АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ С.В.СТАРОДУБЦЕВА
НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ
"ФИЗИКА-СОЛНЦЕ" ИМЕНИ С.А.АЗИМОВА
На правах рукописи
УДК 621.315.592
АЮХАНОВ РАШИД АХМЕТОВИЧ
ОПТИКО-ДЕФОРМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ОБЪЕМНЫХ И
НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СТРУКТУР В ОБЛАСТИ ЭКСИТОННЫХ И МЕЖЗОННЫХ
РЕЗОНАНСОВ
Специальность 01.04.10 – Физика полупроводников
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук
Ташкент - 2010
2
Работа выполнена в Физико-техническом институте НПО “Физика-Солнце”
АН РУз
Научный консультант:
доктор физико-математических наук, профессор
Лейдерман Ада Юльевна
Официальные оппоненты:
академик Российской Академии Наук, доктор физико-
математических наук, профессор
Бугаев Александр
Степанович
доктор физико-математических наук, профессор
Шамирзаев Сезгир Хабибуллаевич
доктор физико-математических наук, профессор
Гулямов Гафур
Ведущая организация:
Ташкентский государственный технический университет.
Защита состоится “____” _______________ 2010 года в ____ часов на заседании
Специализированного совета Д.015.08.01 при Физико-техническом институте НПО
“Физика-Солнце” АН РУз по адресу: 100084, Ташкент, ул. Бодомзор йули, 2б.
Тел.: (8-10-99-871) – 233-12-71
Факс: (8-10-99-871) – 235-42-91
E:mail: karimov@uzsci.net
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-технического института
НПО “Физика-Солнце” АН РУз.
Автореферат разослан “___”_______________ 2010 г.
Отзывы на автореферат, заверенные печатью, в двух экземплярах просим отправить
по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря Специализированного совета.
Ученый секретарь
Специализированного совета,
д.ф.-м.н., профессор Каримов А.В.
3
1.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ
Актуальность работы.
Оптико-деформационные процессы, то есть явления,
возникающие при взаимодействии света (в оптическом диапазоне) со статической
или динамической деформацией (звуковая волна – 1-100 Ггц), определяются,
главным образом величиной и физическим свойствами коэффициента
фотоупругости твердого тела, количественно описывающего связь между
диэлектрической проницаемостью и величиной деформации.
В последние десятилетия, в русле общего интереса к нелинейным явлениям,
проводились исследования свойств фотоупругости вблизи каких-либо резонансов в
твердом теле (зона-зона, примесные резонансы, плазменные и т.д.). При этом
оказалось, что в этой частотной области фотоупругость не только значительно
усиливается, но и возникают новые, специфические для резонансных областей
явления, такие как эффект нелинейной фотоупругости, акустодиэлектрический
эффект, возникновение акустической распределенной обратной связи в лазерных
кристаллах, появление гигантских осцилляций фотоупругости во внешних
квантующих магнитных полях и т.д.
В основе резонансных оптико-деформационных явлений лежит то, что
диэлектрическая проницаемость при приближении к резонансу испытывает резкие
изменения, и поэтому, если звуковая волна может модулировать энергию
резонансных уровней, то модулируется и диэлектрическая проницаемость. Как
показывают исследования, весьма слабая звуковая волна способна привести к
разнообразным как линейным по амплитуде деформации, так и нелинейным оптико-
деформационным явлениям.
В этом свете большой интерес представляют исследования оптико-
деформационных явлений в частотной области экситонов Ванье-Мотта. Здесь
диэлектрическая проницаемость резко меняется по частоте выше и ниже резонанса,
что может привести к существенной модуляции диэлектрической проницаемости
звуковой волной небольшой интенсивности. Это в свою очередь, может привести к
практическому использованию экситонных резонансов, в частности, в акустооптике.
Технологическая возможность создания структур с пониженной размерностью
(то есть наноструктур: сверхрешеток, структур с квантовыми нитями, нульмерных
структур) сделала актуальной исследования их деформационно-оптических свойств,
тем более, что здесь экситонные резонансы проявляются более ярко и для
некоторых материалов могут существовать и при комнатных температурах, а
резонансы зона-зона, как по свойствам, так и по величине становятся сравнимы с
экситонными.
Возможности криогенной техники, позволяющей опускаться до температур
< 1º K, создание источников монохроматического света и звука, высокая частотная
разрешимость позволяют учесть воздействие на оптико-деформационные явления
экситонных поляритонов, а также влияние образования экситонных комплексов.
Подобное рассмотрение насколько известно не проводилось, как из-за
повышенных требований к точности эксперимента, так и первоначального
стремления рассматривать чисто фундаментальные свойства экситонных
4
поляритонов и экситонных комплексов. Такое рассмотрение важно для понимания
процессов взаимодействия экситонных поляритонов со звуковой волной, создания
на основе нанотехнологий новых приборов для управления оптическим излучением,
устройств систем обработки информации, представленных в виде акустических
сигналов, оптическими методами.
Исходя
из
вышеизложенного,
можно
сказать,
что
исследование
деформационно-оптических взаимодействий в экситонной области спектра,
несмотря на затруднения, связанные с использованием предельно низких
температур и высокого частотного разрешения, тем не менее, обладают некоторыми
специфическими особенностями,
актуальными
не только с точки зрения научного
исследования, но и практических применений.
Степень изученности проблемы.
Знание оптико-деформационных свойств
материала является необходимым для создания приборов, управляющих
электромагнитным излучением. До настоящей работы были хорошо исследованы
оптико-деформационные явления в области резонансов зона-зона, внутрипримесных
резонансов, плазмонных резонансов и т.д.[1,2].
Подобные исследования для объемных кристаллов были проведены в рамках
метода последовательных приближений для слабых деформационных возмущений.
Между тем рассмотрение звука средней интенсивности и выше, по-видимому, более
предпочтительно для усиления эффектов. Но для рассмотрения подобных процессов
метод последовательных приближений неприменим, необходимо создание новой
методики расчета.
Акустооптические процессы вблизи экситонных резонансов с учетом
поляритонного эффекта ранее вообще не рассматривались. Однако такие
исследования актуальны ввиду сильного изменения в этой частотной области
оптических констант, в частности коэффициента отражения. Такие изменения
коэффициентов отражения могут привести и к дифракционным явлениям,
имеющим свою специфику для данной области спектра. Существенное влияние в
этой частотной области может оказывать мощная электромагнитная накачка,
смещающая уровни, резко меняющая оптические константы, и потому способная
управлять оптическим излучением и акустооптическими явлениями.
В такой же, а возможно большей степени восприимчивы к модуляции звуком
и мощным светом поверхностные экситонные поляритоны, дисперсионная кривая
которых находится внутри поляритонной щели, где диэлектрическая проницаемость
отрицательна. Звуковые и световые возмущения могут менять отрицательную
диэлектрическую проницаемость очень сильно, что существенно как для управления
поверхностными экситонными поляритонами, так и явлений дифракции
поверхностных экситонных поляритонов на звуке. Это круг вопросов до начала
настоящей работы также оставался совершенно неисследованным.
Открывшаяся в последние десятилетия технологическая возможность
создания низкоразмерных структур, в частности сверхрешеток и других объектов
нанотехнологий делает необходимым исследование их оптико-деформационных
свойств вблизи экситонных резонансов, в том числе с учетом поляритонного
эффекта в условиях мощного электромагнитного возмущения, что также ранее не
было исследовано.
5
Связь диссертационной работы с тематическими планами НИР.
Основные
результаты диссертации выполнены в рамках Государственных грантов
фундаментальных
исследований
Ф-2-1-47
“Исследование
процессов
самоорганизации, развивающихся в полупроводниках и полупроводниковых
структурах
в
результате
термо-,
фото-
и
экситонно-стимулирования
дефектообразования при высоких интенсивностях возбуждения” 2003-2007 гг., а
также грантов Фонда поддержки фундаментальных исследований АН РУз 21-02
“Теоретические и экспериментальных исследования процессов самоорганизации в
полупроводниках с экситонами, локализованными на глубоких примесных центрах”
2002-2003 гг. и 13-06 “Исследования экситонных механизмов возникновения
деформационно-оптических свойств сверхрешеток и нульмерных структур” 2006-
2007 гг., которого он являлся руководителем.
Цель
исследований.
Создание
теории
оптико-деформационного
взаимодействия в объемных кристаллах и сверхрешетках с различными типами
квантовых ям вблизи экситонных и межзонных резонансов.
Задачи исследования:
-разработка модифицированной теории матрицы плотности для многочастичной
задачи с переменным числом квазичастиц;
-расчет коэффициентов фотоупругости для частотной области вблизи экситонных
резонансов для квантовых сверхрешеток с прямоугольным и наклонным дном
квантовой ямы, в том числе в структурах с пьезоэлектрическими свойствами;
-расчет
коэффициентов
фотоупругости
вблизи
резонансов
зона-зона,
модифицированных в сверхрешетке с наклонным дном квантовой ямы, в том числе
и пьезоэлектрических структур;
-исследование воздействия деформации и мощного света на коэффициенты
отражения в сверхрешетках при учете поляритонного эффекта;
-исследование дифракционных явлений в сверхрешетках и возможностей
управления дифракционной решеткой, созданной звуком, в полупроводниках с
помощью мощного света;
-исследование особенностей возбуждения поверхностных экситонных поляритонов
на границе зон с различными отрицательными диэлектрическими проницаемостями,
одна из которых возбуждается мощной световой накачкой в структурах с различной
размерностью.
Объект и предмет исследования.
Объектом исследования являются
объемные и низкоразмерные структуры на основе полупроводниковых кристаллов
типа CdS, GaAs, CuCe.
Предметом исследования, проведенного в настоящей диссертации, является
всестороннее теоретическое изучение явлений, возникающих при взаимодействии
электромагнитных волн на частотах экситонных и межзонных резонансов с
динамической или постоянной деформацией в объемных и низкоразмерных
структурах. Особое внимание было уделено построению общей теории расчета
токов, возбуждаемых электромагнитной волной в среде вблизи экситонных
резонансов для переменного числа квазичастиц, вычислениям диэлектрической
проницаемости и коэффициента фотоупругости вблизи экситонных резонансов в
объемных структурах и сверхрешетках, диэлектрической проницаемости и
6
коэффициента фотоупругости вблизи модифицированных в квантовой яме
межзонных переходов, процессам сдвига экситонных уровней и поляритонного
спектра звуком и мощным светом, исследованию различных механизмов дифракции
объемных и поверхностных электромагнитных волн вблизи экситонных
резонансов при учете поляритонного эффекта.
Методы исследования.
В работе использованы методы последовательных
приближений,
теории
возмущений,
вариационные
методы,
методика,
усовершенствованная Гуляевым и Шкердиным для расчетов дифракции света на
звуковой волне, методика Воронко, разработанная для расчетов возбуждения,
отражения и преломления поверхностных плазмонных поляритонов (ППП), а также
стандартная методика матрицы плотности и впервые разработанная методика
матрицы плотности для переменного числа квазичастиц.
Гипотеза исследования.
Основана на том, что эффекты фотоупругости
вблизи экситонных резонансов проявляются значительно сильнее, чем при других
резонансах (межзонных, внутрипримесных и др.), при этом локализация экситонов в
низкоразмерных структурах может существенно увеличить диэлектрическую
проницаемость и коэффициенты фотоупругости.
Основные положения, выносимые на защиту:
- модифицированный вариант методики матрицы плотности для многочастичной
задачи с переменным числом квазичастиц.
- методики расчета индуцированного тока, диэлектрической проницаемости и
коэффициента фотоупругости для частот света вблизи экситонных резонансов в
объемных кристаллах и сверхрешетках, а также в сверхрешетках вблизи
модифицированного в квантовой яме перехода зона-зона.
- эффект существенно нелинейной модуляции диэлектрической проницаемости
сверхрешетки звуковой волной относительно небольшой мощности в области
экситонных резонансов.
- закономерности зависимости линейных и нелинейных вкладов в фотоупругость, а
также резонансной диэлектрической проницаемости от плотности максимальной
упаковки экситонов.
- зависимости диэлектрической проницаемости и коэффициента фотоупругости от
локализации экситона в квантовой яме.
- зависимости локализации экситона в квантовой яме, а также резонансных
диэлектрической проницаемости и коэффициента фотоупругости от наклона дна
квантовой ямы в варизонных и электрических квантовых ямах.
- эффект возникновения линейной фотоупругости в сверхрешетках с наклонным
дном в пьезоэлектрических сверхрешетках вблизи экситонных резонансов.
- эффект возникновения коэффициента фотоупругости и диэлектрической
проницаемости, по величине сравнимых с экситонными для переходов зона-зона,
модифицированных в квантовой яме.
- эффект возникновения линейной фотоупругости, по величине сравнимой с
вкладом от механизма потенциала деформации в пьезоэлектрических сверхрешетках
с наклонным дном вблизи переходов зона-зона, модифицированных в квантовой
яме.
- эффект модуляции ветвей экситонных поляритонов низкоразмерных структур
7
звуковой волной, и электромагнитных волн достаточной мощности, а также
использование этого эффекта для управления как объемными электромагнитными
волнами, так и поверхностными экситонными поляритонами в сверхрешетках.
- эффект возникновения чрезвычайно контрастной дифракционной решетки в
результате эффективной модуляции коэффициента отражения в области
поляритонной щели.
Научная новизна:
- усовершенствован метод матрицы плотности для систем с переменным числом
квазичастиц
и
разработана
методика
расчета
индуцированного
тока,
диэлектрической проницаемости и коэффициента фотоупругости для частот света
вблизи экситонных резонансов и модифицированных межзонных резонансов в
объемных кристаллах и сверхрешетках.
- впервые показано, что звуковая волна относительно небольшой мощности в
области экситонных резонансов может существенно нелинейно модулировать
диэлектрическую проницаемость сверхрешетки, при этом величины нелинейных
коэффициентов фотоупругости могут достигать больших значений, чем в объемных
кристаллах.
- установлено, что величина линейных и нелинейных вкладов в фотоупругость и
резонансная диэлектрическая проницаемость существенным образом зависят от
плотности максимальной упаковки экситонов как в сверхрешетках, так и в
объемных кристаллах.
- впервые показано, что локализация экситона в квантовой яме приводит к сущест-
венному увеличению диэлектрической проницаемости и коэффициента
фотоупругости вблизи экситонных резонансов, при этом наклон дна квантовой ямы
существенно влияет на плотность максимальной упаковки экситонов.
- предсказано новое явление возникновения линейной фотоупругости в пьезоэлект-
рических сверхрешетках с наклонным дном вблизи экситонных, межзонных
резонансов, а также вблизи экситонных резонансов в объемном кристалле при
воздействии электрического поля.
- предсказано новое явление модуляции ветвей экситонных поляритонов деформа-
цией и электромагнитной волной достаточной мощности, которые может быть
использовано для управления как пробным объемным электромагнитным лучом, так
и поверхностными экситонными поляритонами в низкоразмерных структурах.
- предсказано новое явление - возникновение сильно контрастной дифракционной
решетки, возникающей благодаря эффективной модуляции коэффициента
отражения в области поляритонной щели.
- установлено новое свойство структур металл-сверхрешетка-металл, основанное на
том, что пересечение дисперсионных ветвей поверхностных экситонных
поляритонов в сверхрешетках и поверхностных плазмонных поляритонов в металле
позволяет осуществлять дифракцию поверхностных экситонных поляритонов на
звуковой волне, подобную дифракции объемного света.
Научная и практическая значимость результатов исследования.
Научная
значимость исследования заключается в построении общей теории оптико-
деформационных свойств объемных и низкоразмерных структур для частотной
области экситонных и межзонных резонансов и получении комплексной
8
информации о новых физических эффектах, возникающих в таких структурах, в том
числе при учете поляритонного эффектах. Результаты исследования расширяют круг
знаний о чувствительности оптических параметров полупроводниковых кристаллов
к деформационному возмущению. На основе этих эффектов могут быть созданы
новые типы акустооптических устройств, работающие в частотной области
экситонных и межзонных резонансов и обладающие значительно меньшей
управляющей мощностью и большей чувствительностью к внешнему звуковому
сигналу, то есть более технологичные, чем ныне используемые.
Реализация результатов.
Результаты диссертационной работы могут
использоваться при разработке нового типа приборов для быстродействующего,
немеханического
и
неконтактного
управления
оптическим
излучением
(дефлекторов, модуляторов, акустооптических фильтров и др.), а также при чтении
спецкурсов на кафедрах нанотехнологий в ВУЗах.
Апробация работы.
Основные результаты диссертационной работы
докладывались и обсуждались республиканских и международных конференциях:
“Рост, свойства и применение кристаллов” (Ташкент - 2002); “Quantum complexities
in condensed matter” (Bukhara - 2003); “Фотоэлектрические явления в
полупроводниках” (Ташкент - 2004); “Фундаментальные и прикладные вопросы
физики”; “Theoretical aspects of polymeric nanostructures formation” (Tashkent - 2004);
“Фундаментальные и прикладные вопросы физики” (Ташкент - 2004); “Физика в
Узбекистане” (Ташкент - 2005); “Рост, свойства и применение кристаллов” (Нукус -
2005); "Неравновесные процессы в полупроводниках и в полупроводниковых
структурах" (Ташкент - 2007); The International Congress on Ultrasonic (Vienna -
2007); “Радиационно-термические эффекты и процессы в неорганических
материалах” (Томск - 2008); “Оптические методы в современной физике” (Ташкент -
2008); “Современные проблемы физики и физическое образование” (Самарканд -
2009), а также на Объединенном семинаре Спецсовета при ФТИ.
Опубликованность
результатов.
Основные
результаты
работы
опубликованы в 18 научных статьях, в том числе 15 международных реферируемых
журналах, 1 в трудe Международной конференции, 2 в местной печати, а также в 19
тезисах докладов на международных и местных конференциях, список которых
приведен в конце диссертации.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, семи
глав, заключения, списка цитированной литературы из 113 наименований и
приложений. Она содержит 218 страниц текста, включая 15 рисунков и 5
приложений.
2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении
обоснованы актуальность темы, состояние изученности
проблемы, формулируется цель диссертации и выбор объектов исследования,
методы исследования, основные положения, выносимые на защиту, научная новизна
результатов,
научная
и
практическая
значимость
диссертации,
связь
диссертационной работы с тематическими планами НИР, апробация диссертации и
опубликованность результатов диссертации.
9
В первой главе
диссертации дается литературный обзор работ, посвященных
исследованиям
резонансных
оптико-деформационных
явлений,
расчетам
энергетических уровней экситонов и модифицированных электронных уровней в
низкоразмерных структурах, процессам дифракции света на звуке вблизи каких-
либо резонансов как для объемных, так и поверхностных электромагнитных волн
(ЭМВ). Показано, резонансные явления достаточно широко изучались, в частности
исследовались фотоупругие явления при резонансах зона-зона в диэлектриках,
экситонные резонансы, плазменные резонансы в проводящих кристаллах,
внутрипримесные резонансы, резонансы в квантующем магнитном поле, а также в
вырожденном и невырожденном полупроводниках. Оказалось, что наиболее резко
резонансные особенности проявляются вблизи экситонных резонансов. Тогда же
для этой частотной области экспериментально были выявлены эффекты
возникновения нелинейной фотоупругости при существенно небольших величинах
деформации. Однако теоретические исследования этого эффекта при экситонных
резонансах не проводились. Экспериментально и теоретически показано, что в
отличие от объемных кристаллов, в сверхрешетках экситоны могут существовать и
при комнатной температуре благодаря существенному увеличению экситонного
ридберга в структурах с ограничением хотя бы по одной их координат. Поэтому как
оптические, так и упругооптические свойства вблизи экситонных резонансов в
сверхрешетках будут иметь существенные отличия по сравнению с объемным
случаем [3]. Исследовались не только сверхрешетки, но и нульмерные структуры
[4]. Показано, что эти процессы могут регулироваться как электрическим полем, так
и изготовлением специальных сверхрешеток с наклонным дном квантовой ямы
(QW). Оптические и упругооптические свойства материала при переходе к более
низкой размерности будут меняться не только в области экситонных резонансов, но
и при резонансе зона-зона, то есть при модифицированных в квантовой яме
межзонных резонансах.
Все вышеперечисленные работы опирались на допущение, что в результате
падения света соответствующей частоты на кристалл возникает элементарное
возбуждение, называемое экситоном; однако из-за конечности скорости света
дисперсионная кривая вблизи экситонного резонанса будет иметь принципиально
отличный вид, описываемый дисперсионными ветвями экситонных поляритонов.
Воздействие деформации на поляритонные ветви не изучалось.
Хотя были исследования, посвященные процессам отражения, преломления и
возбуждения плазмонных поляритонов на границе сред с различными
отрицательными
диэлектрическими
проницаемостями
(ДП),
оставались
неисследованными такие же процессы для частот ЭМВ внутри экситон-
поляритонной щели, а также дифракционные явления в этой частотной области как
для объемных, так и поверхностных волн в сверхрешетках и нульмерных
структурах.
Вторая глава
диссертации посвящена построению методики матрицы
плотности, модифицированной для случая переменного числа квазичастиц,
описываемых многочастичными волновыми функциями нулевого приближения,
используемой в последующих главах диссертации. Подробно изложена методика
введения матрицы плотности для случая системы квазичастиц, а также методы
10
решения уравнения Лиувиля. Показан алгоритм нахождения плотности тока,
индуцированного ЭМВ для обобщенного случая как объемного кристалла, так и
структур с пониженной размерностью вблизи частот возбуждения обобщенной
квазичастицы. Анализ показал, что если нулевое приближение волновой функции
квазичастицы описывается многочастичными волновыми функциями, необходима
диагонализация многочастичного гамильтониана
H
, описывающего энергию
квазичастицы в нулевом приближении и если такая диагонализация может быть
проведена (что возможно, в частности для экситонов большого радиуса), то
методика матрицы плотности применима для таких систем.
Обычно методика матрицы плотности применяется для систем с постоянным
числом частиц, в частности при примесных резонансах и резонансах зона-зона. При
возбуждении же квазичастиц их число в системе переменно и возникает вопрос о
применимости методики в этом случае. Поэтому, чтобы число квазичастиц в
кристалле было постоянным, а также для вычисления матричных элементов
перехода из основного состояния в квазичастичное, использовалась следующая
модель. Считалось, что число квазичастиц в кристалле конечно, и при температуре
абсолютного нуля, в отсутствие возмущений (когда квазичастиц в кристалле нет),
все они находятся на виртуальном уровне с энергией, равной полной энергии
основного состояния невозмущенного кристалла. То есть возникновение
квазичастицы может быть описано переходом с такого виртуального уровня (то есть
с основного состояния кристалла) на квазичастичный, а аннигиляция - обратным
переходом. В этом случае такие квазичастицы в кристалле подчиняются статистике
Бозе-Эйнштейна и диагональный элемент оператора матрицы плотности дает
среднее число частиц в соответствующем состоянии.
Как следствие, без учета переходов между состояниями квазичастиц,
выражение для среднего тока имеет вид:
v
v
N
i
op
v
v
v
N
i
op
v
v
v
ind
r
r
r
j
t
r
r
r
j
t
r
j
|
)
,...
,...
(
|
|
|
|
)
,
,...
,...
(
|
|
|
)
,
(
1
)
0
(
0
0
1
1
)
1
(
0
(1)
Здесь
|
|
0
,
0
1
|
|
равновесная часть матрицы плотности и ее линейный
член, описывающий какое-либо возмущение, соответственно. Члены
f
|
|
0
дают вероятность нахождения квазичастицы в состоянии
, а матричные элементы
операторов тока в отсутствие возмущения
|
)
,...
,...
(
|
1
)
0
(
0
N
i
op
r
r
r
j
и линейной
токовой добавки
|
)
,
,...
,...
(
|
1
)
1
(
t
r
r
r
j
N
i
op
, связанной с откликом системы на
электромагнитное возмущение, могут быть вычислены аналитически ввиду
аддитивности операторов
)
,...
,...
(
1
)
0
(
N
i
op
r
r
r
j
и
)
,
,...
,...
(
1
)
1
(
t
r
r
r
j
N
i
op
. Величины
0
1
|
|
определяются из уравнения Лиувиля для матрицы плотности
0
1
0
1
0
1
|
,
|
|
,
|
|
|
H
H
t
i
, (2)
где
i
i
j
j
i
i
i
op
i
i
r
r
e
r
U
t
r
j
m
i
H
|
|
)
(
))
,
(
2
(
2
2
)
1
(
, интегралы
0
1
|
,
|
H
и
0
1
|
,
|
H
в котором могут быть вычислены аналитически ввиду возможности
11
диагонализации многочастичного гамильтониана
H
.
В результате было получено следующее выражение для резонансного члена
плотности индуцированного тока:
1
0
3
2
2
)
,
(
)
,
(
t
r
A
E
E
L
a
c
m
e
t
r
j
k
ik
B
i
, (3)
)
,
(
t
r
A
k
- компоненты вектор-потенциала ЭМВ,
ik
L
- квадрат матричных элементов по
оператору импульса,
B
a
- боровский радиус экситона,
E
- энергия экситонного
уровня с номером
,
m
,
e
- масса и заряд электрона, соответственно.
Из формулы (3) следует, что величина индуцированного тока зависит от члена
3
/
1
B
a
, имеющего смысл максимальной концентрации истинных экситонов в
кристалле, что вполне согласуется с тем, что величины поляризуемости и
диэлектрической
проницаемости
зависят
от
концентрации
резонансных
осцилляторов в кристалле. Именно эта величина, умноженная на объем кристалла
(
V
), и дает общее число
V
a
N
B
)
/
1
(
3
виртуальных экситонов в невозмущенном
кристалле при абсолютном нуле.
Это исследование показывает возможность использования формализма
матрицы плотности для расчетов индуцированных ЭМВ высокочастотных токов не
только для одночастичных, но и для коллективизированных состояний типа
экситонов Ванье-Мотта. Для общего случая структур с различной размерностью на
основе кристаллов с кубической симметрией показаны методы расчета
индуцированного тока, резонансных ДП и коэффициента фотоупругости (КФ)
вблизи переходов на квазичастичные уровни из основного состояния кристалла.
В третьей главе,
на основе развитой во второй главе общей методики
вычисления индуцированного тока для различных резонансов, построена теория
оптико-деформационного взаимодействия для конкретного случая ЭМВ с частотой,
находящейся вблизи резонансов на уровни экситонов большого радиуса в
объемных кристаллах. Здесь, в методике матрицы плотности в качестве базовой
функции нулевого приближения для основного состояния кристалла использовался
слетеровский детерминант, а для экситонного состояния - линейная комбинация на
основе слетеровских детерминантов как наиболее общее описание таких процессов.
Операторы тока и гамильтониан, описывающий также и взаимодействие между
электронами, были представлены в многочастичном виде. Расчет показал, что для
экситонов большого радиуса возможна диагонализация многочастичного
гамильтониана и поэтому методика матрицы плотности применима именно для
этого случая.
Рассматривался общий случай кристалла, в котором распространяется
обобщенная деформация, в частности звуковая волна. Было показано, что в такой
среде могут распространяться индуцированные токи, кратные по частоте звука, что
в конечном счете приводит к появлению кратных по частоте звука компонент ДП,
резонансная часть которой для дискретного спектра экситонов имеет следующий
вид:
is
b
a
a
m
L
e
t
r
d
B
ik
ik
1
1
4
)
,
(
3
3
2
2
2
, (4)
12
где
d
a
- отстройка от резонанса,
b
- деформационное смещение экситонного уровня,
s
- энергетическая размазка экситонного уровня.
Из (4) видно, что ДП зависит не от величины концентрации экситонов в
кристалле, как казалось бы должно быть, а от члена
3
/
1
B
a
, имеющего смысл
плотности максимальной упаковки (ПМУ) экситонов. Эта зависимость вполне
согласуется с тем, что вероятность рассматриваемых переходов из основного
состояния кристалла на экситонные будет пропорциональна концентрации
фиктивных экситонов, также как при внутрипримесных резонансах вероятность
переходов будет пропорциональна концентрации примесных атомов. Так как
вероятность переходов определяет поляризацию и как следствие ДП, зависимость
ДП от ПМУ кажется вполне естественной.
Показан эффект возникновения нелинейной фотоупругости для экситонной
области спектра в случае приблизительно равных между собой отстроек от
резонанса, размазки экситонного уровня и амплитуд его деформационного
возмущения. Выявлено, что величина линейных и нелинейных вкладов в
фотоупругость, а также резонансная ДП существенным образом зависят от
плотности максимальной упаковки (ПМУ) экситонов. Оказалось, что именно
благодаря значительно большей ПМУ линейные и нелинейные КФ вблизи
экситонных резонансов существенно превышают КФ при внутрипримесных
резонансах. Как для линейной, так и для нелинейной фотоупругости имеет значение
спектральная характеристика перехода - дискретность экситонного уровня
стимулирует значительно большие вклады в фотоупругость, относительно, в
частности, вкладов при резонансах зона-зона. Это наглядно проявляется из анализа
соотношения Фурье-компонент резонансной ДП, пропорциональных линейным и
нелинейным по тензору деформации коэффициентам фотоупругости, при
экситонных резонансах (
ex
n
ik
,
) и резонансах зона-зона (
g
n
ik
,
), которое имеет
следующий вид:
s
R
is
a
m
L
e
B
ik
g
n
ik
ex
n
ik
~
4
~
|
|
|
|
3
2
2
2
,
,
, (5)
где
R
- экситонный ридберг.
Очевидно, что при
s
R
, когда экситонные уровни ярко выражены,
амплитуды гармоник
ex
n
ik
,
в области дискретных резонансов могут значительно
превышать те же величины вблизи
0
g
E
в диэлектрике без учета экситонных
состояний. Этот эффект связан с различием частотных характеристик поглощения,
при экситонных резонансах она более ярко выражена и имеет форму пика, в отличие
от резонанса зона-зона, когда коэффициент поглощения имеет вид сглаженной
ступеньки. Отсюда видно, что вблизи экситонных резонансов фотоупругость
становится максимально большой относительно других резонасов из-за большей
локализации электрона и дырки друг возле друга. В низкоразмерных структурах
может возникать дополнительная локализация, связанная с ограничением движения
электрона и дырки по одной (в сверхрешетках), по двум (в структурах с квантовыми
нитями) и трем (в нульмерных структурах) координатам, когда период
низкоразмерной структуры может быть меньше размера экситона, что, очевидно,
13
будет приводить к увеличению фотоупругости. С некоторыми модификационными
изменениями данная методика может быть применена и для расчета ДП и КФ
низкоразмерных структур.
В четвертой главе
диссертации рассмотрены оптико-деформационные
процессы, возникающие в квантовых сверхрешетках для частот ЭМВ вблизи
экситонных резонансов. При этом расчеты резонансных ДП и КФ для
идеализированной сверхрешетки с нулевой шириной проводились аналитически, а
для QW сверхрешетки с конечной шириной (рис.1) проводились численно при
использовании для нахождения энергетических уровней и волновых функций
экситонов вариационного метода.
Рис.1. Сверхрешетка с конечной шириной QW.
Так как в данном расчете учитывается конечность ширины дна квантовой ямы
(QW), он принципиально не отличается от расчета ДП и КФ для объемного
кристалла и идеально двумерной структуры; отличие возникает только при
определении волновых функций и энергетических состояний реального экситона в
QW с конечной шириной. Поэтому для реальной сверхрешетки нет необходимости
заново находить индуцированный ток, достаточно вычислить квадрат огибающей
функции
2
|
)
0
(
|
U
и энергии экситона и подставить в окончательные формулы для
тока и ДП для идеально двумерной структуры. То есть расчет сводится к
нахождению волновой функции и энергии экситона в квантовой яме конечной
ширины. Расчет проводился в приближении бесконечно глубокой ямы при помощи
вариационной процедуры для основного (нижнего) энергетического уровня,
согласно методике, изложенной в [3]. В результате были получены выражения для
ДП реальной сверхрешетки в присутствии обобщенной деформации, Фурье-
разложение которой дает коэффициенты, пропорциональные различным порядкам
по тензору фотоупругости:
0
2
2
2
2
cos
cos
2
4
)
,
(
is
E
a
d
n
L
m
L
e
t
r
d
p
k
i
n
ik
, (6)
где
- фаза звуковой волны
E
- амплитуда модуляции экситонного уровня,
B
P
L
L
L
- период сверхрешетки,
L
- ширина QW,
B
L
- толщина барьера QW,
-
вариационный параметр. Оценки показывают, что величины этих коэффициентов
при различных
n
, то есть порядков Фурье разложения, при
s
a
E
d
~
~
становятся
14
сравнимыми, то есть здесь, как и в объемном кристалле, возникает эффект
нелинейной фотоупругости. Однако этот эффект в сверхрешетках будет возникать
лишь при достаточно низких температурах, так как в области комнатных температур
необходимы достаточно большие интенсивности звуковой волны.
Так как в дальнейшем нас будут интересовать коэффициенты фотоупругости
при комнатной температуре и оценки показывают, что нелинейные члены (6) будут
при реально достижимых интенсивностях звука несущественными, рассматривался
линейный член Фурье-разложения (то есть
)
,
(
t
r
n
ik
при
1
n
), который для
кубического кристалла может быть найден из следующего соотношения:
2
0
11
1
11
2
1122
2
1111
u
P
P
D
D
, (7)
0
- стационарная ДП.
Анализ показывает, что резонансная часть КФ в сверхрешетке
D
P
2
1111
больше
такой же величины
D
P
3
1111
для объемного кристалла в
)
/(
2
2
2
3
D
P
D
B
s
L
s
a
раз (
D
s
3
и
D
s
2
-
величины энергетических размазок для трехмерного (объемного) случая и для
сверхрешетки). То есть при
B
P
a
L
2
и
D
D
s
s
3
2
, величина
D
P
2
1111
больше
D
P
3
1111
в
2
2
/
B
a
раз.
На рис.2 представлены вычисленные значения
и средней величины энергии
E
основного состояния экситона, образованного при взаимодействии электрона и
тяжелой дырки (
m
04
.
0
|
|
), для экситона в конечной QW в GaAs/Al
0.28
Ga
072
As в
зависимости от ширины ямы при
210
~
4
.
1
B
z
a
L
Å.
Кривые a, b, c – величины
, кривые d, e, f - величины
ex
E
в варизонной (
e
F
=5·10
4
в/см
,
h
F
=-0.88 ·10
4
в/см), прямоугольной (
e
F
=0,
h
F
=0) и электрической QW (
e
F
=
h
F
=5·10
4
в/см) соответственно,
y
R
- энергия
связи объемного экситона.
Рис.2 Зависимость
и
ex
E
от ширины QW
QW
L
вблизи экситонных резонансов.
15
Резонансные коэффициенты
D
P
2
1111
для сверхрешетки GaAs/Al
0.28
Ga
072
As
(
207
b
L
Å,
38
10
2
.
1
ik
L
г·эрг,
D
s
2
=4 meV) на частоте, смещенной на 8 meV от
максимума поглощения (1.460 eV) этого же экситона в яме с конечной шириной,
показаны на рис.3. Отсюда видно, что если
102
z
L
Å,
207
B
L
Å (наиболее часто
используемая конфигурация сверхрешеток на GaAs), величина
6
.
0
2
1111
D
P
, то есть в
3.6 раза превышает нерезонансный КФ (
165
.
0
3
1111
DN
P
[6]) в объемном кристалле
GaAs. Поэтому общий КФ (резонансная плюс нерезонансная часть) может быть
весьма большим и в данном случае приблизительно равен
765
.
0
,
2
1111
ALL
D
P
. С другой
стороны, как показано в [4], кривая поглощения при образовании в сверхрешетке
экситона на основе тяжелой дырки претерпевает резкий спад от максимума
резонанса до длинноволнового края на энергетическом промежутке 8-10 meV. То
есть такое резкое изменение коэффициента поглощения и поэтому коэф-
фициента преломления вблизи резонанса экситона, находящегося в сверхрешетке,
Кривые a, b, c – величины
1111
P
в варизонной, прямоугольной и электрической QW соответственно.
Рис.3 Зависимость линейного КФ вблизи экситонного резонанса
1111
P
от ширины QW
QW
L
.
16
стимулирует высокие значения КФ даже на самом краю резонанса, когда
поглощение достаточно мало. Более того, КФ при уменьшении
z
L
могут быть еще
несколько увеличены (рис.3).
Также рассматривались сверхрешетки с наклонным дном QW. Наклон дна QW
будет менять волновые функции и энергетические состояния экситона в QW
относительно случая с простой QW. Рассматривались два случая, при которых КФ
ведут себя различным образом – первый, когда тангенсы углов наклона дна QW
для электрона и QW для дырки имеют разные знаки (рис.4),
Рис.4 Сверхрешетка с варизонной квантовой ямой, где тангенсы углов наклона дна
QW электронной и дырочной ям противоположны.
и второй, когда их знаки равны (рис.5).
Рис.5 Сверхрешетка с наклоном дна квантовой ямы, стимулированного
электрическим полем, где тангенсы углов наклона электронной и дырочной ям
одинаковы.
17
QW для электронов и дырок с различными тангенсами угла наклона можно
создавать, варьируя состав слоя, составляющего QW в сверхрешетке. Это приводит
к возникновению координатной зависимости ширины запрещенной зоны и, в
общем случае, к различным (в том числе и по знаку) тангенсам угла наклона. В
частном случае системы GaAs/AlGaAs, при замене в процессе эпитаксии атомов
Ga на Al в слое GaAs, составляющем QW, знаки тангенсов углов наклона будут
противоположны и количественно связаны друг с другом следующим образом
15
.
0
/
85
.
0
h
e
A
A
,
e
A
- тангенс угла наклона дна электронной QW,
h
A
- тангенс угла
наклона дырочной QW. Назовем этот случай наклоном, возникающим в варизонной
QW.
Очевидно, что одинаковый тангенс угла наклона (
h
e
A
A
) имеет место в случае
QW, находящейся в постоянном электрическом поле, то есть для случая наклона
дна ямы, задаваемого электрическим полем.
Оказалось, что наклон дна QW существенно модифицирует величины
энергетических уровней и волновых функций, находимых вариационным методом с
пробной функцией, учитывающей наклон дна электронной и дырочной QW, и
благодаря этому существенно меняет величины ДП и КФ вблизи экситонных
резонансов. При этом было показано, что варизонный наклон и наклон,
обусловленный электрическим полем, приводят к существенно противоположным
результатам.
Результаты расчета величин
E
и варизонного параметра
в зависимости от
ширины QW для наклона в варизонной QW (
v
v
ex
E
,
) и наклона, задаваемого
электрическим полем (
v
e
ex
E
,
), показаны на рис.2, на котором как отмечалось выше
приведены также значения этих же величин в случае простой (прямоугольной)
ямы (
v
e
ex
E
,
). Для одной и той же ширины QW соотношения между ними выглядят
так: (
e
ex
p
ex
v
ex
E
E
E
),
e
p
v
. Величина
v
ex
E
несколько больше энергии экситона в
простой яме, что обусловлено смещением максимумов волновых функций
электрона и дырки по направлению к одной из границ QW (к
2
/
z
L
z
) и, в
конечном счете, их дополнительной локализацией. Меньшая величина энергии
экситона
e
ex
E
относительно энергии в простой яме отражает противоположную
ситуацию - электрическое поле смещает максимумы волновых функций электрона
и дырки к различным границам (электрона к
2
/
z
L
z
, дырки к
2
/
z
L
z
), таким
образом ослабляя эффект локализации электрона и дырки в простой QW .
Такая интерпретация подтверждается и зависимостью величины энергии
основного состояния экситона от степени наклона дна QW. Увеличение наклона,
усиливая степень локализации электрона и дырки возле границы
2
/
z
L
z
, в случае
варизонной QW увеличивает экситонную энергию (в этом случае степень
локализации зависит от соотношения между
e
A
и
h
A
, связанного с физико-
химическими свойствами варизонного слоя). Увеличение же наклона в
электрическом поле, смещая электрон и дырку к противоположным границам QW,
ее уменьшает.
Эти существенные различия для наклона в варизонной QW и наклона,
задаваемого электрическим полем, обусловливающие величину и поведение
18
вариационного параметра
в выражениях для волновых функций и экситонных
энергий, сказываются и на величине резонансной части ДП в присутствии звука,
полученной аналогично в квазистатическом квазиоднородном приближении для
звуковой волны:
is
E
L
m
L
e
t
r
r
p
k
i
ik
1
2
4
)
,
(
2
2
2
2
(8)
2
)
(
;
1
1
L
A
A
E
E
E
E
E
E
E
h
e
h
e
g
W
g
ex
W
g
r
r
E
- величина экситонного уровня, отсчитанная потолка валентной зоны,
модифицированной в QW с наклонным дном,
W
g
E
- энергетический промежуток
между основными состояниями электронов (
e
E
1
) и дырок (
h
E
1
) в собственных QW с
наклонным дном без учета их взаимодействия друг с другом.
g
E
- ширина
запрещенной зоны объемного кристалла,
ex
E
- величина экситонного уровня,
отсчитанная от дна зоны проводимости, модифицированной в QW с наклонным
дном. Здесь
, в зависимости от наклона дна QW, имеет смысл либо
v
, либо
e
и
, что весьма существенно меняет свойства резонансной ДП. Очевидно поэтому, что
от параметра
зависят и величины КФ, вычисляемые с учетом экситонного
эффекта. Выражение для линейного члена резонансного КФ в случае, когда
сверхрешетка создана на основе кубического кристалла с пьезоэлектрическими
свойствами имеет вид:
2
2
0
1
2
2
2
2
1111
)
(
2
4
is
a
E
E
L
m
L
e
P
d
m
ex
p
k
i
(9)
1
E
- потенциал деформации,
m
ex
E
- параметр сдвига уровня
ex
E
,
0
ik
m
ex
u
E
означает
величину сдвига экситонного уровня, когда звуковая волна с амплитудой тензора
деформации
u
ik
0
возбуждает в пьезоэлектрическом кристалле электрическое поле
напряженностью
0
0
)
/
)
4
(
ik
u
F
(
- пьезоэлектрический модуль),
dF
dE
ex
/
-
производная от энергии экситона в QW с наклонным дном по напряженности этого
пьезополя
(в
случае
наклона,
задаваемого
электрическим
полем
h
e
ex
e
e
ex
e
ex
dA
dE
e
dA
dE
e
dF
dE
/
/
/
,
в
варизонной
QW,
когда
h
e
A
A
,
h
v
ex
e
v
ex
v
ex
dA
dE
e
dA
dE
e
dF
dE
/
/
/
),
и
q
- частота и волновой вектор звуковой
волны.
Так как для одинаковых величин
d
a
и
s
линейные КФ для сверхрешеток с
наклонным дном КЯ
E
V
P
,
1111
и с простой QW
D
P
2
1111
соотносятся как
1
,
1
2
2
,
2
1111
1111
E
E
E
P
P
e
mv
ex
p
e
v
D
, (10)
и так как для наклона, задаваемого электрическим полем
p
e
, параметр сдвига
уровня
0
me
ex
E
, величина
E
P
1111
как в пьезоэлектрических, так и в
непьезоэлектрических сверхрешетках всегда меньше КФ для простой ямы
D
P
2
1111
.
Электрическое поле, увеличивая вариационый параметр
, сводит волновую
функцию экситона в QW к волновой функции, количественно описывающей
19
объемный кристалл. Так как КФ для наклона, задаваемого электрическим полем
E
P
1111
связаны с объемным КФ
D
P
3
1111
как
)
/(
2
~
2
2
3
3
3
1111
1111
e
D
P
D
B
D
E
s
L
s
a
P
P
, (11)
D
s
3
и
D
s
2
- величины энергетических размазок для трехмерного и квазидвумерного
случаев, то при
B
P
a
L
,
D
D
s
s
3
2
для электрических полей, при которых
B
a
~
,
величина
D
E
P
P
3
1111
1111
~
.
В случае наклона в сверхрешетке c варизонной QW, когда
p
v
и параметр
сдвига
0
me
ex
E
, дополнительная локализация электронов и дырок как бы уменьшает
толщину QW, благодаря чему увеличивается КФ (
V
P
1111
). Это показано на рис.3, где
при использовании (9) построены кривые для линейных резонансных КФ для
конкретной сверхрешетки GaAs/AlGaAs (
B
L
=207A,
38
10
2
.
1
ik
L
г·эрг,
D
s
2
=4
meV) на частоте, смещенной на 8 meV в длинноволновую область от максимума
поглощения основного состояния экситона в сверхрешетке c варизонной QW,
наклоном, задаваемым электрическим полем, приложенным к сверхрешетке, и
данные для простой ямы в зависимости от ширины ямы.
Если кристалл, на основе которого создана сверхрешетка, обладает
пьезоэлектрическими свойствами, то величина и характер модуляции основного
экситонного уровня пьезоэлектрическим полем (а значит и вклад пьезополя в КФ)
в таких сверхрешетках с наклонным дном QW будет иным, чем в случае
пьезоэлектрической сверхрешетки с простой QW. Так как основной уровень любой
трехмерной водородоподобной системы для электрических полей, много меньших
величины, необходимой для ионизации системы, всегда квадратично зависит от
приложенного электрического поля, и в случае экситона в простой QW эта
зависимость сохраняет такой же вид, то модуляция пьезополем экситонного уровня
также близка к квадратичной, то есть является весьма малой и не дает вклада в
линейную КФ. В случае QW с наклонным дном ситуация качественно иная. Для
пьезополей, напряженность которых много меньше напряженности приложенного
электрического поля, задающего наклон дна QW, или напряженности встроенных
электрических полей в случае варизонной QW (даже для хороших пьезоэлектриков
поля не превышают 10
3
v/cm при средних интенсивностях звука), зависимость
энергии экситона от пьезополя приобретает квазилинейный характер. То есть
создание наклона дна QW приводит к возникновению квазилинейной модуляции
основного уровня экситона пьезополем и вносит линейный вклад в величину КФ,
чего нет в случае простой ямы. Величина этой модуляции (то есть
me
ex
E
), зависящая
от производной
dF
dE
e
ex
/
, для наклона, задаваемого электрическим полем в системе
GaAs/AlGaAs, максимальна в области электрических полей ~ 5·10
4
–10
5
V/cm,
когда сама кривая зависимости энергии экситона от электрического поля,
создающего наклон, приобретает квазилинейный характер.
Оценки показывают, что величина линейного вклада пьезополя в резонансную
фотоупругость (а также величина модуляции энергии экситонного уровня)
невелика и преобладающий вклад вносит потенциал деформации. Так, для
системы GaAs/AlGa As,
me
ex
E
~ 0.2 eV,
mv
ex
E
~ 0.04 eV, тогда как потенциал
20
деформации
6
~
1
E
eV. Таким образом, выявлен принципиально новый механизм
образования фотоупругости, отличный от механизма потенциала деформации.
В пятой главе
представлена теория оптико-деформационных процессов,
разработанная для частот ЭМВ вблизи межзонных резонансов, модифицированных
в квантовой яме сверхрешетки. Трансформация непрерывного энергетического
спектра в дискретный, возникающая вследствие локализации свободного электрона
или дырки в QW делает систему невзаимодействующих электрона и дырки в QW
подобной экситону, где роль кулоновского взаимодействия выполняет локализация
в QW свободных носителей. Тот факт, что в сверхрешетке локализация
несвязанного заряда по одной из координат трансформирует непрерывный
энергетический спектр в дискретный, подсказывает, что система свободный
электрон плюс дырка в QW может иметь в некоторой мере такие же свойства, как и
экситон, благодаря тому, что они хотя и не взаимодействуют, но тем не менее
локализованы по одной из координат. Поэтому исследовалисьь диэлектрические и
фотоупругие свойства невзаимодействующих электрона и дырки в сверхрешетках в
QW с простым дном, с наклонным дном и в сверхрешетках, созданных на основе
пьезоэлектрического кристалла.
Используя
методику
матрицы
плотности,
развитую
для
случая
невзаимодействующих электрона и дырки, находящихся в QW, в приближении
бесконечно глубокой ямы, было получено выражение для резонансной части
диэлектрической проницаемости (ДП) в области переходов между дискретными
уровнями свободных электронов и дырок в QW:
||
||
||
||
,'
,
,
,'
,
,
'
2
2
2
'
2
2
2
2
)
(
)
(
4
1
4
)
,
(
k
n
n
c
k
n
k
n
n
n
k
i
L
L
n
n
p
ik
is
E
E
L
dz
z
c
z
c
L
V
m
e
t
r
, (12)
L
nz
L
nz
z
c
n
n
n
sin
)
)
1
(
1
(
cos
)
)
1
(
1
(
)
(
.
Здесь
P
p
L
S
V
- величина объема периода сверхрешетки,
S
- площадь поверхности
сверхрешетки, параллельная ее слоям,
||
||
,'
,
k
n
c
E
,
||
,
,
k
n
E
, - энергии электронных
состояний соответственно для зоны проводимости (
c
) и валентной зоны (
),
трансформированных в QW,
n
=1,2,3....
-
номера дискретных уровней
пространственного квантования состояний электрона и дырки в QW (такое
представление амплитуды блоховской функции отражает ситуацию, когда
ограничение толщины ямы в направлении, перпендикулярном слоям сверхрешетки
трансформирует квазинепрерывный спектр электронных состояний объемного
кристалла [7] и квантовые числа, характеризующие блоховскую функцию
k k k
x
y
z
,
,
,
заменяются на
k k n
x
y
,
,
),
||
k
,
||
- волновые вектора электрона и ЭМВ в направлении
параллельном слоям сверхрешетки,
n
n
k
i
L
- квадрат матричных элементов блоховских
функций электронов модифицированных в QW, от оператора импульса.
Тогда, переходя от суммирования по
k
||
к интегрированию, раскладывая
21
получившееся выражение по амплитуде звуковой модуляции электронного уровня
k
i
ik
u
E
a
(
k
i
u
- тензор деформации) в ряд, получаем линейный член разложения
ik
по
a
:
i k
i k
P
A
L
a
a is
11
2
2
2
1
2
2
||
, (13)
A
e L
m
i k
i k
11
2 11
2
2
2
3
2
2
2
||
,
где
||
- эффективная масса электрона в направлении, параллельном слоям
сверхрешетки. Используя (13), можно оценить величину КФ в сверхрешетке вблизи
резонанса между основными состояниями электрона и дырки в слое с QW:
P
A
L
a is
MQWS
P
c
1111
11
11
2
2
2
1
2
11
02
2
||
(
)
(14)
Анализ полученного выражения показывает, что существенное значение
имеет множитель
2
2
2
1
2
2
/
||
L
P
, связанный с периодом сверхрешетки или, что
равнозначно,
с
плотностью
N
QW
квантовых
ям
в
сверхрешетке
(
N
N L
L
QW
MQWS
P
/
/
1
,
N
- количество QW в сверхрешетке,
L
NL
MQWS
- длина
сверхрешетки в направлении, перпендикулярном слоям). Это связано с тем, что
локализация электрона и дырки в слое с QW позволяет рассматривать такую
систему как осциллятор, и от плотности таких осцилляторов при их резонансном
возбуждении зависит как величина линейных ДП (13), так и линейная
фотоупругость.
Сравнение (14) и КФ (
P
V
1111
) вблизи резонансов зона-зона в объемном
кристалле, дает следующее соотношение (для одинаковых отстроек от резонанса
a
и величин s):
2
1
2
||
2
2
1111
1111
/
2
~
is
a
L
P
P
P
V
MQWS
(15)
То есть, если
)
2
/(
2
||
2
2
P
L
>
|
|
a
is
, величина
P
P
MQWS
V
1111
1111
. Отношение (15)
качественно схоже с соотношением между КФ для объемного экситона (
P
V EX
1111
,
) и
P