Неклассические задачи пластин и пологих оболочек и разработка численных методов их решения

ТОШКЕНТ ДАВЛАТ ТЕХНИКА УНИВЕРСИТЕТИ ВА

ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ ҲУЗУРИДАГИ ФАН

ДОКТОРИ ИЛМИЙ ДАРАЖАСИНИ БЕРУВЧИ 14.07.2016 FM/T 02.02

РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ

ТОШКЕНТ ДАВЛАТ ТЕХНИКА УНИВЕРСИТЕТИ

АХМЕДОВ АКРОМ БУРХАНОВИЧ

ПЛАСТИНА ВА ЯССИ ҚОБИҚЛАРНИНГ НОКЛАССИК

МАСАЛАЛАРИНИ СОНЛИ ЕЧИШ УСУЛЛАРИНИ ИШЛАБ ЧИҚИШ

01.02.04 – Деформацияланувчи қаттиқ жисм механикаси

(физика-математика фанлари)

ДОКТОРЛИК ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ

ТОШКЕНТ–2016

УДК: 539.3

Докторлик диссертацияси автореферати мундарижаси

Оглавление автореферата докторской диссертации

Content of the abstract of doctoral dissertation

Ахмедов А.Б.

Пластина ва ясси қобиқларнинг ноанъанавий масалаларини

3

сонли ечиш усулларини ишлаб чиқиш

Ахмедов А.Б.

Неклассические задачи пластин и пологих оболочек и

29

разработка численных методов их решения

Akhmedov A.B.

Nonclassical problems of plates and flat covers and development of

55

numerical methods of their decision

Эълон қилинган ишлар рўйхати
Список опубликованных работ

79

List of published works

2 2

ТОШКЕНТ ДАВЛАТ ТЕХНИКА УНИВЕРСИТЕТИ ВА

ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ ҲУЗУРИДАГИ ФАН

ДОКТОРИ ИЛМИЙ ДАРАЖАСИНИ БЕРУВЧИ 14.07.2016 FM/T 02.02

РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ

ТОШКЕНТ ДАВЛАТ ТЕХНИКА УНИВЕРСИТЕТИ

АХМЕДОВ АКРОМ БУРХАНОВИЧ

ПЛАСТИНА ВА ЯССИ ҚОБИҚЛАРНИНГ НОКЛАССИК

МАСАЛАЛАРИНИ СОНЛИ ЕЧИШ УСУЛЛАРИНИ ИШЛАБ ЧИҚИШ

01.02.04 – Деформацияланувчи қаттиқ жисм механикаси

(физика-математика фанлари)

ДОКТОРЛИК ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ

ТОШКЕНТ–2016

3 3

Докторлик диссертацияси мавзуси Ўзбекистон Республикаси Вазирлар Маҳкамаси

ҳузуридаги Олий аттестация комиссиясида 30.09.2014/В2014.5.FM 136 рақам билан рўйхатга

олинган.

Докторлик диссертацияси Тошкент давлат техника университетида бажарилган.

Диссертация автореферати уч тилда (ўзбек,рус, инглиз) веб-саҳифанинг www.tdtu.uz ҳамда
«ZiyoNet» ахборот-таълим портали www.ziyonet.uz манзилларига жойлаштирилган.

Расмий оппонентлар: Хусанов БахтиёрЭргашбоевич

физика–математика фанлари

доктори, профессор

Сафаров Исмоил Иброхимович

физика–математика фанлари доктори, профессор

Индиаминов Равшан

физика–математика фанлари доктори

Етакчи ташкилот: Самарқанд давлат архитектура-қурилиш институти

Диссертация ҳимояси Тошкент давлат техника университети ва Ўзбекистон миллий

университети ҳузуридаги 16.07.2013T/FM.02.02 рақамли фан доктори илмий даражасини берувчи
илмий кенгашнинг “_____” _______________2016 йил соат ______ даги мажлисида бўлиб ўтади.
Тел./факс: (99871) 227–10–32 e-mail: nich_tdtu@rambler.ru.

Докторлик диссертацияси билан Тошкент давлат техника университети Ахборот–ресурс

марказида танишиш мумкин. (Манзил: 100095, Тошкент, Университет кўчаси-2. Тел./факс: (99871)
227–10–32

Диссертация автореферати 2016 йил “_____”_____________куни тарқатилди

(2016 йил ”___”____________ даги № рақамли реестр баённомаси)

К.А.Каримов

фан доктори илмий даражасини берувчи

илмий кенгаш раиси, т.ф.д., профессор

Н.Д.Тураходжаев

фан доктори илмий даражасини берувчи

илмий кенгаш илмий котиби, т.ф.н., доцент

М.Мирсаидов

фан доктори илмий даражасини берувчи
илмий кенгаш қошидаги илмий семинар

раиси, т.ф.д., профессор

4 4

КИРИШ (Докторлик диссертацияси аннотацияси)

Диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати.

Жаҳондаги

инфраструктураларнинг ривожланиши қурилаётган иншоотларнинг хавфсиз
лиги ва барқарорлигига бўлган талаблар конструкцияларнинг юк кўтарувчи
элементлари мустаҳкамлигини ва бардошлилигини ошириш борасида янги
вазифалар қўймоқда. Конструкцияларни лойиҳалашда уларнинг мустаҳ
камлиги ва барқарорлигини башорат қила олиш учун такомиллаштирилган
сонли ҳисоблаш усулларини ишлаб чиқиш механиканинг долзарб
фундаментал масалаларидан бири ҳисобланади.

Иншоот ва конструкциялардан фойдаланиш хавфсизлигини таъмин

лашга қаратилган фундаментал илмий–тадқиқот ишларига илм ва фан учун
ажратилган умумий харажатнинг 4–5 фоизини, жумладан Европа ва МДҲ
давлатларида 3-4 фоизни, саноати юқори даражада ривожланган мамла
катларда 7-8 фоизни ташкил этади.

Мамлакатимизда амалга оширилаётган иқтисодий ислоҳотлар шарои

тида барпо этилаётган конструкция ва иншоотлардан фойдаланиш хавфсиз
лиги ва мустаҳкамлигини таъминлашга алоҳида эътибор қаратилмоқда.
Жумладан учиш аппаратларининг хавфсиз парвозини, ер усти ва ер ости
иншоотларининг турғунлиги ва сейсмик бардошлилигини хамда геология
қидирув ишларида қўлланиладиган бурғилаш асбоб-ускуналарининг асосий
юк кўтарувчи конструкциялари барқарорлигини таъминлаш учун уларни
ташкил этувчи пластина ва ясси қобиқларнинг мустаҳкамлиги масалаларини
ечиш муҳим аҳамият касб этади.

Ноёб физик ва механик хусусиятли конструкцион материаллар учун

замонавий технологиялар кенг қўлланилаётганлиги муносабати билан ташқи
таъсир остидаги пластина ва ясси қобиқларнинг мустаҳкамлиги ва
устуворлигини ҳисоблашда ноанъанавий назариялари ва такомил
лаштирилган усулларни яратиш долзарб масалалардан биридир. Юк
кўтарувчи мураккаб шаклли конструкциялар эгилишининг назарияларини
такомиллаштириш ва мустаҳкамлигини оширишда вужудга келадиган
ноклассик масалаларни ахборот коммуникацион технологиялари ёрдамида

сонли ечиш усулларини ишлаб чиқиш муҳим илмий-аҳамият касб этади.

Ўзбекистон Республикаси Президентининг 2002 йил 30 майдаги ПФ-3080-сон
«Компьютерлаштиришни янада ривожлантириш ва ахборот коммуникация
технологияларини жорий этиш тўғрисида» ги Фармони ва Ўзбекистон
республикаси Вазирлар Маҳкамасининг 2002 йил 6 июндаги 200- сон
«Компьютерлаштиришни янада ривожлантириш ва ахборот комму никация
технологияларини жорий этиш чора тадбирлари тўғрисида»ги қарори ҳамда
мазкур фаолиятга тегишли бошқа меъёрий-ҳуқуқий ҳужжатларда
белгиланган вазифаларни амалга оширишга ушбу диссертация тадқиқоти
муайян даражада хизмат қилади.

Тадқиқотнинг республика фан ва технологиялар ривожланиши

нинг устувор йўналишларига боғлиқлиги.

Мазкур тадқиқот республика

5 5

фан ва технологиялар ривожланишининг IV. «Ахборотлаштириш ва ахборот

коммуникация технологияларини ривожлантириш» устувор йўналиши
доирасида бажарилган.

Диссертация мавзуси бўйича хорижий илмий тадқиқотлар шарҳи

1

.

Пластина ва қобиқларнинг назариялари ва уларнинг мустаҳкамлиги,
барқарорлиги ва бикирлиги муаммоларига йўналтирилган илмий изланишлар
жаҳоннинг етакчи илмий марказлари ва олий таълим муассасалари,
жумладан, Lawerence Livermore Laboratory (USA), Гамбург технологиялар
университети (Германия), Варшава университети (Польша), Москва давлат
университети, Санкт–петербург университети (Россия), Механика институти
(Украина), Полимерлар механикаси институти (Латвия), Тошкент давлат
техника университети (Ўзбекистон) томонидан олиб борилмоқда.

Пластина ва ясси қобиқлар мустаҳкамлигини ошириш ва барқарор

лигини аниқлашга оид жаҳонда олиб борилган тадқиқотлар натижасида
қатор, жумладан қуйидаги илмий натижалар олинган: композит материал
ларни саноатда қўллашда ясси қобиқдаги зўриқиш кучларнинг тақсимотини
аниқлаш усули ишлаб чиқилган (Lawerence Livermore Laboratory, USA);
пластиналарнинг ички кучланишларни қалинлик бўйича махсус тақсим
ланиши асосида ноклассик назарияси яратилган (Гамбург технологиялар
университети, Германия); пластина ва ясси қобиқлар назариясининг термо
динамик асоси ишлаб чиқилган (Варшава университети, Польша); даврий
структурали композицион пластиналар мустаҳкамлигини ҳисоблашга доир
усуллар такомиллаштирилган (Москва давлат университети, Россия); плас
тиналарнинг барқарорлигини ҳисоблашда ноклассик назариялар ишлаб
чиқилган (Санкт-Петербург университети, Россия); диэлектрик материал
ларнинг механик хоссаларини аниқлаш учун сонли ечиш усуллари ишлаб
чиқилган (Полимерлар механикаси институти, Латвия).

Дунёда пластина ва ясси қобиқлар ноанъанавий масалари бўйича қатор,

жумладан, қуйидаги устувор йўналишларда тадқиқотлар олиб борилмоқда:
пластина ва қобиқларнинг ноёб физик-механик ҳусусиятларини эътиборга
олиш асосида конструкцион материалларнинг мустаҳкамлигини янада
ошириш усулини ишлаб чиқиш; ташқи кучлар таъсиридаги пластинанинг
ҳаракатини изоҳловчи тенгламаларнинг аниқлик даражасини ошириш; юпқа
деворли иншоот ва конструкцияларининг ишончлилиги ва барқарорлигини
ошириш учун юк кўтариш даражасини аниқлашнинг сонли ечиш усулини
ишлаб чиқиш.

1

Диссертация мавзуси бўйича хорижий илмий тадқиқотлар шарҳи Lawrence Berkeley National Laboratorywww.lbl.gov

.

; Кафедра

механики композитов МГУ.www.math.msu.su/department/composite/index.htm.; Товстик П.Е

.

Некл.модели балок, пластин и оболочек

//Изв. Саратовского университета, 2008. Т.8, серия Мат.мех.инф.,вып. 3, с.74-85; Институт механики полимеров
:www.citariga.lv/rus/teika/zinatne/polimeru-mehanikas-instituts/Скопцов К.А.; Шешенин С.В. Асимптотический анализ теории пластин
Рейснера-Миндлина. М. Изд. во МГУ, Упругость и неупругость, 2011 г.,стр. 236-240; Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости.—
М.: Наука, 1979.– 560 с.; Kristensen R. Mechanics of Composite Materials – Courier Corporation, 2005, USA – 348 p; А й н о л а Л.Я. Интег.
вариац. принц. и их прим. В динамике упругих обол. и пл.. Диссерт. —Таллин, 1967. —253 с; Малмейстер А. К. и др. Сопрот. полим. и
композитных материалов.—Рига: Зинатие, 1980.–572 с; Reissner E, Wan FYM Further considerations of stress concentrations problems for
twisted or sheared shallow spherical shells. Int. J. Solids Structures 31(No. 16): 1994; A m b a r t s u m i a n S. A. On the problem of oscillations
of the electrocon-ductive Plates in the transverse magnetic field: Theory of, Eds: North –Holland Publishing Company, 1980; В л а с о в В. ва
бошқа манбалар асосида ишлаб чиқилган.

6 6

Муаммонинг ўрганилганлик даражаси.

Юк остидаги юпқа деворли

иншоотлар техника амалиётида кенг тарқалган бўлиб, аввалдан тадқиқотчи
ларнинг диққат марказида илмий изланишларининг асосини ташкил қилиб

келмоқда.

Ҳорижлик олимлардан Я.Бернулли (Франция), И. Кирхгофф ва Ф.Ляв

(Германия), С. П. Тимошенко ва Р. Кристенсен (АҚШ), Л.Я.Айнолла (Эсто
ния), А.К. Малмейстер (Латвия) пластина ва қобиқларнинг юк таъсирида
кучланиши ва деформацияланиши назариялари бўйича илмий изланишлар
олиб боришган. Пластина ва қобиқларнинг ноанъанавий назариялари бўйича
Е. Рейcснер, С.А. Амбарцумян, В.З. Власов, Х.М. Муштари, И.Г. Трегуловлар
илмий тадқиқотлар олиб боришган.

Мамлакатимизда В.Кабулов, Т.Рашидов, Т.Буриев, Ф.Б.Бадалов,

М.Мирсаидов, Х. Худойназаров, М.Усаров каби олимлар пластина ва қобиқ
ларнинг устуворлиги ва бикирлигига оид татбиқий масалалар ва уларни ечиш
устида илмий изланишлар олиб боришган.

Пластина ва қобиқларнинг маълум назариялари, одатда, эластиклик на

зариясининг уч ўлчовли масаласини икки ўлчовли кўринишга келтиришга
асосланган. Шу сабабли илгари сурилаётган ноанъанавий назариялар аниқ
лашда мезон сифатида ечимни нуқтада берилган эластиклик назариясининг
уч ўлчовли ҳаракат тенгламасини қаноатлантириши қабул қилинган.

Масала шундаки, ҳозиргача маълум назариялар фаразларга асослан ганлиги

сабабли кучланишлар тензорининг баъзи ташкил этувчилари эъти борга

олинмайди ёки маълум қонуниятга бўйсундирилади, натижада уч ўлчовли

тенглама қаноатлантирилмайди. Бундан ташқари маълум назарияларнинг

барчасида пластина текислиги чўзилмайди деб фараз қили ниши натижасида

кўндаланг кучлар таъсирида пластиналарда тўлқин тарқалишининг

характери ўрганилмайди. Юқоридаги мулоҳазалар, пластина ва

қобиқларнинг барча фаразлардан ҳоли мукаммал ноанъанавий назари ясини

яратиш илмий-амалий аҳамиятга молик эканлигини таъкидлайди.

Диссертация мавзусининг диссертация бажарилган олий таълим

муассаасининг илмий–тадқиқот ишлари билан боғлиқлиги.

Диссертация

тадқиқоти Тошкент давлат техника университетининг илмий-тадқиқот иш
лари режаси ОТ Ф1–123 «Тасодифий кучлар таъсиридаги қайишқоқ дефор
мацияланувчи тизимларни математик моделлаштиришнинг назарий асослари
ва спектрал масалаларнинг дифференциал муаммосини сонли ечиш» (2007–
2011) ҳамда А–14–15 «Мураккаб шаклли композицион пластиналар мустаҳ
камлигининг ночизиқли масалалари ҳисоби» (2015–2017) мавзуларидаги
лойиҳалар доирасида бажарилган.

Тадқиқотнинг мақсади

пластина ва ясси қобиқларнинг ноклассик

масалаларини сонли ечиш усулларини ишлаб чиқишдан иборат.

Тадқиқот

вазифалари:

пластина ва ясси қобиқларнинг сиртларидаги барча чегаравий

шартларни қаноатлантириб, ночизиқли эластиклик назариясининг уч ўлчовли
масаласини икки ўлчовли масалага келтириш;

7 7

амалий механиканинг чегаравий ва спектрал масалаларини сонли ечиш

учун дифференциал кўчириш усулини мукаммаллаштириш; ўта баланд
иншоотларнинг оғирликлари ва заминда ўрнатилиш ҳусусиятларини

эътиборга олиб, ҳосил бўлиши мумкин бўлган резонанс ҳолатларни динамик
сўндириш усулларини белгилаш;

ўзаро қўшма бўлмаган операторлар учун спектрал масалаларнинг

дифференциал муаммосини ҳал қилишни илмий асослаш.

Тадқиқотнинг объекти

сифатида ўта баланд иншоотлар, юк

таъсиридаги мураккаб шаклли юпқа деворли конструкциялар, қалин
плиталар, ўта эластик пластина ва ясси қобиқлар олинган.

Тадқиқотнинг предмети

ташқи кўндаланг динамик кучлар таъсири

даги ўта баланд иншоотларнинг тебраниши, юк таъсиридаги мураккаб
шаклли юпқа деворли конструкциялар деформацияланиши ва қалин плиталар
учун амалий механиканинг масалалари ташкил этади.

Тадқиқот усуллари.

Диссертацияда ўзаро қўшма бўлмаган оператор

лар учун спектрал масалаларда хос сонлар ва базис функцияларни
аниқлашнинг дифференциал муаммосини ҳал қилиш усуллари; дифферен
циал кўчириш ва вариацион яқинлашиш усуллари қўлланган.

Тадқиқотнинг илмий янгилиги

қуйидагилардан иборат

:

дифференциал операторлари қўшма ва қўшма бўлмаган спектрал маса

лаларни сонли ечиш усуллари ишлаб чиқилган;

такомиллаштирилган вариацион яқинлашиш ва дифференциал кўчи

риш усуллари ишлаб чиқилган;

мураккаб шаклли юк кўтарувчи конструкциялардаги ўта хавфли ички

кучланиш соҳалари аниқланган ва ушбу ҳолатларни бартараф этиш усуллари
ишлаб чиқилган;

ўта баланд иншоотларда динамик сўндиргичлар ёрдамида резонанс

амплитудаларини икки баробар камайтириш усули ишлаб чиқилган;
пластинанинг маҳкамланиш усулига мос аэродинамик флаттер ҳодиса сида
критик тезликлар бир неча ўн баробарга фарқланиши аниқланган.

Тадқиқотнинг амалий натижаси.

Қалин плитанинг бир нуқтасида

жамланган кўндаланг кучлар таъсирида ҳосил бўлувчи ички кучланиш
тақсимоти аниқланган.

Тадқиқот натижаларининг ишончлилиги.

Тадқиқот натижаларининг

ишончлилиги деформацияланувчи қаттиқ жисм механикаси асосий прин
ципларининг қўлланилиши, математик физика ва функционал анализнинг
фундаментал асосларидан фойдаланилганлиги ва амалий механиканинг
татбиқий масалаларини ечишга мўлжалланган алгоритмик дастурларнинг
тест масалаларида тасдиқланиши билан изоҳланади.

Тадқиқот натижаларининг илмий ва амалий аҳамияти.

Тадқиқот

натижаларининг илмий аҳамияти қаралаётган ноанъанавий масалалар
деформацияланувчи қаттиқ жисм механикаси ихтисослигида янги йўналишга
асос бўлиши, ташқи динамик кучлар таъсирида пластина ва ясси қобиқларда
тўлқин тарқалиши қонуниятини ўрганиш имкониятининг пайдо бўлиши,

8 8

спектрал масалаларда дифференциал муаммонинг ҳал қилиниши билан
изоҳланади.

Тадқиқот натижаларининг амалий аҳамияти ўта баланд иншоотларда

резонанс ҳолатларни динамик сўндириш механизми, мураккаб шаклли юк
кўтарувчи иншоотлардаги ўта хавфли ички кучланиш соҳаларини аниқлаш ва
ушбу ҳолатларни бартараф этиш усуллари спектрал масалаларни ечишга
мўлжалланган амалий дастурлар комплексини ишлаб чиқишга хизмат
қилади.

Тадқиқот натижаларининг жорий қилиниши.

Мураккаб шаклли

ясси қобиқлар ва мураккаб шаклли пластиналар учун спектрал масалаларни
сонли ечиш бўйича олинган натижалар 15-026 «Юк таъсиридаги авиация
иншоотларини

чекли

элементлар

усулида

автоматлаштирилган

лойиҳалаштиришни ишлаб чиқиш ва тадқиқ этиш» грант лойиҳасида қишлоқ
хўжалиги учун мўлжалланган самолётларнинг юк кўтарувчи элементлари
мустаҳкамлигини аниқлашда қўлланилган (Фан ва технологияларни
ривожлантиришни мувофиқлаштириш қўмитасининг 2016 йил 2 июндаги
0313/348 сон маълумотномаси). Илмий натижаларнинг қўлланилиши
мураккаб шаклли соҳаларни изопериметрик координата системаси ёрдамида
анъанавий соҳаларга акслантириш орқали самолётларнинг қанотлари,
химикат учун мўлжалланган баклари ва шпангоутларининг устуворлиги ва
мустаҳкамлигини ҳисоблаш аниқлигини 30–35% га ошириш имконини
берган.

Тадқиқот натижаларининг апробацияси

. Тадқиқот натижалари 12 та

илмий–амалий анжуманларда, жумладан: «Механика и технология
композитов» (Болгария, Варна, 1987); «Полимерные композиты» (Германия,
Дрезден, 1987); «Интегральные уравнения в прикладном моделировании»
(Одесса, 1989); «По вопросам рассеяния энергии» (Киев, 1989); «Ученые и
специалисты в решении социально экономических проблем страны»
(Ташкент, 1991); «Механика муаммолари» (Чимкент, 2007); «Амалий
математика ва информацион технологияларнинг долзарб муаммолари–Ал–
Хоразмий 2012» (Тошкент, 2012); «Современные проблемы алгоритмизации»
(Ташкент, 1991); «Математическое моделирование и численные методы
решения задач прикладной математики» (Ташкент, 1992); «Вычислительный
эксперимент, математическое моделирование и их применение» (Ташкент,
1993); «Проблемы и вопросы механики» (Ташкент, 1993); «Мониторинг
летательных аппаратов» (Ташкент, 2000) мавзуларидаги республика ва
халқаро илмий-амалий конференцияларда маъруза кўринишида баён этилган
ҳамда апробациядан ўтказилган.

Тадқиқот натижаларнинг эълон қилиниши.

Диссертация мавзуси

бўйича жами 40 та илмий иш, жумладан, 1 та монография, Ўзбекистон
Республикаси Олий аттестация комиссиясининг докторлик диссертациялари
асосий илмий натижаларини чоп этиш тавсия этилган илмий нашрларда 14 та
мақола, жумладан, 10 таси республика ва 4 таси хорижий журналларда нашр
этилган.

9 9

Диссертациянинг тузилиши ва ҳажми

. Диссертация таркиби кириш,

бешта боб, хулоса, фойдаланилган адабиётлар рўйхати ва иловалардан
иборат. Диссертациянинг ҳажми 198 бетни ташкил этган.

ДИССЕРТАЦИЯНИНГ АСОСИЙ МАЗМУНИ

Кириш

қисмида ўтказилган тадқиқотларнинг долзарблиги ва зарурати

асосланган, тадқиқотнинг мақсади ва вазифалари, объект ва предметлари
тавсифланган, республика фан ва технологиялари ривожланишининг устувор
йўналишларига мослиги кўрсатилган, тадқиқотнинг илмий янгилиги ва
амалий натижалари баён қилинган, олинган натижаларнинг илмий ва амалий
аҳамияти очиб берилган, тадқиқот натижаларини амалиётга жорий қилиш,
нашр этилган ишлар ва диссертация тузилиши бўйича маълумотлар кел
тирилган.

Диссертациянинг

«Мураккаб шаклли пластина ва қобиқларнинг

ноанъанавий масалалари»

деб номланган биринчи бобида фазовий элас

тиклик ночизиқли назариясининг тенгламалари асосида кўчиш вектори ва
кучланиш тензори компоненталари тақсимотига фаразлар киритмасдан плас
тина ва ясси қобиқларнинг ноанъанавий назарияси яратилган. Таклиф этила
ётган назария мураккаб шаклли соҳалар учун ривожлантирилган ва маълум

назариялар қиёсий таҳлили келтирилган. Ўта баланд ва ўта эгилувчан иншо
отларнинг ночизиқли масалалари ишлаб чиқилган.

Геометрик ночизиқли назарияси асосида, бошланғич (деформациягача)

1 2 3

O

x x x

декарт координата системасида

U

i

вектор кўчишнинг компонен

таларига нисбатан ҳаракат тенгламаси

[

(

δ

ik

+

U

i

,

k

)

σ

kj

]

,

j

+

X

i

−

ρ

U



i

=

0

. (1) Анизотроп

материалларда ички кучланиш

σ

ij

ва чекли деформация

e

ij

ларнинг тензор

компоненталари ўртасида физик чизиқли

σ

ij ijkl kl

=

C e

(2)

ҳамда ночизиқли Коши-Грин муносабатлари

1

(

)

ij

U

i j

U

j i

U

k i

U

k j

e

, , , ,

=

+

+

, (3)

2

бошланғич



(4)

0

, ,

0

U

i

=

U U

=

V

0

i

t

ва чегаравий шартлар

i i

=

=

t

0

(

)

, ,

δ

ik

+

U

i k

σ

kj

n

j

=

S

i

U

i

=

U

i

(5)

Σ

,

Σ

Σ

1

2

ўринли бўлганда ҳажмий ва сирт кучлари таъсирида бўлган ихтиёрий фазо

вий жисмларнинг ички кучланиш–деформацияланишини аниқлаш учун му
носабатлар тизимини ҳосил қиламиз. Бунда:

U

i

Σ

– Σ=Σ

1

+Σ

2

чегаранинг бир

қисмида берилган ташқи кўчиш компонентлари,

U

i

0

, V

i

0

– жисмнинг бошлан

ғич ҳолатини тавсифловчи функциялар,

δ

ij

- Кронеккер символлари,

n

j

–

10 10

ташқи нормал,

ρ

– зичлик,

C

ijkl

– анизотроп материалларнинг тензор конс

танталари.

Пластиналар эгилишида, кўндаланг кўчишнинг бўйлама кўчишларга

нисбатан юқори эканлигини эътиборга олиб (1)-(5) ночизиқли эластиклик

нинг умумий уч ўлчовли масаласида бўйлама кўчишларнинг ночизиқли таш

кил этувчиларидан воз кечиб, изланаётган ечимни

z

нормал координатаси

бўйича тўртинчи даражагача бўлган кўпҳад кўринишида ёзиб оламиз:

=

+

+

+

−

−

+

[

]

1

⎜

⎜

⎝⎛

Y

i

⎟

⎟

⎠⎞

⎜

⎜

⎝⎛

2

h Y

i

⎟

⎟

⎠⎞

U u z Ф z Ф z V

( )

ψ

( ) , ( ) ,

+

+

−

i i i i

Ф z w

θ

,

2 1 2

i i

U w zV Ф z

2

μ

6

μ

(6)

z

=

+

−

1

( ) ,

θ

2

2

Бунда

⎥

⎥

⎦⎤ ⎢

⎢

⎣

⎡⎟

⎠⎞

2

Ф z

⎥

⎥

⎦⎤

h z

1

⎢

⎢

⎣

⎡⎟

⎠⎞

⎜

⎝⎛

20

1

⎜

⎝⎛

z

Ф z

,

z

1

1 12

( )

h

=

−

12

( )

бўлиб, ушбу формула

=

−

2

3

4

h

ва бундан кейинги ифодаларда ўзгарувчи индекслар фақат 1,2 ни қабул
қилади. У ҳолда тангенциал ички кучланишлар

σ

iz

учун

h

z

=

±

учун

±

2

чегаравий шартларни
қаноатлантирувчи

=

+

−

+

σ

zi

=

S

i

(7)

2

2 2

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎟

⎠⎞

⎜

⎜

⎝⎛

⎜

⎜

⎝⎛

=

−

⎟

⎟

⎠⎞

f z zY h

Y z

z

5

⎟

⎠⎞

σ

iz

μ

ψ

i

⎜

⎝⎛

−

w

i

θ

i i

(8)

, ( )

⎥

+

− −

1 20 , ( ) 1 4

2

4 30

4

h

⎦

f z
h

ифодаларни ҳосил қиламиз.

Шунингдек, нормал ички кучланишлар учун

h

z

=

±

учун

±

±

2

чегаравий шартлардан

σ

zz

=

S

z

−

U

z

,

i

S

i

, (9)

Y

−

2 4

⎟

⎟

⎠⎞

⎡ − ⎤

1

⎜

⎜

⎝⎛

h
h

+

⎟

⎟

⎠⎞

1 1 2

D V

⎜

⎜

⎝

⎛

Δ

−

ν

−

ν

i i

,

+

−

+

+

+

2

G u w w

,

,

V V

, ,

θ

θ

, ,

V Z h

⎥

+

=

0

k k k k k k k k z

μ

⎢⎣

,

2

4

36

ν

⎦

2

ν

Y

+

⎟

⎟

⎠⎞ ⎡

⎜

⎜

⎝⎛

h

2

⎟

⎟

⎠⎞

⎤

1

−

ν

1 2

(10)

D

⎜

⎜

⎝

⎛

Δ

−

θ

−

ν

i i

,

−

− −

Δ

+

+

G w w V

5 , , ,

ψ

θ

V G Z

, , 12

⎥ −

θ

+

3

=

0,

k k k k k k z

μ

⎢⎣

6

⎦

ν

ν

тенгламалар системасига эга бўламиз. Бунда:

D

плита бикирлиги,

G

–сил жиш

модули, Δ – Лаплас оператори,

,

Z Z

−

+

–пластинага таъсир этувчи

z z

ташқи кучлар, ν– Пуассон коэффициенти.

Кўчиш вектори (6) ҳамда симметрик кучланишлар тензори ком понентлари ўз

навбатида

x

1

, x

2

ва

t

ўзгарувчиларнинг номаълум функ циялари бўлган

u

i

, ψ

i

,w,

V, θ

интеграл катталикларга боғлиқ бўлганлигидан номаълумлар сонига тенг

бўлган ҳаракат тенгламаларини ҳосил қилиш учун (1) тенгламаларни [

-0,5h;

0,5h

] интервалида

z

ўзгарувчи бўйича интеграллаш процедурасини амалга

ошириб, бўйлама –

N

ij

ва кесувчи –

Q

i

ички зўриқиш лар, эгувчи момент–

M

ij

ларни муомалага киритиб, чегаравий шартлар (5) ни

11 11

эътиборга олган ҳолда қуйидаги хусусий ҳосилали дифференциал тенгла

малар системасини ҳосил қиламиз:




N p mu

+

−

=

ij j i i

0

,

M Q
m

h

2



−

+

−

=

m

0

ij j i i i

,

12

ψ

(11)

+

−

Q N w M V S S mw



+

+

+

− −

=

( , ), ( , ), 0,

i i ij j i ij j i z z

,

Бунда:

,

p m

i i

ташқи бўйлама куч ва моментлар, m – кўндаланг кесим

массаси. Плитага тегишли асосий чегаравий шартлар интеграл катталиклар
учун қуйидаги кўринишда ёзиб олиниши мумкин:

I. Шарнирли боғланиш

0, 0, 0, 0, 0

N n M n w V

ij j ij j

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

=

=

=

=

=

θ

II. Қотириб маҳкамлаш

0, 0, 0, 0, 0

i i

u w V

ψ

θ

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

=

=

=

=

=

(12) III. Эркин чегара

N n M n Q n V n n

ij j ij j i i i i i i

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

=

=

=

=

=

0, 0, 0, , 0, , 0

θ

Шундай қилиб, соддалаштириш ва фаразлардан ҳоли бўлган плита

ларнинг ноанъанавий назарияси яратилди. Ушбу назариядан қалин плита,
ўрта қалинликдаги ва эгилувчан пластиналарнинг чизиқли ва ночизиқли
ҳаракат тенгламалари хусусий ҳолда олиниши мумкин. Масалан,

0, 0,

p m

i i

=

=

бўлганида (10), (11)-тенгламаларда ночизиқли ҳадлардан воз кечиб,

ҳамда бўйлама кўчишлар ва силжиш бурчаклари учун потенциаллар киритиб,
ўрта

қалинликдаги

пластиналар

учун

соддалаштирилган

ҳаракат

тенгламаларини ҳосил қилиш мумкин.

ν

ν

1

−



G u

qh mu

Δ

+

−

=

0

4
2

2

⎟

⎟

⎠⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

Δ

⎟

⎟

⎠⎞

h

2

D

ν

ν

2

⎜

⎜

⎝

⎛−

Δ

+

−

+

−

ψ

ν

1

12

1

5(1 2 )

ν

q

+

(13)

2 2

⎟

⎟

⎠⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

Δ

⎟

⎟

⎠⎞

h

ν

⎜

⎜

⎝

⎛−



+

− −

+

m

1

ν

5
1

12(1

2 )

ν

ψ

=

0

Ўрта қалинликдаги пластиналар учун, (13) тенгламалар системаси биринчи

марта ҳосил қилинди. Чунки, пластиналарнинг ўрта текислиги чў зилмайди

деган фараз кўндаланг кучлар таъсирида пластиналарда бўйлама тўлқин

тарқалишини инкор этади. (13) ҳаракат тенгламаларининг биринчиси эса

пластиналарда бўйлама тўлқин тарқалишини таҳлил қилиш имконини

яратади. Ушбу системанинг иккинчи тенгламаси эластиклик назариясининг

аниқ уч ўлчовли муносабатларига

о(h

3

)

аниқликдаги учинчи даражали яқин

лашувчи машҳур Рейсcнер-Миндлин тенгламаларидан фақат ҳадлардаги ўз

гармас кўпайтувчилар билан фарқланади. Ўта юпқа пластиналар учун (13)

иккинчи ҳаракат тенгламаларида

h

2

кўпайтувчи қатнашган ҳадлардан воз

кечилса, аввалдан маълум Кирхгоффнинг анъанавий тенгламаси ҳосил бўла-

12 12

ди. Ушбу тенглама эластиклик назариясининг аниқ уч ўлчовли муносабат
ларига

о(h)

аниқликдаги биринчи яқинлашишни таъминлайди. В.З.

Власовнинг ясси қобиқларга тегишли умумий назариясини қўл лаган ҳолда
бўйлама кучланишларни қуйидаги кўринишда ёзиб олишимиз мумкин

(

e w

) 2 (

e w

)

σ

ij

=

λ

kk

−

ς

kkl

χ

l

δ

ij

+

μ

ij

−

ς

ijl

χ

l

. (14)

Бунда:

ijl

ς

– учинчи рангли тензор компоненталари фақат

1

ς

111

=

ς

222

=

бўлиб, қолганларининг барчаси нолга
тенг бўлади.

χ

k

– ясси қобиқнинг ко

ордината ўқлари бўйича эгрилигини аниқлайди,

=

0

χ

k

бўлганда ясси қобиқ

пластинага айланади. Коши–Гриннинг

e

ij

– бўйлама деформациялариниг ком

поненталари (3) формулага мувофиқ аниқланади. Ясси қобиқларнинг эгрили

гидан пайдо бўлувчи

N

ij ijl

χ

l

ς

бўйлама зўриқишлар «қўшимча» кўндаланг

куч сифатида эътиборга олиниб, (11) каби ҳаракат тенгламаси ҳосил қили
нади.

Юқорида пластина ва ясси қобиқларнинг ноанъанавий назарияси тўғри

тўртбурчакли анъанавий соҳалар учун ишлаб чиқилди. Лекин ташқи юк таъ
сиридаги кўпгина иншоотлар мураккаб шаклли ноаъанавий соҳаларда дефор
мацияланиши маълум. Мураккаб шаклли пластина ва ясси қобиқларга так
лиф этилаётган ноанъанвай назарияни татбиқ этиш учун

Оху

декарт коорди

ната системасида эгри чизиқли трапеция шаклидаги деформацияланувчи со
ҳани

O

ξη

изопериметрик координата системасини муомалага киритиб,

=

=

8

8

∑ ∑

=

=

x N

ξ

η

x y N

ξ

η

y

( , ) , ( , )

k
k k

1

k

k k

1

формулалар ёрдамида ва мос равишда мураккаб функциялардан ҳосила олиш
қоидаларидан фойдаланган ҳолда анъанавий квадрат соҳага акслантирилади

(1-расм). Бунда:

(

)

k k

x

,

y

сонлар жуфти эгри чизиқли трапециянинг учлари ва

томонлари ўртасида жойлашган

M

k

нуқталарнинг координаталарини аниқ

лайди. Бунда қаралаётган хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар сис
темаси ўзига ўхшаш ўзгарувчи коэффициентли тенгламалар системасига ай
ланади. Мураккаб шаклли соҳани изопериметрик координата системаси орқа
ли квадрат соҳага акслантиришдаги асосий ютуқ координата ўқлари бўйича
ўзгарувчиларни ажратиб олиш орқали ҳеч қандай чегарасиз математик физи
канинг анъанавий таҳлил усулларидан фойдаланиш имкониятининг пайдо
бўлишидадир.

Таклиф этилаётган ноанъанавий назария пластина ва ясси қобиқ ларнинг

маълум барча анъанавий ва такомиллаштирилган назарияларнинг

умумлашмаси сифатида ишлаб чиқилди. Бизга маълум мос фаразлар ва

соддалаштиришларни қўллаш орқали назариялардан ҳар бирини таклиф

13 13

у

М

8

М

1

М

3

М

2

η

М

8

М

1

М

2

η

М

3

М

4

ξ

М

4

ξ

М

7

М

7

М

6

М

5

О

х

М

5

М

6

1-расм. Эгри чизиқли трапецияни анъанавий квадрат соҳага акслантириш.

этилаётган назариянинг хусусий ҳоли сифатида ҳосил қилиш мумкин.
Масалан, Кирхгофнинг анъанавий назарияси ташқи уринма кучлар бўлмаган
ҳолда (6) ифодалардан

ψ

k

= – w,

k

алмаштириш ва пластиналарнинг қалинлиги

бўйича эзилишини эътиборга олмасдан (

e

zz

=

0

ёки

V

=

θ

=

0)ҳосил қилинади.

Пластина ва ясси қобиқлар назарияларини мукаммаллаштириш бир

томондан янги татбиқий муаммоларни ҳал қилиш имкониятини яратиб,
иккинчи томондан, ҳисоблаш алгоритмларини мураккаблаштиришга олиб ке
либ тадқиқотчилар олдига самарали ҳисоблаш усулларини ишлаб чиқишни
тақозо қилади.

Аниқлик даражаси бўйича энг мақбул йўналишлардан бири –

қаралаётган мувозанат масалаларини чегаравий шартларни бирор нуқтага
кўчириш орқали Кошининг тенг кучли масалаларига айлантиришдир, чунки
Коши масаласи замонавий ахборот технологиялари воситасида талаб этилган
аниқликда ечилиши мумкин. Ушбу йўналишлар ичида энг самаралиси сифа

тида дифференциал кўчириш усули тан олинган. Бу усулнинг асосини яра
тишда А.А.Абрамов, И. Бабушка, Н.Мухитдинов, Ф. Б. Бадалов ва бошқалар
нинг изланишларини таъкидлашимиз мумкин. Бунда асосий камчилик:
ҳисоблаш алгоритмининг ҳар бир чегаравий шартнинг турига бевосита
боғлиқ равишда ишлаб чиқилишидир.

Диссертациянинг

«Чегаравий ва спектрал масалаларни сонли ечиш

усули»

деб номланган иккинчи бобида умумлаштирилган дифференциал кў

чириш усули асосида бир ва икки ўлчовли чегаравий масалаларни ечиш учун
сонли усуллар ишлаб чиқилган. Ихтиёрий чегаравий шартда спектрал
масалаларнинг дифференциал муаммосини сонли ҳал этиш усули таклиф
этилган. Сонли усуллар ишончлилиги ва асослилиги маълум статик ва
динамик масалалар мисолида таҳлил қилинган.

Амалий механиканинг татбиқий статика масалалари у ёки бу усулда

оддий дифференциал тенгламалар системасига келтирилади. Ушбу чегаравий
масалалар умумлаштирилган матрица-вектор кўринишида ёзиб олиниши
мумкин:

′

(

C(x)V Q(x)V

)

+

A(x)V

′+

B(x)V

=

F

′+

(

15)

a V

′+

b V

=

f

(16)

х = 0,l

бўлганда

x x x

14 14

Бунда:

C(x), Q(x), A(x), B(x), F(х(

– қаралаётган татбиқий масаланинг физик

механик хоссаларини аниқловчи олдин берилган матрица ва вектор функция

a , b , f

–

ихтиёрий чизиқли чегаравий шартни характерловчи мат

лардир.

x x x

рица ёки вектор ўзгармаслар

.

Умумий ҳолда ёзилган (16) чегаравий шартни бир томонга кўчириш

учун (15) тенгламанинг структурасидан келиб чиқиб, қуйидаги ёрдамчи
матрица–вектор кўринишидаги оддий дифференциал тенгламалар систе
масини муомалага киритамиз:

α

(

C

(

x

)

V

′

+

Q

(

x

)

V

)

+

β V

=

f

,

(17)

Бунда: α, β, f – аниқланиши лозим бўлган номаълум матрица ва вектор

функциялар. Охирги тенгламалар системасини

х

бўйича дифференциаллаб:

′

′+

(18)

α

(

C

(

x

)

V Q

(

x

)

V

)

+

α

′

(

C

(

x

)

V

′+

Q

(

x

)

V

)

+

β V

′+

β

′

'V

=

f

′

ҳосил бўлган

тенгламани тескари матрицага кўпайтириб, сўнг қайта гуруҳ лаб, қуйидагига
эга бўламиз:

′

′+

− − −

(19)

1 1 1

(

C

(

x

)

V Q

(

x

)

V

)

α

(

α C

(

x

)

β

)

V α

(

β Q

(

x

))

V α f

+

′

+

′+

′+

=′

Юқорида келтирилган (19) ва (15) тенгламалар системаси, ҳамда (17) ва (16)

х=0

бўлганда солиштириб, номаълум α, β, f матрица ва вектор функцияларни

аниқлаш учун қуйидаги Коши масаласига келамиз:

− −

1

1

′

=

−

=

[

]

(

)

(

)

α αA(хA β ( ), α 0 a С 0 ,

С х

0

⎪

⎨

⎧

′

=

=

−

1

′

=

−

=

−

(

)

(

)

(

)

β ( ) ( ), β 0 b a C 0 Q 0 ,

B x Q x

0 0

α

(20)

⎪⎩

(

)

f ( ), f 0 f .

α

F x

0

Номаълум коэффициентлар учунҳосил бўлган (20) матрицавий

дифференциал тенгламалар системаси кўринишли Коши масаласини кесмада
чапдан ўнгга қараб ечгач, α

(х)

, β

(х)

, f

(х )

номаълумларнинг қийматлари

аниқланади, жумладан

х=l

нуқтада α

(l)

, β

(l)

, f

(l)

қийматлар маълум бўлади. У

ҳолда (16) ва (17) ни эътиборга олсак V

(l)

, V′

(l)

вектор номаълумлар

компоненталарига нисбатан 2

n

алгебраик тенгламалар системасига эга

бўламиз:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎟

⎟

⎠⎞

⎜

⎜

⎝⎛

+

⎜

⎜

⎝⎛

′

α l C l β l α l Q l

. (21)

V

⎟

⎟

⎠⎞

a b

=

⎟

⎟

⎠⎞

⎜

⎜

⎝⎛

f l

l l l

f

V

Ушбу тенгламалар системасини ечиб,

х=l

нуқтада аниқланган V

(l)

, V′

(l)

«бошланғич шартлар»дан фойдаланиб [

l;

0] кесмада тескари йўналишда

Коши масаласини ечиш орқали, ахтарилаётган V ечим қаралаётган кесманинг
барча нуқтасида тўла аниқланади. Коши масаласига ўтказилиб қаралаётган
(15) ва (16) чегаравий масала учун зарурий шарт

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

⎜

⎜

⎝⎛

+

α l C l β l α l Q
l

≠

⎟

⎟

⎠⎞

de

(22)

t

a b

l l

бажарилиб, (16) тенгламалар системаси коэффициентларининг нормаларига
қўйилган баъзи чеклашлар бажарилганда ягона ечими мавжуд эканлиги ис
ботланди.

15 15

Эластикликнинг ихтиёрий бир ўлчовли чизиқли динамик масаласи

Фурьенинг ўзгарувчиларнинг бўлаклаш усулига мувофиқ ҳамма вақт қуйи

даги умумлаштирилган спектрал масалани ечишга олиб келинади:

′

[

C(x)U Q(x)U

]

+

A(x)U

′

−

[pM(x)

−

B(x)]U

=

0

′

+

(23)

х = 0,l

бўлганда а

x

V′ +b

x

V =0 (24)

Бунда:

р

– хос сон. Ҳосил бўлган бир жинсли чегаравий масала ҳам

мукаммаллаштирилган дифференциал кўчириш усули билан ечилади. Бунда
изланаётган хос сон

р

– бир жинсли (23)–(24) чегаравий масаланинг нолдан

фарқли ечими мавжудлик шарти –

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

⎜

⎜

⎝⎛

+

α l C l β l α l
Q l

=

⎟

⎟

⎠⎞

de

(25)

t

дан аниқланади.

a b

l l

Таклиф қилинаётган мукаммаллаштирилган дифференциал кўчириш

усули ёрдамида (23)–(24) спектрал масаласининг хос сонлар ва базис функ
циялар учун дифференциал муаммоси ҳал қилингандан сўнг, умумий ечим

U

(

x

)

r

базис функциялар бўйича қаторга ёйилади:

∞

∑

r

V T

(

t

)

U

(

x

)

,

=

(

26)

r

r 0

=

бунда

T

r

(t)

вақт бўйича дифференциал тенгламанинг ечимидир. Эластиклик

назариясининг бир ўлчамли динамик масаласининг тўла ечимини юқори
аниқликда ҳисоблаш усули яратилди. Шу билан бир қаторда, пластина ва
ясси қобиқларнинг асосий татбиқий масалалари координата бўйича икки
ўлчовлидир ва уларни координата ўқлари бўйича номаълум функцияни
бўлаклаб

v ( , ) ( ) ( )

1 2 1 1 2 2

x x X x X x

r

=

r r

Бубнов-Галеркин процедураси

ни қўлласак, ҳар бир координата бўйича мос равишда бир ўлчовли масалага
келамиз. Икки ўлчовли масалаларни бир ўлчовли масалага келтириш усули
вариацион яқинлашиш усули деб аталади ва эластиклик назариясининг но
чизиқли статик масалаларини ечиш учун ҳам чекловларсиз қўлланилиши
мумкин.

Юқоридагига ўхшаш пластина ва ясси қобиқларнинг динамик маса

лалари ҳам вариацион яқинлашиш ва мукаммаллаштирилган дифференциал
кўчиш усули биргаликда қўллаш орқали ечилади, яъни мос координата ўқла
ри бўйича бир ўлчовли масала ечилиб базис функциялар аниқлангандан сўнг,
қаралаётган икки ўлчовли спектрал масаланинг хос сони Релейнинг энер
гетик формуласи орқали аниқланади.

Замонавий ахборот–коммуникацион технологиясининг Турбо–Паскал

алгоритмик тили асосида пластина ва ясси қобиқларнинг ташқи кучлар
таъсиридаги статик ва динамик масалаларига доир аниқ ечими мавжуд
масалалари орқали ишлаб чиқилган сонли ҳисоблаш алгоритмлари учун
яратилганкомплекс дастурларининг ишончлилиги ва самарадорлиги аниқ
ланган. Масалан, спектрал масалаларда турли чегаравий шартлар учун

камида 7–8 хос сонлар ва базис функциялар аниқланди.

16 16

Диссертациянинг

«Қалин плита мувозанати ва ҳаракатига доир

баъзи масалалар»

деб номланган учинчи бобда ноанъанавий назарияни ма

салаларда қўлланилиши, ишончлилиги, асосланганлиги ва олинган нати
жаларнинг аниқлик даражаси тахлил қилинган. Нуқтада жамланган куч таъ
сирида қалин плиталарда ҳосил бўлувчи кучланиш ва деформациялар аниқ
ланган.Абсолют қаттиқ ва ўта текис асосдаги, текис тарқалган ёйилма куч
таъсиридаги қалин плитанинг бўйлама деформацияланиши ҳамда тоза эги
лиши масалаларида ноанъанавий назария доирасида аниқ ечим олишга эри
шилди. Текис ёйилма куч таъсиридаги шарнирли маҳкамланган қалин плита
лар эгилишида ноанъанавий назария бўйлама зўриқишларни ҳисоблаш имко
ниятини яратди ва плитанинг қалинлигига мутаносиб, маълум назариялар
натижаларини 40 фоизгача яхшилади.

Ҳар қандай яратилган назариянинг ишончлилиги ва самарадорлиги

эластиклик назариясида аниқ ечими мавжуд бўлган амалий масалани ечиш
орқали таҳлил қилинади. Шундай масала сифатида асосан Б. Ф. Власовнинг
синусоидал ёйилма юк таъсиридаги уч ўлчовли шарнирли боғланган қалин
плитанинг эгилиши қаралади. 1-жадвалда плитанинг (0,5; 0,5; 0,0) нуқтасида

wE

– эгилиш учун таҳлил қилинаётган назарияларнинг қиёсий натижалари

hq

0

берилган. 1-жадвалдаги Δ даги индекслар назариялар номланишига мос

келади. Анъанавий назария

h/l

< 0,1 бўлган пластиналар учун, Рейсснер

назарияси эса

h/l

<0,2 ўрта қалинликдаги пластиналар, мукаммаллаш тирилган

Тимошенко назарияси фақат

h/l

< 0,3 бўлган плиталар учун қониқарли

натижаларни бериши мумкин. Лекин таклиф этилаётган ноанъанавий назария
ўта қалин

h/l

= 0,4 бўлган плиталарда ҳам таҳлил қилиш учун қўлланилиши

мумкин.

Ҳозиргача маълум назариялар плиталар эгилишидаги кўндаланг де

формацияси, яъни уларнинг эзилишини эътиборга олмайди. Лекин уч ўлчов
ли масаланинг аниқ ечимидан плиталарда эгилиш пайтидаги эзилиш кўзга
яққол ташланмоқда. Олинган натижалар (2-расм), Рейсcнер назарияси плита
нинг нормал координатаси бўйича ўзгармас ўртача, Тимошенконинг мукам
маллаштирилган назарияси ўзгармас юқори натижа беради. Ноанъанавий
назария плитанинг эзилишини эътиборга олган ҳолда аниқ ечимга жуда яқин
натижаларни беради.

Бирор

М(х

0

,у

0

)

нуқтада жамланган куч:

( , ) ( ) ( )

q x y

=

P

δ

x

−

x

0

δ

y

−

y

0

(27)

таъсирида плиталарнинг эгилиши махсусликка эга бўлган муҳим амалий

масалалардан бири сифатида қаралади. Бунда:

Р –

таъсир этаётган куч интен

сивлиги; δ(

х

) – Диракнинг дельта функцияси. Куч таъсир этаётган нуқтада

сиртга нормал кучланишлар чексиз миқдорга эришади.

Ушбу масала плита томонлари ва қалинлигининг турли нисбатларида

таҳлил қилинди. Жамланган куч қўйилган нуқтада таҳлил этилаётган
миқдорларнинг барчаси ўзининг максимумига эришади ва уларнинг
тақсимланиши юқори градиентга эга (3-расм).

Р

/

Е

=0,00005 нисбат учун

17 17

1-жадвал

Б. Ф. Власов масаласининг турли назариялар учун қиёсий таҳлили

h/l

Анъана

вий

назария

Такомиллаштирилган
ва ноанъанавий
назариялар

Ани

қ

ечим

Нисбий хатолик, %

Рейсс

нер

Тимо

шенко

Ноанъ

а

навий

Δ

к

Δ

р

Δ

т

Δ

н

0,1 280,26

296,06 292,03 294,38 294,24 4,8 0,8 0,6 0,

0

0,2 17,51

21,47

20,26 21,07 20,98 16,5 3,4 2,3 0,

4

0,3 3,46

5,22

4,55

5,05

4,97 30,5 8,5 4,8 1,5

0,4 1,09

2,08

1,63

1,99

1,97 43,3 15,4 7,9 3,

3

0,5 0,45

1,08

0,75

1,02

0,96 53,6 22,3 11,7 5,

8

эгилиш ўқи плита қалинлигининг 8% ни, ички момент максимуми эса плита

бикир-лигининг 35% ни ташкил этади (

h

=

0,02

a

,

a

=

b

=

1,

a

,

b –

плита бўйи

ва энининг узунлиги).

Жамланган куч қўйилган нуқтанинг марказдан чегара томон силжиши

изланаётган миқдорлар қийматини ўн баробар камайтирди (4-расм).

U

z

E/hq

3,7

3,5

3,3

3,1

-0.167 0 0.167 z

Аниқ ечим Ноанъан. назария

Рейсcнер назарияси Тимошенко назарияси

2-расм.Турли назариялар бўйича

31

h

учун

U

z

эгилишнинг

z

бўйича

l

=

тақсимланиши.

Плитага таъсир этувчи нуқтада жамланган динамик куч қуйидаги

кўринишларга эга бўлсин:

1. Нуқтада жамланган кучнинг оний таъсири:

q x y t

=

P

δ

x

−

x

δ

y

−

y

δ

t

−

t

( , , ) ( ) ( ) ( ).

0 0 0

2. Нуқтада жамланган кучнинг гармоник таъсири:

q x y t

=

P

δ

x

−

x

δ

y

−

y

ω

t

( , , ) ( ) ( )sin .

0 0

3. Текисликда ҳаракатланувчи нуқтада жамланган куч:

q x y t

=

P

δ

x

−

x

−

с t

δ

y

−

y

−

c t

( , , ) ( ) ( ).

0 1 0 2

18 18

Нуқтада жамланган кучнинг оний зарбли таъсири остида плитада куч

қўйилган ондан бошлаб тебранма ҳаракат юзага келади ва куч қўйилган
нуқтада ҳосил бўлувчи ички кучланишлар юқори градиенти сақланиб қолади.
Нуқтада жамланган кучнинг гармоник таъсири остида куч қўйилган ондан
бошлаб тебранма ҳаракат юзага келиб, ушбу жараён плитада титраш ҳолати
билан биргаликда давом этади. Титраш амплитудаси ташқи гармоник таъсир
частотаси кичрайишига пропорционал камаяди. Текисликда ҳаракатланувчи
нуқтада жамланган куч таъсирида плитада вақт ўтиши билан сиқилиш ва
чўзилиш соҳалари пайдо бўлади (5-расм).

′

⎜

⎜

⎝⎛

l

⎟

⎟

⎠⎞ ⎥

⎥

⎦⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

′

′

−

+

∫

M P g m z dz W q mW

( ) 0

+

−

=





x

M

(28)

−

′′

+

=

(1 )

R W D x

( ) 0,

Диссертациянинг

«Ўта баланд иншоотларда резонанс ҳолатларини

таҳлил қилиш ва сўндириш»

деб номланган тўртинчи бобда вақт бўйича

даврий ташқи таъ-сирлар остида қаралаётган иншоотлар маҳкамланиш
усулини, ўз оғирлигини ва геометрик шаклини эътиборга олиб резонанс
ҳолатлар таҳлилқилинган. Динамик сўндиргичлар ёрдамида резонанс
амплитудаларни кескин камайтириш ёки бартараф қилиш механизми ишлаб
чиқилди.

Ўзгарувчан бикирлик ва кўндаланг кесим массасига эга ўта баланд

иншоотларнинг ўз оғирлиги эътиборга олинган ҳолда ички момент ва
эгилишга нисбатан текис тебранма ҳаракати қуйидаги хусусий ҳосилали

W/h

kk

/D

0,2

0,06
0,08 0,04
0,02
0

x

x

y

y

0,75
00,25 0,5 0,75

100,375

0,15

0,1
0,05
0

x

y

0,75
00,25 0,5 0,75

100,37

а

) эгилиш тақсимоти

б

) момент тақсимоти

3-расм. Марказдагинуқтада жойлашган

жамланган куч таъсирида плитада ҳосил бўлувчи эгилиш ва ички моментларнинг

эпюраси.

19 19

0,04 0,03 0,02

N

kk

/qh

y

0,015 0,01

0,005

M

kk

/D

0,75

y

0,01

0

x

0

0,75

x

0,37
00,25 0,5 0,75

10

00,25 0,5 0,75

100,37

а

) бўйлама зўриқиш тақсимоти

б

) момент тақсимоти

4-расм. Чегарага яқин жойлашганнуқтада жамланган куч таъсирида плитада ҳосил

бўлувчи бўйлама зўриқиш ва ички моментлар эпюраси.

дифференциал тенгламалар системаси билан берилади: Бунда;

t

∞

=

−

=

−

∫ ∫

– иншоот материалининг вақт ўтиши

R R t d R t d

φ

τ

φ

τ

τ

τ

φ

τ

τ

( ) ( ) ( ) ( )

−∞

0

билан тиниққан қайишқоқ эластиклик ҳоссаларини характерлайди. Ўта

баланд иншоотлар асосининг силжишга ва эгилишга мойиллигини эътиборга
олган ҳолда қотирилиш нуқтасида кинематик қўзғалувчи ташқи тебранувчи
таъсирлар учун қуйидаги чегаравий шартларни ёзиб олиши мум

кин:

⎧

+

=′

W k M W t

θ

0

( )

0 да ,

=

⎨

′

+

=

⎩

x

W k M

0

φ

x l M M

=

=

=′

да 0,

(29)

Бунда:

W

0

(

t

) – иншоот асосининг тебранма ҳаракати қонуни. Қаралаётган

иншоотларнинг кўндаланг кесими доира бўлсин. У ҳолда телеминора
шаклидаги (6-расм) иншоотларнинг диаметри қуйидаги кўри нишда ёзиб

олиниши мумкин:

N

kk

/qh

0,08
0,06
0,04

y

Р7
0,06-0,08

0,04-0,06
0,02-0,04 0-0,02

N

kk

/qh

0,08
0,06
0,04

y

Р7

0,06-0,08

0,04-0,06
0,02-0,04
0-0,02
-0,02-0

0,02 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9Р1

Р4

x

0,02 0
-0,02

1 2 3 4 5 6 7 8 9Р1Р4

x

5-расм

.

Текисликда ҳаракатланувчи нуқтада жамланган куч таъсирида плитада

вақтнинг ҳар хил қийматларида ички зўриқишлар тақсимоти.

20 20

⎤

⎡−

⎟

⎟

⎠⎞

⎜

⎜

⎝⎛

x

I тип d x d d d

−

=

+

− −

( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ),

H l x H l x d H x l

⎢⎣

1 0 1

l

⎥ −

+

−

1 2 0 2 1

⎦

ρ

ρ

ρ

( ) ( ) ( ),

x H l x H l x

=

−

+

−

0 2 1 2

(30)

−

x

[

]

II тип d x d e H l x H x l

−

=

+

− −

( ) ( ) ( ,

0 2 1

γ

ρ

ρ

ρ

( ) ( ) ( )

x H l x H x l

=

+

− −

0 1 2 1

Бунда:

H(x)

– Хэвисайд функцияси.

Одатда иссиқлик электростанциялари тутун миноралари асосида

тиргович маҳкамланган ҳолда ишлатилади. Ушбу иншоотлар учун кўндаланг
кесим диаметри қонунияти (30) ифодадан

l

2

= l

қиймат танлаб олиниб ҳосил

қилиниши мумкин. Тиргович асосининг кенгайиши иншоотларнинг кине

матик қўзғалишида резонанс частоталарнинг тезкор ошишига, яъни иншоот

устуворлигининг мустаҳкамланишига олиб келади (7-расм).

ρ

1

ρ

1

l l

2

l

1

l

2

l

d

1

d(x) d(x)

ρ

0

l

1

ρ

0

d

0

d

0

6-расм

.

Телевизион минора шаклидаги ўта баланд

иншоотларнинг схематик тасвири.

Ўта баланд иншоотларга шамол кучининг кўндаланг таъсири (

q

0

= 0,1;

q

t

= 0) натижасида амплитуда–частота боғлиқлиги тамомила бошқача тус

олади, яъни ушбу ҳолат учун бош резонанс частота асосийга айланади. (8-

расм).

0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05

Влияние ширины
подпорки на резонансные

области

А

р

d0/d1=1
d0/d1=1.5

d0/d1=2

2,5 2
1,5 1
0,5 0

Резонансные явления при
ветровых
переодических нагрузках

А

р

gam=1.5
gam=1.0
gam=0

ω

р

0
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37

ω

р

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
33 35 37

7-расм

.

Тутун чиқариш минораси асоси

даги тиргович энининг кинематик қўзғо
лиш ҳодисасида резонанс частоталарга
таъсири.

8-расм

.

Тутун чиқариш минорасига ша

мол кучининг кўндаланг таъсирида
резонанс ҳодисалар характери.

21 21

Телеминора шаклидаги ўта баланд иншоотлар юза бирлигидаги

таъсири жиҳатидан массаси оғир иншоотлар жумласига киради. Ушбу иншо
отларда ернинг геологик сифатларини эътиборга олган ҳолда асоснинг
қотирилиш усуллари ҳам муҳим аҳамият касб этади.

Бу маънода резонанс ҳолатлар учун иншоот оғирлиги ва асосининг

қотирилиш усули таъсирини тадқиқ қилиш, ўрганилаётган объектнинг
эгилишдаги тебранишларга қаршилик даражасини аниқроқ баҳолаш имко
ниятини яратади.

Натижалар шуни кўрсатмоқдаки, иншоот оғирлиги резонанс

амплитудани беш баробарга қадар ошишига олиб келади, лекин резонанс
частоталари ўзгармайди. Бундан оғирлик кучи иншоотнинг эгилишдаги
бикирлигига таъсир қилмаган ҳолатда фақат тебраниш амплитудасини ўзгар

тиришга олиб келади (9-расм).

Асоснинг эгилишга ва силжишга бўлган мойиллиги зилзила

тўлқинлари тарқалишида юқори частотали ташқи таъсирларда, иншоотнинг
эгилишдаги бикирлигининг камайишига олиб келади, бинобарин ушбу
частоталарда резонанс амплитудаларнинг ошиши кузатилмоқда (10-расм).
Бундан ўта баланд иншоотлар асосининг ўрнатилишида ер майдонининг
геологик ҳолатини эътиборга олиш муҳим омил эканлиги келиб чиқади.

Ўта баланд иншоотларда резонанс амплитудаларининг ошиши нохуш

ҳодисаларга олиб келади. Шу сабабли резонанс амплитудаларни талаб
даражасида камайтириш динамик сўндиргичлар ёрдамида амалга оши

рилиши мумкин. Динамик сўндиргичларни ўта баланд иншоотларнинг
ўртасида жойлаштириш энг яхши самара бериши аниқланди. Бунда динамик
сўндиргичнинг массаси иншоот кўндаланг кесими массасидан ўн баробар
оғир бўлиши зарур.

Ўта баланд иншоотларга кўндаланг йўналишда шамол кучининг ва

унинг асосида кинематик қўзғалиш шароитида даврий қонуниятларга
бўйсунувчи ер сиртида тарқалувчи зилзиласимон тўлқинларнинг таъсирини
амплитуда-частотали боғланишларда олинган натижалар кўринишида берил

ган (11–12-расмлар). Олинган натижалар шуни кўрсатмоқдаки, сўндир

гичларда бикирлик/масса муносабатнинг ўсиши резонанс амплитудаларнинг
икки баробаргача камайишига олиб келади. Бундан турли массали динамик
сўндиргичларни ўта баланд иншоотларни танлаб олинган баландликларида
энг мақбул кетма-кетликда жойлаштириш орқали резонанс ҳолатларни тўла
бартараф этиш мумкинлиги келиб чиқади. Амалий механиканинг динамик
масалалари у ёки бу усул ёрдамида математик физиканинг спектрал маса
лаларини ечишга олиб келинади. Спектрал масалаларда хос сон ва базис
функцияларни аниқлаш фундаментал муаммолардан ҳисобланди.
Диссертациянинг

“Юк кўтарувчи иншоотлар қисмлари учун спек трал

масалалар»

деб номланган бешинчи бобида ўзаро қўшма ва қўшма бўлмаган

дифференциал операторлар учун хос ва базис функциялар аниқланган.

22 22

Спектрал масалаларни ечиш алгоритмларининг ишончлилиги ва сама

радорлиги Ново–Ангрен иссиқлик электростанцияси тутун минорасининг
эркин тебраниши тажрибаси натижалари орқали таҳлил қилинди, назарий ва
экспериментал натижалар фарқи 10–15 фоиздан ошмади.

Аэроэластикадаги флаттер ҳодисасида товушдан тез учувчи ҳаво ап

паратлари юк кўтарувчи қисмларида маълум критик –

v

тезликка эришиш

арафасида тўсатдан синиш ёки ёрилиш натижасида фалокат рўй бериши
кузатилади. Ушбу ҳодисанинг олдини олиш ва критик тезликни янада оши
риш долзарб муаммолардан бўлиб келмоқда.

Қаралаётган муаммонинг мазмунига монанд, бир ўлчовли спектрал

масала ечилади ёки ечимнинг симметриклик хусусиятидан фойдаланилади.
Масалан, ҳаво оқимига мос йўналиш бўйича пластиналардаги критик
тезликни аниқлаш энг кўп учрайдиган уч чегаравий шартда бир ўлчовли
масала сифатида қаралди (13-расм). Олинган натижалардан пластиналар
чегарасини маҳкамлаш усули критик тезлик учун ҳал қилувчи омил сифатида
қараш зарурлиги келиб чиқмоқда:

1. Қотириб маҳкамлаш:

V= 218.932;

2. Шарнир боғланиш:

V=50.637

;

3. Консол маҳкамланиш:

V=6.323

Агар пластинанинг чегаралари турли усулда маҳкамланган ёки ҳаво

Влияние податливости основания к изгибу

на

оқими бирор бурчак остида таъсир қилаётган бўлса, икки ўлчовли спектрал

масалага келамиз.

А

р

3
2,5

2

1,5
1
0,5

0
1 3 5 7 9
1113151719212325272931333537

q1=1.0 q1=0,5 q1=0,0

ω

р

амплитудно-частотные
характеристики

10

А

р

8
6

4

2
0

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 4

9-расм

.

Ўта баланд иншоот оғирлиги

нинг резонанс ҳолатларга таъсири.

10-расм

.

Ўта баланд иншоот асоси

нинг эгилишга мойил-лигининг резо
нанс ҳолатларга таъсири.

2-жадвалда пластиналар маҳкамланиш усули ва ҳаво оқими йўналиш

бурчагининг ўзгариши бўйича ҳисобланган критик тезлик қийматлари кел
тирилган. Олинган натижалардан кўриниб турибдики, симметрик боғланиш
ли пластиналарда, ҳаво оқими бурчагининг

α

€(0

0

,

90

0

) оралиқда ўзгаришида,

критик тезлик

α =

45

0

бўлганда минимум қийматидан ўтади.

23 23

А

р

1

2

А

р

1

2

3

3

1: k

i

/m

i

=0, 2: k

i

/m

i

=0,5, 3: k

i

/m

i

=1,

ω

р

ω

р

1: k

i

/m

i

=0, 2: k

i

/m

i

=0,5, 3: k

i

/m

i

=1

11-расм

.

Ўта баланд иншоотларда ша

мол кучи таъсиридаги резонанс

ҳолат ларнинг динамик
сўндирилиши.

12-расм

.Ў

та баланд иншоотларда асос

даги сейсмик қўзғалиш таъсиридаги
ре зонанс ҳолатларнинг динамик
сўндири лиши.

Лекин симметрик бўлмаган шарнирли-эркин боғланишлар ва консол

маҳкамланишларда оқим бурчагининг ошиши билан критик тезликнинг ҳам
ошиши кузатилмоқда. Ушбу натижа оқим эркин чегарага параллел йўналиш
га эга бўлганида пластинанинг эгилишга қаршилиги пасайиши билан та
сарруф этилади. Пластинанинг ҳамма томони қотирилиб маҳкамланганда
критик тезлик миқдори ҳам юқори бўлади.

у

V

х

х

13-расм

.

Пластинага товушдан тез ҳаво оқимининг таъсир қилиш схемаси.

14-расмда пластинанинг чорак қисмида ички момент базис

функциясининг ҳаво оқими йўналишига мос равишда тақсимоти келти
рилган. Олинган натижалар, фақат

α =

45

0

бўлганда базис функциянинг тақ

симоти симметрик бўлиши, қолган ҳолларда оқим йўналишига мос равишда
ўзгаришини кўрсатмоқда. Демак, ўзаро қўшма бўлмаган дифференциал
операторли спектрал масалаларни ечиш жараёнида симметрик чегаравий
шартлар учун ҳам ҳамма вақт симметрик базис функцияларни танлаб олиш,
қаралаётган татбиқий масаланинг моҳиятини тубдан ўзгартириб, критик
тезлик учун ноаниқ натижага олиб келади.

24 24

2-жадвал

Пластиналар маҳкамланиш усули ва ҳаво оқими йўналиш

бурчагининг критик тезликка таъсири

Йўналиш бурчаги

0

0

30

0

45

0

60

0

80

0

Қотириб
маҳкамлаш

805.2

484.4

462.4

484.4

624.8

Шарнир
боғланиш

276.6

184.1

177.2

184.1

231.4

Шарнирли
эркин

50.6

58.5

71.6

101.3

163.9

боғланиш

Консол
маҳкамланиш

6.3

7.3

9.0

12.7

21.5

Одатда, спектрал масалаларни ечишда Фурье усули тўғри тўртбурчак,

доира каби тури ниҳоятда чегараланган анъанавий пластиналарда қўллани
лади. Лекин иншоотнинг кўпгина юк кўтарувчи элементлари анъанавий
шакллардан фарқланади ва ушбу соҳаларда Фурье усулини қўллаш мумкин
эмас. Муаммо шундаки, декарт координата системасида эгри чизиқли трапе
цияда чегара бир вақтда иккала координатага боғлиқ бўлади, демак но
маълумларни координата ўқлари бўйича бўлаклаш имконияти йўқолади.
Ушбу муаммони самарали ҳал этиш учун изопериметрик координаталар
системасини киритиб, мураккаб шаклли пластиналарни анъанавий квадрат
шаклга акслантириш усулидан фойдаланамиз. Ушбу усулни ёрқинроқ
кўрсатиш учун мураккаб шаклли пластиналарда кўндаланг куч таъсирида
тарқалаётган бўйлама стационар тўлқинлар тарқалишига доир спектрал маса
лани кўриб чиқамиз.

Бунинг учун ўрта қалинликдаги пластиналарнинг (13) ҳаракат тенгла

малари системасининг биринчисига Фурьенинг номаълумларни бўлаклаш
усулини қўллаб, қуйидаги икки ўлчовли спектрал масалага келамиз:

Мураккаб шаклли пластиналарга мисол сифатида тўғри тўртбурчак,

эллипс, трапеция ва турли кўринишдаги эгри чизиқли трапециялар қаралди.
Тўғри тўртбурчакли пластина учун (31) спектрал масала аниқ ечимга эга:

2 2

⎜

⎝⎛

π

π

⎞

⎜

⎝⎛

⎟

⎠⎞

λ

. 15-расмдаги шакллар ичида ушбу соҳага тегишли хос сон

=

a b

⎟

+

⎠

нинг тасдиқловчи қийматлари келтирилган. Мураккаб шаклли пластиналарда

ҳам деформацияланиш соҳаси юзасининг камайиши бўйлама тўлқин
тарқалиши асосий частотаси λ нинг ошишига олиб келади.

25 25

x

x

x

у

у

у

а

)

0

α

=

0; б)

0

α

=

45

с)

0

α

=

90

14-расм

.

Шарнирли боғланган пластинада ички эгувчи моментнинг эпюрасига

ҳаво оқими йўналишининг таъсири.

2

U

xx

+

U

yy

+

λ

U

=

(31)

, , 0

Бунда:

λ

– хос сон. Мураккаб шаклли

пластина квадратга акслантирилгандан

сўнг, (31) тенглама ўзгарувчи коэффициентли хусусий ҳосилали диффе

ренциал тенгламага келади:

2

a

ξξ

U

ξξ

+

a

ξη

U

ξη

+

a

ηη

U

ηη

+

a

ξ

U

ξ

+

a

η

U

η

+

λ

U

=

(32)

, 2 , , , , 0

Бунда:

a

ζζ

,

a

ζη

,

a

ηη

,

a

ζ

,

a

η

– изопериметрик координата системасида

аниқланган ўзгарувчи коэффициентлар. Асосий частота қийматига таъсир
этувчи ҳал қилувчи фактордан бири пластинанинг мураккаб шаклли
чегарасидир.

«Юлдуз»

шаклидаги

ноанъанавий

пластиналарда

қирраларининг ўткирлашуви (

с

миқдорининг ошиши), яъни деформация

ланувчи соҳанинг мураккаблашуви натижасида асосий частотанинг ошиши

у

у

1
1

у
у

1

1

λ=4,44
λ=4,44

О

О

о

о

1
1

у
у

1
1

х

х

1

1

λ=3,51 λ=4,23
λ=3,51 λ=4,23

0.4
0.4

х

х

х

х

О

О

О

О

о

о

о

о

у

у
у

у

λ=4,83 λ=4,83

1
1

1
1

х
х

О

О

О

О

о

о

о

о

0.5
0.5

λ=7,28
λ=7,28

1
1

х
х

1
1

2 2

1

15-расм

.

Мураккаб шаклли пластиналарда кўндаланг куч таъсирида тарқалаётган

бўйлама стационар тўлқинларнинг хос сони миқдорлари.

26 26

U/h

U/hU/h x

x x

y

y y

1 1 2 2 3 3

c c c

=

=

=

=

=

=

0,02 да 4,45, 0,08 да 5,08 , 0,14 да

7,48

λ

λ

λ

16-расм.Юлдуз шаклидаги ноанъанавий

пластиналарда қирралар ўткирлашувининг асосий частота миқдорига ва базис

функция эпюрасига таъсири.

ва шу билан биргаликда мос базис функциялар эпюраси ноанъанавий

пластина марказига сиқилиб торайиб бориши ҳам кузатилади (16-расм).
Эпюранинг ушбу кўринишдаги ўзгариши пластина-нинг маҳкам-ланиш
усули билан изоҳланади.

ХУЛОСА

«Пластина ва ясси қобиқларнинг ноклассик масалаларини сонли ечиш

усулларини ишлаб чиқиш» мавзусидаги докторлик диссертацияси бўйича
олиб борилган тадқиқотлар натижасида қуйидаги хулосалар тақдим этилди:

1. Эластиклик назариясининг уч ўлчовли ҳаракат тенгламалари асосида

пластина ва ясси қобиқларнинг фаразларсиз ноклассик назариясининг
яратилиши, маълум назариялар билан қиёсий таҳлили орқали олинган
натижаларнинг самарадорлиги кўрсатилиши ҳамда мураккаб шаклли соҳалар
учун ривожлантирилиши амалий механика масалаларни ечишда муҳим
аҳамият касб этади.

2. Дифференциал кўчириш усулининг такомиллаштирилиши, диф ференциал

операторлари қўшма ва қўшма бўлмаган спектрал масалаларни сонли ечиш

усулларини ишлаб чиқилиши, ҳамда ушбу усулларнинг асосланганлиги ва

ишончлилигининг таъминланиши механиканинг татбиқий масалаларини

ечишда илмий тадқиқотларнинг самарадорлигини оширади.

3. Ташқи синусоидал тақсимланган юк таъсирида шарнирли боғланган

қалин плита эгилиши масаласида олинган натижаларнинг юқори даражали
аниқлиги ноанъанвий назариянинг қўлланилиш чегарасини кенгайтиради.

4. Нуқтада жамланган ташқи куч таъсирида ҳосил бўлувчи кўчиш ва

кучланишларни плиталарнинг ихтиёрий нуқталаридаги тақсимотининг

қонуниятларини ва бўйлама зўриқишларнинг миқдорларини аниқланиши

амалий механиканинг махсус масаларни ечишда кенг имконият яратади.

5. Қалин плитага тўсатдан таъсир этувчи ва ҳаракатланувчи бир

нуқтада жамланган кучлар таъсирида ҳосил бўлувчи сиқилиш ва чўзилиш
соҳаларидаги ички кучланишлар тақсимотининг вақт бўйича ўзгариши,
ҳамда юпқа пластинада бўйлама тўлқин тарқалишининг қонуниятларини

27 27

таҳлил қилиниши амалий механиканинг динамик масалаларида муҳим

ахамиятга эгадир.

6. Ўта баланд иншоотларнинг оғирлиги, асосининг эгилишга ва

силжишга мойиллигини эътиборга олиниши натижасида резонанс тебраниш
амплитудасини икки марта ошиши ва амплитуда–частотали муносабатларда
янги резонанс соҳаларини ҳосил бўлишини аниқланиши, телеминора
шаклидаги ўта баланд иншоотларда динамик сўндиргичлар ёрдамида ушбу
резонанс амплитудаларини икки баробар камайтиришга эришилиши, замо

навий ахборот технологияларини қўллаш орқали ўта баланд иншоотлар

эксплуатацияси учун кундалик объектив назорат воситасини ишлаб чиқиш

имкониятини яратади.

7. Турли усулда маҳкамланган пластинадаги флаттер ҳодисасининг

таҳлил қилиниши натижасида критик тезликлар маҳкамланиш усулига
мувофиқ тезликларнинг бир неча баробар фарқланиши ҳисоблаб топилди.
Ҳаво оқими йўналиши фарқланувчи ҳолатларда критик тезликлар миқдори
уч баробарга ўзгариши аниқланди.

8. Мураккаб шаклли пластиналарда изопериметрик координаталар

системасида кўндаланг таъсир этувчи динамик таъсирлар натижасида
тарқалаётган бўйлама тўлқинлар хос частотасининг ҳисобланиши ва базис
функ-циялар тақсимоти эпюрасининг аниқланиши деформацияланувчи
қаттиқ жисм механикасининг янги динамик масалаларини ечишда муҳим
омил бўлади.

28 28

НАУЧНЫЙ СОВЕТ ПО ПРИСУЖДЕНИЮ УЧЁНОЙ СТЕПЕНИ

ДОКТОРА НАУК 14.07.2016 FM/T 02.02 ПРИ ТАШКЕНТСКОМ

ГОСУДАРСТВЕННОМ ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ И

НАЦИОНАЛЬНОМ УНИВЕРСИТЕТЕ УЗБЕКИСТАНА

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

АХМЕДОВ АКРОМ БУРХАНОВИЧ

НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

И РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ИХ РЕШЕНИЯ

01.02.04 –Механика деформируемого твердого тела

(физико-математические науки)

АВТОРЕФЕРАТ ДОКТОРСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ

ТАШКЕНТ–2016

29 29

Тема докторской диссертации зарегистрирована в Высшей аттестационной

комиссии при Кабинете Министров Республики Узбекистан за № 30.09.2014/В
2014.5.FM136

Докторская диссертация выполнена в Ташкентском государственном техническом

университете.

Автореферат диссертации на трех языках (узбекский, русский, английский)

размещён на веб–странице Информационно–образовательном портале “ZIYONET” по
адресу www.ziyonet.uz

Официальные оппоненты: Хусанов Бахтиёр Эргашбоевич

доктор

физико-математических наук, профессор

Сафаров Исмоил Иброхимович

доктор физико-математических наук, профессор

Индиаминов Равшан

доктор физико-математических наук

Ведущая организация: Самаркандский государственный

архитектурно–строительный
институт

Защита диссертации состоится «____» ___________ 2016 года в ______ часов на

заседании научного совета 16.07.2013 Т/FM.02.02 по адресу: 100095, г. Ташкент, ул.
Университетская, 2. Тел./факс: (99871) 227–10–32, e-mail: nich_tdtu@rambler.ru.

C докторской диссертацией можно ознакомиться в Информационно-ресурсном

центре Ташкентского государственного технического университета. Адрес: (100095, г.
Ташкент, ул. Университетская, 2. Тел: (99871) 227–10–32

Автореферат разослан «____» ________2016 г.

(протокол рассылки №___ от ________ 2016 г.)

К.А.Каримов

Председатель научного совета

по присуждению ученой степени доктора наук, д.т.н., профессор

Н.Д.Тураходжаев

Ученый секретарь научного совета

по присуждению ученой степени доктора наук, к.т.н., доцент

М.Мирсаидов

Председатель научного семинара при научном совете

по присуждению ученой степени доктора наук, д.т.н., профессор

30 30

ВВЕДЕНИЕ (Аннотация докторской диссертации)

Актуальность и востребованность темы диссертации.

Развитие

инфраструктур в мире и требования по безопасности и устойчивости к
возводимым сооружениям ставят новые задачи повышения прочности и
надежности несущих элементов конструкций. Одной из актуальных и
фундаментальных задач механики является разработка усовершенственного
численного метода расчета для прогнозирования прочности и устойчивости

конструкций при их проектировании.

На фундаментальные научно-исследовательские работы по обес

печению безопасной эксплуатации сооружений и конструкций выделяется 4-
5%, из общих затрат на науку и образование, в том числе в странах Европы и
СНГ 3-4%, в промышленно развитых странах 7-8% .

В условиях экономических реформ, проводимых в нашей стране,

особое внимание уделяется безопасной эксплуатации и прочности
возводимых конструкций и сооружений. В частности, для обеспечения
безопасного полета летательных аппаратов, устойчивости и сейсмо стойкости
надземных и подземных сооружений, а также долговечности несущих
элементов приспособлений бурения в геолого-разведочных работах, решение
задач расчета прочности составляющих их элементов типа пластин и пологих
оболочек приобретает особое значение.

C

развитием современных технологий, созданием конструкционных

материалов с уникальными физико-механическими свойствами становятся
актуальными вопросы разработки неклассических теорий и методов расчета
жесткости, прочности и устойчивости пластин и оболочек. Важное научно

практическое значение имеет усовершенствование теорий изгиба и

разработка численных методов расчета прочности сложных несущих
элементов конструкций с применением современных информационных
технологий.

Данное диссертационное исследование в определенной степени

служит выполнению задач, предусмотренных в Указе Президента
Республики Узбекистан № ПФ 3080 от 30 мая 2002 года «О дальнейшем
развитии компьютеризации и внедрении информационно–коммуникацион

ных технологий» и постановлении Кабинета Минстров Республики Узбе

кистан № 200 от 6 июня 2002 года «О мерах дальнейшего развития
компьютеризации и внедрения информационно–коммуникационных техно
логий».

Соответствие исследования приоритетным направлениям раз

вития науки и технологий республики.

Данное исследование выполнено в

соответствии с приоритетным направлением развития науки и технологий
республики IV. «Информатизация и развитие информационно–коммуни
кационных технологий».

31 31

Обзор зарубежных научных исследований по теме диссертации

1

. Научные

исследования, направленные на создание теории пластин и оболочек, а также

на решение проблем их прочности, жесткости и устойчивости

осуществляются в ведущих научных центрах и высших образовательных

учреждениях мира, в том числе в научных центрах Lawerence Livermore

Laboratory (USA), Технологическом университете Гамбурга (Германия),

Варшавском университете (Польша), Московском государственном

университете (Россия), Санкт –Петербургском государс твенном университете

(Россия), Институте механики полимеров (Латвия), Ташкентском

государственном техническом университете (Узбекистан).

В результате исследований, проведенных в мире по повышению

прочности и определению устойчивости пластин и пологих оболочек,
получен ряд научных результатов, в том числе: разработан метод
определения напряженного состояния пологих оболочек с использованием
промышленных композиционных материалов (Lawerence Livermore Labo
ratory, USA); построена неклассическая теория пластин на основе специ
ального распределения внутренних напряжений (Технологический универ
ситет Гамбурга, Германия); построены термодинамические основы теории
пластин и пологих оболочек (Варшавский университет, Польша); разра
ботаны методы расчета прочности композиционных пластин с периодической
структурой (Московский государственный университет, Россия); разработаны
неклассические теории расчета устойчивости пластин (Санкт-Петербургский
университет, Россия); разработаны методы числен ного расчета механических
свойств диэлектрических материалов (Институт механики полимеров,
Латвия).

В различных странах по неклассическим задачам пластин и пологих

оболочек в приоритетных направлениях проводятся ряд исследований, в том
числе: разработка методов повышения прочности пластин и пологих
оболочек с учётом уникальных физико-механических свойств конструк
ционных материалов; повышение степени точности уравнений движения
пластин под воздействием внешних сил; разработка численных методов
определения несущей способности и надежности тонкостенных сооружений
и конструкций.

Степень изученности проблемы.

Исследования тонкостенных

элементов несущих конструкций, имеющих широкое применение в технике, с
давних времен находится в центре внимания ученых всего мира.

_______________________________________

1

В обзоре международных научных исследований по теме диссертации использовались Lawrence Berkeley National

Laboratorywww.lbl.gov

.

;Кафедра

механики

композитов

МГУ.www.math.msu.su/department/composite/index.htm.; Товстик П.Е

.

Некл.модели балок, пластин и оболочек //Изв. Саратовского университета, 2008. Т.8, серия Мат.мех.инф.,вып. 3, с.74-85; Институт
механики полимеров :www.citariga.lv/rus/teika/zinatne/polimeru-mehanikas-instituts/Скопцов К.А.; Шешенин С.В. Асимптотический
анализ теории пластин Рейснера-Миндлина. М. Изд. во МГУ, Упругость и неупругость, 2011 г.,стр. 236-240; Тимошенко С. П., Гудьер
Дж. Теорияупругости.— М.: Наука, 1979.– 560 с.; Kristensen R. Mechanics of Composite Materials – Courier Corporation, 2005, USA – 348
p; А й н о л а Л.Я. Интег. вариац. принц. и ихприм. В динамике упругих обол. и пл.. Диссерт. —Таллин, 1967. —253 с; МалмейстерА.
К., и др.сопрот. полим. и композитных материалов.—Рига: Зинатие, 1980.–572 с; Reissner E, Wan FYM Further considerations of stress
concentrations problems for twisted or sheared shallow spherical shells. Int. J. Solids Structures 31(No. 16): 1994; A m b a r t s u m i a n S. A.
On the problem of oscillations of the electrocon-ductive Plates in the transverse magnetic field: Theory of, Eds: North –Holland Publishing
Company, 1980; В л а с о в В. и др. источники.

32 32

Зарубежные ученые, Я.Бернулли (Франция), И. Кирхгофф и Ф.Ляв

(Германия), С.П.Тимошенко, Р.Кристенсен (США), Л.Я.Айнолла (Эстония),
А.К.Малмейстер (Латвия) проводили научные исследования по теориям
напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек. Неклас
сическим теориям посвящены работы Е.Рейснера, С.А.Амбарцумяна, В. З.
Власова, Х. М. Муштари, И.Г. Трегулова.

В нашей стране В.Кабулов, Т.Рашидов, Т.Буриев, Ф.Б.Бадалов,

М.Мирсаидов, Х.Худойназаров, Х. Эшматов, М.Усаров проводили научные

исследования над решением прикладных задач устойчивости и жесткости
пластин и оболочек.

Неклассические теории пластин и пологих оболочек основаны на

сведении исходной трехмерной задачи теории упругости к двухмерной.
Поэтому

объективным

критерием

достоверности

предложенных

неклассических теорий принята степень удовлетворения полученных реше
ний трехмерным уравнением движения в механике деформируемого твердого

тела.

Вместе с тем все известные неклассические теории несущих и

тонкостенных конструкций используют те или иные гипотезы, заменяют или
вводят новые. Например, во всех теориях без исключения используется
гипотеза о нерастяжимости серединной плоскости пластин. Вследствие
этого, в частности, не представляется возможным исследования переходных
процессов в тонкостенных конструкциях под действием поперечных
нагрузок. Другим существенным недостатком известных теорий, в силу
вводимой силовой гипотезы, является недостижение выполнения всех
граничных условий и уравнений движения трехмерной теории упругости.
Выше приведенные факты убедительно указывают на актуальность создания
теории пластин и пологих оболочек без предварительных гипотез.

Связь темы диссертации с научно–исследовательскими работами

высшего образовательного учреждения, где выполнена диссертация.

Диссертационное исследование выполнено в рамках плана научно
исследовательских работ фундаментальных и прикладных проектов
Ташкентского государственного технического университета ОТ Ф1–123
«Теоретические основы математического моделирования наследственно
деформируемых систем при воздействии случайных возмущений и
численное решение дифференциальной проблемы в спектральных задачах»
(2007-2011 гг.), А–14–45 «Нелинейные задачи расчета прочности
композиционных пластин сложной конфигурации» (2015-2017 гг.)

Целью исследования

является разработка численных методов

решения неклассических задач пластин и пологих оболочек.

Задачи

исследования:

сведение трехмерной задачи нелинейной теории упругости к

двумерным уравнениям движения пластин и пологих оболочек без
применения гипотез;

33 33

модификация метода дифференциальной прогонки для численного

решения краевых и спектральных задач прикладной механики; разработка
подхода для динамического гашения резонансных явлений в особо высотных
сооружениях с учетом их собственного веса и кинематических условий
закрепления оснований;

научное обоснование подхода численного разрешения дифферен

циальной проблемы в спектральных задачах для несамосопряженных
операторов разрешающих уравнений.

Объектом исследования

являются

о

собо высотные сооружения,

элементы тонкостенных несущих конструкций сложной конфигурации,
толстые плиты, гибкие пластины и пологие оболочки.

Предмет исследования.

Колебания особо высотных сооружений под

воздействием внешних поперечных динамических сил, деформирование
тонкостенных несущих конструкций со сложной конфигурацией прикладные
задачи для толстых плит.

Методы исследований.

В диссертации применены численные методы

определения собственных чисел и базисных функций в спектральных задачах
прикладной механики для самосопряженных и несамосопряженных
операторов; методы дифференциальной прогонки и вариационных итераций.

Научная новизна исследования

заключается в следующем: разработан

численный подход разрешения дифференциальной проб лемы в спектральных
задачах для несамосопряженных операторов; разработан
усовершенствованный метод дифференциальной прогонки и вариационных
итераций для решения статических и динамических задач механики;

разработаны методы устранения возникающих опасных зон для

внутренних напряжений в сложных областях деформирования несущих
элементов конструкций;

разработаны методы двукратного уменьшения резонансных амплитуд с

использованием динамических гасителей в особо высотных сооружениях;
определены критические скорости для флаттера в аэродинамике, которые
могут отличаться на порядок в соответствии с условиями закреп ления
пластин.

Практические результаты исследования.

Определены зоны опасных

внутренних напряжений при воздействии сосредоточенных сил в толстых
плитах.

Достоверность полученных результатов.

Достоверность полученных

результатов потверждается применением основных принципов прикладной
механики; использованием фундаментальных основ математической физики
и функционального анализа; проверкой полученных результатов прикладных
программ на примерах решения тестовых задач механики.

Научная и практическая значимость результатов исследования.

Научная значимость проведенных исследований состоит в следующем:

34 34

создание нового научного направления в механике деформируемого

твердого тела, основанного на предложенной неклассической теории
деформирования несущих элементов конструкций. Возможность изучения
распространения продольных волн под воздействием динамических нагрузок

и разрешения дифференциальной проблемы в спектральных задачах.

Практическая значимость заключается в том, что разработанные механизмы
динамического гашения резонансных явлений в особо высотных
сооружениях, методы определения зон опасных внутренних напряжений в
неканонических несущих элементах конструкций служат основой для

создания комплекса прикладных программ в спектральных задачах.

Внедрение результатов исследования.

Результаты по «Некано ническим

пологим оболочкам» и «Численному решению спектральных задач для
неканонических пластин» применены при выполнении проекта 15-026
«Разработка и исследование автоматизации проектирования несущих
авиационных конструкций методом конечных элементов» для расчета
прочности несущих элементов сельскохозяйственных самолетов (Справка
0313/348 от 2 июня 2016 года. Комитета по координации науки и
технологии). Предложеннный метод отображения с помощью
изопериметрической системы координат неканонических пластин в
классическую позволил повысить точность расчетов прочностей шпонгоутов,
крыльев и химических баков сельскохозяйственных самолетов на 30–35%.

Апробация результатов исследования.

Результаты исследования изложены

в виде лекции и прошли апробацию на 12 международных и
республиканских научно-практических конференциях, в том числе,
«Механика и технология композиционных материалов» (Болгария, г. Варна,
1987 г.); «Полимерные композиты» (Германия, г. Дрезден, 1987 г.);
«Интегральные уравнения в прикладном моделировании» (Украина, Одесса,
1989 г.); «По вопросам рассеяния энергии» (Украина, Киев, 1989 г.);
«Проблемы механики» (Чимкент, 2007);

«

Актуальные проблемы прикладной

математики и информационных технологий –Аль-Хорезми, 2012» (Ташкент,
2012); «Современные проблемы алгоритмизации» (Ташкент, 1991);
«Математическое моделирование и численные методы решения задач
прикладной математики» (Ташкент, 1992); «Вычислительный эксперимент,
математическое моделирование и их применение» (Ташкент, 1993),
конференция по механике сплошных сред (Ташкент, 1989); научно
техническая конференция ТГТУ (Ташкент, 1993) «Проблемы и вопросы
механики» (Ташкент, 1993); «Мониторинг летательных аппаратов» (Ташкент,
2000).

Опубликованность результатов исследования.

По теме диссертации

опубликованы всего 40 научных работ, в том числе 1 монография, 14 научных
статей, в том числе 10 в республиканских и 4 в зарубежных журналах,
рекомендованных

Высшей

аттестационной

комиссией

Республики

Узбекистан для публикации основных научных результатов докторских
диссертаций.

35 35

Структура и объем диссертации.

Структура диссертации состоит из

введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы,
приложений. Объем диссертации составляет 198 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении

обоснована актуальность и востребованность темы

диссертации, сформулированы её цель и задачи, а также объект, предмет и
методы исследования. Приводится соответствие исследований приоритетным
направлениям развития науки и технологий Республики Узбекистан,

излагаются научная новизна и практические результаты исследований,
обосновывается их достоверность, раскрывается теоретическая и практи
ческая значимость. Приведены результаты внедрения диссертационной
работы в практику, сведения по апробациям и опубликованным работам,
структуре и объему диссертации.

В первой главе диссертации

“Неклассические задачи пластин и

пологих оболочек со сложной конфигурацией”

построена неклассическая

теория пластин и пологих оболочек со сложной конфигурацией на основе
трехмерных уравнений нелинейной теории упругости без гипотез. Предло
женные подходы распространяются на деформирование пластин и пологих

оболочек неканонической формы. Сформулированы нелинейные задачи о
колебаниях особо высотных и гибких сооружений для кинематического воз
буждения их оснований периодическими нагрузками.

Для произвольного трехмерного тела под действием объемных и

поверхностных сил на основе геометрически нелинейной теории упругости в

начальной (до деформирования) декартовой системе координат

1 2 3

O

x x x

имеем систему уравнений лагранжевого движения относительно компонент

перемещения

U

i

[

(

δ

ik

+

U

i

,

k

)

σ

kj

]

,

j

+

X

i

−

ρ

U



i

=

0

(1) с линейными

определяющими соотношениями между тензорами напряжений

σ

ij

и

конечных деформаций

e

ij

для упругого анизотропного материала

ij ijkl kl

σ

=

C e

, (2)

кинематическими соотношениями Коши-Грина

1

(

)

ij

U

i j

U

j i

U

k i

U

k j

e

, , , ,

=

+

+

. (3)

2

при выполнении начальных условий



(4)

0

, ,

0

U

i

=

U U

=

V

0

i

t

и граничных условий

Σ

i i

=

=

t

0

(

)

, ,

U U U n S

i i ik i k kj j i

δ

σ

=

+

=

(5)

,

Σ

Σ

1

2

36 36

где

U

i

Σ

- заданные на части границы Σ=Σ

1

+Σ

2

перемещения,

U

i

0

,

V

i

0

-функции

координат, характеризующие начальное состояние тела,

δ

ij

-символ

Кронекера,

n

j

- внешняя нормаль,

ρ

–плотность,

C

ijkl

тензор константы

анизотропных материалов.

Из общей трехмерной задачи нелинейной теории упругости, для

деформирования пластин, с учетом преобладающего характера поперечного
перемещения, в (1)-(5) пренебрегают нелинейными составляющими от
продольных смещений. Искомые решения представим в виде полинома до

четвертой степени по нормальной координате

z

−

+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

Y Y h

[

]

2

1

U u z Ф z Ф z V Ф z w

=

+

+

+

−

+

+

− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) , ( ) , ,

ψ

θ

i i

2 6

μ

μ

i i i i i i

2 1 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

h z z

U w zV Ф z Ф z Ф z z

1 20

( ) , ( ) 1 12 , ( ) 1

2 2

2

=

+

−

=

−

=

− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(6)

z

θ

12 4 3

h h

1 1 2

для тангенциальных напряжений

σ

iz

получим выражение

2

=

+

−

+

2 2

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎟

⎠⎞

⎜

⎜

⎝⎛

⎜

⎜

⎝⎛

=

−

⎟

⎟

⎠⎞

f z zY h

Y z

z

5

⎟

⎠⎞

⎜

⎝⎛

−

w

i

σ

iz

μ

ψ

i

θ

i i

(7)

, ( )

⎥

+

− −

1 20 , ( ) 1 4

2

4 30

4

h

⎦

f z
h

σ

S z

±

h

точно удовлетворяющее граничным условиям:

при

2

=

=

±

(8)

zi i

Аналогично из граничного условия для нормального напряжения

±

±

h

σ

(9)

S U S при z

zz

=

z

−

z i i

=

±

,

2

будем иметь

Y

−

2 4

⎟

⎟

⎠⎞

⎡ − ⎤

1

⎜

⎜

⎝⎛

h
h

+

⎟

⎟

⎠⎞

1 1 2

D V

⎜

⎜

⎝

⎛

Δ

−

ν

−

ν

i i

,

+

−

+

+

+

2

G u w w

, ,

V V

, ,

θ

θ

, ,

V Z h

⎥

+

=

0

k k k k k k k k z

μ

⎢⎣

,

2

4

36

ν

⎦

2

ν

Y

+

⎟

⎟

⎠⎞

⎡

⎜

⎜

⎝⎛

h

2

⎟

⎟

⎠⎞

⎤

1

−

ν

1 2

D

⎜

⎜

⎝

⎛

Δ

−

θ

−

ν

i i

,

−

− −

Δ

+

+

G w w V

5 , , ,

ψ

θ

, (10)

V G Z

, , 12

⎥ −

θ

+

3

=

0

k k k k k k z

μ

3

⎢⎣

6

⎦

ν

ν

=

Eh

D

,

2(1

+

ν

)

где

12(1 )

+

ν

нагрузки.

=

Eh

G

, Δ- оператор Лапласа,

,

Z Z

−

+

– внешние

z z

Компоненты вектора перемещений (6), соответственно симметричному

тензору напряжений, зависят от неизвестных интегральных величин

u

i

,ψ

i

, w, V,

θ,

являющихся функциями координат

x

1

,x

2

и

t.

С целью получения замкнутой

системы разрешающих уравнений относительно этих

неизвестных, введя в рассмотрение внутренние моменты, осевые усилия и
перерезывающие силы, для получения уравнений движения упругих пластин
произведем процедуру интегрирования (1) с учетом (5) по

z

в интервале

[-

0,5h; 0,5h

]:

37 37



N p mu

+

−

=

ij j i i

,

0

2

M Q m h



−

+

−

=

m

0

ij j i i i

,

12

ψ

+

−



(11)

Q N w M V S S mw

+

+

+

− −

=

( , ), ( , ), 0,

i i ij j i ij j i z z

,

где

,

p m

i i

–распределенные усилия и моменты от внешних нагрузок,

m

-

погонная масса.

В терминах интегральных величин типичные граничные условия

записываются в следующем виде:

. Шарнирное закрепление:

I

N n M n w V

=

=

=

=

=

0, 0, 0, 0, 0

ij j ij j

θ

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

. Жесткое защемление:

II

u w V

=

=

=

=

=

0, 0, 0, 0, 0

ψ

θ

i i

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

. Свободный край:

III

N n M n Q n V n n

=

=

=

=

=

0,

0, 0, , 0, , 0

θ

ij j ij j i i i i i i

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

(12)

Таким образом, имеем общую теорию, из которой можно получить

линейные и нелинейные уравнения движения толстых плит и гибких
пластин. Например, в (10)–(11), пренебрегая величинами высокого порядка
малости и нелинейными членами, и введя потенциалы осевых перемещений
и углов сдвига, при

0, 0,

p m

i i

=

=

можно получить упрощенные уравнения

движения пластин средней толщины

ν

ν

1

−



G u qh mu

Δ

+

−

=

0

4
2

2

⎟

⎟

⎠⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

Δ

⎟

⎟

⎠⎞

h

2

D

ν

ν

2

⎜

⎜

⎝

⎛−

Δ

+

−

+

−

ψ

ν

1

12

1

5(1 2 )

ν

q

+

(13)

2 2

⎟

⎟

⎠⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

Δ

⎟

⎟

⎠⎞

h

ν

⎜

⎜

⎝

⎛−



+

− −

+

m

1

ν

5

1

12(1

2 )

ν

ψ

=

0

Для пластин средней толщины система уравнений (13) получена

впервые, поскольку первое уравнение дает возможность исследования
распространения продольных волн под действием поперечных нагрузок.В
статических задачах прикладной механики второе уравнение с точностью до
множителей соответствует разрешающим уравнениям Рейснера-Миндлина,
представляющим собой третье приближение для трехмерных уравнений
равновесия. При этом первое приближение соответствует классической
теории Кирхгоффа, которое можно получить из (13) пренебрежением членов,
содержащих множитель –

h

2

.

Пользуясь общей теорией В.З.Власова для пологих оболочек, компоненты

продольных напряжений можно представить в виде

ij kk kkl l ij ij ijl

χ

l

σ

=

λ

−

ς

χ

δ

+

μ

−

ς

. (14)

(

e w

) 2 (

e w

)

38 38

Здесь компоненты тензора третьего ранга -

ς

ijl

определяются в

следующем виде,

1

ς

111

=

ς

222

=

,. где

χ

k

–кривизны пологой оболочки по

координатным осям. При этом продольные компоненты тензора Коши Грина
-

e

ij

с учетом (6) вычисляются по формуле (3).

В уравнениях движения (11) влияние кривизны пологой оболочки

учитывается как дополнительная поперечная нагрузка от осевых усилий

N

ij ijl

l

ς

χ

.

Неклассические области деформирования, введя изопериметрическую

систему координат

Oξ

1

ξ

2

и выполняя операции дифференцирования сложных

функций, с помощью следующей формулы

8

=

∑

x N x

ξ

ξ

( , ) ,

i k ik

1 2

k

=

1

можно отобразить в квадратной области (рис.1). Здесь (

x

1k

,x

2k

) пара чисел,

характеризующая координаты точек

M

k

, заданных на вершинах и серединах

контура

криволинейной

трапеции.

При

этом

рассматриваемые

дифференциальные уравнения в частных производных переходят в себе
подобные уравнения с переменными коэффициентами.

у

М

8

М

2

М

1

η

М

1

М

3

М

8

М

2

η

М

3

М

4

ξ

М

4

ξ

М

7

М

7

М

6

М

5

О

х

М

5

М

6

Рис.1. Отображение криволинейной трапеции в классическую область.

С применением соответствующих упрощений и гипотез из

предложенной теории можно получить известные технические и уточненные
теории пластин. Например, классическую теорию из (6) можно получить при
отсутствии касательных нагрузок формальной заменой

ψ

k

=–w,

k

пренебрегая

обжатием пластины ( ε

zz

= 0, т.е.

V = θ

= 0).

С усовершенствованием теорий расчета несущих элементов

соответственно усложняются и реализационные вычислительные схемы.
Наиболее оптимальным в смысле точности получаемых численных
результатов считаются подходы редуцирования краевых задач к
эквивалентным задачам Коши с переносом граничных условий на некоторую
фиксированную точку. Среди этих подходов наиболее перспективным

39 39

считается

метод

дифференциальной

прогонки.

Основополагающие

исследования метода выполнены в работах А.А.Абрамова, И. Бабушка,
Н.Мухитдинова, Ф. Б. Бадалова и др. Главным недостатком данного метода
является особая чувствительность вычислительного алгоритма к типу
граничных условий.

Во второй главе диссертации

«Численные методы решения краевых

и спектральных задач»

разработан модифицированный метод дифферен

циальной прогонки для систем дифференциальных уравнений с произ
вольными граничными условиями. Предлагается численный подход разре
шения дифференциальной проблемы в спектральных задачах, в том числе и
для несамосопряженных операторов разрешающих уравнений.

Достоверность численных подходов решения краевых и спектральных

задач доказывается на примере решения известных статических и
динамических задач прикладной механики.

Для унифицированных обыкновенных дифференциальных уравнений,

записанных в матрично-векторной форме

′

(

C(x)V Q(x)V

)

+

A(x)V

′+

B(x)V

=

F

′+

(

15)

a V

′+

b V

=

f

при

х

= 0,

l

(16)

x x x

предлагается модифицированный метод дифференциальной прогонки для

произвольных граничных условий. Здесь

C(x), Q(x), A(x),B(x), F(х(

–

a , b ,

f

–вектор и матрицы

заданные вектор и матрицы функции.

x x x

константы, характеризующие тип граничных условий в прикладных задачах

механики. С целью переноса граничных условий (16), записанных в наиболее
общей форме, с учетом структуры разрешающего уравнения (15) введем в
рассмотрение следующую вспомогательную систему обыкновенных
дифференциальных уравнений:

α

(

C

(

x

)

V

′

+

Q

(

x

)

V

)

+

β V

=

f

,

(17)

где α, β, f – подлежащие определению неизвестные коэффициенты.
Последнюю систему уравнений, дифференцируя по х:

′

α

(

C

(

x

)

V Q

(

x

)

V

)

+

α

′

(

C

(

x

)

V

′+

Q

(

x

)

V

)

+

β V

′+

β

′

'V

=

f

′

′+

(18) и умножая на обратную матрицу α

-1

, выполняя

перегруппировку членов, будем иметь:

′

′+

− − −

(19)

1 1 1

(

C

(

x

)

V Q

(

x

)

V

)

α

(

α C

(

x

)

β

)

V α

(

β Q

(

x

))

V α f

+

′

+

′+

′+

=′

Сравнивая (19) и (15) а также (17) и (16) при

х=0

, получим следующую

задачу Коши для неизвестных коэффициентов α, β, f:

− −

1

′

=

−

=

[

]

(

)

(

)

α αA(хA β C (хх) α 0 a С 0 ,

0

⎪

⎨

⎧

′

=

=

1

−

1

′

=

−

=

−

(

)

(

)

(

)

β αB(хB Q(х( β 0 b a C 0 Q 0 ,

⎪⎩

(

)

0 0

(20)

f αF(х(х f 0 f .

0

Полученную задачу Коши для матричных дифференциальных урав нений

(20), решая прямым ходом, на отрезке [0,

l

] определим неизвестные

α, β, f

следовательно, и в точке

х=l

. Тогда, с учетом (16) и (20) будем иметь

40 40

следующую систему линейных

2n

алгебраических уравнений относительно

неизвестных V , V′:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎟

⎟

⎠⎞

⎜

⎜

⎝⎛

+

⎜

⎜

⎝⎛

′

α l C l β l α l Q l

. (21)

V

⎟

⎟

⎠⎞

a b

=

⎟

⎟

⎠⎞

⎜

⎜

⎝⎛

f l

l l l

f

V

После решения системы алгебраических уравнений (21) относительно

V,

V′,

обратным ходом метода матричной дифференциальной прогонки, как

решение задачи Коши для (15), доопределяется искомое решение V на
рассматриваемом отрезке [

l;

0].

Для краевой задачи (15)-(16) в методе матричной дифференциальной

прогонки не требуется дифференцирование коэффициентов, что особенно
важно для рассмотрения прикладных задач с кусочно-непрерывными
физическими и геометрическими характеристиками. При выполнении
условия:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

⎜

⎜

⎝⎛

+

(22)

det
α l C l β l α

l Q l a b

l l

≠

⎟

⎟

⎠⎞

при некоторых ограничениях на коэффициенты разрешающих уравнений

доказано существование и единственность решения рассматриваемых
краевых задач.

Соответствующую динамическую задачу линейной теории упругости для

неоднородных удлиненных конструкций, с применением метода Фурье,

можно привести к решению следующей спектральной задачи:

′

[

C(x)U Q(x)U

]

+

A(x)U

′

−

[pM(x)

−

B(x)]U

=

0

′

+

(23) а

x

V′ +b

x

V =0 при

х = 0,l

(24)

где

р

– собственное число. Полученная однородная краевая задача решается

модифицированным методом дифференциальной прогонки. Собственное
число

р

определяется из условия нетривиальности решения однородной

краевой задачи (23) - (24):

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

⎜

⎜

⎝⎛

+

(25)

det
α l C l β l α

l Q l a b

l l

=

⎟

⎟

⎠⎞

Для численного определения

р

из (25) строится итерационный процесс

Вегстейна. После решения спектральной задачи (26) – (27) решение
динамической задачи теории упругости разлагается по собственным функ
циям

∞

∑

r

V T

(

t

)

U

(

x

)

r

=

(

26)

r 0

=

где T

r

(t) - решение соответствующего обыкновенного дифференциального

уравнения по времени.

Таким образом, имеем полное решение линейной одномерной

динамической задачи теории упругости. Вместе с тем многие прикладные
задачи относятся к категории двумерных статических и динамических задач,
решение которых представляет собой довольно сложную математическую
задачу.

41 41

Выполняя

разделение

переменных

по

координатам

v

r

(

x

1

,x

2

)=

X

1r

(x

1

)X

2r

(x

2

)

, выполняя формальную процедуру Бубнова – Галеркина по

каждой из координат

x

s

(

s

= 1,2), будем иметь одномерные краевые задачи.

Метод сведения двумерных задач к последовательности одномерных
называется методом вариационных итераций, которым без ограничения
можно применять к нелинейным статическим задачам.

Двумерные динамические задачи решаются аналогично, совместным

применением модифицированного метода дифференциальной прогонки и
вариационных итераций. После определения одномерных базисных функций
по каждой из координат по отдельности для нахождения собственных чисел
исходной двумерной спектральной задачи используется энергетическая
формула Релея.

На примере решения тестовых задач показывается достоверность

предложенных численных методов решения статических и динамических
задач пластин и пологих оболочек, с применением современных

информационно–коммуникационных технологий. Численная реализация
спектральных задач показывает, что для различных граничных условий
определяется не менее 7-8 значений собственных чисел.

В третьей главе диссертации

«Некоторые задачи о равновесии и

движении толстых плит»,

с целью установления достоверности и

эффективности предложенной неклассической теории плит, рассматриваются
частные задачи о деформировании толстых плит, имеющие точные решения

в рамках плоской теории упругости. В зависимости от толщины плит в

рамках предложенной теории имеем возможность уточнения результатов
классической теории до 40%.

На примере решения пространственной задачи Б.Ф.Власова об изгибе

шарнирно закрепленных толстых плит под действием синусоидальной

нагрузки обычно проверяются на достоверность различные неклассические

теории плит. Для данной задачи, имеющей точное решение в трехмерной

постановке, выполнены численные сравнения результатов известных теорий,

(

0.3, 1

ν

=

l

1

=

l

2

=

l

=

) при различных отношениях h/

l

. В табл. 1 приводятся

сравнения результатов и относительных погрешностей рассмотренных

wE

в

точке (0.5,0.5,0.0).

теорий для приведенного прогиба -

hq

0

Из полученных результатов следует, что предложенная теория выгодно

отличается от других уточненных теорий, максимальная относительная
погрешность которой, при h/l=0.5 достигает всего 5.8%.

В табл. 1 индексы в Δ соответствуют названиям теорий. Как видно из

таблицы, классическая теория даёт удовлетворительные результаты для

h/l

<0.1, теория Рейсcнера -

h/l

<0.2, а уточненные теории типа Тимошенко -

h/l

<0.3. Вместе с тем предложенная теория применима для исследования

напряженно-деформированного состояния плит до

h/l

=0.4.

42 42

Таблица 1

Сравнительный анализ решений задачи Власова для различных теорий

h

/l

Класс

и

-

ческая

теория

Неклассические теории

Точное

реш

ение

Относительная

погрешность в%

Рейсс

нера

Тимо

шенко

Пред

лаг.

Δ

к

Δ

р

Δ

т

Δ

п

0.

1

280.26 292.03 296.0

6

294.3

8

294.24 4.8 0.8 0.6 0.

0

0.

2

17.51

20.26 21.47 21.07

20.98 16.5 3.4 2.3 0.

4

0.

3

3.46

4.55

5.22

5.05

4.97 30.5 8.5 4.8 1.

5

0.

4

1.09

1.63

2.08

1.99

1.97 43.3 15.4 7.9 3.

3

0.

5

0.45

0.75

1.08

1.02

0.96 53.6 22.3 11.7 5.

8

В известных теориях не учитывается поперечное обжатие толстых плит

при изгибе. Вместе с тем, как следует из решения трехмерных задач теории
упругости, для изгиба плит средних толщин, наблюдается ярко выраженное
поперечное обжатие (рис.2). Как видно из рисунка, теории типа Тимошенко
дают завышенные значения, а теория Рейcснера - осредненные значения. Для
предложенной неклассической теории полученные результаты имеют
хорошую корреляцию с точным решением и адекватно отражают попереч ное
сжатие плит при изгибе.

Рассматривается двумерная задача о действии сосредоточенной силы

Р

на прямоугольную плиту в некоторой точке

М(х

0

,у

0

)

:

q x y

=

P

δ

x

−

x

δ

y

−

y

, (27)

( , ) ( ) ( )

0 0

где

δ(х)

– дельта функции Дирака.

Данная задача решается при различных соотношениях сторон и

толщины плиты. В точке приложения сосредоточенной силы искомые
величины достигают максимума, причем градиент их распределения
значителен (рис. 3) Для

Р/Е=0,00005

стрела прогиба составляет 8% от

толщины (

h=0,02; a=b=1

) , а максимум момента - 35% от жесткости плиты.

Смещение точки (

x

0

=a/4, y

0

=b/4

) приложения сосредоточенной силы

привело к уменьшению значений искомых величин на порядок (рис.4). В
точке приложения сосредоточенной силы внутренний момент и продольное
усилие имеют существенный градиент изменения. Этот факт связан с тем,
что в данной точке компоненты тензора напряжений принимают
значительные, а нормальное напряжение - неограниченные значения.

Предположим, что внешняя нагрузка представляет собой

динамическую сосредоточенную силу следующих типов:

Мгновенное приложение сосредоточенной силы

q x y t

=

P

δ

x

−

x

δ

y

−

y

δ

t

−

t

,

( , , ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

Гармоническое действие сосредоточенной силы

q

(

x

,

y

,

t

)

P

δ

(

x x

)

δ

(

y y

)sin

ω

t

=

−

0

−

0

,

43 43

U

z

E/hq

3,7

3,5

3,3

3,1

-0.167 0 0.167 z

Точное решение Предлаг. теория

Теория Рейсcнера Теория Тимошенко

Рис. 2. Распределение прогиба

U

z

по z для различных теорий

31

h

=

l

Подвижная сосредоточенная сила

q x y t

=

P

δ

x

−

x

−

с t

δ

y

−

y

−

c t

( , , ) ( ) ( )

0 1 0 2

Под действием подвижной сосредоточенной силы в толстых плитах с

течением времени возникают области растяжения и сжатия (рис.5). В
четвертой главе диссертации

«Исследование и гашение резо нансных

явлений в особо высотных сооружениях»

рассмотрены задачи

исследования резонансных явлений в особо высотных сооружениях типа
телевизионных башен с возможной податливостью оснований к сдвигу и
изгибу. Исследованы влияния физико-механических, собственного веса и
геометрических характеристик сооружений на резонансные явления для
периодического воздействия внешних нагрузок. С применением
динамических гасителей рассмотрены вопросы уменьшения резонансных
амплитуд.

Установившиеся колебания особо высотных вязкоупругих сооружений с

переменной жесткостью–

D(x),

погонной массой–

m(x),

с учетом собственного

веса относительно изгибающего момента и прогиба, описываются
следующей системой разрешающих уравнений:

⎜

⎜

⎝⎛

l

⎟

⎟

⎠⎞

⎥

⎥

⎦⎤

′

⎢

⎢

⎣

⎡

′

′

−

+

∫

M P g m z dz W q mW

( ) 0

+

−

=





x

M

, (28)

−

′′

+

=

(1 )

R W D x

( ) 0,

при выполнении граничного условия, соответствующего кинематически
возбуждаемому и консольно - закрепленному сооружению, с возможной
податливостью основания к сдвигу и изгибу

44 44

0,06
0,08 0,04
0,02

W/h

y

0,75

y

M

kk

/D

0,2

0,15
0,1

y

0

x

x

00,25 0,5 0,75

100,375

x

0,05 0

0,75
00,25 0,5 0,75

100,37

а) распределение прогиба б) распределение момента

Рис.3. Эпюра прогиба и внутреннего момента на плитах под действием симметрично

расположенной сосредоточенной силы.

0,04 0,03 0,02

N

kk

/qh

y

0,015 0,01

0,005

M

kk

/D

0,75

y

0,01

0

x

0

0,75

x

0,37
00,25 0,5 0,75

10

00,25 0,5 0,75

100,37

а) распределение нормального усилия б) распределение момента

Рис.4. Эпюра нормального усилия и внутреннего момента на плитах под действием

несимметрично расположенной сосредоточенной силы.

⎧

+

=′

W k M W t

x

0

( )

при 0,

θ

⎨

=

′

+

=

⎩

W k M

φ

0

=

=

=

′

(29)

M M x l

0 при ,

45 45

t

∞

Здесь

=

−

=

−

∫ ∫

характеризует

установившиеся

R R t d R t d

φ

τ

φ

τ

τ

τ

φ

τ

τ

( ) ( ) ( ) ( )

−∞

0

вязкоупругие свойства материала конструкции.Здесь

W

0

(t)

- закон движения

основания сооружений, которые имеют периодический характер

N

kk

/qh

0,08
0,06
0,04
0,02

y

Р4
0,06-0,08
0,04-0,06
0,02-0,04
0-0,02

Р7

N

kk

/qh

0,08
0,06
0,04
0,02
0

y

Р4
0,06-0,08
0,04-0,06
0,02-0,04
0-0,02

-0,02-0
Р7

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9Р1

x

-0,02

1 2 3 4 5 6 7 8 9Р1

x

Рис. 5. Характер распределения внутреннего усилия в плитах

под действием подвижной нагрузки в различных моментах времени.

Поперечное сечение особо высотных консольно-закрепленных соору

жений будем считать круглым. Тогда диаметр для приведенных конструкций

можно записать в виде (рис.6):

⎡ ⎤ ⎛ ⎞

I тип d x d d d H l x H l x d H x l

−

=

+

− − − −

+

− ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ),

x

1 0 1 1 2 0 2

l

1

ρ

ρ

ρ

( ) ( ) ( ),

x H l x H l x

=

−

+

−

0 2 1 2

−

=

+

− − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

II тип d x d e H l x H x l

( ) ( ) ( ,

ρ

ρ

ρ

−

γ

x

0 2 1

( ) ( ) ( ),

x H l x H x l

=

+

− −

0 1 2 1

где

H(x)

– функция Хевисайда.

(30)

В качестве дымовых труб в теплоэлектростанциях широко исполь

зуются конструкции, имеющие подпорки вблизи основания, для которых
законы изменения диаметра поперечного сечения можно получить из (30),
полагая

l

2

=l

. Из рис.7 видно, что увеличение ширины подпорки приводит к

резкому повышению резонансных частот.

Качественно иной характер амплитудно-частотных характеристик

наблюдается при воздействии ветровых нагрузок типа (45) для

q

0

=0.1, q

t

=0.

В

этом случае существенна только основная резонансная частота колебаний,
следовательно, здесь расчеты на жесткость сооружения типа телевизионных
башен должны проводиться для основной собственной частоты (рис.10).

Особо высотные сооружения типа телевизионных башен относятся к

категории массивных конструкций по степени воздействия на единицу

площади основания. При этом немаловажное значение для массивных

46 46

конструкций приобретают условия закрепления их оснований, с учетом
геологических свойств почвы.

В этом плане влияние собственного веса с учетом податливости

основания к изгибу и сдвигу на резонансные явления позволяет более точно
оценить жесткости особо высотных сооружений к изгибным колебаниям.

ρ

1

ρ

1

l l

2

l

1

l

2

l

d

1

d(x) d(x)

ρ

0

l

1

ρ

0

d

0

d

0

Рис. 6. Схематичное представление геометрических особенностей.

0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

Влияние ширины
подпорки на
резонансные области

А

р

d0/d1=1
d0/d1=1.5
d0/d1=2

2,5 2

1,5 1
0,5 0

Резонансные явления при
ветровых
переодических нагрузках

А

р

gam=1.5
gam=1.0

gam=0

ω

р

0
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37

ω

р

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

35 37

Из полученных

результатов

Рис. 7. Влияние ширины подпорки

основания на резонансные частоты.Рис. 8. Характер резонансов для

поперечных ветровых нагрузок.

Из полученных результатов следует (рис.9), что увеличение

собственного веса приводит к росту резонансных амплитуд колебаний почти
в пять раз, при этом резонансные частоты не меняются. Особо высотные
сооружения типа телевизионных башен в силу конструктивных особенностей
допускают возможную податливость оснований к изгибу и сдвигу. Жесткость
сооружения для податливых оснований к изгибу и сдвигу резко снижается
для высокочастотных внешних воздействий (рис.10). Отсюда следует, что
характер закрепления особо высотных сооружений имеет существенное
влияние для высокочастотных внешних воздействий. Вместе с

тем

уменьшение нежелательных явлений при резонансных колебаниях
достигается с применением динамических гасителей.

Для задачи о гашении резонансных явлений в телевизионных башнях

под воздействием ветра, располагая динамические гасители в середине

47 47

сооружения, достигаем наибольшей эффективности уменьшения резонанс
ных амплитуд. При этом масса гасителя должна превышать значение
погонной массы сооружения на порядок. На рис. 11, 12 приведены
полученные результаты амплитудно-частотных зависимостей при различных
соотношениях жесткости гасителя к её массе. Из полученных результатов
следует, что с увеличением отношения

k

i

/m

i

наблюдается уменьшение

Влияние податливости основания к изгибу на

резонансной амплитуды колебаний более чем в 2 раза.

амплитудно-частотные характеристики

3

2,5 2

1,5 1

0,5 0

А

р

1 3 5 7 9

1113151719212325272931333
537

q1=1.0 q1=0,5 q1=0,0

ω

р

10

А

р

8
6

4

2
0

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28

Рис. 9. Влияние собственного веса на

резонансные явления особо высотных
сооружений.

Рис. 10. Влияние податливости
оснований на амплитудно-частотные
характеристики.

Динамические задачи прикладной механики теми или иными

способами приводятся к решению спектральных задач. При этом одной из
фундаментальных задач математической физики является разрешение
дифференциальной проблемы в спектральных задачах.

В пятой главе диссертации

«Спектральные задачи для элементов

несущих конструкций»

рассматриваются спектральные задачи для

самосопряженных и несамосопряженных операторов при различных
граничных условиях.

С

целью

экспериментального

подтверждения

достоверности

выполненных расчетов по предложенным алгоритмам рассмотрено
собственное колебание дымовой трубы Ново-Ангренской ГРЭС. Анализ
полученных результатов показывает, что погрешность не превышает 10-15%.
Расчеты выполнены с учетом продольной силы собственного веса и
возможной податливости основания к изгибу и сдвигу.

Исследования флаттера в динамических задачах аэроупругости связаны

с определением критических скоростей обтекаемого газа –

υ

, при которых

начинается неограниченный рост амплитуды изгибных колебаний несущих
элементов самолетов.

48 48

А

р

1

2

А

р

1

2

3

3

1: k

i

/m

i

=0, 2: k

i

/m

i

=0,5, 3: k

i

/m

i

=1,

ω

р

ω

р

1: k

i

/m

i

=0, 2: k

i

/m

i

=0,5, 3: k

i

/m

i

=1

Рис.11. Гашение резонансных явлений
при ветровом воздействии.

Рис.12. Гашение резонансных явлений
при сейсмическом возбуждении
основания.

В процессе численного решения задач при необходимости

используются условия симметрии для искомых решений. В этих
предположениях рассматриваемые задачи решаются в одномерной
постановке (рис.13). В качестве граничных условий по оси

Ох

используется

три типа закреплений. Полученные результаты свидетельствуют о том, что от
вида закреплений краев пластины существенным образом зависит
критическая скорость обтекаемого воздуха:

у

V

х

х

Рис.13. Схема воздействия сверхзвукового обтекания окружающего воздуха.

1. Жесткое защемление

V

= 218.932;

2. Шарнирное закрепление

V

=50.637;

3. Консольное закрепление

V

=6.323

Если направления обтекаемого газа могут быть под разным углом, а

также края закрепления пластин могут отличаться, то рассматриваемые
задачи должны решаться в двумерной постановке.

В табл. 2 приводятся вычисленные значения безразмерной крити ческой

скорости при различных углах атаки обтекающего газа для различных

условий закрепления пластин. Как следует из полученных результатов, с

49 49

изменением угла атаки в интервале

(

)

0 0

α

∈

0 ,90

при симметричных условиях

закрепления критическая скорость переходит через минимум. При

0

α

=

45

достигается минимальное значение для критической скорости. Вместе с тем
для несимметричных граничных условий, таких как шарнирно-свободное или
консольное закрепление прямоугольных пластин, увеличение угла атаки

приводит к росту критической скорости. Этот факт объясняется тем, что
параллельность направления обтекаемого газа к свободной границе приводит
к минимальному сопротивлению пластины к изгибу, следовательно,
критическая скорость также принимает минимальное значение. При жестком

защемлении краев пластины достигается наибольшая критическая скорость.

На рис.14 приведен характер зависимости базисной функции внутреннего

момента на ¼ часть пластины от направления обтекаемого газа. Из

полученных результатов следует, что только для

0

α

=

45

имеем симметричное

распределение базисной функции для внутреннего момента. В остальных

случаях характер распределения базисной функции основного

α

.

тона колебаний для критической скорости V зависит от значения угла

Отсюда следует, что в спектральных задачах для несамосопряженных

операторов не всегда можно выбрать симметричные базисные функции.
Обычные подходы решения спектральных задач в большинстве случаев
применимы для пластин в классических областях деформирования. Вместе с
тем многие важные несущие элементы конструкций, подвергаемые
динамическим воздействиям, имеют сложную конфигурацию, для которой
многие классические подходы становятся неприемлемыми. Дело в том, что в
пластинах типа криволинейных трапеций нельзя разделить искомые
переменные по координате, поскольку контур, ограничивающий пластину,
является одновременно функцией двух координат. Поэтому, с помощью
изопериметрической системы координат, воспользуемся подходом
отображения сложных областей в классическую область, приведенную в
первой главе. Для наглядной иллюстрации данного подхода рассмотрим
спектральную задачу для продольных стационарных волн в пластинах со
сложной конфигурацией:

2

U

,

xx

+

U

,

yy

+

λ

U

=

(31)

0

После отображения для пластин со сложной конфигурацией (31)

становится дифференциальным уравнением в частных производных с
переменными коэффициентами

2

a

ξξ

U

,

ξξ

+

a

ξη

U

,

ξη

+

a

ηη

U

,

ηη

+

a

ξ

U

,

ξ

+

a

η

U

,

η

+

λ

U

=

, (32)

2 0

где

a a a a a

, , , , ,

ξξ

ξη

ξξ

ξ

η

переменные коэффициенты, заданные в

изопериметрической системе координат. Однородные граничные условия
для(58) могут быть произвольными. В качестве примеров для пластин со
сложной конфигураций рассмотрены прямоугольник, эллипс, трапеция и
криволинейные трапеции различной конфигурации.

50 50

Таблица 2

Характер влияния направления угла атаки и условий закрепления пластин на

критическую скорость обтекаемого воздуха

Угол атаки

0

0

30

0

45

0

60

0

80

0

Жесткое
защемлени
е

805.2

484.4

462.4

484.4 624.8

Шарнирн

ое

закреплен

ие

276.6

184.1

177.2

184.1 231.4

Шарнирн
о
свободно
е

50.6

58.5

71.6

101.3 163.9

Консольн
ое
закреплен
ие

6.3

7.3

9.0

12.7

21.5

M

kk

/D

x

x

x

у

у

у

а) б) с)

а)

0

α

=

0

, б)

0

α

=

45

, с)

0

α

=

90

Рис. 14. Эпюры изгибающего внутреннего момента шарнирно закрепленной

пластины при различных углах атаки обтекаемого газа.

В классических областях типа прямоугольников спектральная задача (32) для

основных однородных граничных условий имеет точное решение

2 2

⎜

⎝⎛

π

π

⎞

⎜

⎝⎛

⎟

⎠⎞

следующего вида

λ

. На рис.15 приводятся собственные числа,

=

a b

⎟

+

⎠

соответствующие различным классическим и неклассическим областям.
Здесь следует отметить, что для первых двух типов классических областей
имеет место разделение искомых переменных по координатным осям и
собственные числа определяются точно. В остальных случаях следует
перейти к изопериметрической системе координат

O

ξη

с адекватной

передачей контура исследуемых объектов.

На рис. 15, для каждого случая по отдельности определена основная

собственная частота λ.

51 51

у

1

х
О

λ=4,44

1

у

1

о

у

1

1

λ=3,51 λ=4,23

х

0.4

х

О

О

о

о

у

у

λ=4,83

1

1

х

О

О

о

о

0.5

λ=7,28

1

х

1

2 2

1

Рис.15. Значения собственной частоты стоячих волн для различных неклассических

областей.

U/h

U/hU/h

x

x

x

y

y y

λ

1

=

4,45

при h

1

=

0,02,

λ

2

=

5,08

при h

2

=

0,08,

λ

3

=

7,48

при h

3

=

0,14

Рис. 16.

Влияние заострения углов «звездообразной» трапеции на распределение

базисных функций

.

Из полученных результатов следует, что собственная частота с

уменьшением площади рассматриваемых объектов имеет тенденцию роста.
Вместе с тем более существенное влияние на собственную частоту имеет и
геометрия контура пластин. Для «звездообразной» трапеции (рис.16)
получены следующие результаты для собственных чисел и базисных
функций.

Для данного контура пластины частота собственных чисел для стоячих

волн с увеличением –

h

растет, при этом стрела базисной функции в

изопериметрической системе координат также растет, причем эпюра
сжимается в центральную часть неклассической области. Этот результат
объясняется характером закрепления краев «звездообразной» трапеции.

52 52

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе проведённых исследований по докторской диссертации на

тему «Неклассические задачи пластин и пологих оболочек и разработка
численных методов их решения» представлены следующие выводы:

1. Построение неклассической теории пластин и пологих оболочек

без гипотез на основе трехмерных уравнений движения нелинейной теории
упругости в неканонических областях деформирования, подтверждение её
эффективности сравнением с известными теориями приобретает особое
значение при решении прикладных задач механики.

2. Модификация метода дифференциальной прогонки, разработка

численных

подходов

разрешения

дифференциальной

проблемы

в

спектральных задачах для самосопряженных и несамосопряженных
операторов, обоснование достоверности численных методов повышает
эффективность решения задач прикладной механики.

3. Полученные результаты решения трехмерной задачи о равнове сии

толстой шарнирно-закрепленной плиты под действием синусоидальной
нагрузки подтверждают расширение границы применимости для
неклассической теории плит.

4. Исследовано напряженно-деформированное состояние плит под

действием сосредоточенной силы, расположенной в произвольной точке
лицевой плоскости при различных соотношениях сторон и толщины.
Впервые вычислены значения возникающих продольных усилий под дейст

вием поперечных нагрузок.

5. Исследовано динамическое воздействие внезапно приложенных

подвижных сосредоточенных сил на толстую плиту. Определены зоны
продольного сжатия и растяжения при воздействии подвижных
сосредоточенных сил. Впервые исследован характер распространения
стационарных продольных волн при внезапном воздействии кусочно
постоянных поперечных нагрузок на тонкие стержни и пластины. 6. В

рассмотренных задачах учет продольной силы от собственного веса приводит
к двукратному увеличению резонансных амплитуд при установившихся
колебаниях в особо высотных сооружениях. Изменение условий закрепления
оснований особо высотных сооружений приводит к появлению новых
резонансных областей. На основе проведенных исследований по выбору
оптимальных параметров динамических гасителей и их места положения, в
сооружениях типа телевизионных башен достигается уменьшение
резонансных амплитуд почти в два раза. Проведенные теоретические
исследования, с применением современных информационных технологий,
для инженеров и проектировщиков даёт надежный инструмент для
ежедневного контроля надежности высотных сооружений. 7. Приведены
численные решения двумерных спектральных задач при различных условиях
закрепления пластин под действием динамических нагрузок. Определены
значения критических скоростей обтекаемого газа при исследовании
флаттера в пластинах при различных соотношениях

53 53

физических и геометрических параметров. Критическая скорость в

зависимости от условий закрепления может отличаться на порядок.
Исследован флаттер в пластинах при различных углах атаки обтекаемого
воздуха. При изменении угла атаки критические скорости друг от друга
могут отличаться до трех раз.

8. С помощью изопериметрической системы координат в

неклассических областях определены значения собственных чисел и эпюры
базисных функций для стоячих волн при различных условиях закрепления
неканонических пластин.

54 54

SCIENTIFIC COUNCIL ON AWARD OF THE ACADEMIC DEGREE OF

THE DOCTOR OF SCIENCE 7/14/2016 FM/T 02.02 AT

THE TASHKENT STATE TECHNICAL UNIVERSITY AND

NATIONAL UNIVERSITY OF UZBEKISTAN

TASHKENT STATE TECHNICAL UNIVERSITY

АKHMEDOV AKROM BURXANOVICH

NONCLASSICAL PROBLEMS OF PLATES AND FLAT COVERS AND

DEVELOPMENT OF NUMERICAL METHODS OF THEIR DECISION

01.02.04 -Mechanics of deformable solids

(Physical and Mathematical sciences)

ABSTRACT OF DOCTORAL DISSERTATION

TASHKENT-2016

55 55

The subject of doctoral dissertation is registered in the Higher Attestation

Commission under the Cabinet of Ministers of the Republic of Uzbekistan for the
number30.09.2014/В2014.5.FM 136

The doctoral dissertation carried out at the Tashkent State Technical University named

Abu Rayhan Beruni.

The full text of the doctoral dissertation was placed on web pageof Scientific council

07.16.2013 T/FM.02.02 at the TDTU to the address www.tdtu.uz

Abstract of the doctoral dissertation in three languages (Uzbek, Russian, English) is

plased web-page to address www.tdtu.uz and information-educational portal «ZiyoNet» to the
address www.ziyonet.uz.

Official opponents: Xusanov Bakhtiyor Ergashboyvich

doctor of physical-mathematical

sciences, professor

Safarov Ismoil Ibrokhimovich

doctor of physical-mathematical sciences, professor

Indiaminov Ravshan

doctor of physical-mathematical sciences

Leading organization: Samarkand State Architecture and Construction Institute

Defense of the dissertation will take place in «____» ________ 2016 at _____ o’clock at

a meeting of the Scientific Council 07.16.2013 T/FM.02.02 at the following address: Tashkent
state technical university. Address: 100095, Tashkent, University str., 2. Tel. / Fax: (998 71)
227-10-32, e-mail: nich_tdtu@rambler.ru.

The doctoral dissertation registered at the Information Resource Center (IRC) of the

Tashkent State Technical University for a number________, which can be found in the IRC
(100095, Tashkent, University str., 2. Tel:. (998 71) 227-10-32

Abstract of dissertation sent out on «____» ________ 2016 year
(mailing report № ___ on «___» of _______ 2016 year)

К. А. Кarimov

Chairman of the specialized council

to award the degree of Doctor of Science, Doctor of Technical Sciences, Professor

N. D. Turakhodjaev

Scientific Secretary of the Specialized Council

to award the degree of Doctor of Science, Ph.D., Associate Professor

М. Мirsaidov

Chairman of the scientific seminar at the Specialized Council

to award the degree of Doctor of Science, Doctor of Technical Sciences., professor

56 56

INTRODUCTION (Abstract of the doctoral dissertation)

Actuality and claimed of theme of dissertation.

Development of the

Infrastructure of the world and the requirements for resistance to without danger
and erected constructions putting new challenges increase the strength and
reliability of the bearing structural elements. One of the most urgent and
fundamental problems of mechanics is to develop Refine numerical calculation
method for predicting the strength and stability of structures in their design. In

fundamental research and development to ensure the safe operation of buildings
and structures allocated 4-5% of the total costs of research and education,
including Europe and the CIS 3-4% in industrialized countries 7-8%.

In the conditions of the economic reforms which are carried out in our

country special attention it is paid to safe operation and durability of the built
designs and constructions. In particular, for ensuring safe flight flying and
spacecrafts, stability and seismic stability of elevated and underground
constructions, and also durability of the bearing elements of devices of drilling in
geological exploration works, the solution of tasks of calculation of durability of
their constituent elements like plates and flat covers is of particular importance.

With development of modern technologies, creations of constructional

materials with unique physicomechanical properties, become actual questions of
development of nonclassical theories and methods of calculation of rigidity,
durability and stability of plates and covers. Enhancement of theories of a bend and
development of numerical methods of calculation of durability of the difficult
bearing elements of designs, using modern information technologies has important
scientific and practical value.

This dissertation research to a certain extent is the task of development and

introduction of modern computerization and information and communication
technologies, science and educational process of higher educational institutions of
advanced learning systems, based on the acquisition and active use of modern
computer technology in the development of numerical methods for solving
problems of mechanics provided in Presidential decree number PF 3080 of 30 May
2002 "on further development of computerization and introduction of information
and communication technologies" and the resolution of the Cabinet of Ministry of
Construction. The Republic of Uzbekistan № 200 of 6 June 2002 "On measures for
further development of computerization and introduction of information and
communication technologies"

Compliance of research to the priority directions of development of

science and technologies of the republic

. This research is executed in compliance

by the priority direction of development of science and technologies of the republic
IV. "Informatization and development information communication technologies".

57 57

Review of foreign scientific researches on a subject dissertatsii

1

.

Research

aimed at the creation of the theory of plates and shells, as well as to address the
problems of strength, stiffness and stability are carried out in the leading research
centers and higher educational institutions of the world, including scientific centers
Lawrence Livermore Laboratory (USA), the Technological University of Hamburg
(Germany) , University of Warsaw (Poland), Moscow state University (Russia), St.
Petersburg Non-govern Twain University (Russia), Institute of polymer mechanics
(Latvia), Tashkent state technical University (Uzbekistan).

As a result of research carried out in the world to improve the strength and

determination of stability of plates and shallow shells, obtained a series of research
results, including the following: A method for determining the state of stress of
shallow shells with industrial composite materials (Lawrence Livermore
Laboratory, USA); constructed non-classical theory of plates on the basis of a
special distribution of internal stresses (Technological University of Hamburg,
Germany); built thermodynamic foundations of the theory of plates and shallow
shells (University of Warsaw, Poland); developed methods for calculating the
strength of composite plates with a periodic structure (Moscow State University,
Russia); developed non-classical theory of calculation of stability of plates (St.
Petersburg State University, Russia); developed methods for the numerical
calculation of the mechanical properties of dielectric materials (Institute of
Polymer Mechanics, Latvia).

In the world in non-classical problems of plates and shallow shells on a

number of priority areas for further research is carried out, including: development
of methods for increasing the strength of plates and shallow shells in view of the
unique physical and mechanical properties of structural materials; improving the
accuracy of the equations of motion steppe plates under the fumes of external
forces; development of numerical methods for determining the carrying capacity
and reliability of thin-walled structures and designs.

Level of study of a problem.

Thin-walled elements bearing structural elements that have broad application

in the art, from the earliest times of their research is the focus of scientists around
the world.

Foreign scientists, Ya.Bernulli (France), I. Kirchhoff and F.Lyav (Germany),

S.P.Timoshenko, R. Christensen (USA), L.Y. Aynolla (Estonia), A.K. Malmeyster

_________________

1

In the review of the international scientific researches on a thesis Lawrence Berkeley National Laboratorywww.lbl.gov

.

;Кафедра механики

композитов МГУ.www.math.msu.su/department/composite/index.htm.; Товстик П.Е

.

Некл.модели балок, пластин и оболочек //Изв.

Саратовского

университета,

2008.

Т.8,

серия

Мат.мех.инф.,вып.

3,

с.74-85;

Институт

механики

полимеров

:www.citariga.lv/rus/teika/zinatne/polimeru-mehanikas-instituts/Скопцов К.А.; Шешенин С.В. Асимптотический анализ теории пластин
Рейснера-Миндлина. М. Изд. во МГУ, Упругость и неупругость, 2011 г.,стр. 236-240; Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теорияупругости.—
М.: Наука, 1979.– 560 с.; Kristensen R. Mechanics of Composite Materials – Courier Corporation, 2005, USA – 348 p; А й н о л а Л.Я. Интег.
вариац. принц. и ихприм. Вдинамикеупругихобол. и пл.. Диссерт. —Таллин, 1967. —253 с; МалмейстерА. К.,
идр.Сопрот.Полим.Икомпозитныхматериалов.—Рига: Зинатие, 1980.–572 с; Reissner E, Wan FYM Further considerations of stress
concentrations problems for twisted or sheared shallow spherical shells. Int. J. Solids Structures 31(No. 16): 1994; A m b a r t s u m i a n S. A.
On the problem of oscillations of the electrocon-ductive Plates in the transverse magnetic field: Theory of, Eds: North –Holland Publishing
Company, 1980; В л а с о в В. in other.

58 58

(Latvia) conducted research on the theories of stress-strain state of plates and
shells.Nonclassical theories studied by E. Reissner, S.A. Hambardzumyan, V.Z.
Vlasov, J.M. Mushtari, I.G. Tregulova.

In our country V.Kabulov, T.Rashidov, T.Buriev, F.B.Badalov, M.Mirsa idov,

H.Hudoynazarov, H. Eshmatov, M.Usarov conducted research to solve applied
problems of stability and rigidity of plates and shells .

Non-classical theories are based on the reduction of the original three

dimensional to two-dimensional problems. Therefore, the objective criterion of the
reliability of the proposed non-classical theories adopted by the degree of

satisfaction obtained by making three-dimensional equations of motion mechanics
of deformable solids.

However, all known carriers and non-classical theory of thin-walled

structures using these or other hypotheses introduce new or replaced. For example,
in all theories, without exception, used the hypothesis of no extensible midline of
the plates. Consequently, in particular, it is not possible to study transient walled
structures under transverse loads. Another significant disadvantage of the known
theories, due to power input hypotheses are not achieved perform all the boundary
conditions and equations of motion of a three-dimensional elasticity. Above cited
facts strongly suggest the relevance of the theory of plates and shallow shells
without prior hypotheses

Communication with thesis research work of higher educational

institution where the thesis is made

.The dissertation research is carried out

within the framework of the plan of research works of fundamental and applied
projects of the Tashkent State Technical University FROM F1-123 "Theoretical
Foundations of mathematical modeling of genetically-deformed systems under the
influence of random disturbances and numerical solution of differential problems
in spectral problems" (2007-2011. ), A-14-45 "Nonlinear problems of calculation
of durability of composite plates of complex configuration" (2015-2017.).

Purpose of the research

are solutions of no classical problems for plates

and shallow shells; development of numerical resolution of differential approach
problems in spectral problems for the stability of structures.

The tasks of research work:

reduction of three-dimensional problems of nonlinear elasticity theory for

two-dimensional equations of motion of plates and shallow shells without the use
of hypotheses;

modification of the method of differential sweep method for the numerical

solution of boundary and spectral problems of applied mechanics; to develop an
approach for dynamic damping of resonance phenomena in especially high-rise
buildings based on their own weight and kinematic conditions secure bases;

The scientific rationale for the approach of the numerical resolution of

differential problems in spectral problems for non-self-joint operators
razeshayuschih equations.

59 59

The object of the research work

. are especially high-rise buildings,

elements of thin-walled supporting structures of complex configuration, thick
plate, flexible plates and shallow shells.

The subject of the research.

Fluctuations especially high-rise buildings by

the external lateral dynamic forces, bearing deformation of thin-walled structures
of complex configuration, and application problems for the thick plates.

Methods of the research:

.The thesis applied numerical methods for the

determination of the eigenvalues and basic functions in spectral problems of
Applied Mechanics for self-adjoin and self-adjoin operators; methods of
differential and variation sweep iterations.

The scientific novelty of the research

it is as follows:

developed numerical approach permits differential sample-Leme in spectral

problems for self-adjoint operators;

Developed an improved method of differential and variational sweep

iterations for solving static and dynamic problems of mechanics; methods have
been developed to address emerging danger zones to internal stresses in the
complex areas of deformation of bearing structural elements; developed methods
for halving the resonance amplitudes using dynamic dampers in particularly
high-rise buildings

The critical skorasti to flutter in aerodynamics, which may differ in the order

in accordance with the terms Fasten-tion plates.

Practical results of the research:

The zones in dangerous internal stresses when exposed to concentrated

forces in thick slabs

The reliability of the results

approved by the use of the basic principles of

applied mechanics; using the fundamentals of mathematical physics and functional
analysis; verification of the results of applications on examples of test problems of
mechanics.

Theoretical and practical significance of the research:

The scientific

significance of the research is as follows: the creation of a new scientific direction
in Solid Mechanics, based on the proposed non-classical theory of deformation of
load-bearing structural elements. The ability to study the propagation of
longitudinal waves under the influence dynamic loads resolution of differential
problems in spectral problems.

The practical significance lies in the fact that the developed mechanisms

for dynamic damping of resonance phenomena in particular high-rise structures,
methods for the determination of zones of dangerous internal stresses in the non
canonical elements of load-bearing structures are the basis for the creation of
complex applications in the spectral edge and backside chat.

Implementation of the research results.

On the basis of scientific advice received by the numerical solution of non

classical problems of plates and shallow shells:

Results for "non-canonical sloping shells" and "numerical solution of

spectral problems for non-canonical plates" used in carrying out the project 15-026

60 60

"Development and research of design automation carrying aircraft structures using

finite element method" to calculate the strength of the load-bearing elements of
agricultural aircraft. (Reference 0313/348 of 2 June 2016 the Committee for
Coordination of Science and Technology).

Proposals for the application of the method of display using isoperimetric

coordinate system no canonical plates in the classical area allowed to
specifyframes, calculations, wings and chemical tanks, agricultural aircraft by 30-
35%.

Approbation of research results,

The findings are set out in the form of

lectures and have been tested by 12 international and republican scientific and