1
ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ, МАТЕМАТИКА
ИНСТИТУТИ ҲУЗУРИДАГИ ИЛМИЙ ДАРАЖАЛАР
БЕРУВЧИ DSc.27.06.2017.FM.01.01 РАҚАМЛИ
ИЛМИЙ КЕНГАШ
ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ
НУРМУХАМЕДОВА НАРГИЗА САЙДИЛЛАЕВНА
ҲАҚИҚАТГА ЎХШАШЛИК НИСБАТИ СТАТИСТИКАСИ УЧУН
АСИМПТОТИК НАТИЖАЛАР ВА УЛАРНИНГ БАҲОЛАШ
НАЗАРИЯСИДА ҚЎЛЛАНИЛИШИ
01.01.05 – Эҳтимоллар назарияси ва математик статистика
ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАНЛАРИ БЎЙИЧА ФАЛСАФА ДОКТОРИ (PHD)
ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ
ТОШКЕНТ–2017
2
УДК: 517.24
Физика-математика фанлари бўйича фалсафа доктори (PhD)
диссертацияси автореферати мундарижаси
Оглавление автореферата диссертации
доктора философии (PhD) по физико-математическим наукам
Contents of dissertation abstract of doctor of philosophy (PhD) on
physical-mathematical sciences
Нурмухамедова Наргиза Сайдиллаевна
Ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси учун асимптотик натижалар
ва уларнинг баҳолаш назариясида қўлланилиши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Нурмухамедова Наргиза Сайдиллаевна
Асимптотические результаты для статистик отношения правдоподобия
и их использование в теории оценивания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Nurmukhamedova Nargiza Saydillaevna
Asymptotic results for the likelihood ratio statistics and its applications in
estimation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Эълон қилинган ишлар рўйхати
Список опубликованных работ
List of published works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3
ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ, МАТЕМАТИКА
ИНСТИТУТИ ҲУЗУРИДАГИ ИЛМИЙ ДАРАЖАЛАР
БЕРУВЧИ DSc.27.06.2017.FM.01.01 РАҚАМЛИ
ИЛМИЙ КЕНГАШ
ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ
НУРМУХАМЕДОВА НАРГИЗА САЙДИЛЛАЕВНА
ҲАҚИҚАТГА ЎХШАШЛИК НИСБАТИ СТАТИСТИКАСИ УЧУН
АСИМПТОТИК НАТИЖАЛАР ВА УЛАРНИНГ БАҲОЛАШ
НАЗАРИЯСИДА ҚЎЛЛАНИЛИШИ
01.01.05 – Эҳтимоллар назарияси ва математик статистика
ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАНЛАРИ БЎЙИЧА ФАЛСАФА ДОКТОРИ (PHD)
ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ
ТОШКЕНТ–2017
4
Физика-математика фанлари бўйича фалсафа доктори (Doctor of Philosophy)
диссертацияси мавзуси Ўзбекистон Республикаси Вазирлар Маҳкамаси ҳузуридаги Олий
аттестация комиссиясида В2017.2.PhD/FM46 рақам билан рўйхатга олинган.
Диссертация Ўзбекистон Миллий университетида бажарилган.
Диссертация автореферати уч тилда (ўзбек, рус, инглиз (резюме)) Илмий кенгаш веб-
саҳифасида (www.ik-fizmat.nuu.uz) ва «Ziyonet» Ахборот таълим порталида (www.ziyonet.uz)
жойлаштирилган.
Илмий раҳбар:
Абдушукуров Абдурахим Ахмедович
физика-математика фанлари доктори, профессор
Расмий оппонентлар:
Шарипов Олимжон Шукурович
физика-математика фанлари доктори
Имомов Аъзам Абдурахимович
физика-математика фанлари номзоди
Етакчи ташкилот:
Наманган Давлат Университети
Диссертация ҳимояси Ўзбекистон Миллий университети, Математика институти ҳузуридаги
DSc.27.06.2017.FM.01.01 рақамли Илмий кенгашнинг 2017 йил «___»_________ соат____ даги
мажлисида бўлиб ўтади. (Манзил: 100174, Тошкент ш., Олмазор тумани, Университет кўчаси,
4-уй. Тел.: (+99871) 227-12-24, факс: (+99871) 246-53-21, 246-02-24, e-mail: nauka@nuu.uz).
Диссертация билан Ўзбекистон Миллий университетининг Ахборот-ресурс марказида
танишиш мумкин (___ рақами билан рўйхатга олинган). (Манзил: 100174, Тошкент ш., Олмазор
тумани, Университет кўчаси, 4-уй. Тел.: (+99871) 246-02-24).
Диссертация автореферати 2017 йил «____» _______________куни тарқатилди.
(2017 йил «____» ___________ даги _______ рақамли реестр баѐнномаси).
А. Садуллаев
Илмий даражалар берувчи Илмий
кенгаш раиси, ф.-м.ф.д., академик
Ғ.И. Ботиров
Илмий даражалар берувчи Илмий
кенгаш илмий котиби, ф.-м.ф.н.
Ш.Қ.Форманов
Илмий даражалар берувчи Илмий
кенгаш қошидаги илмий семинар
раиси, ф.-м.ф.д., академик
5
КИРИШ (фалсафа доктори (PhD) диссертацияси аннотацияси)
Диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати.
Жаҳон миқѐсида
олиб борилаѐтган кўплаб илмий-амалий тадқиқотлар натижаларини
статистик таҳлил қилиш, ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасини
ўрганишга келтирилади. Гипотезаларни текширишнинг асосий масаласи
тажриба натижаларини фараз қилинаѐтган гипотезага мослигини текшириш
берилган гипотезани қабул қилиш ѐки рад этиш амалиѐтидан иборатдир.
Статистик гипотезаларни текшириш учун турли аниқ ва асимптотик
критерийлар мавжуд. Ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасига
асосланган критерийлар бошқа статистикаларга асосланган критерийларга
нисбатан оптималдир. Ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасининг
асимптотик хоссаларини тадқиқ этиш статистик баҳолаш ва гипотезалар
текширишнинг
асимптотик
назариясини
ривожлантиришда
муҳим
вазифалардан бири бўлиб қолмоқда.
Мустақиллик йилларида мамлакатимизда фундаментал фанларнинг
амалий тадбиққа эга бўлган эҳтимоллар назарияси ва математик
статистиканинг долзарб йўналишларига, жумладан тўла бўлмаган
кузатилмаларни статистик таҳлил қилишга алоҳида эътибор қаратилди.
Бунинг натижасида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасининг локал
асимптотик нормаллик хоссаси ва тўла бўлмаган кузатилмалар моделларида
хи-квадрат типидаги критерийларнинг асимптотик хоссаларини тадқиқ
қилиш бўйича салмоқли натижаларга эришилди. “Эҳтимоллар назарияси ва
математик статистика” фанининг устивор йўналишлари бўйича халқаро
стандартлар даражасида илмий тадқиқотлар олиб бориш асосий вазифалар ва
фаолият йўналишлари этиб белгиланди
1
. Қарор ижросини таъминлашда
статистик баҳолашнинг асимптотик назарияси, статистик гипотезалар
назарияси ва қарорларни қабул қилиш назарияларини ривожлантириш муҳим
аҳамиятга эга.
Ҳозирги кунда жаҳонда тўла бўлмаган кузатилмаларнинг турли
моделларида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасининг асимптотик
хоссаларини тадқиқ этиш математик статистиканинг долзарб масалаларидан
бири ҳисобланади. Бу борада тасодифий цензурланишнинг турли
моделларида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасининг локал
асимптотик нормаллиги хоссасини тадқиқ қилиш; ушбу хоссани статистик
баҳолаш назариясида қўллаш; тўлиқ бўлмаган кузатилмалар учун
умумлашган хи-квадрат типидаги статистика, ҳамда ушбу статистиканинг
асимптотик хоссаларини ўрганиш; номаълум параметрларни оптимал
баҳолаш; ҳақиқатга максимал ўхшашлик усули ва Байес типидаги
баҳоларнинг лимит тақсимотларини топиш мақсадли илмий тадқиқотлардан
ҳисобланади.
1
Ўзбекистон Республикаси Вазирлар Маҳкамасининг 2017 йил 18 майдаги “Ўзбекистон Республикаси
Фанлар академиясининг янгидан ташкил этилган илмий-тадқиқот муассасалари фаолиятини ташкил этиш
тўғрисида”ги 292-сон қарори
6
Ўзбекистон Республикаси Президентининг 2008 йил 15 июлдаги
ПҚ-916-сон «Инновацион лойиҳалар ва технологияларни ишлаб чиқаришга
татбиқ этишни рағбатлантириш борасидаги қўшимча чора-тадбирлар
тўғрисида»ги, 2017 йил 17 февралдаги ПҚ-2789-сон «Фанлар академияси
фаолияти, илмий-тадқиқот ишларини ташкил этиш, бошқариш ва
молиялаштиришни янада такомиллаштириш чора-тадбирлари тўғрисида»ги
Қарори ва 2017 йил 8 февралдаги ПФ-4947-сон «Ўзбекистон Республикасини
янада ривожлантириш бўйича харакатлар стратегияси тўғрисида»ги Фармони
ҳамда мазкур фаолиятга тегишли бошқа норматив-ҳуқуқий хужжатларда
белгиланган вазифаларни амалга оширишга ушбу диссертация тадқиқоти
муайян даражада хизмат қилади.
Тадқиқотнинг республика фан ва технологиялари ривожланиши
устувор йўналишларига боғлиқлиги.
Диссертация республика фан ва
технологиялар
ривожланишининг
IV.
«Математика,
механика
ва
информатика» устувор йўналиши доирасида бажарилган.
Муаммонинг ўрганилганлик даражаси.
Ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикаси А.А. Боровков, Ш. Закс, Э. Леман, Ф. Хампель,
П. Хьюберларнинг илмий ишларида ўрганилган. С. Уилкс томонидан
ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси логарифмининг иккилангани
асимптотик хи-квадрат тақсимотга эга бўлиши кўрсатилган. В. Воинов,
М. Никулин ва N. Balakrishnanларнинг илмий ишларида мослик
критерийларини қуриш учун хи-квадрат типидаги статистикаларининг
назарияси, усуллари ва қўлланилиши келтирилган. M.G. Habib ва
D.R. Thomasлар ўнг томондан тасодифий цензурланиш моделида тақсимот
функцияси учун Каплан-Мейер нопараметрик баҳосини қўллаб хи-квадрат
статистикасини қуришган ва тадқиқ этишган.
Дастлаб А.Вальд томонидан тўлиқ танланма учун ҳақиқатга ўхшашлик
нисбати статистикаси логарифмини Гаусс тақсимотига яқинлашиши
кўрсатилган. Л.Ле Камнинг илмий ишларида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикасининг локал асимптотик нормаллиги хоссаси ўрганилган.
Боғлиқсиз ва бир хил тақсимланган регуляр экспериментлар учун локал
асимптотик нормаллик хоссасини А.Вальд, Л. Ле Кам, Я.Гаеклар тадқиқ
этишган. Дж. Русас, И.А.Ибрагимов, Р.З.Хасьминскийлар локал асимптотик
нормаллик хоссаси ва контигуалликни ўрганишган.
Р. Фишер асимптотик нормал баҳолар учун асимптотик эффективлик
тушунчасини
киритган.
Я.Гаек
ҳақиқатга
ўхшашлик
нисбати
статистикасининг локал асимптотик нормаллик хоссаси ѐрдамида ҳақиқатга
максимал
ўхшашлик
усули
баҳосининг
асимптотик
минимакс
эффективлигини кўрсатган. А.А.Абдушукуров ва P.K.Sen томонидан тўлиқ
бўлмаган танланмалар хусусий моделларида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикасининг локал асимптотик нормаллик хоссаси ўрганилган.
Диссертация тадқиқотининг диссертация бажарилган олий таълим
муассасасининг илмий-тадқиқот ишлари режалари билан боғлиқлиги.
Диссертация тадқиқоти Ўзбекистон Миллий Университетининг Ф4-01
«Тақсимотлар функционал характеристикаларини баҳолаш усулларини
7
ишлаб чиқиш ва статистик баҳоларнинг асимптотик хоссаларини тадқиқ
қилиш» (2012-2016 йиллар) мавзусидаги илмий тадқиқот лойиҳаси доирасида
бажарилган.
Тадқиқотнинг мақсади
турли цензурланган рақобатдош таваккаллар
моделларида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаларининг асимптотик
хоссаларини тадқиқ этишдан иборат.
Тадқиқотнинг вазифалари:
ўнг томондан тасодифий ва гибрид цензурланишнинг рақобатдош
таваккаллар моделларида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасини
тадқиқ этиш;
кузатиладиган ва кузатилмайдиган интерваллар орқали тасодифий ва
информатив цензурланишнинг рақобатдош таваккаллар моделларида
ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасининг асимптотик ифодасини
топиш;
рақобатдош таваккаллар моделларида ҳақиқатга максимал ўхшашлик
усули ва Байес типидаги баҳоларни асимптотик хоссаларини тадқиқ этиш;
Тадқиқотнинг
объекти
тасодифий
цензурланган
рақобатдош
таваккаллар моделларида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасидан
иборат.
Тадқиқотнинг
предмети
ҳақиқатга
ўхшашлик
нисбати
статистикасининг асимптотик ифодаси, тўла бўлмаган танланмалар
моделларида хи-квадрат типидаги асимптотик критерийлардан иборатдир.
Тадқиқотнинг усуллари.
Тадқиқот ишида кучли ва кучсиз
аппроксимация, мартингаллар, ҳамда аналитик усуллардан фойдаланилган.
Тадқиқотнинг илмий янгилиги
қуйидагилардан иборат:
рақобатдош таваккаллар моделида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикасининг икки параметрли Винер жараѐнларининг стохастик
интеграллари билан аппроксимацияси исботланган;
ўнг томондан гибрид цензурланишнинг рақобатдош таваккаллар
моделларида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасининг локал
асимптотик нормаллик хоссаси исботланган;
икки томонлама тасодифий ва информатив цензурланишнинг
рақобатдош таваккаллар моделида эмпирик жараѐнлар учун кучли
аппроксимация усулларидан фойдаланиб, ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикаси учун асимптотик ифода топилган;
кузатилмайдиган интерваллар орқали тасодифий цензурланишнинг
рақобатдош таваккаллар моделларида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикасинининг локал ва текис локал асимптотик нормаллик хоссалари
исботланган;
ҳақиқатга максимал ўхшашлик усули ва Байес типидаги баҳоларнинг
асимптотик минимакс эффективлиги исботланган;
икки томонлама тасодифий цензурлаш моделида ҳақиқатга ўхшашлик
нисбати ва умумлашган хи-квадрат типидаги статистикаларининг лимит
тақсимотлари топилган;
8
Тадқиқотнинг амалий натижалари
ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикасининг
асимптотик
тақсимоти,
статистик
гипотезаларни
текширишда критик тўплами аниқланган.
Тадқиқот натижаларининг ишончлилиги.
Эҳтимоллар назарияси,
математик статистика назарияси, кучли ва кучсиз аппроксимация
усулларидан фойдаланилганлиги ҳамда математик мулоҳазалар ва
исботларнинг қатъийлиги билан асосланган.
Тадқиқот натижаларининг илмий ва амалий аҳамияти.
Тадқиқот
натижаларининг илмий аҳамияти тўлиқ бўлмаган танланмаларнинг турли
моделларида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси учун локал
асимптотик нормаллик хоссаси ўринлилиги кўрсатилганлиги билан
изоҳланади.
Тадқиқот натижаларининг амалий аҳамияти маълумотлар тўла бўлмаган
ҳолда қарорларни қабул қилиш назариясида, статистик баҳолаш ва
гипотезаларни текшириш назариясида, ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикаси учун локал асимптотик нормаллик хоссасини тадқиқ қилишда
асос сифатида хизмат қилиши билан белгиланади.
Тадқиқот натижаларининг жорий қилиниши.
Диссертация тадқиқоти
жараѐнида олинган илмий натижалар қуйидаги йўналишларда амалиѐтга
жорий қилинган:
тўла бўлмаган кузатилмалар учун умумлашган хи-квадрат типидаги
статистикаси ва унинг асимптотик хоссалари Ўзбекистон Республикаси
Давлат статистика қўмитаси кадрларни қайта тайѐрлаш ва статистика
тадқиқотлари маркази томонидан томонидан тадқиқ қилинаѐтган тасодифий
миқдорларнинг тақсимотларини топишда фойдаланилган (Ўзбекистон
Республикаси Давлат статистика қўмитасининг 2017 йил 25 августдаги
01/1-01-19/2-1039
сонли
маълумотномаси).
Илмий
натижаларнинг
қўлланилиши тўлиқ бўлмаган танланмалар учун статистик гипотезаларни
текшириш имконини берган.
кузатилмалар тўлиқ бўлмаган ҳолда статистик гипотезаларни текшириш
учун таклиф этилган умумлашган хи-квадрат критерийси, ҳамда ҳақиқатга
ўхшашлик нисбати статистикасининг асимптотик тақсимоти А-7-0-05 амалий
лойиҳада ифлосланган тупроқларнинг кимѐвий ва физикавий хоссаларини
ўзгариши билан боғлиқ сонли маълумотларни статистик таҳлил қилишда
фойдаланилган. (Ўзбекистон Республикаси Фан ва технологиялари агентли-
гининг 2017 йил 27 октябрдаги ФТА-02-11/952 сонли маълумотномаси).
Илмий натижаларнинг қўлланилиши яъни математик статистика усуллари
ифлосланган тупроқларнинг кимѐвий ва физикавий хоссаларини яхшилани-
ши
ҳамда
унумдорлигининг
тикланишида
тўғри
хулоса
чиқариш
имконини
берган.
Тадқиқот натижаларининг апробацияси.
Мазкур
тадқиқот натижа-
лари 27 та илмий-амалий анжуманларда, жумладан 12 та халқаро ва 15 та
республика илмий-амалий анжуманларида муҳокамадан ўтказилган.
Тадқиқот натижаларининг эълон қилинганлиги.
Тадқиқот мавзуси
бўйича жами 39 та илмий иш чоп этилган, шулардан, Ўзбекистон Респуб-
9
ликаси Олий Аттестация комиссиясининг фалсафа доктори диссертациялари
асосий илмий натижаларини чоп этиш тавсия этилган илмий нашрларда 12 та
мақола, жумладан, 4 таси хорижий ва 8 таси республика журналларида нашр
этилган.
Диссертациянинг тузилиши ва ҳажми.
Диссертация кириш қисми,
тўртта боб, хулоса ва фойдаланилган адабиѐтлар рўйхатидан ташкил топган.
Диссетациянинг ҳажми 120 бетни ташкил этган.
ДИССЕРТАЦИЯНИНГ АСОСИЙ МАЗМУНИ
Кириш
қисмида диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати
асосланган,
тадқиқотнинг
республика
фан
ва
технологиялари
ривожланишининг устивор йўналишларига мослиги кўрсатилган, мавзу
бўйича хорижий илмий-тадқиқотлар шарҳи, муаммонинг ўрганилганлик
даражаси келтирилган, тадқиқот мақсади, вазифалари, объекти ва предмети
тавсифланган, тадқиқотнинг илмий янгилиги ва амалий натижалари баѐн
қилинган, олинган натижаларнинг назарий ва амалий аҳамияти очиб
берилган, тадқиқот натижаларининг жорий қилиниши, нашр этилган ишлар
ва диссертация тузилиши бўйича маълумотлар келтирилган.
Диссертациянинг
«Ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси ва
унинг асимптотик хоссалари»
деб номланувчи биринчи бобида кузатилма-
лар тўлиқ бўлган ҳолда статистик моделларнинг локал асимптотик нормалли-
ги хоссасининг таърифи, локал нормал оилага мисол, уни умумий ҳолда
локал асимптотик нормаллик, ҳамда эҳтимоллик ўлчовларининг контигуал-
лиги билан алоқаси, турли цензурланишларнинг рақобатдош таваккаллар
мавжудлигида ҳосил бўладиган тўлиқ бўлмаган танланмалар моделлари,
турли статистик моделларда ҳосил бўладиган мартингаллар кетма-кетлиги ва
эмпирик жараѐнлар учун асосий тушунча ва натижалар келтирилади.
( )
( )
( )
( )
,
,{
,
} ,
n
n
n
n
s
P
E
-
1
( )
,
,
n
n
X
X
X
такрорий боғлиқ-
сиз танланмага мос келган статистик экспериментлар кетма-кетлиги бўлсин.
асосий гипотезани «яқин» алтернатива
1
:
n
n
H
да текширишда қуйидаги
ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасини кўрайлик
1
0
0
( )
( )
n
n
n
n
h
n
n
n
n
dP
X
L h
dP
X
бу ерда
1
0
0
,
n
n
n
h
1
n
s s
ўлчамли
n
матрицага тескари
матрица,
n
да
n
h
h
.
Таъриф 1.
,
n
P
оила
n
да
0
нуқтада локал асимптотик
нормаллик хоссасини қаноатлантиради дейилади, агар бирор хосмас
( )
матрица ва
n
h
h
векторлар кетма-кетлиги учун
0
0
1
1
exp
2
T
T
n
n
n
n
L
h
h
h
h
h
(1)
муносабат ўринли бўлса, бу ерда ихтиѐрий
h
учун:
0
n
P
эҳтимоллик
10
бўйича
n
да
0,
n
h
0
0
0
/
0;
n
n
P
N
L
, ҳамда
0
-
матрица хосмас,
h
га боғлиқ эмас. ■
Боғлиқсиз ва бир хил тақсимланган регуляр тажрибаларни ва
0
нуқтада хос бўлмаган Фишер информацияси
I
ни кўрайлик. Бу ҳолда
1/2
,
,
n
n
n
h
h
I
ва
1
2
1
log
;
n
i
o
n
o
i
f X
n
бўлсин, бу ерда
;
dP
f x
d
-
,
1,
i
X i
n
, кузатилмага мос
, ,{ ,
} ,
i
P
E
«бир
ўлчовли» тажриба зичлик функцияси.
,
,
n
n
h
ва
0
n
ларни
юқоридагидек танлашда Гаекнинг
2
қуйидаги тасдиғи ўринли.
Теорема 1 (Гаек).
1
, ҳамда
i
E
тажрибаларнинг эҳтимол зичлиги
;
f x
қуйидаги регулярлик шартларни қаноатлантирсин:
(I) барча
x
ларда
0
нуқтанинг бирор
0
U
атрофида
;
f x
функциялар
бўйича абсолют узлуксиз;
(II)
деярли барча
x
лар учун ҳар бир
0
U
да
;
/
f x
ҳосила мавжуд;
(III)
2
1
log
;
f X
I
M
Фишер информацияси
0
нуқтада
узлуксиз ва мусбат аниқланган;
У ҳолда зичлик функцияси
f
бўлган
( )
1
...
n
n
E
E
E
боғлиқсиз
тажрибаларга мос
( )
{
,
}
n
P
ўлчовлар оиласи (1) локал асимптотик
нормаллик хоссасини қаноатлантиради. ■
§ 1.2 да турли цензурланишларнинг рақобатдош таваккаллар
мавжудлигида ҳосил бўладиган тўлиқ бўлмаган танланмалар моделлари
келтирилади. § 1.3 да сановчи жараѐнлар орқали ҳосил бўлган мартингаллар
ва эмпирик жараѐнлар учун ѐрдамчи натижалар келтирилган.
Диссертациянинг
«Ўнг томондан тасодифий цензурланишнинг
рақобатдош таваккаллар моделларида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикаси учун асимптотик ифода»
деб номланувчи иккинчи бобида
рақобатдош таваккаллар модели, ҳамда ўнг томондан тасодифий цензурла-
нишнинг рақобатдош таваккаллар моделида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикаси учун локал асимптотик нормаллик хоссаси ва асимптотик нати-
жалар ўрнатилган. § 2.1 да сановчи жараѐнлар орқали ҳосил бўлган мартин-
галлар ѐрдамида рақобатдош таваккаллар моделида ҳақиқатга ўхшашлик
нисбати
статистикаси
учун
локал асимптотик нормаллик хоссаси исботланган.
X
қийматлари
( , )
ўлчовли фазода бўлган,
( , , )
P
эҳтимоллик
фазосида аниқланган тасодифий миқдор (т.м.) бўлсин.
( )
( ,
),
1, ,
i
X A
i
k
жуфтликни биргаликдаги хоссалари бизни қизиқтиради, бу ерда
(1)
( )
,...,
k
A
A
2
Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука. 1979.
11
лар
( )
1
(
)
1
k
i
i
P
A
тенглик ўринли бўлган жуфти билан боғлиқсиз ҳодисалар.
( )
( )
(
)
i
i
I A
лар
1,
i
k
, ҳодисалар индикаторлари бўлсин.
(1)
( )
( ,
,...,
)
k
X
векторнинг биргаликдаги тақсимоти номаълум параметр
аниқлигида
берилган
:
(1)
( )
(1)
(1)
( )
( )
( ,
,...,
)
(
,
,...,
),
k
k
k
Q x y
y
P X
x
y
y
бу
ерда
1
,
x
( )
{0,1},
i
y
1, ;
i
k
-
1
даги
очиқ тўплам. Ҳусусан, маргинал тақсимот-
ларни аниқлаймиз:
( ; )
(
)
H x
P X
x
ва
( )
( )
( ; )
(
,
1),
i
i
H
x
P X
x
1,
i
k
.
(1)
( )
...
1
k
ва
( )
( ; ),
1,
i
H
x
i
k
субтақсимотлар учун барча
ларда
(1)
( )
( ; ) ...
( ; )
( ; )
k
H
x
H
x
H x
тенглик
ўринли
эканлигини
осон
кўриш
мумкин.
Фараз қилайлик,
( ; )
H x
ва
( )
( ; ),
i
H
x
1,
i
k
тақсимотлар абсолют
узлуксиз бўлсин.
(1)
( )
( ,
,...,
)
k
X
векторнинг реализацияси, ҳажми
n
бўлган
қуйидаги танланмадан иборат:
(1)
( )
(
,
,...,
),
1,
k
j
j
j
j
Z
X
j
n
. (2)
Ушбу танланмани
( )
1
,
,
n
n
Z
Z
Z
орқали белгилаймиз. Интенсивлик
интеграл функцияларини киритамиз
( ; )
( ; )
log[1
( ; )],
1
( ; )
x
dH u
x
H x
H u
( )
( )
( ; )
( ; )
,
1,..., .
1
( ; )
x
i
i
dH
u
x
i
k
H u
Барча
1
( ; )
x
лар учун
(1)
( )
( ; ) ...
( ; )
( ; )
k
x
x
x
ўринли.
( )
( )
( ; ) 1 exp{
( ; )},
i
i
F
x
x
1,..., ,
i
k
бўлсин. У ҳолда барча
1
( ; )
x
ларда:
( )
( )
1
1
1
( ; )
exp{
( ; )}
[1
( ; )].
k
k
i
i
i
i
H x
x
F
x
( )
( )
( ; ) 1 exp
( ; )
i
i
F
x
x
тақсимот функциялар (т.ф.) абсолют узлуксиз ва уларнинг
( )
( ; )
i
f
x
,
1,
i
k
зичликлари мавжуд бўлсин.
( )
( )
( )
{
,
,
}
n
n
n
Q
-
(2) кузатилмалар яратган статистик тажрибалар кетма-
кетлиги бўлсин. Шу билан бирга,
орқали
X
т.м.нинг қийматлари тўплами-
ни белгилаймиз. У ҳолда
( )
( ) ( )
( )
( )
{
{0,1} }
{
{0,1} } ... {
{0,1} },
n
n
k
n
k
k
( )
{0,1}
{0,1} ... {0,1}
k
k
,
( )
n
-
( )
n
даги Борел тўпламлари
- алгебраси,
(0)
(1)
( )
( ,
,
,...,
)
k
Q x y
y
y
(
,
j
P
x
X
(1)
(1)
( )
( )
,...,
)
k
k
j
j
y
y
«бир
ўлчовли»
тақсимотларнинг
n
каррали кўпайтмаси
( )
n
Q
-
( )
( )
(
,
)
n
n
даги тақсимот. У
ҳолда
( )
n
Q
тақсимот
( )
n
ўлчовга нисбатан абсолют узлуксиз ва унинг зичлик
функцияси ҳар бир
да
( )
n
танланма фазода аниқланган, ҳамда
қуйидаги кўринишда ифодаланади:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
(
)
(
; )
(
; )·
[1
(
; )]
,
,
(
)
i
m
y
n
n
k
n
k
n
i
j
n
n
n
m
m
n
n
m
i
j
j i
dQ
z
p z
f
x
F
x
z
d
z
(3)
бу ерда
( )
( )
1
(
)
( ) ...
(
),
n
n
n
d
z
d
z
d
z
( )
(
)
,
i
m
m
m
y
d
z
dx
1, ,
i
k
1,
m
n
ва
( )
i
m
y
( )
{0,1}
i
m
y
,
1, ,
i
k
1,
m
n
нуқталарда аниқланган сановчи ўлчов.
12
Соддалик учун номаълум параметр
скаляр бўлган ҳолни кўрамиз,
бу ерда
-
1
даги очиқ тўплам. Қуйидаги регулярлик шартларини қараймиз:
(У1)
( )
( )
{ :
( ; )
0}
i
i
f
N
x f
x
тўплам
га боғлиқ эмас,
1,
i
k
;
(У2)
( )
( ; )
l
i
l
f
x
,
1, 2
l
ҳосилалар мавжуд ва
x
бўйича узлуксиз
1,
i
k
;
(У3)
( )
1
( )
( )
k
i
i
I
I
Фишер информацияси функцияси
бўйича
узлуксиз,
0
нуқтада мусбат ва
2
( )
( )
( )
( )
( )
1
( ; )
( )
1
( ; )
( ; )
( ; )
i
k
i
j
i
i
j
j i
s
I
F
s
dF
s
s
,
бу ерда
1
( )
( )
( )
( ; )
( ; ) 1
( ; )
i
i
i
x
f
x
F
x
. Ҳар бир
1
u
да
0
( )
n
u
n
бўлсин, бу ерда
1/2
0
( )
( )
n
nI
. Ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси
0
( )
( )
( )
( )
/
n
n
n
n
n
dQ
Z
dQ
Z
ни кўрайлик. Ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикаси учун қуйидаги локал асимптотик нормаллик хоссаси ўринли.
Теорема 2.
(У1)-(У3) регулярлик шартларида ҳақиқатга ўхшашлик
нисбати статистикаси учун қуйидаги муносабат ўринли
0
( )
( )
2
( )
( )
(
)
exp{
( )},
(
)
2
n
n
n
n
n
n
n
dQ
Z
u
u
R u
dQ
Z
(4)
бу ерда
2
( )
( )
0
( )
1
1
0
( ;
( ) )
( )
( ),0
1
( ;
( ) )
i
n
k
i
n
m
i
m
i
s
u
n
n
d
s
s
u
n
,
n
да
0
/
0;1
n
n
Q
N
L
ва
0
( )
0
n
Q
n
R u
.
§ 2.2 да ўнг томондан цензурланиш схемаси т.ф. си номаълум бўлган
т.м.лар кетма-кетлиги орқали амалга оширилган рақобатдош таваккаллар
модели кўрилади. § 2.2 даги асосий натижани исботлашда тўлик
кузатилмалар учун классик холдаги локал асимптотик нормаллик ҳолидан
фарқли равишда рақобатдош таваккаллар моделидаги эмпирик жараѐнлар
икки параметрли Кифер
3
жараѐнлари кетма-кетлиги билан кучли
аппроксимацияси
усулидан
фойдаланилди
ва
бунда
асосий
аппроксимацияловчи
n
статистика танланма хиссалари орқали Ито
стохастик интеграллари йиғиндиси кўринишида ифодаланади. § 2.3 да ҳам
ўнг томондан тасодифий цензурлашнинг рақобатдош таваккаллар модели
кўрилади, аммо § 2.2 дагидан фарқли ҳолда бу ерда цензурланиш махсус
танланган тасодифий тўхташ
n
моменти орқали амалга оширилади.
Рақобатдош таваккаллар моделида
( )
i
H
субтақсимотлар абсолют
узлуксиз, ҳамда
( )
i
h
зичликларга эга деб фараз қиламиз. Интенсивлик
3
Komlös J., Major P., Tysnady G. An approximation of partial sums of independent random variables and the
sample d.f.// Z. Wahrscheinlich. verw. Gebiete. 1975. v.32. p.111-132.
13
функцияларини
киритамиз:
( )
( ; )
i
x
( )
( ; ) / (1
( ; )),
i
h
x
H x
( ; )
( ; ) / (1
( ; ))
x
h x
H x
(1)
( )
( ; ) ...
( ; ),
k
x
x
1
( ; )
x
.
(1)
( )
{(
,
,...,
),
1}
k
j
j
j
X A
A
j
- боғлиқсиз кетма-кетлик
(1)
( )
( ,
,...,
)
k
X A
A
тўпламнинг такрорланиши бўлиб,
тажрибанинг
n
-қадамида
n
ҳажмдаги қуйидаги танланма кузатилади:
1
(
,...,
),
n
Z
Z
бу ерда
(1)
( )
(
,
,...,
),
k
j
j
j
j
Z
X
( )
( )
(
),
i
i
j
j
I A
1, ,
1, .
i
k j
n
1
2
...
n
n
nn
X
X
X
-
1
{
,...,
}
n
X
X
т.м.лар орқали тузилган вариацион қатор
бўлсин.
(1)
( )
{
,...,
,
1, }
k
jn
jn
j
n
орқали танланмадаги
{
,
1, }
jn
X
j
n
варианталарга
мос индикаторларни белгилаймиз.
( )
(0)
1
0
(
,...,
),
1,..., ;
0
m
n
mn
n
m
n
(5)
бўлсин, бу ерда
(1)
( )
(
,
,...,
).
k
jn
jn
jn
jn
X
( )
( )
( )
(
,
,
)
n
n
n
Q
орқали (5) кузатилмалар орқали яратилган статистик
тажрибалар кетма-кетлигини белгилаймиз.
( )
{
,
,
1}
n
Q
n
ўлчовлар оиласи
( )
1
...
n
n
ўлчовга
нисбатан
абсолют
узлуксиз,
бу
ерда
(1)
( )
(
)
...
,
k
m
m
m
m
y
y
d
d
x
ўлчов
да,
( )
i
m
y
лар эса
( )
{0,1},
1, ;
1, ,
i
m
y
i
k m
n
нуқталарда аниқланган сановчи ўлчовлардир. Унинг зичлиги қуйидагича
аниқланади
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
(
)
(
; )
[
(
; )]
(
)
i
m
n
n
k
n
y
n
i
n
m
n
n
m
i
dQ
q
h
x
d
. (6)
Қуйидаги статистик схемани кўрамиз:
j
X
ўнгдан
rn
rn
T
T
X
т.м. орқа-
ли цензурланади, бу ерда
T
- фиксирланган вақт моменти ва
rn
X
эса вариа-
цион қаторнинг
(0
)
r
r
n
ҳади. Ушбу схемани
, ,
k
n r T
гибрид модел деб
атаймиз. Ушбу модель рақобатдош таваккаллар моделини ўз ичида олади,
хусусан
, ,
,
k
k
n n T
n T
ва
, ,
,
k
k
n r
n r
ҳолларда рақобатдош таваккал-
ларнинг мос равишда I ва II тур цензурлаш моделлари ҳосил бўлади. Таъкид-
лаш лозимки,
, ,
k
n r T
моделда кузатиладиган
j
X
ларнинг сони т.м. бўлади:
1
sup{ :
,
}, агар
,
0, акс холда.
mn
n
n
m X
T m
r
X
T
Кузатилаѐтган
( )
,
Z
вектор бўлиб, бу ерда
( )
1
,...,
n
n
Z
Z
Z
.
( )
,
Z
векторнинг биргаликдаги тақсимот зичлиги қуйидаги кўринишда берилади
( )
( )
( )
1
1
1
!
,
(
; )
1
( ; )
...
,
,
!
i
l n
k
y
n
i
n
in
rn
n
rn
l
i
n
p Z
h
x
H t
I x
x
r
n
(7)
бу ерда
rn
rn
t
x
T
ва
0
1
1
l
.
*
*
( )
( )
1
(
,
)
(
,
)
j
j
j
бўлсин.
*
*
(
,
)
даги эҳтимоллик тақсимоти
Q
ларнинг кўпайтмаси бўлиб,
M
эса
га нисбатан математик кутилма
оператори бўлсин.
,
n m
U
орқали (5) векторлар яратган
- алгебраларни
14
белгилаймиз.
{ ,
1}
n
n
эса юқорида келтирилган тўхташ моментлари кетма-
кетлиги бўлсин.
,
n
орқали
ўлчовни
,
n
n
U
- алгебрага торайишини
белгилаймиз. Бизни
n
сатҳда ўнгдан цензурланган
(
)
n
танланмага мос
,
{
,
}
n
эҳтимоллик ўлчовлари оиласи учун локал асимптотик нормаллик
хоссаси қизиқтиради.
(
)
m
векторнинг биргаликдаги зичлиги
( )
( )
( )
1
1
!
(
; )
{[
( ; )] }[1
(
; )]
(
)!
i
ln
m
k
y
m
i
n m
n
ln
mn
l
i
n
p z
h
z
H z
n
m
(8)
формула орқали берилади, бу ерда
( )
1
(
,...,
)
m
n
mn
z
z
z
-
(
)
m
векторнинг
реализацияси.
(8)
зичликни
маънога
эга
қилувчи
тўплами
( )
,
1
{
: 0
...
}
m
n m
n
mn
N
z
z
z
бўлади.
,
1
(
/
)
mn
n m
u z
U
-
mn
Z
нинг
,
1
n m
U
-
алгебрага нисбатан шартли зичлик функция бўлсин. У ҳолда (8) га кўра
1,
mn
m
n
z
Z
учун қуйидаги ўринли эканини кўриш қийин эмас:
( )
( )
,
1
1
1
1,
[
(
; )] [1
(
; )]
(
/
)
(
1)
.
[1
(
; )]
i
mn
y
i
n m
k
mn
mn
mn
n m
n m
i
m
n
h
z
H z
u z
U
n
m
H z
(9)
(8) ва (9) ни инобатга олиб,
(
)
(
1)
,
1
,
1
1
(
; )
(
; )
(
/
)
(
/
)
m
m
m
n
n
mn
n m
ln
n l
l
p z
p z
u z
U
u z
U
(10)
га эга бўламиз.
Берилган
1
u
учун
1/2
0
n
un
кетма-кетликни аниқлаймиз.
1,
m
n
учун ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасини киритамиз:
0
0
( )
( )
,
, 1
,
( )
( )
1
,
0
, 1
(
/
)
(
;
)
( )
.
(
;
)
(
/
)
n
n
m
m
m
n
ln
n l
n
n
n m
m
m
l
n
n
ln
n l
d
u
z
U
p z
l
u
d
p z
u
z
U
(11)
Ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси (11) учун локал асимптотик
нормалликни исботлаш доир регулярлик шартларини келтирамиз:
(У1)
( )
( )
{
{
0 :
( ; )
0},
1, }
i
i
h
N
x
h
x
i
k
тўпламлар
га боғлиқ эмас;
(У2)
( )
1, }
,
{
i
h
i
k
зичликлар
бўйича узлуксиз дифференциалланувчи
ва
( )
,
1
(
)
,
;
i
h
i
k
x
ҳосилалар барча
0
( ; )
x
U
ларда текис
чегараланган, бу ерда
0
U
-
0
нинг атрофи;
(У3) Деярли барча
x
да
ўлчовга нисбатан
( )
0
log
( ;
)
,
1,
i
x
i
k
функциялар дифференциалланувчи;
(У4) Барча
1,
i
k
лар учун шундай
0
сон мавжудки:
0
0
2
2
( )
( )
0
0
log
(
;
)
log
(
;
)
,
;
i
i
X
h
X
M
M
(У5) Барча
1,
i
k
лар учун
n
да
0
Q
n
n
ўринли бўладиган
(0,1]
15
сон мавжудки:
1
0
2
( ;
)
( )
( )
( )
0
0
0
0
log
( ;
)
( )
( ;
)
0,
H
i
i
i
x
I
I
dH x
бу ерда
1
0
( ;
)
H
-
0
( ;
)
H x
тақсимотнинг
тартибли квантили;
(У6) Ҳар бир
1,
m
n
да
1,
,
1
( /
)
( )
m
n
n m
z
u z U
d
z
функциялар
бўйича
интеграл белгиси остида
0
нуқтада дифференциалланувчи;
(У7) Ҳар бир
1
u
да
0
1,
0
2
1/ 2
1/ 2
,
1
,
1
1
|
|
0
1
lim
sup
{ ( /
)}
{
( /
)}
( )
0,
m
n
n
n m
n m
n
u
m
z
n
M
u z U
u
z U
d
z
n
бу ерда
0
0
1/2
1/2
,
1
,
1
0
{
( /
)}
{ ( /
)}
.
n m
n m
u
z U
u z U
1,
m
n
лар
учун
қуйидаги
белгилашлардан
фойдаланамиз:
( )
0
,
log
(
;
)
,
m
n
n m
p
0
2
,
,
.
n
n
n
n
I
M
,
{
,
1}
n
n
n
статистикаларнинг асимптотик
хоссаларини тадқиқ этамиз, бу ерда
1/2
,
,
,
n
n
n
n
n
n
I
.
(1)
( )
...
k
I
I
I
бўлсин.
Теорема 3.
(У1) - (У7) шартлар ўринли эканида ҳар бир
1
u
да
ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси учун қуйидаги муносабат ўринли:
2
1/2
,
,
( )
exp{
( )},
2
n
n
n
n
n
u
l
u
uI
I
R u
(12)
бу ерда
n
да
0
( )
0
Q
n
R u
,
0
,
(
/
)
( ),
n
n
Q
L
L
ва
(0,1)
D
N
. ■
Изоҳ 1.
(12) ифода
0
( )
{
,
}
n
Q
ўлчовлар оиласига
0
нуқтада локал
асимптотик нормалликни таъминлайди. Бу ҳолда ҳар бир
1
u
ва
n
да:
0
,
(
/
)
( ( )),
n
n
l
Q
l u
L
L
(13)
,
(
/
)
( ( )),
n
n
n
l
Q
l u
L
L
(14)
бу ерда
2
1/2
0
0
( )
exp{
( )
( )}
2
u
l u
uI
I
. (13) яқинлашиш тўғридан-тўғри (12)
нинг натижаси, (14) эса Ле Камнинг 2-леммаси ва
( )
{
,
1}
n
n
Q
n
эҳтимоллик
ўлчовлари оиласининг
0
( )
{
,
1}
n
Q
n
оилага нисбатан контигуаллигидан келиб
чиқади. ■
Диссертациянинг
«Икки томонлама тасодифий цензурланишнинг
рақобатдош таваккаллар моделларида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикаси учун асимптотик ифода»
деб номланувчи учинчи боби икки
томонлама тасодифий цензурлашнинг рақобатдош таваккаллар моделида
ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси учун локал асимптотик
норммаллик хоссасини ўрнатишга бағишланган. У учта параграфдан иборат.
§ 3.1 да эмпирик жараѐнлар учун кучли аппроксимация усулларидан
фойдаланиб, икки томонлама тасодифий цензурлашнинг рақобатдош
таваккаллар моделида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси учун
16
асимптотик ифода ўрнатилган. Ушбу параграфда иккита теорема
исботланган бўлиб, биринчи теоремада “тўлиқ” ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикаси тадқиқ этилган, ҳамда у § 2.2 даги натижани умумлаштиради,
иккинчи теоремада эса умр давомийлиги функцияси учун даражали нопара-
метрик баҳодан фойдаланиб “кесилган” ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикаси тадқиқ этилади. Бу ерда аппроксимацияловчи асосий статис-
тика боғлиқ стохастик интеграллар йиғиндиси кўринишида ифодаланади.
Рақобатдош таваккаллар моделида
(1)
( )
( ,
,...,
)
k
X A
A
тўплам ўнг ва чап
томондан мос равишда тақсимот функциялари
( )
K y
ва
1
( ),
,
G y
y
бўлган
абсолют узлуксиз
Y
ва
L
т.м.лар орқали цензурланади.
, ,
X Y L
т.м.лар
тўплами боғлиқсиз бўлсин. Кузатилаѐтган
( 1)
(0)
(1)
( )
( ;
,
,
,...,
)
k
Z D
D
D
D
тўплам
бўлиб, бу ерда
(
)
Z
L
X
Y
,
( 1)
{ :
( )
( )
( )}
D
X
Y
L
,
(0)
{ :
D
( )
( )
( )}
L
Y
X
ва
( )
( )
{ : ( )
( )
( )}
i
i
D
A
L
X
Y
,
1,...
i
k
.
( 1)
(0)
(1)
( )
{
,
,
,...,
}
k
D
D
D
D
ҳодисалар ҳам
(1)
( )
,...,
k
A
A
ҳодисаларнинг хоссалаларига
эга. Ушбу моделда
Y
,
L
т.м.лар ва уларга мос
K
,
G
тақсимот функциялар
ҳалақит берувчи ҳисобланади.
( 1)
(0)
(1)
( )
1
,
,
;
,
,
,...,
k
j
j
j
j
j
j
j
j
X L Y D
D
D
D
- кетма-кетлик
( 1)
(0)
(1)
( )
( , , ;
,
,
,...,
)
k
X L Y D
D
D
D
тўпламнинг боғлиқсиз нусхалари кетма-кетлиги
бўлсин ва тажрибанинг
n
-қадамида
n
ҳажмдаги бўлган қуйидаги танланма
кузатилади:
( )
1
2
( ,
,...,
)
n
n
Z
Z Z
Z
, (15)
бу ерда
( 1)
(0)
(1)
( )
(
;
,
,
,...,
)
k
j
j
j
j
j
j
Z
Z
,
(
)
j
j
j
j
Z
L
X
Y
ва
(
)
(
)
(
)
i
i
j
j
I D
,
-1,0,1,...,
i
k
. (15) танланмада бизни қизиқтирадиган
( )
(
;
)
i
j
j
X
A
жуфтлик фақат
( )
1
i
j
,
1,...,
i
k
бўлган ҳолдагина кузатилади.
{
Y
( )
n
,
U
( )
n
,
( )
n
Q
} -
(15) танланма орқали яратилган статистик тажрибалар
кетма-кетлиги бўлсин.
Z
орқали
Z
т.м.нинг қийматлари тўпламини
белгилаймиз, у ҳолда
Y
( )
n
(
2) ( )
(
2)
(
2)
{
{0,1}
}
{
{0,1}
} ... {
{0,1}
}
n
k
n
k
k
Z
Z
Z
,
2
(
2)
{0,1}
{0,1} ... {0,1}
k
k
,
U
( )
n
-
Y
( )
n
даги Борель тўпламлари
-алгебраси,
( )
n
Q
тақсимот (
Y
( )
n
,
U
( )
n
) даги «бир ўлчовли»
( 1)
(0)
(1)
( )
( ,
,
,
,...,
)
k
Q x y
y
y
y
( 1)
( 1)
(
,
,
j
j
P Z
x
y
(0)
(0)
(1)
(1)
( )
( )
,
,...,
)
k
k
j
j
j
y
y
y
тақсимотларнинг
n
каррали кўпайтмасидан иборат.
( )
( ; )
i
f
x
-
( )
( ; )
i
F
x
,
1,
i
k
тақсимотнинг
зичлик функцияси бўлсин. У ҳолда
( )
n
Q
тақсимот
( )
n
ўлчовга нисбатан
абсолют узлуксиз бўлиб, унинг зичлиги ҳар бир
да
Y
( )
n
танланма
фазода аниқланган ва қуйидаги формула орқали берилади:
( 1)
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
(
)
(
; )
( )(1 (1
( ))(1
( ; )))
(
)
m
n
n
n
k
y
n
n
m
m
m
n
n
m
i
dQ
z
p z
g z
K z
H z
d
z
( )
( )
( )
1
( )(1
( ))
( ; )
[1
( ; )]
i
m
y
k
i
j
m
m
m
m
j
j i
G z
K z
f
z
F
z
( 0 )
( ) ( )(1
( ; ))
,
m
y
m
m
m
G z k z
H z
( )
n
z
Y
( )
n
,
(16)
17
бу ерда
( )
( ), ( )
( )
k x
K x
g x
G x
зичликлар ва
( )
( )
1
(
)
(
) ...
(
)
n
n
n
d
z
d
z
d
z
,
( )
(
)
i
m
m
m
y
d
z
dx
,
1,0,
i
k
,
1,
m
n
, ҳамда
( )
i
m
y
лар
( )
{0,1}
i
m
y
нуқталарда
аниқланган сановчи ўлчовлар. (16) га кўра, ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикасини аниқлаймиз:
( )
( 1)
( 0 )
0
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
0
0
0
(
)
(
;
)
(
;
)
1
(
;
)
,
(
;
)
(
;
)
1
(
;
)
(
)
i
m
m
m
n
y
y
y
n
n
i
n
k
m
n
m
n
m
n
i
n
n
m
i
m
m
m
dQ
Z
h
z
z
H z
h
z
z
H z
dQ
Z
бу ерда
( ; ) 1 (1
( ))(1
( ; ))
x
K x
H x
. Унинг логарифмини аниқлаймиз:
0
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
0
(
)
( ;
)
( )
log
log
( )
( ;
)
(
)
n
n
n
i
k
i
n
n
n
i
n
n
i
dQ
Z
h
x
L u
n
dT
x
h
x
dQ
Z
( 1)
(0)
0
0
( ;
)
1
( ;
)
log
( )
log
( )
( ;
)
1
( ;
)
n
n
n
n
x
H x
dT
x
dT
x
x
H x
,
бу ерда
( )
( )
1
1
( )
(
,
1),
1,0,1,..., .
n
i
i
n
m
m
m
T
x
I Z
x
i
k
n
Регулярлик шартларини келтирамиз:
(У1)
( )
( )
{ :
( ; )
0},
i
i
f
N
x f
x
1,
i
k
тўпламлар
га боғлиқ эмас ва
( )
1
i
k
f
i
N
тўплам бўш эмас;
(У2) Ихтиѐрий иккита
1
2
,
,
1
2
нуқталар ва
( )
i
f
x
N
учун
( )
( )
1
2
( ; )
( ;
)
i
i
f
x
f
x
,
1,...,
i
k
;
(У3) Барча
x
лар учун
( )
( ; ) /
,
l
i
l
f
x
1, 2;
l
1,...,
i
k
ҳосилалар мавжуд
ва чекли, ҳамда
( )
|
( ; ) /
|
,
1, 2;
1,...,
l
i
l
f
x
dx
l
i
k
;
(У4)
( )
( )
0
0
log
( ;
)
log
( ;
)
,
,
1,
i
i
f
x
h
x
i
k
лар
вариациялари
чегараланган функциялар;
(У5) Фишер информацияси
2
2
( )
( )
( 1)
1
log
( ; )
log ( ; )
( )
( ; )
( ; )
i
k
i
i
h
x
x
dT
x
dT
x
2
(0)
log(1
( ; ))
( ; ),
H x
dT
x
чекли ва
0
нуқтада мусбат, бу ерда
( )
( )
( ; )
( ),
i
i
n
T
x
M T
x
1,0,1,...,
i
k
.
(15) танланманинг Фишер информацияси
( )
n
га тенг.
Теорема 4.
(У1)-(У5) регулярлик шартлари ўринли бўлсин. У ҳолда ҳар
бир
1
u
да ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси учун қуйидаги
ифода ўринли:
0
( )
( )
2
0
( )
( )
(
)
exp{
( )
( )},
2
(
)
n
n
n
n
n
n
n
dQ
Z
u
u
R u
dQ
Z
бу ерда
18
( )
1/2
( )
1/2
( 1)
0
0
1
1
log
( ;
)
log ( ;
)
(
( ); )
(
( ); )
i
k
i
n
i
i
h
x
x
dn
W T
x n
dn
W T
x n
1/2
(0)
0
0
log(1
( ;
))
(
( ); )
H x
dn
W T
x n
ва
n
да
( )
0
n
R u
0
( )
n
Q
-эҳтимоллик бўйича. Бу ерда
( ; )
i
W y n
-
[0,1] (0, )
даги икки параметрли Винер жараѐнлари, ҳамда
1
(
,...,
)
k
W
W
векторнинг
компоненталари боғлиқсиз.
Изоҳ 2.
i
W
тасодифий жараѐнларнинг хоссаларига кўра
n
т.м.лар
боғлиқсиз стохастик Ито интеграллари йиғиндисидан иборат ва тақсимоти
бўйича мос
0
(0, ( ))
N
нормал тақсимот билан тақсимланган т.м. билан
устма-уст тушади. Демак,
0
(0, ( )).
D
n
N
(17)
(17) га кўра, теорема 4 ни қуйидаги кўринишда ѐзиш мумкин:ҳар бир
1
u
да
2
1/2
0
0
( )
( )
( )
( ).
2
n
n
u
L u
u
R u
(18)
Бу ерда
-стандарт нормал т.м. ва тенглик
0
( )
n
Q
тақсимот маъносида
тушунилади. Демак, (18) дан локал асимптотик нормаллик келиб чиқади.
Рақобатдош таваккаллар моделида бизни
i
–рискга мос
( )
i
A
ҳодиса
қизиқтиради. Масалан, агар боғлиқсиз
( )
{
,
1, }
i
Y
i
k
т.м.лар учун
(1)
( )
min{
,...,
}
k
X
Y
Y
ва
( )
( )
(
)
i
i
I X
Y
бўлса, у ҳолда бизни қизиқтирадиган
( )
i
Y
т.м.лар ўнг томондан
( )
min{
,
1, ;
}
j
Y
Y
j
k j
i
т.м.лар билан
цензурланади. Бу ҳолда
( )
i
F
тақсимотдан ташқари қолган тақсимотларни
ташлаб юбориб, (16) кўринишдаги ҳақиқатга ўхшашлик функцияси ўрнига
қуйидаги унинг кесилган версиясини кўриш мумкин:
( )
1
1
( )
(
; ),
1,..., ;
.
n
k
i
n
m
m
i
f
z
i
k
У ҳолда
( )
n
L u
ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси логарифми
логарфми ўрнига қуйидаги статистикани тадқиқ этамиз:
( )
*
( )
( )
1
0
( ;
)
( )
log
( ),
1,..., ,
( ;
)
n
T
i
k
i
n
n
n
i
i
f
x
L u
n
dF
x i
k
f
x
(19)
бу ерда
( )
( )
i
n
F
x
- А.Абдушукуров томонидан
( )
( )
0
( ;
)
( )
i
i
F
x
F
x
шартли
тақсимот учун таклиф этилган ва тадқиқ қилинган даражали баҳо:
( ; )
( )
( )
( )
1
,
1,..., ;
,
( )
n
R
x i
i
n
n
n
q x
F
x
i
k x
q
(20)
ва
{[ ,
],
1}
n
T
n
интерваллар кетма-кетлиги мос равишда танланади. (20)
формулага кирувчи статистикалар қуйидаги формулалар билан аниқланади:
( 1)
( )
( )
(
)
( ),
n
n
n
n
q x
G x
N x
T
x
( 1)
( )
( )
exp
,
(
)
n
n
x
n
dT
u
G x
N u
19
1
( )
( )
( ; )
( )
,
( )
x
i
n
n
n
n
dq u
R x i
x
q u
( )
( )
( )
( )
,
,
1,..., .
( )
i
i
n
n
x
n
dT
u
x
x
i
k
q u
( )
( )
( )
( )
0
0
0
( )
( ;
),
( )
( ;
),
( )
( ;
),
i
i
i
i
N x
N x
T
x
T
x
x
x
i
I
бўлсин.
Гаусс
жараѐнларининг
( )
( )
( )
{
( )
(1
( ))
( ),
1, ;
}
i
i
i
n
n
x
F
x N
x i
k x
кетма-кетликларини
киритамиз, бу ерда
( )
( )
( )
( )
2
(
( )
( ))
( )
( )
( )
( )
( ( )
( ))
( )
( )
( )
( )
i
i
i
x
i
n
n
n
n
n
B u
u dT
u
B
x
B
N
x
G u
N u
G x
N x
G
N
( )
2
( ) ( ( )
( ))
( ( )
( ))
i
x
n
B
u d G u
N u
G u
N u
ва
( 1)
( 1)
( 1)
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
x
x
B u dT
u
B
x
B
u dN u
x
G x
N u
N x
N u
мос равишда
( )
1/2
( )
( )
( )
(
( )
( ))
i
i
i
n
n
m
x
n
x
x
ва
*
1/2
( )
(
( )
( )),
n
n
x
n
G x
G x
x
жараѐнлар учун
аппроксимацияловчи жараѐнлар бўлади. Бунда
( )
{
( ),
1,0, }
m
n
B
x m
k
ва
{
( )}
n
B x
Гаусс жараѐнлари Броун типидаги жараѐнлар бўлади, яъни ҳар бир
фиксирланган
1
n
да:
( )
1/2
( )
( )
( ; )
(
( )),
1,0, ;
D
D
m
m
n
m
B
x
n
K
x n
B T
x
m
k
1/2
( )
( ; )
( ( )).
D
D
n
B x
n
K x n
B N x
( 1)
(0)
( )
2
1
0
( )
(
(
),
(
),
( ),...,
( ))
k
n
n
n
n
n
k
v
B v
B
v
B
v
B
v
вектор учун
1/2
(
log )
O n
n
тартибдаги
Бюрка-Чѐрге-Хорват
4
типидаги аппроксимация ўринли. Уни инобатга олиб,
А.Абдушукуровнинг
(1)
( )
1
( )
(
( ),...,
( ))
k
n
n
n
k
V v
V
v
V
v
векторни
(1)
( )
1
( ) (
( ),...,
( ))
k
n
n
n
k
v
v
v
,
1
( ,...,
)
k
k
v
v
v
R
Гаусс вектори билан аппроксимациясини келтирамиз, бу
ерда
( )
( )
i
n
V
x
1/2
( )
( )
(
( )
( ))
i
i
n
n
F
x
F
x
. Белгилаймиз
0
( )
N
,
(1
( )) ( )
n
n
T
G
ва
[ ,
]
[ ,
] ... [ ,
]
k
n
n
n
T
T
T
-
k
-ўлчовли куб бўлсин.
Теорема 5.
5
Берилган
0
да қуйидаги тенгсизлик ўринли бўлсин
1/2
1/2
2
0
0
log
log
2(1
)
,
64 (1
)
.
2
n
n
n
n
n
У ҳолда
1/2
(1
)
0
[ ,
]
sup
( )
( )
log
,
k
n
k
n
n
n
v
T
P
V v
v
R n
n
kCn
бу ерда
0
0
0
( ,
,
)
n
n
R
R
ва
С
(абсолют) ўзгармас.
( )
{
( ; ),
1, }
i
a
x
i
k
- ўлчовли функциялар,
n
да аниқ тезлик билан
n
T
ва
1/ 2
log log
( )
n
n
n
бўлсин.
(19) статистикани тадқиқ қилиш учун қуйидаги шартларни ҳам
киритамиз:
(У6)
( )
i
F
тақсимотларга мос Фишер информациялари
2
( )
( )
( )
log
( ; )
( )
( ; ),
1,...,
i
i
i
f
x
I
dF
x
i
k
-
0
нуқтада чекли ва мусбат.
4
Burke M.D., Csörgő S., Horváth L. Strong approximations of some biometric estimates under random censorship.//
Z. Wahrscheinlich. verw. Gebiete. 1981. v.56. p.87-112.
5
Абдушукуров А.А. Статистика неполных наблюдений. Ташкент: Университет. 2009.
20
(У7)
{ ,
1}
n
T n
сонли кетма-кетлик учун барча
1,...
i
k
ларда қуйидаги
шарт ўринли:
( )
0
sup
( ;
) ( )
(1),
n
i
x T
a
x
n
o
n
,
( )
( )
0
( ;
)
( )
i
i
a
x
dF
x
,
бу ерда
2
( )
( )
0
1
0
log
( ;
)
( ;
)
i
i
f
x
a
x
ва
2
( )
( )
0
2
0
2
( )
0
( ;
)
1
( ;
)
.
( ;
)
i
i
i
f
x
a
x
f
x
(1)
( )
( )
( ) ...
( )
k
I
I
бўлсин.
Теорема 6.
( )
{
( ; ),
1, }
i
f
x
i
k
зичликлар учун (У1)-(У4) ва (У6), (У7)
регулярлик шартлари ўринли бўлсин. У ҳолда теорема 5 ни шартида ҳар бир
1
u
да қуйидаги ифода ўринли
2
*
*
*
0
( )
( )
( ),
2
n
n
n
u
L u
u
R u
бу ерда
( )
*
( )
1
log
( ; )
( )
n
T
i
k
i
n
n
i
f
x
d
x
ва
n
да
( )
n
n
Q
эҳтимоллик билан
*
( )
0
n
R u
.
§ 3.2 да икки томонлама информатив цензурланишнинг рақобатдош
таваккаллар моделида, яъни цензурланаѐтган т.м. тақсимот функцияси
цензурлаѐтган т.м. тақсимот функцияси орқали даражали ифодаланган ҳолда
худди шундай кучли аппроксимация усули ѐрдамида ҳақиқатга ўхшашлик
нисбати статистикаси тадқиқ қилинган.
§ 3.3 да интервал орқали кузатилмайдиган тасодифий цензурланишнинг
рақобатдош
таваккаллар
моделида
ҳақиқатга
ўхшашлик
нисбати
статистикаси учун локал асимптотик нормаллик ва текис асимптотик
нормаллик хоссаси ўрнатилган. Қуйидаги статистик схемани кўрайлик:
рақобатдош таваккалллар моделида
(1)
( )
(
,
,...,
)
k
j
j
j
X
A
A
тўплам
1
2
[
,
]
j
j
Y Y
интервалда кузатилмайди, бу ерда
1
2
{(
,
),
1}
j
j
Y Y
j
- биргаликдаги тақсимот
функцияси
( , )
G u v
,
2
( , )
u v
(номаълум параметр
s
га боғлиқ
бўлиши ҳам мумкин) бўлган боғлиқсиз ва бир хил тақсимланган тасодифий
векторлар кетма-кетлиги. Бу ерда
1
2
(
)
1
j
j
P Y
Y
ва
(1)
( )
(
,
,...,
)
k
j
j
j
X
A
A
тўпламлар
1
2
(
,
),
1
j
j
Y Y
j
векторларга боғлиқ эмас. Амалиѐтда бу биргаликда
бўлмаган
(1)
( )
,...,
k
A
A
ҳодисалар орқали характерланувчи
k
та рақобатдош
рисклар таъсир қилувчи умр давомийдиги
j
X
бўлган
j
- объектни тасодифий
1
j
Y
вақтда ишдан чиқиши ва тасодифий
2
j
Y
вақтда тикланишига мос келиши
мумкин. Бундан схема бир томонлама (ўнг ѐки чап), ҳамда икки томонлама
тасодифий цензурланиш моделларини ўз ичига олади. У ҳолда
(1)
( )
(
,
,...,
)
k
j
j
j
X
A
A
тўплам ўрнига
(0)
(1)
( )
(
,
,
,...,
)
k
j
j
j
j
Z D
D
D
тўплам кузатилади, бу ерда
1
2
(1
)[
,
]
j
j
j
j
j
j
Z
w X
w
Y Y
,
1
2
j
j
j
w
,
1
1
(
)
j
j
j
I X
Y
,
2
2
(
)
j
j
j
I X
Y
,
(0)
1
2
{ :
( )
( )
( )}
j
j
j
j
D
Y
X
Y
ва
( )
( )
1
2
{ :
( )
( )} { :
( )
( )}
i
i
j
j
j
j
j
j
D
A
X
Y
X
Y
,
1,...,
i
k
,
1
j
.
( )
( )
(
)
i
i
j
j
I D
,
0,1,...,
i
k
бўлсин. У ҳолда
(0)
1
j
j
w
,
( )
( )
i
i
j
j
j
w
,
1,...,
i
k
,
1
j
, ҳамда
j
X
т.м.лар ва
( )
i
j
A
ҳодисалар
1
j
w
ва
21
( )
1
i
j
бўлган ҳолларда кузатилади.
( ; )
p z
орқали
(0)
( )
(
,
,...,
)
k
j
j
j
Z
кузатилманинг
G
тақсимот функциясини ҳисобга олмаган ҳолда тузилган
зичлик функциясини белгилаймиз. У ҳолда ҳажми
n
бўлган танланманинг
ҳақиқатга ўхшашлик функциясининг «кесилган» варианти қуйидаги формула
орқали берилади:
( )
1
( )
( )
2
1
1
1
(
; )
(
; )
(
; )
(
; )
m
i
m
m
w
n
k
w
n
i
n
m
m
m
m
i
p
h
X
H Y
H Y
. (21)
Ҳар бир
s
u
учун
1/2
0
( ; )
n
n
u
u
ва
( )
n
Q
эса
( )
n
танланма яратган
тақсимот бўлсин. У ҳолда ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси
қуйидаги кўринишга эга бўлади:
( )
( )
1
( )
( )
( ; )
2
1
,
( )
( )
( )
1
1
2
1
(
)
(
;
( ; ))
(
;
( ; ))
(
;
( ; )
( )
.
(
; )
(
; )
(
; )
(
)
i
m
m
m
n
w
n
w
n
i
n
k
u
m
n
m
n
m
n
n
n
i
n
m
i
m
m
m
dQ
h
X
u
H Y
u
H Y
u
L
u
h
X
H Y
H Y
dQ
,
,
( )
log
( )
n
n
u
L
u
бўлсин.
,
( )
n
u
тасодифий функциянинг хоссалаларини
тадқиқ этамиз ва бу мақсадда регулярлик шартларини киритамиз.
( )
( )
{ :
( ; )
0}
i
i
N
x h
x
ва
( )
1
k
i
i
N
N
бўлсин.
(С1)
( )
{
,
1, }
i
N
i
k
тўпламлар
га боғлиқ эмас ва
N
;
(С2) барча
ларда
( )
( ; )
,
1, 2;
1, ;
m
i
m
j
h
x
m
i
k
1,...,
j
s
ҳосилалар мавжуд;
(С3) барча
ларда
( )
( ; )
(
)
,
1, 2;
1,..., ;
1,...,
m
i
m
j
h
x
dx
m
i
k j
s
;
(С4)
барча
,
1,...,
l j
s
ва
лар
учун
( )
( )
( )
( )
log
( ; )
log
( ; )
i
i
i
lj
l
j
I
M
h
X
h
X
интеграллар мавжуд ва чекли;
(С5) барча
ларда
( )
( )
,
1,
1
1
,
1,
( )
( )
( )
( )
k
k
X
i
i
X
lj
lj
l j
s
i
i
l j
s
I
I
I
I
матрица мусбат аниқланган.
( )
( ,
)
i
X
жуфтликка мос Фишер информацияси матрицаси
( )
( )
i
I
, ҳамда
X
т.м.га мос Фишер информацияси матрицаси
( )
X
I
эканлиги текшириш
осон. Белгилаймиз
( )
( )
1
2
1
log
(
; )
(
; )
(
,
,
,
)
n
n
n
n
n
j
j
j
j
j
p
S
l X Y Y
w
,
бу
ерда
( )
( )
2
1
1
2
1
log
( ; )
log(
(
; )
( ; ))
( ,
,
, )
(1
)
i
k
i
i
h
x
H y
H y
l x y y w
w
w
,
( )
T
M l l
.
22
( , )
u v
-
,
s
u v
векторларнинг скаляр кўпайтмаси бўлсин. Қуйидаги
теорема ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси учун локал асимптотик
нормаллик хоссасини ўринли эканлигини тасдиқлайди.
Теорема 7.
(С1)-(С5) регулярлик шартлари ўринли ва
учун
det{ ( )}
0
бўлсин. У ҳолда
,
( )
n
L
u
ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикаси учун қуйидаги ифода ўринли
0
0
1/2
,
1
2
0
0
1
1
( )
exp
(
,
,
,
);
( ) ;
( ;
)
2
n
n
j
j
j
j
n
j
L
u
n
l
X Y Y
w
u
u u
R u
, (22)
бу ерда
n
да барча
s
u
лар учун
( )
0
0
( ;
)
0
n
Q
n
R u
(23)
ва
0
0
( )
1/2
1
2
0
1
(
,
,
,
) /
(0; ( ))
n
n
j
j
j
j
s
j
n
l
X Y Y
w
Q
L
.
(22) дан
,
( )
n
L
u
ҳақиқатган ўхшашлик нисбати статистикасининг
экспоненциал зичлик билан аппроксимацияланиши, ҳамда
,
( )
n
u
нинг
s
ўлчовли асимптотик нормал тақсимотга эга эканлиги келиб чиқади.
парамерт скаляр
(
1)
s
ва
1/2
0
( ( ))
u
v
бўлсин, бу ерда
1
v
. У
ҳолда теорема 7 шартида ҳар бир
1
v
да:
0
0
,
,
0
1
( )
exp
( ;
)
2
n
n
n
L
v
v
v
R v
. (24)
Бу ерда
n
да
0
0
( ;
)
0
n
P
R v
ва
0
0
( )
,
/
(0;1),
n
n
Q
N
L
(25)
0
0
1/2
,
0
1
2
1
( )
,
,
,
n
n
j
j
j
j
j
n
l
X Y Y
w
.
Шундай қилиб, (25) га кўра
0
,
( )
n
L
v
ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикаси
n
да ўзини
2
1
exp
2
v
v
т.м. каби тутади, бу ерда
(0,1)
d
N
. Аслида
,
( )
n
L
v
ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси
1
v
ўзгарувчи бўйича тасодифий жараѐн бўлади.
1
,
( ),
n
v v
тасодифий
жараѐннинг Гауссга оид асимптотик хоссасини тадқиқ этамиз, бу ерда
,
,
( )
log
( )
n
n
v
L
v
. Ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасининг бу
хоссасини текис асимптотик нормаллик деб атаймиз
Текис асимптотик нормаллик хоссасини ўрнатиш учун қуйидаги
регулярлик шартларини кўрамиз:
(С'1)
[ , ]
a b
бўлсин, бу ерда
a
b
;
(С'2)
( )
i
N
тўплам
га боғлиқ эмас ва
( )
1
k
i
i
N
N
;
23
(С'3)
( )
( ; ),
i
h
x
,
1,...,
i
k
, субзичликлар
бўйича уч карра
узлуксиз дифференциалланувчи ва
1
3
( )
3
( ; )
log
( ; )
sup
,
1,..., ;
i
x
R
h
x
M
i
k
(С'4)
( )
( )
( ; ) (
)
i
l x h
x
dx
,
1,...,
i
k
интеграллар
бўйича интеграл
белгиси остида дифференциалланувчи;
(С'5) барча
ларда:
( )
(0, )
.
1
:
бўлсин. Ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси
,
( ),
n
L
v v
ни
v
узлуксиз вақтли тасодифий жараѐн деб қараймиз.
Таъриф 2.
Ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси
,
( ),
n
L
v v
локал асимптотик нормалликнинг текис вариантини қаноатлантиради
дейилади, агар
,
( )
( )
n
L
L
, (26)
бўлса бу ерда
2
1
( )
exp
,
2
L v
v
v
v
. ■
( )
,
v
v v
тасодифий жараѐн математик кутилмаси 0 ва
ковариацияси
1
2
1 2
( ), ( )
Cov
v
v
v v
,
1 2
v v
бўлган Гаусс жараѐни эканлиги-
ни кўриш осон.
,
n
йиғиндининг ҳадлари қуйидагича ифодаланиши мумкин:
( )
( )
1
2
1
log
( ; )
,
,
;
i
k
i
j
j
j
j
j
j
i
h
x
l
X Y Y
w
w
( )
1
2
log
( ; )
(1
)
i
j
j
j
j
h
x
w M
Y
X
Y
.
Бу ҳолда барча
да
0
M l
ва
2
( )
M l
. Демак, барча
да
,
0
n
M
,
2
,
1
n
M
. (26) суст яқинлашиш қуйидаги тасдиқда келтирилган.
Теорема 8.
(С'1)-(С'5) шартлар ўринли бўлсин. У ҳолда ҳақиқатга
ўхшашлик нисбати статистикаси учун қуйидаги ифода ўринли
0
,
( )
exp
( )
( )
( )
n
n
n
n
L
v
v
v
r v
,
бу ерда
n
да:
( )
( )
n
,
2
д.х.
sup
( )
0
2
n
v
v
v
ва
д.х.
sup
( )
0
n
v
r v
.
Диссертациянинг
«Ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасининг
локал асимптотик нормаллик хоссасининг баҳолаш назарияси ва
гипотезаларни текширишда қўлланилиши»
деб номланувчи тўртинчи
боби ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасининг локал асимптотик
нормаллик хоссасини Байес типидаги ва ҳақиқатга максимал ўхшашлик
усули баҳоларининг асимптотик хоссаларини, ҳамда тўла бўлмаган
танланмалар моделларида хи-квадрат типидаги критерийларнинг асимптотик
хоссаларини тадқиқ қилишда қўлланилишига бағишланган. § 4.1 да умумий
статистик моделда локал асимптотик нормаллик хоссасидан фойдаланиб
номаълум параметр учун Байес типидаги баҳонинг асимптотик хоссаси
тадқиқ қилинади ва унинг асимптотик эффективлиги исботланади.
Диссертациянинг § 4.2 да икки томонлама тасодифий цензурлашнинг
24
рақобатдош таваккаллар моделида ҳақиқатга максимал ўхшашлик усули
баҳоси тадқиқ қилинади. Бу параграфда яна ҳақиқатга ўхшашлик нисбати
статистикасининг локал асимптотик нормаллик хоссасидан фойдаланиб,
ҳақиқатга максимал ўхшашлик усули баҳосининг асимптотик хоссалари
тадқиқ қилинади. Бу ҳолда аввал ҳақиқатга максимал ўхшашлик усули
баҳосининг асимптотик эффективлиги ўрнатилади ва сўнг Гаек теоремаси
ѐрдамида ҳақиқатга максимал ўхшашлик усули баҳосининг асимптотик
минимакс эффективлиги исботланади, яъни Байес баҳолари учун квадратик
рисклар асимптотик қуйи чегарасига эришиши кўрсатилган. Бу ерда
ҳақиқатга максимал ўхшашлик усули баҳоси асимптотик Байес баҳоси
бўлиши қўрсатилади. § 4.3 да икки томонлама тасодифий цензурланишнинг
рақобатдош таваккаллар моделида мураккаб гипотезаларни текшириш учун
лимит тақсимоти мос озодлик даражасига эга хи-квадрат тақсимот бўлган
иккита статистика тадқиқ қилинади. Бу ҳолда биринчи статистика
умумлашган хи-квадрат типидаги статистика бўлади ва ушбу статистикани
қуришда тақсимот функциянинг нопараметрик даражали баҳосидан
фойдаланилади. Ушбу статистиканинг лимит тақсимоти хи-квадрат
тақсимоти бўлиши ўрнатилади. Икки томонлама тасодифий цензурланиш
моделида иккинчи статистика ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси
логарифмининг иккилангани бўлиб, бу статистика ҳам асимптотик хи-
квадрат тақсимотига эга эканлиги исботланган, хи-квадрат тақсимотининг
озодлик даражаси номаълум параметр сони билан устма-уст тушади. Бу
натижалар мос мураккаб гипотезаларни текшириш учун хи-квадрат типидаги
асимптотик критерийлар қуришда қўлланилиши мумкин.
ХУЛОСА
Диссертация иши тўла бўлмаган танланмаларнинг турли моделларида
ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасининг асимптотик хоссаларини
тадқиқ қилиш ва ушбу хоссаларни баҳолаш назарияси, ҳамда статистик
гипотезаларни текшириш масалаларида қўлланилишига бағишланган.
Асосий натижалар қуйидагилардан иборат:
1.
Ўнг томондан тасодифий ва гибрид цензурланишнинг рақобатдош
таваккаллар моделларида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасининг
локал асимптотик нормаллик хоссаси исботланган;
2.
Интерваллар орқали кузатиладиган ва кузатилмайдиган тасодифий
цензурланишнинг
рақобатдош
таваккаллар
моделларида
ҳақиқатга
ўхшашлик нисбати статистикасинининг локал асимптотик нормаллик
хоссаси исботланган;
3.
Икки
томонлама
информатив
цензурланишнинг
рақобатдош
таваккаллар моделида ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикаси учун локал
асимптотик нормаллик хоссасининг аппроксимацион варианти ўрнатилган;
4.
Байес типидаги баҳоларнинг асимптотик эффективлиги исботланган;
5.
Ҳақиқатга ўхшашлик нисбати статистикасининг ва умумлашган
хи-квадрат типидаги статистиканинг лимит тақсимоти топилган.
25
НАУЧНЫЙ СОВЕТ DSc.27.06.2017.FM.01.01
ПО ПРИСУЖДЕНИЮ УЧЕНЫХ СТЕПЕНЕЙ ПРИ
НАЦИОНАЛЬНОМ УНИВЕРСИТЕТЕ УЗБЕКИСТАНА,
ИНСТИТУТЕ МАТЕМАТИКИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УЗБЕКИСТАНА
НУРМУХАМЕДОВА НАРГИЗА САЙДИЛЛАЕВНА
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ СТАТИСТИК
ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В
ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ
01.01.05 – Теория вероятностей и математическая статистика
АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ ДОКТОРА ФИЛОСОФИИ (PhD)
ПО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИМ НАУКАМ
ТАШКЕНТ-2017
26
Тема диссертации доктора философии (Doctor of Philosophy) по физико-
математическим наукам зарегистрирована в Высшей аттестационной комиссии при
Кабинете Министров Республики Узбекистан за № В2017.2.PhD/FM46
Диссертация выполнена в Национальном университете Узбекистана имени Мирзо Улугбека.
Автореферат диссертации на трех языках (узбекский, русский, английский (резюме))
размещен на веб-странице Научного совета (www.ik-fizmat@nuu.uz) и на Информационно-
образовательном портале «Ziyonet» (www.ziyonet.uz).
Научный руководитель:
Абдушукуров Абдурахим Ахмедович
доктор физико-математических наук, профессор
Официальные оппоненты:
Шарипов Олимжон Шукурович
доктор физико-математических наук
Имомов Аъзам Абдурахимович
кандидат физико-математических наук
Ведущая организация:
Наманганский Государственный университет
Защита диссертации состоится «____» _____________2017 года в ____ часов на заседании
Научного совета DSc.27.06.2017.FM.01.01 при Национальном университете Узбекистана,
института Математики. (Адрес: 100174, г. Ташкент, Алмазарский район, ул. Университетская, 4.
Тел.: (+99871)227-12-24, факс: (+99871) 246-53-21, e-mail: nauka@nuu.uz).
С диссертацией можно ознакомиться в Информационно-ресурсном центре Национального
университета Узбекистана (зарегистрирована за №_____). (Адрес: 100174, г. Ташкент,
Алмазарский район, ул. Университетская, 4. Тел.: (+99871) 246-02-24).
Автореферат диссертации разослан «____» _______________2017 года.
(протокол рассылки №________ от «____» _______________2017 года).
А.Садуллаев
Председатель Научного совета
по присуждению ученых степеней,
д.ф.-м.н., профессор, академик
Г.И. Ботиров
Ученый секретарь Научного совета
по присуждению ученых степеней,
к.ф.-м.н.
Ш.К.Форманов
Председатель научного семинара
при Научном совете по присуждению
ученых степеней, д.ф.-м.н., профессор,
академик
27
ВВЕДЕНИЕ (аннотация диссертации доктора философии(PhD))
Актуальность
и
востребованность
темы
диссертации.
Статистический
анализ
результатов
многих
научно-прикладных
исследований, проводимых на мировом уровне, приводится к задачам
изучения статистики отношения правдоподобия (СОП). Основная задача
теории проверки гипотез состоит в проверке соответствия реальных
экспериментов предполагаемой гипотезе на основе статистического
критерия, т.е. процедуры, позволяющей принимать или отвергать данную
гипотезу. Для проверки статистических гипотез существуют разнообразные
точные или асимптотические критерии. Критерии основанные на СОП
являются оптимальными по сравнению с другими критериями
построенными на основе других статистик. Исследование асимптотических
свойств СОП является одной из важнейших задач асимптотической теории
оценивания и проверки гипотез.
В годы независимости в нашей стране особое внимание уделяется
фундаментальным наукам, имеющим прикладное применение, которые
являются
актуальными
направлениями
теории
вероятностей
и
математической статистики, в частности, статистическому анализу
неполных наблюдений. Вследствие этого получилось достигнуть значимых
результатов в применении асимптотических свойств критериев хи-квадрат в
моделях неполных наблюдений и свойства локальной асимптотической
нормальности СОП. Было постановлено, что проведение научных
исследований по главным направлениям «Теории вероятностей и
математической статистики» на уровне международных стандартов
является основной задачей и активным направлением
1
. Развитие
асимптотической теории статистического оценивания, теории проверки
гипотез и теории принятия решений играет важную роль в исполнении
постановления.
В настоящее время в мире исследования асимптотических свойств СОП
в различных моделях неполных наблюдений и использование этих свойств в
задачах теории оценивания и проверки статистических гипотез
представляет большой интерес. В связи с этим исследование
асимптотических свойств СОП в различных моделях случайного
цензурирования; обобщенная статистика хи-квадрат, а также изучение
асимптотических свойств этой статистики; оптимальное оценивание
неизвестных
параметров;
нахождение
предельных
распределений
статистических оценок байесовского типа и оценок максимального
правдоподобия
(ОМП).
Научные
исследования,
проводимые
в
вышеупомянутых направлениях, подтверждают актуальность темы
диссертации.
1
Постановление Кабинета Министров Республики Узбекистан №292 “О мерах по организации
деятельности вновь созданных научно-исследовательских учреждений академии наук Республики
Узбекистан” от 18 мая 2017 года.
28
Эта диссертация, в определенной степени, служит осуществлению
задач, обозначенных в Постановлениях Президента Республики Узбекистан
№-ПП-916 «О дополнительных мерах по стимулированию внедрения
инновационных проектов и технологий в производство» от 15 июля
2008 года, №-ПП-2789 «О мерах по дальнейшему совершенствованию
деятельности Академии наук, организации, управления и финансирования
научно-исследовательской деятельности» от 17 февраля 2017 года и
№-УП-4947 «О стратегии действий по дальнейшему развитию Республики
Узбекистан» от 8 февраля 2017 года а также в других нормативно-правовых
актах по данной деятельности.
Соответствие
исследования
приоритетным
направлениям
развития науки и технологий республики.
Данное исследование
выполнено
в соответствии с приоритетным направлением развития науки и
технологий в Республике Узбекистан IV. «Математика, механика и
информатика».
Степень изученности проблемы.
Критерии основанные на СОП, были
рассмотрены в работах А.А. Боровкова, Ш. Закса, Э. Лемана, Ф. Хампелья,
П. Хьюбера. С. Уилкс показал, что предельное распределение удвоенного
логарифма СОП имеет распределение хи-квадрат. В работах В. Воинова,
М. Никулина и N. Balakrishnan описывается теория, методы и применения
различных статистик типа хи-квадрат для построения критериев согласия.
M.G. Habib и D.R. Thomas построили и исследовали статистику хи-квадрат
критерия согласия при случайном цензурировании справа с использованием
непараметрической оценки Каплана-Мейера для функции распределения.
Для случая полной выборки идея приближения логарифма СОП
гауссовским семейством впервые была высказана А. Вальдом и развита в
работах Л. Ле Кама, который ввѐл также и термин ЛАН. Свойства ЛАН в
случае
независимых
и
одинаково
распределенных
регулярных
экспериментов изучали А.Вальд, Л. Ле Кам, Я.Гаек. Связь свойства ЛАН с
понятием
контигуальности
изучали
Дж.
Русас,
И.А.Ибрагимов,
Р.З.Хасьминский.
Р. Фишер ввѐл понятие асимптотической эффективной оценки для
асимптотически нормальных оценок с асимптотически минимальной
дисперсией. Я. Гаек установил асимптотически минимаксную границу
рисков любых статистических оценок, если известны асимптотические
свойства байесовских оценок. Свойство ЛАН для СОП в случае частных
моделей неполных наблюдений изучены в работах А.Абдушукурова,
P.К.Sen.
Связь темы диссертации с научно-исследовательскими работами
учреждением высшего образования, где выполнялась диссертация.
Исследование выполнено в соответствии с планом научного исследования
Ф4-01 «Разработка методов оценивания функциональных характеристик
распределений и исследования асимптотических свойств статистических
оценок», Национальный университет Узбекистана (2012-2016 гг.).
29
Целью исследования
является исследование асимптотических свойств
СОП в различных моделях неполных наблюдений, получаемых различными
типами цензурирования в моделях конкурирующих рисков (МКР).
Задачи исследования,
решаемые в данной работе, следующие:
исследование
СОП в МКР при случайном и гибридном
цензурировании справа;
исследование СОП в МКР при случайном и информативном
цензурировании с двух сторон интервалами наблюдения и ненаблюдения;
исследование
асимптотических свойств оценок максимального
правдоподобия и оценок байесовского типа в МКР.
Объект исследования
СОП в МКР при различных схемах
случайного цензурирования.
Предмет исследования
асимптотическое поведение СОП,
асимптотические критерии типа хи-квадрат в моделях неполных
наблюдений.
Методы исследования.
В работе используются методы сильной и
слабой аппроксимации, методы мартингалов, а также аналитические
методы.
Научная новизна исследования
состоит в следующем:
доказан результат об аппроксимации СОП стохастическими
интегралами от двухпараметрических винеровских процессов в МКР;
доказано свойство ЛАН для СОП в МКР при гибридном
цензурировании справа;
используя методы теории сильной аппроксимации для эмпирических
процессов в МКР при случайном, а также информативном цензурированиях
с двух сторон, установлены асимптотические представления для СОП;
доказаны свойства ЛАН и равномерная асимптотическая нормальность
(РАН) для СОП в МКР при случайном цензурировании интервалом
ненаблюдения;
доказана асимптотическая минимаксная эффективность оценок
максимального правдоподобия и байесовского типа;
найдены предельные распределения обобщѐнных статистик типа хи-
квадрат и СОП при случайном цензурировании с двух сторон.
Практические результаты исследования –
критерий основанный на
СОП обладает свойством оптимальности и асимптотическое распределение
СОП обеспечивает определение критической области при проверке
статистических гипотез.
Достоверность
результатов
исследования
обоснована
использованием методов теории вероятностей, математической статистики,
а также строгостью математических доказательств.
Научная и практическая значимость результатов исследования.
Научное значение результатов исследования заключается в том, что
установлено свойство ЛАН для СОП в различных моделях неполных
наблюдений.
30
Практическая значимость диссертации состоит в том, что результаты
могут быть использованы в теории принятия решения при отсутствии
полной информации, в дальнейших исследованиях свойств ЛАН для СОП, в
теории оценивания и проверки статистических гипотез, а также при чтении
специальных курсов по математической статистике.
Внедрение результатов исследования.
Полученные в диссертации
результаты были использованы в следующих научно-исследовательских
проектах:
обобщѐнная статистика типа хи-квадрат для неполных наблюдений и
асимптотические свойства этой статистики использованы в центре по
переподготовке кадров и статистических исследований Государственного
Комитета Республики Узбекистан по статистике для определения
распределений исследуемых случайных величин (справка Государственного
Комитета Республики Узбекистан по статистике от 25 августа 2017 года,
01/1-01-19/2-1039).
Применение
этих
научных
результатов
дало
возможность для проверки статистических гипотез в случае неполных
наблюдений.
обобщеный критерий типа хи-квадрат для проверки статистических
гипотез в случае неполных наблюдений, а также асимптотическое
распределение СОП были использованы при статистическом анализе
числовых данных связанных с изменением химических и физических
свойств загрязненных почв прикладного проекта А-7-0-05 (справка агенства
Науки и технологий Республики Узбекистан от 27 октября 2017 года, ФТА-
02-11/952). Применение полученных научных результатов, то есть методы
математической статистики позволили сделать верное заключение при
исследовании улучшения химических и физических свойств загрязненных
почв, а также восстановления плодородности.
Апробация результатов исследования.
Основное содержание
диссертации обсуждалось на 12 международных и 15 республиканских
научно-практических конференциях.
Публикация результатов исследования.
По теме диссертации
опубликовано 39 научных работ, из них 12 входят в перечень научных
изданий, предложенных Высшей Аттестационной Комиссией Республики
Узбекистан для защиты диссертаций доктора философии, в том числе
4 опубликованы в зарубежных журналах и 8 в республиканских научных
изданиях.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения,
четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Объем
диссертации составляет 120 страниц.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении
обоснована актуальность и востребованность темы
диссертации, определено соответствие исследования приоритетным
направлениям развития науки и технологий республики, приведены обзор
31
зарубежных научных исследований по теме диссертации и степень
изученности проблемы, сформулированы цели и задачи, выявлены объект и
предмет исследования, изложены научная новизна и практические
результаты исследования, раскрыта теоретическая и практическая
значимость полученных результатов, даны сведения о внедрении
результатов исследования, об опубликованных работах и о структуре
диссертации.
В первой главе диссертации, названной «
Статистика отношения
правдоподобия и еѐ асимптотические свойства
», определяется свойство
ЛАН
статистических
моделей
в
случае
полных
наблюдений,
рассматривается пример локально-нормального семейства, его связь с
понятием ЛАН в общем случае и контигуальностью вероятностных мер,
описываются модели неполных наблюдений, получаемые разнообразным
цензурированием МКР, приведены основные понятия и утверждения для
последовательностей мартингалов и эмпирических процессов, возникающих
в различных статистических моделях.
Пусть
( )
( )
( )
( )
,
,{
,
} ,
n
n
n
n
s
P
E
-
последовательность
статистических экспериментов, соответствующая независимой повторной
выборке
1
( )
,
,
n
n
X
X
X
. Рассмотрим СОП для проверки основной
гипотезы
0
0
:
H
против «близкой» альтернативы
1
:
n
n
H
, где
0
,
1
0
0
,
n
n
n
h
1
n
матрица, обратная для матрицы
n
размерности
s s
,
n
h
h
при
n
1
0
0
( )
( )
n
n
n
n
h
n
n
n
n
dP
X
L
h
dP
X
.
Определение 1.
Семейство
,
n
P
удовлетворяет свойству ЛАН в
точке
0
при
n
, если для некоторой невырожденной матрицы
( )
и последовательности векторов
n
h
h
справедливо представление
0
0
1
1
exp
,
2
T
T
n
n
n
n
L h
h
h
h
h
(1)
где для любого вектора
:
h
0
n
h
по
0
n
P
вероятности,
0
0
0
/
0;
n
n
P
N
L
при
n
а матрица
0
- невырождена и
независит от
h
. ■
Рассмотрим случай независимых и одинаково распределенных (н.о.р.)
регулярных экспериментов с невырожденной фишеровской информацией
I
в точке
0
. В этом случае положим
1/2
,
,
n
n
n
h
h
I
и
1
2
1
log
;
,
n
i
o
n
o
i
f X
n
где
;
dP
f x
d
- плотность «одномерного»
эксперимента
, ,{ ,
} ,
i
P
E
соответствующего
наблюдению
32
,
1, .
i
X i
n
При этих выборах
,
,
n
n
h
и
0
n
имеет место следующее
утверждение Гаека
2
.
Теорема 1 (Гаек).
Пусть
1
, а плотность вероятности
;
f x
экспериментов
i
E
удовлетворяет условиям регулярности:
(I) Функция
;
f x
абсолютно непрерывна по
в некоторой
окрестности
0
U
точки
0
для всех
;
x
(II) Производная
;
/
f x
существует при каждом
0
U
для
почти всех
;
x
(III) Информация Фишера
2
1
log
;
f X
I
M
непрерывна и
положительна при
0
.
Тогда семейство мер
( )
{
,
}
n
P
, соответствующее последовательности
независимых экспериментов
( )
1
...
n
n
E
E
E
с плотностью
f
, удовлетворяет
условию ЛАН (1). ■
В § 1.2 описываются различные модели неполных наблюдений,
получаемых в результате случайного цензурирования МКР. В § 1.3
приведены некоторые вспомогательные результаты для мартингалов,
образованных считающими процессами и для эмпирических процессов.
Во второй главе диссертации, названной
«Асимптотические
представления для статистик отношения правдоподобия в моделях
конкурирующих рисков при случайном цензурировании справа»
,
установлены свойства ЛАН и асимптотические представления для СОП в
МКР, а также в МКР при случайном цензурировании справа. В § 2.1 при
помощи мартингалов, образованных считающими процессами, доказано
свойство ЛАН для СОП в МКР.
Пусть
X
случайная величина
(
с.в.), определенная на вероятностном
пространстве
( , , )
P
и со значениями в измеримом пространстве
( , )
.
Интерес представляют совместные свойства пар
( )
( ,
),
1, ,
i
X A
i
k
где
(1)
( )
,...,
k
A
A
-попарно несовместные события, такие, что
( )
1
(
) 1
k
i
i
P
A
. Пусть
( )
( )
(
)
i
i
I A
-индикатор события
( )
,
1,
i
A
i
k
, и совместное распределение
вектора
(1)
( )
( ,
,...,
)
k
X
задано с точностью до параметра
,
:
(1)
( )
(1)
(1)
( )
( )
( ,
,...,
)
(
,
,...,
),
k
k
k
Q x y
y
P X
x
y
y
где
1
( )
,
{0,1},
i
x
y
1, ;
i
k
-открытое множество в
1
. В частности, определим маргинальные
распределения
( ; )
(
)
H x
P X
x
и
( )
( )
( ; )
(
,
1),
i
i
H
x
P X
x
1,
i
k
. Легко
видеть, что
(1)
( )
...
1
k
и для субраспределений
( )
( ; ),
1,
i
H
x
i
k
справедливо равенство для всех
(1)
( )
( ; ) ...
( ; )
( ; ).
k
H
x
H
x
H x
2
Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука. 1979.
33
Предположим, что распределения
( ; )
H x
и
( )
( ; ),
i
H
x
1,
i
k
, абсолютно
непрерывны. Наблюдению доступна следующая выборка объема
n
,
являющаяся реализацией вектора
(1)
( )
( ,
,...,
)
k
X
:
(1)
( )
(
,
,...,
),
1,
k
j
j
j
j
Z
X
j
n
. (2)
Обозначим эту выборку через
( )
1
,
,
n
n
Z
Z
Z
. Определим интегральные
функции интенсивности
( ; )
( ; )
log[1
( ; )],
1
( ; )
x
dH u
x
H x
H u
( )
( )
( ; )
( ; )
,
1,..., .
1
( ; )
x
i
i
dH
u
x
i
k
H u
Легко видеть, что
(1)
( )
( ; ) ...
( ; )
( ; )
k
x
x
x
для всех
1
( ; )
x
.
Пусть
( )
( )
( ; ) 1 exp{
( ; )},
i
i
F
x
x
1,..., .
i
k
Тогда для всех
1
( ; )
x
:
( )
( )
1
1
1
( ; )
exp{
( ; )}
[1
( ; )].
k
k
i
i
i
i
H x
x
F
x
Пусть функции распределения
(ф.р.)
( )
( )
( ; ) 1 exp
( ; )
i
i
F
x
x
абсолютно непрерывны и имеют
плотности
( )
( ; )
i
f
x
,
1,
i
k
.
Пусть
( )
( )
( )
{
,
,
}
n
n
n
Q
- последовательность статистических эксперимен-
тов, порожденных наблюдениями (2). При этом, обозначив через
мно-
жество
значений
с.в.
X
,
имеем
( )
( ) ( )
( )
( )
{
{0,1} }
{
{0,1} } ... {
{0,1} },
n
n
k
n
k
k
( )
{0,1}
{0,1} ... {0,1}
k
k
,
( )
n
-
алгебра борелевских множеств в
( )
n
,
( )
n
Q
-
распределение на
( )
( )
(
,
)
n
n
, являющееся
n
-кратным произведением
"одномерных"
распределений
(0)
(1)
( )
( ,
,
,...,
)
k
Q x y
y
y
(
,
j
X
P
x
(1)
(1)
( )
( )
,...,
)
k
k
j
j
y
y
. Тогда распределение
( )
n
Q
является абсолютно
непрерывным относительно меры
( )
n
и его плотность при каждом
определена на выборочном пространстве
( )
n
и задается формулой
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
(
)
(
; )
(
; )·
[1
(
; )]
,
,
(
)
i
m
y
n
n
k
n
k
n
i
j
n
n
n
m
m
n
n
m
i
j
j i
dQ
z
p z
f
x
F
x
z
d
z
(3)
где
( )
( )
1
(
)
( ) ...
( ),
n
n
n
d
z
d
z
d
z
( )
(
)
,
i
m
m
m
y
d
z
dx
1, ,
i
k
1,
m
n
и
( )
i
m
y
-
считающая мера, сосредоточенная в точке
( )
{0,1}
i
m
y
,
1, ,
i
k
1,
m
n
.
Для простоты изложения материала, рассмотрим случай скалярного
параметра
, где
- открытое множество в
1
. Рассмотрим следующие
условия регулярности:
(У1) Множества
( )
( )
{ :
( ; )
0}
i
i
f
N
x f
x
не зависят от
,
1,
i
k
;
(У2) Существуют и непрерывны по
x
производные
( )
( ; ),
l
i
l
f
x
1, 2;
1,
l
i
k
;
34
(У3) Функция информации Фишера
( )
1
( )
( )
k
i
i
I
I
непрерывна по
,
положительна в точке
0
и
2
( )
( )
( )
( )
( )
1
( ; )
( )
1
( ; )
( ; )
( ; )
i
k
i
j
i
i
j
j i
s
I
F
s
dF
s
s
, где
1
( )
( )
( )
( ; )
( ; ) 1
( ; )
i
i
i
x
f
x
F
x
. При каждом
1
u
, пусть
0
( )
n
u
n
,
где
1/2
0
( )
( )
n
nI
. Рассмотрим СОП
0
( )
( )
( )
( )
/
n
n
n
n
n
dQ
Z
dQ
Z
. Имеет место
ЛАН для СОП.
Теорема 2.
В условиях регулярности (У1)-(У3) для СОП имеет место
представление
0
( )
( )
2
( )
( )
(
)
exp{
( )},
(
)
2
n
n
n
n
n
n
n
dQ
Z
u
u
R u
dQ
Z
(4)
где
2
( )
( )
0
( )
1
1
0
( ;
( ) )
( )
( ),0
1
( ;
( ) )
i
n
k
i
n
m
i
m
i
s
u
n
n
d
s
s
u
n
и при
n
,
0
/
0;1
n
n
Q
N
L
и
0
( )
0
n
Q
n
R u
.
В § 2.2 рассматривается МКР, когда цензурирование справа
осуществляется последовательностью с.в. с неизвестной ф.р. Доказываемый
в § 2.2 основной результат в отличие от классического случая ЛАН при
полных наблюдениях использует метод сильной аппроксимации
эмпирических
процессов
в
МКР
последовательностью
двухпараметрических процессов Кифера
3
и основная аппроксимирующая
статистика
n
получается в виде суммы стохастических интегралов Ито от
вкладов выборки. В § 2.3 также рассматривается МКР при случайном
цензурировании справа, однако, в отличие от § 2.2, здесь цензурирование
осуществляется в специально выбранный случайный момент остановки
n
.
Предположим, что в МКР субраспределения
( )
i
H
абсолютно
непрерывны и имеют плотности
( )
i
h
. Введем также и функции
интенсивности
( )
( ; )
i
x
( )
( ; ) / (1
( ; )),
i
h
x
H x
( ; )
( ; ) / (1
( ; ))
x
h x
H x
(1)
( )
( ; ) ...
( ; ),
k
x
x
1
( ; )
x
.
Пусть
(1)
( )
{(
,
,...,
),
1}
k
j
j
j
X A
A
j
-
последовательность независимых повторений совокупности
(1)
( )
( ,
,...,
)
k
X A
A
и
на
n
-м шаге эксперимента наблюдается выборка объема
n
:
1
(
,...,
),
n
Z
Z
где
(1)
( )
(
,
,...,
),
k
j
j
j
j
Z
X
( )
( )
(
),
i
i
j
j
I A
1, ,
1, .
i
k j
n
Пусть
1
2
...
n
n
nn
X
X
X
-
вариационный ряд из с.в.
1
{
,...,
}
n
X
X
. Через
(1)
( )
{
,...,
,
1, }
k
jn
jn
j
n
обозначим
индикаторы в выборке , соответствующие вариантам
{
,
1, }.
jn
X
j
n
Пусть
( )
(0)
1
0
(
,...,
),
1,..., ;
0,
m
n
mn
n
m
n
(5)
3
Burke M.D., Csörgő M., Csörgő S., Révész P. Approximations of the empirical process when parameters are
estimated.// Ann. Probab. 1978. v.7. №5. p.790-810.
35
где
(1)
( )
(
,
,...,
).
k
jn
jn
jn
jn
X
Через
( )
( )
( )
(
,
,
)
n
n
n
Q
обозначим последователь-
ность статистических экспериментов, порожденную наблюдениями (5).
Семейство мер
( )
{
,
,
1}
n
Q
n
является абсолютно непрерывным
относительно меры
( )
1
...
,
n
n
где
(1)
( )
(
)
...
,
k
m
m
m
m
y
y
d
d
x
- мера на
и
( )
i
m
y
-
считающие
меры,
сосредоточенные
в
точке
( )
{0,1},
1, ;
1,
i
m
y
i
k m
n
и ее плотность задается формулой
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
(
)
(
; )
[
(
; )]
(
)
i
m
n
n
k
n
y
n
i
n
m
n
n
m
i
dQ
q
h
x
d
. (6)
В дальнейшем рассмотрим такую статистическую схему, согласно
которой
j
X
подвергается цензурированию справа случайной величиной
rn
rn
T
T
X
, где
T
-фиксированный
момент времени и
rn
X
-член
вариационного ряда порядка
(0
)
r
r
n
. Рассматриваемую схему
наблюдений назовем гибридной
, ,
k
n r T
-моделью. Очевидно, что эта
модель содержит в себе МКР и в частных случаях при
, ,
,
k
k
n n T
n T
и
, ,
,
k
k
n r
n r
получаем МКР при цензурировании по типу I и II
соответственно. Такого рода эксперименты могут быть проведены для
сохранения ресурсов, останавливая испытания
n
однотипных объектов с
продолжительностями
безотказной работы
j
X
, подвергаемых
k
конкурирующим рискам, либо в заранее фиксированный момент времени
T
либо при осуществлении
r
-выхода из строя в момент
rn
X
. Следует
отметить, что в
, ,
k
n r T
-модели число наблюдаемых
j
X
-х является с.в.
1
sup{ :
,
}, если
,
0, в противном случае.
mn
n
n
m X
T m
r
X
T
Наблюдению доступен вектор
( )
,
Z
, где
( )
1
,...,
n
n
Z
Z
Z
. Совместное
распределение вектора
( )
,
Z
задаѐтся плотностью
( )
( )
( )
1
1
1
!
,
(
; )
1
( ; )
...
,
,
!
i
l n
k
y
n
i
n
in
rn
n
rn
l
i
n
p Z
h
x
H t
I x
x
r
n
(7)
где
rn
rn
t
x
T
и
0
1
1
l
.
Пусть
*
*
( )
( )
1
(
,
)
(
,
)
j
j
j
и
- вероятностное распределение на
*
*
(
,
)
, являющееся произведением мер
Q
и
M
оператор
математического ожидания относительно
. Через
,
n m
U
обозначим
-
алгебры, порожден-ные векторами (5). Пусть
{ ,
1}
n
n
- вышеуказанная
последовательность моментов остановки. Через
,
n
обозначим сужение
меры
на
- алгебру
,
n
n
U
. Нас будет интересовать свойство ЛАН
семейства
вероятностных
мер
,
{
,
}
n
,
соответствующего
36
цензурированной на уровне
n
справа выборке
(
)
n
. Совместная плотность
вектора
(
)
m
задается формулой
( )
( )
( )
1
1
!
(
; )
{[
( ; )] }[1
(
; )]
,
(
)!
i
ln
m
k
y
m
i
n m
n
ln
mn
l
i
n
p z
h
z
H z
n
m
(8)
где
( )
1
(
,...,
)
m
n
mn
z
z
z
- реализация вектора
(
)
m
. Носителем плотности (8)
является множество
( )
,
1
{
: 0
...
}
m
n m
n
mn
N
z
z
z
. Пусть
,
1
(
/
)
mn
n m
u z
U
-
условная плотность
mn
Z
относительно
- алгебры
,
1
n m
U
. Тогда нетрудно
видеть, что согласно (8) для
1,
mn
m
n
z
Z
:
( )
( )
,
1
1
1
1,
[
(
; )] [1
(
; )]
(
/
)
(
1)
.
[1
(
; )]
i
mn
y
i
n m
k
mn
mn
mn
n m
n m
i
m
n
h
z
H z
u z
U
n
m
H z
(9)
С учетом (8) и (9), имеем
(
)
(
1)
,
1
, 1
1
(
; )
(
; )
(
/
)
(
/
).
m
m
m
n
n
mn
n m
ln
n l
l
p z
p z
u z
U
u z
U
(10)
Для заданного
1
u
, определим последовательность
1/2
0
n
un
.
Зададимся СОП для
1,
m
n
:
0
0
( )
( )
,
, 1
,
( )
( )
1
,
0
, 1
(
/
)
(
;
)
( )
.
(
;
)
(
/
)
n
n
m
m
m
n
ln
n l
n
n
n m
m
m
l
n
n
ln
n l
d
u
z
U
p z
l
u
d
p z
u
z
U
(11)
Для доказательства ЛАН для СОП (11) введем условия регулярности:
(У1) Носители
( )
( )
{
{
0 :
( ; )
0},
1, }
i
i
h
N
x
h
x
i
k
- не зависят от
;
(У2) Плотности
( )
1, }
,
{
i
h
i
k
- непрерывно дифференцируемы по
и
производные
( )
,
1
(
)
,
;
i
h
i
k
x
- равномерно ограничены для всех
0
( ; )
x
U
, где
0
U
- окрестность
0
;
(У3) Для почти всех
x
относительно меры
функции
( )
0
log
( ;
)
,
1,
i
x
i
k
- дифференцируемы;
(У4) Существует число
0
такое, что для всех
1,
i
k
:
0
0
2
2
( )
( )
0
0
log
( ;
)
log
( ;
)
,
;
i
i
X
h
X
M
M
(У5) Существует число
(0,1]
такое, что при
n
,
0
Q
n
n
для
всех
1,
i
k
:
1
0
2
( ;
)
( )
( )
( )
0
0
0
0
log
( ;
)
( )
( ;
)
0,
H
i
i
i
x
I
I
dH x
где
1
0
( ;
)
H
- квантиль уровня
распределения
0
( ;
)
H x
;
(У6) При каждом
1,
m
n
функции
1,
,
1
( /
)
( )
m
n
n m
z
u z U
d
z
- дифференци-
руемы по
в точке
0
под знаком интеграла;
37
(У7) При каждом
1
u
0
1,
0
2
1/ 2
1/ 2
,
1
,
1
1
|
|
0
1
lim
sup
{
( /
)}
{
( /
)}
( )
0,
m
n
n
n m
n m
n
u
m
z
n
M
u
z U
u
z U
d
z
n
где
0
0
1/2
1/2
,
1
,
1
0
{
( /
)}
{ ( /
)}
.
n m
n m
u
z U
u z U
В дальнейшем используем следующие обозначения при
1,
m
n
:
( )
0
,
log
(
;
)
,
m
n
n m
p
0
2
,
,
.
n
n
n
n
I
M
Исследуем асимптотические свойства
статистик
,
{
,
1}
n
n
n
, где
1/2
,
,
,
n
n
n
n
n
n
I
. Пусть
(1)
( )
...
k
I
I
I
.
Теорема 3.
При справедливости условий (У1) - (У7) при каждом
1
u
для СОП имеет место представление
2
1/2
,
,
( )
exp{
( )},
2
n
n
n
n
n
u
l
u
uI
I
R u
(12)
где при
n
,
0
( )
0
Q
n
R u
,
0
,
(
/
)
( ),
n
n
Q
L
L
и
(0,1)
D
N
. ■
Замечание 1.
Представление (12) обеспечивает ЛАН семейства мер
0
( )
{
,
}
n
Q
в точке
0
. При этом, при каждом
1
u
и
n
:
0
,
(
/
)
( ( )),
n
n
l
Q
l u
L
L
(13)
,
(
/
)
( ( )),
n
n
n
l
Q
l u
L
L
(14)
где
2
1/2
0
0
( )
exp{
( )
( )}
2
u
l u
uI
I
.
Сходимость
(13)
является
непосредственным следствием (12), а (14) следует из первой леммы Ле Кама
и того, что семейство вероятностных мер
( )
{
,
1}
n
n
Q
n
является
контигуальным относительно семейства
0
( )
{
,
1}
n
Q
n
. ■
Третья
глава
диссертации,
названная
«Асимптотические
представления для статистик отношения правдоподобия в моделях
конкурирующих рисков при случайном цензурировании с двух сторон»
,
посвящена установлению асимптотических представлений для СОП в МКР
при случайном цензурировании с двух сторон, из которых ЛАН получается
как следствие. Она состоит из трех параграфов. В § 3.1, используя методы
сильной аппроксимации для эмпирических процессов в МКР при случайном
цензурировании
с
двух
сторон,
установлены
асимптотические
представления для СОП. Здесь доказаны две теоремы, первая из которых
исследует «чистую» СОП и тем самым обобщает основной результат из §
2.2, а вторая - исследует «усеченную» СОП, используя степенную
непараметрическую
оценку
для
функции
выживания.
Здесь
аппроксимирующая основная статистика представляет собой сумму
зависимых стохастических интегралов.
Рассмотрим
модель,
согласно
которой
в
МКР совокупность
(1)
( )
( ,
,...,
)
k
X A
A
подвергается
случайному
цензурированию справа и слева с.в.
Y
и
L
38
соответственно с абсолютно непрерывными неизвестными ф.р.
( ),
K y
и
1
( ),
G y
y
. Пусть случайные величины
, ,
X Y L
независимы в
совокупности. Наблюдению доступна совокупность
( 1)
(0)
(1)
( )
( ;
,
,
,...,
)
k
Z D
D
D
D
,
где
(
)
Z
L
X Y
,
события
( 1)
{ :
( )
( )
( )}
D
X
Y
L
,
(0)
{ :
D
( )
( )
( )}
L
Y
X
и
( )
( )
{ : ( )
( )
( )}
i
i
D
A
L
X
Y
,
1,...
i
k
.
Заметим, что события
( 1)
(0)
(1)
( )
{
,
,
,...,
}
k
D
D
D
D
также обладают свойствами
событий
(1)
( )
,...,
k
A
A
. В данной модели с.в.
Y
,
L
и соответствующие им ф.р.
K
,
G
считаются мешающими. Пусть
( 1)
(0)
(1)
( )
1
,
,
;
,
,
,...,
k
j
j
j
j
j
j
j
j
X L Y D
D
D
D
-
последовательность
независимых
копий
совокупности
( 1)
(0)
(1)
( )
( , , ;
,
,
,...,
)
k
X L Y D
D
D
D
и на
n
-м шаге эксперимента наблюдается
выборка объема
n
:
( )
1
2
( ,
,...,
)
n
n
Z
Z Z
Z
, (15)
где
( 1)
(0)
(1)
( )
(
;
,
,
,...,
)
k
j
j
j
j
j
j
Z
Z
,
(
)
j
j
j
j
Z
L
X
Y
и
( )
( )
(
)
i
i
j
j
I D
,
-1,0,1,...,
i
k
. Заметим, что в выборке (15) интересующие нас пары
( )
(
;
)
i
j
j
X
A
наблюдаемы лишь в случае
( )
1
i
j
,
1,...,
i
k
.
Пусть
{
Y
( )
n
,
U
( )
n
,
( )
n
Q
}
- последовательность статистических эксперимен-
тов, порожденных наблюдениями (15). Обозначив через
Z
множество
значений с.в.
Z
, имеем
Y
( )
n
(
2) ( )
(
2)
(
2)
{
{0,1}
}
{
{0,1}
} ... {
{0,1}
}
n
k
n
k
k
Z
Z
Z
,
2
(
2)
{0,1}
{0,1} ... {0,1}
k
k
,
U
( )
n
-
-алгебра борелевских множеств в
Y
( )
n
,
( )
n
Q
-
распределение на (
Y
( )
n
,
U
( )
n
), являющееся
n
-кратным произведением
"одномерных"
распределений
( 1)
(0)
(1)
( )
( ,
,
,
,...,
)
k
Q x y
y
y
y
( 1)
( 1)
(
,
,
j
j
P Z
x
y
(0)
(0)
(1)
(1)
( )
( )
,
,...,
)
k
k
j
j
j
y
y
y
. Пусть
( )
( ; )
i
f
x
-плотность
распределения
( )
( ; )
i
F
x
,
1,
i
k
. Тогда распределение
( )
n
Q
является
абсолютно непрерывным относительно меры
( )
n
, ее плотность при каждом
определена на выборочном пространстве
Y
( )
n
и задается формулой
( 1)
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
(
)
(
; )
(
)(1 (1
(
))(1
(
; )))
(
)
m
n
n
n
k
y
n
n
m
m
m
n
n
m
i
dQ
z
p z
g z
K z
H z
d
z
( )
( )
( )
1
(
)(1
(
))
( ; )
[1
( ; )]
i
m
y
k
i
j
m
m
m
m
j
j i
G z
K z
f
z
F
z
( 0 )
( ) ( )(1
( ; ))
,
m
y
m
m
m
G z k z
H z
( )
n
z
Y
( )
n
,
(16)
где плотности
( )
( ), ( )
( )
k x
K x
g x
G x
и
( )
( )
1
(
)
(
) ...
(
)
n
n
n
d
z
d
z
d
z
,
( )
(
)
i
m
m
m
y
d
z
dx
,
1, 0,
i
k
,
1,
m
n
и
( )
i
m
y
-считающая мера, сосредоточенная
в точке
( )
{0,1}
i
m
y
. Согласно (16), зададимся СОП
( )
( 1)
( 0 )
0
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
0
0
0
(
)
(
;
)
(
;
)
1
(
;
)
,
(
;
)
(
;
)
1
(
;
)
(
)
i
m
m
m
n
y
y
y
n
n
i
n
k
m
n
m
n
m
n
i
n
n
m
i
m
m
m
dQ
Z
h
z
z
H z
h
z
z
H z
dQ
Z
39
где
( ; ) 1 (1
( ))(1
( ; ))
x
K x
H x
, а также еѐ логарифмом
0
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
0
(
)
( ;
)
( )
log
log
( )
( ;
)
(
)
n
n
n
i
k
i
n
n
n
i
n
n
i
dQ
Z
h
x
L u
n
dT
x
h
x
dQ
Z
( 1)
(0)
0
0
( ;
)
1
( ;
)
log
( )
log
( )
( ;
)
1
( ;
)
n
n
n
n
x
H x
dT
x
dT
x
x
H x
,
где
( )
( )
1
1
( )
(
,
1),
1, 0,1,..., .
n
i
i
n
m
m
m
T
x
I Z
x
i
k
n
Введем условия регулярности:
(У1) Носители
( )
( )
{ :
( ; )
0},
i
i
f
N
x f
x
1,
i
k
независят от
и
множество
( )
1
i
k
f
i
N
непусто;
(У2) Для любых двух точек
1
2
,
,
1
2
и
( )
i
f
x
N
,
( )
( )
1
2
( ; )
( ;
)
i
i
f
x
f
x
,
1,...,
i
k
;
(У3) Существуют и конечны для всех
x
производные
( )
( ; ) /
,
l
i
l
f
x
1, 2;
l
1,...,
i
k
, при этом
( )
|
( ; ) /
|
,
1, 2;
1,...,
l
i
l
f
x
dx
l
i
k
;
(У4)
Функции
( )
( )
0
0
log
( ;
)
log
( ;
)
,
,
1,
i
i
f
x
h
x
i
k
являются
функциями ограниченной вариации;
(У5) Информация Фишера
2
2
( )
( )
( 1)
1
log
( ; )
log ( ; )
( )
( ; )
( ; )
i
k
i
i
h
x
x
dT
x
dT
x
2
(0)
log(1
( ; ))
( ; ),
H x
dT
x
конечна и положительна в точке
0
, где
( )
( )
( ; )
( ),
i
i
n
T
x
M T
x
1,0,1,...,
i
k
.
Заметим, что информация Фишера, содержащаяся в выборке (15), равна
( )
n
. Имеет место
Теорема 4.
Пусть справедливы условия (У1)-(У5). Тогда при каждом
1
u
для СОП имеет место представление
0
( )
( )
2
0
( )
( )
(
)
exp{
(
)
( )},
2
(
)
n
n
n
n
n
n
n
dQ
Z
u
u
R u
dQ
Z
где
( )
1/2
( )
1/2
( 1)
0
0
1
1
log
( ;
)
log ( ;
)
(
( ); )
(
( ); )
i
k
i
n
i
i
h
x
x
dn
W T
x n
dn
W T
x n
1/2
(0)
0
0
log(1
( ;
))
(
( ); )
H x
dn
W T
x n
и
( )
0
n
R u
при
n
по
0
( )
n
Q
-вероятности.
Здесь
( ; )
i
W y n
-
двупараметрические винеровские процессы на
[0,1] (0, )
, при этом
компоненты вектора
1
(
,...,
)
k
W
W
являются независимыми.
40
Замечание 2.
Ввиду свойств процессов
i
W
,
с.в.
n
являются суммой
независимых стохастических интегралов Ито и по распределению совпадает
с
соответствующей
нормально
распределенной
с.в.
0
(0, ( ))
N
.
Следовательно,
0
(0, ( )).
D
n
N
(17)
Учитывая соотношение (17), утверждение теоремы 4 можно записать в
виде
2
1/2
0
0
( )
( )
( )
( )
2
n
n
u
L u
u
R u
(18)
при каждом
1
u
. Здесь
-стандартная нормальная с.в. и равенство пони-
мается в смысле распределения
0
( )
n
Q
. Следовательно из (18) следует ЛАН.
В МКР как правило интерес представляет событие
( )
i
A
,
соответствующее
i
–тому риску. Так например, если
(1)
( )
min{
,...,
},
k
X
Y
Y
( )
( )
(
),
i
i
I X
Y
где
( )
{
,
1, }
i
Y
i
k
независимые с.в., то интересующая нас с.в.
( )
i
Y
цензурируется с правой стороны с.в.
( )
min{
,
1, ;
}
j
Y
Y
j
k j
i
. В таких
случаях, отбросив все остальные распределения кроме
( )
i
F
, вместо сложной
функции правдоподобия (16) можно рассматривать еѐ следующую
«усеченную» версию:
( )
1
1
( )
(
; ),
1,..., ;
.
n
k
i
n
m
m
i
f
z
i
k
Тогда вместо логарифма СОП
( )
n
L u
будем исследовать следующую
статистику:
( )
*
( )
( )
1
0
( ;
)
( )
log
( ),
1,..., ,
( ;
)
n
T
i
k
i
n
n
n
i
i
f
x
L u
n
dF
x i
k
f
x
(19)
где
( )
( )
i
n
F
x
- степенная оценка для условной ф.р.
( )
( )
0
( ;
)
( )
i
i
F
x
F
x
,
предложенная и исследованная А.Абдушукуровым:
( ; )
( )
( )
( )
1
,
1,..., ;
,
( )
n
R
x i
i
n
n
n
q x
F
x
i
k x
q
(20)
и последовательность интервалов
{[ ,
],
1}
n
T
n
выбирается подходящим
образом. Статистики, входящие в формулу (20), определяются формулами
( 1)
( )
( )
(
)
( ),
n
n
n
n
q x
G x
N x
T
x
( 1)
( )
( )
exp
,
(
)
n
n
x
n
dT
u
G x
N u
1
( )
( )
( ; )
( )
,
( )
x
i
n
n
n
n
dq u
R x i
x
q u
( )
( )
( )
( )
,
,
1,..., .
( )
i
i
n
n
x
n
dT
u
x
x
i
k
q u
Пусть
( )
( )
( )
( )
0
0
0
( )
( ; ),
( )
( ; ),
( )
( ; ),
i
i
i
i
N x
N x
T
x
T
x
x
x
i
I
. Введѐм последо-
вательности гауссовских процессов
( )
( )
( )
{
( )
(1
( ))
( ),
1, ;
}
i
i
i
n
n
x
F
x N
x i
k x
,
где
41
( )
( )
( )
( )
2
(
( )
( ))
( )
( )
( )
( )
( ( )
( ))
( )
( )
( )
( )
i
i
i
x
i
n
n
n
n
n
B u
u dT
u
B
x
B
N
x
G u
N u
G x
N x
G
N
( )
2
( ) ( ( )
( ))
( ( )
( ))
i
x
n
B
u d G u
N u
G u
N u
и
( 1)
( 1)
( 1)
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
x
x
B u dT
u
B
x
B
u dN u
x
G x
N u
N x
N u
являются
аппроксимирующими
соответственно
для
процессов
( )
1/2
( )
( )
( )
(
( )
( ))
i
i
i
n
n
m
x
n
x
x
и
*
1/ 2
( )
(
( )
( )),
n
n
x
n
G x
G x
x
. При этом
гауссовские процессы
( )
{
( ),
1,0, }
m
n
B
x m
k
и
{
( )}
n
B x
являются процессами
броуновского типа, т.е. при каждом фиксированном
1
n
:
( )
1/2
( )
( )
( ; )
(
( )),
1,0, ;
D
D
m
m
n
m
B
x
n
K
x n
B T
x
m
k
1/ 2
( )
( ; )
( ( )).
D
D
n
B x
n
K x n
B N x
Поэтому для вектора
( 1)
(0)
( )
2
1
0
( )
(
(
),
(
),
( ),...,
( ))
k
n
n
n
n
n
k
v
B v
B
v
B
v
B
v
имеет место
аппроксимация типа Бюрка-Чѐрге-Хорват
4
порядка
1/2
(
log )
O n
n
. С учетом
этого приведем результат А.Абдушукурова об аппроксимации вектора
(1)
( )
1
( )
(
( ),...,
( ))
k
n
n
n
k
V v
V
v
V
v
гауссовским вектором
(1)
( )
1
( )
(
( ),...,
( ))
k
n
n
n
k
v
v
v
,
1
( ,...,
)
k
k
v
v
v
R
,
где
( )
( )
i
n
V
x
1/2
( )
( )
(
( )
( ))
i
i
n
n
F
x
F
x
.
Пусть
0
( )
N
,
(1
( )) ( )
n
n
T
G
и
[ ,
]
[ ,
] ... [ ,
]
k
n
n
n
T
T
T
-
k
-мерный куб.
Теорема 5.
5
Для заданного а
0
, пусть выполнены неравенства
1/ 2
1/ 2
2
0
0
log
log
2(1
)
,
64 (1
)
.
2
n
n
n
n
n
Тогда
1/ 2
(1
)
0
[ ,
]
sup
( )
( )
log
,
k
n
k
n
n
n
v
T
P
V v
v
R n
n
kCn
где
0
0
0
( ,
,
)
n
n
R
R
и
С
(абсолютная) постоянные.
Пусть
( )
{
( ; ),
1, }
i
a
x
i
k
- измеримые функции,
n
T
при
n
с
определенной скоростью и
1/ 2
log log
( )
n
n
n
.
Для исследования статистики (19) введѐм также условия
(У6) Информации Фишера, соответствующие распределениям
( )
i
F
2
( )
( )
( )
log
( ; )
( )
( ; ),
1,...,
i
i
i
f
x
I
dF
x
i
k
- являются конечными и положительными в точке
0
.
(У7) Для последовательности чисел
{ ,
1}
n
T n
выполнено условия:
( )
0
sup
( ;
) ( )
(1),
n
i
x T
a
x
n
o
n
,
( )
( )
0
( ;
)
( )
i
i
a
x
dF
x
,
для
всех
1,
i
k
,при
2
( )
( )
0
1
0
log
( ;
)
( ;
)
i
i
f
x
a
x
и
2
( )
( )
0
2
0
2
( )
0
( ; )
1
( ; )
.
( ; )
i
i
i
f
x
a
x
f
x
4
Burke M.D., Csörgő S., Horváth L. Strong approximations of some biometric estimates under random censorship.//
Z. Wahrscheinlich. verw. Gebiete. 1981. v.56. p.87-112.
5
Абдушукуров А.А. Статистика неполных наблюдений. Ташкент: Университет. 2009.
42
Пусть
(1)
( )
( )
( ) ...
( )
k
I
I
.
Теорема 6.
Пусть выполнены условия регулярности (У1)-(У4) и (У6),
(У7) для плотностей
( )
{
( ; ),
1, }
i
f
x
i
k
. Тогда в условиях теоремы 5 при
каждом
1
u
имеет место представление
2
*
*
*
0
( )
(
)
( ),
2
n
n
n
u
L u
u
R u
где
( )
*
( )
1
log
( ; )
( )
n
T
i
k
i
n
n
i
f
x
d
x
и
*
( )
0
n
R u
при
n
по
( )
n
n
Q
-
вероятности.
В § 3.2 исследуется СОП также аналогичным методом сильной
аппроксимации в случае информативного случайного цензурирования с
двух сторон в МКР, когда ф.р. цензурирующих с.в. степенным образом
выражаются через ф.р. цензурирумой с.в..
В § 3.3 для СОП установлены свойства ЛАН и РАН в случае, когда
МКР подвергается случайному цензурированию интервалом ненаблюдения.
Рассмотрим теперь такую статистическую схему, согласно которой в МКР
совокупность
(1)
( )
(
,
,...,
)
k
j
j
j
X
A
A
ненаблюдаема в интервале
1
2
[
,
]
j
j
Y Y
, где
1
2
{(
,
),
1}
j
j
Y Y
j
- последовательность н.о.р. случайных векторов с
совместной неизвестной ф.р.
( , )
G u v
,
2
( , )
u v
(возможно зависящей от
неизвестного параметра
s
). Здесь
1
2
(
)
1
j
j
P Y
Y
и совокупности
(1)
( )
(
,
,...,
)
k
j
j
j
X
A
A
не зависят от векторов
1
2
(
,
),
1
j
j
Y Y
j
. Реально на практике это
может соответствовать случаю, когда наблюдения над
j
-объектом с
продолжительностью жизни
j
X
и подвергаемым
k
конкурирующим рискам
характеризуемыми несовместными событиями
(1)
( )
,...,
k
A
A
, могут быть
прекращены в случайный момент
1
j
Y
и восстановлены в случайный момент
2
j
Y
. Очевидно, такая схема наблюдений содержит в себе модели случайного
цензурирования с одной стороны (слева или справа) и с двух сторон. Тогда
вместо совокупностей
(1)
( )
(
,
,...,
)
k
j
j
j
X
A
A
наблюдению будут доступны
(0)
(1)
( )
(
,
,
,...,
),
k
j
j
j
j
Z D
D
D
где
1
2
(1
)[
,
]
j
j
j
j
j
j
Z
w X
w
Y Y
,
1
2
j
j
j
w
,
1
1
(
)
j
j
j
I X
Y
,
2
2
(
)
j
j
j
I X
Y
,
(0)
1
2
{ :
( )
( )
( )}
j
j
j
j
D
Y
X
Y
и
( )
( )
1
2
{ :
( )
( )} { :
( )
( )}
i
i
j
j
j
j
j
j
D
A
X
Y
X
Y
,
1,...,
i
k
,
1
j
. Пусть
( )
( )
(
)
i
i
j
j
I D
,
0,1,...,
i
k
. Тогда
(0)
1
j
j
w
,
( )
( )
i
i
j
j
j
w
,
1,...,
i
k
,
1
j
и,
следовательно, с.в.
j
X
и события
( )
i
j
A
наблюдаемы лишь в случаях
1
j
w
и
( )
1
i
j
. Отметим, что в этой модели при
0
j
w
наблюдается только интервал
ненаблюдения
1
2
[
,
]
j
j
Y Y
. Через
( ; )
p z
обозначим плотность одного
наблюдения
(0)
( )
(
,
,...,
)
k
j
j
j
Z
без учета ф.р.
G
. Тогда «усеченная» версия
функции правдоподобия выборки объема
n
задается формулой
43
( )
1
( )
( )
2
1
1
1
(
; )
(
; )
(
; )
(
; )
m
i
m
m
w
n
k
w
n
i
n
m
m
m
m
i
p
h
X
H Y
H Y
. (21)
Пусть при каждом
s
u
,
1/ 2
0
( ; )
n
n
u
u
и
( )
n
Q
-распределение,
индуцированное выборкой
( )
n
. Тогда СОП модели имеет вид
( )
( )
1
( )
( )
( ; )
2
1
,
( )
( )
( )
1
1
2
1
(
)
(
;
( ; ))
(
;
( ; ))
(
;
( ; )
( )
.
(
; )
(
; )
(
; )
(
)
i
m
m
m
n
w
n
w
n
i
n
k
u
m
n
m
n
m
n
n
n
i
n
m
i
m
m
m
dQ
h
X
u
H Y
u
H Y
u
L
u
h
X
H Y
H Y
dQ
Пусть
,
,
( )
log
( )
n
n
u
L
u
. Далее исследуем свойства случайной функции
,
( )
n
u
и в связи с этим сформулируем условия регулярности. Пусть
( )
( )
{ :
( ; )
0}
i
i
N
x h
x
и
( )
1
.
k
i
i
N
N
(С1) Множество
( )
{
,
1, }
i
N
i
k
не зависит от
и
N
;
(С2) Существуют производные
( )
( ; )
,
1, 2;
1,..., ;
m
i
m
j
h
x
m
i
k
1,...,
j
s
,
для всех
;
(С3)
( )
( ; )
(
)
,
1, 2;
1,..., ;
1,...,
m
i
m
j
h
x
dx
m
i
k j
s
для всех
;
(С4) Интегралы
( )
( )
( )
( )
log
( ; )
log
( ; )
i
i
i
lj
l
j
I
M
h
X
h
X
существуют
и конечны для всех
,
1,...,
l j
s
и
;
(С5) Матрица
( )
( )
,
1,
1
1
,
1,
( )
( )
( )
( )
k
k
X
i
i
X
lj
lj
l j
s
i
i
l j
s
I
I
I
I
положительно
определена для всех
.
Легко проверить, что
( )
( )
i
I
есть матрица информации Фишера,
отвечающая паре
( )
( ,
)
i
X
, а
( )
X
I
- с.в.
X
.
Пусть
( )
( )
1
2
1
log
(
; )
(
; )
(
,
,
,
)
n
n
n
n
n
j
j
j
j
j
p
S
l X Y Y
w
,
где
( )
( )
2
1
1
2
1
log
( ; )
log(
(
; )
( ; ))
( ,
,
, )
(1
)
i
k
i
i
h
x
H y
H y
l x y y w
w
w
. Введем
матрицу
( )
T
M l l
.
Пусть
( , )
u v
скалярное произведение для векторов
,
.
s
u v
Следующая
теорема утверждает ЛАН для СОП.
Теорема 7.
Пусть выполнены условия регулярности (С1)-(С5) и
det{ ( )}
0
для
. Тогда для СОП
,
( )
n
L
u
имеет место представление
0
0
1/2
,
1
2
0
0
1
1
( )
exp
(
,
,
,
);
( ) ;
( ;
)
2
n
n
j
j
j
j
n
j
L
u
n
l
X Y Y
w
u
u u
R u
, (22)
где при
n
для каждого
s
u
44
( )
0
0
( ;
)
0
n
Q
n
R u
(23)
и
0
0
( )
1/2
1
2
0
1
(
,
,
,
) /
(0; ( ))
n
n
j
j
j
j
s
j
n
l
X Y Y
w
Q
L
.
Из (22) следует, что СОП
,
( )
n
L
u
аппроксимируется экспоненциальной
плотностью, а
,
( )
n
u
имеет асимптотическое
s
-мерное нормальное
распределение.
Пусть параметр
- скалярный
(
1)
s
и
1/ 2
0
( ( ))
u
v
, где
1
v
.
Тогда при условиях теоремы 7 при каждом
1
v
:
0
0
,
,
0
1
( )
exp
( ;
)
2
n
n
n
L
v
v
v
R v
. (24)
Здесь
0
0
( ;
)
0
n
P
R v
при
n
и
0
0
( )
,
/
(0;1),
n
n
Q
N
L
(25)
где
0
0
1/2
,
0
1
2
1
( )
,
,
,
n
n
j
j
j
j
j
n
l
X Y Y
w
.
Таким
образом,
в силу
(25) СОП
0
,
( )
n
L
v
при
n
ведѐт себя как с.в.
2
1
exp
2
v
v
, где
(0,1)
d
N
. Однако,
на самом деле СОП
,
( )
n
L
v
является случайным процессом по переменной
1
v
. Далее исследуем свойства асимптотической гауссовости случайного
процесса
1
,
( ),
n
v v
, где
,
,
( )
log
( )
n
n
v
L
v
. Это свойство СОП назовѐм
РАН.
Для свойства РАН рассмотрим следующие условия регулярности:
(С'1) Пусть
[ , ]
a b
, где
a
b
;
(С'2) Множества
( )
i
N
- не зависят от
и
( )
1
k
i
i
N
N
;
(С'3) Субплотности
( )
( ; ),
i
h
x
,
1,...,
i
k
, трижды непрерывно
дифференцируемы по
и
1
3
( )
3
( ; )
log
( ; )
sup
,
1,..., ;
i
x
R
h
x
M
i
k
(С'4) Интегралы
( )
( )
( ; ) (
)
i
l x h
x
dx
,
1,...,
i
k
, дифференцируемы по
под знаком интеграла;
(С'5) Для всех
:
( )
(0, )
.
Пусть
1
:
. Далее рассмотрим СОП
,
( ),
n
L
v v
как случайный
процесс с непрерывным временем
v
.
Определение 2.
Будем говорить, что СОП
,
( ),
n
L
v v
удовлетворяет
равномерному варианту ЛАН (т.е. РАН), если
,
( )
( )
n
L
L
, (26)
45
где
2
1
( )
exp
,
2
L v
v
v
v
. ■
Легко убедится в том, что процесс
( )
,
v
v v
является
гауссовским с нулевым средним и ковариацией
1
2
1 2
( ), ( )
Cov
v
v
v v
,
1 2
v v
. Слагаемые, входящие в сумму в
,
n
, могут быть представлены как
( )
( )
1
2
1
log
( ; )
,
,
;
i
k
i
j
j
j
j
j
j
i
h
x
l
X Y Y
w
w
( )
1
2
log
( ; )
(1
)
i
j
j
j
j
h
x
w M
Y
X
Y
.
При
этом
0
M l
и
2
( )
M l
для всех
. Следовательно,
,
0
n
M
,
2
,
1
n
M
для
всех
.
Слабая
сходимость
(27)
содержится
в
следующем
утверждении.
Теорема 8.
Пусть выполнены условия (С'1)-(С'5). Тогда для СОП
имеет место представление
0
,
( )
exp
( )
( )
( )
n
n
n
n
L
v
v
v
r v
,
где при
n
:
( )
( )
n
,
2
п.н.
sup
( )
0
2
n
v
v
v
и
п.н.
sup
( )
0
n
v
r v
.
Четвертая глава диссертации, названная
«Использование свойства
локальной асимптотической нормальности статистики отношения
правдоподобия в теории оценивания и проверки гипотез»
, посвящена
применению свойства ЛАН для СОП для исследования асимптотических
свойств оценок байесовского типа и максимального правдоподобия, а также
исследованию асимптотических свойств критериев типа хи-квадрат в
моделях неполных наблюдений. В § 4.1, используя свойство ЛАН в общей
статистической модели, исследуются асимптотические свойства оценки
байесовского типа для неизвестного параметра и доказана еѐ
асимптотическая эффективность. Эта оценка включает в себя и
байесовскую оценку. В § 4.2 диссертации исследуется ОМП в МКР при
случайном цензурировании с двух сторон. В этом параграфе также
используются свойства ЛАН для СОП для исследования асимптотических
свойств ОМП. При этом сперва устанавливается асимптотическая
эффективная нормальность ОМП и затем при помощи теоремы Гаека
доказано, что ОМП является также и асимптотически минимаксной
эффективной, т.е. достигает асимптотическую нижнюю границу
квадратических рисков для байесовских оценок. Здесь также показано, что
ОМП является и асимптотически байесовской. В § 4.3 в модели случайного
цензурирования с двух сторон, исследуются две статистики для проверки
сложных гипотез, которые в пределе имеют хи-квадрат распределения с
соответствующими степенями свободы. При этом первая статистика
является обобщѐнной статистикой типа хи-квадрат и для построения этой
статистики используется непараметрическая степенная оценка для ф.р.
Установлено, что предельное распределение этой статистики имеет хи-
квадрат распределение. Вторая статистика есть удвоенный логарифм СОП
модели случайного цензурирования с двух сторон и доказано, что эта
46
статистика также имеет хи-квадрат распределение, число степеней свободы
которого совпадает с числом неизвестных параметров. Эти результаты
могут быть использованы для построения асимптотических критериев типа
хи-квадрат для проверки соответствующих сложных гипотез.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Настоящая
диссертационная
работа
посвящена
исследованию
асимптотических свойств СОП в различных моделях неполных наблюдений
и использованию этих свойств в задачах теории оценивания и проверки
статистических гипотез. По приведѐнным в диссертации результатам можно
сделать вывод о том, что в ней:
1.
Доказаны свойства ЛАН для СОП в МКР при случайном и
гибридном цензурировании справа;
2.
Установлен аппроксимационный вариант свойства ЛАН для СОП в
МКР при случайном цензурировании с двух сторон интервалами
наблюдения и ненаблюдения;
3.
Установлен аппроксимационный вариант свойства ЛАН для СОП в
МКР при информативном цензурировании с двух сторон;
4.
Доказана
асимптотическая
эффективность
оценок
байесовского типа;
5.
Найдены предельные распределения обобщѐнных статистик типа
хи-квадрат и СОП.
47
SCIENTIFIC COUNCIL AWARDING SCIENTIFIC DEGREES
DSc.27.06.2017.FM.01.01 NATIONAL UNIVERSITY OF UZBEKISTAN,
INSTITUTE OF MATHEMATICS
NATIONAL UNIVERSITY OF UZBEKISTAN
NURMUKHAMEDOVA NARGIZA SAYDILLAEVNA
ASYMPTOTIC RESULTS FOR THE LIKELIHOOD RATIO STATISTICS
AND ITS APPLICATIONS IN ESTIMATION THEORY
01.01.05-Probability theory and mathematical statistics
ABSTRACT OF DISSERTATION OF THE DOCTOR OF PHILOSOPHY (PhD) ON
PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
TASHKENT-2017
48
The theme of dissertation of doctor of philosophy (PhD) on physical and mathematical
sciences was registered at the Supreme Attestation Commission at the Cabinet of Ministers of the
Republic of Uzbekistan under number В2017.2.PhD/FM1 46.
Dissertation has been prepared at National University of Uzbekistan.
The abstract of the dissertation is posted in three languages (uzbek, russian, english (resume)) on
the website (www.ik-fizmat.nuu.uz) and the “Ziyonet” Information and educational portal
(www.ziyonet.uz).
Scientific supervisor:
Abdushukurov Abdurakhim Akhmedovich
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor
Official opponents:
Sharipov Olimjon Shukurovich
Doctor of Physical and Mathematical Sciences
Imomov Azam Abdurakhimovich
Doctor of Philosophy on Physical and Mathematical Sciences
Leading organization:
Namangan State University
Defense will take place «____» _____________2017 at _____ at the meeting of Scientific Council
number DSc.27.06.2017.FM.01.01
at National University of Uzbekistan, Institute of Mathematics.
(Address: University str. 4, Almazar area, Tashkent, 100174, Uzbekistan, Ph.: (+99871) 227-12-24, fax:
(+99871) 246-53-21, e-mail: nauka@nuu.uz).
Dissertation is possible to review in Information-resource centre at National University of
Uzbekistan (is registered №____) (Address: University str. 4, Almazar area, Tashkent, 100174,
Uzbekistan, Ph.: (+99871) 246-02-24).
Abstract of dissertation sent out on «____» _______________2017 year
(Mailing report № ___________on «____» _______________2017 year)
A. Sadullaev
Chairman of scientific council
on award of scientific degrees,
D.F.-M.S., professor, academician
G.I. Botirov
Scientific secretary of scientific council
on award of scientific degrees, C.F.-M.S.
Sh.K.Formanov
Chairman of scientific Seminar under Scientific
Council on award of scientific degrees,
D.F.-M.S., professor, academician
49
INTRODUCTION (abstract of PhD thesis)
The aim of research work
is the establishing of asymptotic representations
for the likelihood ratio statistics in incomplete data models, obtaining by several
types censoring of competing risks model.
The object of the research work
is likelihood ratio statistics in a competing
risks model under several types of random censoring.
Scientific novelty of the research work
is consist on follows:
proved a result on the approximation of stochastic integrals of the likelihood
ratio statistics of two-parametrical Wiener process in the competing risks model;
proved the property of local asymptotic normality of the likelihood ratio
statistics in competing risks model under hybrid censoring on the right;
using methods of strong approximation for empirical processes in competing
risks model under a random and informative censoring from both sides established
asymptotic representations for the likelihood ratio statistics;
proved properties of local and uniform local asymptotic normality for the
likelihood ratio statistics in competing risks model under random censoring by
nonobserving intervals;
proved an of asymptotic minimax efficiency of the maximum likelihood and
Bayesian type estimates;
found the limit distribution of generalized chi-square statistics and likelihood
ratio under random censoring from both sides.
Implementation of the research results.
The results obtained during the
dissertation research are practiced in the following areas:
The results obtained in the dissertation on generalized chi-square statistics for
incomplete observations and the asymptotic properties of this statistics were used
in Center for Retraining and statistical research for determining the distributions of
the investigated random variables, and also in the training process for retraining
courses. (Certificate of State Committee of the Republic of Uzbekistan on
Statistics, August 25, 2017, No. 01/1-01-19/2-1039). The results of the dissertation
are used in the educational process of the Department of "Theory of Probability
and Mathematical Statistics" of the Mathematical Faculty of the NUUz (Certificate
of the Ministry of Higher and Secondary Special Education of the Republic of
Uzbekistan, August 2017).
The structure and volume of the thesis.
The thesis consists of an
introduction, four chapters, conclusion and bibliography. The volume of the thesis
is 120 pages.
50
ЭЪЛОН ҚИЛИНГАН ИШЛАР РЎЙҲАТИ
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ
LIST OF PUBLISHED WORKS
I бўлим (I часть; part I)
1.
Абдушукуров А.А., Нурмухамедова Н.С. Аппроксимация статистики
отношения правдоподобия в модели конкурирующих рисков при случайном
цензурировании с двух сторон. // Вестник НУУз. 2011. N.4. c.162-172.
(01.00.00; №8)
2.
Нурмухамедова Н.С. Локальная асимптотическая нормальность и еѐ
роль при оценивании неизвестного параметра. // Вестник НУУз. 2012. N.1.
с.166-169. (01.00.00; №8)
3.
Нурмухамедова Н.С. Результаты аппроксимаций для статистик
отношения
правдоподобия
в
обобщенной
модели
случайного
цензурирования с двух сторон. // Узб. Мат. Журнал. 2012. N.1 . c. 95-106.
(01.00.00; №6)
4.
Абдушукуров А.А., Нурмухамедова Н.С. Локальная асимптотическая
нормальность в модели конкурирующих рисков. // Узб. Мат. Журнал. 2012.
N.2. c. 5-12. (01.00.00; №6)
5.
Абдушукуров А.А., Нурмухамедова Н.С. Аппроксимации статистики
отношения правдоподобия в модели конкурирующих рисков. // Доклады АН
РУз. 2012. №2. с. 8-12. (01.00.00; №7)
6.
Abdushukurov A.A., Nurmukhamedova N.S. Local approximate normality
of likelihood ratio statistics in competing risks model under random censorship
from both sides. // Far East J. of Theoretical Statistics. 2013. v.42. N.2.p.107-122.
(6. Global Impact Factor. IF-0.987)
7.
Abdushukurov A.A., Nurmuhamedova N.S. Locally asymptotically
normality of the family of distributions by incomplete observations. // Journal of
Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2014. v.7. N.2. p.141-154.
(40. Research Gate. IF=0.23)
8.
Abdushukurov A.A., Nurmuhamedova N.S. Asymptotic minimax
efficiency of maximum likelihood estimates in competing risks model. // ACTA
NUUz. 2014. N.1. p.4-9. (01.00.00; №8)
9.
Нурмухамедова Н.С. Локальная и равномерная асимптотическая
нормальность семейств распределений по неполным наблюдениям. //
Доклады АН РУз. 2014. №3. с. 3-7. (01.00.00; №7)
10.
Нурмухамедова Н.С. Равномерная асимптотическая нормальность
семейств распределений по неполным наблюдениям. // Узб. Мат. Журнал.
2014. №4. с.115-123. (01.00.00; №6)
11.
Абдушукуров
А.А.,
Нурмухамедова
Н.С.
Локальная
асимптотическая нормальность статистических экспериментов и еѐ роль в
теории оценивания и проверки гипотез. // Заводская лаборатория.
Диагностика материалов. Сер. Математические методы исследования. 2016.
№ 3. Том. 82. с.74-79. (9. GeoRef. IF=0.239)
51
12.
Abdushukurov A.A., Nurmuhamedova N.S. Approximation of likelihood
ratio statistics in competing risks model under informative random censorship from
both sides. // Pakistan J. Statistics and Operation Research. 2016. v. XII. N. 1.
p.155-164. (6. Global Impact Factor. IF-0.987)
II бўлим (II часть; part II)
13.
Абдушукуров А.А., Нурмухамедова Н.С. Об одной статистике типа
хи-квадрат для проверки сложной гипотезы о пропорциональности
интенсивностей.// Материалы международной конференции «Новые
направления в теории динамических систем и некорректных задач». (19-20
октября, 2007г. г. Самарканд) с. 7-8.
14.
Нурмухамедова Н.С., Обобщенная статистика типа хи-квадрат при
неполных наблюдениях //Материалы республиканской научной конференции
«Современные проблемы математики, механики и информационных
технологий» Ташкент, 2008г. с. 212-214.
15.
Нурмухамедова Н.С. Проверка гипотезы согласия в регрессионной
модели Кокса. // Тезисы докладов международной конференции «Современ-
ные проблемы математики, механики и их приложений», посв. 70-летию
акад. В.А. Садовничего, г.Москва, 30. марта 2-апреля 2009 г., с.397.
16.
Нурмухамедова
Н.С.
Статистика
типа
2
для
случая
цензурированных наблюдений. // Материалы республиканской научной
конференции
«Вычислительные
технологии
и
математическое
моделирование», г.Ташкент, 27-30 апреля 2009г., с.105-106.
17.
Нурмухамедова
Н.С.
Оценивание
кумулятивной
функции
интенсивности отказов в цензурированной модели Кокса. // VIII
Международная ФАМ’2009 конференция. Программа и тезисы. Красноярск,
2009г., с 90.
18.
Нурмухамедова Н.С., Юлдашева Г.А. Кўрсаткичли тақсимот
характеристик хоссалари ва уларнинг статистикада қўлланилиши.
// Республика илмий анжумани материаллари “Ёш математикларнинг янги
теоремалари-2009”, Наманган, 2009 й. 28-29 б.
19.
Нурмухамедова Н.С., Бобожонов Ж.А. Об оценке интегральных
функционалов по неполным наблюдениям. // Материалы VI-Ферганской
научной конференции «Предельные теоремы теории вероятностей и их
приложения», 10-12 мая 2011, г.Фергана .c.97-98.
20.
Нурмухамедова Н.С. Асимптотическое распределение статистики
отношения правдоподобия для неполных наблюдений. // Труды научной
конференции «Проблемы современной математики» (ММР’2011), г. Карши.
22. с.198-200.
21.
Абдушукуров
А.А.,
Нурмухамедова
Н.С.
Аппроксимации
статистики отношения правдоподобия в модели конкурирующих рисков при
информативном случайном цензурировании с двух сторон. // Труды IX
Международной ФАМЭБ-2012 конференции. Красноярск, 21-22 апреля.
2012г. c.51-55.
52
22.
Nurmukhamedova N.S. Asymptotic representations for the likelihood
ratio statistics in competing risks model under progressive. // Eight International
Triennial Symposium on Probability & Statistics. December 27-30, 2012, p.33.
23.
Nurmuhamedova N.S. Asymptotically normal class of estimators of
parameters from incomplete survival data. // Seminar on Stability Problems for
Stochastic models. 2012. p. 27.
24.
Nurmuhamedova N.S. Asymptotic representations for the likelihood ratio
statistics in competing risks model under progressive censoring. // Труды XVII
Международной ЭМ конференции по эвентологической математике и
смежным вопросам. Красноярск. 2012. c.34-35.
25.
Абдушукуров А.А., Нурмухамедова Н.С. Частотные методы анализа
информации в текстах. // Материалы республ. научно-практической конф.
«Статистика и еѐ применения», НУУз. 17-18 октября, 2012 г. Ташкент.
SHARQ. с. 253-262.
26.
Нурмухамедова Н.С. Асимптотическая минимаксная эффективность
оценок максимального правдоподобия. // Материалы республ. научно-
практической конф. «Статистика и еѐ применения», НУУз. 17-18 октября,
2012 г. Ташкент. SHARQ. с. 54-59.
27.
Abdushukurov A.A., Nurmuhamedova N.S. On asymptotic minimax
efficiency of maximum likelihood estimates by incomplete data. // Proceedings of
XII International Conf.on Finansial and Actuarial Mathematics and Eventology of
Safety. Krasnoyarsk. Russia. 2013. p.20-21.
28.
Нурмухамедова Н.С. Эффективность оценки максимального
правдоподобия в модели конкурирующих рисков. // “Ёш математикларнинг
янги теоремалари – 2013” – Республика илмий-амалий анжуман
материаллари. 15-16 апрел. 2013 й. Наманган. Тўплам № 1. 20-21 б.
29.
Абдушукуров
А.А.,
Нурмухамедова
Н.С.
Равномерная
асимптотическая нормальность семейств распределений по неполным
наблюдениям. // Материалы республ. научно-практической конф.
«Статистика и еѐ применения», НУУз. 17-18 октября, 2013 г. Ташкент.
Университет. с. 37-43.
30.
Абдушукуров А.А., Нурмухамедова Н.С., Мейликова Ф.И.
Кузатилмайдиган интервал бўйича цензурланиш моделида статистик бағо
дисперсияси учун қуйи чегара. // Материалы республ. научно-практической
конф. «Статистика и еѐ применения», НУУз. 17-18 октября, 2013 г. Ташкент.
Университет. с. 47-49.
31.
Nurmuhamedova N.S. Asymptotic minimax efficiency of maximum
likelihood estimates in competing risks model under random censoring from both
sides. // International conference “Modern problems of applied mathematics and
information technologies al-Khorazmiy-2014”, 2014, pp. 136-138.
32.
Нурмухамедова Н.С Асимптотическая минимаксная эффектив-
ность оценок максимального правдоподобия при случайном цензуриро-
вании интервалом ненаблюдения // XIV International Conference on FAM and
Eventology of Multivariate Statistics, Krasnoyarsk, Russia, 2015, 24-25 april.
53
33.
Nurmukhamedova N.S. Uniform locally asymptotically normality for
likelihood ratio statistics in competing risk model // III Scientific-applied conference
"Statistics and its Applications", Tashkent, 2015, 16-17 October, p.147-151.
34.
Нурмухамедова Н.С. Локальная асимптотическая нормальность
семейств распределений по неполным наблюдениям. // The first International
Conference ICCAWMA-2016 “Actual problems in Mathematics and Mechanics in
Central Asia” for Region of Central Asia. September 22-23, 2016.
35.
Нурмухамедова Н.С. Равномерная асимптотическая нормальность в
модели конкурирующих рисков при случайном цензурировании интервалом
ненаблюдения. // Материалы республиканской научно-практической
конференции «Актуальные проблемы математики», Андижан. 17 мая, 2016.
с. 366-371.
36.
Нурмухамедова Н.С., Юсупов Ж. Информация Фишера в моделях
случайного цензурирования справа. // V-Международная научная
конференция
“Актуальные
проблемы
прикладной
математики
и
информационных технологий - Ал-Хоразмий”, 9-10 ноября, 2016 г. с.222-226.
37.
Абдушукуров А.А., Нурмухамедова Н.С. Асимптотические свойства
последовательности вероятностных мер, индуцированных неполными
статистическими данными. // Тезисы докладов научной конференции с
участием зарубежных учѐных «Проблемы современной топологии и еѐ
приложения». Ташкент, 11-12 мая 2017 г, с. 123-126
38.
Abdushukurov A.A., Nurmukhamedova N.S. Asymptotical properties of
likelihood ratio statistics under hybrid censored. // Abstracts of The second USA-
Uzbekistan conference on analysis and mathematical physics. Urgench, 8-12
August, 2017. p.79.
39.
Abdushukurov A.A., Nurmukhamedova N.S. Asymptotic efficiency of
Bayesian type estimates for unknown parameter in competing risks model under
random censoring by nonobserving intervals. // Proceeding of the Fourth
International Workshop Applied Methods of Statistical Analysis. Nonparametric
Methods in Cybernetics and System Analysis (AMSA). 18-22 September, 2017.
p. 143-148.
54
Автореферат «ЎзМУ хабарлари» таҳририятида таҳрирдан ўтказилди
(«___» ________ 2017 йил).
Босишга рухсат этилди: _________2017 йил
Бичими 60х44
1
/
16
, «Times New Roman»
гарнитурада рақамли босма усулида босилди.
Шартли босма табоғи 3,4. Адади: 100. Буюртма: № 312.
Ўзбекистон Республикаси ИИВ Академияси,
100197, Тошкент, Интизор кўчаси, 68
«АКАДЕМИЯ НОШИРЛИК МАРКАЗИ»
Давлат унитар корхонасида чоп этилди.
