = e ,
[e , x] = e ,
[e , x] = e ,
[e , x] = e ,
L ( ) :
L : [e , x] = e ,
[e , x] = (1
)e ,
[x,e ] = e ,
[x,e ] = e ,
[x,e ] = e ,
[x,e ] =
e ,
[x, x] = e .
[x,e ] = (1
)e .
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
2
3
3
3
1
1
2
2
2
3
3
[e ,e ] = e ,
[e ,e ] = e ,
[e , x] = e
e ,
[e , x] = e ,
L :
[e , x] = 2e ,
[x, e ] = e
e ,
[x, e ] = e ,
[x, e ] = 2e .
Юқоридаги теорема каби нилрадикали уч ўлчамли бўлган барча тўрт
ўлчамли ечилувчан Лейбниц алгебралари таснифланган бўлиб, қуйидагича
натижалар олинган:
нилрадикали
2
(
) бўлган 5 та тўрт ўлчамли алгебра мавжуд;
нилрадикали
3
бўлган 11 та алгебра мавжуд;
18
нилрадикали
4
бўлган 1 та алгебра мавжуд;
нилрадикали
5
бўлган тўрт ўлчамли алгебра мавжуд эмас;
нилрадикали
6
бўлган 23 та алгебра мавжуд
Энди нилрадикали уч ўлчамли бўлган беш ўлчамли ечилувчан Лейбниц
алгебраларини қараймиз. У ҳолда нилрадикал
1
,
2
(
),
3
,
4
,
5
ва
6
алгебралардан бирига изоморф бўлади.
Теорема 9.
L – нилрадикали
1
га изоморф бўлган беш ўлчамли
ечилувчан Лейбниц алгебраси бўлсин. У ҳолда L қуйидаги алгебрага
изоморф бўлади:
M
1
: [e
2
, e
1
] = e
3
, [e
1
, x
1
] = e
1
, [e
2
, x
2
] = e
2
, [e
3
, x
1
] = e
3
, [e
3
, x
2
] = e
3
,
[e
1
, e
2
] = –e
3
, [x
1
, e
1
] = –e
1
, [x
2
, e
2
] = –e
2
, [x
1
, e
3
] = –e
3
, [x
2
, e
3
] = –e
3
.
Тўрт ўлчамли алгебраларнинг таснифлари каби нилрадикали уч ўлчамли
бўлган барча беш ўлчамли ечилувчан Лейбниц алгебралари таснифланган,
ҳамда қуйидагича натижалар олинган:
нилрадикали
2
(0) бўлган 1 та беш ўлчамли алгебра мавжуд;
нилрадикали
3
бўлган 2 та алгебра мавжуд;
нилрадикали уч ўлчамли
4
,
5
,
2
(
),
≠0
алгебралардан бирига
изоморф бўлган беш ўлчамли алгебра мавжуд эмас;
нилрадикали
6
бўлган 18 та беш ўлчамли алгебра мавжуд.
Диссертациянинг «Баъзи алгебралар кўпҳилликларининг бузилиш-лари
ва Лейбниц алгебаларининг инфинитезимал деформациялари» деб номланган
учинчи боби комплекс сонлар майдони устида берилган алгебраларнинг
геометрик усул ёрдамида татқиқ қилишга бағишланган.
Alg
n
(F) тўпламга GL
n
(F) группанинг таъсирини қуйидагича аниқлаймиз:
[x,y]
g
:=g [g
-1
x,g
-1
y],
бу ерда g
GL
n
(F) и х, у
L.
Orb(L) орқали L алгебранинг орбитасини белгилаймиз.
Таъриф 9.
Агар M Лейбниц алгебраси L алгебранинг орбитасининг
ёпиғида ётса, M алгебра L нинг бузилиши натижасида хосил қилинган, ёки L
нинг бузилиши дейилади, ҳамда L
M каби белгиланади.
LSolv(N) орқали нилрадикали N га изоморф бўлган ечилувчан Лейбниц
алгебралар тўпламини белгилаймиз.
Теорема 10.
Агар R
1
LSolv(N
1
), R
2
LSolv(N
2
) ва R
2
)
R
(
Orb
1
бўлса, у
ҳолда dim(N
2
)
dim(N
1
) бўлади.
Агар L ва M изоморф бўлса, у ҳолда L
M бузилиш тривиал дейилади.
Орасида нотривиал бузилишга эга бўлмаган нотривиал бузилишга бевосита
бузилиш дейилади.
Таъриф 10.
n
-
ўлчамли абел алгебраси a
n
га бузилувчи бевосита
бузилишлар занжирларинг максимал узунлигига L алгебранинг сатҳи
дейилади.
Учинчи бобнинг иккинчи параграфида n-ўлчамли комплекс алгебралар
кўпҳиллигида биринчи сатҳли алгебралар таснифланган.
19
Теорема 11.
n
3)
n
(
ўлчамли комплекс алгебраси биринчи сатҳли
бўлиши учун унинг қуйидаги ўзаро изоморф бўлмаган алгебралардан бирига
изоморф бўлиши зарур ва етарли:
:
p
n
,
e
=
e
e
i
i
1
2,
i
,
e
=
e
e
i
1
i
:
a
n
3
n
3
,
e
=
e
e
3
2
1
3
1
2
e
=
e
e
,
:
a
2
n
2
,
e
=
e
e
2
1
1
:
)
(
n
.
n
i
2
,
e
)
(1
=
e
e
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
i
1
i
i
i
1
1
1
1
Қуйидаги
теоремада
n-ўлчамли
комплекс
Йордан
алгебралар
кўпҳиллигида иккинчи сатҳли алгебралар тўлиқ таснифланган.
Теорема 12.
Ихтиёрий n-ўлчамли иккинчи сатҳли комплекс Йордан
алгебраси қуйидаги ўзаро изоморф бўлмаган алгебралардан бирига изоморф:
.
e
=
e
e
:
a
}
e
,
e
,
e
{
=
J
;
n
i
2
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
}
e
,
,
e
,
e
,
e
{
=
J
;
e
=
e
e
:
a
}
e
{
=
J
3
2
1
3
n
3
2
1
3
i
i
1
1
1
1
n
3
2
1
2
1
n
1
Д.Бурденинг ишида уч ва тўрт ўлчамли комплекс Ли алгебраларининг
геометрик таснифи тўлиқ олинганлиги учун Ли алгебралар кўпҳиллигидаги
иккинчи сатҳли алгебраларни таснифлашда n
5 бўлган ҳолни кўриб чиқиш
етарли.
Теорема 12.
Ихтиёрий
5)
n
(
n
ўлчамли иккинчи сатҳли комплекс Ли
алгебраси қуйидаги ўзаро изоморф бўлмаган алгебралардан бирига изоморф
бўлади:
,
e
=
]
e
,
e
[
,
e
=
]
e
,
e
[
:
a
n
,
e
=
]
e
,
e
[
,
e
=
]
e
,
e
[
:
a
n
5
3
1
4
2
1
5
n
5,2
5
4
2
5
3
1
5
n
5,1
.
n
i
3
,
e
=
]
e
,
e
[
,
e
e
=
]
e
,
e
[
:
g
1,
,
n
i
3
,
e
=
]
e
,
e
[
,
e
=
]
e
,
e
[
:
)
(
g
,
e
=
]
e
,
e
[
:
a
r
i
i
1
3
2
2
1
,2
n
*
i
i
1
2
2
1
,1
n
2
2
1
2
n
2
Ассоциатив алгебралар кўпҳиллиги учун қуйидаги теоремани ҳосил
қиламиз.
Теорема 13.
Ихтиёрий
5)
n
(
n
ўлчамли иккинчи сатҳли комплекс
ассоциатив алгебраси қуйидаги ўзаро изоморф бўлмаган алгебралардан
бирига изоморф бўлади:
.
e
=
e
e
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
A
;
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
)
(
A
;
n
i
2
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
A
;
n
i
2
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
A
;
n
i
2
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
A
;
e
=
e
e
:
A
3
2
1
3
1
2
3
1
1
6
3
2
1
3
1
2
5
i
1
i
1
1
1
4
i
i
1
1
1
1
3
i
1
i
i
i
1
1
1
1
2
1
бу ерда
}.
0
z
Im
,
1
|
z
{|
}
1
|
z
{|
20
Учинчи бобнинг тўртинчи параграфида NF
n
нол-филиформ Лейбниц
алгебрасининг инфинитезимал деформациялари таснифланган.
Теорема 15.
ZL
2
(NF
n
, NF
n
) фазонинг базиси қуйидаги 2-коцикллардан
иборат бўлади.
.
n
k
2
,
n
j
1
,
x
=
)
x
,
x
(
k
1
j
k
,
j
.
1
n
i
1
,
x
=
)
x
,
x
(
,
x
=
)
x
,
x
(
=
)
1
n
j
1
(
1
i
1
j
i
j
1
1
j
j
j
Натижа 1.
Dim HL
2
(NF
n
, NF
n
) = n – 1 ва HL
2
(NF
n
, NF
n
) фазонинг базиси
{
,2
n
,
,3
n
,…,
n
,
n
} дан иборат бўлади.
Энди NF
n
алгебранинг
k
,
j
k
,
j
k
,
j
t
a
t
NF
=
n
чизиқли давом эттирилувчи
деформациясини қараймиз. Ихтиёрий нотривиал эквивалент деформациялар
синфи
)
L
,
L
(
HL
2
фазонинг ягона элементи орқали аниқланганлиги учун,
Натижа 1 га асосан
k
,
n
k
n
2
=
k
n
3
2
t
a
t
NF
=
)
a
,
,
a
,
a
(
n
деформацияни қараш
етарли, бу ерда
,0)
(0,0,
)
a
,
,
a
,
a
(
n
3
2
.
Демак
)
a
,
,
a
,
a
(
n
3
2
t
агебранинг кўпайтмаси қуйидагича бўлади:
.
x
a
t
=
]
x
,
x
[
1,
n
i
1
,
x
=
]
x
,
x
[
k
k
n
2
=
k
1
n
1
i
1
i
Теорема 16.
))
a
,
,
a
,
a
(
(
Orb
n
3
2
1
n
a
,
,
2
a
тўплам n-ўлчамли Лейбниц
алгебралар кўпҳиллигида келтирилмас компонента бўлади.
1
n
F ва
2
n
F филиформ Лейбниц алгебраларининг дифференциаллашлари
таснифи орқали қуйидаги муносабатларни осонгина олиш мумкин
1
n
=
)
F
(
Der
dim
1
n
,
1
n
n
=
)
F
,
F
(
BL
dim
2
1
n
1
n
2
,
2
n
=
)
F
(
Der
dim
2
n
,
2
n
n
=
)
F
,
F
(
BL
dim
2
2
n
2
n
2
.
Қуйидаги
теоремада
1
n
F
филиформ
Лейбниц
алгебрасининг
инфинитезимал деформациялари таснифи келтирилган.
Теорема 17.
Филиформ Лейбниц алгебраси
1
n
F нинг ихтиёрий
инфинитезимал деформацияси қуйидаги кўринишга эга:
1.
n
j
3
1,
n
i
2
,
x
=
)
x
,
x
(
1,
n
i
2
,
x
)
(
=
)
x
,
x
(
,
n
i
2
,
x
x
)
2)
i
((
=
)
x
,
x
(
,
x
x
=
)
x
,
x
(
,
x
=
)
x
,
x
(
1,
n
j
2
,
x
=
)
x
,
x
(
,
x
=
)
x
,
x
(
1
i
,1
j
1
j
i
1
i
1
2,1
3
i
2
i
k
k
i
2
n
3
=
k
i
2
1
2
i
n
n
1
1
2
1
k
k
,
n
n
2
=
k
1
n
k
k
,
j
n
1
=
k
1
j
k
k
1,
n
2
=
k
1
1
21
Теорема 18.
2
n
F филиформ Лейбниц алгебрасининг ихтиёрий
инфинитезимал деформацияси қуйидаги кўринишга эга:
.
x
x
=
)
x
,
x
(
1,
n
i
2
,
x
x
i
=
)
x
,
x
(
,
x
x
=
)
x
,
x
(
2,
n
j
1
2,
n
i
1
,
x
=
)
x
,
x
(
,
x
=
)
x
,
x
(
,
x
=
)
x
,
x
(
2,
n
j
1
,
x
=
)
x
,
x
(
n
n
1
n
1
n
n
1
i
k
k
i
n
2
=
k
i
,1
n
n
i
k
k
n
2
=
k
1
,1
n
n
1
1
i
,1
j
1
j
i
k
k
,
n
n
1
=
k
1
n
k
k
1,
n
n
2
=
k
1
1
n
k
k
,
j
n
1
=
k
1
j
Диссертациянинг
«Нилиндекси n+m га тенг бўлган Лейбниц супер-
алгебраларининг таснифи»
деб номланган тўртинчи бобида тоқ ва жуфт
қисмларининг ўлчамлари мос равишда n ва m га тенг бўлган комплекс
Лейбниц супералгебраларининг тўлиқ тавсифи олинган.
Айтайлик, L=L
0
L
1
нилпотент комплкес Лейбниц супералгебраси
бўлсин. Ихтиёрий x
L
0
элемент учун R
x
ўнгдан кўпайтириш оператори, L
i
,
i
{0,1} фазода нилпотент эндоморфизм бўлади. R
x
операторнинг Жордан
катаклари ўлчамларини камайиш тартибида ёзишдан тузилган сонли кетма-
кетликни C
i
(x), i
{0,1} орқали белгилаймиз. C
i
(L
0
) тўпламида лексикографик
тартиб киритамиз.
Таъриф 12.
Ушбу
]
L
,
L
[
\
L
x
~
1
]
L
,
L
[
\
L
x
0
0
0
0
0
0
0
)
x
~
(
C
max
|
)
x
(
C
max
)
L
(
C
кетма-кетлик L
супералгебранинг характеристик кетма-кетлиги дейилади.
Таъриф 13.
Агар C(L) = (n | m) (мос равишда C(L) = (n–1, 1 | m)) бўлса, L
нол-филиформ (мос равишда филиформ) Лейбниц супералгебраси дейилади.
Нол-филиформ ва филиформ Лейбниц супералгебралари синфларини
мос равишда ZF
n,m
ва F
n,m
орқали белгилаймиз.
Қуйидаги теоремада жуфт қисмининг ўлчами иккига, нилиндекси m+2
га тенг бўлган нол-филиформ Лейбниц супералгебраларининг таснифи
келтирилган.
Теорема 19.
L
ZF
2,m
(m
2) ва супералгебранинг нилиндекси m+2 га тенг
бўлсин, у ҳолда m тоқ бўлади ва L супералгебрасида шундай {x
1
, x
2
, y
1
, y
2
, …,
y
m
} базис топиладики, бу базисда супералгебранинг кўпайтмаси қуйидаги
кўринишда бўлади:
1.
m
i
1
,
x
1)
(
=
]
y
,
y
[
1,
m
i
1
,
y
=
]
y
,
x
[
1,
m
i
1
,
y
=
]
x
,
y
[
,
x
=
]
x
,
x
[
2
1
i
i
1
m
i
1
i
i
1
1
i
1
i
2
1
1
n
3 ва m
2 бўлган ҳолда эса, қуйидаги лемма ўринли.
22
Лемма 1.
ZF
n,m
(n
3, m
2) синфда ётувчи, иккита ҳосил қилувчига эга
бўлган ихтиёрий Лейбниц супералгебраси, n+m сонидан кичик нилиндексга
эга.
Нилиндекси n+m га тенг бўлган филиформ Лейбниц супералгебралари
n=m=2 бўлган ҳолда алоҳида хусусиятга эга.
Теорема 20.
L алгбра F
2,2
тўпламда ётувчи, нилиндекси 4 га тенг бўлган
Лейбниц супералгебраси бўлсин. У ҳолда у қуйидаги иккита ўзаро изоморф
бўлмаган супералгебралардан бирига изоморф бўлади:
,
x
]
y
,
y
[
,
y
2
]
x
,
y
[
,
y
]
y
,
x
[
,
y
]
x
,
y
[
:
F
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
1
2
,
2
.
x
]
y
,
y
[
,
y
2
]
x
,
y
[
,
y
]
y
,
x
[
,
y
2
1
]
y
,
x
[
,
y
]
x
,
y
[
:
F
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
2
,
2
Филиформ Лейбниц супералгебралари учун, n
3 бўлганда Ш.А.Аюпов,
Б.А.Омиров ва М.Вернларнинг ишларида олинган натижалардан келиб
чиқувчи, соддалаштирилган базиснинг мавжудлиги ҳақидаги қуйидаги
теорема ўринли.
Теорема 21.
L алгебра F
n,m
тўпламда ётувчи Лейбниц супералгебраси
бўлсин. У ҳолда L супералгебрада қўйидаги учта шартлардан бирини
қаноатлантирувчи {x
1
,x
2
, …, x
n
, y
1
, y
2
, …, y
m
} базис мавжуд.
a) [x
1
, x
1
]=x
3
, [x
i
, x
1
]=x
i+1
,
2
i
n–1,
[x
1
, x
2
]=
4
x
4
+
5
x
5
+ … +
n-1
x
n–1
+
x
n
,
[x
j
, x
2
]=
4
x
j+2
+
5
x
j+3
+ … +
n+2–j
x
n
,
2
j
n–2,
[y
j
, х]=y
j+1
, 1
j
m–1 ва х
L
0
\
2
0
L ,
б)
[x
1
,
x
1
]=x
3
, [x
i
, x
1
]=x
i+1
,
3
i
n–1,
[x
1
, x
2
]=
4
x
4
+
5
x
5
+ … +
n
x
n
, [x
2
, x
2
]=
x
n
,
[x
j
, x
2
]=
4
x
j+2
+
5
x
j+3
+ … +
n+2–j
x
n
,
3
i
n–2,
[y
j
, х]=y
j+1
, 1
j
m–1 ва х
L
0
\
2
0
L ,
в) [x
i
, x
1
]= x
i+1
,
2
i
n–1,
[x
1
, x
i
]=-x
i+1
,
3
i
n–1,
[x
1
, x
1
]=θ
1
x
n
, [x
1
, x
2
]=-x
3
+ θ
2
x
n
, [x
2
, x
2
]=θ
3
x
n
,
[x
2
, x
j
]=-[x
j
, x
2
]
{x
j+2
, x
j+3
, …, x
n
},
3
j
n–2,
[x
i
, x
j
]=-[x
j
, x
i
]
{x
i+j
, x
i+j+1
, …, x
n
},
3
i
]
2
n
[
, i
j
n–i,
[y
j
, х] = y
j+1
, 1
j
m–1 ва х
L
0
\
2
0
L .
бу ерда L
0
даги келтирилмаган кўпайтмалар нолга тенг.
Таъкидлаш жозки, в) синфда L
0
даги баъзи базис элементлари учун
Лейбниц айнияти текширилмаган ва в) синф Лейбниц супералгебраси
23
бўлиши учун, барча базис элементларда Лейбниц айниятининг бажарилиши
талаб қилинади.
Лемма 2.
L – нилиндекси n+m га тенг бўлган, F
n,m
тўпламда ётувчи
Лейбниц супералгебраси бўлсин. У ҳолда n+m жуфт бўлганда m=n, n+m тоқ
бўлганда эса m=n–1 тенгликлар ўринли бўлади. Хусусан, m=n–1 бўлган
ҳолда а) синфга тегишли L супералгебрасида шундай {x
1
, x
2
, …, x
n
, y
1
, y
2
, …,
y
n-1
} базис топиладики, L нинг бу базисдаги кўпайтириш жадвали қуйидаги
кўринишда бўлади:
[x
1
,x
1
]=x
3
,
[x
i
,x
1
]=x
i+1
,
2 ≤ i ≤ n–1,
[y
j
,x
1
]=y
j+1
,
1 ≤ j ≤ n–2,
[x
1
,y
1
]=
2
1
y
2
,
[x
i
,y
1
]=
2
1
y
i
,
2 ≤ i ≤ n–1,
[y
1
,y
1
]=x
1
,
[y
j
,y
1
]=x
j+1
,
2 ≤ j ≤ n–1,
[x
1
,x
2
]=
4
x
4
+
5
x
5
+ … +
n-1
x
n-1
+
x
n
,
[x
j
,x
2
]=
4
x
j+2
+
5
x
j+3
+ … +
n+2-j
x
n
,
2 ≤ j ≤ n–2,
[y
1
,x
2
]=
4
y
3
+
5
y
4
+ … +
n-1
y
n-2
+
y
n-1
,
[y
j
,x
2
]=
4
y
j+2
+
5
y
j+3
+ … +
n+1-j
y
n-1
, 2 ≤ j ≤ n–3,
(келтирилмаган кўпайтмалар нолга тенг).
Юқорида келтирилган леммага ўхшаш, а) синфдан m=n бўлганда, ҳамда
б) синфдан m=n–1 ва m=n бўлган ҳолларда яна учта филиформ Лейбниц
супералгебралар синфлари ҳосил қилинган. Ҳосил бўлган тўртта синфни мос
равишда L(
4
,
5
, …,
n
,
), M(
4
,
5
, …,
n
,
,
), G(
4
,
5
, …,
n
,
), H(
4
,
5
,
…,
n
,
,
) каби белгилаб оламиз.
Энди L(
4
,
5
, …,
n
,
) синфга тегишли бўлган иккита супералгебра
изоморф бўлишлигининг зарурий ва етарли шартини келтирамиз.
Тасдиқ 1.
Берилган L(
4
,
5
, …,
n
,
) ва
'
L (
4
'
,
5
'
, …,
n
'
,
′)
супералгебралар изоморф бўлиши учун, шундай а
сони топилиб,
'.
a
,
n
j
4
,
'
a
6
n
2
j
)
3
j
(
2
j
шартнинг бажарилиши зарур ва етарли.
Диссертацияда M(
4
,
5
, …,
n
,
,
), G(
4
,
5
, …,
n
,
) ва H(
4
,
5
, …,
n
,
,
) синфлар учун ҳам, юқоридаги каби изоморфлик аломатлари келтирилган
ва бу аломатлар ёрдамида нилиндекси n+m га тенг бўлган филиформ
Лейбниц супералгебраларини тўлиқ таснифи олинган.
Теорема 21 да келтирилган в) синфда ётувчи Лейбниц супералгебралари
учун қуйидаги лемма ўринли.
Лемма 2.
в) синфда ётувчи ихтиёрий Лейбниц супералгебрасининг
нилиндекси n+m дан кичик бўлади.
Тўртинчи бобнинг учинчи параграфида жуфт қисми нол-филиформ
Лейбниц
алгебраси
бўлган,
n+m
нилиндексли
барча
Лейбниц
супералгебралари тавсифланган. Тўртинчи бобнинг учинчи параграфи
асосий натижаси қуйидаги теоремада ўз аксини топади.
24
Теорема 22.
L – характеристик кетма-кетлиги (n | m
1
, m
2
, …, m
s
) га тенг
бўлган Лейбниц супералгебраси бўлсин, бу ерда m
1
m–2. У ҳолда унинг
нилиндекси n+m дан кичик бўлади.
Тўртинчи бобнинг тўртинчи параграфида характеристик кетма-кетлиги
(n–1, 1 | m
1
, m
2
, …, m
s
) га тенг бўлган Лейбниц супералгебралари ўрганилган,
бу ерда m
1
m–1, ҳамда бундай супералгебраларнинг нилиндекси n+m дан
кичик эканлиги исботланган.
Теорема 23.
L – характеристик кетма-кетлиги (n–1, 1 | m
1
, m
2
, …, m
s
) га
тенг бўлган Лейбниц супералгебраси бўлсин, бу ерда m
1
m–1. У ҳолда L
нинг нилиндекси n+m дан кичик бўлади.
Тўртинчи бобнинг бешинчи параграфида асосий натижаларидан бири
қуйидаги теоремада келтирилган.
Теорема 24.
L характеристик кетма-кетлиги (n
1
, n
2
, …, n
k
| m
1
, m
2
, …, m
s
)
га тенг бўлган Лейбниц супералгебраси бўлсин, бу ерда n
1
n–2, m
1
m–1.
Агар супералгебранинг иккала ҳосил қилувчиси ҳам L
1
га тегишли бўлса, у
ҳолда L нинг нилиндекси n+m дан кичик бўлади.
Тўртинчи бобнинг бешинчи параграфида характеристик кетма-кетликли
(n
1
, n
2
, …, n
k
| m
1
, m
2
, …, m
s
) бўлган барча Лейбниц супералгебралари караб
чиқилган ва n
1
n–2 шарт бажарилганда уларнинг нилиндекси n+m дан кичик
эканлиги исботланган.
ХУЛОСАЛАР
1. Яримсодда Лейбниц алгебраларининг бир қанча хоссалари топилиб,
яримсодда Ли алгебраларини содда идеалларнинг тўғри йиғиндиси шаклида
ифодалаш мумкинлиги ҳақидаги натижа Лейбниц алгебралари учун ўринли
бўлмаслиги кўрсатилган.
2. Хосмас Лейбниц дифференциаллашлар ёрдамида чекли ўлчовли
нилпотент Лейбниц алгебраларининг хусусиятлари ўрганилган ва Лейбниц
алгебраси
нилпотент
бўлиши
учун
унинг
хосмас
Лейбниц
дифференциаллашга эга бўлиши зарур ва етарлилиги исботланган.
3. Характеристик нилпотент бўлмайдиган, хамда узунлиги n–1 га тенг
бўлган n ўлчовли комплекс филиформ Лейбниц алгебралари таснифланган.
4. Изоморфизм аниқлигида барча тўрт ўлчамли комплекс Лейбниц
алгебраларининг тавсифи олинган ва нилрадикали уч ўлчамли бўлган беш
ўлчамли ечилувчан Лейбниц алгебралари таснифланган.
5. Нилрадикали нол-филиформ Лейбниц алгебраларининг тўғри
йиғиндисидан иборат бўлган ечилувчан Лейбниц алгебралари таснифланган.
6. Лейбниц алгебраларининг сиқилишларига доир бир қанча натижалар
олинган бўлиб, жумладан агар бирор ечилувчан Лейбниц алгебраси бошқа
бир Лейбниц алгебрага сиқилса, у ҳолда иккинчи алгебранинг нилрадикали
ўлчами биринчи алгебра нилрадикали ўлчамидан кичик эмаслиги
исботланган.
25
7. Алгебралар кўпҳиллигида қуйи сатҳда жойлашган алгебралар
ўрганилиб, биринчи сатҳдаги барча алгебралар, ҳамда ассоциатив, Йордан и
Ли алгебралари кўпхиллигида иккинчи сатҳда жойлашган алгебраларнинг
тўлиқ таснифи олинган.
8.
Лейбниц
алгебраларининг
инфинитезимал
деформациялари
ўрганилган ва нол-филиформ Лейбниц алгебраларининг иккинчи группа
когомологиялари тавсифланган. Битта ҳосил қилувчига эга бўлган Лейбниц
алгебралари синфининг орбитасининг ёпилмаси чекли ўлчамли комплекс
Лейбниц алгебралари кўпҳиллигида келтирилмас компонента эканлиги
исботланган.
9. Табиий усулда градуирланган филиформ Лейбниц алгебраларининг
иккинчи группа когомологиялари топилган.
10. Тоқ ва жуфт қисмларининг ўлчамлари n ва m га нилиндекси n+m га
тенг
бўлган
Ли
супералгебраларининг
таснифи
Лейбниц
супералгебраларигача давом эттирилган.
Диссертация назарий ҳарактерга эга. Диссертацияда олинган асосий
натижалар ва усуллардан бошқа турдаги алгебра ва супералгебралар
назарияларини ўрганишда, категориялар назариясида, турли хил усулларда
градуирланган алгебраларни таснифлашда, гомологик ва когомологик
группаларни ҳисоблашда, ҳамда назарий физиканинг турли жараёнларини
таҳлил қилишда фойдаланиш куталади.
26
27
НАУЧНЫЙ СОВЕТ 16.07.2013.FM.01.01 ПО ПРИСУЖДЕНИЮ
УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ДОКТОРА НАУК
ПРИ НАЦИОНАЛЬНОМ УНИВЕРСИТЕТЕ УЗБЕКИСТАНА
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ПРИ
НАЦИОНАЛЬНОМ УНИВЕРСИТЕТЕ УЗБЕКИСТАНА
ХУДОЙБЕРДИЕВ АБРОР ХАКИМОВИЧ
СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ КОНЕЧНОМЕРНЫХ КОМПЛЕКСНЫХ
АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА И КЛАССИФИКАЦИЯ НИЛЬПОТЕНТНЫХ
СУПЕРАЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА
01.01.06 – Алгебра
(физико-математические науки)
АВТОРЕФЕРАТ ДОКТОРСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ
Ташкент – 2016
28
Тема докторской диссертации зарегистрирована в Высшей аттестационной комиссии при
Кабинете Министров Республики Узбекистан за № 30.09.2014/B2014.3-4.FM22.
Докторская диссертация выполнена в Институте Математики при Национальном
университете Узбекистана.
Автореферат диссертации на трех языках (узбекский, русский, английский) размещен на
веб-странице Научного совета (http://ik-fizmat.nuu.uz/) и информационно-образовательном портале
«ZIYONET» (www.ziyonet.uz)
Научный консультант:
Аюпов Шавкат Абдуллаевич
доктор физико-математических наук, профессор,
академик.
Официальные оппоненты:
Хаджиев Джавват
доктор физико-математических наук, профессор,
академик
Кудайбергенов Каримберган Кадирбергенович
доктор физико-математических наук
Аллаков Исмаил
доктор физико-математических наук, доцент
Ведущая организация:
Институт математики и математического
моделирования Министерство образования и
науки Республики Казахстан
Защита диссертации состоится
«24» марта
2016 года в
10
00
часов на заседании Научного
совета 16.07.2013.FM.01.01 при Национальном университете Узбекистана. (Адрес: 100174, г.
Ташкент, Алмазарский район, ул. Университетская, 4. Тел.: (99871)227-12-24, факс: (99871) 246-
53-21, e-mail: nauka@nu.uz.)
С докторской диссертацией можно ознакомиться в Информационно-ресурсном центре
Национального университета Узбекистана (зарегистрирована за №
М 14912
). (Адрес: 100174, г.
Ташкент, Алмазарский район, ул. Университетская, 4. Тел.: (99871)246-02-24).
Автореферат диссертации разослан
«19» февраля
2016 года.
(протокол рассылки №
2
от
«19» февраля
2016 года).
А.А.Азамов
Председатель Научного совета по присуждению
ученой степени доктора наук, д.ф.-м.н., профессор
А.А.Абдушукуров
Ученый секретарь Научного совета по присуждению
ученой степени доктора наук, д.ф.-м.н., профессор
У.А.Розиков
Председатель научного семинара при Научном
совете по присуждению ученой степени доктора
наук, д.ф.-м.н., профессор
29
Введение (аннотация докторской диссертации)
Актуальность
и
востребованность
темы
диссертации.
Алгебраические средства весьма полезны при исследовании элементарных
частиц в квантовой механике, свойств твердого тела и кристаллов, при
анализе модельных задач экономики, в задачах популяционной биологии и
т.д. Так как ассоциативные алгебры, задающиеся определенным тождеством,
начаты
рассмотривашья
после
выявления
свойства
замкнутости
относительно обычного умножения квадратных матриц, то их дальнейшее
интенсивное развитие привело к созданию теории альтернативных, лиевых,
йордановых алгебр, которые тесно переплетены между собой и имеют
многочисленные связи с различными областями математики.
Алгебры
Лейбница являются обобщениями алгебр Ли, и поэтому многие свойства,
справедливые для алгебр Ли, продолжаются на случай алгебр Лейбница.
Одним из приоритетных направлений исследований, в этой области, является
доказательство аналогов теорем из теории алгебр Ли для алгебр Лейбница и
детальное изучение свойств, присущих не Лиевым алгебрам Лейбница.
Из классической теории алгебр Ли известно, что произвольная
конечномерная алгебра Ли над полем характеристики нуль разлагается в
полупрямую сумму максимального разрешимого идеала и её полупростой
подалгебры. В свою очередь конечномерные алгебры Лейбница также
разлагаются в полупрямую сумму максимального разрешимого идеала и
полупростой
алгебры
Ли.
Исследование
разрешимых
алгебр
с
нильрадикалами специальных типов связано с различными моделями
физики. Таким образом, аналогично случаю алгебры Ли, изучение
разрешимых алгебр Лейбница с заданными нильрадикалами является
актуальной задачей.
Напомним, что нильпотентные алгебры Ли являются разрешимыми
алгебрами специального типа. В связи с тем, что описание нильпотентных
алгебр Ли представляется необозримой задачей, то их изучение должно
проводится с дополнительными ограничениями. В частности, при изучении
нильпотентных алгебр одним из основных ограничений является
ограничение
на
индекс
нильпотентности.
Следует
отметить,
что
максимальный нильиндекс для алгебры Ли совпадает с размерностью самой
алгебры, и такие алгебры получили название филиформных алгебр. Несмотря
на то, что филиформные алгебры Лейбница в классе нильпотентных алгебр
имеют относительно простое ограничение, они имеют достаточно сложную
структуру,
которую
удобно
исследовать
с
наложением
условия
градуирования. Эффективность максимальной градуировки обусловлена тем,
что она даёт максимально точную информацию о структурных константах в
таблице умножения алгебры.
Понятия вырождения, сжатия и деформации алгебры появились из
физики. Например, сжатие в алгебре Ли с физической точки зрения означает
процесс при котором одна физическая модель получается из другой
пределом при воздействии группы инвариантов, в то время как, деформации
30
характеризуются локальным поведением в малой окрестности многообразия
объектов заданного типа. Таким образом, изучение деформаций алгебр важно
при исследовании локальных геометрических свойств многообразий. В силу
того, что алгебраическое многообразие есть объединение конечного числа
неприводимых компонент и замыкание орбит жестких алгебр дает
неприводимые компоненты многообразия, то нахождение жестких алгебр
представляет собой определенный интерес при исследовании свойств
конечномерных алгебр с геометрической точки зрения. Основной причиной
востребованности исследований, связанных с тематикой настоящей
диссертации, является тесная связь алгебр Лейбница и их когомологических
свойств с проблемами йордановых алгебр, алгебр Ли и других их обобщений.
Мотивация изучения другого обобщения алгебр Ли - супералгебр Ли
возникла из свойств суперсимметрии в математической физике. Теория
супералгебр Ли зарекомендовала себя как универсальный объект в
современной алгебре. Так как супералгебры Лейбница обобщают не только
алгебры Лейбница, но и супералгебры Ли, то, естественно, их изучение
должно проходить в некоторой степени параллельно исследованиям данных
многообразий. Аналогично алгебрам Лейбница, изучение конечномерных
нильпотентных
супералгебр
Лейбница
с
максимальным
индексом
нильпотентности
и
супералгебр
Лейбница,
имеющих
индекс
нильпотентности, равный размерности самих супералгебр, является
актуальной проблемой.
Связь исследования к приоритетным направлениям развития науки
и технологий республики.
Настоящая работа выполнена в соответствии с
приоритетными направлениями развития науки и технологий Республики
Узбекистан № Ф4 «Математика, механика и информатика».
Обзор зарубежных научных исследований по теме диссертации.
В
направлениях структурной теории неассоциативных алгебр, в частности,
алгебр Ли и алгебр Лейбница, и изучение их когомологических свойств
ведутся широкие научные исследования в научных центрах и университетах
ведущих стран, в том числе в Institut de Recherche Mathématique Avancée,
Université de Haute Alsace, Institut de mathématiques de Jussieu (Фрация);
University of Seville, University of Santiago de Compostela, Complutense
University of Madrid (Испания); University of Dusseldorf, Institut Computational
Mathematics (Германия); University of Vienna (Австрия); Eötvös Loránd
University (Венгрия); University of San-Diego, University of Iowa, University of
Toledo (США); University of Sao Paulo (Бразилия); East China Normal
University (Китай); University of Putra Malaysia (Малайзия); University of
Sydney (Австралия); Московский государственный университет, Институт
математики имени С.Л.Соболева (Россия); Институт математики и
математического моделирования (Казахстан).
В результате научных исследований, проведенных по описанию
конечномерных комплексных алгебр Ли, классификации нильпотентных и
разрешимых алгебр Лейбница и нахождению их замыканий орбит, в мировом
масштабе решен целый ряд актуальных задач, в том числе, были получены
31
следующие
научные
результаты:
описаны
естественным
образом
градуированные филифорные алгебры Ли и нильпотентные алгебры Ли
малых размерностей (Institut de Recherche Mathématique Avancée, Université
de Haute Alsace); получено полное описание семимерных нильпотентных
алгебр Ли (University of Toledo); получено геометрическое описание
трехмерных и четырехмерных алгебр Ли, а также найдены их замыкания
орбит (University of Dusseldorf, Institut Computational Mathematics);
классифицированы разрешимые алгебры Ли, нильрадикал которых является
естественным образом градуированной филиформной алгеброй (Complutense
University of Madrid); доказано, что вторая группа когомологий жестких
алгебр Лейбница равна нулю (Institut de mathématiques de Jussieu);
классифицированы естественным образом градуированные 2-филиформные
и квази-филиформные алгебры Лейбница (University of Seville); получено
полное описание филиформных алгебр Лейбница до размерности 10
(University of Putra Malaysia); доказано, что произвольная конечномерная
комплексная алгебра Лейбница представляется в виде полупрямой суммы
полупростой алгебры Ли и разрешимого радикала (University of Sydney).
На
сегодняшний
день
осуществляются
приоритетные
научно-
исследовательские работы по описанию разрешимых алгебр Лейбница с
заданными нильрадикалами, нахождению замыканий орбит алгебр Лейбница
малых размерностей, нахождению жестких алгебр в многообразии
конечномерных алгебр Лейбница, описанию дифференцирований и
инфинитезимальных деформаций алгебр Лейбница.
Степень изученности проблемы.
В классической теории алгебр Ли
хорошо известен результат о том, что любая конечномерная алгебра Ли
представляется в виде полупрямой суммы полупростой подалгебры и её
максимального разрешимого идеала (теорема Леви), причём полупростая
алгебра Ли разлагается в прямую сумму простых идеалов. Аналог теоремы
Леви для алгебры Лейбница был доказан Д.Барнсом в 2011 году.
Н.Джекобсон установил, что над полем характеристики нуль алгебра Ли,
имеющая невырожденное дифференцирование, нильпотентна, но обратная
гипотеза, т.е. следует ли из нильпотентности алгебры Ли существование
невырожденного дифференцирования, была открыта. Пример нильпотентной
алгебры Ли, у которой все дифференцирования нильпотентны (а значит,
вырождены), отвечающий на этот вопрос отрицательно, был построен
Ж.Дискмье и В.Г.Листером. Впоследствии, алгебры, у которых все
дифференцирования нильпотентны, получили название характеристически
нильпотентных. Характеристически нильпотентные алгебры Ли изучены в
работах Ю.Хакимджанова, Ф.Ж.Кастро-Хименеза, Х.Н.Валдеса и др.
Описание нильпотентных алгебр Ли малых размерностей и n-мерных
алгебр с помощью естественной градуировки рассмотрено в работах
Х.М.Кабезаса, Э.Пастора, Х.Р.Гомеза, Х.М.Анкочеа-Бермудеса, А.Хименеза-
Мершана, М.Гозе, Ю.Б.Хакимджанова, Ж.Рейеса и других, а в случае алгебр
Лейбница – в работах Ш.А.Аюпова, Б.А.Омирова, И.С.Рахимова, Х.Р.Казаса,
М.Ладры, Х.Р.Гомеза, Л.М.Камачо, И.М.Рихсибоева и А.Р.Гонсалеса. Другой
32
вид градуировки, так называемой максимальной градуировки, предложен
Ю.Б. Хакимджановым, и в работе Х.Р.Гомеза, А.Хименез-Мершана,
Ж.Рейеса классифицированы филиформные алгебры Ли максимальной
длины. Так в работах Ш.А.Аюпова, Б.А.Омирова, Х.Р.Гомеза, Л.М.Камачо
получены классификации филиформных и квази-филиформных алгебр
Лейбница максимальной длины.
В 1945 году А.И.Мальцев доказал, что разрешимая алгебра Ли
определяется однозначно ее нильрадикалом. Далее, в 1963 году
Г.М.Мубарякзянов разработал метод построения разрешимых алгебр Ли с
помощью
нильрадикала
и
ниль-независимых
дифференцирований
нильрадикала. Методом Мубарякзянова, в работах Х.М.Анкочеа-Бермудеса,
Р.Кампамур-Струстберга, В.Бойко, Ж.С.Ндогмо, П.Винтернитса, Л.Снобла,
Й.Ванга были получены описания некоторых классов разрешимых алгебр Ли.
Описанию разрешимых алгебр Лейбница с некоторыми заданными
нильрадикалами посвящены работы Х.М.Касаза, М.Ладры, Б.А.Омирова,
И.А.Каримжанова, Л.Боско, Ж.Д.Думбара.
Классическая теория деформаций ассоциативных алгебр и алгебр Ли
восходит к работам М.Герстенхабера и А.Нейенхейса, Р.В.Ричардсона в 60-х
годах прошлого столетия. Ими были изучены однопараметрические
деформации и установлена связь между когомологией алгебры Ли и
инфинитезимальными деформациями. В работах А.Фиаловски, М.Пенкава,
М.Гильда, Д.В.Миллионщикова рассмотрены различные виды деформаций
алгебр Ли и изучены их свойства. В частности, в работах Ю.Б.Хакимджанова
и
Р.М.Наварро
были
описаны
инфинитезимальные
деформации
филиформных алгебр и супералгебр Ли. Изучению когомологических
свойств и деформаций алгебр Лейбница посвящены работы Ж.Л.Лоде и
Т.Пирашвили, Д.Балована, Ж.М.Лоддера, А.Фиаловского и др.
Основные понятия и систематическое изложение основ супералгебр Ли
приведены в монографии В.Г.Каца. Описанию простых и полупростых
супералгебр Ли посвящены работы Ф.А.Березина, В.Г.Каца, Д.А.Лейтеса и
других. Изучению же нильпотентных супералгебр Ли на данный момент
посвящены работы Х.Р.Гомеза, Ю.Б.Хакимджанова, Р.М.Наварро, М.Гильда
и других. Понятие супералгебры Лейбница впервые появилось в 2005 году в
работе С.Альбеверио, Ш.А.Аюпова и Б.А.Омирова. Более того, ими были
классифицированы супералгебры Лейбница с максимальным нильиндексом,
и, как оказалось, они имеют нильиндекс равный n+m+1. Первая попытка
описания супералгебры Лейбница с нильиндексом n+m и характеристической
последовательностью, равной (n | m–1, 1), была предпринята в работе
Л.М.Камачо, Х.Р.Гомеза, Р.М.Наварро и Б.А.Омирова.
Связь темы диссертации с научно-исследовательскими работами
высшего учебного заведения, в которой выполняется диссертация.
Исследование выполнено в соответствии с планом научного исследования
«Полупростые супералгебры Лейбница и их дифференцирования», Институт
Математики (ФЁ4-ФА-Ф016, 2012-2013 гг.); «Линейно продолжаемые и
инфинитезимальные деформации разрешимых алгебр Лейбница», Институт
33
Математики (ЁФ4-ОТ-0-20581, 2014-2015 гг.); «Неассоциативные и
операторные алгебры, динамические системы и их приложения в
статистической физике и популяционной биологии» Институт Математики
(Ф4-ФА-Ф013, 2012-2016 гг.); «Структурная теория неассоциативных алгебр,
банаховых модулей и дискретные динамические системы», Национальный
университет Узбекистана (Ф-4-09, 2012-2016 гг.)
Целью
исследования
является
изучение
структурной
теории
комплексных конечномерных алгебр Лейбница и их дифференцирований,
дальнейшее развитие теории вырождений и деформаций неассоциативных
алгебр, а также описание нильпотентных супералгебр Лейбница.
Задачи исследования,
решаемые в данной работе, следующие:
изучение свойств нильпотентных конечномерных алгебр Лейбница;
описание свойств полупростых алгебр Лейбница и построение примеров
полупростых алгебр Лейбница, которые не разлагаются в прямую сумму
простых алгебр;
классификация комплексных n-мерных филиформных алгебр Лейбница,
не являющихся характеристически нильпотентными, и описание с точностью
до изоморфизма комплексных n-мерных филиформных алгебр Лейбница
длины n–1;
классификация разрешимых алгебр Лейбница малых размерностей и
описание разрешимых алгебр Лейбница, нильрадикал которых является
прямой суммой нуль-филиформных идеалов;
изучение алгебр нижнего уровня в некоторых многообразиях алгебр;
исследование группы когомологий нуль-филиформных и филиформных
алгебр Лейбница;
классификация супералгебр Лейбница с нильиндексом n+m, где n и m -
размерности четной и нечетной части, соответственно.
Объект исследования.
Нильпотентные алгебры Лейбница, разрешимые
алгебры,
полупростые
алгебры,
дифференцирования,
вырождения,
деформации, группы когомологий, нильпотентные супералгебры Лейбница.
Предмет исследования.
Z – градуированные филиформные алгебры
Лейбница, характеристически нильпотентные алгебры, четырехмерные и
пятимерные разрешимые алгебры Лейбница, дифференцирования и
деформации нуль-филиформных и филиформных алгебр Лейбница,
нильпотентные супералгебры
Лейбница с максимальным индексом
нильпотентности.
Методы исследования.
В работе используются классификационные
методы, метод градуирований, метод структурных констант, методы теории
вырождений, теории деформаций и теории инвариантов.
Научная новизна исследования
состоит в следующем:
получена характеризация нильпотентности конечномерной алгебры
Лейбница в терминах Лейбницевых дифференцирований;
классифицированы филиформные алгебры Лейбница, не являющиеся
характеристически нильпотентными, и n-мерные филиформные алгебры
Лейбница длины n–1;
34
построен пример, показывающий, что классический результат о
разложении полупростой алгебры Ли в прямую сумму простых идеалов не
является верным для алгебр Лейбница;
получено полное описание четырехмерных комплексных алгебр
Лейбница и классифицированы пятимерные комплексные разрешимые
алгебры Лейбница с трехмерным нильрадикалом;
описаны с точностью до изоморфизма разрешимые алгебры Лейбница,
нильрадикал которых является прямой суммой нуль-филиформных идеалов;
классифицированы все алгебры уровня один и алгебры уровня два в
многообразиях конечномерных комплексных ассоциативных, йордановых и
лиевых алгебр;
описаны вторые группы когомологий нуль-филиформных алгебр
Лейбница
и
получено
описание
инфинитезимальных
деформаций
естественным образом градуированных филиформных алгебр Лейбница;
описаны все супералгебры Лейбница с нильиндексом n+m, и доказано,
что кроме нуль-филиформных и филиформных супералгебр Лейбница и
супералгебр Лейбница, имеющих характеристическую последовательность
(n | m–1, 1), все остальные супералгебры Лейбница имеют нильиндекс
меньше, чем n+m.
Практические результаты исследования.
В результате исследований
супералгебр Лейбница были разработаны новые методы исследования,
использующие метод градуировки свойства четной части супералгебры. В
частности, известное описание супералгебры Ли максимального нильиндекса
получено более изящным и простым способом.
Результаты диссертации, касающиеся классификации разрешимых
алгебр Лейбница малых размерностей, позволят проверить справедливость
ряда гипотез относительно разрешимых алгебр Лейбница произвольных
заданных размерностей.
Достоверность результатов исследования
обоснована строгостью
математических
рассуждений,
использованием
известных
методов
исследования других классов алгебр и супералгебр, применением
фундаментальных результатов теории алгебр и супералгебр Ли. Результаты
классификационных утверждений в случае малых заданных размерностей
были проверены с помощью специально созданных программ на языке
математического программирования Mathematica 12.
Научная и практическая значимость результатов исследования.
Научное значение результатов исследования заключается в том, что
полученные в работе научные результаты могут быть использованы для
дальнейших исследований других многообразий алгебр и супералгебр. В
частности, техника и методы, разработанные в данной диссертации, могут
быть использованы для решения известной проблемы Грюневальда о не
существовании жестких нильпотентных алгебр Ли в многообразии всех
алгебр Ли.
Практическая значимость диссертации состоит в том, что результаты
диссертации, касающиеся классификации разрешимых алгебр Лейбница
35
малых размерностей, позволят проверить справедливость ряда гипотез
относительно разрешимых алгебр Лейбница произвольных заданных
размерностей. Классификации конечномерных алгебр уровня один и уровня
два являются важным результатом для получения полной информации о
дереве вырождений других многообразий алгебр
.
Внедрение
результатов
исследования.
Описание
n-мерных
комплексных филиформных алгебр Лебница длины n-1 и филиформных не
характеристически нильпотентных алгебр Лейбница были использованы в
исследованиях зарубежного проекта FQM143(University of Sevilla, Spain,
справка от 25 сентября 2015 года). В частности, данное описание было
использовано при получении классификации естественным образом
градуированных квази-филиформных алгебр Лейбница и при описании
комплексных не лиевых разрешимых алгебр Лейбница с филиформными
нильрадикалами.
Полученное в диссертационной работе описание инфинитезимальных
деформаций нильпотентных супералгебр Лейбница и характеризация свойств
некоторых полупростых алгебр Лейбница использованы в исследованиях
проекта MTM2009-14464-C02 (Institute of Mathematics at the University of
Santiago de Compostela, Spain, справка от 4 ноября 2015 года) при описании
вторых групп когомологий простых алгебр Лейбница.
Описание инфинитезимальных деформаций нильпотентных алгебр
Лейбница использованы в проекте 05-02-12-2188FR (Университет Путра
Малайзия, справка от 2 февраля 2016 года) для описания замыканий орбит
некоторых классов алгебр Лейбница под действием линейной группы на
многообразия алгебр Лейбница.
Апробация
результатов
исследования.
Основное
содержание
диссертации обсуждалось на следующих международных и республиканских
научных конференциях: «Операторные алгебры и квантовая теория
вероятностей» (Ташкент, 2005 г.), «Дифференциальные уравнения и их
приложения» (Нукус, 2009 г.), «Операторные алгебры и квантовая теория
вероятностей» (Ташкент, 2012 г.), «Современные проблемы комплексного и
функционального анализа» (Нукус, 2012 г.), «Актуальные проблемы
математического анализа» (Ургенч, 2012 г.), «Современные проблемы
дифференциальных уравнений и их приложения» (Ташкент, 2013 г.),
«Проблемы современной топологии и её приложения» (Ташкент, 2013 г.),
«Неклассические уравнения математической физики и их приложения»
(Ташкент, 2014 г.), «Алгебра, анализ и квантовая вероятность» (Ташкент,
2015 г.).
Настоящая работа обсуждалась на республиканских семинарах
«Операторные алгебры и их приложения» Института Математики при
Национальном
университете
Узбекистана,
на
научном
семинаре
«Современная алгебра и её приложения» Национального университета
Узбекистана, на городском семинаре кафедры алгебры и функционального
анализа Национального университета Узбекистана, на семинарах Института
Математики, Университет Сантьяго де Компостела (Испания, 2012 г.),
36
семинаре “On recent achievements on harmonic analysis, algebras and their
applications” Университет Путра Малайзия (Малайзия, 2013 г.), семинаре
“Non-associative algebras” Университет Севилья (Испания, 2014 г.).
Полученные
результаты
докладывались
также
на
следующих
международных конгрессах «International Congress of Mathematicians-Seoul
2014» (Korea, 2014), «TWAS 25
th
General Meeting. 2014» (Oman, 2014).
Опубликованность результатов исследования.
По теме диссертации
опубликовано 40 научных работах, из них 5 статей в национальных
журналах, 18 статей в зарубежных журналах, 17 тезисов в научных
конференциях.
Объём и структура диссертации.
Диссертация состоит из введения,
четырех глав, выводов, заключения и списка использованной литературы из
184 наименований. Общий объем диссертации составляет 200 страниц.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении
обоснована актуальность и востребованность темы
диссертации,
определено
соответствие
исследования
приоритетным
направлениям развития науки и технологий республики, приведен обзор
зарубежных научных исследований по теме диссертации и степень
изученности проблемы, сформулированы цели и задачи, выявлены объекты и
предмет исследования, изложены научная новизна и практические
результаты исследования, раскрыта теоретическая и практическая значи-
мость полученных результатов, даны сведения о внедрении результатов
исследования, об опубликованных работах и о структуре диссертации.
В первой главе диссертации, названной
«Описание полупростых и
филиформных алгебр Лейбница»,
приведены предварительные сведения,
получены некоторые свойство полупростых алгебр, классифицированы
комплексные n-мерные филиформные алгебры Лейбница длины n–1 и
описаны с точностью до изоморфизма филиформные алгебры Лейбница, не
являющиеся характеристически нильпотентнымы.
Определение 1.
Алгебра L над полем F называется алгеброй Лейбница,
если для любых элементов x, y, z
L выполняется тождество Лейбница:
[x, [y, z]] = [[x, y], z] – [[x, z], y],
где [-,-]
умножение в L.
Для произвольной алгебры Лейбница L определим ряды:
а) L
[1]
= L, L
[n+1]
= [L
[n]
, L
[n]
];
б) L
1
= L, L
n+1
= [L
n
, L
1
] .
Определение 2.
Алгебра Лейбница L называется разрешимой, если
существует m
N такое, что L
[m]
=0. Натуральное число m называется
индексом разрешимости алгебры L, если L
[m-1]
0 и L
[m]
=0.
Алгебра Лейбница L называется нильпотентной, если существует s
N
такое, что L
s
=0. Минимальное число s, обладающее таким свойством,
называется индексом нильпотентности (нильиндексом) алгебры L.
37
Максимальный нильпотентный (разрешимый) идеал алгебры Лейбница
L называется нильрадикалом (радикалом).
Известно, что в произвольной не Лиевой алгебре Лейбница существует
идеал, порожденный квадратами I = span{[x,x], x
L}, и фактор-алгебра L/I
является алгеброй Ли. В связи с тем, что в классическом понимании алгебры
Лейбница не являются простыми, то в работе А.С.Джумадильдаева
предложено следующее естественное определение простой алгебры
Лейбница.
Определение 3.
Алгебра Лейбница L называется простой, если L
2
I и она
имеет только следующие идеалы: {0}, I, L.
Определение 4.
Алгебра Лейбница L называется полупростой, если её
максимальный разрешимый идеал равен I.
Очевидно, что если L простая, то фактор-алгебра L/I – простая алгебра
Ли. Но обратная утверждения, вообще говоря, неверен, т.е. существует
алгебра Лейбница L, не являющейся простой, но L/I – простая алгебра Ли.
Определение 5. Алгебра Лейбница L называется Ли-простой, если L/I
является простой алгеброй Ли.
Как было отмечено, аналог теоремы Леви для алгебры Лейбница было
доказан Д.Барнсом. А вопрос о том, что разлагается ли полупростая алгебра
Лейбница в прямую сумму простых идеалов, рассмотрен в первом параграфе
первой главы диссертации.
Пусть L – полупростая алгебра Лейбница и I – идеал, порожденный
квадратами элементов алгебры L. Тогда L = S + I, где S – полупростая
алгебра Ли и [I, S] = I. Более того, имеем разложение S=S
1
S
2
…
S
k
, т.е.,
L = (S
1
S
2
…
S
k
) + I. Введем обозначение I
j
= [I, S
j
], 1
j
k.
В следующим теореме доказано, что если простые алгебры S
1
, S
2
, …, S
k-1
изоморфны трехмерной алгебре sl
2
и каждый I
j
неприводимый модуль над S
j
,
то полупростая алгебра Лейбница L разлагается в прямой сумму простых
идеалов.
Теорема 1
. Пусть L – полупростая алгебра Лейбница такая, что
L=(
1
2
sl
2
2
sl
…
1
-
k
2
sl
S
k
) + I. Пусть I
j
– неприводимый модуль над
j
2
sl
(1≤j≤k–1) и I
k
– неприводимый модуль над S
k
. Тогда L разлагается в прямую
сумму простых алгебр Лейбница, а именно,
L = (
1
2
sl +I
1
)
(
2
2
sl +I
2
)
…
(
1
-
k
2
sl +I
k-1
)
(S
k
+I
k
).
Отметим, что если I
j
приводим над S
j
, то полупростая алгебра Лейбница
не представляется в виде прямой суммы простых идеалов. Однако она могут
разлагается в прямую сумму Ли-простых алгебр Лейбница. Естественно
возникает вопрос: разлагается ли всякая полупростая алгебра Лейбница в
прямую сумму Ли-простых алгебр?
Следующий пример дает отрицательный ответ на этот вопрос.
Пример 1.
Пусть L – 10-мерная полупростая алгебра Лейбница. Пусть
{x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, e
1
, f
1
, h
1
, e
2
, f
2
, h
2
} – базис в L такой, что I = {x
1
, x
2
, x
3
, x
4
},
1
2
sl =
{e
1
, f
1
, h
1
},
2
2
sl ={e
2
, f
2
, h
2
} и имеет место следующая таблица умножения:
38
[
1
2
sl ,
1
2
sl ]: [e
1
, h
1
] = 2e
1
,
[f
1
, h
1
] = –2f
1
,
[e
1
, f
1
] = h
1
,
[h
1
, e
1
] = –2e
1
,
[h
1
, f
1
] = 2f
1
,
[f
1
, e
1
] = –h
1
,
[
2
2
sl ,
2
2
sl ]:
[e
2
, h
2
] = 2e
2
,
[f
2
, h
2
] = –2f
2
,
[e
2
, f
2
] = h
2
,
[h
2
, e
2
] = –2e
2
,
[h
2
, f
2
] = 2f
2
,
[f
2
, e
2
] = –h
2
,
[I,
1
2
sl ]: [x
1
, f
1
] = x
2
,
[x
1
, h
1
] = x
1
,
[x
2
, e
1
] = –x
1
,
[x
2
, h
1
] = –x
2
,
[x
3
, f
1
] = x
4
,
[x
3
, h
1
] = x
3
,
[x
4
, e
1
] = –x
3
,
[x
4
, h
1
] = –x
4
,
[I,
2
2
sl ]: [x
1
, f
2
] = x
3
,
[x
1
, h
2
] = x
1
,
[x
3
, e
2
] = –x
1
,
[x
3
, h
2
] = –x
3
,
[x
2
, f
2
] = x
4
,
[x
2
, h
2
] = x
2
,
[x
4
, e
2
] = –x
2
,
[x
4
, h
2
] = –x
4
.
Из этих умножений имеем, что [I,
1
2
sl ] = I, [I,
2
2
sl ] = I и модуль I
разлагается над
1
2
sl в виде {x
1
, x
2
}
{x
3
, x
4
}, над
2
2
sl в виде {x
1
, x
3
}
{x
2
, x
4
}.
Нетрудно проверить, что если алгебра L разлагается в прямую сумму Ли-
простых алгебр, то она должна иметь вид (
1
2
sl + I
1
)
(
2
2
sl +I
2
). В силу того,
что [I
1
,
2
2
sl ] ≠ 0 и [I
2
,
1
2
sl ] ≠ 0, мы получаем противоречие с существованием
разложения алгебры L в прямую сумму Ли-простых идеалов.
Определим понятие Лейбницева дифференцирования для алгебры
Лейбница.
Определение 6.
Линейное преобразование d в алгебре Лейбница L
называется Лейбницевым дифференцированием порядка n, если для любых
x
1
, x
2
, …, x
n
L выполняется следующее равенство:
].
x
,
],
)
x
(
d
],
x
,
],
x
,
x
...[...[[
[
=
])
x
,
]
x
,
]
x
,
x
...[[
([
d
n
i
1
i
2
1
n
1
=
i
n
3
2
1
В
следующей
теореме
приведён
критерий
нильпотентности
комплексных алгебр Лейбница в терминах Лейбницева дифференцирования.
Теорема 2.
Алгебра Лейбница над полем характеристики нуль является
нильпотентной тогда и только тогда, когда она имеет невырожденное
Лейбницево дифференцирование.
Определение 7.
Алгебра Лейбница L называется филиформной, если dim
L
i
= n–i, 2
i
n.
Известно, что в любой n-мерной комплексной филиформной алгебре
Лейбница существует базис {e
1
, e
2
, …, e
n
} такой, что ее умножение в этом
базисе имеет один из следующих видов:
F
1
(
4
,
5
, ...,
n
,
): [e
1
, e
1
] = e
3
,
[e
i
, e
1
] = e
i+1
,
2 ≤ i ≤ n – 1,
[e
1
, e
2
] =
4
e
4
+
5
e
5
+ … +
n-1
e
n–1
+
e
n
,
[e
j
, e
2
] =
4
e
j+2
+
5
e
j+3
+ … +
n+2–j
e
n
,
2 ≤ j ≤ n – 2,
F
2
(
4
,
5
, …,
n
,
): [e
1
, e
1
] = e
3
,
[e
i
, e
1
] = e
i+1
,
3 ≤ i ≤ n – 1,
[e
1
, e
2
] =
4
e
4
+
5
e
5
+ … +
n
e
n
,
[e
2
, e
2
] =
e
n
,
[e
j
, e
2
] =
4
e
j+2
+
5
e
j+3
+ … +
n+2–j
e
n
,
3 ≤ j ≤ n – 2,
F
3
(θ
1
, θ
2
, θ
3
):
[e
i
, e
1
] = e
i+1
,
2 ≤ i ≤ n – 1,
[e
1
, e
i
] = –e
i+1
,
3 ≤ i ≤ n – 1,
[e
1
, e
1
] = θ
1
e
n
,
[e
1
, e
2
] = –e
3
+θ
2
e
n
,
[e
2
,e
2
] = θ
3
e
n
,
[e
2
, e
j
] = –[e
j
, e
2
]
{e
j+2
, e
j+3
, …, e
n
},
3 ≤ j ≤ n – 2,
39
[e
i
, e
j
] = –[e
j
, e
i
]
{e
i+j
, e
i+j+1
, …, e
n
}, 3 ≤ i ≤
]
2
n
[
, i ≤ j ≤ n–i,
где
i
,
,
i
,
и отсутствующие произведения равны нулю.
Определение
8.
Нильпотентная
алгебра
Лейбница
называется
характеристически нильпотентной, если любое её дифференцирование
нильпотентно.
В
следующих
теоремах
предложена
классификация
не
характеристически нильпотентных алгебр Лейбница из классов F
1
(
4
,
5
, ...,
n
,
) и F
2
(
4
,
5
, …,
n
,
).
Теорема 3.
Пусть L – не характеристически нильпотентная алгебра
Лейбница из класса F
1
(
4
,
5
, ...,
n
,
). Тогда она изоморфна одной из
следующих попарно неизоморфных алгебр:
,
n
s
4
),
,
,
,
,
(
F
n
n
5
4
s
1
где
,
3
s
s
k
=
t
при
3))
(s
mod
(
s
k
если
,
Q
1)
(
3));
(s
mod
(
s
k
если
0,
=
1
s
1
t
t
k
4 ≤ k ≤ n и
)
!
n
1)
p
(
(
!
n
)!
pn
(
1
n
1)
p
(
1
=
Q
p
n
– число Каталана степени p.
Теорема 4.
Пусть L – не характеристически нильпотентная
филиформная алгебра Лейбница из класса
)
,
,
,
,
(
F
n
5
4
2
. Тогда она
изоморфна одной из следующих попарно неизоморфных алгебр:
при четным n:
,0,0)
,0
1
,0,
(0,
F
j
j
2
, 1
j
n–2;
при нечетным n:
,0,1)
,0,
,0,
(0,
F
2
1
n
2
и
,0)
,0
1
,0,
(0,
F
j
j
2
, 1
j
n–3.
Далее рассмотрим филиформную алгебру Лейбница L из класса
)
,
,
(
F
3
2
1
3
.
Нетрудно видеть, что если L – не характеристически нильпотентная
филиформная алгебра Лейбница из класса
)
,
,
(
F
3
2
1
3
, то таблица
умножения алгебры имеет следующий вид:
1.
n
i
2
,
e
1)
(
=
]
e
,
e
[
=
]
e
,
e
[
,
e
=
]
e
,
e
[
,
e
e
=
]
e
,
e
[
,
e
=
]
e
,
e
[
1,
n
i
3
,
e
=
]
e
,
e
[
1,
n
i
2
,
e
=
]
e
,
e
[
=
)
,
,
(
L
n
i
i
i
1
n
i
1
n
i
n
3
2
2
n
2
3
2
1
n
1
1
1
1
i
i
1
1
i
1
i
3
2
1
Теорема 5.
Пусть L – не характеристически нильпотентная
филиформная алгебра Лейбница из класса
)
,
,
(
F
3
2
1
3
. Тогда она изоморфна
одной из следующих попарно не изоморфных алгебр:
40
(0,0,1).
L
(0,1,0),
L
(1,0,0),
L
Пусть L – Z-градуированная алгебра Лейбница с конечным числом
ненулевых пространств, т.е. L=
Z
i
V
i
, где [V
i
, V
j
]
V
i+j
для любых i, j
Z.
Будем говорить, что нильпотентная алгебра Лейбница L допускает
связное градуирование, если L=
1
k
V
2
k
V
…
t
k
V , где V
i
0 для всех i (k
1
i
k
t
). В дальнейшем число
l
(L)=max{len(
L)=k
t
–k
1
+1 | градуирование
L=
1
k
V
2
k
V
…
t
k
V связно} будем называть длиной алгебры Лейбница L.
Приведем основной результат пятого параграфа первой главы. А
именно, в следующей теореме получена классификация комплексных n-
мерных филиформных алгебр Лейбница длины n–1.
Теорема 6.
Произвольная n-мерная комплексная филиформная алгебра
Лейбница
длины
n–1
изоморфна
одной
из
следующих
попарно
неизоморфных алгебр:
,
1
n
i
3
,
y
=
]
y
,
y
[
,
y
=
]
y
,
y
[
:
F
1
i
1
i
3
1
1
2
n
,
1
n
i
2
,
y
1)
(
=
]
y
,
y
[
=
]
y
,
y
[
,
1
n
i
2
,
y
=
]
y
,
y
[
=
]
y
,
y
[
:
F
n
1
i
i
i
1
n
i
1
n
i
1
i
i
1
1
i
3
n
,
1
n
k
3
,
k
n
i
1
,
y
=
]
y
,
y
[
2,
n
i
1
,
y
=
]
y
,
y
[
:
)
k
(
M
1
i
k
n
i
1
i
1
i
1
,
0
,
y
=
]
y
,
y
[
,
2
1
n
i
1
,
y
=
]
y
,
y
[
2,
n
i
1
,
y
=
]
y
,
y
[
:
M
1
n
n
n
1
i
2
1
n
n
i
1
i
1
i
2
,
y
=
]
y
,
y
[
,
2
n
i
1
,
y
=
]
y
,
y
[
:
M
1
n
n
n
1
i
1
i
3
,
1
n
i
2
,
y
=
]
y
,
y
[
1,
n
i
2
,
y
=
]
y
,
y
[
,
y
=
]
y
,
y
[
:
M
1
i
i
1
1
i
1
i
n
1
1
4
где {y
1
, y
2
, …, y
n
} – базисы в алгебрах и отсутствующие произведения равны
нулю.
Во второй главе диссертации, названной
«Описание разрешимых
алгебр Лейбница малых размерностей»,
классифицированы четырехмер-
ные комплексные алгебры Лейбница и получено описание пятимерных
разрешимых алгебр Лейбница с трехмерным нильрадикалом.
Напомним, что размерность нильрадикала четырехмерных разрешимых
алгебр Лейбница равна либо двум либо трем. Классификация с точностью до
изоморфизма комплексных нильпотентных алгебр Лейбница размерностей
два и три получена в работах Ж.Л.Лоде и Б.А.Омирова.
41
В размерности два имеются две нильпотентные алгебры Лейбница:
1
: [e
1
,e
1
]=e
1
,
2
: абелева.
В размерности три имеются шесть попарно не изоморфных
нильпотентных алгебр, одно из которых параметрическое семейство:
1
:
[e
1
, e
2
] = e
3
, [e
2
, e
1
] = –e
3
;
2
(
): [e
2
, e
1
] = e
3
, [e
1
, e
2
] =
e
3
,
≠ –1 и
2
(
)
2
(
'), если
'=1;
3
: [e
1
, e
1
] = e
3
;
4
:
[e
1
, e
1
] = e
2
, [e
2
, e
1
] = e
3
;
5
:
[e
1
, e
1
] = e
3
, [e
2
, e
1
] = e
3
, [e
1
, e
2
] = –e
3
;
6
: абелева.
В следующей теореме приведена классификация четырехмерных
разрешимых алгебр Лейбница с двумерным нильрадикалом.
Теорема 7.
Пусть L – четырехмерная разрешимая алгебра Лейбница с
двухмерным нильрадикалом. Тогда L изоморфна одной из следующих
попарно неизоморфных алгебр:
R
1
: [e
1
, x] = e
1
, [e
2
, y] = e
2
,
R
2
: [e
1
, x] = e
1
, [e
2
, y] = e
2
, [x, e
1
] = –e
1
, [y, e
2
] = –e
2
,
R
3
: [e
1
, x] = e
1
, [e
2
, y] = e
2
, [y, e
2
] = – e
2
,
где {x, y, e
1
, e
2
} – базис алгебры.
В следующей теореме получена классификация четырехмерных
разрешимых алгебр Лейбница с нильрадикалом
1
.
Теорема 8.
Пусть L – четырехмерная разрешимая алгебра Лейбница,
нильрадикал которой изоморфен
1
. Тогда L изоморфна одной из следующих
попарно неизоморфных алгебр:
1
2
3
1
2
3
2
1
3
2
1
3
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
3
3
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
[e , e ] = e ,
[e ,e ] = e ,
[e ,e ] = e ,
[e , e ] = e ,
[e , x] = e ,
[e , x] = e ,
[e , x] = e ,
L ( ) :
L : [e , x] = e ,
[e , x] = (1
)e ,
[x,e ] = e ,
[x,e ] = e ,
[x,e ] = e ,
[x,e ] =
e ,
[x, x] = e .
[x,e ] = (1
)e .
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
2
3
3
3
1
1
2
2
2
3
3
[e ,e ] = e ,
[e ,e ] = e ,
[e , x] = e
e ,
[e , x] = e ,
L :
[e , x] = 2e ,
[x, e ] = e
e ,
[x, e ] = e ,
[x, e ] = 2e .
Аналогичным образом, получена классификация всех четырехмерных
разрешимых алгебр Лейбница с трехмерным нильрадикалом. А именно
Существуют 5 алгебр с нильрадикалом
2
(
);
Существуют 11 алгебр с нильрадикалом
3
;
Существуют 1 алгебра с нильрадикалом
4
;
Не существуют алгебр с нильрадикалом
5
;
Существуют 23 алгебры с нильрадикалом
6
.
Далее рассмотрим пятимерную разрешимую алгебру Лейбница с
трехмерными нильрадикалом равным одному из
1
,
2
(
),
3
,
4
,
5
и
6
.
42
Теорема 9.
Пусть L – пятимерная разрешимая алгебра Лейбница с
нильрадикалом
1
. Тогда L является алгеброй Ли и она изоморфна алгебре:
M
1
: [e
2
, e
1
] = e
3
, [e
1
, x
1
] = e
1
, [e
2
, x
2
] = e
2
, [e
3
, x
1
] = e
3
, [e
3
, x
2
] = e
3
,
[e
1
, e
2
] = –e
3
, [x
1
, e
1
] = –e
1
, [x
2
, e
2
] = –e
2
, [x
1
, e
3
] = –e
3
, [x
2
, e
3
] = –e
3
.
Аналогичным
образом,
получена
классификация
пятимерных
разрешимых алгебр Лейбница с трехмерным нильрадикалом. А именно
Существуют 1 алгебра с нильрадикалом
2
(0);
Существуют 2 алгебры с нильрадикалом
3
;
Не существуют алгебр с нильрадикалами
4
,
5
,
2
(
),
≠0;
Существуют 18 алгебр с нильрадикалом
6
.
Третья глава названной,
«О вырождениях в некоторых многообра-
зиях алгебр и инфинитезимальные деформации алгебр Лейбница»,
дис-
сертации посвящена геометрическому подходу к исследованию конеч-
номерных алгебр над полем комплексных чисел.
Определим действие группы GL
n
(F) на множестве Leib
n
(F) следующим
образом:
[x,y]
g
:=g [g
-1
x,g
-1
y],
где g
GL
n
(F) и х, у
L.
Через Orb(L) обозначим орбиту алгебры L при этом действии.
Определение 9.
Будем говорить, что алгебра Лейбница L вырождается в
алгебру Лейбница M, если M лежит в замыкании орбиты алгебры L. В этом
случае мы будем обозначать L
M.
Обозначим через LSolv(N) – множество разрешимых алгебр, с
нильрадикалом N.
Теорема 10.
Пусть R
1
LSolv(N
1
), R
2
LSolv(N
2
) и пусть R
2
)
R
(
Orb
1
.
Тогда dim(N
2
)
dim(N
1
).
Вырождение L
M назовем тривиальным, если L и M изоморфны.
Нетривиальное вырождение называется непосредственным, если оно не
имеет не тривиальных промежуточных вырождений, т.е. не существует
цепочки нетривиальных вырождений L
N
M.
Определение 10.
Уровнем алгебры L называется максимальная длина
цепочки непосредственных вырождений L
L
1
L
2
…
a
n
, где a
n
– n-
мерная абелевая алгебра.
Во втором параграфе третьей главы получено описание алгебр уровня
один в многообразиях комплексных n-мерных алгебр.
Теорема 11.
n-мерная
3)
n
(
алгебра является алгеброй уровня один
тогда и только тогда, когда она изоморфна одной из следующих попарно
неизоморфных алгебр:
:
p
n
,
e
=
e
e
i
i
1
2,
i
,
e
=
e
e
i
1
i
:
a
n
3
n
3
,
e
=
e
e
3
2
1
3
1
2
e
=
e
e
,
:
a
2
n
2
,
e
=
e
e
2
1
1
:
)
(
n
.
n
i
2
,
e
)
(1
=
e
e
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
i
1
i
i
i
1
1
1
1
43
В следующей теореме получено полное описание алгебр уровня два в
многообразии конечномерных йордановых алгебр.
Теорема 12.
n-мерная йорданова алгебра J является алгеброй уровня два
тогда и только тогда, когда она изоморфна одно из следующих попарно
неизоморфных алгебр:
.
e
=
e
e
:
a
}
e
,
e
,
e
{
=
J
;
n
i
2
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
}
e
,
,
e
,
e
,
e
{
=
J
;
e
=
e
e
:
a
}
e
{
=
J
3
2
1
3
n
3
2
1
3
i
i
1
1
1
1
n
3
2
1
2
1
n
1
Далее, мы опишем алгебры уровня два в многообразии комплексных n-
мерных алгебр Ли. Ввиду того, что в работе Д.Бурде получено полное
геометрическое описание многообразия трехмерных и четырехмерных алгебр
Ли, то достаточно рассмотреть случай n
5.
Теорема 13.
Всякая
5)
n
(
n
-мерная алгебра Ли уровня два изоморфна
одной из следующих попарно неизоморфных алгебр:
,
e
=
]
e
,
e
[
,
e
=
]
e
,
e
[
:
a
n
,
e
=
]
e
,
e
[
,
e
=
]
e
,
e
[
:
a
n
5
3
1
4
2
1
5
n
5,2
5
4
2
5
3
1
5
n
5,1
.
n
i
3
,
e
=
]
e
,
e
[
,
e
e
=
]
e
,
e
[
:
g
1,
,
n
i
3
,
e
=
]
e
,
e
[
,
e
=
]
e
,
e
[
:
)
(
g
,
e
=
]
e
,
e
[
:
a
r
i
i
1
3
2
2
1
,2
n
*
i
i
1
2
2
1
,1
n
2
2
1
2
n
2
Для ассоциативных алгебр, мы получаем следующую теорему.
Теорема 14.
Всякая
5)
n
(
n
-мерная ассоциативная алгебра уровня два
изоморфна одной из следующих попарно неизоморфных алгебр:
.
e
=
e
e
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
A
;
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
)
(
A
;
n
i
2
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
A
;
n
i
2
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
A
;
n
i
2
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
A
;
e
=
e
e
:
A
3
2
1
3
1
2
3
1
1
6
3
2
1
3
1
2
5
i
1
i
1
1
1
4
i
i
1
1
1
1
3
i
1
i
i
i
1
1
1
1
2
1
где
}.
0
z
Im
,
1
|
z
{|
}
1
|
z
{|
В
четвертом
параграфе
третьей
главы
получено
описание
инфинитезимальных деформаций нуль-филиформных алгебр Лейбница NF
n
.
Теорема 15.
Следующие 2-коциклы
.
n
k
2
,
n
j
1
,
x
=
)
x
,
x
(
k
1
j
k
,
j
1,
n
i
1
,
x
=
)
x
,
x
(
,
x
=
)
x
,
x
(
=
)
1
n
j
1
(
1
i
1
j
i
j
1
1
j
j
j
образуют базис пространства ZL
2
(NF
n
, NF
n
).
Следствие 1.
Dim HL
2
(NF
n
, NF
n
) = n – 1 и базисом пространства
HL
2
(NF
n
, NF
n
) является {
,2
n
,
,3
n
,…,
n
,
n
}.
44
Рассмотрим линейные продолжаемые деформации
k
,
j
k
,
j
k
,
j
t
a
t
NF
=
n
алгебры NF
n
. Так как каждый нетривиальный класс эквивалентности дефор-
маций определяет единственный элемент из
)
L
,
L
(
HL
2
, то из Следствия 1
следует, что достаточно рассмотреть
k
,
n
k
n
2
=
k
n
3
2
t
a
t
NF
=
)
a
,
,
a
,
a
(
n
, где
,0)
(0,0,
)
a
,
,
a
,
a
(
n
3
2
.
Таким образом, таблица умножения
)
a
,
,
a
,
a
(
n
3
2
t
имеет вид:
.
x
a
t
=
]
x
,
x
[
1,
n
i
1
,
x
=
]
x
,
x
[
k
k
n
2
=
k
1
n
1
i
1
i
Теорема
16.
))
a
,
,
a
,
a
(
(
Orb
n
3
2
1
n
a
,
,
2
a
является
неприводимой
компонентой.
Из описания дифференцирований алгебры филиформных алгебр
Лейбница
1
n
F ,
2
n
F , нетрудно заключить, что
1
n
=
)
F
(
Der
dim
1
n
,
1
n
n
=
)
F
,
F
(
BL
dim
2
1
n
1
n
2
,
2
n
=
)
F
(
Der
dim
2
n
,
2
n
n
=
)
F
,
F
(
BL
dim
2
2
n
2
n
2
.
В
следующих
теоремах
приведем
результат,
описывающий
инфинитезимальные деформации филиформных алгебр Лейбниц
1
n
F и
2
n
F .
Теорема 17.
Всякая инфинитезимальная деформация филиформной
алгебры Лейбница
1
n
F имеет вид:
1.
n
j
3
1,
n
i
2
,
x
=
)
x
,
x
(
1,
n
i
2
,
x
)
(
=
)
x
,
x
(
,
n
i
2
,
x
x
)
2)
i
((
=
)
x
,
x
(
,
x
x
=
)
x
,
x
(
,
x
=
)
x
,
x
(
1,
n
j
2
,
x
=
)
x
,
x
(
,
x
=
)
x
,
x
(
1
i
,1
j
1
j
i
1
i
1
2,1
3
i
2
i
k
k
i
2
n
3
=
k
i
2
1
2
i
n
n
1
1
2
1
k
k
,
n
n
2
=
k
1
n
k
k
,
j
n
1
=
k
1
j
k
k
1,
n
2
=
k
1
1
Теорема 18.
Всякая инфинитезимальная деформация филиформной
алгебры Лейбница
2
n
F имеет вид:
45
.
x
x
=
)
x
,
x
(
1,
n
i
2
,
x
x
i
=
)
x
,
x
(
,
x
x
=
)
x
,
x
(
2,
n
j
1
2,
n
i
1
,
x
=
)
x
,
x
(
,
x
=
)
x
,
x
(
,
x
=
)
x
,
x
(
2,
n
j
1
,
x
=
)
x
,
x
(
n
n
1
n
1
n
n
1
i
k
k
i
n
2
=
k
i
,1
n
n
i
k
k
n
2
=
k
1
,1
n
n
1
1
i
,1
j
1
j
i
k
k
,
n
n
1
=
k
1
n
k
k
1,
n
n
2
=
k
1
1
n
k
k
,
j
n
1
=
k
1
j
В
четвертой
главе
диссертации,
названной
«Классификация
комплексных супералгебр Лейбница нильиндекса n+m», получено полное
описание комплексных супералгебр Лейбница нильиндекса n+m, где n и m –
размерности четной и нечётной частей соответственно.
Пусть L=L
0
L
1
– комплексная нильпотентная супералгебра Лейбница.
Для произвольного элемента x
L
0
оператор правого умножения R
x
является
нильпотентным эндоморфизмом пространства L
i
, i
{0,1}. Обозначим через
C
i
(x), i
{0, 1} убывающую последовательность размеров жордановых блоков
оператора R
x
. Рассмотрим на множестве C
i
(L
0
) лексикографический порядок.
Определение 11.
Последовательность
]
L
,
L
[
\
L
x
~
1
]
L
,
L
[
\
L
x
0
0
0
0
0
0
0
)
x
~
(
C
max
|
)
x
(
C
max
)
L
(
C
назовем
характеристической
последовательностью
для
супералгебры
Лейбница L.
Определение 12.
Супералгебра Лейбница
L называется нуль-
филиформной
(соответственно, филиформной), если C(L) = (n|m)
(соответственно, C(L) = (n–1,1|m)).
Классы нуль-филиформных и филиформных супералгебр Лейбница
будем обозначать ZF
n,m
и F
n,m
, соответственно.
В следующей теореме представлена классификация нуль-филиформных
супералгебр Лейбница с двумерной четной частью и нильиндексом, равным
m+2, т.е. случай n=2.
Теорема 19.
Пусть L
ZF
2,m
(m
2) с нильиндексом, равным m+2; тогда m
нечетно и существует базис {x
1
, x
2
, y
1
, y
2
, …, y
m
} в супералгебре L такой, что
ее умножение в этом базисе имеет следующий вид:
1.
m
i
1
,
x
1)
(
=
]
y
,
y
[
1,
m
i
1
,
y
=
]
y
,
x
[
1,
m
i
1
,
y
=
]
x
,
y
[
,
x
=
]
x
,
x
[
2
1
i
i
1
m
i
1
i
i
1
1
i
1
i
2
1
1
При ограничениях n
3 и m
2 справедлива
46
Лемма 1.
Произвольная двупорожденная супералгебра Лейбница,
принадлежащая классу ZF
n,m
(n
3, m
2), имеет нильиндекс меньше числа
n+m.
Исключительная особенность в классе филиформных супералгебр
Лейбница с нильиндексом n+m появляется при n=m=2.
Теорема 20.
Пусть L – супералгебра Лейбница, принадлежащая
множеству F
2,2
,
с нильиндексом, равным 4. Тогда она изоморфна одной из
следующих двух неизоморфных супералгебр:
,
x
]
y
,
y
[
,
y
2
]
x
,
y
[
,
y
]
y
,
x
[
,
y
]
x
,
y
[
:
F
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
1
2
,
2
.
x
]
y
,
y
[
,
y
2
]
x
,
y
[
,
y
]
y
,
x
[
,
y
2
1
]
y
,
x
[
,
y
]
x
,
y
[
:
F
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
2
,
2
Для филиформных супералгебр Лейбница при n
3, существование
адаптированного базиса приводится в следующей теореме, которая получена
как следствие результатов работы Ш.А.Аюпова, Б.А.Омирова и М.Вернь.
Теорема 21.
Пусть L – произвольная супералгебра Лейбница,
принадлежащая множеству F
n,m
. Тогда существует базис {x
1
,x
2
, …, x
n
, y
1
, y
2
,
…, y
m
} супералгебры L, удовлетворяющий одному из следующих трёх
условий:
a) [x
1
, x
1
]=x
3
, [x
i
, x
1
]=x
i+1
,
2
i
n–1,
[x
1
, x
2
]=
4
x
4
+
5
x
5
+ … +
n-1
x
n–1
+
x
n
,
[x
j
, x
2
]=
4
x
j+2
+
5
x
j+3
+ … +
n+2–j
x
n
,
2
j
n–2,
[y
j
, х]=y
j+1
, 1
j
m–1 и некоторого х
L
0
\
2
0
L ,
б)
[x
1
,
x
1
]=x
3
, [x
i
, x
1
]=x
i+1
,
3
i
n–1,
[x
1
, x
2
]=
4
x
4
+
5
x
5
+ … +
n
x
n
, [x
2
, x
2
]=
x
n
,
[x
j
, x
2
]=
4
x
j+2
+
5
x
j+3
+ … +
n+2–j
x
n
,
3
i
n–2,
[y
j
, х]=y
j+1
, 1
j
m–1 и некоторого х
L
0
\
2
0
L ,
в) [x
i
, x
1
]= x
i+1
,
2
i
n–1,
[x
1
, x
i
]=-x
i+1
,
3
i
n–1,
[x
1
, x
1
]=θ
1
x
n
, [x
1
, x
2
]=-x
3
+ θ
2
x
n
, [x
2
, x
2
]=θ
3
x
n
,
[x
2
, x
j
]=-[x
j
, x
2
]
{x
j+2
, x
j+3
, …, x
n
},
3
j
n–2,
[x
i
, x
j
]=-[x
j
, x
i
]
{x
i+j
, x
i+j+1
, …, x
n
},
3
i
]
2
n
[
, i
j
n–i,
[y
j
, х] = y
j+1
, 1
j
m–1 и некоторого х
L
0
\
2
0
L .
где отсутствующие произведения в L
0
равны нулю. Более того, структурные
константы алгебр из класса в) супертождества Лейбница.
Лемма 2.
Пусть L – супералгебра Лейбница, принадлежащая множеству
F
n,m
,
с нильиндексом, равным n+m. Тогда при четном значении n+m имеем
47
m=n, а в случае n+m нечетном имеем m=n–1. В частности, при m=n–1 в
супералгебре L из класса а) Теоремы 20 существует базис {x
1
, x
2
, …, x
n
, y
1
, y
2
,
…, y
n-1
} такой, что умножение в L имеет следующий вид:
[x
1
,x
1
]=x
3
,
[x
i
,x
1
]=x
i+1
,
2 ≤ i ≤ n–1,
[y
j
,x
1
]=y
j+1
,
1 ≤ j ≤ n–2,
[x
1
,y
1
]=
2
1
y
2
,
[x
i
,y
1
]=
2
1
y
i
,
2 ≤ i ≤ n–1,
[y
1
,y
1
]=x
1
,
[y
j
,y
1
]=x
j+1
,
2 ≤ j ≤ n–1,
[x
1
,x
2
]=
4
x
4
+
5
x
5
+ … +
n-1
x
n-1
+
x
n
,
[x
j
,x
2
]=
4
x
j+2
+
5
x
j+3
+ … +
n+2-j
x
n
,
2 ≤ j ≤ n–2,
[y
1
,x
2
]=
4
y
3
+
5
y
4
+ … +
n-1
y
n-2
+
y
n-1
,
[y
j
,x
2
]=
4
y
j+2
+
5
y
j+3
+ … +
n+1-j
y
n-1
, 2 ≤ j ≤ n–3,
(отсутствующие произведения равны нулю).
Аналогично, из класса а) при m=n, из класса б) при m=n–1 и из класса б)
при m=n получается ёще три семейств филиформных супералгебр Лейбница
с нильиндексом n+m. Эти четыре класса соответственно обозначаются через
L(
4
,
5
, …,
n
,
), M(
4
,
5
, …,
n
,
,
), G(
4
,
5
, …,
n
,
), H(
4
,
5
, …,
n
,
,
).
Приведем необходимые и достаточные условия изоморфности двух
алгебр из семейства L(
4
,
5
, …,
n
,
).
Предложение 1.
Две супералгебры L(
4
,
5
, …,
n
,
) и
'
L (
4
'
,
5
'
,
…,
n
'
,
′) изоморфны тогда и только тогда, когда существует а
такое, что
выполняются следующие условия:
'.
a
,
n
j
4
,
'
a
6
n
2
j
)
3
j
(
2
j
Аналогично, получен критерий изоморфизма для семейств M(
4
,
5
, …,
n
,
,
), G(
4
,
5
, …,
n
,
), H(
4
,
5
, …,
n
,
,
). С помощью этих критериев
получена
классификация
филиформных
супералгебр
Лейбница
с
нильиндексом равным n+m для классов а) и б).
Для супералгебры L, принадлежащая классу в), верна следующая Лемма.
Лемма 2.
Пусть L – супералгебра Лейбница, принадлежащая классу в)
Теоремы 20. Тогда её нильиндекс меньше n+m.
В параграфе 4.3 описаны супералгебры Лейбница с нильиндексом n+m,
у которых четная часть является нуль-филиформной алгеброй Лейбница.
Основным результатом параграфа 4.3 является следующая теорема.
Теорема
22.
Пусть
супералгебра
Лейбница
L
обладает
характеристической последовательностью (n | m
1
, m
2
, …, m
s
), где m
1
m–2.
Тогда L имеет нильиндекс меньше числа n+m.
В параграфе 4.4 рассматриваются супералгебры Лейбница, с
характеристической последовательностью (n–1, 1 | m
1
, m
2
, …, m
s
), где m
1
m–1. А именно, доказывается, что такие супералгебры имеют нильиндекс
меньше числа n+m.
48
Теорема 23.
Пусть L – супералгебра Лейбница с характеристической
последовательностью (n–1, 1 | m
1
, m
2
, …, m
s
). Тогда L имеет нильиндекс
меньше числа n+m.
Одним из основных результатов пятого параграфа четвертой главы
является следующая теорема.
Теорема 24.
Пусть L – супералгебра Лейбница с характеристической
последовательностью (n
1
, n
2
, …, n
k
| m
1
, m
2
, …, m
s
), где n
1
n–2, m
1
m–1, и
пусть оба порождающих элемента лежат в L
1
. Тогда L имеет нильиндекс
меньше числа n+m.
В параграфе 4.5 доказано, что в остальных случаях супералгебры
Лейбница с характеристической последовательностью (n
1
, n
2
, …, n
k
| m
1
, m
2
,
…, m
s
), с условием n
1
n–2, также имеют нильиндекс меньше чем n+m.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Выявлены свойства некоторых полупростых алгебр Лейбница и
доказано, что для алгебр Лейбница аналог классического результата о
разложении полупростой алгебры Ли в прямую сумму простых алгебр Ли не
верен.
2. Изучено свойство нильпотентности конечномерных алгебр Лейбница.
Доказано, что конечномерная алгебра Лейбница нильпотентна тогда и
только
тогда,
когда
существует
невырожденное
Лейбницево
дифференцирование.
3. Классифицированы филиформные алгебры Лейбница, не являющиеся
характеристически нильпотентными, и комплексные n-мерные филиформные
алгебры Лейбница длины n–1.
4. Получено полное описание, с точностью до изоморфизма,
четырехмерных комплексных алгебр Лейбница и классифицированы
пятимерные комплексные разрешимые алгебры Лейбница с трехмерным
нильрадикалом.
5. Получено описание разрешимых алгебр Лейбница, нильрадикал
которых является прямой суммой нуль-филиформных идеалов.
6. Приведены результаты, касающиеся вырождений разрешимых алгебр
Лейбница. А именно, доказано, что если разрешимая алгебра вырождается в
другую, то размерность нильрадикала предельной алгебры не меньше чем
размерность нильрадикала заданной разрешимой алгебры.
7. Изучены алгебры, которые располагаются в нижних уровнях в
многообразиях алгебр. Получено полное описание алгебр уровня один и
классифицированы алгебры уровня два в многообразиях конечномерных
комплексных ассоциативных, йордановых и лиевых алгебр.
8. Изучены инфинитезимальные деформации алгебр Лейбница. А
именно, описана вторая группа когомологий нуль-филиформных алгебр
Лейбница. Доказано, что замыкание орбит всех однопорожденных алгебр
49
Лейбница является неприводимой компонентой многообразия комплексных
конечномерных алгебр Лейбница.
9. Получено описание инфинитезимальных деформаций естественным
образом градуированных филиформных алгебр Лейбница.
10. Классифицированы все супералгебры Лейбница с нильиндексом
n+m, и доказано, что кроме нуль-филиформных и филиформных супералгебр
Лейбница
и
супералгебр
Лейбница,
имеющих
характеристическую
последовательность (n | m–1, 1), все остальные супералгебры Лейбница
имеют нильиндекс меньше, чем n+m.
Работа
носит
теоретический
характер.
Результаты
и
методы,
представленные в диссертации, могут быть использованы при исследованиях
других многообразий алгебр и супералгебр, в теории категорий, в изучении
алгебр с различными типами градуировок, вычислении групп когомологий и
гомологий, а также при изучении различных процессов теоретической
физики.
50
51
SCIENTIFIC COUNCIL 16.07.2013.FM.01.01 ON AWARD OF
SCIENTIFIC DEGREE OF DOCTOR OF SCIENCES AT NATIONAL
UNIVERSITY OF UZBEKISTAN
INSTITUTE OF MATHEMATICS
NATIONAL UNIVERSITY OF UZBEKISTAN
KHUDOYBERDIEV ABROR KHAKIMOVICH
STRUCTURAL THEORY OF FINITE–DIMENSIONAL COMPLEX
LEIBNIZ ALGEBRAS AND CLASSIFICATION OF NILPOTENT
LEIBNIZ SUPERALGEBRAS
01.01.06 – Algebra
(Physical and Mathematical Sciences)
ABSTRACT OF DOCTORAL DISSERTATION
Tashkent – 2016
52
The subject of doctoral dissertation is registered in the Supreme Attestation Commission at the
Cabinet of Ministers of the Republic of Uzbekistan with number № 30.09.2014/B2014.3-4.FM22.
Doctoral dissertation is carried out at Institute of mathematics, National University of Uzbekistan.
Abstract of dissertation in three languages (Uzbek, Russian and English) is placed on web page of
Scientific Council (http://ik-fizmat.nuu.uz/) and information-educational portal «ZIYONET»
(www.ziyonet.uz)
Scientific adviser:
Ayupov Shavkat Abdullaevich
Doctor of Physical and Mathematical Sciences,
Professor, Academician
Official opponents:
Hadjiev Djavvat
Doctor of Physical and Mathematical Sciences,
Professor, Academician
Kudaybergenov Karimbergen Kadirbergenovich
Doctor of Physical and Mathematical Sciences
Allakov Ismail
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, associate
professor
Leading organization:
Institute of Mathematics and Mathematical
Simulation Ministry of Education and Sciense
of the Republic of Kazakhstan
Defense will take place
«24» March 2016 at 10
00
at the meeting of Scientific Council number
16.07.2013.FM.01.01 at National University of Uzbekistan. (Address: 100174, Uzbekistan, Tashkent city,
Almazar area, University str. 4, Ph.: (99871)227-12-24, fax: (99871)246-53-21, e-mail: nauka@nu.uz.)
Doctoral dissertation is possible to review in Information-resource centre at National University of
Uzbekistan (is registered №
M 14 912
) (Address: 100174, Uzbekistan, Tashkent city, Almazar district,
University str., 4. Ph.: (99871) 246-02-24.)
Abstract of dissertation sent out on
«19» February
2016 year
(Mailing report №
2
on
«19» February
2016 year)
A.A.Azamov
Chairman of Scientific Council on award of scientific
degree of Doctor of Sciences, D.F.M.S., Professor
A.A.Abdushukurov
Scientific Secretary of Scientific Council on award of
scientific degree of Doctor of Sciences,
D.F.M.S., Professor
U.A.Rozikov
Chairman of Scientific Seminar under Scientific Council
on award of scientific degree of Doctor of Sciences,
D.F.M.S., Professor
53
Introduction (abstract of doctoral dissertation)
Actuality and demand of the theme of dissertation.
Algebraic instruments
are very useful in the study of elementary particles in quantum mechanics, the
properties of solids and crystals, in the analysis of model problems of the
economics, in the problems of population biology, etc. Since associative algebras
defined by specific identity, have been considered when identifying properties of
closeness with respect to the usual multiplication of square matrices, further
development of algebras leads to the theory of alternative, Lie and Jordan algebras,
which are very closely related to each others and have many connection with
different areas of mathematics. Since Leibniz algebras are generalizations of Lie
algebras, many results of the theory of Lie algebras have been extended to Leibniz
algebras. One of the priority directions of research related to this subject is to prove
analogues of theorems of the Lie algebras theory in the Leibniz algebras case and
to investigate of the inherent properties of Leibniz algebras which are not valid for
Lie algebras.
From the classical theory of Lie algebras it is known that an arbitrary finite-
dimensional Lie algebra over a field of characteristic zero is decomposed into the
semi-direct sum of maximal solvable ideal and its semi-simple subalgebra. On the
other hand finite dimensional Leibniz algebras are also decomposed into the semi-
direct sum of the maximum solvable ideal and a semi-simple Lie algebra. The
investigation of solvable algebras with some special types of nilradicals comes
from different problems in physics. Therefore, similarly to Lie algebras, the
investigation of solvable Leibniz algebras with given nilradical is one of the actual
problems.
Recall that the class of nilpotent Lie algebras is the special subclass of
solvable algebras. Since the description of all nilpotent Lie algebras seems too
complicated, their study should be carried out with additional restrictions. In
particular, in the investigation of nilpotent algebras one of the main restrictions is
to restriction to the index of nilpotency. It should be noted that the maximal
nilindex for Lie algebras coincides with the dimension of the algebra, and such
type of algebras are called filiform algebras. Though, filiform Leibniz algebras
have a relatively simple restriction in the class of nilpotent algebras, they have a
sufficiently complicated structure, which is convenient to investigate with an
additional condition of gradation. The effectiveness of the maximal gradation
specify that it most accurately provides information about the structure constants
of the algebra in the multiplication table.
The notions of degeneration, contraction and deformation of the algebra
appeared from physics. Namely, the notion of contraction of Lie algebras in
physical terms means: two physical models are related by a limiting process, under
the action of the associated invariants groups. Deformations characterize the local
behavior in a small neighborhood in the variety of given type objects. Thus, the
study of the deformations of these algebras is a special case of the study of the
local geometric properties of varieties. According to algebraic geometry an
algebraic variety is a union of irreducible components. The closures of orbits of
54
rigid algebras give the irreducible components of the variety. That is why the
finding of rigid algebras is a crucial problem from the geometrical point of view.
The main reason for the demand of the theme of the dissertation is a close
relationship of Leibniz algebras and their cohomological properties with the
problems of Jordan, Lie algebras and their other generalizations.
Motivation of studying Lie superalgebras as a generalization of Lie algebras
came from supersymmetry in mathematical physics. The theory of Lie
superalgebras has established itself as a universal subject in modern algebra.
Leibniz superalgebras are generalizations of Leibniz algebras and, on the other
hand, they
naturally generalize Lie superalgebras. Thus, the investigation of
Leibniz superalgebras should take place to some parallel studies of these varieties.
Similarly to Leibniz algebras, the study of finite-dimensional nilpotent Leibniz
superalgebras with the maximal index of nilpotency and Leibniz superalgebras
with nilindex equal to the dimension of the superalgebras, is an actual problem.
Connection of research to priority directions of development of Science
and Technologies of the Republic.
This dissertation was performed in accordance
with the priority direction of development of Science and Technologies F4
“Mathematics, Mechanics and Informatics”.
Review of foreign scientific research on the theme of the dissertation.
In
the directions of the structural theory of non-associative algebras, in particular Lie
algebras, Leibniz algebras and studying of their cohomological properties
extensive research is conducted in the research centers and universities of the
leading countries, including Institut de Recherche Mathématique Avancée,
Université de Haute Alsace, Institut de mathématiques de Jussieu (France);
University of Seville, University of Santiago de Compostela, Complutense
University of Madrid (Spain); University of Dusseldorf, Institut Computational
Mathematics (Germany); University of Vienna (Austria), Eötvös Loránd
University (Hungary), University of San-Diego, University of Iowa, University of
Toledo (USA); University of Sao Paulo (Brazil); East China Normal University
(China); Moscow State University, S.L.Sobolev Institute of Mathematics,
Novosibirsk (Russia); University of Putra Malaysia (Malaysia); University of
Sydney (Australia), Institute of Mathematics and Mathematical simulation, Almaty
(Kazakhstan).
As a result of research carried out in the description of some classes of finite-
dimensional Lie algebras, classification of nilpotent and solvable Leibniz algebras
and finding their closures of orbits series actual problems were solved, on the
world level including of the following scientific results: naturally graded filiform
Lie algebras and low dimensional nilpotent Lie algebras were described (Institut de
Recherche Mathématique Avancée, Université de Haute Alsace); seven
dimensional nilpotent Lie algebras were classified (University of Toledo); the
geometrical description of three and four dimensional Lie algebras was obtained,
and their closures of orbits were found (University of Dusseldorf, Institute
Computational Mathematics); solvable Lie algebras with naturally graded filiform
nilradical were classified (Complutense University of Madrid); it was proved that
the second cohomology group of rigid algebras is equal to zero (Institut de
55
mathématiques de Jussieu); naturally graded 2-filiform and quasi-filiform Leibniz
algebras were classified (University of Seville); a description of filiform Leibniz
algebras up to dimension ten were obtained (University of Putra Malaysia); it was
proved that any finite-dimensional complex Leibniz algebra is decomposed into
semidirect sum of its solvable radical and semisimple Lie subalgebra (University
of Sydney).
In present time foreground scientific research works are carried out on
developing the description of solvable Leibniz algebras with given nilradicals,
finding the closures of orbits of low dimensional Leibniz algebras, finding of rigid
algebras in the variety of Leibniz algebras, description of the deformation and
infinitesimal deformation of Lie and Leibniz algebras.
The degree of scrutiny of the problem.
From the classical theory of Lie
algebras it is known that every finite-dimensional Lie algebra is decomposed into
semidirect sum of its solvable radical and semisimple subalgebra (Levi’s
Theorem). Moreover, semisimple part is the direct sum of simple ideals. In 2011
D.Barnes extended the Levi’s Theorem to the case of Leibniz algebras.
N.Jacobson proved that every Lie algebra over a field of characteristic zero
admitting a non-singular derivation is nilpotent. The problem whether the inverse
of this statement is correct was open until an example of nilpotent Lie algebra
whose all of derivations are nilpotent was constructed by J.Dixmier, W.G.Lister.
Consequently, algebras whose derivations are nilpotent called characteristically
nilpotent Lie algebras. Characteristically nilpotent Lie algebras are investigated by
Y.Khakimdjanov, F.J.Castro-Jiménez, J.N.Valdés and others.
The description of low dimensional nilpotent Lie algebras and naturally
graded n-dimensional Lie algebras were considered by J.M.Cabezas, E.Pastor,
J.R.Gómez, J.M.Ancochea-Bermúdez, A.Jimenéz-Merchán, J.Reyes, M.Goze,
Y.Khakimdjanov and others. Leibniz algebras are classified by Ayupov Sh.A.,
Omirov B.A.,
Rakhimov I.S.,
Casas J.M., Ladra M., Gómez J.R., Camacho L.M.,
Rikhsiboev I.M. and
González A.R. The gradation with maximum length was
introduced by Y.Khakimdjanov and in the work of J.R.Gómez, A.Jimenéz-
Merchán, J.Reyes the filifrom Lie algebras with maximum length were classified.
The description of filiform and quasi-filiform Leibniz algebras with maximum
length was obtained by Ayupov Sh.A., Omirov B.A., Gómez J.R., Camacho L.M.
In 1945 A.I.Malcev proved that a solvable Lie algebra is uniquely determined
by its nilradical. Further, in 1963, G.M.Mubarakzjanov developed a method of
constructing solvable Lie algebras by nilradical and its nil-independent derivations.
Using the Mubarakzjanov’s method J.M.Ancochea-Bermúdez, R.Campoamor-
Stursberg, V.Boyko, J.C.Ndogmo, P.Winternitz, L.Snobl, Y.Wang described
several classes of solvable Lie algebras. Classification of solvable Leibniz algebras
with some nilradicals were obtained in the works of Casas J.M., Ladra M., Omirov
B.A., Karimjanov I.A., Bosko-Dunbar, Dunbar J.D.
Classical deformation theory of associative and Lie algebras began with the
works of М.Gerstenhaber and A.Nijenhuis, R.W.Richardson in the 1960s. They
studied one-parameter deformations and established the connection between the
cohomology and infinitesimal deformations of Lie algebras. In the works of
56
A.Fialowski, M.Penkava, M.Gilg, D.V.Millionschikov different types of
deformations of Lie algebras are investigated and their properties are studied. In
particular, infinitesimal deformations of filiform Lie algebras and Lie
superalgebras were described by Khakimdjanov Yu., Navarro R.M.
The studies of
cohomological properties and deformations of Leibniz algebras were carried out by
J.-L.Loday, T.Pirashvili, D.Balavoine, J.M.Lodder, A.Fialowski and others.
The basic concepts and systematical exposition of basic of Lie superalgebras
are given in the monograph of V.G.Kac. Works of F.A.Berezin, V.G.Kac,
D.A.Leites and others devoted to description of simple and semi-simple Lie
superalgebras. Nilpotent Lie superalgebras are investigated by J.R.Gómez,
Yu.Khakimdjanov, M.Gilg, R.M.Navarro and others. The notion of Leibniz
superalgebras was introduced in 2005 by S.Albeverio, Sh.A.Ayupov and
B.A.Omirov. In their paper the classification of Leibniz superalgebras with
maximal index of nilpotency is obtained, and it is shown that such type of Leibniz
superalgebras has nilindex n+m+1. The first attempt of the description of Leibniz
superalgebras with characteristic sequence equal to(n | m-1, 1) has been done by
L.M.Camacho, J.R.Gómez, R.M.Navarro and B.A.Omirov.
Connection of the theme of the dissertation with the research works of
the higher education institution, where the dissertation
is
carried out.
The
research was performed in accordance with the plan of scientific research "Semi-
simple Leibniz superalgebras and their derivations", Institute of Mathematics
(FYO4-FА-Ф016, 2012-2013.); "Linear integrable and infinitesimal deformations
of solvable Leibniz algebras", Institute of Mathematics (YOF4-ОТ-0-20581, 2014-
2015.); "Non-associative and operator algebras, dynamical systems and their
application in statistical physics and population biology" Institute of Mathematics
(F4-FА-Ф013-F013, 2012-2016.); "Structural theory of non-associative algebras,
Banach modules and discrete dynamical systems", National University of
Uzbekistan (F-4-09, 2012-2016.)
The aim of the research
is the development of the structure theory of finite-
dimensional complex Leibniz algebras and their derivations, further development
of the theory of degeneration and deformation of non-associative algebras and the
description of nilpotent Leibniz superalgebras.
Research problems
of this work are following:
study of nilpotency properties of finite-dimensional Leibniz algebras;
description of semi-simple Leibniz algebras and construction an example of
semi-simple Leibniz algebras which are not decomposed into a direct sum of
simple ideals;
classification of n-dimensional complex non-characteristically nilpotent
filiform Leibniz algebras, and description up to isomorphism of n-dimensional
complex filiform Leibniz algebras of length n-1;
classification of low dimensional solvable Leibniz algebras, and description
of solvable Leibniz algebras which nilradical is the direct sum of the null-filiform
ideals;
investigation of algebras of lower levels in certian varieties of algebras;
57
description of cohomology group of null-filiform and filiform Leibniz
algebras;
classification of Leibniz superalgebras with nilindex n + m, where m and n
are dimensions of even and odd parts, respectively.
The object of research.
Nilpotent Leibniz algebras, solvable algebras, semi-
simple algebras, derivations, degenerations, deformations, cohomology groups,
nilpotent Leibniz superalgebras.
The subject of research.
Z – graded filiform Leibniz algebras,
characteristically nilpotent algebras, four and five dimensional solvable Leibniz
algebras, derivations and deformations, null-filiform and filiform Leibniz algebras,
nilpotent Leibniz superalgebras with the maximal index of nilpotency.
Methods of research.
In the dissertation the methods of structural constants,
classification methods, gradation methods, methods of the theory of degenerations,
deformation theory and the methods of invariant theory are applied.
Scientific novelty
consists of the following:
a characterization of the nilpotency of finite-dimensional Leibniz algebras in
terms of Leibniz derivations is obtained;
non-characteristically nilpotent filiform Leibniz algebras and n - dimensional
filiform Leibniz algebras of length n–1 are classified;
it is shown that the classical result of the decomposition of a semi-simple Lie
algebra into a direct sum of simple ideals is not true for Leibniz algebras;
description of four dimensional complex Leibniz algebras is obtained, and
five-dimensional complex solvable algebra Leibniz with three-dimensional
nilradical are classified;
classification of solvable algebra Leibniz, whose nilradical is the direct sum
of the null-filiform ideals is obtained;
classification of algebras of level one and a description of algebras of level
two in the varieties of finite-dimensional complex associative, Jordan and Lie
algebras are obtained;
the second cohomology groups of null-filiform Leibniz algebras are
described, and a description of infinitesimal deformations of naturally graded
filiform Leibniz algebras is obtained;
classification of null-filiform and filiform complex Leibniz superalgebras
with nilindex n+m is obtained;
Leibniz superalgebras with the nilindex n+m are described and it is proved
that, Leibniz superalgebras except null-filiform and filiform Leibniz superalgebras
and Leibniz superalgebras with characteristic sequence (n | m–1, 1), have nilindex
strictly less than n+m.
Practical results of the research.
New methods have been devoted in
investigation of Leibniz superalgebras, which use gradation method of the even
part of the superalgebra. In particular, the well-known description of the Lie
superalgebra with maximal nilindex were obtained in more elegant and simple
way. The results of the dissertation concerning the classification of low
dimensional solvable Leibniz algebras allow to verify number of hypotheses about
solvable Leibniz algebras with arbitrary dimensional.
58
The reliability of the research results
is substantiated by the strictness of
mathematical reasoning and using the known methods of investigation of other
classes of algebras and superalgebras, using fundamental results of the theory of
algebras and superalgebras. The results of the classification statements in the case
of small dimensions were confirmed by special mathematical programs which
created in Mathematica 12.
The scientific and practical significance of the research results.
The
scientific value of the results of research is that the results obtained in the work can
be used for further research of other varieties of algebras and superalgebras. In
particular, the techniques and methods developed in this dissertation can be used to
solve the well-known Grunewald’s conjecture on non existence of rigid nilpotent
Lie algebra in the variety of Lie algebras.
The practical significance of the dissertation is that the results of the thesis
concerning the classification of low dimensional solvable Leibniz algebras allow to
verify number of hypotheses about the solvable Leibniz algebras with arbitrary
dimension. Classification of finite-dimensional algebra of level one and level two
is an important result for complete information about the degenerations tree of
other varieties of algebras.
Implementation of the research results.
Description of n-dimensional
complex filiform Leibniz algebras of length n-1 and classification of filiform
noncharacteristically nilpotent Leibniz algebras have been used in the foreign
project FQM143 – Computational Method of Applied Mathematics (University of
Seville, Spain, Confirmation dated September 25th, 2015). In particular, these
descriptions were used in the classification of naturally graded quasi-filiform
Leibniz algebras and the description of complex solvable Leibniz algebras with
non Lie filiform nilradicals.
Description of infinitesimal deformation of nilpotent Leibniz algebras and the
characterization properties of some semi-simple Leibniz algebras, which were
obtained in this dissertation, were used in the research project MTM2009-14464-
C02 (University of Santiago de Compostela, Spain, Confirmation dated November
4th, 2015) to describe the second cohomology group of simple Leibniz algebras.
The description of infinitesimal deformation of nilpotent Leibniz algebras
have been used in the project 05-02-12-2188FR (University Putra Malaysia,
Confirmation dated February 2nd, 2016) to describe the orbit closures of some
classes of Leibniz algebras under the action of the linear group on the variety of
Leibniz algebras
Approbation of the research results.
The main results of the dissertation
were discussed at the following international and republican scientific conferences:
«Operator algebras and quantum probability» (Tashkent, 2005), «Differential
equations and their applications» (Nukus, 2009), « Operator algebras and quantum
probability» (Tashkent, 2012), «Modern problems of complex and functional
analysis» (Nukus, 2012), «Actual problems of mathematical analysis» (Urgench,
2012), «Modern problems of differential equations and their applications»
(Tashkent, 2013), «The problem of modern topology and its applications »
(Tashkent, 2013), «Non-classical equations of mathematical physics and their
59
applications» (Tashkent, 2014), «Algebra, analysis and quantum probability»
(Tashkent, 2015).
This work was discussed at the republican seminars “Operator algebras and
their applications” of the Institute of Mathematics at the National University of
Uzbekistan, at the seminar “Modern algebra and its applications” of the National
University of Uzbekistan, at the city seminar of Department of Algebra and
Functional Analysis of the National University of Uzbekistan, at the seminar of
Institute of Mathematics, University Santiago de Compostela (Spain, 2012), at the
seminar “On recent achievements on harmonic analysis, algebras and their
applications” University Putra Malaysia (Malaysia, 2013), at the seminar “Non-
associative algebras” University of Seville (Spain, 2014). The obtained result were
presented in the following international congresses: «International Congress of
Mathematicians-Seoul 2014» (Korea, 2014), «TWAS 25
th
General Meeting. 2014»
(Oman, 2014).
Publications of the research results.
40 scientific papers are published on
the theme of the dissertation, from which there are 5 articles in national journals,
18 articles in foreign journals, 17 abstracts in scientific conferences.
The volume and structure of the dissertation.
The dissertation consists of
the introduction and four chapters with conclusions, general conclusion and
bibliography. The total volume of the work is 200 pages, there are 184 items in the
list of references.
THE MAIN CONTENT OF THE DISSERTATION
In introduction
the actuality and demand for the theme of dissertation is
verificated, connection of the research to priority directions of development of
Science and Technologies of the Republic is stated, review of foreign scientific
research on the theme of the dissertation and the degree of scrutiny of the problem
are provided, the aim and problems are formulated, the object and the subject of
research are described, scientific novelty and practical results of research are
stated, the theoretical and practical significance of obtained results is revealed, the
implementation of research results in practice, the list of published works and the
dissertation structure are given.
In the first chapter of dissertation which named
«The description of semi-
simple and filiform Leibniz algebras»
a preliminary is given, some properties of
semi-simple Leibniz algebras are obtained, the classification of n-dimensional
filiform Leibniz algebras of length n–1 and the description of non-
characteristically nilpotent filiform Leibniz algebras are obtained.
Definition 1.
An algebra L over a field
F
is called a Leibniz algebra if for any
x, y, z
L the so-called Leibniz identity:
[x, [y, z]] = [[x, y], z] – [[x, z], y],
60
holds true.
For a given Leibniz algebra L we define derived sequences as:
а) L
[1]
= L, L
[n+1]
= [L
[n]
, L
[n]
];
b) L
1
= L, L
n+1
= [L
n
, L
1
] .
Definition 2.
A Leibniz algebra is called solvable, if there exists m
N such
that L
[m]
=0. The number m, such that L
[m-1]
0 and L
[m]
=0 is called index of
solvability of the algebra L.
A Leibniz algebra L is called nilpotent, if there exists s
N such that L
s
=0.
The minimal number s with this property is called index of nilpotency (nilindex) of
the algebra L.
The maximal nilpotent (solvable) ideal of a Leibniz algebra is said to be the
nilradical (radical) of the algebra.
It is known that any non-Lie Leibniz algebra L has an ideal I = span{[x,x],
x
L}, which coincides with the space spanned by squares of elements of L, and
the quotient algebra L/I is a Lie algebra. Therefore, in Dzumadil’daev’s work the
following definition of simple Leibniz algebra has been suggested.
Definition 3.
An algebra L is called simple, if L
2
I and it contains only ideals
{0}, I, L.
Definition 4.
An algebra L is called semi-simple, if its maximal solvable ideal
is equal to I.
Obviously, the quotient algebra of a simple Leibniz algebra by its ideal I is a
simple Lie algebra, but the converse is not true, i.е. there exist a Leibniz algebra
which is not simple, however the Lie algebra L/I is simple.
Definition 5.
An algebra L is called Lie-simple if the quotient algebra L/I is a
simple Lie algebra.
As it was mentioned above analogue of Levi's Theorem for Leibniz algebras
was proved by D.Barnes. The question: whether an arbitrary finite dimensional
semisimple Leibniz algebra is a direct sum of simple Leibniz algebras is
considered in this dissertation.
Let L be a semi-simple Leibniz algebra and I be the ideal spanned by squares
of elements. Then L = S + I, were S – semi-simple Lie algebra and [I, S] = I.
Moreover, we have S=S
1
S
2
…
S
k
, i.e., L = (S
1
S
2
…
S
k
) + I. Let us
introduce the notation I
j
= [I, S
j
], 1
j
k.
In the following theorem we prove that if simple algebras S
1
, S
2
, … , S
k-1
are
isomorphic to the three dimensional algebra sl
2
and each module I
j
irreducible is
over S
j
, then the semi-simple Leibniz algebra L is decomposed into the direct sum
of simple Leibniz algebras.
Theorem 1.
Let L be a semisimple Leibniz algebra such that L=(
1
2
sl
2
2
sl
…
1
-
k
2
sl
S
k
) + I. Let I
j
be irreducible module over
j
2
sl
(1≤j≤k–1) and I
k
is
irreducible over S
k
. Then L is decomposed into the direct sum of simple Leibniz
algebras, namely,
L = (
1
2
sl +I
1
)
(
2
2
sl +I
2
)
…
(
1
-
k
2
sl +I
k-1
)
(S
k
+I
k
).
Note that if I
j
is reducible over S
j
, then the semisimple Leibniz algebra is not
decomposable into the direct sum of simple ideals. However this algebra is
61
decomposed into the direct sum of Lie-simple algebras. Then a natural question
arises: whether any semisimple Leibniz algebra can be represented as a direct sum
of Lie-simple Leibniz algebras?
The following example gives the negative answer to this question.
Example 1.
Let L be a 10 – dimensional semisimple Leibniz algebra.
Let {x
1
,
x
2
, x
3
, x
4
, e
1
, f
1
, h
1
, e
2
, f
2
, h
2
} be a basis of the algebra L such that I = {x
1
, x
2
, x
3
,
x
4
},
1
2
sl = {e
1
, f
1
, h
1
},
2
2
sl ={e
2
, f
2
, h
2
} and multiplication table of L has the
following form:
[
1
2
sl ,
1
2
sl ]: [e
1
, h
1
] = 2e
1
,
[f
1
, h
1
] = –2f
1
,
[e
1
, f
1
] = h
1
,
[h
1
, e
1
] = –2e
1
,
[h
1
, f
1
] = 2f
1
,
[f
1
, e
1
] = –h
1
,
[
2
2
sl ,
2
2
sl ]:
[e
2
, h
2
] = 2e
2
,
[f
2
, h
2
] = –2f
2
,
[e
2
, f
2
] = h
2
,
[h
2
, e
2
] = –2e
2
,
[h
2
, f
2
] = 2f
2
,
[f
2
, e
2
] = –h
2
,
[I,
1
2
sl ]: [x
1
, f
1
] = x
2
,
[x
1
, h
1
] = x
1
,
[x
2
, e
1
] = –x
1
,
[x
2
, h
1
] = –x
2
,
[x
3
, f
1
] = x
4
,
[x
3
, h
1
] = x
3
,
[x
4
, e
1
] = –x
3
,
[x
4
, h
1
] = –x
4
,
[I,
2
2
sl ]: [x
1
, f
2
] = x
3
,
[x
1
, h
2
] = x
1
,
[x
3
, e
2
] = –x
1
,
[x
3
, h
2
] = –x
3
,
[x
2
, f
2
] = x
4
,
[x
2
, h
2
] = x
2
,
[x
4
, e
2
] = –x
2
,
[x
4
, h
2
] = –x
4
.
From this table of multiplications we have [I,
1
2
sl ] = I, [I,
2
2
sl ] = I. Moreover I
splits over
1
2
sl as {x
1
, x
2
}
{x
3
, x
4
}, and over
2
2
sl as {x
1
, x
3
}
{x
2
, x
4
}. It is not
difficult to check that if L decomposes into a direct sum of Lie-simple algebras,
then it has a form (
1
2
sl + I
1
)
(
2
2
sl +I
2
). Since [I
1
,
2
2
sl ] ≠ 0 and [I
2
,
1
2
sl ] ≠ 0, we get a
contradiction with the assumption that L is decomposed into a direct sum of Lie-
simple algebras.
Let us give the definition of Leibniz-derivation for Leibniz algebras.
Definition 6.
A Leibniz-derivation of order n for a Lie algebra L is an linear
endomorphism d of L satisfying the identity :
].
x
,
],
)
x
(
d
],
x
,
],
x
,
x
...[...[[
[
=
])
x
,
]
x
,
]
x
,
x
...[[
([
d
n
i
1
i
2
1
n
1
=
i
n
3
2
1
for every x
1
, x
2
, …, x
n
L.
In the following theorem we present a characterization of nilpotency for
Leibniz algebras in terms of Leibniz-derivations.
Theorem 2.
A Leibniz algebra over a field of characteristic zero is nilpotent if
and only if it has an invertible Leibniz-derivation.
Definition 7.
A Leibniz algebra L is said to be filiform if dim L
i
= n–i, where
2
i
n.
It is known that any n-dimensional filiform Leibniz algebra admits a basis {e
1
,
e
2
, …, e
n
} such that the table of multiplication of the algebra has one of the
following forms:
F
1
(
4
,
5
, ...,
n
,
): [e
1
, e
1
] = e
3
,
[e
i
, e
1
] = e
i+1
,
2 ≤ i ≤ n – 1,
[e
1
, e
2
] =
4
e
4
+
5
e
5
+ … +
n-1
e
n–1
+
e
n
,
[e
j
, e
2
] =
4
e
j+2
+
5
e
j+3
+ … +
n+2–j
e
n
,
2 ≤ j ≤ n – 2,
F
2
(
4
,
5
, …,
n
,
): [e
1
, e
1
] = e
3
,
[e
i
, e
1
] = e
i+1
,
3 ≤ i ≤ n – 1,
[e
1
, e
2
] =
4
e
4
+
5
e
5
+ … +
n
e
n
,
[e
2
, e
2
] =
e
n
,
62
[e
j
, e
2
] =
4
e
j+2
+
5
e
j+3
+ … +
n+2–j
e
n
,
3 ≤ j ≤ n – 2,
F
3
(θ
1
, θ
2
, θ
3
):
[e
i
, e
1
] = e
i+1
,
2 ≤ i ≤ n – 1,
[e
1
, e
i
] = –e
i+1
,
3 ≤ i ≤ n – 1,
[e
1
, e
1
] = θ
1
e
n
,
[e
1
, e
2
] = –e
3
+θ
2
e
n
,
[e
2
,e
2
] = θ
3
e
n
,
[e
2
, e
j
] = –[e
j
, e
2
]
{e
j+2
, e
j+3
, …, e
n
},
3 ≤ j ≤ n – 2,
[e
i
, e
j
] = –[e
j
, e
i
]
{e
i+j
, e
i+j+1
, …, e
n
}, 3 ≤ i ≤
]
2
n
[
, i ≤ j ≤ n–i,
were
i
,
,
i
,
and omitted products are equal to zero.
Definition 8.
A nilpotent Leibniz algebra is called characteristically nilpotent
if all its derivations are nilpotent.
In the following theorems we present the classification of non-
characteristically nilpotent Leibniz algebras of the families F
1
(
4
,
5
, ...,
n
,
) and
F
2
(
4
,
5
, …,
n
,
).
Theorem 3.
Let L be a non-characteristically nilpotent filiform Leibniz
algebra of the family F
1
(
4
,
5
, ...,
n
,
). Then it is isomorphic to one of the
following pairwise non-isomorphic algebras:
,
n
s
4
),
,
,
,
,
(
F
n
n
5
4
s
1
where
,
3
s
s
k
=
t
for
3))
(s
mod
(
s
k
f
i
,
Q
1)
(
3));
(s
mod
(
s
k
f
i
0,
=
1
s
1
t
t
k
4 ≤ k ≤ n and
)
!
n
1)
p
(
(
!
n
)!
pn
(
1
n
1)
p
(
1
=
Q
p
n
is the p-th Catalan number
.
Theorem 4.
Let L be a non-characteristically nilpotent filiform Leibniz
algebra of the family
)
,
,
,
,
(
F
n
5
4
2
. Then it is isomorphic to one of the
following pairwise non-isomorphic algebras:
for even n:
,0,0)
,0
1
,0,
(0,
F
j
j
2
, 1
j
n–2;
for odd n:
,0,1)
,0,
,0,
(0,
F
2
1
n
2
and
,0)
,0
1
,0,
(0,
F
j
j
2
, 1
j
n–3.
Now we consider a filiform Leibniz algebra L of the family
)
,
,
(
F
3
2
1
3
. It is
not difficult to see that if L be non-characteristically nilpotent filiform Leibniz
algebra of the family
)
,
,
(
F
3
2
1
3
, then the table of multiplication of L has the
form:
1.
n
i
2
,
e
1)
(
=
]
e
,
e
[
=
]
e
,
e
[
,
e
=
]
e
,
e
[
,
e
e
=
]
e
,
e
[
,
e
=
]
e
,
e
[
1,
n
i
3
,
e
=
]
e
,
e
[
1,
n
i
2
,
e
=
]
e
,
e
[
=
)
,
,
(
L
n
i
i
i
1
n
i
1
n
i
n
3
2
2
n
2
3
2
1
n
1
1
1
1
i
i
1
1
i
1
i
3
2
1
63
Theorem 5.
Let L be a non-characteristically nilpotent filiform Leibniz
algebra of the family
)
,
,
(
F
3
2
1
3
. Then it is isomorphic to one of the following
pairwise non-isomorphic algebras:
(0,0,1).
L
(0,1,0),
L
(1,0,0),
L
Let L be a Z-graded Leibniz algebra with a finite number of non-zero
subspaces, i.е. L=
Z
i
V
i
, where [V
i
, V
j
]
V
i+j
for any i, j
Z.
We say that a nilpotent Leibniz algebra
L
admits a connected gradation
if
L=
1
k
V
2
k
V
…
t
k
V , where each V
i
0 is non-zero for i (k
1
i
k
t
). The
number of subspaces
l
(L)=max{len(
L)=k
t
–k
1
+1 | L=
1
k
V
2
k
V
…
t
k
V is a
connected gradation} is called the length of the algebra L.
Below we give the main result of the paragraph 5 of the Chapter 1. Namely,
in the following theorem we give the classification n-dimensional complex filiform
Leibniz algebras of length n–1.
Theorem 6.
Any n-dimensional complex filiform Leibniz algebra of length n–
1 is isomorphic to one of the following pairwise non-isomorphic algebras:
,
1
n
i
3
,
y
=
]
y
,
y
[
,
y
=
]
y
,
y
[
:
F
1
i
1
i
3
1
1
2
n
,
1
n
i
2
,
y
1)
(
=
]
y
,
y
[
=
]
y
,
y
[
,
1
n
i
2
,
y
=
]
y
,
y
[
=
]
y
,
y
[
:
F
n
1
i
i
i
1
n
i
1
n
i
1
i
i
1
1
i
3
n
,
1
n
k
3
,
k
n
i
1
,
y
=
]
y
,
y
[
2,
n
i
1
,
y
=
]
y
,
y
[
:
)
k
(
M
1
i
k
n
i
1
i
1
i
1
,
0
,
y
=
]
y
,
y
[
,
2
1
n
i
1
,
y
=
]
y
,
y
[
2,
n
i
1
,
y
=
]
y
,
y
[
:
M
1
n
n
n
1
i
2
1
n
n
i
1
i
1
i
2
,
y
=
]
y
,
y
[
,
2
n
i
1
,
y
=
]
y
,
y
[
:
M
1
n
n
n
1
i
1
i
3
,
1
n
i
2
,
y
=
]
y
,
y
[
1,
n
i
2
,
y
=
]
y
,
y
[
,
y
=
]
y
,
y
[
:
M
1
i
i
1
1
i
1
i
n
1
1
4
where {y
1
, y
2
, …, y
n
} is a basis of algebra and omitted products are equal to zero.
In the second chapter of dissertation named
«The description of low
dimensional solvable Leibniz algebras»
the
classification of four dimensional
complex Leibniz algebras and the description of five dimensional solvable Leibniz
algebras with three dimensional nilradical are obtained.
Note that the dimension of the nilradical of 4-dimensional solvable Leibniz
algebras are equal to two or three. The classification of two and three dimensional
64
nilpotent Leibniz algebras was obtained in the works of J.L.Loday and
B.A.Omirov, respectively.
Up to isomorphism there exist two 2-dimensional nilpotent Leibniz algebras:
1
: [e
1
,e
1
]=e
1
,
2
: abelian.
In the three dimensional case there exist six pairwise non-isomorphic 3-
dimensional nilpotent Leibniz algebras, one of them is a parametric class:
1
:
[e
1
, e
2
] = e
3
, [e
2
, e
1
] = –e
3
;
2
(
): [e
2
, e
1
] = e
3
, [e
1
, e
2
] =
e
3
,
≠ –1 и
2
(
)
2
(
'), if
'=1;
3
: [e
1
, e
1
] = e
3
;
4
:
[e
1
, e
1
] = e
2
, [e
2
, e
1
] = e
3
;
5
:
[e
1
, e
1
] = e
3
, [e
2
, e
1
] = e
3
, [e
1
, e
2
] = –e
3
;
6
: abelian.
In the following theorem we give the classification of four dimensional
Leibniz algebras whose nilradical has dimension two.
Theorem 7.
Let L be a 4-dimensional solvable Leibniz algebra with 2-
dimensional nilradical. Then L is isomorphic to one of the following pairwise non-
isomorphic algebras:
R
1
: [e
1
, x] = e
1
, [e
2
, y] = e
2
,
R
2
: [e
1
, x] = e
1
, [e
2
, y] = e
2
, [x, e
1
] = –e
1
, [y, e
2
] = –e
2
,
R
3
: [e
1
, x] = e
1
, [e
2
, y] = e
2
, [y, e
2
] = – e
2
,
where {x, y, e
1
, e
2
} is a basis of the algebra.
In the following theorem the classification of four dimensional solvable
Leibniz algebras whose nilradical is isomorphic to
1
is obtained.
Theorem 8.
Let L be a 4-dimensional solvable Leibniz algebra, whose
nilradical is isomorphic to
1
. Then, L is isomorphic to one of the following
pairwise non-isomorphic algebras:
1
2
3
1
2
3
2
1
3
2
1
3
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
3
3
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
[e , e ] = e ,
[e ,e ] = e ,
[e ,e ] = e ,
[e , e ] = e ,
[e , x] = e ,
[e , x] = e ,
[e , x] = e ,
L ( ) :
L : [e , x] = e ,
[e , x] = (1
)e ,
[x,e ] = e ,
[x,e ] = e ,
[x,e ] = e ,
[x,e ] =
e ,
[x, x] = e .
[x,e ] = (1
)e .
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
2
3
3
3
1
1
2
2
2
3
3
[e ,e ] = e ,
[e ,e ] = e ,
[e , x] = e
e ,
[e , x] = e ,
L :
[e , x] = 2e ,
[x, e ] = e
e ,
[x, e ] = e ,
[x, e ] = 2e .
Similarly, we obtain the list of non isomorphic 4-dimensional solvable
Leibniz algebras with the following three dimensional nilradicals:
There exist five algebras with nilradical
2
(
);
There exist 11 algebras with nilradical
3
;
There exist one algebra with nilradical
4
;
There is no algebra with nilradical
5
;
There exist 23 algebras with nilradical
6
.
65
Now we consider five dimensional solvable Leibniz algebras with three
dimensional nilradicals
1
,
2
(
),
3
,
4
,
5
and
6
.
Theorem 9.
Let L be a five dimensional solvable Leibniz algebra, whose
nilradical is isomorphic to
1
. Then L is a Lie algebra and it is isomomirpic to
following algebra:
M
1
: [e
2
, e
1
] = e
3
, [e
1
, x
1
] = e
1
, [e
2
, x
2
] = e
2
, [e
3
, x
1
] = e
3
, [e
3
, x
2
] = e
3
,
[e
1
, e
2
] = –e
3
, [x
1
, e
1
] = –e
1
, [x
2
, e
2
] = –e
2
, [x
1
, e
3
] = –e
3
, [x
2
, e
3
] = –e
3
.
Similarly, we obtain the description of 5-dimensional solvable Leibniz
algebras with the remaining three dimensional nilradicals. Namely, we obtain that:
There exist one five-dimensional algebra with nilradical
2
(0);
There exist two algebras with nilradical
3
;
There is no five-dimensional algebra with nilradicals
4
,
5
,
2
(
),
≠0;
There exist 18 algebras with nilradical
6
.
The third chapter of dissertation named
«On the degenerations of some
variety of algebras and infinitesimal deformation of Leibniz algebras»
devoted
to the geometric method to investigation of finite-dimensional complex algebras.
Define the action of linear reductive group GL
n
(F) on the variety of n-
dimensional algebras Alg
n
(F) as follows:
[x,y]
g
:=g [g
-1
x,g
-1
y],
where g
GL
n
(F) and х, у
L.
The orbit Orb(L) under this action consist of algebras isomorphic to the
algebra L.
Definition 9.
An algebra L is said to degenerate to an algebra M, if M lies in
the Zariski closure of Orb(L). We denote this by L
M.
Denote by LSolv(N) the set of all n-dimensional solvable Leibniz algebras
whose nilradical is N.
Theorem 10.
Let R
1
LSolv(N
1
), R
2
LSolv(N
2
) and let R
2
)
R
(
Orb
1
. Then
dim(N
2
)
dim(N
1
).
The degeneration L
M is said to be trivial, if L is isomorphic to M. The
degeneration L
M is called a direct degeneration if there is no chain of non-
trivial degenerations of the form L
N
M.
Definition 10.
A level of an algebra L is the maximal length of chain of direct
degenerations L
L
1
L
2
…
a
n
, where a
n
is a n-dimensional abelian algebra.
In the second paragraph of Chapter 2 the description of all complex finite
dimensional algebras of level one is obtained.
Theorem 11.
A n-dimensional
3)
n
(
algebra is algebra of level one if and
only if it is isomorphic to one of the following algebras:
:
p
n
,
e
=
e
e
i
i
1
2,
i
,
e
=
e
e
i
1
i
:
a
n
3
n
3
,
e
=
e
e
3
2
1
3
1
2
e
=
e
e
,
:
a
2
n
2
,
e
=
e
e
2
1
1
:
)
(
n
.
n
i
2
,
e
)
(1
=
e
e
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
i
1
i
i
i
1
1
1
1
66
In the following theorem we give the classification of algebras of level two in
the variety of complex n-dimensional Jordan algebras.
Theorem 12.
A n-dimensional Jordan algebra is algebra of level two if and
only if it is isomorphic to one of the following pairwise non-isomorphic algebras:
.
e
=
e
e
:
a
}
e
,
e
,
e
{
=
J
;
n
i
2
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
}
e
,
,
e
,
e
,
e
{
=
J
;
e
=
e
e
:
a
}
e
{
=
J
3
2
1
3
n
3
2
1
3
i
i
1
1
1
1
n
3
2
1
2
1
n
1
Now we give the description of algebras of level two in the varieties of
complex n-dimensional Lie algebras. From D.Burde’s work we have the lists of
algebras of level two in the varieties three and four dimensional Lie algebras.
Therefore, we consider the case of n
5.
Theorem 13.
An arbitrary
5)
n
(
n
-dimensional Lie algebra of level two is
isomorphic to one of the following pairwise non-isomorphic algebras:
,
e
=
]
e
,
e
[
,
e
=
]
e
,
e
[
:
a
n
,
e
=
]
e
,
e
[
,
e
=
]
e
,
e
[
:
a
n
5
3
1
4
2
1
5
n
5,2
5
4
2
5
3
1
5
n
5,1
.
n
i
3
,
e
=
]
e
,
e
[
,
e
e
=
]
e
,
e
[
:
g
1,
,
n
i
3
,
e
=
]
e
,
e
[
,
e
=
]
e
,
e
[
:
)
(
g
,
e
=
]
e
,
e
[
:
a
r
i
i
1
3
2
2
1
,2
n
*
i
i
1
2
2
1
,1
n
2
2
1
2
n
2
For the associative algebras we have the following theorem.
Theorem 14.
Any n-dimensional associative algebra of level two is
isomorphic to one of the following algebras:
.
e
=
e
e
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
A
;
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
)
(
A
;
n
i
2
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
A
;
n
i
2
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
A
;
n
i
2
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
,
e
=
e
e
:
A
;
e
=
e
e
:
A
3
2
1
3
1
2
3
1
1
6
3
2
1
3
1
2
5
i
1
i
1
1
1
4
i
i
1
1
1
1
3
i
1
i
i
i
1
1
1
1
2
1
where
}.
0
z
Im
,
1
|
z
{|
}
1
|
z
{|
In the fourth paragraph of Chapter 3 we obtain the description of infinitesimal
deformation of null-filiform Leibniz algebra NF
n
.
Theorem 15.
The following 2-cocycles
.
n
k
2
,
n
j
1
,
x
=
)
x
,
x
(
k
1
j
k
,
j
1,
n
i
1
,
x
=
)
x
,
x
(
,
x
=
)
x
,
x
(
=
)
1
n
j
1
(
1
i
1
j
i
j
1
1
j
j
j
form a basis of ZL
2
(NF
n
, NF
n
).
Corollary 1.
Dim HL
2
(NF
n
, NF
n
) = n – 1 and {
,2
n
,
,3
n
,…,
n
,
n
} form a
basis of HL
2
(NF
n
, NF
n
).
67
Consider the linear integrable deformations
k
,
j
k
,
j
k
,
j
t
a
t
NF
=
n
. Since
every non-trivial equivalence class of deformations uniquely defines an element of
)
L
,
L
(
HL
2
due to Corollary 1, it is sufficient to consider
)
a
,
,
a
,
a
(
n
3
2
t
k
,
n
k
n
2
=
k
a
t
NF
=
n
, where
,0)
(0,0,
)
a
,
,
a
,
a
(
n
3
2
.
Thus, the multiplication table of
)
a
,
,
a
,
a
(
n
3
2
t
has the form:
.
x
a
t
=
]
x
,
x
[
1,
n
i
1
,
x
=
]
x
,
x
[
k
k
n
2
=
k
1
n
1
i
1
i
Theorem 16.
))
a
,
,
a
,
a
(
(
Orb
n
3
2
1
n
a
,
,
2
a
is an irreducible component.
From the descriptions of the derivations of the filiform Leibniz algebras
1
n
F ,
2
n
F , we conclude that
1
n
=
)
F
(
Der
dim
1
n
,
1
n
n
=
)
F
,
F
(
BL
dim
2
1
n
1
n
2
,
2
n
=
)
F
(
Der
dim
2
n
,
2
n
n
=
)
F
,
F
(
BL
dim
2
2
n
2
n
2
.
The following theorems present the general form of the Leibniz infinitesimal
deformations of the algebras
1
n
F и
2
n
F .
Theorem 17.
An arbitrary infinitesimal deformation
of
1
n
F has the following
form:
1.
n
j
3
1,
n
i
2
,
x
=
)
x
,
x
(
1,
n
i
2
,
x
)
(
=
)
x
,
x
(
,
n
i
2
,
x
x
)
2)
i
((
=
)
x
,
x
(
,
x
x
=
)
x
,
x
(
,
x
=
)
x
,
x
(
1,
n
j
2
,
x
=
)
x
,
x
(
,
x
=
)
x
,
x
(
1
i
,1
j
1
j
i
1
i
1
2,1
3
i
2
i
k
k
i
2
n
3
=
k
i
2
1
2
i
n
n
1
1
2
1
k
k
,
n
n
2
=
k
1
n
k
k
,
j
n
1
=
k
1
j
k
k
1,
n
2
=
k
1
1
Theorem 18.
An arbitrary infinitesimal deformation
of
2
n
F has the
following form:
68
.
x
x
=
)
x
,
x
(
1,
n
i
2
,
x
x
i
=
)
x
,
x
(
,
x
x
=
)
x
,
x
(
2,
n
j
1
2,
n
i
1
,
x
=
)
x
,
x
(
,
x
=
)
x
,
x
(
,
x
=
)
x
,
x
(
2,
n
j
1
,
x
=
)
x
,
x
(
n
n
1
n
1
n
n
1
i
k
k
i
n
2
=
k
i
,1
n
n
i
k
k
n
2
=
k
1
,1
n
n
1
1
i
,1
j
1
j
i
k
k
,
n
n
1
=
k
1
n
k
k
1,
n
n
2
=
k
1
1
n
k
k
,
j
n
1
=
k
1
j
In the forth Chapter of dissertation named
«The classification of complex
Leibniz superalgebras of nilindex n+m»
the description of Leibniz superalgebras
with dimensions of even and odd parts equal to n
and m, respectively
,
and with
nilindex n+m is obtained.
Let L=L
0
L
1
be a nilpotent complex Leibniz superalgebra. For an arbitrary
element x
L
0
, the operator of right multiplication R
x
is a nilpotent endomorphism
of the space L
i
, where i
{0, 1}. Denote by C
i
(x) (i
{0, 1}) the descending
sequence of the dimensions of Jordan blocks of the operator R
x
. Consider the
lexicographical order on the set C
i
(L
0
).
Definition 11.
A sequence
]
L
,
L
[
\
L
x
~
1
]
L
,
L
[
\
L
x
0
0
0
0
0
0
0
)
x
~
(
C
max
|
)
x
(
C
max
)
L
(
C
is said to be the characteristic sequence of the Leibniz superalgebra L.
Definition 12.
A Leibniz superalgebra L is said to be null-filiform
(respectively, filiform), if C(L) = (n|m) (respectively, С(L)=(n-1, 1 | m)).
Denote by ZF
n,m
and F
n,m
the set of null-filiform and filiform Leibniz
superalgebras, respectively.
In the following theorem the classification of null-filiform Leibniz
superalgebras with two dimensional even part and with nilindex m+2 (i.e., case of
n=2) is presented.
Theorem 19.
Let L
ZF
2,m
(m
2) with nilindex m+2. Then m is odd and there
exists a basis {x
1
, x
2
, y
1
, y
2
, …, y
m
} of the superalgebra L, in which the
multiplication has the following form:
1.
m
i
1
,
x
1)
(
=
]
y
,
y
[
1,
m
i
1
,
y
=
]
y
,
x
[
1,
m
i
1
,
y
=
]
x
,
y
[
,
x
=
]
x
,
x
[
2
1
i
i
1
m
i
1
i
i
1
1
i
1
i
2
1
1
In the case of n
3 and m
2 we have
Lemma 1.
Any Leibniz superalgebra from ZF
n,m
(n
3, m
2) has nilindex
less than n+m.
69
Exceptional case in the class of filiform Leibniz algebras with nilindex n+m
appears for n=m=2.
Theorem 20.
Let L be an arbitrary Leibniz superalgebra from F
2,2
with
nilindex equal 4. Then it is isomorphic to one of the following two non isomorphic
superalgebras:
,
x
]
y
,
y
[
,
y
2
]
x
,
y
[
,
y
]
y
,
x
[
,
y
]
x
,
y
[
:
F
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
1
2
,
2
.
x
]
y
,
y
[
,
y
2
]
x
,
y
[
,
y
]
y
,
x
[
,
y
2
1
]
y
,
x
[
,
y
]
x
,
y
[
:
F
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
2
,
2
For non Lie filiform Leibniz superalgebras the existence of adapted basis is
given in the following theorem, which follows from the results of Sh.A.Ayupov,
B.A.Omirov and M.Vergne.
Theorem 21.
Let L be an arbitrary filiform Leibniz superalgebra. Then there
exists a basis {x
1
,x
2
, …, x
n
, y
1
, y
2
, …, y
m
} of the superalgebra L, in which the
multiplication satisfies one of the following three conditions:
a) [x
1
, x
1
]=x
3
, [x
i
, x
1
]=x
i+1
,
2
i
n–1,
[x
1
, x
2
]=
4
x
4
+
5
x
5
+ … +
n-1
x
n–1
+
x
n
,
[x
j
, x
2
]=
4
x
j+2
+
5
x
j+3
+ … +
n+2–j
x
n
,
2
j
n–2,
[y
j
, х]=y
j+1
, 1
j
m–1 and for some х
L
0
\
2
0
L ,
b)
[x
1
,
x
1
]=x
3
, [x
i
, x
1
]=x
i+1
,
3
i
n–1,
[x
1
, x
2
]=
4
x
4
+
5
x
5
+ … +
n
x
n
, [x
2
, x
2
]=
x
n
,
[x
j
, x
2
]=
4
x
j+2
+
5
x
j+3
+ … +
n+2–j
x
n
,
3
i
n–2,
[y
j
, х]=y
j+1
, 1
j
m–1 and for some х
L
0
\
2
0
L ,
c) [x
i
, x
1
]= x
i+1
,
2
i
n–1,
[x
1
, x
i
]=-x
i+1
,
3
i
n–1,
[x
1
, x
1
]=θ
1
x
n
, [x
1
, x
2
]=-x
3
+ θ
2
x
n
, [x
2
, x
2
]=θ
3
x
n
,
[x
2
, x
j
]=-[x
j
, x
2
]
{x
j+2
, x
j+3
, …, x
n
},
3
j
n–2,
[x
i
, x
j
]=-[x
j
, x
i
]
{x
i+j
, x
i+j+1
, …, x
n
},
3
i
]
2
n
[
, i
j
n–i,
[y
j
, х] = y
j+1
, 1
j
m–1 and for some х
L
0
\
2
0
L .
where the omitted products in L
0
are equal to zero.
Moreover, the structure
constants of an algebra from the class c) should satisfy the Leibniz superidentity.
Lemma 2.
Let L be a Leibniz superalgebra which belongs to F
n,m
with
nilindex equal to n+m. Then either m=n or m=n-1 and in the latter case in the class
a) there exists a basis {x
1
, x
2
, …, x
n
, y
1
, y
2
, …, y
m
} of the superalgebra L such that
its multiplication has the following form
[x
1
,x
1
]=x
3
,
[x
i
,x
1
]=x
i+1
,
2 ≤ i ≤ n–1,
[y
j
,x
1
]=y
j+1
,
1 ≤ j ≤ n–2,
70
[x
1
,y
1
]=
2
1
y
2
,
[x
i
,y
1
]=
2
1
y
i
,
2 ≤ i ≤ n–1,
[y
1
,y
1
]=x
1
,
[y
j
,y
1
]=x
j+1
,
2 ≤ j ≤ n–1,
[x
1
,x
2
]=
4
x
4
+
5
x
5
+ … +
n-1
x
n-1
+
x
n
,
[x
j
,x
2
]=
4
x
j+2
+
5
x
j+3
+ … +
n+2-j
x
n
,
2 ≤ j ≤ n–2,
[y
1
,x
2
]=
4
y
3
+
5
y
4
+ … +
n-1
y
n-2
+
y
n-1
,
[y
j
,x
2
]=
4
y
j+2
+
5
y
j+3
+ … +
n+1-j
y
n-1
, 2 ≤ j ≤ n–3,
(where omitted products are equal to zero).
Similarly, from the family a) for m=n, and from the family b) for m=n–1 and
for m=n we also obtain three classes of filiform Leibniz superalgebras with
nilindex n+m. Denote all these four classes of filiform Leibniz superalgebras by
L(
4
,
5
, …,
n
,
), M(
4
,
5
, …,
n
,
,
), G(
4
,
5
, …,
n
,
) and H(
4
,
5
, …,
n
,
,
), respectively.
We have the following criterion of isomorphism for the family L(
4
,
5
, …,
n
,
).
Proposition 1.
Two superalgebras L(
4
,
5
, …,
n
,
) and
'
L (
4
'
,
5
'
,
…,
n
'
,
′) are isomorphic if and only if there exists а
which satisfies the
following conditions:
'.
a
,
n
j
4
,
'
a
6
n
2
j
)
3
j
(
2
j
Similarly, we get the criterion of isomorphism for the families M(
4
,
5
, …,
n
,
,
), G(
4
,
5
, …,
n
,
) and H(
4
,
5
, …,
n
,
,
). Using these criteria of
isomorphism we obtain the classification of filiform Leibniz superalgebras with
nilindex n+m from the class of a) and b).
For Leibniz superalgebras which belong to the class c) we have the following
lemma.
Lemma 2.
Let L be a Leibniz superalgebra, which belongs to the class b) of
Theorem 20. Then its nilindex is less than n+m.
In the paragraph 4.3. the description of Leibniz superalgebras with nilindex
n+m, even part of which is a null-filiform Leibniz algebra. The main theorem of
the paragraph 4.3. is the following Theorem.
Theorem 22.
Let L be a Leibniz superalgebra with characteristic sequence (n |
m
1
, m
2
, …, m
s
), where m
1
m–2. Then L has nilindex less than n+m.
In the paragraph 4.4. Leibniz superalgebras with characteristic sequence (n–1,
1 | m
1
, m
2
, …, m
s
), where m
1
m–1 are investigated and it is proved that such
superalgebras have nilindex less than n+m
Theorem 23.
Let L be a Leibniz superalgebra with characteristic sequence (n–
1, 1 | m
1
, m
2
, …, m
s
). Then L has nilindex less than n+m.
One of the main result of the paragraph 4.5. is follows.
Theorem 24.
Let L be a Leibniz superalgebra with characteristic sequence (n
1
,
n
2
, …, n
k
| m
1
, m
2
, …, m
s
), where n
1
n–2, m
1
m–1, and all generators are lying
in L
1
. Then L has nilindex less than n+m.
71
In the paragraph 4.5 the remaining cases are investigated and it is proved that
any Leibniz superalgebra with characteristic sequence (n
1
, n
2
, …, n
k
| m
1
, m
2
, …,
m
s
) with n
1
n–2 has nilindex less than n+m.
CONCLUSION
1. Properties of certain semi-simple Leibniz algebras are obtained and it is
shown that the classical result on decomposition of a semi-simple Lie algebra into
a direct sum of simple ideals is not true for Leibniz algebras.
2. A characterization of the nilpotency of finite-dimensional Leibniz algebras
is obtained and it is proved that Leibniz algebra is nilpotent if and only if it admits
invertible Leibniz-derivation.
3. Classifications of non-characteristically nilpotent filiform Leibniz algebras
and n - dimensional filiform Leibniz algebras of length n–1 are obtained.
4. A description of four complex Leibniz algebras up to isomorphism is
obtained and five-dimensional complex solvable Leibniz algebras with three-
dimensional nilradical are classified.
5. A classification of solvable Leibniz algebras, whose nilradical is the direct
sum of the null-filiform ideals is obtained.
6. Certain results on degeneration of solvable Leibniz algebras are obtained,
and it is proved that if the algebra degenerates to another one, then the dimension
of nilradical of the second algebra is less than the dimension of the nilradical of the
first one.
7. Algebras of lowest level are investigated, and classified the algebras of the
level one. A description of algebras of the level two in the varieties of finite-
dimensional complex associative, Jordan and Lie algebras is obtained.
8. Infinitesimal deformations of Leibniz algebras are investigated and the
description of second cohomology groups of null-filiform Leibniz algebras is
obtained. It is proved that closure of the union of orbits of single-generated Leibniz
algebras forms an irreducible component of the variety of Leibniz algebras.
9. A description of infinitesimal deformations of naturally graded filiform
Leibniz algebras is obtained;
10. A classification of complex Leibniz superalgebras with nilindex n+m is
obtained and it is proved that Leibniz superalgebras except null-filifom and
filiform Leibniz superalgebras and Leibniz superalgebras with characteristic
sequence (n | m–1, 1), have nilindex less than n+m
The results of the dissertation have theoretical character. The main results and
methods presented in the work can be used in investigations of other algebras and
superalgebras, in the theory of categories, in the study of algebras with various
types of gradation, in calculation of cohomology and homology groups and in
investigation of various processes in theoretical physics.
72
Эълон қилинган ишлар рўйхати
Список опубликованных работ
List of published works
I бўлим (Часть I; Part I)
1.
Albeverio S., Ayupov Sh. A., Omirov B. A., Khudoyberdiyev A.Kh. n-
dimensional filiform Leibniz algebras of length (n–1) and their derivations. //
Journal of Algebra. USA. – 2008. - 319 (6). – P. 2471-2488. (№ 39. Impact
Factor Search. IF=0.63).
2.
Albeverio S., Omirov B. A., Khudoyberdiyev A.Kh. On the Classification of
complex Leibniz superalgebras with characteristic sequence (n-1, 1| m
1
, …, m
k
)
and nilindex n+m. // Journal of Algebra and its Applications. Singapore. –
2009. - Vol. 8. - № 4. – P. 461-475. (№ 39. Impact Factor Search. IF=0.443).
3.
Ayupov Sh.A., Camacho L.M., Khudoyberdiyev A.Kh., Omirov B.A. Leibniz
algebras associated with representations of filiform Lie algebras. // Journal of
Geometry and Physics. Netherlands. – 2015. - Vol. 98. – P. 181–195. (№ 39.
Impact Factor Search. IF=0.870).
4.
Ayupov Sh.A., Omirov B.A., Khudoyberdiyev A. Kh. The classification of
filiform Leibniz superalgebras of nilindex n+m. // Acta Mathematica Sinica
(English Series). Germany. – 2009. - Vol. 25. - № 2. – P. 171-190. (№ 39.
Impact Factor Search. IF=0.579).
5.
Camacho L., Gómez J.R., Khudoyberdiyev A.Kh., Omirov B.A. On the
description of Leibniz superalgebras of nilindex n+m. // Forum Mathematicum.
Germany. – 2012. - Vol. 24. - № 4. – P. 809-826. (№ 39. Impact Factor Search.
IF=0.527).
6.
Camacho L.M., Gómez J.R., Omirov B.A., Khudoyberdiyev A.Kh. Complex
nilpotent Leibniz superalgebras with nilindex equal to dimension. //
Communications in Algebra. Great Britain. – 2013. - Vol. 41. - № 7. – P. 2720-
2735. (№ 39. Impact Factor Search. IF=0.388).
7.
Canete E.M., Khudoyberdiyev A.Kh. The classification of 4-dimensional
Leibniz algebras
.
// Linear algebra and its Applications. USA. – 2013. - Vol.
439. – P. 273-288. (№ 39. Impact Factor Search. IF=0.983).
8.
Casas J.M., Khudoyberdiyev A.Kh., M. Ladra, Omirov B.A. On the
degenerations of solvable Leibniz algebras. // Linear algebra and its
Applications. USA. – 2013. - Vol. 439. - № 2. – P. 472-487. (№ 39. Impact
Factor Search. IF=0.983).
9.
Fialowski A., Khudoyberdiyev A.Kh., Omirov B.A. A characterization of
nilpotent Leibniz algebras. // Algebras and Representation Theory. Netherlands.
– 2013. - Vol. 16. - № 5. – P. 1489-1505. (№ 11. Springer IF=0.719).
10.
Gómez J.R., Khudoyberdiyev A.Kh., Omirov B.A., The classification of
Leibniz superalgebras of nilindex n+m (m≠0). // Journal of Algebra. USA–
2010. –Vol. 324, № 10. – P. 2786-2803. (№ 39. Impact Factor Search.
IF=0.615)
11.
Gómez-Vidal S., Omirov B.A., Khudoyberdiyev A.Kh. Some remarks on
semisimple Leibniz algebras. // Journal of Algebra. USA– 2014. – Vol. 410. –
P. 526-540. (№ 39. Impact Factor Search. IF=0.599)
73
12.
Khudoyberdiyev A.Kh. Some remarks on nilpotent Leibniz superalgebras. //
Uzbek Mathematical Journal. – Tashkent, 2009. - № 4. – P. 143-150. (01.00.00;
№6).
13.
Khudoyberdiyev A.Kh. On one irreducible component in the variety of Leibniz
algebras. Uzbek Mathematical Journal. – Tashkent, 2013. - № 3. – P. 128-136.
(01.00.00;№6).
14.
Khudoyberdiyev A.Kh., Omirov B.A. The classification of algebras of level
one. // Linear algebra and its Applications. USA. – 2013. - Vol. 439. - № 11. –
P. 3460-3463. (№ 39. Impact Factor Search. IF=0.983).
15.
Khudoyberdiyev A.Kh., Omirov B.A. Infinitesimal deformations of null-
filiform Leibniz superalgebras. // Journal of Geometry and Physics.
Netherlands. – 2013. - Vol. 74. – P. 370-380. (№ 39. Impact Factor Search.
IF=0.797).
16.
Khudoyberdiyev A.Kh., M. Ladra, Omirov B.A. The classification of non-
characteristically nilpotent Leibniz algebras. // Algebras and Representation
Theory. Netherlands. – 2014. - Vol. 17. - № 3. – P. 945-969. (№ 39. Springer.
IF=0.535).
17.
Khudoyberdiyev A.Kh., Rakhimov I.S., Said Husain Sh.K. On classification of
5-dimensional solvable Leibniz algebras. // Linear algebra and its Applications.
USA. – 2014. - Vol. 457. – P. 428-454. (№ 39. Impact Factor Search.
IF=0.939).
18.
Khudoyberdiyev A.Kh., Ladra M., Omirov B.A. On solvable Leibniz algebras
whose nilradical is a direct sum of null-fililiform algebras. // Linear and
Multilinear Algebra. Great Britain. – 2014. - Vol. 62. - № 9. – P. 1220-1239.
(№ 39. Impact Factor Search. IF=0.738)
19.
Khudoyberdiyev A.Kh., Omirov B.A. Infinitesimal deformations of naturally
graded filiform Leibniz algebras. // Journal of Geometry and Physics.
Netherlands. – 2014. - Vol. 86. – P. 149-163. (№ 39. Impact Factor Search.
IF=0.870).
20.
Khudoyberdiyev A.Kh., The classification of Algebras of level two. // Journal
of Geometry and Physics. Netherlands. – 2015. - Vol. 98. – P. 13-20. (№ 39.
Impact Factor Search. IF=0.870).
21.
Худойбердиев А.Х. Об описании супералгебр Лейбница с нильиндексом
n+m. // Доклады Академии Наук Республики Узбекистан. – Ташкент, 2009.
- № 6. – C. 3-7. (01.00.00; №7).
22.
Худойбердиев А.Х. Инфинитезимальные деформации филиформных
алгебр Лейбница
1
n
F .
//
Доклады Академии Наук Республики Узбекистан.
– Ташкент, 2013. - № 6. C. 6-8. (01.00.00; №7).
23.
Худойбердиев А.Х., Шерматова З.Х. Об описании пятимерных
разрешимых
алгебр
Лейбница
с
четырехмерных
не
Лиевым
нильрадикалом.
// Узбекский математический журнал. – Ташкент, 2014.
- № 2. – С. 149-157. (01.00.00; №6).
74
II бўлим (Часть II; Part II)
24.
Camacho L.M, Omirov B.A., Khudoyberdiyev A.Kh. Description of complex
Leibniz algebras whose quotient Lie algebras are isomorphic to sl
2
+R. // VI
international Conference on «Non associative algebras and its applications»
Universidad Zaragoza (Spain). – 2011. – P. 18.
25.
Khudoyberdiyev A.Kh., Shermatova Z.Kh. On classification of 5-dimensional
solvable Leibniz algebras. // USA-Uzbekistan Conference, California State
University, Fullerton (USA), 2014 – P. 8-9.
26.
Khudoyberdiyev A.Kh., Omirov B.A. Infinitesimal deformations of naturally
graded filiform Leibniz algebras. // «International Congress of Mathematicians-
Seoul 2014». Abstract of Short Communications, Korea, 2014. – P. 200.
27.
Khudoyberdiyev A.Kh., Classification of low dimensional solvable Leibniz
algebras. // «TWAS 25
th
General Meeting. 2014». Abstract of Young Affiliates,
Oman, 2014 – P. 29.
28.
Омиров Б.А., Худойбердиев А.Х. О классификации нильпотентных
супералгебр Лейбница. // «Операторные алгебры и квантовая теория
вероятностей»: Тез. докл. междунар. науч. конф. – Ташкент, 2005. – С.
142-145.
29.
Омиров Б.А., Худойбердиев А.Х. Центральные расширения естественным
образом градуированных филиформных алгебр Лейбница. // VII
Ферганская конференция «Предельные теоремы теории вероятностей и их
приложения». – Наманган, 2015. – C. 211-213.
30.
Худойбердиев А.Х. Классификация нуль-филиформных супералгебр
Лейбница малых размерностей. // «Дифференциальные уравнения и их
приложения» Тез. докл. Рес. науч. конф. – Нукус, 2009. – С. 115-117.
31.
Худойбердиев А.Х., Шерматова З.Х. Об описании пятимерных
нильпотентных
алгебр
Лейбница.
//
«Современные
проблемы
комплексного и функционального анализа»: Тез. докл. междунар. науч.
конф. – Нукус, 2012. – С. 222-224.
32.
Худойбердиев А.Х. Об описании характеристически нильпотентных
филиформных алгебр Лейбница. // «Операторные алгебры и смежные
проблемы». – Ташкент, 2012. – C. 249-251.
33.
Худойбердиев А.Х., Шерматова З.Х. Об описании четырехмерных
разрешимых алгебр Лейбница. // «Операторные алгебры и смежные
проблемы». – Ташкент, 2012. – C. 251-253.
34.
Худойбердиев А.Х., On the pre-derivations of Leibniz algebras.
«Актуальные проблемы математического анализа». – Ургенч, 2012. Часть
1. – С. 128-129.
35.
Худойбердиев А.Х. Инфинитезимальные деформации нуль-филиформных
алгебр Лейбница. Материалы республиканской научной конференции. //
Ёш математикларнинг янги теоремалари. – Наманган, 2013. – С. 186-188.
36.
Худойбердиев А.Х. Описание второй группы когомологий естественным
образом градуированной не расщепляемой филиформной алгебры
75
Лейбница. // «Проблемы современной топологии и её приложения». –
Ташкент, 2013. – C. 243-245.
37.
Худойбердиев
А.Х.,
Абдурасулов
К.К.,
Лейбницевы
2-коциклы
филиформные алгебры Ли. // «Проблемы современной топологии и её
приложения». – Ташкент, 2013. – C. 99-100.
38.
Худойбердиев А.Х., Омиров Б.А. Ассоциативные обертывающие алгебры
некоторых эволюционных алгебр. // «Современные проблемы
дифференциальных уравнений и их приложения». – Ташкент, 2013. – C.
324-325.
39.
Худойбердиев А.Х., Саидвалиев М.К. Об одном классе нильпотентных
восьмимерных
алгебр
Лейбница.
//
«Неклассические
уравнения
математической физики и их приложения». – Ташкент, 2014.
40.
Худойбердиев А.Х., Описание алгебр уровня два в многообразии
конечномерных алгебр Ли. // «Алгебра, анализ и квантовая вероятность».
– Ташкент, 2015. – С. 128-129.
76
Авторефератнинг ўзбек, рус ва инглиз тилларидаги нусхалари
«Ўзбекистон математика журнали» таҳририятида таҳрирдан ўтказилди.
«10» февраль 2016 йил.
___________________________________________________
Босишга рухсат этилди: «10» феврал 2016 йил.
Бичими 60х84 1/8. «Times Uz» гарнитураси. Офсет усулида босилди.
Шартли босма табоғи 5.4 нашр босма табоғи 5.5. Тиражи 100.
Буюртма № 7
«Top Image Media» босмахонасида чоп этилди.
Тошкент шаҳри, Я.Ғуломов кўчаси, 74 уй.
