Катта деформацияларни эътиборга олган ҳолда ўзгарувчи қалинликка эга бўлган қовушқоқ-эластик юпқа қобиқли конструкцияларнинг динамик ҳисоби назарияси ва усулларини ривожлантириш

Рустамхан Абдикаримов

doi:10.71337/inlibrary.uz.autoabstract.70676

Авторы

Рустамхан Абдикаримов
Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства Национальный исследовательский университет

DOI:

https://doi.org/10.71337/inlibrary.uz.autoabstract.70676

Ключевые слова:

Ортотропные свойства материала деформации ползучести картина напряженно-деформированного состояния прочность колебания устойчивость

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. В мире особое внимание уделяется производству строительных конструкций, рабочих органов сельскохозяйственной техники и грузоподъёмных частей продукций автомобилестроительной промышленности из металлических и композитных материалов на основе ресурсосберегающих технологий. Вместе с тем обеспечение прочности и повышение срока службы тонкостенных конструкций становится основной задачей. Это в свою очередь вызывает необходимость развития методов решений, осуществляемых при расчете динамики тонкостенных конструкций.
В мире научно-исследовательские работы по оценке прочности и напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций ведутся в более чем 50 странах мира, в таких как США, Япония, Германия, Китай, Россия, Узбекистан. Развитие теории и методов динамического расчета тонкостенных конструкций, работающих при больших деформациях, с учетом переменности толщины, особенностей материалов и образуемых напряженно-деформируемых состояний, имеет большое значение. В этой связи, в частности, осуществление целенаправленных научных исследований по созданию теории оценки динамики изменения и устойчивости тонкостенных конструкций под воздействием внешних нагрузок с учетом особенностей материалов, разнообразия конструкций, имеющихся в них деформаций, а также разработка эффективных методов, алгоритмов и программ считается одним из важнейших задач в этом направлении.
С обретением независимости нашей Республикой стали уделять особое внимание созданию вязкоупругих тонкостенных конструкций, обладающих высоким качеством. Благодаря предпринятым мерам при проектировании строительных сооружений, в автомобилестроении, сельскохозяйственной техники и других объектов были достигнуты ощутимые результаты в использовании тонкостенных конструкций. В результате этого было достигнуто снижение веса изготовляемой продукции и обеспечено ресурсосбережение при их производстве. В этой области для обеспечения прочности вязкоупругих тонкостенных конструкций переменной толщины целесообразно учитывать большие деформации. В стратегии действий, направленной на развитие Республики Узбекистан на 2017-2021 годы, особо подчеркивается, что необходимо “... внедрение новых современных технологий для повышения конкурентоспособности национальной экономики”1. Для осуществления данной задачи на основе развития теории и методов динамического расчета вязкоупругих тонкостенных конструкций переменной толщины с учетом больших деформаций обеспечение ресурсосбережения и как его следствие повышение конкурентоспособности продукции считается важнейшей задачей.
Данное диссертационное исследование в определенной степени служит выполнению задач, предусмотренных в Указах Президента Республики Узбекистан №УП-4947 “О стратегии действий по дальнейшему развитию Республики Узбекистан” от 7 февраля 2017 года, №УП-3080 “О дальнейшем развитии компьютеризации и внедрении информационно-коммуникационных технологий” от 30 мая 2002 года, в Постановлениях Президента Республики Узбекистан №ПП-1442 “О приоритетных направлениях развития промышленности Республики Узбекистан в 2011-2015 годы” от 15 декабря 2010 года, №ПП-1730 “О дальнейшем внедрении и развитии информационно-коммуникационных технологий” от 21 марта 2012 года, в Постановлении Кабинета Министров Республики Узбекистан №64 “О дополнительных мерах по сокращению производственных затрат и снижению себестоимости продукции в промышленности” от 7 марта 2012 года, а также другими нормативно-правовими документами, принятыми для развития данной сферы.
Целью исследования является развитие теоретических основ и методов решений динамики и динамической устойчивости тонкостенных конструкций с учетом вязкоупругих свойств материалов при больших деформациях.
Научная новизна исследования заключается в следующем:
усовершенствована математическая постановка нелинейных динамических задач вязкоупругих изотропных и ортотропных пластинок, панелей и оболочек переменной толщины при больших деформациях;
разработана система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами для задач динамики вязкоупругих изотропных пластин, панелей и оболочек переменной асимметричной толщины при больших деформациях;
разработаны системы нераспадающихся интегро-дифференциальных уравнений и алгоритм расчета задач о нелинейных колебаниях и динамической устойчивости (с учетом быстровозрастающихся и периодических нагрузок) вязкоупругих изотропных и ортотропных пластинок, цилиндрических панелей и оболочек переменной толщины с учетом больших деформаций;
усовершенствованы методы численного решения нераспадающихся систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений со слабосингулярными ядрами и переменными коэффициентами;
созданы методы и алгоритмы численного решения нераспадающихся систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений задач о нелинейных колебаниях, динамической устойчивости и параметрических колебаниях вязкоупругих тонкостенных конструкций переменной толщины.
Заключение
На основе проведенных исследований по диссертации доктора наук (DSc) на тему: “Развитие теории и методов динамического расчета вязкоупругих тонкостенных конструкций переменной толщины с учетом больших деформаций” представлены следующие выводы:
1. Разработаны теоретические предпосылки, общая математическая постановка и метод решения нелинейных задач динамики вязкоупругих изотропных и ортотропных пластин, панелей и оболочек переменной толщины при больших деформациях с учетом и без учета распространения волн. Разработанный метод служит при расчете конструкций вязкоупругих изотропных и ортотропных пластин, панелей и оболочек.
2. Создан общий вид систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами для задач динамики вязкоупругих изотропных пластин, панелей и оболочек переменной асимметричной толщины при больших деформациях. Полученная система интегро-дифференциальных уравнений дает возможность прогноза деформаций.
3. Разработаны теоретическая основа и метод математического решения постановки задач колебаний вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей с сосредоточенными массами и произвольными вырезами в геометрически нелинейной постановке. Разработанный метод позволяет оценить концентрацию напряжений в цилиндрических панелях.
4. Разработано упрощенное линейное и нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, описывающее динамические процессы деформирования вязкоупругой цилиндрической оболочки и трубы при протекании через нее жидкости с учетом нелинейности свойств материала и больших деформаций. Разработанная система уравнений позволяет оценить динамику вязкоупругих цилиндрических оболочек и труб при протекании через них жидкости.
5. Разработаны системы нераспадающихся интегро-дифференциальных уравнений задач о нелинейных колебаниях и динамической устойчивости вязкоупругих изотропных и ортотропных пластин, цилиндрических панелей и оболочек переменной толщины с учетом больших деформаций. Разработанная система уравнений позволяет оценить уровень колебаний тонких оболочечных конструкций с учетом нелинейной деформации.
6. Разработаны два вида численных методов решения нераспространяющихся систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами со слабо- сингулярными ядрами. Разработанные методы позволяют упростить метод решения интегро-дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами со слабосингулярными ядрами.
7. Разработан алгоритм исключения особенностей интегро-дифференциальных уравнений с сингулярным ядром типа Колтунова-Ржаницына, основанный на использования квадратурных формул, позволяющий привести к одинаковому измерению относительно времени /. Разработанный алгоритм позволяет упростить метод решения системы интегро-дифференциальных уравнений со слабо-сингулярными ядрами.
8. Разработаны алгоритмы численного решения нераспадающихся систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений задач о нелинейных колебаниях, динамической устойчивости и параметрических колебаниях вязкоупругих тонкостенных конструкций переменной толщины. Разработанный алгоритм позволяет оценить срок службы конструкций с тонкостенной оболочкой.
9. Разработан алгоритм исследования сходимости итерационного процесса при решении нелинейных задач динамики вязкоупругих тонкостенных конструкций переменной толщины с переменными коэффициентами. Разработанный алгоритм позволяет оценить динамические силы возникающие в тонкостенных конструкциях.
10. Разработан метод решения динамических задач вязкоупругих тонкостенных конструкций переменной толщины с учетом больших деформаций. Разработанный метод позволяет упростить оценку напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций.

1

ТОШКЕНТ ДАВЛАТ ТЕХНИКА УНИВЕРСИТЕТИ ВА ЎЗБЕКИСТОН

МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ ҲУЗУРИДАГИ ИЛМИЙ ДАРАЖАЛАР

БЕРУВЧИ DSc.27.06.2017.T/FM.03.04 РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ

ТОШКЕНТ ИРРИГАЦИЯ ВА ҚИШЛОҚ ХЎЖАЛИГИНИ
МЕХАНИЗАЦИЯЛАШ МУҲАНДИСЛАРИ ИНСТИТУТИ

АБДИКАРИМОВ РУСТАМХАН АЛИМХАНОВИЧ

КАТТА ДЕФОРМАЦИЯЛАРНИ ЭЪТИБОРГА ОЛГАН ҲОЛДА

ЎЗГАРУВЧИ ҚАЛИНЛИККА ЭГА БЎЛГАН ҚОВУШҚОҚ-ЭЛАСТИК

ЮПҚА ҚОБИҚЛИ КОНСТРУКЦИЯЛАРНИНГ ДИНАМИК ҲИСОБИ

НАЗАРИЯСИ ВА УСУЛЛАРИНИ РИВОЖЛАНТИРИШ

01.02.04 – Деформацияланувчан қаттиқ жисм механикаси

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАНЛАРИ ДОКТОРИ (DSc)

ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ

Тошкент - 2017

2

Докторлик

(DSc)

диссертацияси автореферати мундарижаси

Оглавление автореферата докторской

(DSc)

диссертации

Contents of the doctoral

(DSc) d

issertation abstract

Абдикаримов Рустамхан Алимханович

Катта деформацияларни эътиборга олган ҳолда ўзгарувчи қалинликка
эга бўлган қовушқоқ-эластик юпқа қобиқли конструкцияларнинг
динамик ҳисоби назарияси ва усулларини ривожлантириш…..........……... 3

Абдикаримов Рустамхан Алимханович

Развитие теории и методов динамического расчета вязкоупругих
тонкостенных конструкций переменной толщины с учетом
больших деформаций ……………………………………………………….. 30

Abdikarimov Rustamkhan Alimkhanovich

The development of theory and methods for dynamic analysis of
viscoelastic thin-walled structures of variable thickness, taking
into account large deformation …...……………………………………..….... 56

Эълон қилинган ишлар рўйхати

Список опубликованных работ
List of published works ……………………………………………….……… 60

3

ТОШКЕНТ ДАВЛАТ ТЕХНИКА УНИВЕРСИТЕТИ ВА ЎЗБЕКИСТОН

МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ ҲУЗУРИДАГИ ИЛМИЙ ДАРАЖАЛАР

БЕРУВЧИ DSc.27.06.2017.T/FM.03.04 РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ

ТОШКЕНТ ИРРИГАЦИЯ ВА ҚИШЛОҚ ХЎЖАЛИГИНИ
МЕХАНИЗАЦИЯЛАШ МУҲАНДИСЛАРИ ИНСТИТУТИ

АБДИКАРИМОВ РУСТАМХАН АЛИМХАНОВИЧ

КАТТА ДЕФОРМАЦИЯЛАРНИ ЭЪТИБОРГА ОЛГАН ҲОЛДА

ЎЗГАРУВЧИ ҚАЛИНЛИККА ЭГА БЎЛГАН ҚОВУШҚОҚ-ЭЛАСТИК

ЮПҚА ҚОБИҚЛИ КОНСТРУКЦИЯЛАРНИНГ ДИНАМИК ҲИСОБИ

НАЗАРИЯСИ ВА УСУЛЛАРИНИ РИВОЖЛАНТИРИШ

01.02.04 – Деформацияланувчан қаттиқ жисм механикаси

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАНЛАРИ ДОКТОРИ (DSc)

ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ

Тошкент - 2017

4

Физика-математика фанлари доктори (DSc) диссертацияси мавзуси Ўзбекистон

Республикаси Вазирлар Маҳкамаси ҳузуридаги Олий аттестация комиссиясида
B2017.2.DSc/FM55 рақам билан рўйхатга олинган.

Диссертация Тошкент ирригация ва қишлоқ хўжалигини механизациялаш муҳандислари

институтида бажарилган.

Диссертация автореферати уч тилда (ўзбек, рус, инглиз (резюме)) Илмий

кенгашнинг веб-саҳифасида (www.tdtu.uz) ва

“ZiyoNet” Ахборот-таълим порталида

(www.ziyonet.uz) жойлаштирилган.

Илмий маслаҳатчи:

Эшматов Хасан

техника фанлари доктори, профессор

Расмий оппонентлар:

Хусанов Бахтиёр Эргашевич

физика-математика фанлари доктори, прфессор

Сафаров Исмоил Сафарович

физика-математика фанлари доктори, профессор

Индиаминов Равшан Шукурович

физика-математика фанлари доктори

Етакчи ташкилот: Самарқанд архитектура қурилиш институти

Диссертация ҳимояси Тошкент давлат техника университети ва Ўзбекистон Миллий

университети ҳузуридаги DSc.27.06.2017. Т /FM.03.04

рақамли Илмий Кенгашнинг 2017 йил

«30» ноябр куни соат 10-00 даги мажлисида бўлиб ўтади. (Манзил: 100095, Тошкент шаҳри,
Университет кўчаси, 2. Тел/факс (99871) 227-10-32, e-mail: tadqiqotchi@tdtu.uz).

Диссертация билан Тошкент давлат техника университети Ахборот-ресурс марказида

танишиш мумкин (31 рақам билан рўйхатга олинган). Манзил: 100095, Тошкент шаҳри,
университет кўчаси, 2. Тел. (99871) 246-46-00.

Диссертация автореферати 2017 йил «17» ноябр куни тарқатилди.
(2017 йил «17» ноябрдаги 18 рақамли реестр баённомаси).

К.А.Каримов

Илмий даражалар берувчи

илмий кенгаш раиси, т.ф.д., профессор

Н.Д.Тураходжаев

Илмий даражалар берувчи

илмий кенгаш илмий котиби, т.ф.д.,

доцент

М.М. Мирсаидов

,

Илмий даражалар берувчи

илмий кенгаш қошидаги илмий семинар

раиси, т.ф.д., профессор

5

КИРИШ (фан доктори (DSc)

диссертацияси аннотацияси)

Диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати.

Дунёда метал ва

композит материалларидан қурилиш соҳаси конструкцияларини, қишлоқ
хўжалиги

техникасининг

ишчи органларини

ва

автомобилсозлик

махсулотларининг юк кўтарувчи қисмларини ресурстежамкор технологиялар
асосида ишлаб чиқаришга, конструкцияларнинг ишончлилигини таъминлаш
ва хизмат муддатини оширишга алоҳида эътибор қаратилмоқда. Бу ўз
навбатида юпқа қобиқли конструкцияларнинг динамикаси ҳисобини амалга
оширишда қўлланиладиган ечиш усулларини ривожлантириш заруратини
келтириб чиқаради.

Жаҳонда

юпқа

қобиқли

конструкциялар

мустаҳкамлиги

ва

кучланганлик-деформацияланганлик ҳолатини баҳолаш бўйича АҚШ,
Япония, Германия, Хитой, Россия, Ўзбекистон каби элликдан зиёд
мамлакатларида илмий-тадқиқот ишлари олиб борилмоқда. Катта
деформацияларда

ишлайдиган

юпқа

қобиқли

конструкцияларнинг

ўзгарувчан қалинлигидаги, материал хусусиятларини ҳисобга олгандаги ва
ҳосил бўладиган кучланганлик-деформацияланганлик ҳолатини ҳисобга
олгандаги динамик ҳисоб назарияси ва усулларини ривожлантириш муҳим
аҳамият касб этмоқда. Бу борада, жумладан, материалнинг хусусиятини,
конструкцияларнинг хилма-хиллигини ва улардаги деформацияларни
ҳисобга олган ҳолда юпқа қобиқли конструкцияларнинг ташқи куч таъсирида
ўзгариш динамикаси ва унинг устуворлигини баҳолайдиган назарияни хамда
уларни ечишнинг самарали усуллари, алгоритмлар ва дастурларини ишлаб
чиқиш каби йўналишларда мақсадли илмий-тадқиқотларни амалга ошириш
муҳим вазифалардан бири ҳисобланади.

Республикамиз мустақилликка эришгандан буён мамлакатимизда юқори

сифатга эга бўлган қовушқоқ-эластик юпқа қобиқли конструкцияларни
яратишга алоҳида эътибор қаратилмоқда. Амалга оширилган чора-тадбирлар
асосида қурилиш иншоотлари, автомобилсозлик, қишлоқ хўжалиги
техникаси ва бошқа объектларни лойиҳалаштиришда юпқа қобиқли
конструкциялардан фойдаланишда сезиларли натижаларга эришилди.
Натижада олинаётган махсулотларнинг вазни камайтирилди ва уларни ишлаб
чиқариш жараёнида ресурстежамкорликка эришилди. Ушбу соҳада
ўзгарувчан қалинликка эга бўлган қовушқоқ-эластик юпқа қобиқли
конструкцияларнинг мустахкамлигини таъминлашда катта деформацияларни
эътиборга олиш мақсадга мувофиқдир. 2017-2021 йилларда Ўзбекистон
Республикасини янада ривожлантириш бўйича Ҳаракатлар стратегиясида
«...миллий иқтисодиётнинг рақобатбардошлигини ошириш учун замонавий
технологияларни жорий этиш»

1

алоҳида таъкидлаб ўтилган. Мазкур

вазифани бажаришда катта деформацияларни эътиборга олган ҳолда
ўзгарувчи қалинликка эга бўлган қовушқоқ-эластик юпқа қобиқли

1

Ўзбекистон Республикаси Президентининг 2017 йил 7 февралдаги ПФ-4947-сон «Ўзбекистон

Республикасини янада ривожлантириш бўйича Ҳаракатлар стратегияси тўғрисида»ги Фармони

6

конструкцияларнинг

динамик

ҳисоби

назарияси

ва

усулларини

ривожлантириш

асосида

маҳсулот

ишлаб

чиқариш

учун

ресурстежамкорликни таъминлаш орқали унинг рақобатбардошлигини
ошириш муҳим масалалардан бири ҳисобланади.

Ўзбекистон Республикаси Президентининг 2017 йил 7 февралдаги ПФ-

4947-сон «Ўзбекистон Республикасини янада ривожлантириш бўйича
Ҳаракатлар стратегияси тўғрисида»ги, 2002 йил 30 майдаги ПФ-3080-сон
“Компьютерлаштиришни янада ривожлантириш ва ахборот-коммуникация
технологияларини жорий этиш тўғрисида”ги Фармонлари, Ўзбекистон
Республикаси Президентининг 2010 йил 15 декабрдаги ПҚ-1442-сон «2011-
2015 йилларда Ўзбекистон Республикаси саноатини ривожлантиришнинг
устувор йўналишлари тўғрисида»ги, 2012 йил 21 мартдаги ПҚ-1730-сон
«Замонавий ахборот-коммуникация технологияларини янада жорий этиш ва
ривожлантириш чора-тадбирлари тўғрисида»ги Қарорларида, Вазирлар
Маҳкамасининг 2012 йил 7 мартдаги 64-сон «Саноатда ишлаб чиқариш
харажатларини қисқартириш ва маҳсулот таннархини пасайтиришга доир
қўшимча чора-тадбирлар тўғрисида»ги Қарори ҳамда мазкур фаолиятга
тегишли бошқа меъёрий-ҳуқуқий хужжатларда белгиланган вазифаларни
амалга оширишга ушбу диссертация тадқиқоти муайян даражада хизмат
қилади.

Тадқиқотнинг республика фан ва технологиялари ривожланиши-

нинг устувор йўналишларига мослиги

. Мазкур диссертация Ўзбекистон

Республикаси фан ва технологиялар тараққиётининг II. «Энергетика, энергия
ва ресурстежамкорлик» устувор йўналиши доирасида бажарилган.

Диссертация мавзуси бўйича ҳалқаро илмий-тадқиқотлар шарҳи

2

.

Ўзгарувчан қалинликка эга бўлган юпқа қобиқли конструкцияларнинг

динамик ҳисобини такомиллаштиришга йўналтирилган илмий изланишлар
жаҳоннинг етакчи илмий марказлари ва олий таълим муассасалари,
жумладан, Флорида университети (АҚШ), Нагасаки университети (Япония),
Тяньжин университети (Хитой), Ҳиндистон технология институти
(Ҳиндистон), Механика муаммолари институти, Санкт-Петербург техника
университети, Саратов давлат техника университети (Россия Федерацияси),
Механика институти, Марказий аэрогидродинамика институти (Украина),
Арманистон ФА Механика институти (Арманистон), Математика ва
механика институти (Озарбайжон), Павлодар давлат университети
(Қозоғистон), Ўзбекистон ФА Механика ва иншоотлар сейсмик
мустаҳкамлиги институти, Тошкент ирригация ва қишлоқ хўжалигини
механизациялаш муҳандислари институти (Ўзбекистон)да кенг қамровли
илмий тадқиқот ишлари олиб борилмоқда.

2

Диссертация мавзуси бўйича хорижий илмий-тадқиқотлар шарҳи http://www.mathnet.ru/ (2000-2016);

http://msp.org/jomms/about/cover/cover.html

(2001-2011);

http://link.springer.com/

(2000-2017);,

http://www.sciencedirect.com/ (2002-2016); http://www.dissercat.com/catalog/fiziko-matematicheskie-nauki
(1999-2016); Механика деформируемого твердого тела. Реферативный журнал (1992-2016); Прикладная
механика (1992-2016); Прикладная математика и механика (1997-2016); Механика композиционных
материалов и конструкций (1995-2016); Прикладная механика и техническая физика (1993-2016) ва бошқа
манбалар асосида ишлаб чиқилган.

7

Пластинка, панел ва қобиқларнинг эркин ва мажбурий тебранишлари,

динамик устуворлиги масалаларини ечишда механик жараёнларни инобатга
олган ҳолда такомиллаштиришга оид жаҳонда олиб борилган тадқиқотлар
натижасида қатор, жумладан, қуйидаги илмий натижалар олинган: мураккаб
геометрияга

эга

бўлган

конструкцияларнинг

кучланганлик-

деформацияланганлик ҳолатини баҳолаш усуллари ривожлантирилган
(Флорида университети, Массачусет технология институти, АҚШ); юпқа
қобиқли конструкциялар мустаҳкамлиги ва барқарорлигини ҳисоблаш
усуллари такомиллаштирилган (Нагасаки университети, Токио технология
институти, Япония), назарий-тажрибавий усулларда материалларнинг
деформатив ва мустаҳкамлик хоссалари ўрганилган (Пекин ва Цинхуа
университетлари, Хитой); материалнинг қовушқоқ-эластик хусусиятларини
эътиборга

олган

ҳолда

унинг

назарияси

ва

ечиш

услублари

такомиллаштирилган (Москва давлат университети, Механика муаммолари
институти, Россия Федерацияси); ўзгарувчан қалинликдаги пластинка ва
қобиқларнинг динамик масалаларини ечиш усуллари ривожлантирилган
(Санкт-Петербург техника университети, Саратов давлат техника
университети, Россия Федерацияси); пластинка ва қобиқларнинг турли ҳил
гипотезаларга асосланган назариялари ва самарали ечиш усуллари ишлаб
чиқилган (Санкт-Петербург техника университети, Россия Федерацияси).

Дунёда

юпқа

пластинка

ва

қобиқларнинг

кучланганлик-

деформацияланганлик ҳолатига ўзгарувчан қалинлик таъсир этиш
жараёнларининг назарий асос ва самарали ечиш усулларини ишлаб чиқиш
бўйича қатор, жумладан, қуйидаги устувор йўналишларда илмий тадқиқот
ишлари олиб борилмоқда: композит материаллардан тайёрланган қўп
қатламли юпқа қобиқли конструкцияларни мустаҳкамликка баҳолаш
усулларини ишлаб чиқиш; статик ва динамик юкламаларнинг юпқа
пластинка ва қобиқларнинг кучланганлик-деформацияланганлик ҳолатига
таъсирини камайтириш усулларини ишлаб чиқиш; материалнинг физик-
механик хусусиятларини эътиборга олган ҳолда юпқа пластинка ва қобиқлар
динамик устуворлиги масалаларининг назарий асосларини яратиш; юпқа
пластинка ва қобиқларни оптимал лойиҳалаш услубларини ишлаб чиқиш;
таъсир этаётган ҳарорат даражасини эътиборга олган ҳолда юпқа пластинка
ва қобиқлар динамикаси масалаларини ечиш усулларини такомиллаштириш.

Муаммонинг ўрганилганлик даражаси

. Сўнгги йилларда ўзгарувчан

қалинликдаги

юпқа

қобиқли

конструкцияларнинг

кучланганлик-

деформацияланганлик ҳолатини баҳолашга қаратилган илмий-тадқиқотлар
олиб борилмоқда, жумладан Ercoli L., Laura P.A.A, Gil R., Carnicer R., Sanzi
H.C., Ng S.F., Araar Y., Sakiyama T., Huang M., Wang Y., Ye Zhiming,
Григоренко Я.М., Григоренко А.Я., Карпов В.В., Преображенский И.Н.,
Аголовян А.А., Киракосян P.M., Коренева Е.Б., Товстик П.Е., Филатов В.Н.,
Эшматов Х., Насретдинова Ш.С. ларнинг илмий-тадқиқот ишлари киради.
Григоренко Я.М., Григоренко А.Я., Аголовян А.А., Киракосян P.M.,
Коренева Е.Б., Тимошенко С.П., Филатов В.Н. ларнинг ишларида пластинка
ва қобиқларнинг қалинлиги ўзгарувчан бўлган, хусусан чизиқли, квадратик

8

ва бошқа функциялар кўринишида олинган ҳамда статик ва динамик
юкламалар таъсирида кучланганлик-деформацияланганлик ҳолати тадқиқ
қилинган.

Республикамизда Рашидов Т.Р., Бадалов Ф.Б., Мирсаидов М.М.,

Мавлянов Т.М., Сафаров И.С., Эшматов Х., Индиаминов Р. Ш. каби олимлар
пластинка, панел ва қобиқларнинг чизиқсиз тебраниши ва устуворлигига оид
масалалар ва уларни ечиш устида илмий тадқиқотлар олиб боришган.

Шу билан бир қаторда қовушқоқ-эластик хусусиятга эга бўлган

материаллардан тайёрланган юпқа қобиқли конструкцияларда бўладиган
жараёнлар таҳлили, катта деформацияларда ишлайдиган юпқа қобиқли
конструкциялар динамикасининг назарий асослари ҳамда сонли ечиш
усуллари ишлаб чиқилмаган. Бу борада, жумладан катта деформацияларда
юпқа қобиқли конструкция материалларининг хусусиятларини, ўзгарувчан
қалинлигини, шунингдек, уларда тешик ва мужассамланган массалар бўлган
ҳолларни ҳисобга олган ҳолда математик модели ва ечиш усулларининг
назарий асосларини ишлаб чиқиш ва ривожлантириш етарли даражада кўриб
чиқилмаган.

Диссертация тадқиқотининг диссертация бажарилган олий таълим

муассасаси илмий-тадқиқот ишлари режалари билан боғлиқлиги

.

Диссертация тадқиқоти Тошкент ирригация ва қишлоқ хўжалигини
механизациялаш муҳандислари институтининг илмий-тадқиқот режаси КХА-
15-041“Композицион материаллардан тайёрланган қовушқоқ-эластик юпқа
қобиқли конструкцияларнинг динамикаси чизиқсиз масалаларини ечишнинг
самарали усулларини ишлаб чиқиш” (2009-2011) мавзусидаги лойиҳаси
доирасида бажарилган.

Тадқиқотнинг мақсади

катта деформацияларда конструкция

материалининг қовушқоқ-эластик хусусиятини ҳисобга олган ҳолда юпқа
қобиқли конструкцияларнинг динамикаси ва динамик устуворлигининг
назарий асоси ва ечиш усулларини ривожлантиришдан иборат.

Тадқиқот вазифалари

:

катта

деформация

ҳамда

материалнинг

қовушқоқ-эластик

хусусиятларини ҳисобга олган ҳолда турли таъсир, тешиклар мавжудлиги,
мужассамланган массалар ва ўзгарувчан қалинликли пластинка ва
қобиқларнинг динамик ҳаракати ва кучланганлик-деформацияланганлик
ҳолатини баҳолаш ва башорат қилиш учун назарий асос ва умумлаштирилган
математик моделни ишлаб чиқиш;

анизотроп хусусиятларга эга бўлган ўзгарувчан қалинликдаги

эгилувчан

юпқа

қобиқли

конструкцияларнинг

деформацияланиш

назариясининг математик асос ва ечиш услубларини такомиллаштириш;

статик ва динамик юклама таъсири остида бўлган икки ва бир

йўналишда ўзгарувчан қалинликдаги қовушқоқ-эластик юпқа қобиқли
конструкцияларнинг чизиқсиз чегаравий масалаларини сонли ечиш
услубларини ривожлантириш;

ташқи юкламалар таъсири остида ўзгарувчан қалинликдаги қовушқоқ-

эластик юпқа қобиқли конструкцияларнинг заиф-сингуляр ядроли чизиқсиз

9

интеграл-дифференциал тенгламалар (ИДТ)нинг тарқалмайдиган (ҳал
қилувчи) тизимларини ишлаб чиқиш;

статик ва динамик таъсирларда катта деформацияни ҳисобга олган

ҳолда мужассамланган масса ҳамда тешиклари мавжуд бўлган ўзгарувчан
қалинликдаги

қовушқоқ-эластик

юпқа

қобиқли

конструкцияларни

мустаҳкамлигини баҳолаш мақсадида ҳисоблаш алгоритми, дастурий
маҳсулот ва сонли ечими учун самарали ёндашувни ишлаб чиқиш;

ўзгарувчан қалинлик, конструкцияларнинг физик ва механик

параметрларини қовушқоқ-эластик юпқа қобиқли конструкцияларнинг
динамикаси ва динамик устуворлигига таъсирини яратилган дастурий
маҳсулот ёрдамида ўрганиш.

Тадқиқотнинг объекти

сифатида

ўзгарувчан қалинликдаги қовушқоқ-

эластик юпқа қобиқли конструкциялар олинган.

Тадқиқотнинг предметини

ўзгарувчан қалинликка эга бўлган

қовушқоқ-эластик

юпқа

қобиқли

конструкцияларнинг

катта

деформацияларни эътиборга олган ҳолда динамик назариясини ва ечиш
усулларини ривожлантириш ташкил этади.

Тадқиқотнинг усуллари

. Тадқиқот ишида Бубнов-Галеркин, заиф-

сингуляр ядроли ва ўзгарувчан коэффицентли чизиқсиз интеграл-
дифференциал тенгламалар тизимини ечиш, квадратура формулалар ва Гаусс
усуллари қўлланилган.

Тадқиқотнинг илмий янгилиги

қуйидагилардан иборат:

катта деформацияларда ўзгарувчан қалинликдаги қовушқоқ-эластик

изотроп ва ортотроп пластинка, панел ва қобиқларнинг чизиқсиз динамик
масалаларининг математик қўйилиши такомиллаштирилган;

геометрик чизиқлимасликни инобатга олган ҳолда ўзгарувчан

асимметрик қалинликка эга бўлган қовушқоқ-эластик изотроп пластинка,
панел ва қобиқларнинг динамик масалалари учун хусусий ҳосилали
ўзгарувчан коэффициентли чизиқсиз интеграл-дифференциал тенгламалар
тизими ишлаб чиқилган;

катта деформацияларни ҳисобга олган ҳолда ўзгарувчан қалинликдаги

қовушқоқ-эластик изотроп ва ортотроп пластинка, цилиндрик панел ва
қобиқларни чизиқсиз тебранишлари ва динамик устуворлиги (тез ўсадиган ва
даврий юкламалар ҳисобга олинган ҳолда) масалаларининг тарқалмайдиган
интеграл-дифференциал тенгламалар тизимлари ва ҳисоблаш алгоритми
ишлаб чиқилган;

заиф-сингуляр ядроли ўзгарувчан коэффицентли чизиқсиз интеграл-

дифференциал тенгламаларнинг тарқалмайдиган тизимини сонли ечиш
услублари такомиллаштирилган;

ўзгарувчан

қалинликдаги

қовушқоқ-эластик

юпқа

қобиқли

конструкцияларнинг чизиқсиз тебраниши, динамик устуворлиги ва
параметрик тебранишлари ҳақидаги масалаларнинг чизиқсиз интеграл-
дифференциал тенгламаларининг тарқалмайдиган тизимини сонли ечиш
услублари ва алгоритмлари яратилган.

Тадқиқотнинг амалий натижаси қуйидагилардан иборат:

10

катта деформацияларда ўзгарувчан қалинликни, мужассамланган масса

ва тешиклар мавжуд бўлганда қовушқоқ-эластик пластинка, панел ва
қобиқларни динамик ҳаракати ва кучланганлик-деформацияланганлик
ҳолатини башорат қилиш имконияти яратилган;

катта деформацияларни ҳисобга олган ҳолда ўзгарувчан қалинликдаги

қовушқоқ-эластик юпқа қобиқли конструкциялар динамик масалаларининг
кучланганлик-деформацияланганлик ҳолатини баҳолаш имконини берадиган
амалий дастурлар мажмуаси яратилган;

ўзгарувчан

қалинликли

қовушқоқ-эластик

юпқа

қобиқли

конструкциялар динамикаси чизиқсиз масалаларини ечишда итерация
жараёни яқинлашиши алгоритми яратилган;

ЭҲМ

учун

материалнинг

қовушқоқ-эластик

ва

анизотроп

хусусиятларини ҳисобга оладиган ҳисоблаш дастури ишлаб чиқилган;

яратилган дастурлар мажмуаси имконияти ўзгарувчан қалинликдаги

қовушқоқ-эластик юпқа қобиқли конструкцияларнинг чизиқсиз тебраниши,
динамик устуворлиги ва параметрик тебранишлари ҳақидаги масалаларни
ечишда, қалинликнинг ўзгариш қонунияти параметрини вариациялаш йўли
орқали

қобиқларнинг

кучланганлик-деформацияланганлик

ҳолати

оптималлаштирилган.

Тадқиқот

натижаларининг

ишончлилиги.

Тадқиқот

натижаларининг ишончлилиги юпқа пластинка ва қобиқлар назариясини
апробация қилинган математик аппаратини қўллаш билан қўйилган
чегаравий

масалаларнинг

хатосизлиги,

математик

ҳисобларнинг

қатъиятлилиги, ечимларнинг асосланган услубларини қўлланилиши ҳамда
аналитик ёки тақрибий сонли ечимлари маълум бўлган модел масалалари
ечилиши билан асосланади ҳамда кўрилган ҳар бир масала учун талаб
қилинган аниқликка қадар натижаларнинг мос келиши, ишлаб чиқилган
услубият, алгоритм ва ҳисоблаш дастурлари бўйича олинган натижаларнинг
маълум модел масалалари ечимларига мувофиқлиги билан изоҳланади.

Тадқиқот натижаларининг илмий ва амалий аҳамияти.

Тадқиқот

натижаларининг илмий аҳамияти юпқа қобиқли қовушқоқ-эластик пластинка
ва қобиқлар назарияси ривожига салмоқли ҳисса қўшиш ҳамда катта
деформацияни ҳисобга олган ҳолда динамик таъсирда ишлайдиган, уларнинг
турли конструктив хусусиятларини ҳисобга олиш имкониятини берадиган
назарий асос, математик модел, усул ва алгоритмик-дастурий воситаларни
яратиш билан изоҳланади.

Тадқиқот ишининг амалий аҳамияти, конструкцияларнинг геометрик

чизиқсиз деформацияланиши ва материаллар хусусиятларини ҳисобга олган
ҳолда статик ва динамик таъсирларда юпқа қобиқли конструкцияларни
лойиҳалаштиришда қўллаш билан изоҳланади.

Тадқиқот

натижаларининг

жорий

қилиниши

.

Катта

деформацияларни эътиборга олган ҳолда ўзгарувчи қалинликка эга бўлган
қовушқоқ-эластик юпқа қобиқли конструкцияларнинг динамик ҳисоби
назарияси ва усулларини ривожлантириш мавзуси бўйича олиб борилган
тадқиқотлар асосида:

11

катта деформацияларда қишлоқ хўжалиги машиналарининг ишчи

органларининг мустаҳкамлигини таъминлаш учун уларнингконструкциясини
математик ҳисоблаш усули “Агрегат заводи” АЖга татбиқ этилган
(«Ўзагротехмаш» АЖнинг 3 ноябр 2017 йилдаги СС–17-01/638-сон
маълумотномаси). Илмий тадқиқот натижаларини жорий қилинии
натижасида қишлоқ хўжалик техникаси ишчи органларининг хизмат муддати
1,3-1,4 мартага ошириш имкони яратилган;

қишлоқ хўжалиги машиналарининг ишчи органларининг махкамловчи

қисмига тушадиган динамик кучларни ҳисоблаш усуллари “Агрегат заводи”
АЖга жорий этилган («Ўзагротехмаш» АЖнинг 3 ноябр 2017 йилдаги СС–17-
01/638-сон маълумотномаси). Илмий тадқиқот натижаларини жорий қилиш
қишлоқ хўжалиги машиналарининг ишчи органларининг махкамлаш қисмига
тушадиган динамик кучни 10-12 % га камайтириш имконини берган;

қишлоқ хўжалик машиналари ишчи органларнинг нозик қисмини

аниқлаш учун кучланганлик-деформацияланганлик ҳолатини баҳолаш
тизими “Агрегат заводи” АЖга жорий этилган («Ўзагротехмаш» АЖнинг 3
ноябр 2017 йилдаги СС–17-01/638-сон маълумотномаси). Илмий тадқиқот
натижаларини жорий қилиш ресурстежамкорликни 8-10 % га ошириш
имконини берган.

Тад

қ

и

қ

от

натижаларининг

апробацияси

.

Мазкур

тадқиқот

натижалари 15 та республика ва 12 халқаро илмий-техник ва илмий-амалий
анжуманларида апробациядан ўтказилган.

Тадқиқот натижаларининг эълон қилинганлиги

. Диссертация

мавзуси бўйича жами 69 та илмий иш чоп этилган, жумладан 2 та
монография, 6 та муаллифлик гувоҳномаси, Ўзбекистон Республикаси Олий
аттестация комиссиясининг диссертациялар асосий илмий натижаларини чоп
этишга тавсия этилган илмий нашрларда 19 та мақола, жумладан 11 таси
республика ва 8 таси халқаро журналларда нашр этилган.

Диссертациянинг тузилиши ва ҳажми

. Диссертация кириш, бешта

боб, хулоса, фойдаланилган адабиётлар рўйхати ва иловалардан иборат.
Диссертациянинг ҳажми 190 бетни ташкил этади.

ДИССЕРТАЦИЯНИНГ АСОСИЙ МАЗМУНИ

Кириш қисмида

диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати

асосланган, тадқиқот мақсади ва вазифалари, ҳамда объект ва предметлари
шакллантирилган, тадқиқотнинг Ўзбекистон Республикаси фан ва
технологиялар ривожланишининг устувор йўналишларига мувофиқликлиги
кўрсатилган, тадқиқотнинг илмий янгилиги ва амалий натижалари баён
этилган, олинган натижаларнинг ишончлилиги асосланган, назарий ва
амалий аҳамияти очиб берилган, нашр этилган ишлар бўйича ва диссертация
тузилиши борасида маълумотлар келтирилган.

Диссертациянинг

“Ўзгарувчан қалинликка эга бўлган юпқа

қобиқли қовушқоқ-эластик конструкциялар динамик масалаларининг
назарий асослари ва математик қўйилиши”

деб номланган

биринчи

12

бобида турли таъсирлар остида, мужассамланган массалар, тешиклар
мавжудлиги ҳамда тақсимланган юкламалар таъсирида бўлган катта
деформацияларни ҳисобга олган ҳолда ўзгарувчан қалинликдаги қовушқоқ-
эластик юпқа қобиқли конструкцияларнинг динамикаси ва динамик
устуворлиги масалаларининг назарий асослари ва математик қўйилишига
бағишланган асосий натижалар келтирилган.

Биринчи боб ўзгарувчан қалинликдаги қовушқоқ-эластик изотроп

пластинка ва қавариқ қобиқларнинг динамикасига оид масалаларни назарий
асосларини ва математик қўйилишини келтириш, яъни асимметрик
кўринишдаги ўзгарувчан қалинликка эга бўлган юпқа қобиқли
конструкцияларга бағишланган масалаларни кўришдан бошланади.

Ўлчамлари

a



b

га тенг бўлган тўғритўртбурчак кўринишдаги юпқа

қавариқ қобиқни қараймиз. Қобиқнинг қандайдир ички сиртини координата
сирти сифатида қабул қиламиз.

OX

ва

OY

ўқларини қобиқнинг координата

сирти бош эгрилик чизиқлари бўйича йўналтирамиз,

OZ –

координата

сиртига нисбатан ботиқлиқ (қуйига) томонга нормал бўйича йўналтирамиз.
Қобиқ интенсивлиги

q

,

p

,

p

2

1

бўлган олдиндан берилган мос равишда

x

,

y

ва

z

йўналишлар бўйича қобиқ элементига қўйилган ташқи юкламалар таъсири
остида бўлади деб ҳисоблаймиз. Қобиқнинг қалинлиги ўзгарувчан бўлиб, уни
вертикал йўналишда чегаралаб турувчи

z

в

(

x

,

y

) ва

z

н

(

x

,

y

) сиртлар билан

белгилаймиз. Энди Кирхгоф-Лявнинг кинематик гипотезаси бўйича
геометрик чизиқлимас кўринишдаги ўзгарувчан қалинликка эга қовушқоқ-
эластик изотроп қобиқнинг чизиқсиз тебраниши ҳақидаги масаланинг
математик қўйилишига ўтамиз.

ху

у

х



,

деформациялар

u

,

v

,

w

кўчишларнинг ташкил этувчилари

билан қуйидагича боғланишда бўлади:

y

w

x

w

x

v

y

u

;

y

w

k

y

v

;

x

w

k

x

u

xy

y

x





























































2

1

2

1

2

(1)

Кучланиш билан деформациялар ўртасидаги боғланишнинг физик

тенгламалари қуйидаги кўринишга эга:









,

E

y

x

*

x

















1

2









,

E

y

*

y

















1

2









xy

*

xy

E















1

2

(2)

Бу ерда

Е

– эластиклик модули;

μ

– Пуассон коэффициенти;





– релаксация

ядроли интеграл оператор

 

t



:



  









d

t











0

*

;

t

– кузатув вақти;



–

кузатувдан вақтидан олдинги лаҳза.

Қобиқ кесими узунлиги бирлигига нисбатан олинган нормал ва

тангенциал зўриқишлар





xy

y

x

N

,

N

,

N

ҳамда моментлар





H

,

M

,

M

y

x

учун

боғланишлар қуйидаги кўринишга эга:





H

b

z

x

dz

N



;





H

b

z

y

dz

N



;





H

b

z

xy

dz

N



(3)

13





H

b

z

x

zdz

M



;





H

b

z

y

zdz

M



;





H

b

z

xy

zdz

H



(4)

Кучланиш учун ифода (2) ни (3) ва (4) ифодаларга қўйиб, қуйидагига

эга бўламиз:









,

1

2

1

0

2

*











































y

w

x

w

A

E

N

y

x









(5)









,

1

2

1

0

2

*











































x

w

y

w

A

E

N

x

y







































y

x

w

A

E

N

xy

2

1

0

*

2

1

2

1























































2

1

2

*

1

y

w

x

w

A

E

M

y

x









, (6)



















































2

1

2

*

1

x

w

y

w

A

E

M

x

y









,































y

w

A

E

H

xy

2

1

*

2

1

2

1





,

где





H

b

z

Edz

A

0

,





H

b

z

Ezdz

A

1

,





H

b

z

dz

Ez

A

2

.

Қовушқоқ-эластик изотроп қобиқнинг элементи ҳаракати тенгламасига

(5) ва (6) ни қўйиб, қуйидагига эга бўламиз:

0

2















t

u

h

p

y

N

x

N

x

xy

x



,

0

2















t

v

h

p

y

N

x

N

y

xy



,

































y

w

N

x

w

N

x

N

k

N

k

y

x

H

y

M

x

M

xy

x

y

x

y

x

2

(7)

0

2





























t

w

h

q

y

w

N

x

w

N

y

xy



Қовушқоқ-эластик қобиқ ҳаракати тенгламаси (7) га деформация,

кучланиш, зўриқиш ва моментлар учун ифодаларни қўйиб, тенгламалар
тизимига эга бўламиз. Мазкур тенгламалар тизими

A

1

=0 бўлган ҳолда

бошланғич сирт

z

n

киритилиши йўли билан соддалаштирилади.

Шундай қилиб, биринчи маротаба катта деформацияларни ҳисобга

олган ҳолда ўзгарувчан асимметрик қалинликли қовушқоқ-эластик изотроп
пластинка ва қавариқ қобиқлар динамикаси чизиқсиз масалаларининг, энг
умумий кўринишдаги, ўзгарувчан коэффицентли ИДТлар тизимини оламиз.

Қуйида ўрта сиртга нисбатан симметрик бўлган ўзгарувчан қалинликли

қовушқоқ-эластик

изотроп

пластинка

ва

қобиқлар

динамикаси

масалаларининг асосий назарий асослари ва математик қўйилиши
келтирилган. Таъкидлаб ўтиш жоизки, изотроп ҳолатдаги қовушқоқ-эластик
юпқа қобиқли конструкциялар динамикаси масалаларини ечишда ИДТ
тизимида 3 та турли реологик параметрга эга бўлган фақат битта реалаксация
ядроси иштирок этади.

Кирхгоф-Лявнинг кинематик гипотезаси асосида геометрик чизиқсиз

ҳолдаги ўзгарувчан қалинликли қовушқоқ-эластик изотроп пластинка ва
қобиқларнинг чизиқсиз тебраниши ҳақидаги масала қаралади (1-расм).

14

а)

б)

1-расм.

Қобиқ элементининг эгувчи ва буровчи моментлари қуйидаги

кўринишда бўлади:













y

x

w

D

H

y

x

y

w

x

w

D

M

x



































2

*

2

*

1

,

1



(8)

Бу ерда









2

3

1

12

,







y

x

Eh

D

– қобиқнинг ўзгарувчан цилиндрик бикрлиги.

Қовушқоқ-эластик изотроп қобиқ элементи ҳаракат тенгламаси (7)

кўринишга эга, бу ерда

y

x

N

,

и

xy

N

– қобиқ кесими бирлик узунлигига

нисбатан олинган зўриқишлар:

h

N

x





,

y

x



h

N

xy





(9)

(1) ва (2) ни инобатга олиб, (8) ва (9) ни (7) га қўйиб, қуйидаги

кўринишдаги ўзгарувчан коэффициентли чизиқсиз ИДТлар тизимига эга
бўламиз:





























































xy

y

x

xy

y

x

y

h

x

h

y

x

h



















2

1

2

1

*

0

1

2









t

u

E

h

p

E

x







,





























































xy

x

y

xy

x

y

x

h

y

h

x

y

h



















2

1

2

1

*

0

1

2









t

v

E

h

p

E

y







, (10)









































w

D

w

y

D

w

x

D

w

D

2

4

*

2

1
























































y

x

y

x

k

Eh

x

w

y

D

y

x

w

y

x

D

y

w

x

D









2

1

2

1











































































x

y

xy

y

x

y

w

y

w

x

w

x

Eh















*

2

1

2

1







































































xy

y

x

xy

y

w

x

w

x

h

x

w













*

1

2

1

2

1

15













0

1

2

1

2

*







































t

w

h

q

x

w

y

w

y

h

xy

x

y











Қовушқоқ-эластик қобиқ ҳаракати учун олинган чизиқсиз ИДТлар

тизими (10) етарли даражада умумий ҳисобланади, ундан хусусий ҳолларда
ўзгармас ва ўзгарувчан қалинликдаги қовушқоқ-эластик пластинка, қавариқ
ва цилиндрик қобиқлар ҳаракати тенгламасини олинади.

Хусусий ҳолларда, икки ОХ ва ОУ йўналишда ҳамда битта ОХ ёки ОУ

йўналишларда ўзгарувчан қалинликдаги изотроп қовушқоқ-эластик
пластинка, панел ва қобиқлар динамикаси масалалари учун ИДТнинг
чизиқсиз тизимлари олинган. Жумладан, қалинлик ўзгармас бўлганда
А.С.Вольмир натижалари келиб чиқиши кўрсатилган.

Динамик масалаларни ечишда юпқа қобиқли конструкцияларнинг

ташқи контурида чегаравий шартлар берилиши мумкин. Шу билан бир
қаторда динамик масалаларни ечишда

t

=0 да бошланғич шартлар қўйилади,

бунда:

:

F

x





);

(

)

0

,

(

2

x

u







)

0

3

x

u







(

)

,

(





Инерциянинг тангенциал ташкил этувчиларини ҳисобга олмаган ҳолда

динамик жараённи ўрганилишида (10) тенглама соддалашади. Биринчи
иккита тенгламадаги инерцияни ҳисобга оладиган ҳадлардан воз кечиш
имконияти пайдо бўлади, бу иккала тенглама қуйидаги формулалар бўйича
ўрта юзада

Ф

кучланиш функциясини киритилган ҳолда тўғри бўлади (бунда

ташқи

p

x

ва

p

y

юкламалар бўлмайди):

y

x

Ф

h

N

x

Ф

h

N

y

Ф

h

N

xy

y

x















2

,





Бу ҳолатда учта тенглама (10) ўрнига кўчишлардаги Карман туридаги

иккита тенгламага эга бўламиз. Булардан хусусий ҳолатда инерциянинг
тангенциал ташкил этувчиларини ҳисобга олмаган ҳолда қовушқоқ-эластик
пластинка, цилиндрик панел ва қобиқлар ҳаракати тенгламаси олинган.

Охирги йилларда саноатнинг жадал ривожланиши натижада композит

материаллар механикаси ҳам тезкор ривожланмоқда. Кўп сонли
экспериментал ва фундаментал тадқиқотлар натижаларига кўра композит
материалларнинг

аксарияти

ёрқин

ифодаланган

қовушқоқ-эластик

хусусиятларга эга.

Бунга боғлиқ равишда мазкур бобнинг давомида геометрик

чизиқсизликни ҳисобга олган ҳолда ўзгарувчан қалинликда бўлган
қовушқоқ-эластик

ортотроп

пластинка

ва

қобиқлар

динамикаси

масаласининг назарий асос ва математик қўйилиши келтирилган. Кирхгоф-
Лявнинг гипотезаси бўйича ортотроп кўринишдаги қовушқоқ-эластик юпқа
қобиқли конструкциялар динамикаси масалаларини ечишда 15 та реологик
параметрли 5 та турли хил релаксация ядроси иштирок этишини таъкидлаш
жоиз.

Ортотроп қобиқ материали қовушқоқ-эластик қонунига бўйсунган

ҳолатида кучланиш ва деформациялар ўртасидаги чизиқли боғланишни

16

қуйидаги кўринишда қабул қиламиз:

















xy

y

x

B

y

x

B









*

12

*

11

1

2

,

2

1

,

1





















(11)

Бу ерда





*

ij

*

,

 

t



ва

 

t

ij



га мувофиқ бўлган релаксация ядроли интеграл

операторлар:



  



  

2

1

0

,

j

,

i

,

d

t

,

d

t

ij

*

ij

t

*





































;

2

1

11

2

22

1

21

12

2

1

2

22

2

1

11

G

B

,

B

,

E

B

,

E

B













,



2

1

E

,

E

x

ва

y

ўқлари йўналишидаги эластиклик модули;

G

– силжиш модули;





2

1

,

Пуассон коэффициентлари; бу ерда ва кейинчалик





2

1



,

y

x

белгиси,

қолган мутаносибликларда индексларни доиравий тарзда қўйиш туфайли
олинишини билдиради.

(11) ни (9) га қўйган ҳолда қуйидаги ифодаларга эга бўламиз:









,

h

B

h

B

N

y

*

x

*

x



12

11

1





















,

h

B

h

B

N

y

*

x

*

y



22

21

1

















xy

*

xy

h

B

N









1

2

(12)

Эгувчи ва буровчи моментлар қуйидаги кўринишга эга:





















y

x

w

Bh

H

,

y

w

B

x

w

B

h

M

,

y

w

B

x

w

B

h

M

*

y

*

x

































































2

3

2

22

2

21

3

2

12

2

11

3

1

3

1

12

1

12

(13)

(12) ва (13) ни (7) га қўйиб тенгламалар тизимига эга бўламиз. Бу

мураккаб ва катта тизим ўзгарувчан қалинликдаги ортотроп пластинка ва
қобиқнинг ҳаракатини ифодалайди. Хусусий ҳолда бу тизимдан доимий ва
ўзгарувчан қалинликдаги ортотроп қовушқоқ-эластик пластинка, қавариқ ва
цилиндрик қобиқлар ҳаракатининг тенгламалари олинган.

Шунингдек, хусусий ҳолатда ОХ ва ОУ ўқнинг икки ва бир

йўналишидаги ўзгарувчан қалинликдаги ортотроп қовушқоқ-эластик
пластинка ва цилиндрик қобиқ учун тенгламалар олинган. Инерциянинг
тангенциал ташкил этувчиларини ҳисобга олмаган ҳолда ўгарувчан
қалинликдаги қовушқоқ-эластик ортотроп пластинка ва қобиқ динамикаси
масаласининг назарий асос ва математик қўйилиши келтирилган.

Динамик

устуворлик

ва

параметрик

тебранишлар

ҳақидаги

масалаларнинг

математик

қўйилишида

ҳаракат

тенгламаларининг

учинчисида мос равишда қуйидагиларга тенг бўлган кучларни ҳисобга олиш
лозим:

 

y

x

w

t

P

,

y

w

t

P

,

x

w

t

P

xy

y

x



2

Техника ва қурилишда пластинка ва цилиндрик панеллар кўринишидаги

юпқа қобиқли конструкцияларга кўпинча турли қўшимчалар, асбоб-ускуна,
аппаратура, агрегатлар ўрнатилади. Агарда бир-бирига тегиб туриш майдони
ўлчовлари асосий конструкциянинг бутун юзаси ўлчовига нисбатан кичик

17

бўлса, бу маҳкамликни нуқтавий деб ҳисоблаш мумкин, ёпишган массаларни
эса мужассамланган массалар деб қаралади. Давомидан мужассамланган
массали қовушқоқ-эластик тўртбурчак пластинка ва цилиндрик панелларни
тебранишлари ҳақидаги масаланинг назарий асос ва математик қўйилиши
келтирилган. Шундай қилиб, келтирилган моделлар асосида мувофиқ
чегаравий ва бошланғич шартларда Кирхгоф-Лявнинг гипотезаси доирасида
геометрик чизиқсиз ҳолатдаги мужассамланган массага эга бўлган қовушқоқ-
эластик пластинка ва цилиндрик панеллар тебраниши ҳақидаги масалалар
учун ИДТлар келтирилган.

Шунингдек, биринчи бобда ихтиёрий шаклдаги тешиклар бўлган

қовушқоқ-эластик изотроп пластинкалар учун динамика масаласининг
назарий асос ва математик қўйилиши келтирилган. Давомидан ичидан
суюқлик оқаётган қовушқоқ-эластик цилиндрик қобиқ динамикаси ҳақидаги
масалани назарий асос ва математик қўйилиши келтирилган. Биринчи боб
ниҳоясида ичидан суюқлик оқаётган қовушқоқ-эластик қувурнинг чизиқсиз
тебраниши ва устуворлиги масаласи учун чизиқсиз ИДТлар тизими
келтирилган.

Диссертациянинг

“Катта деформацияларни ҳисобга олган ҳолда

ўзгарувчан қалинликка эга бўлган юпқа қобиқли қовушқоқ-эластик
конструкциялар динамик масалаларини фазовий ўзгарувчилар бўйича
дискретлаштириш”

деб номланган иккинчи бобида фазовий ўзгарувчилар

бўйича Бубнов-Галеркин усули асосида дискретлаштириш ишлари амалга
оширилган ҳамда умумий ҳолатдаги масалаларнинг вақт функциясига
нисбатан ИДТларнинг тарқалмайдиган тизими олинган: бунда катта
деформацияларни ҳисобга олган ҳолда ўзгарувчан қалинликка эга бўлган
қовушқоқ-эластик юпқа қобиқли конструкцияларнинг чизиқсиз тебраниши,
динамик устуворлиги ва параметрик тебраниши ҳақидаги масалалар тадқиқ
қилинади.

Биринчи бобда турли чегаравий шартларда ҳамда қовушқоқ-

эластикликнинг заиф-сингуляр ядролар мавжудлигида олинган чизиқсиз
ИДТларини ечиш етарли даражада математик қийинчиликлар туғдиради.
Шунинг учун ҳам мазкур тизимларни ечишнинг табиий усули бу фазовий
ўзгарувчилар бўйича дискретлаштириш бўлиб, вақт функцияларига нисбатан
ИДТлар тизимини олишдан иборат. Бу тенгламалар қовушқоқ-эластик юпқа
қобиқли конструкциялар динамика масалалариинг асосий ҳал қилувчи
ИДТлари деб юритилади. Диссертацияда ўлчовсиз кўринишда асосий ҳал
қилувчи ИДТларни келтириб чиқариш Бубнов-Галеркин усули асосида
амалга оширилган.

Шундай қилиб, иккинчи бобда Бубнов-Галеркин усули асосида

фазовий ўзгарувчилар бўйича дискретлаштириш амалга оширилган ва
умумий ҳолда масалалар вақт функциясига нисбатан ИДТларнинг
тарқалмайдиган тизимлари олинган: булар катта деформацияларда
инерциянинг тангенциал ташкил этувчиларини ҳисобга олган ва олмаган
ҳолда ўзгарувчан қалинликдаги қовушқоқ-эластик юпқа қобиқли
конструкцияларнинг чизиқсиз тебраниши, динамик устуворлиги ва

18

параметрик тебранишлари масалаларидир. Олинган тенгламаларнинг
ўлчовсиз ҳолатдаги тизими ҳамда коэффициентлар учун ифодалар кўриниши
етрлича катталиги сабабли диссертацияда алоҳида илова шаклида
келтирилган.

Шундай қилиб, катта деформацияларни ҳисобга олган ҳолда

ўзгарувчан қалинликдаги қовушқоқ-эластик изотроп ва ортотроп пластинка,
цилиндрик панел ва қобиқларни чизиқсиз тебранишлари ҳақидаги
масалаларнинг ИДТлар тизими кўринишидаги тенгламаларнинг ҳал қилувчи
тизимлари олинган.

Иккинчи боб якунида тез ўсиб борадиган ва даврий юкламаларда

ўзгарувчан қалинликдаги қовушқоқ-эластик изотроп ва ортотроп
конструкцияларнинг динамик устуворлиги ҳақидаги масалаларнинг фазовий
ўзгарувчилар бўйича дискретлаштирилган тизими келтирилган.

Диссертациянинг

“Ўзгарувчан қаликликка эга бўлган юпқа

қобиқли

конструкциялар

динамикасининг

чизиқсиз

интеграл-

дифференциал тенгламалар системасини сонли ечиш усуллари ва
алгоритмлари”

деб номланган учинчи бобида Колтунов-Ржанициннинг

заиф-сингуляр ядроли ўзгарувчан коэффициентли чизиқсиз ИДТларнинг
тарқалмайдиган тизимларини ечишнинг икки хил услуби келтирилган,
эгилиш ва кўчишларнинг қийматини аниқлаш учун ҳисоблаш алгоритми
ишлаб чиқилган.

Қовушқоқ-эластиклик назариясининг заиф-сингуляр ядроли чизиқли ва

чизиқсиз ИДТларини сонли ечиш бўйича Ф.Бадалов ва Х.Эшматовларнинг
ишларида самарали ечиш усули таклиф қилинган. Бу тадқиқотларда ишлаб
чиқилган усул сингуляр ядроли чизиқсиз оддий ИДТларни тарқаладиган
тизимларини ҳал қилишга йўналтирилган бўлиб, фақат шарнирли таянган
чегаравий шартдаги масалаларни ечиш имконини беради. Тизимларни сонли
ечими учун тизимларга кирган интегралларни бирон-бир квадратура
формуласи бўйича якуний йиғиндига бевосита алмаштириш қўлланилган.
Мазкур ёндашув асосида диссертацияда қовушқоқ-эластиклик назариясининг
заиф-сингуляр ядроли ўзгарувчан коэффициентли чизиқсиз ИДТларнинг
тарқалмайдиган тизимларини ечиш учун сонли услуб ишлаб чиқилган.

Биринчи услуб. Бубнов-Галеркин усули қўлланилгандан сўнг

қовушқоқ-эластик юпқа қобиқли конструкцияларнинг аксарият динамик
масалалари

қуйидаги

кўринишдаги

ИДТларнинг

тарқалмайдиган

тизимларини ечишга келтирилади:



,

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

,...,

u

,

t

)

u

a

(

NM

N

n

M

m

NM

nm

nmkl

nm

m

ln

k

11

1

11

2

 















 



t

NM

nm

,

d

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

...,

u

,

t

0

11

1







,

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

,...,

u

,

t

)

v

b

(

NM

N

n

M

m

NM

nm

nmkl

nm

m

ln

k

11

1

11

2

 













(14)



 



t

NM

n m

,

d

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

...,

u

,

t

0

1 1

1





19



,

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

,...,

u

,

t

Z

)

w

c

(

NM

N

n

M

m

NM

nm

nmkl

nm

klnm

11

1

11

2

 











 



t

NM

nm

d

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

...,

u

,

t

0

11

1





,

 

,

0

nm

u



 

nm

u

0





,

 

,

0

nm

v



 

nm

v

0





,

 

,

0

nm

w



 

nm

w

0





,

M

,...,

,

m

;

N

,...,

,

n

2

1

2

1



Бу ерда

u

nm

=

u

nm

(

t

)

,v

nm

=

v

nm

(

t

)

,w

nm

= w

nm

(

t

) – вақтга боғлиқ номаълум

функциялар;

n m

,

Z

,

Y

,

X

1







–аргументлар

ўзгариш

соҳасидаги

узлуксиз функциялар;

,

a

kln m

,

b

klnm

,

c

klnm

,

klnm

2



,

klnm

2



klnm

2



–белгиланган доимий

сонлар.

(14) тизимни

t

вақт бўйича икки марта интеграллаб, уни интеграл

шаклга келтирамиз, кейинчалик

t=t

i,

, t

i

=i



t, i=

1,2,…(



t=const

– интерполяция

қадами) деб ҳисоблаб, интегралларни квадратура формулаларига
алмаштирамиз,

u

inm

=u

nm

(

t

i

),

v

inm

=v

nm

(

t

i

),

w

inm

=w

nm

(

t

i

) ҳисоблаш учун қуйидаги

тизимга эга бўламиз:

























 





,

u

,...,

u

,

t

)

t

(

A

t

u

a

u

a

jNM

j

kl

j

p

j

N

n

M

m

p

nm

klnm

pnm

N

n

M

m

klnm

11

1

0

1

0

1

X



,

u

)

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

,...,

u

,

t

,

t

(

B

,

w

,...,

w

,

v

,...,

v

jkl

nmkl

sNM

s

sNM

s

sNM

s

j

s

j

kl

s

jNM

j

jNM

j



















2

11

0

1

11





























 





,

u

,...,

u

,

t

)

t

(

A

t

v

b

v

b

jNM

j

kl

j

p

j

p

nm

N

n

M

m

klnm

N

n

pnm

M

m

klnm

11

1

0

1

Y



(15)

,

v

)

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

,...,

u

,

t

,

t

(

B

,

w

,...,

w

,

v

,...,

v

jkl

nmkl

sNM

s

sNM

s

sNM

s

j

s

j

kl

s

jNM

j

jNM

j



















2

11

0

1

11





























 





,

u

,...,

u

,

t

)

t

(

A

t

w

c

w

c

jNM

j

kl

j

p

j

p

nm

N

n

M

m

klnm

N

n

M

m

pnm

klnm

11

1

0

1

Z





















jkl

nmkl

sNM

s

sNM

s

sNM

s

j

s

j

kl

s

jNM

j

jNM

j

w

)

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

,...,

u

,

t

,

t

(

B

,

w

,...,

w

,

v

,...,

v

2

11

0

1

11





Сонли услубнинг кейинги босқичи заиф-сингуляр ядроли (15) интегро-

дифференциал

тенгламалар

тизимини

регуляризациялашдир.

Ўзгарувчиларни алмаштириш ёрдамида









1

z

t





,



















t

z

0

(0<

α

<1)

Колтунова-Ржаницин ядросидаги интеграл қуйидаги хусусиятга эга бўлиб,







  



















d

w

/

t

exp

t

A

t





















0

1

эндиликда бундай кўринишга эга бўлади:

dz

z

t

w

z

А

t

)

/

(

)

exp(

1

0

























.

Ўзгарувчиларни алмаштирилгандан сўнг,

z

га нисбатан интеграл ости

20

функцияси регуляр бўлиб қолади. (15) тизимни сонли тарзда ечиш учун
тизимга кирган интегралларни бирор-бир квадратура формуласи бўйича
маълум йиғинди билан бевосита алмаштириш усулини қўллаймиз, масалан,
трапеция формуласи асосида, натижада:







i

k

i

k

w

t

B

A

0

)

exp(





Бу ерда коэффициентлар

);

)

i

(

i

(

t

i

B

;

t

B









1

2

1

2

1

0













 













 



1

2

1

k

.

i

,

k

),

)

k

(

)

k

((

t

B



















 







Шундай қилиб, (14) дастлабки тизимни

t

вақт бўйича икки марта

интеграллаб ҳамда квадратура формулани қўллаб

w

inm

=w

nm

(

t

i

) эгилишлар ва

u

inm

=u

nm

(

t

i

),

v

inm

=v

nm

(

t

i

) кўчишларни топиш учун (15) тизим олинди. (15) нинг

ечими Гаусс усулини қўллаган ҳолда топилади.

Иккинчи услуб. (14) интеграл-дифференциал тенглама тизими учун

сонли ечишнинг яна битта такомиллаштирилган услуби ҳам квадратура
формулаларни қўллашга асосланган. Бунда (14) тизим вектор-матрица
кўринишига келтирилади ва сонли усул асосида изланаётган номаълумларга
нисбатан чизиқли алгебраик тенгламалар тизимига эга бўламиз. Мазкур
тизимни ечиш учун Жорданнинг модификацияланган усули қўлланилади.

Шунингдек, ушбу бобда ўзгарувчан қалинликдаги қовушқоқ-эластик

юпқа қобиқли конструкциялар динамикасининг чизиқсиз масалаларини ечиш
учун итерацион жараённи мос келишини тадқиқ этиш алгоритми ишлаб
чиқилган. Таклиф қилинган услубларни текшириб кўриш мақсадида тест
мисоли ечилган. Сонли усулдаги хатоликлар, қўлланилган квадратура
формулалар хатолиги билан бир хил бўлиши ҳамда интерполяция қадамига
нисбатан кичиклигининг худди шу тартибига эгалиги тест мисоли
натижаларида кўринган. Шундай қилиб, таклиф қилинган услублар олинган
натижаларнинг юқори аниқлигини таъминлаб беради ҳамда универсал бўлиб,
қовушқоқ-эластиклик назариясининг динамик масалаларини кенг доирасини
ечиш имконини беради.

Учинчи бобда катта деформацияларни ҳисобга олган ҳолда ўзгарувчан

қалинликдаги юпқа қобиқли конструкцияларнинг чизиқсиз тебранишлари,
динамик устуворлиги ва параметрик тебранишлари ҳақидаги масалаларни
чизиқсиз ИДТлар тизимини сонли ечиш алгоритмлари ишлаб чиқилган.

Ишлаб чиқилган ҳисоблаш алгоритмлари асосида Delphi алгоритмик

тилида ЭҲМ учун дастурлар мажмуаси яратилган, уларга Ўзбекистон
Республикаси Интелектуал мулк агентлигининг муаллифлик гувоҳномалари
олинган.

Диссертациянинг

“Катта деформацияларни ҳисобга олган ҳолда

ўзгарувчан қалинликка эга бўлган изотроп ва ортотроп қовушқоқ-
эластик пластинка ва қобиқларнинг чизиқсиз тебранишлари
тадқиқоти”

деб номланган тўртинчи бобида геометрик чизиқсиз ҳолатдаги

21

ўзгарувчан қалинликдаги қовушқоқ-эластик пластинка ва қобиқларнинг
чизиқсиз тебранишлари ҳақидаги масалалар тадқиқ қилинган, бунда учинчи
бобда келтирилган ЭҲМ учун яратилган амалий дастурлар мажмуасининг
имконияти кўрсатилган. Кўчиш ва эгилишга нисбатан тебранишлар
тенгламалари

хусусий

ҳосилали

ИДТлар

билан

ифодаланади.

Эгилишларнинг кўп ҳадли аппроксимациясига асосланган Бубнов-Галеркин
усули ёрдамида масала ечими учинчи бобда таклиф этилган сонли услубда
чизиқсиз ИДТларнинг тарқалмайдиган тизимларини тадқиқ этишга
келтирилган. Тақрибий ечимнинг сонли қийматини ҳисоблаш ягона
ҳисоблаш алгоритми асосида амалга оширилган. Амплитуда-вақт
тавсифларига, кучланганлик-деформацияланганлик ҳолатига геометрик
чизиқсизлик, материалнинг бир жинслимаслиги, ўзгарувчан қалинлик
қонуниятларининг параметрлари (юпқа қобиқли конструкция қалинлигини
ўзгаришининг баъзи бир қонуниятлари ва уларнинг профиллари
диссертациянинг иловасида келтирилган), чегаравий шартлар, ўзгарувчан
қалинликдаги пластинка ва қобиқ туридаги қовушқоқ-эластик юпқа қобиқли
конструкциялар геометрик параметрларининг таъсири тадқиқ этилган.

Геометрик чизиқсиз қўйилишда

a

ва

b

томонли бир жинсли бўлмаган

ортотроп материалдан тайёрланган

h=h

(

x

,

y

) га тенг ўзгарувчан қалинликдаги

қовушқоқ-эластик тўртбурчак пластинканинг чизиқсиз тебраниши ҳақидаги
масалага тўхталамиз.

Учинчи бобда келтирилган усул асосида

u

inm

=

u

inm

(

t

i

),

v

inm

=

v

inm

(

t

i

),

w

inm

=

w

inm

(

t

i

) номаълумларнинг тақрибий қийматлари топилади.

Пластинка контури бўйича шарнирли таянган деб фараз қиламиз.

Бунда чегаравий шартлар қуйидаги кўринишга эга бўлади:

0

1

0



x

w

,

0

1

0



x

v

,

0

1

0



x

N

,

0

1

0



x

M

,

0

1

0



y

w

,

0

1

0



y

u

,

0

1

0



y

N

,

0

1

0



y

M

. Берилган

чегаравий шартларга мос келадиган Бубнов–Галеркин усулининг
кўринишида эгилиш ва кўчишларни аппроксимация қилувчи функциялари
мувофиқ тарзда қуйидаги кўринишда бўлади:





y

m

x

п

y

x

nm





sin

cos

,



,





y

m

x

п

y

x

nm





cos

sin

,



,





y

m

x

п

y

x

nm





sin

,



Механик параметрлар:

E

1

=36.8 ГПа,

E

2

=26.8 ГПа,

G

12

=5.0 ГПа,



1

=0.077,



2

=0.105 кўринишда бўлиб, қалинликни ўзгариш қонуни эса





x

h

)

x

(

h









1

0

каби оламиз. Бу ерда

1

0



x

,





— қалинлик ўзгаришининг

интенсивлигини тавсифловчи параметр,

 

const

h



0

— пластинка

қалинлиги бўлиб, у

0

*





га мос келади.

Ҳисоблашларда

,





A

реологик параметрлар стеклопластиклар учун

олинган, яъни: КАСТ-В 0

0

(



=0.1;



=0.001;

A

=0.0099), КАСТ-В 90

0

(



=0.1;



=0.00166;

A

=0.0104) и КАСТ-В 45

0

(



=0.1;



=0.00166;

A

=0.0208),

шунингдек,

5

0

.

b

a



м,

008

0

.

a

h



деб олинади.

Қайд этиш жоизки, тебраниш жараёнининг бошланғич моменти

q

юкламаси остидаги пластинканинг статик мувоназатли ҳолати ҳисобланади.

22

Бу ҳолатда пластинка

w

(0,

x

,

y

) даги эгилган юза бўлади, шунинг учун

w

0

nm

ни

топиш учун мувофиқ эластик чизиқсиз статик масала ечилган. Пластинка
учун топилган эгилишлар мувофиқ қовушқоқ-эластик чизиқсиз динамик
масалани ечиш учун бошланғич яқинлашиш сифатида хизмат қилади.

Материални бир жинслимаслиги, яъни анизотроплиги даражасини

аниқловчи параметр сифатида

2

1

E





олинган. Вақтга боғлиқ равишда

қовушқоқ-эластик пластинка ўрта нуқта (

x

=0.5;

y

=0.5) даги эгилишининг

ўзгариши



параметр қийматининг катталашишида фазаларнинг чап томонга

силжишига олиб келади.

Инерциянинг тангенциал ташкил этувчиларини ҳисобга олган ва

олмаган ҳолда вақтга боғлиқ равишда қовушқоқ-эластик пластинканинг ўрта
нуқтасидаги (x=0.5; y=0.5) эгилиши ўрганилган.

Ташқи юклама параметрлари ҳамда пластинканинг геометрик

параметрлари ўртасидаги нисбатлар ошгани сари амплитуданинг қийматлар
бўйича ҳисобдаги фарқлари вақтнинг бошланғич ҳолатида пайдо бўлади ва

t

=5,5 га тенг бўлганида 30-35%ни ташкил қилади. Вақт ўтгани сари

натижалардаги фарқлар ортиб боради.

2-расмда





ўзгарувчан

қалинлик

параметрининг

турли

қийматларидаги вақтга боғлиқ равишда (

x

=0.5;

y

=0.5) қовушқоқ-эластик

пластинка эгилиш нуқтасининг ўзгариши кўрсатилган. Кўриниб турибдики,
мазкур параметрни, яъни пластинка қаттиқлигининг камайиши тебранишлар
фазасини

ўзгаришига

олиб

келади.

Олинган

натижаларнинг

кўргазмалилигини ошириш мақсадида расмда вақт интервали уч қисмга
бўлинган.

2-расм.



*

параметри турли қийматларида

(1) – 0; (2) – 0.2; (3) – 0.5 пластинканинг

(x=0.5; y=0.5) нуқтаси учун вақт бўйича

эгилишини ўзгариш графиги

3-расм.



*

турли қийматларида

пластинка тебраниш шаклларини

қиёслаш

t

1

=50: (1) – 0; (2) – 0.2; (3) – 0.5

t

2

=450: (4) – 0; (5) – 0.2; (6) – 0.5

3-расмда пластинка қалинлигини ўзгартирувчи





параметрнинг турли

қийматларида пластинка тебраниши натижалари келтирилган. 3-расмдан
ўзгарувчан қалинликдаги пластинканинг тебраниш формаси носимметрик
характерга эгалиги кўриниб турибди.

4 ва 5- расмларда



*

параметри турли қийматларида вақтга боғлиқ

23

равишда қовушқоқ-эластик пластинканинг (x=0.5; y=0.5) нуқтасида

M

x

моменти ва



изб,

x

кучланиши ўзгаришлари келтирилган. Ўзгарувчан қалинлик

параметрининг ошиши тебранишлар фазасининг силжишига олиб келади.

Шунингдек, диссертацияда

a

ва

b

томонли ҳамда ўрта сиртнинг

қавариқлик радиуси

R

га тенг геометрик чизиқсиз қовушқоқ-эластик

цилиндрик панелнинг тебраниши қаралган. Панел ўзгарувчан

h=h

(

x

,

y

)

қалинликка эга бўлиб, бир жинсли бўлмаган қовушқоқ-эластик материалдан
ясалган ва

q

ташқи куч билан юкланган. Ҳисоблашда дастлабки маълумотлар

сифатида қуйидагилар қабул қилинган:



=25;

20



y

k

;



=1;





=0.5;



=0.1;



=0.00166;

A

=0.0208 (материал: КАСТ-В 45

0

).

4-расм.



*

параметрининг турли

қийматларда пластинканинг (x=0.5; y=0.5)

нуқтаси учун вақт бўйича

M

x

моментининг ўзгариш графиги: (1) – 0;

(2) – 0.2; (3) – 0.5

5-расм.



*

параметрининг турли

қийматларида пластинканинг

(x=0.5; y=0.5) нуқтаси учун вақт бўйича



изб,

x

кучланишнинг ўзгариш графиги:

(1) – 0; (2) – 0.2; (3) – 0.5

6-расмда материали турли бўлган, шунингдек, қовушқоқ-эластик

хусусиятларини ҳисобга олган ҳолда қовушқоқ-эластик цилиндрик панелни
тебраниши ҳақидаги чизиқли (1-эгри чизиқ) ва чизиқсиз (2-эгри чизиқ)
масалаларни ҳисоб натижалари келтирилган. Графикка мувофиқ, чизиқсиз
масалаларни устуворлик соҳаси чизиқли масалаларни устуворлик соҳасига
тўлиқлигича киради. Худди шундай натижалар

u

кўчиш ва

M

x

моментни

ўзгаришига геометрик чизиқсизлик таъсирида ҳам кузатилади.

7-расмда вақтга боғлиқ равишда қовушқоқ-эластик панелни (x=0.5;

y=0.5) эгилиш нуқтасининг ўзгариши кўрсатилган. Расмда 1-эгри чизиқ
панел материали эластик бўлганда, 2 ва 3-эгри чизиқлар панел материали
қовушқоқ-эластик бўлган ҳолатларга мос келади. Бунда қовушқоқ-эластик
материал сифатида КАСТ-В стеклопластик олинган, унда толаларнинг
йўналиши 0

0

(



=0.1;



=0.001;

A

=0.0099) ва 45

0

(



=0.1;



=0.00166;

A

=0.0208)га

тенг. Кутилганидек, панел материалининг қовушқоқ-эластик хусусиятларини
ҳисобга олиниши тебраниш жараёнини пасайиб бориб кейинчалик
йўқолишига олиб келади, бироқ бунда вақтнинг бошланғич даврида эластик
ва қовушқоқ-эластик масалаларнинг ечими бир-биридан кам фарқ қилади,
вақт ўтгани сари қовушқоқ-эластик хусусиятлар ўз таъсирини сезиларли

24

даражада кўрсатади.

6-расм. Ўрта нуқта(x=0.5; y=0.5)да вақт

бўйича панел эгилишининг ўзгариш

графиги: (1) – чизиқли ечим; (2) –

чизиқсиз ечим

7-расм. Турли материаллар бўлганида

ўрта нуқта (x=0.5; y=0.5)да вақт бўйича

панел эгилишининг ўзгариш графиги:

(1) – эластик; (2) –КАСТ-В 0

0

; (3) –

КАСТ-В 45

0

Шунга ўхшаш натижалар

u

кўчиш,

M

x

момент ва



x

кучланиш

ўзгаришларини татбиқ этишда ҳам кузатилади.

Бундан ташқари юқорида қайд этилган катталиклар ўзгаришига

геометрик ва физик-механик катталикларнинг таъсири ўрганилган.

Турли чегаравий шартларда, яъни иккита қарама-қарши томони

мақкамланган, қолган иккита томони шарнирли маҳкамланган қовушқоқ-
эластик панелнинг эгилиш нуқтасининг вақтга боғлиқ равишда ўзгариши
ўрта нуқта (x=0.5; y=0.5)да ўрганилган.

Олинган натижалар таҳлили мустаҳкам маҳкамланган томонлар сони

ошгани сари тебранишлар частотаси ортиб боришини кўрсатади.

Диссертациянинг

“Тез ўсувчи ва даврий кучлар остида ўзгарувчан

қалинликка эга бўлган изотроп ва ортотроп қовушқоқ-эластик юпқа
қобиқли конструкцияларнинг динамик устуворлиги”

деб номланган

бешинчи бобида геометрик чизиқсиз ҳолдаги ўзгарувчан қалинликли изотроп
ва ортотроп қовушқоқ-эластик пластинка, панел ва цилиндрик қобиқларнинг
динамик тез ошиб борадиган ва даврий юкламалар таъсиридаги динамик
устуворлиги ҳақидаги масалалар тадқиқ қилинган. Бубнов-Галеркин усулини
қўллаган ҳолда кўрилаётган масалалар 3-бобда таклиф қилинган сонли
услубда

ечиладиган

Вольтерр

туридаги

чизиқсиз

ИДТларнинг

тарқалмайдиган тизимларига мутаносиб тарзда ўрганилган. Тез ошиб
борадиган юкламалар таъсири остида пластинка ва қобиқларнинг механик ва
геометрик параметрларини ўзгаришининг кенг доирасида критик юклама ва
критик вақт аниқланган.

Бир

жинсли

изотроп

материалдан

тайёрланган

ўзгарувчан

қалинликдаги тўртбурчак қовушқоқ-эластик пластинканинг динамик
устуворлиги ҳақидаги масала ўрганилган. Пластинка бошланғич эгилишларга
эга бўлган шароитда

a

ва

b

томонли пластинка

a

томонидан

Р

(

t

)

=S



t

(

S –

юкланиш тезлиги

)

динамик сиқувчи куч остида бўлади деб фараз қиламиз.

Турли омилларни ҳисобга олган ҳолда эгилишнинг бир ҳадли ва кўп

ҳадли аппроксимацияси асосида олинган тенгламаларни интеграллаш

25

таклиф қилинган сонли услуб ёрдамида бажарилган. Тадқиқотда
А.С.Вольмирнинг тадқиқотларига ўхшаш тарзда критик вақт ва критик
юкламани белгилаб берувчи мезон сифатида эгилиш катталиги пластинка
қалинлигига тенг бўлган катталикдан кўп бўлмаслиги лозим деган шартни
қабул қилинган. Динамик критик юкламани аниқлаш учун

Д

K

динамик

коэффициенти тушунчасидан фойдаланилган, бунда бу кўрсатгич юқори
статик кучга тенг бўлган динамик критик юкламанинг нисбатанига тенгдир.

Турли физик ва геометрик параметрлардаги ҳисоблашларнинг

натижалари жадвал ва расмларда келтирилган графикларда ўз аксини топган.
Пластинка қалинлигининг ўзгариш қонуни қуйидагича олинган:

x

h









1

.

Алоҳида қайд этилган ҳоллардан бошқа ҳолларда дастлабки маълумотлар
сифатида қуйидагилар қабул қилинган:

A

=0.05;



=0.25;



=0.05;



=0.3;



=25;

S

=1;

w

0

=0.0001;

q

=0;



=1;





= 0.5.

Тадқиқотлар кўрсатишича, (жадвал),

w

0nm

бошланғич салқиликлар,

S

юкланиш тезлиги ва

q

ташқи юклама параметрлари кичик қийматга эга

бўлганида, чизиқли (Л) ва чизиқсиз (Н) шароитларида олинган натижалар
деярли мос келади, демак бу ҳолатларда масалаларни чизиқли шартда
ўрганиш мумкин. Аммо бошланғич салқиликлар қиймати катталашгани сари
(

-1

0

10



nm

w

) натижалар бир-биридан сезиларли равишда фарқланади ва

баъзи ҳолатларда фарқлар 30-40% га етади.

Ўрганилган барча ҳолларда Бубнов-Галеркин усулининг яқинлашиши

тадқиқ этилган. Бунда Бубнов-Галеркиннинг масаласида эгилишларнинг
кескин ўсиши бошланадиган

N

ва

M

қийматлари топилган.

Жадвал

A





q



w

0nm

S



*

К

Д

Л

Н

0.0

0.25

0.05

0

1

10

-4

1

0.5

4.98

5.07

0.05

0.25

0.05

0

1

10

-4

1

0.5

4.76

4.83

0.1

0.25

0.05

0

1

10

-4

1

0.5

4.58

4.64

0.05

0.1

0.05

0

1

10

-4

1

0.5

4.42

4.46

0.05

0.25

0.1

0

1

10

-4

1

0.5

4.76

4.83

0.05

0.25

0.5

0

1

10

-4

1

0.5

4.76

4.83

0.05

0.25

0.05

1

10

-4

1

0.5

3.67

3.75

0.05

0.25

0.05

2

1

10

-4

1

0.5

3.21

3.32

0.05

0.25

0.05

3

1

10

-4

1

0.5

2.93

3.05

0.05

0.25

0.05

0

2

10

-4

1

0.5

4.78

4.86

0.05

0.25

0.05

0

1

10

-2

1

0.5

3.22

4.22

0.05

0.25

0.05

0

1

10

-1

1

0.5

1.98

3.18

0.05

0.25

0.05

0

1

10

-4

0.1

0.5

9.21

9.25

0.05

0.25

0.05

0

1

10

-4

10

0.5

3.4

3.44

0.05

0.25

0.05

0

1

10

-4

1

0

4.66

4.73

0.05

0.25

0.05

0

1

10

-4

1

0.8

6.17

6.23

Динамик устуворликка





пластинка қалинлиги ўзгариш параметрининг

таъсири тадқиқ этилган. 8-расмда





=0; 0.4.0.8.га тенг бўлган ҳолдаги

графиги келтирилган. Кўндаланг юклама йўқ деб ҳисоблаймиз, яъни

0



q

га

26

тенг.

Абсциссалар ўқи бўйича



t

ўлчовсиз параметри йўналтирилган, у статик

юкламага нисбатан сиқувчи кучнинг ўзгарувчан катталигига тенг,
ординаталар ўқи бўйича эса

nm

w

эгилишининг ўлчовсиз ўқи йўналтирилган.





бу қийматида

Д

K

коэффиценти мос равишда 4.73, 4.83, 6.23 га тенг.





параметрнинг катталашиши пластинка қалинлигининг кичрайишига олиб
келади, ҳисоблар доимий ва ўзгарувчан қалинликдаги пластинкаларнинг тенг
хажмида амалга оширилган. Графиклардан кўриниб турибдики, қалинлик
кичрайгани сари

Д

K

коэффицентининг қиймати ошади.

Шунингдек, бошланғич эгилишларга эга ўзгарувчан қалинликдаги

ортотроп қовушқоқ-эластик тўртбурчакли пластинкаларни динамик
устуворлиги ҳақидаги масала қаралган. Пластинка юкланишининг турли
тезлиги ва параметрлари учун бир ҳадли ва кўп ҳадли аппроксимацияси
асосидаги ҳаракат тенгламасини интеграллаш учинчи бобда таклиф этилган
сонли усул асосида бажарилган.

Пластинка устуворлиги жараёнига материалнинг бир жинсли бўлмаган

хусусиятлари таъсири ўрганилган (9-расм). Расмдан кўриниб турганидек,
анизотропия даражасини белгиловчи (1-эгри чизиқ

–



=1 га; 2-эгри чизиқ

–



=1.5 ва 3-эгри чизиқ

–



=2 га тенг)



параметрининг катталашиши

эгилувчанликни кейинги интенсив ўсишига олиб келади, мос равишда

Д

K

критик мазмунини кўпайишига ҳам олиб келади.

8-расм.



*=0 (1); 0.4 (2); 0.8 (3) да

эгилишни вақтга боғлиқлиги

9-расм.



=1 (1); 1.5 (2); 2 (3) тенг

бўлганида вақтга боғлиқ равишда

эгилиши

Ясовчиси бўйлаб динамик кучлар таъсири остида бўлган қовушқоқ-

эластик ортотроп цилиндрик панелнинг динамик устуворлиги масаласи ҳам
қаралган. Панел дастлабки салқиликка эга бўлганлик шарти билан вақт
мобайнида унинг ўзгаришини тадқиқ этилган. Турли омилларни ҳисобга
олган ҳолдаги ҳисоблар натижалари жадвалда келтирилган ва графикларда ўз
аксини топган.

10-расмда геометрик параметр

y

k

нинг эгилишга таъсири келтирилган.

Цилиндрик қобиқ қалинлиги ўзгаришининг қонунияти

x

h









1

27

кўринишида олинган. Ҳисоб-китоб жараёнида дастлабки маълумотлар
сифатида қуйидаги катталиклар қабул қилинган:A=0.05;



=0.25;



=0.05;



=0.3;



=25;

20



y

k

; S=1; w

0

=0.0001; q=0;



=1;





= 0.5.

y

k

=20; 25; 30

қийматларда

Д

K

коэффициенти мос равишда 6.07; 6.84; 7.8 қийматларга

тенг. Ўлчовсиз геометрик параметр

y

k

нингортиб бориши критик юклама ва

вақтнинг ошишига олиб келиши кўриниб турибди.

Геометрик чизиқсиз ҳолда ўзгарувчан қалинликли қовушқоқ-эластик

изотроп ва ортотроп пластинкаларнинг параметрик тебранишлари ҳақидаги
масалалар ўрганилган. Барча ҳолларда тебранишлар частотаси ва
амплитудасига материалнинг асосий хусусиятларининг таъсири таҳлил
қилинган.

Бир жинсли изотроп материалдан тайёрланган

a

ва

b

томонларга эга

h

=

h

(

x

,

y

) ўзгарувчан қалинликли тўртбурчак қовушқоқ-эластик пластинка

қаралган. Пластинканинг

а

томони бўйлаб

Р

(

t

)

=P

0

+P

1

cos



t

бунда

(

P

0

, P

1

=const;



- ташқи даврий юкламанинг частотаси) динамик юклама

қўйилган, бунда пластинка бошланғич эгилишларга эга деб ҳисобланади.
Турли физик ва геометрик параметрларда қовушқоқ-эластик изотроп
пластинканинг ҳисоб натижалари графикда акс эттирилган. 11-расмда
қовушқоқ-эластик пластинка тебранишига



*

қалинлик параметри

таъсирининг натижалари келтирилган. Бу ерда қалинликнинг ўзгариш
қонунияти

x

h









1

кўринишига эга. Ҳисоб-китобларда дастлабки

маълумотлар сифатида қуйидагилар олинган:

A

=0.05;



=0.25;



=0.05;



=0.3;



=25;

w

0

=0.01;

q

=0;



=1;





= 0.5;



0

=0.3;



1

=0.5;



=1.1.

10-расм.

k

y

=20(1); 25(2); 30(3) да

эгилишнинг вақтга боғлиқлиги

11-расм.



*

=0 (1); 0.4 (2); 0.8 (3) да

эгилишнинг вақтга боғлиқлиги

11-расмдан мазкур параметр қийматининг ортиб бориши натижасида

тебранишлар амплитудаси ҳам ортиб бориши кўриниб турибди. Таъкидлаш
жоизки, тебранишлар жараёнининг бошланғич ҳолатида тебраниш
амплитудасининг қийматлари ўзгармас қалинликли пластинкалар тебраниш
амплитудасидан кам даражада фарқланади.

28

Х У Л О С А

“Катта деформацияларни эътиборга олган ҳолда ўзгарувчи қалинликка

эга бўлган қовушқоқ-эластик юпқа қобиқли конструкцияларнинг динамик
ҳисоби назарияси ва усулларини ривожлантириш” мавзусидаги фан доктори
(DSc) диссертацияси бўйича олиб борилган тадқиқотлар натижасида
қуйидаги хулосалар тақдим этилди:

1. Эластик тўлқинлар тарқалишини ҳисобга олган ва олмаган ҳолда

катта деформацияларда қовушқоқ-эластик изотроп ва ортотроп пластинка,
панел ва қобиқлар динамикаси чизиқсиз масалаларининг назарий асоси ва
умумий математик қўйилиши ва ечиш усули ишлаб чиқилди. Ишлаб
чикилган усул қовушқоқ-эластик изотроп ва ортотроп пластинка, панел ва
қобиқлар конструкцияларини хисоблашга хизмат килади.

2. Катта деформацияда ўзгарувчан асимметрик қалинликдаги қовушқоқ-

эластик изотроп пластинка, панел ва қобиқлар динамикаси масалалари учун
ўзгарувчан коэффицентли хусусий ҳосилали чизиқсиз интегро-дифференциал
тенгламалар тизимининг умумий кўриниши яратилди. Яратилган интегро-
дифференциал тенгламалар системаси деформацияларни башорат қилиш
имконини беради.

3. Геометрик чизиқсиз ҳолатда мужассамланган масса ва ихтиёрий

тешикли қовушқоқ-эластик тўртбурчак пластинка ва цилиндрик панеллар
тебраниши ҳақидаги масалаларнинг назарий асоси ва математик ечиш усули
ишлаб

чиқилди.

Ишлаб

чикилган

усул

цилиндрик

панелларда

кучланишларнинг концентрациясини баҳолаш имконини беради.

4. Материал хусусияти ҳамда катта деформацияларни эътиборга олган

ҳолда ичидан суюқлик оқиб ўтаётган қовушқоқ-эластик цилиндрик қобиқ ва
қувурларнинг динамик жараёнларини тавсифловчи соддалаштирилган
чизиқли ва чизиқсиз интеграл-дифференциал тенгламалар ишлаб чиқилди.
Ишлаб чиқилган тенгламалар тизими суюқлик оқиб ўтаётган қовушқоқ-
эластик қилиндрик қобиқ ва қувурлар динамикасини баҳолаш имконини
беради.

5. Катта

деформацияларни эътиборга олган ҳолда ўзгарувчан

қалинликдаги қовушқоқ-эластик изотроп ва ортотроп пластинкалар,
цилиндрик панел ва қобиқларнинг чизиқсиз тебраниши ва динамик
устуворлиги

ҳақидаги

масалаларнинг

тарқалмайдиган

интеграл-

дифференциал тенгламалар тизими ишлаб чиқилди. Ишлаб чиқилган
тенгламалар

тизими

юпқа

қобиқли

конструкцияларни

чизиқсиз

деформациясини ҳисобга олган ҳолда тебраниш даражасини баҳолаш
имконини беради.

6. Заиф-сингуляр ядроли ўзгарувчан коэффицентли чизиқсиз интегро-

дифференциал тенгламаларни тарқалмайдиган тизимларини ечишнинг
такомиллаштирилган сонли услубларининг икки тури ишлаб чиқилди.
Ишлаб чиқилган услублар заиф-сингуляр ядроли ўзгарувчан коэффицентли
чизиқсиз

интеграл-дифференциал

тенгламаларни

ечиш

усулини

соддалаштириш имконини беради.

7.

t

вақтга нисбатан бир хил ўлчовга келтириш имконини берувчи

29

квадратура формулаларини қўллашга асосланган Колтунов-Ржаницин
туридаги сингуляр ядроли интегро-дифференциал тенгламалар хослигини
бартараф этувчи алгоритм ишлаб чиқилди. Ишлаб чикилган алгоритм
сингуляр ядроли интегро-дифференциал тенгламалар тизимини ечиш
усулини соддалаштириш имконини беради.

8. Ўзгарувчан

қалинликдаги

қовушқоқ-эластик

юпқа

қобиқли

конструкцияларнинг чизиқсиз тебраниши, динамик устуворлиги ва
параметрик тебранишлари ҳақидаги масалаларнинг чизиқсиз интегро-
дифференциал тенгламаларининг тарқалмайдиган тизимларини сонли ечиш
алгоритми ишлаб чиқилди. Ишлаб чикилган алгоритм юпқа қобиқли
конструкцияларнинг хизмат муддатини баҳолаш имконини беради.

9. Ўзгарувчан коэффицентли ўзгарувчан қалинликка эга бўлган

қовушқоқ-эластик юпқа қобиқли конструкциялар динамикасининг чизиқсиз
масалаларини ечишда итерацион жараённи бир хиллаштириш тадқиқотининг
алгоритми ишлаб чиқилди. Ишлаб чиқилган алгоритм юпқа қобиқли
конструкцияларда ҳосил бўладиган динамик кучларни баҳолаш имконини
беради.

10. Катта деформацияларни эътиборга олган ҳолда ўзгарувчан

қалинликли қовушқоқ-эластик юпқа қобиқли конструкциялар динамик
масалаларини ечиш усули ишлаб чиқилди. Ишлаб чиқилган усул юпқа
қобиқли конструкцияларни кучланганлик-деформацияланганлик ҳолатини
баҳолашни соддалаштириш имконини беради.

30

НАУЧНЫЙ СОВЕТ ПО ПРИСУЖДЕНИЮ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ

ДОКТОРА НАУК DSc.27.06.2017.Т/FM.03.04 ПРИ ТАШКЕНТСКОМ

ГОСУДАРСТВЕННОМ ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ И

НАЦИОНАЛЬНОМ УНИВЕРСИТЕТЕ УЗБЕКИСТАНА

ТАШКЕНТСКИЙ ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ ИРРИГАЦИИ И

МЕХАНИЗАЦИИ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

АБДИКАРИМОВ РУСТАМХАН АЛИМХАНОВИЧ

РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ И МЕТОДОВ ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА

ВЯЗКОУПРУГИХ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ С УЧЕТОМ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ

01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ ДОКТОРА

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК (DSc)

Ташкент - 2017

31

Тема диссертации доктора физико-математических наук

(DSc)

зарегистрирована в

Высшей аттестационной комиссии при Кабинете Министров Республики Узбекистан

за

B2017.2.DSc/FM55

.

Диссертация выполнена в Ташкентском институте инженеров ирригации и механизации

сельского хозяйства.

Автореферат диссертации на трёх языках (узбекский, русский, английский

(резюме)) размещен на веб-странице (www.tdtu.uz) и Информационно-образовательном
портале «Ziyonet» (www.ziyonet.uz).

Научный консультант:

Эшматов Хасан

доктор технических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Хусанов Бахтиёр Эргашевич

доктор физико-математических наук, профессор

Сафаров Исмоил Сафарович

доктор физико-математических наук, профессор

Индиаминов Равшан Шукурович

доктор физико-математических наук

Ведущая организация:

Самаркандский архитектурно-строительный институт

Защита диссертации состоится «30» ноября 2017 года в 10-00 часов на заседании научного

совета DSc.27.06.2017.Т /FM.03.04 при Ташкентском государственном техническом университете
и Национальном университете Узбекистана по адресу: 100095, г. Ташкент, ул. Университетская, 2.
Тел/факс (99871) 227-10-32, e-mail: tadqiqotchi@tdtu.uz.

С докторской диссертацией

(DSc)

можно ознакомиться в Информационно-ресурсном

центре Ташкентского государственного технического университета (регистрационный номер 31).

Адрес: (100095, г. Ташкент, ул. Университетская, 2. Тел. (99871) 246-46-00).

Автореферат диссертации разослан «17» ноября2017 года
(реестр протокола рассылки №18 от «17» ноября 2017 года).

Председатель научного совета по

присуждению ученых степеней, д.т.н.,

профессор

К

.А.Каримов

Ученый секретарь научного совета

по присуждению ученых степеней,

д.т.н., доцент

Н.Д.Тураходжаев

Председатель научного семинара

при научном совете по

присуждению ученых степеней, д.т.н.,

профессор

М.М.Мирсаидов

32

ВВЕДЕНИЕ (аннотация диссертации доктора наук (DSc))

Актуальность и востребованность темы диссертации.

В мире

особое внимание уделяется производству строительных конструкций,
рабочих органов сельскохозяйственной техники и грузоподъёмных частей
продукций автомобилестроительной промышленности из металлических и
композитных материалов на основе ресурсосберегающих технологий. Вместе
с тем обеспечение прочности и повышение срока службы тонкостенных
конструкций становится основной задачей. Это в свою очередь вызывает
необходимость развития методов решений, осуществляемых при расчете
динамики тонкостенных конструкций.

В мире научно-исследовательские работы по оценке прочности и

напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций
ведутся в более чем 50 странах мира, в таких как США, Япония, Германия,
Китай, Россия, Узбекистан. Развитие теории и методов динамического
расчета тонкостенных конструкций, работающих при больших деформациях,
с учетом переменности толщины, особенностей материалов и образуемых
напряженно-деформируемых состояний, имеет большое значение. В этой
связи, в частности, осуществление целенаправленных научных исследований
по созданию теории оценки динамики изменения и устойчивости
тонкостенных конструкций под воздействием внешних нагрузок с учетом
особенностей материалов, разнообразия конструкций, имеющихся в них
деформаций, а также разработка эффективных методов, алгоритмов и
программ считается одним из важнейших задач в этом направлении.

С обретением независимости нашей Республикой стали уделять особое

внимание созданию вязкоупругих тонкостенных конструкций, обладающих
высоким качеством. Благодаря предпринятым мерам при проектировании
строительных сооружений, в автомобилестроении, сельскохозяйственной
техники и других объектов были достигнуты ощутимые результаты в
использовании тонкостенных конструкций. В результате этого было
достигнуто снижение веса изготовляемой продукции и обеспечено
ресурсосбережение при их производстве. В этой области для обеспечения
прочности вязкоупругих тонкостенных конструкций переменной толщины
целесообразно учитывать большие деформации. В стратегии действий,
направленной на развитие Республики Узбекистан на 2017-2021 годы, особо
подчеркивается, что необходимо “... внедрение новых современных
технологий

для

повышения

конкурентоспособности

национальной

экономики”

1

. Для осуществления данной задачи на основе развития теории и

методов динамического расчета вязкоупругих тонкостенных конструкций
переменной толщины с учетом больших деформаций обеспечение
ресурсосбережения и как его следствие повышение конкурентоспособности
продукции считается важнейшей задачей.

1

Указ Президента Республики Узбекистан от

7

февраля 2017 года № УП-4947 “О стратегии действий по

дальнейшему развитию Республики Узбекистан”

33

Данное диссертационное исследование в определенной степени служит

выполнению задач, предусмотренных в Указах Президента Республики
Узбекистан №УП-4947 “О стратегии действий по дальнейшему развитию
Республики Узбекистан” от

7

февраля 2017 года, №УП-3080 “О дальнейшем

развитии компьютеризации и внедрении информационно-коммуника-
ционных технологий” от 30 мая 2002 года, в Постановлениях Президента
Республики Узбекистан №ПП-1442 “О приоритетных направлениях развития
промышленности Республики Узбекистан в 2011-2015 годы” от 15 декабря
2010 года, №ПП-1730 “О дальнейшем внедрении и развитии информа-
ционно-коммуникационных технологий” от 21 марта 2012 года, в
Постановлении Кабинета Министров Республики Узбекистан №64 “О
дополнительных мерах по сокращению производственных затрат и
снижению себестоимости продукции в промышленности” от 7 марта 2012
года, а также другими нормативно-правовими документами, принятыми для
развития данной сферы.

Соответствие исследования приоритетным направлениям развития

науки и технологий республики.

Данное исследование выполнено в

соответствии приоритетным направлениям развития науки и технологий
республики: II. «Энергетика, энергия и ресурсосбережение».

Обзор зарубежных научных исследований по теме диссертации

2

.

Научные

исследования,

направленные

на

усовершенствование

динамического расчета

вязкоупругих тонкостенных конструкций переменной

толщины, ведутся в ведущих научных центрах и высших учебных заведениях
мира, в частности, в университете Флориды (США), университете Нагасаки
(Япония), Тяньцзиньском университете (Китай), в технологическом
институте Индии (Индия), в институте проблем механики, Санкт-
Петербургском техническом университете, в Саратовском государственном
техническом университете (Российская Федерация), в институте механики, в
Центральном аэрогидродинамическом институте (Украина), в институте
механики АН Армении (Армения), в институте математики и механики
(Азербайджан), в Павлодарском государственном университете (Казахстан),
в институте механики и сейсмостойкости сооружений АН Узбекистана, в
Ташкентском институте инженеров ирригации и механизации сельского
хозяйства (Узбекистан).

В

результате

исследований,

проведенных

в

мире

по

усовершенствованию теории о

свободных и вынужденных колебаниях,

динамической устойчивости пластин, панелей и оболочек учеными
различных стран с учетом механических процессов получены ряд
результатов, в частности: усовершенствованы методы оценок напряженно-

2

В обзоре международных научных исследований по теме диссертации использовались

http://www.mathnet.ru/(2000-2016);

http://msp.org/jomms/about/cover/cover.html

(2001-2011);

http://link.springer.com/(2000-2017);

http://www.sciencedirect.com/

(2002-2016);

http://www.dissercat.com/catalog/fiziko-matematicheskie-nauki (1999-2016); Механика деформируемого
твердого тела. Реферативный журнал (1992-2016); Прикладная механика (1992-2016); Прикладная
математика и механика (1997-2016); Механика композиционных материалов и конструкций (1995-2016);
Прикладная механика и техническая физика (1993-2016) и другие источники.

34

деформируемого состояния конструкций, обладающих сложной геометрией
(Университет Флориды,

Массачусетский технологический институт, США);

усовершенствованы методы расчета прочности и устойчивости тонкостенных
конструкций (Университет Нагасаки, Токийский технологический институт,
Япония); с использованием теоретико-практических методов изучены
деформативные и устойчивые свойства материалов (Пекинский университет
и университет Цинхуа, Китай); усовершенствованы теория и методы
решения с учетом вязкоупругих свойств материалов (Московский
государственный университет, Институт проблем механики, Российская
Федерация); усовершенствованы методы решения динамических задач
пластинок и оболочек переменной толщины (Санкт-Петербургский
технический университет, Саратовский государственный технический
университет, Российская Федерация); разработаны теория и эффективные
методы решения пластинок и оболочек, основанных на различных гипотезах
(Санкт-Петербургский технический университет, Российская Федерация).

В мире ведутся исследования в приоритетных направлениях, связанных

с разработкой теории и эффективных методов решения проблем влияния
переменности толщины на напряженно-деформированное состояние пластин
и оболочек, в частности: разработка методов оценки прочности
многослойных тонкостенных конструкций, изготовленных из композитных
материалов; разработка методов снижения влияния статических и
динамических нагрузок на напряженно-деформированное состояние тонких
пластин и оболочек; создание теоретических основ задач о динамической
устойчивости тонких пластин и оболочек с учетом физико-механических
свойств материалов; разработка методов оптимального проектирования
тонких пластин и оболочек; усовершенствование методов решения задач
динамики тонких пластин и оболочек с учетом температуры.

Степень изученности проблемы

. В последнее время ведутся

исследования

по

оценке

напряженно-деформированного

состояния

тонкостенных конструкций переменной толщины. В частности, это
исследовательские работы Ercoli L., Laura P.A.A, Gil R., Carnicer R., Sanzi
H.C., Ng S.F., Araar Y., Sakiyama T., Huang M., Wang Y., Ye Zhiming,
Григоренко Я.М., Григоренко А.Я., Карпова В.В., Преображенского И.Н.,
Аголовяна А.А., Киракосяна P.M., Кореневой Е.Б., Товстик П.Е., Филатова
В.Н., Эшматова Х., Насретдиновой Ш.С. В работах Григоренко Я.М.,
Григоренко А.Я., Аголовяна А.А., Киракосяна P.M., Кореневой Е.Б.,
Тимошенко С.П., Филатова В.Н. исследованы напряженно-деформированное
состояние пластинок и оболочек под действием статических и динамических
нагрузок. Эти пластинки и оболочки имеют переменную толщину, в
частности, в виде линейной, квадратичной и других функций.

Отечественные ученые Рашидов Т.Р., Бадалов Ф.Б., Мирсаидов М.М.,

Мавлянов Т.М., Сафаров И.С., Эшматов Х., Индиаминов Р.Ш. вели
исследования над задачами и их решениями, связанными с колебаниями и
устойчивостью пластинок, панелей и оболочек.

35

Вместе с тем еще не проанализированы процессы, происходящие в

тонкостенных конструкциях, изготовленных из материалов обладающих
вязкоупругими свойствами, не разработаны теоретические основы и
численные методы решения динамики тонкостенных конструкций,
работающих при больших деформациях. В этой связи, в частности, в
недостаточной степени разработаны и развиты теоретические основы
математической модели и методов решений с учетом свойств материалов
тонкостенных конструкций при больших деформациях, переменности
толщины, а также наличия в них отверстий и сосредоточенных масс.

Связь диссертационного исследования с планами научно-

исследовательских работ высшего образовательного учреждения, где
выполнена диссертация.

Диссертационное исследование выполнено в

рамках проекта “Разработка эффективных методов решения нелинейных
задач

динамики

вязкоупругих

тонкостенных

конструкций

из

композиционных материалов” (2009-2011), входящего в план научно-
исследовательской работы КХА-15-041 Ташкентского института инженеров
ирригации и механизации сельского хозяйства.

Целью исследования является

развитие теоретических основ и

методов решений динамики и динамической устойчивости тонкостенных
конструкций с учетом вязкоупругих свойств материалов при больших
деформациях.

Задачи исследования

:

разработка теоретических основ и обобщенной математической модели

для оценки и прогноза динамического поведения и напряженно-
деформированного состояния пластин и оболочек переменной толщины с
сосредоточенными массами и наличием отверстий при различных
воздействиях с учетом больших деформаций и вязкоупругих свойств
материала;

усовершенствование математических основ и методов решений теории

деформации гибких тонкостенных конструкций переменной толщины,
обладающих анизотропными свойствами;

развитие методики численных решений нелинейных краевых задач

вязкоупругих тонкостенных конструкций с переменной толщиной в двух и
одном направлении, находящихся под действием статических и
динамических нагрузок;

разработка

нераспадающихся

систем

нелинейных

интегро-

дифференциальных уравнений (ИДУ) со слабо-сингулярными ядрами
вязкоупругих тонкостенных конструкций переменной толщины под
воздействием внешних нагрузок;

разработка эффективного подхода к алгоритму решения, программной

продукции и численному решению для оценки прочности вязкоупругих
тонкостенных конструкций переменной толщины с наличием в них
сосредоточенных масс и отверстий с учетом больших деформаций при
статических и динамических воздействиях;

36

исследование влияния переменности толщины, физических и

механических параметров конструкций на динамику и динамическую
устойчивость вязкоупругих тонкостенных конструкций при помощи
созданной программной продукции.

Объектом исследования

являются

вязкоупругие тонкостенные

конструкции переменной толщины.

Предметом исследования

является развитие динамической теории и

методов решений вязкоупругих тонкостенных конструкций переменной
толщины с учетом больших деформаций.

Методы исследования.

В диссертационной работе применялись метод

Бубнова-Галеркина, методы решения систем нелинейных интегро-
дифференциальных уравнений с слабосингулярными ядрами и переменными
коэффициентами, метод квадратурных формул, метод Гаусса.

Научная новизна исследования

заключается в следующем:

усовершенствована

математическая

постановка

нелинейных

динамических задач вязкоупругих изотропных и ортотропных пластинок,
панелей и оболочек переменной толщины при больших деформациях;

разработана

система

нелинейных

интегро-дифференциальных

уравнений в частных производных с переменными коэффициентами для
задач динамики вязкоупругих изотропных пластин, панелей и оболочек
переменной асимметричной толщины при больших деформациях;

разработаны системы нераспадающихся интегро-дифференциальных

уравнений и алгоритм расчета задач о нелинейных колебаниях и
динамической

устойчивости

(с

учетом

быстровозрастающихся

и

периодических нагрузок) вязкоупругих изотропных и ортотропных
пластинок, цилиндрических панелей и оболочек переменной толщины с
учетом больших деформаций;

усовершенствованы методы численного решения нераспадающихся

систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений со слабо-
сингулярными ядрами и переменными коэффициентами;

созданы методы и алгоритмы численного решения нераспадающихся

систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений задач о
нелинейных колебаниях, динамической устойчивости и параметрических
колебаниях вязкоупругих тонкостенных конструкций переменной толщины.

Практические результаты исследования

заключаются в следующем:

создана возможность для прогноза динамического поведения и

напряжено-деформируемого состояния вязкоупругих пластин, панелей и
оболочек переменной толщины при наличии в них сосредоточенных масс и
отверстия при больших деформациях;

создан комплекс прикладных программ для оценки напряженно-

деформируемого состояния динамических задач вязкоупругих тонкостенных
конструкций переменной толщины при больших деформациях;

создан алгоритм сходимости итерационного процесса нелинейных

задач динамики вязкоупругих тонкостенных конструкций переменной
толщины;

37

разработана программа расчета для ЭВМ, учитывающая вязкоупругие

и анизотропные свойства материала;

созданный комплекс программ дает возможность решать задачи о

нелинейных колебаниях, динамической устойчивости и параметрических
колебаниях вязкоупругих тонкостенных конструкций переменной толщины,
оптимизировать напряженно-деформированное состояние оболочек путем
вариации параметров закона изменения толщины.

Достоверность

результатов

исследования

обосновывается

корректностью

постановки

краевых

задач

с

использованием

апробированного математического аппарата теории тонких пластин и
оболочек,

строгостью

математических

выкладок,

использованием

обоснованных методов решения, решением ряда модельных задач, для
которых известны точные аналитические или приближенные численные
решения, проверкой для каждой из рассмотренных задач практической
сходимости результатов до требуемой точности, сопоставлением
результатов, полученных по разработанной методике, алгоритмам и
программам расчета с известными решениями модельных задач.

Научная и практическая значимость результатов исследования.

Теоретическая значимость проведенных исследований заключается в
разработке теоретических основ и математических моделей, методов и
алгоритмов, вносящих важный вклад в развитие теории тонкостенных
вязкоупругих пластин и оболочек и позволяющих учитывать их различные
конструктивные особенности работающих под динамическом воздействии с
учетом больших деформаций.

Практическая значимость исследований заключается в применении при

проектировании конструкций под действием статических и динамических
нагрузок с учетом геометрической нелинейной деформации и свойств
материалов.

Внедрение результатов исследования.

На основе исследований по

развитию теории и методам динамического расчета вязкоупругих
тонкостенных конструкций переменной толщины с учетом больших
деформаций:

математический

расчет

конструкции

рабочих

органов

сельскохозяйственных машин для обеспечения прочности при больших
нагрузках внедрен в АО «Агрегатный завод» (справка АО «Узагротехмаш»
№СС–17-01/638-АО от 3 ноября 2017 года). Внедрение научно-
исследовательских результатов дало возможность увеличить срок службы
рабочих органов сельскохозяйственных машин в 1,3-1,4 раза;

методы расчета динамических нагрузок крепежной части рабочих

органов сельскохозяйственных машин внедрены в АО «Агрегатный завод»
(справка АО «Узагротехмаш» №СС–17-01/638-АО от 3 ноября 2017 года).
Внедрение научно-исследовательских результатов дало возможность снизить
динамические

нагрузки

в

крепежной

части

рабочих

органов

сельскохозяйственных машин на 10-12 %;

38

система оценки напряженно-деформированного состояния рабочих

органов при нагрузках для определения уязвимых частей рабочих органов
внедрена в АО «Агрегатный завод» (справка АО «Ўзагротехмаш» №СС–17-
01/638-АО от 3 ноября 2017 года). Внедрение научно-исследовательских
результатов позволило увеличить ресурсосбережение на 8-10%.

Апробация

результатов

исследования.

Результаты

данного

исследования апробированы на 15 республиканских и 12 международных
научно-технических и научно-практических конференциях.

Опубликованность результатов исследования.

По теме диссертации

всего опубликовано 69 научных изданий. В частности, 2 монографии,
6 авторских свидетельств, 19 статей в научных изданиях рекомендованных
Высшей аттестационной комиссией Республики Узбекистан для публикации
основных научных результатов, в том числе 11 статей в республиканских и
8 статей в международных журналах.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения,

пяти глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.
Объем диссертации составляет 190 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении

обосновывается актуальность и востребованность темы

диссертации, формулируется цель и задачи, а также объект и предмет
исследования, приводится соответствие исследования приоритетным
направлениям развития науки и технологий Республики Узбекистан,
излагаются научная новизна и практические результаты исследования,
обосновывается достоверность полученных результатов, раскрывается
теоретическая и практическая значимость результатов, сведения по
опубликованным работам и структуре диссертации.

В первой главе диссертации

«Теоретические предпосылки и

математическая

постановка

задач

динамики

вязкоупругих

тонкостенных конструкций переменной толщины»

приводятся основные

результаты, посвященные разработке теоретических предпосылок и
математические постановки задач динамики и динамической устойчивости
тонкостенных вязкоупругих конструкций переменной толщины с учетом
больших деформаций при различных воздействиях, наличии вырезов,
сосредоточенных масс, а также подвижных распределенных нагрузок.

Первая глава начинается с приведения основных теоретических

предпосылок и математической постановки задачи динамики вязкоупругих
изотропных пластин и пологих оболочек переменной толщины, т.е. с
рассмотрения

тонкостенных

конструкций

переменной

толщины

асимметричного вида.

Рассматривается тонкая пологая оболочка прямоугольного плана с

размерами

a



b

. Некоторая внутренняя поверхность тела оболочки

принимается за координатную поверхность. Оси

OX

и

OY

направляются по

линиям главных кривизн координатной поверхности оболочки,

OZ

– по

39

нормали к координатной поверхности в сторону вогнутости (вниз). Оболочка
находится под действием заданных внешних нагрузок интенсивностью

q

,

p

,

p

2

1

, приложенных к элементу оболочки по направлениям

x

,

y

и

z

соответственно. Толщина оболочки переменна и задается ограничивающими
ее в вертикальном направлении поверхностями

z

в

(

x

,

y

)

и

z

н

(

x

,

y

). Переходим к

получению математической модели задачи о нелинейном колебании
вязкоупругой изотропной оболочки с переменной жесткостью в
геометрически нелинейной постановке по кинематической гипотезе
Кирхгофа-Лява.

Деформации

õó

ó

õ



,

связаны с составляющими перемещениями

u

,

v

,

w

соотношениями:

y

w

x

w

x

v

y

u

;

y

w

k

y

v

;

x

w

k

x

u

xy

y

x





























































2

1

2

1

2

(1)

Физические уравнения связи напряжений с деформациями имеют вид:









,

E

y

x

*

x

















1

2









,

E

y

*

y

















1

2









xy

*

xy

E















1

2

(2)

где

Е

– модуль упругости;

μ

– коэффициент Пуассона;





– интегральный

оператор с ядром релаксации

 

t



:



  









d

t











0

*

;

t

– время

наблюдения;



– предшествующее моменту наблюдения время.

Соотношения для усилий





xy

y

x

N

,

N

,

N

и моментов





H

,

M

,

M

y

x

отнесенных к единице длины сечения оболочки имеют вид:





H

b

z

x

dz

N



;





H

b

z

y

dz

N



;





H

b

z

xy

dz

N



(3)





H

b

z

x

zdz

M



;





H

b

z

y

zdz

M



;





H

b

z

xy

zdz

H



(4)

Поставляя в (3) и (4) выражения для напряжений (2) получим:









,

1

2

1

0

2

*











































y

w

x

w

A

E

N

y

x









(5)









,

1

2

1

0

2

*











































x

w

y

w

A

E

N

x

y







































y

x

w

A

E

N

xy

2

1

0

*

2

1

2

1























































2

1

2

*

1

y

w

x

w

A

E

M

y

x









, (6)



















































2

1

2

*

1

x

w

y

w

A

E

M

x

y









,



























y

w

A

E

H

xy

2

1

*

2

1

2

1





где





H

b

z

Edz

A

0

,





H

b

z

Ezdz

A

1

,





H

b

z

dz

Ez

A

2

.

Поставляя (5) и (6) в уравнение движения элемента вязкоупругой

изотропной оболочки:

40

0

2















t

u

h

p

y

N

x

N

x

xy

x



,

0

2















t

v

h

p

y

N

x

N

y

xy



,

































y

w

N

x

w

N

x

N

k

N

k

y

x

H

y

M

x

M

xy

x

y

x

y

x

2

(7)

0

2





























t

w

h

q

y

w

N

x

w

N

y

xy



Введя выражения для деформации, напряжений, усилий и моментов в

уравнение движения вязкоупругой оболочки (7) получим систему уравнений.
Полученная система уравнений упрощается путем введения начальной
поверхности

z

n

таким образом, чтобы

A

1

=0.

Таким образом, впервые получены, в самом общем виде, в

перемещениях системы ИДУ с переменными коэффициентами нелинейной
задачи динамики вязкоупругих изотропных пластин и пологих оболочек
переменной асимметричной толщины с учетом больших деформаций.

Далее

приводятся

основные

теоретические

предпосылки

и

математическая постановка задачи динамики вязкоупругих изотропных
пластин и оболочек переменной толщины симметричной относительно
срединной поверхности. Следует отметить, что при решении задач динамики
вязкоупругих тонкостенных конструкции в изотропной постановке в системе
ИДУ участвует только одно ядро релаксации с тремя различными
реологическими параметрами.

Рассматривается задача о нелинейном колебании вязкоупругой

изотропной пластин и оболочек переменной толщины (рис.1) в
геометрически нелинейной постановке по кинематической гипотезе
Кирхгофа-Лява.

а)

б)

Рис.1.

Изгибающие и крутящие моменты элемента оболочки примем в виде:













,

1

,

1

2

*

2

*

y

x

w

D

H

y

x

y

w

x

w

D

M

x





































(8)

где









2

3

1

12

,







y

x

Eh

D

– переменная цилиндрическая жесткость оболочки.

Уравнения движения элемента вязкоупругой изотропной оболочки

имеет вид (7), где

y

x

N

,

и

xy

N

– усилия, отнесенные к единице длины

сечения оболочки:

41

h

N

x





,

y

x



h

N

xy





, (9)

С учетом (1) и (2), подставляя (8) и (9) в (7) получим систему

нелинейных ИДУ с переменными коэффициентами вида:





























































xy

y

x

xy

y

x

y

h

x

h

y

x

h



















2

1

2

1

*

0

1

2









t

u

E

h

p

E

x







,





























































xy

x

y

xy

x

y

x

h

y

h

x

y

h



















2

1

2

1

*

0

1

2









t

v

E

h

p

E

y







, (10)









































w

D

w

y

D

w

x

D

w

D

2

4

*

2

1
























































y

x

y

x

k

Eh

x

w

y

D

y

x

w

y

x

D

y

w

x

D









2

1

2

1











































































x

y

xy

y

x

y

w

y

w

x

w

x

Eh















*

2

1

2

1







































































xy

y

x

xy

y

w

x

w

x

h

x

w













*

1

2

1

2

1













0

1

2

1

2

*







































t

w

h

q

x

w

y

w

y

h

xy

x

y











Заметим, что полученная система (10) нелинейных интегро-

дифференциальных уравнений движения вязкоупругой оболочки является
достаточно общей, из которого в частном случае можно получить уравнения
движения вязкоупругих пластин, пологих и цилиндрических оболочек
постоянной и переменной толщины.

В частном случае, получены нелинейные системы ИДУ для изотропной

вязкоупругой пластины, панели и оболочки переменной толщины в двух
направлениях координатной оси ОХ и ОУ, в одном направлении ОХ или ОУ.
Показано, что в частном случае, т.е. при постоянстве толщины, получаются
результаты А.С.Вольмира.

При решении динамических задач на внешнем контуре тонкостенных

конструкций могут быть заданы граничные условия. Наряду с этим при
решении динамических задач используются начальные условия при t=0:

:

F

x





);

x

(

)

,

x

(

u



2

0





)

x

u





(

)

,

(

3





0

При рассмотрении динамического процесса без учета распространения

упругих волн, уравнение (10) упрощается. Становиться, возможным
отбросить инерционные члены в первых двух уравнениях. Эти два уравнения
будут удовлетворяться (при отсутствии составляющих внешних нагрузок

p

x

42

и

p

y

), если ввести функцию напряжений в срединной поверхности



по

следующим формулам:

y

x

Ф

h

N

x

Ф

h

N

y

Ф

h

N

xy

y

x















2

,





В этом случае вместо трех уравнений (10) получим два уравнения типа

Кармана в перемещениях, из которых, в частном случае, можно получить
уравнения движения вязкоупругих пластин, цилиндрических панелей и
оболочек переменной толщины без учета тангенциальных сил инерции.

В последнее время в связи с интенсивным развитием промышленности,

большое развитие приобрела механика композитных материалов. Как
показывают многочисленные экспериментальные и фундаментальные
исследования, большинство композиционных материалов обладают ярко
выраженными вязкоупругими свойствами и должны быть неоднородными.

В связи с этим далее в этой главе приводятся теоретические

предпосылки и математическая постановка задачи динамики вязкоупругих
ортотропных пластин и оболочек переменной толщины с учетом
геометрической нелинейности. Отметим, что при решении задач динамики
вязкоупругих тонкостенных конструкций в ортотропной постановке по
гипотезе Кирхгофа-Лява участвуют уже 5 различных ядер с 15
реологическими параметрами.

Линейную связь между напряжениями и деформациями, когда материал

ортотропной оболочки подчиняется закону наследственности, примем в виде

















,

1

2

,

2

1

,

1

*

12

*

11

xy

y

x

B

y

x

B





























(11)

где





*

ij

*

,

интегральные операторы с ядрами релаксации соответственно

 

t



и

 

t

ij



:



  



  

2

1

0

,

j

,

i

,

d

t

,

d

t

ij

*

ij

t

*





































;

2

1

11

2

22

1

21

12

2

1

2

22

2

1

11

G

B

,

B

,

E

B

,

E

B













,



2

1

E

,

E

модули

упругости в направлении осей

x

и

y

;

G

– модуль сдвига;





2

1

,

коэффициенты Пуассона; здесь и в дальнейшем символ





2

1



,

y

x

указывает, что остальные соотношения получаются круговой подстановкой
индексов.

Поставляя (11) в (9), получим









,

h

B

h

B

N

y

*

x

*

x



12

11

1





















,

h

B

h

B

N

y

*

x

*

y



22

21

1

















xy

*

xy

h

B

N









1

2

(12)

Изгибающие и крутящий моменты имеют вид





















y

x

w

Bh

H

,

y

w

B

x

w

B

h

M

,

y

w

B

x

w

B

h

M

*

y

*

x

































































2

3

2

22

2

21

3

2

12

2

11

3

1

3

1

12

1

12

(13)

43

Поставляя (12) и (13) в (7) получим систему уравнений. Эта сложная и

одновременно громоздкая система уравнений описывает движение
ортотропной пластин и оболочек переменной толщины. Из нее в частном
случае можно получить уравнения движения ортотропных вязкоупругих
пластин, пологих и цилиндрических оболочек постоянной и переменной
толщины.

В частном случае получены уравнения для ортотропной вязкоупругой

пластины и цилиндрической оболочки переменной толщины в одном и в
двух направлениях оси ОХ и ОУ. Далее приводятся теоретические
предпосылки и математическая постановка задачи динамики вязкоупругих
ортотропных пластин и оболочек переменной толщины без учета
распространения упругих волн.

Отметим, что для математической постановке задачи о динамической

устойчивости и параметрических колебаниях достаточно в третьих
уравнениях движения учитывать силы соответственно равные:

 

y

x

w

t

P

,

y

w

t

P

,

x

w

t

P

xy

y

x



2

В технике и строительстве часто на несущие тонкостенные конструкции

типа пластин и цилиндрических панелей устанавливают накладки, крепят
приборы, аппаратуру, агрегаты. Если размеры площади контакта малы по
сравнению с размерами всей поверхности несущей конструкции, то
крепление можно считать точечным, а присоединенные массы
сосредоточенными. Далее приводятся теоретические предпосылки и
математическая

постановка

задачи

о

колебаниях

вязкоупругих

прямоугольных пластин и цилиндрических панелей с сосредоточенными
массами. Таким образом, на основе приведенных моделей приводятся ИДУ
для задач о колебаниях вязкоупругих пластин и цилиндрической панелей с
сосредоточенными массами в геометрически нелинейной постановке в
рамках гипотезы Кирхгофа-Лява при соответствующих граничных и
начальных условиях.

Далее приводятся теоретические предпосылки и математическая

постановка задачи динамики для вязкоупругих изотропных пластин с
вырезами произвольной формы. Далее, теоретические предпосылки и
математическая постановка задачи динамики вязкоупругой цилиндрической
оболочки с протекающей жидкостью. И, наконец, для задач о нелинейных
колебаниях и устойчивости вязкоупругой трубы с протекающей через нее
жидкостью приведена система нелинейных ИДУ.

Во второй главе диссертации

«Дискретизация по пространственной

переменной задач динамики вязкоупругих тонкостенных конструкций
переменной толщины с учетом больших деформаций»

методом Бубнова-

Галеркина произведена дискретизация по пространственным переменным и
получены, в общем случае, нераспадающиеся системы интегро-
дифференциальных уравнений относительно функции времени задач: о
нелинейных колебаниях, динамической устойчивости и параметрических

44

колебаниях вязкоупругих тонкостенных конструкций переменной толщины с
учетом больших деформации.

Решение систем нелинейных ИДУ, полученных в предыдущей главе при

различных граничных условиях и при наличии слабо сингулярных ядер
наследственности представляет собой значительные математические
трудности. Поэтому естественным способом решения этих систем является
дискретизации по пространственным переменным, и получение системы
обыкновенных ИДУ относительно функций времени. Эти уравнения в
дальнейшем будем называть основными разрешающими ИДУ задач
динамики вязкоупругих тонкостенных конструкций. В настоящей работе
получение

основных

разрешающих

ИДУ

в безразмерном

виде

осуществляется с помощью метода Бубнова-Галеркина.

Таким образом, во второй главе методом Бубнова-Галеркина

произведены дискретизация по пространственным переменным и получены,
в общем случае, нераспадающиеся системы интегро-дифференциальных
уравнений относительно функции времени задач: о нелинейных колебаниях,
динамической устойчивости и параметрических колебаний вязкоупругих
тонкостенных конструкций переменной толщины с учетом и без учета
распространения упругих волн при больших деформациях. Полученные
безразмерные системы уравнений, а также выражения для коэффициентов, в
силу достаточной громоздкости их вида в диссертации выведены отдельно в
приложение.

Таким образом, впервые получены разрешающие системы уравнений в

виде системы интегро-дифференциальных уравнений задач о нелинейных
колебаниях

вязкоупругих

изотропных

и

ортотропных

пластин,

цилиндрических панелей и оболочек переменной толщины с учетом больших
деформаций.

Далее приводится дискретизация по пространственным переменным

задач о динамической устойчивости вязкоупругих изотропных и
ортотропных тонкостенных конструкций переменной толщины при
быстровозрастающих и периодических нагрузках.

В третьей главе диссертации «

Методы и алгоритмы численного

решения системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений
динамики

тонкостенных

конструкций

переменной

толщины»

предложены две разновидности способа решения нераспадающихся систем
нелинейных интегро-дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами со слабо сингулярным ядром Колтунова-Ржаницына. Для
численного определения значений прогиба и перемещений

разработан

алгоритм их вычисления.

В работах Ф.Бадалова и Х.Эшматова предложен эффективный подход к

численному решению систем линейных и нелинейных ИДУ со слабо-
сингулярными

ядрами

наследственной

теории

вязкоупругости.

Разработанный в этих работах метод, направлен на решение распадающихся
систем нелинейных обыкновенных ИДУ с сингулярными ядрами,
позволяющий решать задачи с граничными условиями только шарнирного

45

опирания. Для приближенного решения систем применялась прямая замена
интегралов, входящих в системы, конечной суммой по какой-либо
квадратурной формуле. На основе этого подхода разработан численный
способ для решения нераспадающихся систем нелинейных обыкновенных
интегро-дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами со
слабо-сингулярными ядрами наследственной теории вязкоупругости.

Первый способ. Большинство динамических задач вязкоупругих

тонкостенных конструкций после применения метода Бубнова-Галеркина
сводится к решению нераспадающихся систем интегро-дифференциальных
уравнений следующего вида



,

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

,...,

u

,

t

)

u

a

(

NM

N

n

M

m

NM

nm

nmkl

nm

m

ln

k

11

1

11

2

 















 



t

NM

n m

,

d

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

...,

u

,

t

0

1 1

1







,

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

,...,

u

,

t

)

v

b

(

NM

N

n

M

m

NM

nm

nmkl

nm

m

ln

k

11

1

11

2

 













(14)



 



t

NM

n m

,

d

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

...,

u

,

t

0

1 1

1







,

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

,...,

u

,

t

Z

)

w

c

(

NM

N

n

M

m

NM

nm

nmkl

nm

klnm

11

1

11

2

 











 



t

NM

n m

d

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

...,

u

,

t

0

1 1

1





,

 

,

0

nm

u



 

nm

u

0





,

 

,

0

nm

v



 

nm

v

0





,

 

,

0

nm

w



 

nm

w

0





,

M

,...,

,

m

;

N

,...,

,

n

2

1

2

1



где

u

nm

=

u

nm

(

t

)

,

v

nm

=

v

nm

(

t

)

,

w

nm

= w

nm

(

t

) – неизвестные функции времени;

nm

,

Z

,

Y

,

X

1







– непрерывные функции в области изменения

аргументов;

,

a

kln m

,

b

kln m

,

c

kln m

,

klnm

2



,

kln m

2



klnm

2



– заданные постоянные числа.

Интегрируя систему (16) два раза по

t

, приведем ее к интегральной

форме. Полагая затем

t=t

i,

, t

i

=i



t, i=

1,2,…

(



t=const

– шаг интерполяции) и

заменяя интегралы квадратурными формулами, для вычисления

u

inm

=u

nm

(

t

i

),

v

inm

=v

nm

(

t

i

),

w

inm

=w

nm

(

t

i

) получим следующую систему:

























 





,

u

,...,

u

,

t

)

t

(

A

t

u

a

u

a

jNM

j

kl

j

p

j

N

n

M

m

p

nm

klnm

pnm

N

n

M

m

klnm

11

1

0

1

0

1

X



,

u

)

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

,...,

u

,

t

,

t

(

B

,

w

,...,

w

,

v

,...,

v

jkl

nmkl

sNM

s

sNM

s

sNM

s

j

s

j

kl

s

jNM

j

jNM

j



















2

11

0

1

11





























 





,

u

,...,

u

,

t

)

t

(

A

t

v

b

v

b

jNM

j

kl

j

p

j

p

nm

N

n

M

m

klnm

N

n

pnm

M

m

klnm

11

1

0

1

Y



(15)

46

,

v

)

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

,...,

u

,

t

,

t

(

B

,

w

,...,

w

,

v

,...,

v

jkl

nmkl

sNM

s

sNM

s

sNM

s

j

s

j

kl

s

jNM

j

jNM

j



















2

11

0

1

11





























 





,

u

,...,

u

,

t

)

t

(

A

t

w

c

w

c

jNM

j

kl

j

p

j

p

nm

N

n

M

m

klnm

N

n

M

m

pnm

klnm

11

1

0

1

Z





















jkl

nmkl

sNM

s

sNM

s

sNM

s

j

s

j

kl

s

jNM

j

jNM

j

w

)

w

,...,

w

,

v

,...,

v

,

u

,...,

u

,

t

,

t

(

B

,

w

,...,

w

,

v

,...,

v

2

11

0

1

11





Следующим этапом численного метода является регуляризация системы

нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (15) со слабо
сингулярными ядрами. С помощью замены переменных









1

z

t





,



















t

z

0

(0<

α

<1)

интеграл при ядре Колтунова-Ржаницына с особенностью следующего вида







  



















d

w

/

t

exp

t

A

t





















0

1

принимает вид

dz

z

t

w

z

А

t

)

/

(

)

exp(

1

0

























.

Заметим, что после замены переменных подынтегральная функция

относительно

z

становится регулярной. Для численного решения системы

(15) применим метод прямой замены интегралов, входящих в систему,
некоторой суммой по какой-либо квадратурной формуле, в частности по
формуле трапеции:







i

k

i

k

w

t

B

A

0

)

exp(





где коэффициенты

);

)

i

(

i

(

t

i

B

;

t

B









1

2

1

2

1

0













 













 



1

2

1

k

.

i

,

k

),

)

k

(

)

k

((

t

B



















 







Таким образом, благодаря двукратному интегрированию исходной

системы (14) по времени

t

и использованию квадратурной формулы

получена система (15) для нахождения прогибов

w

inm

=w

nm

(

t

i

) и перемещений

u

inm

=u

nm

(

t

i

),

v

inm

=v

nm

(

t

i

). Решение (15) находится с применением метода

Гаусса.

Второй способ. Для системы интегро-дифференциальных уравнений (14)

предложен еще один видоизмененный способ численного решения, также
основанный на использовании квадратурных формул, путем сведения
системы (14) к векторно-матричному виду. Таким образом, согласно
численному методу, относительно искомых неизвестных получим систему
линейных алгебраических уравнений. Для решения этой системы

47

используется модифицированный метод Жордана.

Также разработан алгоритм исследования сходимости итерационного

процесса для решения нелинейных задач динамики вязкоупругих
тонкостенных конструкций переменной толщины. При этом для проверки
работоспособности предложенного метода решен тестовый пример.
Результаты исследований показали, что погрешность численного метода
совпадает с погрешностью использованных квадратурных формул и имеет
тот же порядок малости относительно шага интерполяции. Предлагаемый
метод обеспечивает достаточно высокую точность получаемых результатов,
универсален и позволяет решать широкий класс динамических задач
наследственной теории вязкоупругости.

Разработаны алгоритмы численного решения систем нелинейных

интегро-дифференциальных уравнений задачи о нелинейных колебаниях,
динамической устойчивости и параметрических колебаний тонкостенных
конструкций переменной толщины с учетом больших деформаций.

На основе разработанного вычислительного алгоритма созданы

программ на алгоритмическом языке Delphi, для которых получены
авторские свидетельства агентства по интеллектуальной собственности РУз.

В четвертой главе диссертации «

Исследования нелинейных

колебаний вязкоупругих изотропных и ортотропных пластин и оболочек
переменной толщины с учетом больших деформаций»

рассматриваются

задачи о нелинейных колебаниях вязкоупругих пластин и оболочек
переменной толщины в геометрически нелинейной постановке. Уравнение
колебаний

относительно

перемещений

и

прогибов

описывается

нелинейными

интегро-дифференциальным

уравнениями

в

частных

производных. С помощью метода Бубнова-Галеркина, основанного на
многочленной аппроксимации прогибов, задача сводится к исследованию
нераспадающихся

систем

нелинейных

обыкновенных

интегро-

дифференциальных уравнений, решение которых находится численным
методом, предложенным в третьей главе. Вычисление числовых значений
приближенного решения выполнялось на основе единого вычислительного
алгоритма. Исследованы влияния на амплитудно-временные характеристики,
а также на напряженно-деформированное состояние, геометрической
нелинейности, неоднородности материала, параметра переменности толщины
(некоторые законы изменения толщины тонкостенных конструкций и их
профили приведены в диссертации в приложении), граничных условий и т.д.,
вязкоупругих тонкостенных конструкций типа пластин и оболочек
переменной толщины.

Рассматривается в геометрически нелинейной постановке задача о

нелинейных колебаниях вязкоупругой прямоугольной пластины переменной
толщины

h=h

(

x

,

y

) со сторонами

a

и

b

, изготовленной из неоднородного

(ортотропного) материала.

Приближенные

значения

неизвестных

u

inm

=

u

inm

(

t

i

),

v

inm

=

v

inm

(

t

i

),

w

inm

=

w

inm

(

t

i

) находим по методу, приведенному в третьей главе.

Предположим, что пластинка шарнирно оперта по контуру. Граничные

48

условия будут иметь вид:

0

1

0



x

w

,

0

1

0



x

v

,

0

1

0



x

N

,

0

1

0



x

M

,

0

1

0



y

w

,

0

1

0



y

u

,

0

1

0



y

N

,

0

1

0



y

M

. Тогда в разложении метода Бубнова–

Галеркина аппроксимирующие функции прогиба и перемещений,
удовлетворяющие

заданным

граничным

условиям,

соответственно

принимаются в виде:





y

m

sin

x

ï

cos

y

,

x

n m







,





y

m

cos

x

ï

sin

y

,

x

n m







,





y

m

sin

x

ï

sin

y

,

x

n m







Механические параметры принимались в виде:

E

1

=36.8 ГПа,

E

2

=26.8 ГПа,

G

12

=5.0 ГПа,



1

=0.077,



2

=0.105,

а закон изменения толщины выбирается в виде





x

h

)

x

(

h









1

0

,

где

1

0



x

,





— параметр, характеризующий интенсивность изменения

толщины,

 

const

h



0

— толщина пластинки, соответствующая

0



*



.

При расчетах используются значения реологических параметров

,





A

для стеклопластиков КАСТ-В 0

0

(



=0.1;



=0.001;

A

=0.0099),

КАСТ-В 90

0

(



=0.1;



=0.00166;

A

=0.0104) и КАСТ-В 45

0

(



=0.1;



=0.00166;

A

=0.0208), а также следующие геометрические параметры:

5

0

.

b

a



м,

008

0

.

a

h



.

Отметим, что начальным моментом колебательного процесса является

статическое равновесное состояние пластинки под нагрузкой

q.

В этом

состоянии пластинка представляет собой изогнутую поверхность

w

(0,

x

,

y

),

поэтому для нахождения

w

0

nm

решается соответствующая упругая

нелинейная статическая задача. Найденные прогибы пластинки будут
служить начальным приближением для решения соответствующей
вязкоупругой нелинейной динамической задачи.

В

качестве

одного

из

параметров

определяющих

степень

неоднородности (анизотропности) материала был выбран параметр

2

1

E





. Изменение прогиба точки вязкоупругой пластины (

x

=0.5;

y

=0.5) в

зависимости от времени при увеличении параметра



приводит к сдвигу фаз

влево.

Исследован прогиб срединной точки (x=0.5; y=0.5) вязкоупругой

пластины в зависимости от времени с учетом и без учета распространения
упругих волн.

С увеличением параметров внешней нагрузки и соотношений между

геометрическими параметрами пластинки различия в расчетах по
амплитудным значениям возникают уже в начальные моменты времени и при

t

=5,5 составляют 30-35%. С течением времени различия в результатах

продолжают увеличиваться.

На рис.2 представлено изменение прогиба точки вязкоупругой пластины

(

x

=0.5;

y

=0.5) в зависимости от времени при различных значениях параметра

переменности толщины





. Видно, что увеличение этого параметра, т.е.

49

уменьшение жесткости пластины, приводит к сдвигу фаз колебаний. Здесь,
для наглядности полученных результатов, временной интервал разбит на три
части.

На рис.3 приведены результаты сравнения форм колебаний пластины

при различных значениях параметрах



*

. Анализ полученных результатов

показывает, что форма колебаний пластины переменной толщины имеет
несимметричный характер.

Рис.2. График изменения прогиба

пластины по времени для точки (x=0.5;

y=0.5) пластины при различных значениях

параметра



*

:

(1) – 0; (2) – 0.2; (3) – 0.5

Рис.3. Сравнение форм колебаний

пластины при различных значениях

параметра



*

t

1

=50: (1) – 0; (2) – 0.2; (3) – 0.5

t

2

=450: (4) – 0; (5) – 0.2; (6) – 0.5

На рис.4 и 5 приведены изменения момента

M

x

и напряжения



изб,

x

точки

вязкоупругой пластины (x=0.5; y=0.5) в зависимости от времени при
различных значениях параметра



*

. Анализ полученных результатов

показывает, что увеличение этого параметра приводит к сдвигу фаз
колебаний.

Рис.4. График изменения момента

M

x

пластины по времени для точки

(x=0.5; y=0.5) пластины при различных

значениях параметра



*

:

(1) – 0; (2) – 0.2; (3) – 0.5

Рис.5. График изменения напряжения



изб,

x

пластины по времени для точки

(x=0.5; y=0.5) пластины при различных

значениях параметра



*

:

(1) – 0; (2) – 0.2; (3) – 0.5

Далее рассматривается в геометрически нелинейной постановке задача о

нелинейных колебаниях вязкоупругой цилиндрической панели радиусом
кривизны срединной поверхности

R

и со сторонами

a

и

b

. Панель имеет

50

переменную толщину

h=h

(

x

,

y

), изготовлена из неоднородного вязкоупругого

материала и нагружена внешней силой

q

. Здесь в качестве исходных данных

при вычислениях были приняты следующие:



=25;

20



y

k

;



=1;





=0.5;



=0.1;



=0.00166;

A

=0.0208 (материал КАСТ-В 45

0

).

На рис.6 приведены результаты расчетов линейной (кривая 1) и

нелинейной (кривая 2) задач о колебаниях вязкоупругой цилиндрической
панели с учетом неоднородных и вязкоупругих свойств материала. Согласно
графику, область устойчивого решения нелинейных задач полностью
включается в область устойчивого решения линейных задач. Аналогичные
результаты наблюдаются и при исследовании влияния геометрической
нелинейности на изменение перемещения

u

и момента

M

x

.

Рис.6. График изменения прогиба панели

по времени для срединной точки (x=0.5;

y=0.5): (1) – линейное решение; (2) –

нелинейное решение

Рис.7. График изменения прогиба

панели по времени для срединной

точки (x=0.5; y=0.5) при различных

материалах: (1) – упругий;

(2) – КАСТ-В 0

0

; (3) – КАСТ-В 45

0

На рис.7 представлено изменение прогиба точки вязкоупругой панели

(x=0.5; y=0.5) в зависимости от времени. Здесь кривая 1 соответствует
случаю, когда материал панели упругий, а кривые 2 и 3 – когда материал
панели вязкоупругий, при этом в качестве вязкоупругого материала выбран
стеклопластик КАСТ-В с направлением волокон соответственно 0

0

(



=0.1;



=0.001;

A

=0.0099) и 45

0

(



=0.1;



=0.00166;

A

=0.0208). Как и ожидалось, учет

вязкоупругих свойств материала панели приводит к затуханию
колебательного процесса, при этом, хотя решение упругой и вязкоупругой
задач в начальный период времени мало отличаются друг от друга, с
течением времени вязкоупругие свойства оказывают существенное влияние.

Аналогичные

результаты

наблюдаются

и

при

исследовании

перемещения

u

, момента

M

x

и напряжения



x

.

Кроме того, исследовано влияние геометрических и физико-

механических параметров на изменение вышеназванных параметров.

Исследовано изменение прогиба панели по времени для срединной

точки (x=0.5; y=0.5) при различных граничных условиях, а именно, когда две
стороны жестко защемлены, а две другие шарнирно оперты. Анализ
полученных результатов показывает, что c увеличением количества
защемленных сторон панели частота колебаний увеличивается.

51

В

пятой

главе

диссертации

«

Динамическая

устойчивость

вязкоупругих изотропных и ортотропных тонкостенных конструкций
переменной толщины при быстровозрастающих и периодических
нагрузках

» в геометрически нелинейной постановке рассматриваются

задачи о динамической устойчивости изотропных и ортотропных
вязкоупругих пластин, прямоугольных в плане панелей и круговых
цилиндрических оболочек переменной толщины при действии осевых
динамических, быстровозрастающих и периодических

нагрузок. С

использованием метода Бубнова-Галеркина по осевым и окружным
координатам рассматриваемые задачи сводятся к нераспадающимся
системам нелинейных обыкновенных ИДУ типа Вольтерра, которые
решаются численным методом, предложенным в третьей главе. В широких
пределах изменения механических и геометрических параметров пластин и
оболочек при быстро возрастающих нагрузках определены критические
нагрузки и критические время.

Рассматривается задача о динамической устойчивости прямоугольной

вязкоупругой пластинки переменной толщины, изготовленной из
однородного изотропного материала. Допустим, что пластина со сторонами

a

и

b

подвергается динамическому сжатию вдоль стороны

а

силой

Р

(

t

)

=S



t

(

S

-

скорость нагружения), при условии, что пластинка имеет начальные
прогибы.

Интегрирование уравнений, полученных на основе одночленной и

многочленой аппроксимации прогиба с учетом различных факторов,
выполнялось с помощью численного метода, предложенного в настоящей
работе. Здесь, аналогично работам А.С.Вольмира, в качестве критерия,
определяющего критическое время, а месте с тем и критическую нагрузку,
принимаем условие, что стрела прогиба не должна превышать величину,
равную толщине пластины. Для определения динамической критической
нагрузки будем пользоваться понятием динамического коэффициента

Д

K

,

равному отношению динамической «критической» нагрузки к верхней
статической.

Результаты вычислений при различных физических и геометрических

параметрах, приведены в таблице и отражаются графиками, приведенными
на рисунках. Зависимость изменения толщины имеет следующий вид:

x

h









1

. За исключением случаев, оговоренных особо, в качестве

исходных данных, при вычислениях были приняты следующие:

A

=0.05;



=0.25;



=0.05;



=0.3;



=25;

S

=1;

w

0

=0.0001;

q

=0;



=1;





= 0.5.

Как показывают исследования (табл.), при малых значениях параметра

начальных неправильностей

w

0nm

, скорости нагружения

S

и внешней нагрузки

q

, результаты, полученные в линейной (

Л

) и нелинейной постановках (

Н

),

почти совпадают и, следовательно, в этих случаях задачи можно
рассматривать в линейной постановке. Однако, по мере увеличения значений
начальных неправильностей (

-1

0

10



nm

w

), результаты начинают существенно

отличаться друг от друга и отличие достигает в некоторых случаях 30-40%.

52

Во всех рассмотренных случаях исследована сходимость метода

Бубнова-Галеркина. При этом в разложении Бубнова-Галеркина найдены те
значения

N

и

M

, при которых раньше всего начинается бурный рост

прогибов.

Таблица

A





q



w

0nm

S



*

К

Д

Л

Н

0.0

0.25

0.05

0

1

10

-4

1

0.5

4.98

5.07

0.05

0.25

0.05

0

1

10

-4

1

0.5

4.76

4.83

0.1

0.25

0.05

0

1

10

-4

1

0.5

4.58

4.64

0.05

0.1

0.05

0

1

10

-4

1

0.5

4.42

4.46

0.05

0.25

0.1

0

1

10

-4

1

0.5

4.76

4.83

0.05

0.25

0.5

0

1

10

-4

1

0.5

4.76

4.83

0.05

0.25

0.05

1

10

-4

1

0.5

3.67

3.75

0.05

0.25

0.05

2

1

10

-4

1

0.5

3.21

3.32

0.05

0.25

0.05

3

1

10

-4

1

0.5

2.93

3.05

0.05

0.25

0.05

0

2

10

-4

1

0.5

4.78

4.86

0.05

0.25

0.05

0

1

10

-2

1

0.5

3.22

4.22

0.05

0.25

0.05

0

1

10

-1

1

0.5

1.98

3.18

0.05

0.25

0.05

0

1

10

-4

0.1

0.5

9.21

9.25

0.05

0.25

0.05

0

1

10

-4

10

0.5

3.4

3.44

0.05

0.25

0.05

0

1

10

-4

1

0

4.66

4.73

0.05

0.25

0.05

0

1

10

-4

1

0.8

6.17

6.23

Исследовано влияние параметра изменения толщины пластинки





на

динамическую устойчивость. На рис.8 приведены графики для





= 0; 0.4;

0.8. Считаем, что поперечная нагрузка отсутствует, т.е.

0



q

.

По оси абсцисс отложен безразмерный параметр



t

, равный отношению

переменной величины сжимающей силы к статической нагрузке, а по оси
ординат – безразмерная стрела прогиба

nm

w

. При этих значениях





коэффициент динамичности

Ä

K

составляет соответственно 4.73, 4.83, 6.23.

Напомним, что увеличение параметра





влечет за собой уменьшение

толщины пластинки. Вычисления производились при равных объемах
пластин постоянной и переменной толщины. Из графиков видно, что с
уменьшением толщины значение коэффициента

Д

K

увеличивается.

Рассмотрим теперь задачу о динамической устойчивости ортотропных

вязкоупругих прямоугольных пластин переменной толщины с начальными
пргибами. Интегрирование уравнения движения на основе одночленной и
многочленной аппроксимаций прогибов для различных скоростей
нагружения и параметров пластин выполнялось с помошью численного
метода, предложенного в третьей главе.

Изучено влияние неоднородных свойств материала на процесс

53

устойчивости пластинки (рис.9). Как видно из рисунка, увеличение
параметра



, определяющего степень анизотропии (кривая 1 -



=1; кривая 2

-



=1.5 и кривая 3 -



=2), приводит к более позднему интенсивному

возрастанию прогибов, соответственно увеличению критического значения

К

Д

.

Рис.8. Зависимость прогиба от времени

при



*

=0 (1); 0.4 (2); 0.8 (3)

Рис.9. Зависимость прогиба от времени

при



=1 (1); 1.5 (2); 2 (3)

Рассмотрим теперь задачу о динамической устойчивости вязкоупругой

ортотропной

цилиндрической

панели,

подвергающейся

действию

динамических усилий вдоль образующей. Исследуем ее поведение во
времени при условии, что панель имеет начальные прогибы. Результаты
вычислений, с учетом различных факторов, приведены в таблице и
отражаются графиками.

Изучено влияние геометрического параметра

y

k

(рис.10). Зависимость

изменения толщины выбирается в виде:

x

h









1

. В качестве исходных

данных, при вычислениях были приняты следующие:

A

=0.05;



=0.25;



=0.05;



=0.3;



=25;

20



y

k

;

S

=1;

w

0

=0.0001;

q

=0;



=1;





= 0.5. При значениях

y

k

=20; 25; 30 соответствующие коэффициенты

К

Д

равны 6.07; 6.84; 7.8.

Видно, что увеличение безразмерного геометрического параметра

y

k

приводит к увеличению критической нагрузки и времени.

Рассматриваются задачи о параметрических колебаниях вязкоупругих

изотропных и ортотропных пластин, панелей и цилиндрических оболочек
переменной толщины в геометрически нелинейной постановке. Получены
числовые значения прогиба от времени численным методом, предложенным
в данной работе. Во всех рассмотренных случаях анализируется влияние
основных свойств материала на частоту и амплитуду колебаний.

54

Рис.10. Зависимость прогиба от времени

при

k

y

=20(1); 25(2); 30(3)

Рис.11. Зависимость прогиба от времени

при



*

=0 (1); 0.4 (2); 0.8 (3)

Рассмотрим вновь прямоугольную вязкоупругую пластину с переменной

толщиной

h

=

h

(

x

,

y

) со сторонами

a

и

b

, изготовленную из однородного

изотропного материала

.

Пусть теперь пластина подвергается динамическому

нагружению вдоль стороны

a

периодической нагрузкой

Р

(

t

)

=P

0

+P

1

cos



t

(

P

0

, P

1

=const;



- частота внешней периодической нагрузки), при условии,

что пластинка имеет начальные прогибы. Результаты вычислений при
различных физических и геометрических параметрах вязкоупругой
изотропной пластинки отражаются графиками.

На рис.11 приведены результаты исследования влияния параметра

изменения толщины



*

на поведение вязкоупругой пластины. Зависимость

изменения толщины выбирается в виду:

x

h









1

. В качестве исходных

данных, при вычислениях были приняты следующие:

A

=0.05;



=0.25;



=0.05;



=0.3;



=25;

w

0

=0.01;

q

=0;



=1;





= 0.5;



0

=0.3;



1

=0.5;



=1.1. Из рисунка

отчетливо видно, что амплитуда колебаний с увеличением этого параметра
увеличивается. Заметим, что в начале процесса колебаний значений
амплитуды незначительно отличаются от пластин постоянной толщины.

З А К Л Ю Ч Е Н И Е

На основе проведенных исследований по диссертации доктора наук

(DSc) на тему: “Развитие теории и методов динамического расчета
вязкоупругих тонкостенных конструкций переменной толщины с учетом
больших деформаций” представлены следующие выводы:

1. Разработаны теоретические предпосылки, общая математическая

постановка и метод решения нелинейных задач динамики вязкоупругих
изотропных и ортотропных пластин, панелей и оболочек переменной
толщины при больших деформациях с учетом и без учета распространения
волн. Разработанный метод служит при расчете конструкций вязкоупругих
изотропных и ортотропных пластин, панелей и оболочек.

2. Создан общий вид систем нелинейных интегро-дифференциальных

уравнений в частных производных с переменными коэффициентами для
задач динамики вязкоупругих изотропных пластин, панелей и оболочек
переменной асимметричной толщины при больших деформациях.
Полученная

система

интегро-дифференциальных

уравнений

дает

55

возможность прогноза деформаций.

3. Разработаны теоретическая основа и метод математического

решения постановки задач колебаний вязкоупругих прямоугольных пластин
и цилиндрических панелей с сосредоточенными массами и произвольными
вырезами в геометрически нелинейной постановке. Разработанный метод
позволяет оценить концентрацию напряжений в цилиндрических панелях.

4. Разработано

упрощенное линейное и нелинейное интегро-

дифференциальное уравнение, описывающее динамические процессы
деформирования вязкоупругой цилиндрической оболочки и трубы при
протекании через нее жидкости с учетом нелинейности свойств материала и
больших деформаций. Разработанная система уравнений позволяет оценить
динамику вязкоупругих цилиндрических оболочек и труб при протекании
через них жидкости.

5. Разработаны системы нераспадающихся интегро-дифференциальных

уравнений задач о нелинейных колебаниях и динамической устойчивости
вязкоупругих изотропных и ортотропных пластин, цилиндрических панелей
и оболочек переменной толщины с учетом больших деформаций.
Разработанная система уравнений позволяет оценить уровень колебаний
тонких оболочечных конструкций с учетом нелинейной деформации.

6. Разработаны

два

вида

численных

методов

решения

нераспространяющихся систем нелинейных интегро-дифференциальных
уравнений с переменными коэффициентами со слабо- сингулярными ядрами.
Разработанные методы позволяют упростить метод решения интегро-
дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами со слабо-
сингулярными ядрами.

7. Разработан алгоритм исключения особенностей интегро-дифферен-

циальных уравнений с сингулярным ядром типа Колтунова-Ржаницына,
основанный на использования квадратурных формул, позволяющий привести
к одинаковому измерению относительно времени

t

. Разработанный алгоритм

позволяет упростить метод решения системы интегро-дифференциальных
уравнений со слабо-сингулярными ядрами.

8. Разработаны алгоритмы численного решения нераспадающихся

систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений задач о
нелинейных колебаниях, динамической устойчивости и параметрических
колебаниях вязкоупругих тонкостенных конструкций переменной толщины.
Разработанный алгоритм позволяет оценить срок службы конструкций с
тонкостенной оболочкой.

9. Разработан алгоритм исследования сходимости итерационного

процесса при решении нелинейных задач динамики вязкоупругих
тонкостенных конструкций переменной толщины с переменными
коэффициентами. Разработанный алгоритм позволяет оценить динамические
силы возникающие в тонкостенных конструкциях.

10. Разработан метод решения динамических задач вязкоупругих

тонкостенных конструкций переменной толщины с учетом больших
деформаций. Разработанный метод позволяет упростить оценку напряженно-

56

деформированного состояния тонкостенных конструкций.

57

SCIENTIFIC COUNCIL AWARDING SCIENTIFIC DEGREES

SCIENCES DSc.27.06.2017. Т/FM.03.04 UNDER TASHKENT STATE

TECHNICAL UNIVERSITY AND THE NATIONAL UNIVERSITY OF

UZBEKISTAN

TASHKENT INSTITUT OF IRRIGATION AND AGROCULTURAL

MECHANIZATION ENJINEERS

ABDIKARIMOV RUSTAMKHAN ALIMKHANOVICH

THE DEVELOPMENT OF THEORY AND METHODS FOR DYNAMIC

ANALYSIS OF VISCOELASTIC THIN-WALLED STRUCTURES OF

VARIABLE THICKNESS, TAKING INTO ACCOUNT LARGE

DEFORMATION

01.02.04 – Mechanics of deformable solids

DISSERTATION ABSTRACT OF DOCTOR DISSERTATION (DSc)

ON PHYSICAL-MATHEMATICAL SCIENCES

Tashkent - 2017

58

The theme of the doctoral dissertation (DSc) was registered at the Supreme

Attestation Commission at the Cabinet of Ministers of the Republic of Uzbekistan under
number

B2017.2.DSc/FM55

.

The doctoral dissertation carried out at the Tashkent institut of irrigation and agricultural

mechanization enjineers/

The abstract of the dissertation is posted in three languages (Uzbek, Russian, English

(resume)) on the website www.tdtu.uz andan the webside «Ziyonet». Information and
educational portal www.ziyonet.uz.

Scientific adviser:

Eshmatov Khasan

doctor of technical sciences, professor

Official opponents:

Xusanov Bakhtiyor Ergashovich

doctor of physical-mathematical sciences, professor

Safarov Ismoil Ibrokhimovich

doctor of physical-mathematical sciences, professor

Indiaminov Ravshan Shukurovich

doctor of physical-mathematical sciences

Leading organization:

Samarkand State Architecture and Construction

Institute

The defense will take place «30» November 2017 at 10-00 at the meeting of scientific

council

DSc.27.06.2017.FM/Т.03.04 at Tashkent State Technical University and National University of

Uzbekistan Iocated at 2, University street, Tashkent, 100095. Tel/fax No (99871) 227-10-32, e-mail:
tadqiqotchi@tdtu.uz.

The doctoral dissertation can be reviewed at the Information and Resource Center of

Tashkent State University (registration number 31).

(Address: 100095, Tashkent, st. University, 2.

Tel/Fax: (99871) 246-46-00).

Abstract of dissertation sent out on «30» November 2017 y.
(mailing report №18 on «17» November 2017 y).

Chairman of scientific council for

awarding degree,

doctor of technical sciences, professor

K.A.Karimov

Scientific secretary of scientific council

for awarding degree, doctor of technical sciences,

professor

N.D.Turakhodjaev

Chairman of scientific council seminar at the

Scientific Council for the awarding academic degrees,

doctor of technical sciences, professor

M.M.Mirsaidov

59

DOCTORAL (DSc) DISSERTATION ABSTRACT

ON PHYSICO-MATHEMATICAL SCIENCES

Contents of the Doctoral (DSc) Dissertation Abstract

INTRODUCTION (abstract of DSc thesis)

The aim of the

research

work

is is the development of theoretical

foundations and methods for solving the dynamics and dynamic stability of thin-
walled structures, taking into account the viscoelastic properties of materials under
large deformations.

The tasks of research:

the development of theoretical foundations and a generalized mathematical

model for estimating and forecasting the dynamic behavior and stress-strain state of
plates and shells of variable thickness with concentrated masses and the presence of
holes under various influences, taking into account the large deformations and
viscoelastic properties of the material;

improvement of mathematical foundations and methods of solutions to the

theory of deformation of flexible thin-walled constructions of variable thickness that
have anisotropic properties;

development of a technique for approximate solution of nonlinear boundary

value problems for viscoelastic thin-walled structures of variable thickness in two and
one directions under the influence of static and dynamic loads;

obtaining non-decaying (resolving) systems of nonlinear integro-differential

equations with weakly singular nuclei of viscoelastic thin-walled structures of variable
thickness under the influence of external loads;

development of an effective approach to the solution algorithm, software

products, and a numerical solution for evaluating the strength of viscoelastic thin-
walled structures of variable thickness with the presence of concentrated masses and
holes in them taking into account large deformations under static and dynamic
influences;

research with the help of the created software products of the effect of variable

thickness, physical and mechanical parameters of structures on the dynamics and
dynamic stability of viscoelastic thin-walled structures.

The object of the

research

work

are viscoelastic thin-walled constructions

of variable thickness.

The scientific novelty of the

research

work:

the mathematical formulation of nonlinear dynamic problems of viscoelastic

isotropic and orthotropic plates, panels and shells of variable thickness for large
deformations is improved;

a system of nonlinear integro-differential partial differential equations with

variable coefficients for the problems of the dynamics of viscoelastic isotropic
plates, panels and shells of variable asymmetric thickness at large deformations is
developed;

60

with allowance for large deformations, systems of non-decaying integro-

differential equations and an algorithm for calculating problems on nonlinear
oscillations and dynamic stability (with allowance for rapidly increasing and
periodic loads) of viscoelastic isotropic and orthotropic plates, cylindrical panels
and shells of variable thickness are developed;

methods for the numerical solution of non-decaying systems of nonlinear

integro-differential equations with weakly singular kernels and variable
coefficients are improved;

methods and algorithms for the numerical solution of non-decaying systems

of nonlinear integro-differential equations for nonlinear oscillations, dynamic
stability, and parametric oscillations of viscoelastic thin-walled constructs of
variable thickness are developed.

The outline of the thesis.

Dissertation work consists of introduction, five

chapters, conclusion, references, applications and contains 190 pages of text.

61

ЭЪЛОН ҚИЛИНГАН ИШЛАР РЎЙХАТИ

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

LIST OF PUBLISНED WORKS

I бўлим (I часть; I part)

1.

Абдикаримов Р.А., Копернак Ю.Н., Преображенский И.Н., Соатов

Ё.У. Некоторые задачи механики с параметрами разрывного типа. – Ташкент:
Изд-во ФАН АН РУ, 1997. – 179 с.

2.

Эшматов Х., Ахмеров И.С, Бобаназаров Ш.П., Абдикаримов Р.А.

Математическое моделирование нелинейных задач о колебаниях и
динамической устойчивости вязкоупругих систем. – Ташкент: Изд-во “Фан”
АН РУ, 2005. – 168 с.

3.

Эшматов Х., Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. Колебания и

устойчивость вязкоупругой трубы с протекающей через нее жидкостью при
различных граничных условиях // Узбекский журнал “Проблемы механики”.
– Ташкент, 1995. – № 1. – С. 20-24. (01.00.00, №4)

4.

Эшматов Х., Абдикаримов Р.А. Параметрические колебания

цилиндрической оболочки с протекающей жидкостью // Узбекский журнал
“Проблемы механики”. – Ташкент, 1996. (01.00.00, №4)

5.

Эшматов Х., Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. Влияние

сосредоточенных масс на устойчивость вязкоупругих трубопроводов // ДАН
РУз. – Ташкент, 1996. – №7. – С.20-23. (01.00.00, №7)

6.

Абдикаримов Р.А., Киличов Ш.М. Параметрический резонанс

вязкоупругой цилиндрической оболочки, содержащей движущуюся
жидкость // Узбекский журнал “Проблемы механики”. – Ташкент, 2000. –
№4-5. – С. 20-23. (01.00.00, №4)

7.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П., Киличов Ш.М. Динамическая

устойчивость тонкостенных конструктивных элементов с параметрами
разрывного типа // ДАН РУз. – Ташкент, 2000. – № 4. – С. 22-24. (01.00.00,
№7)

8.

Абдикаримов Р.А. Численное исследование нелинейного колебания

вязкоупругой пластины с переменной жесткостью // Проблемы архитектуры
и строительства. – Самарканд, 2010. – №1. – С. 37-42. (05.00.00, №14)

9.

Абдикаримов Р.А. Математическая модель нелинейного колебания

вязкоупругой пластины с переменной жесткостью при различных граничных
условиях // Проблемы архитектуры и строительства. – Самарканд, 2010. –
№1. – С. 44-47. (05.00.00, №14)

10.

Абдикаримов Р.А. Алгоритмизация нелинейных задач динамики

вязкоупругих систем с переменной жесткостью // Узбекский журнал
“Проблемы информатики и энергетики”. – Ташкент, 2010. – № 1. – С. 92-97.
(05.00.00, №5)

11.

Верлань А.Ф., Абдикаримов Р.А., Эшматов Х. Численное

моделирование нелинейных задач динамики вязкоупругих систем с
переменной жесткостью // Электронное моделирование. – Киев, 2010. – Т.32.

62

– №2. – С. 3-14.

12.

Абдикаримов Р.А., Жгутов В.М. Математические модели задач

нелинейной динамики вязкоупругих ортотропных пластин и оболочек
переменной толщины // Инженерно-строительный журнал. – Санкт-
Петербург, 2010. – №6. – С. 38-47. (01.00.00, №27)

13.

Абдикаримов Р.А., Жгутов В.М. Математические модели задач

нелинейной динамики вязкоупругих изотропных пластин и оболочек гладко-
переменной толщины (асимметричные случаи) // Инженерно-строительный
журнал. – Санкт-Петербург, 2010. – №8. – С. 47-55. (01.00.00, №27)

14.

Абдикаримов Р.А. Нелинейные колебания вязкоупругих пластин с

переменной жесткостью // ДАН РУз. – Ташкент, 2010. – № 4. – С. 40-42.
(01.00.00, №7).

15.

Абдикаримов Р.А., Эшматов Х., Бобаназаров Ш.П., Ходжаев Д.А.,

Эшматов Б.Х. Математическое моделирование и расчет гидротехнических
сооружений типа плотины-пластины с учетом сейсмической нагрузки и
гидродинамического давления воды // Инженерно-строительный журнал. –
Санкт-Петербург, 2011. – №3. – С. 59-70. (01.00.00, №27)

16.

Абдикаримов Р.А., Жгутов В.М. Геометрически нелинейное

математическое моделирование динамической устойчивости вязкоупругих
пологих оболочек переменной толщины // Инженерно-строительный
журнал. – Санкт-Петербург, 2011. – №6 (24). – С. 12-22. (01.00.00, №27)

17.

Абдикаримов Р.А. Математическое моделирование и расчет

параметрических колебаний вязкоупругих систем переменной толщины при
периодических нагрузках // Научно-технический журнал Ферганского
политехнического института – 2012. – №2. – 16-21. (05.00.00, №20)

18.

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Компьютерное моделирование

задач динамики вязкоупругих тонкостенных элементов конструкций
переменной толщины // Инженерно-строительный журнал. – Санкт-
Петербург, 2014. – №5. – С. 83-94. (01.00.00, №27)

19.

Абдикаримов Р.А., Худаяров Б.А. Динамическая устойчивость

вязкоупругих гибких пластин переменной жесткости при осевом сжатии //
Прикладная механика. – Киев, 2014. – №4(50). – 41-51. (01.00.00, №40)

20.

Abdikarimov R.A. and Khudayarov B.A. Dynamic stability of

viscoelastic flexible plates of variable stiffness under axial compression //
International Applied Mechanics. – New York, 2014. – Vol.50. – No4. – P. 389-
398. (05.00.00; №12).

21.

Абдикаримов Р.А. Некоторые основные зависимости закона

изменения толщины пластин и оболочек // Проблемы архитектуры и
строительства. – Самарканд, 2015. - №4. – С. 113-118. (05.00.00, №14)

II бўлим (II часть; II part)

22.

Эшматов Х., Ходжаев Д.А., Абдикаримов Р.А. Пакет прикладных

программ для задач колебаний и динамической устойчивости вязкоупругих
балок и пластин с сосредоточенными массами // Государственное патентное
ведомство РУз. Свидетельство №DGU 00897. 02.02.2005.

63

23.

Эшматов Х., Бобаназаров Ш.П., Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А.

Пакет прикладных программ для решения нелинейных задач динамики
вязкоупругих тонкостенных конструкций из композиционного материала с
переменной жесткостью и лежащих на вязкоупругом основании //
Государственное патентное ведомство РУз. Свидетельство №DGU 01862.
26.11.2009.

24.

Эшматов Х., Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Программа расчета

вязкоупругих ортотропных тонкостенных конструкций с переменной
толщиной // Государственное патентное ведомство РУз. Свидетельство
№DGU 02214. 10.01.2011.

25.

Эшматов Х., Абдикаримов Р.А., Абдуллаев З.С., Ходжаев Д.А.

Программа для решения методом компьютерного моделирования задач
динамики гидротехнических сооружений типа бетонных плотин // Агентство
по интеллектуальной собственности Республики Узбекистан. Свидетельство
№DGU 02363. 25.11.2011.

26.

Абдикаримов Р.А., Бобаназаров Ш.П., Ходжаев Д.А. Программа для

расчета вязкоупругих элементов технических конструкций переменной
жесткости // Агентство по интеллектуальной собственности Республики
Узбекистан. Свидетельство №DGU 03090. 27.03.2015.

27.

Абдикаримов Р.А., Бобаназаров Ш.П., Ходжаев Д.А., Абдумаликова

Г.А. Динамический расчет вязкоупругих орторопных тонкостенных
конструкций переменной жесткости // Агентство по интеллектуальной
собственности Республики Узбекистан. Свидетельство №DGU 03149.
15.05.2015.

28.

BykovtsevA.S., Abdikarimov R.A., HodjaevD.A., KkatzA.A. Free

oscillations of viscoelastic rectangular plate with rectangular cutout // WSEAS
Transactions on mathematics. Issue 3, Volume 2, July 2003. – Spain, Tenerife,
ISSN 1109-2769. – РP. 225-228.

29.

Абдикаримов Р.А., Худаяров Б.А. Моделирование колебательных

процессов вязкоупругих ортотропных пластин с переменной жёсткостью
//Известия национальной академии наук Армении. Механика. – 2011. – 64,
№4. – С. 30-38.

30.

Абдикаримов Р.А., Голоскоков Д.П. Численное исследование

нелинейных колебаний вязкоупругих пластин переменной толщины //
Журнал Университета водных коммуникаций (Вестник государственного
университета морского и речного флота им. адмирала С.О. Макарова). –
Санкт-Петербург, 2011. – №2. – С. 102-107.

31.

Абдикаримов Р.А., Худаяров Б.А. Исследование вязкоупругих

круговых цилиндрических панелей переменной толщины // Вычислительная
механика сплошных сред. – 2012. – Т.5, № 1. – С.11-18.

32.

Эшматов Х., Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. Моделирование

задачи о колебаниях и устойчивости вязкоупругой трубы при протекании
через нее жидкости с учетом физической и геометрической нелинейности //
Тезисы докладов международной научно-технической конференции. –
Ташкент, 1994. – С.359.

64

33.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. Динамическая устойчивость

вязкоупругой трубы с протекающей через неё жидкостью // Материалы
научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава
Ташкентского института ирригации и механизации сельского хозяйства. –
Ташкент, 1995. – С.28.

34.

Абдикаримов Р.А., Эшматов Х., Бобоназаров Ш.П. О колебаниях и

устойчивости вязкоупругой трубы, содержащей движущейся жидкость в
физической и геометрически нелинейной постановке // Сборник научных
трудов “Актуальные проблемы прикладной механики”, Ташкент. –
Ташкентский химико-техн. институт, 1995. – С. 87-89.

35.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. О динамической устойчивости

вязкоупругой трубы при протекании через нее пульсирующей жидкости //
Тезисы докладов республиканской научной конференции “Современные
проблемы алгоритмизации”. – Ташкент, 1996. – С. 37.

36.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. Колебание и устойчивость

вязкоупругой трубы, лежащей на вязкоупругом основании, с протекающей
жидкостью // Тезисы докл. молодых ученых и специалистов, посвященных
660-летию Амира Тимура. – Ташкент, ТашГУ, 1996. – С. 89.

37.

Эшматов Х., Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. Параметрические

колебания вязкоупругой трубы, содержащей движущуюся жидкость с учетом
давления // Вопросы математического моделирования в агроинженерии.
Сборник научных трудов. Выпуск 1. – Ташкент, 1998. – С.28-32.

38.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. Колебание и динамическая

устойчивость вязкоупругих цилиндрических оболочек с протекающей
жидкостью // Актуальные проблемы распространения волн в жидкостях,
многокомпонентных и сплошных средах. Ташкент, 1999. Часть 1. – Изд-во
“ФАН”.

39.

Абдикаримов Р.А., Киличов Ш.М. Параметрические колебания

вязкоупругой цилиндрической оболочки с протекающей вязкой жидкостью //
Проблемы алгоритмического программирования. – Ташкент, 2000.

40.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П., Киличов Ш.М. Колебания

вязкоупругой цилиндрической оболочки с протекающей вязкой несжимаемой
жидкостью // Проблемы алгоритмического программирования. – Ташкент,
2000.

41.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П., Ходжаев Д.А.. Влияние

сосредоточенных масс на колебания вязкоупругих балок // Доклады и тезисы
Республиканской

научно-технической

конференции

“Современные

проблемы механики”, 29-31 октября 2001 года, Ташкент-Самарканд. –
Ташкент, 2001. – С. 176-179.

42.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П., Ходжаев Д.А. Колебания

вязкоупругих балок с сосредоточенными массами // Современные проблемы
алгоритмизации и программирования: Докл. и тез. Респ. науч. конф. 5-7
сентября 2001. – Ташкент, 2001. – С. 63-64.

43.

Преображенский И.Н., Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П.,

Киличов Ш.М. О влиянии присоединенной массы жидкости и

65

гидростатического давления на колебания вязкоупругой цилиндрической
оболочки // Научно-технический журнал “МГОУ-ХХI-Новые технологии”. –
Москва, 2001. – №2.

44.

Преображенский И.Н., Абдикаримов Р.А., Худояров Б.А., Кучаров

О.Р. Флаттер вязкоупругой пластины // Научно-технический журнал “МГОУ-
XXI-Новые технологии”. – Москва, 2001. – №5. – С. 9-14.

45.

Преображенский И.Н., Эшматов Х., Абдикаримов Р.А., Бобоназаров

Ш.П., Тухтабоев А.А. Исследования задачи о колебаниях плотин-пластинки
при действии сейсмической нагрузки и гидродинамического давления воды //
Научно-технический журнал “МГОУ-XXI-Новые технологии”. – Москва,
2001. – №5. – С. 4-9.

46.

Абдикаримов Р.А., Киличов Ш.М. О колебаниях вязкоупругой

цилиндрической оболочки с протекающей жидкостью при различных
граничных условиях // Современные проблемы алгоритмизации и
программирования: Докл. и тез. Респ. науч. конф. 5-7 сентября 2001. –
Ташкент, 2001. – С. 64-65.

47.

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Математическая модель

динамической устойчивости вязкоупругого стержня с сосредоточенными
массами / Алгоритмы: Сб. науч. тр. – Ташкент, ИК АН РУз, 2002. – Вып.88. –
С. 201-203.

48.

Абдикаримов

Р.А.,

Бобоназаров

Ш.П.,

Киличов

Ш.М.

Математическая

модель

динамической

устойчивости

напорных

трубопроводов с пульсирующим потоком жидкости // Математическое
моделирование и вычислительный эксперимент: Тез. докл. респ. науч. конф.
25-27 марта 2002. – Ташкент, 2002. – С.6.

49.

Абдикаримов Р.А., Киличов Ш.М. Моделирование колебаний и

устойчивости напорных вязкоупругих трубопроводов с потоком жидкости //
Математическое моделирование и вычислительный эксперимент: Тез. докл.
респ. науч. конф. 25-27 марта 2002. – Ташкент, 2002. – С.7-8.

50.

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Модель задачи об устойчивости

вязкоупругой пластины при динамическом нагружении с сосредоточенными
массами // Математическое моделирование и вычислительный эксперимент:
Тез. докл. респ. науч. конф. 25-27 марта 2002. – Ташкент, 2002. – С. 9-10.

51.

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Колебания прямоугольной

вязкоупругой пластинки с сосредоточенными массами // Труды III
Всероссийской конф. по теории упругости с международным участием. 13-16
октября 2003. – Ростов-на-Дону, 2003. – С. 394-396.

52.

Абдикаримов Р.А., Преображенский И.Н., Ходжаев Д.А. Свободные

колебания вязкоупругого призматического стержня с отверстием
непрямоугольной формы// Труды III Всероссийской конф. по теории
упругости с международным участием. 13-16 октября 2003. – Ростов-на-
Дону, 2003. – С.10-12.

53.

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Математическое моделирование

задачи о колебаниях вязкоупругого стержня с сосредоточенными массами //
IV Всероссийская конф. молодых ученых по математическому

66

моделированию и информационным технологиям: Тез. докл. 3-5 ноября 2003.
– Красноярск, 2003. – С.13.

54.

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Нелинейные колебания

вязкоупругих пластин с сосредоточенными массами // Современные
проблемы математики, механики, информатики: Тез. докл. межд. науч. конф.,
посвященной 80-летию со дня рождения профессора Л.А.Толоконникова. 18-
21 ноября 2003. – Тула, 2003. – С. 60-62.

55.

Абдикаримов

Р.А.,

Бобоназаров

Ш.П.,

Ходжаев

Д.А.

Параметрические колебания вязкоупругой трубы при протекании через нее
жидкости с учетом давления // Наука и инновации XXI века: Материалы
открытой окружной конф. молодых ученых. 27-28 ноябрь 2003. – Сургут,
2003. – С. 13-14.

56.

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Математическое моделирование

нелинейных

поперечных

колебаний

вязкоупругого

стержня

с

сосредоточенными массами // Наука и инновации XXI века: Материалы
открытой окружной конф. молодых ученых. 27-28 ноября 2003. – Сургут,
2003. – С. 15-16.

57.

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Математическое моделирование

задачи о колебаниях вязкоупругого стержня с центральным прямоугольным
вырезом // Наука. Технологии. Инновации: Материалы докл. Всероссийской
науч. конф. молодых ученых. 4-7 декабря 2003. – Новосибирск, 2003. – С. 88-
89.

58.

Эшматов Х., Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А., Бобоназаров Ш.П.

Колебания вязкоупругого стержня с сосредоточенными массами //
Материалы республиканской научной конференции "Современные проблемы
математики, механики и информационных технологий" посвященной 90-
летнему юбилею национального университета Узбекистана. 8 мая 2008. –
Ташкент, 2008. – С. 269-272.

59.

Абдикаримов Р.А. О методе решения задачи о колебаниях

вязкоупругого стержня с центральным прямоугольным вырезом //
Интегральные уравнения-2009=Integralequations-2009: Сборник тезисов
конференции, 26-29 января 2009, Киев. – Киев: ИПМЭ им. Г.Е.Пухова НАН
Украины, 2009. – С. 29-31.

60.

Абдикаримов

Р.А.,

Бобоназаров

Ш.П.

Математическое

моделирование задач о колебаниях вязкоупругой трубы с протекающей через
нее жидкостью. Интегральные уравнения-2009=Integralequations-2009:
Сборник тезисов конференции, 26-29 января 2009, Киев. – Киев: ИПМЭ им.
Г.Е.Пухова НАН Украины, 2009. – С. 31-33.

61.

Верлань А.Ф., Абдикаримов Р.А. Математическое моделирование

нелинейных задач динамики вязкоупругих систем с переменной жесткостью
// Материалы Международной научной конференции «Моделирование-2010»,
12-14 мая 2010, Киев. – Киев: Институт проблем моделирования в энергетике
им. Г.Е.Пухова НАН Украины, 2010. – Том 1. – С.80-84.

62.

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Динамическая устойчивость

вязкоупругих прямоугольных пластин с переменной жесткостью // II

67

Всероссийские научные Зворыкинские чтения. Сб. тез. докладов, Муром, 5
февраля 2010. – Муром, 2010. – С. 657.

63.

Abdikarimov R.A. Deterministic Simulations of Nonlinear Vibration of

Viscoelastic Elements in Thin-Walled Constructions with Variable Rigidity // 2010
SSA Annual Meeting, USA, March/April 2010, Seismological Research Letters. –
Vol.81. – N.2. – PP. 343.

64.

Abdikarimov R.A., Khodzhaev D.A. Deterministic Calculation of

Dynamic Stability of Viscoelastic Elements in Thin-Walled Constructions with
Variable Rigidity // 2010 SSA Annual Meeting, USA, March/April 2010,
Seismological Research Letters. – Vol.81. – N.2. – PP.343.

65.

Verlan A.F., Abdikarimov R.A. Mathematical and Computer Modeling of

Some Problems of the Mechanics Resulted in the Integro-differential Equations //
Proceedings of the International Conference “Integral Equations-2010” dedicated
to 50 years of the Department of Numerical Mathematics, 25-27 August 2010,
Lviv. – Lviv: PAIS, 2010. – P.169-172.

66.

Bykovtsev A.S., Abdikarimov R.A., Bobanazarov Sh.P., Khodzhaev

D.A.Nonlinear Vibration and Dynamic Stability of High-Rise Special Structure //
2010 SCEC Annual Meeting, USA, Proceedings and Abstracts. September 11-15,
2010. – Vol.XX. – PP. 199-200.

67.

Абдикаримов Р.А., Жгутов В.М. Математическое и компьютерное

моделирование нелинейных задач динамики ортотропных вязкоупругих
пластин и оболочек переменной толщины / Пространственные конструкции
зданий и сооружений (Исследования, расчет, проектирование и применение):
Сб.статей. Вып.13 /МОО «Пространственные конструкции»; под ред.
В.В.Шугаева и др. – М.: 2011. – С. 12-24.

68.

Абдикаримов Р.А., Жгутов В.М. Математическое и компьютерное

моделирование

нелинейных

задач

о

динамической

устойчивости

ортотропных вязкоупругих цилиндрических оболочек /Пространственные
конструкции зданий и сооружений (Исследования, расчет, проектирование и
применение): Сб.статей. Вып.13 /МОО «Пространственные конструкции»;
под ред. В.В.Шугаева и др. – М.: 2011. – С. 25-32.

69.

Abdikarimov R.A. Numerical research of nonlinear vibrations of isotropic

viscoelastic plates with variable rigidity by the method of computer simulation //
Social and Natural Sciences Journal. – Czech Republic, 2011. – Vol.3. – P. 46-49.

Библиографические ссылки

Абдикаримов Р.А., Копернак Ю.П., Преображенский И.П., Соатов Ё.У. Некоторые задачи механики с параметрами разрывного типа. - Ташкент: Изд-во ФАН АН РУ, 1997. - 179 с.

Эшматов X., Ахмеров И.С, Бобаназаров Ш.П., Абдикаримов Р.А. Математическое моделирование нелинейных задач о колебаниях и динамической устойчивости вязкоупругих систем. - Ташкент: Изд-во “Фан” АН РУ, 2005.- 168 с.

Эшматов X., Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. Колебания и устойчивость вязкоупругой трубы с протекающей через нее жидкостью при различных граничных условиях И Узбекский журнал “Проблемы механики”. -Ташкент, 1995.-№ 1.- С. 20-24. (01.00.00, №4)

Эшматов X., Абдикаримов Р.А. Параметрические колебания цилиндрической оболочки с протекающей жидкостью // Узбекский журнал “Проблемы механики”. - Ташкент, 1996. (01.00.00, №4)

Эшматов X., Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. Влияние сосредоточенных масс на устойчивость вязкоупругих трубопроводов И ДАН РУз. - Ташкент, 1996. - №7. - С.20-23. (01.00.00, №7)

Абдикаримов Р.А., Киличов Ш.М. Параметрический резонанс вязкоупругой цилиндрической оболочки, содержащей движущуюся жидкость // Узбекский журнал “Проблемы механики”. - Ташкент, 2000. -№4-5. - С. 20-23. (01.00.00, №4)

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П., Киличов Ш.М. Динамическая устойчивость тонкостенных конструктивных элементов с параметрами разрывного типа // ДАН РУз. - Ташкент, 2000. - № 4. - С. 22-24. (01.00.00, №7)

Абдикаримов Р.А. Численное исследование нелинейного колебания вязкоупругой пластины с переменной жесткостью // Проблемы архитектуры и строительства. - Самарканд, 2010. -№1. - С. 37-42. (05.00.00, №14)

Абдикаримов Р.А. Математическая модель нелинейного колебания вязкоупругой пластины с переменной жесткостью при различных граничных условиях // Проблемы архитектуры и строительства. - Самарканд, 2010. -№1. - С. 44-47. (05.00.00, №14)

Абдикаримов Р.А. Алгоритмизация нелинейных задач динамики вязкоупругих систем с переменной жесткостью // Узбекский журнал “Проблемы информатики и энергетики”. - Ташкент, 2010. - № 1. - С. 92-97. (05.00.00, №5)

Верлань А.Ф., Абдикаримов Р.А., Эшматов X. Численное моделирование нелинейных задач динамики вязкоупругих систем с переменной жесткостью И Электронное моделирование. - Киев, 2010. - Т.32. -№2.-С. 3-14.

Абдикаримов Р.А., Жгутов В.М. Математические модели задач нелинейной динамики вязкоупругих ортотропных пластин и оболочек переменной толщины // Инженерно-строительный журнал. - Санкт-Петербург, 2010. - №6. - С. 38-47. (01.00.00, №27)

Абдикаримов Р.А., Жгутов В.М. Математические модели задач нелинейной динамики вязкоупругих изотропных пластин и оболочек гладкопеременной толщины (асимметричные случаи) // Инженерно-строительный журнал. - Санкт-Петербург, 2010. - №8. - С. 47-55. (01.00.00, №27)

Абдикаримов Р.А. Нелинейные колебания вязкоупругих пластин с переменной жесткостью // ДАН РУз. - Ташкент, 2010. - № 4. - С. 40-42. (01.00.00, №7).

Абдикаримов Р.А., Эшматов X., Бобаназаров Ш.П., Ходжаев Д.А., Эшматов Б.Х. Математическое моделирование и расчет гидротехнических сооружений типа плотины-пластины с учетом сейсмической нагрузки и гидродинамического давления воды // Инженерно-строительный журнал. -Санкт-Петербург, 2011. - №3. - С. 59-70. (01.00.00, №27)

Абдикаримов Р.А., Жгутов В.М. Геометрически нелинейное математическое моделирование динамической устойчивости вязкоупругих пологих оболочек переменной толщины // Инженерно-строительный журнал. - Санкт-Петербург, 2011. - №6 (24). - С. 12-22. (01.00.00, №27)

Абдикаримов Р.А. Математическое моделирование и расчет параметрических колебаний вязкоупругих систем переменной толщины при периодических нагрузках // Научно-технический журнал Ферганского политехнического института - 2012. - №2. - 16-21. (05.00.00, №20)

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Компьютерное моделирование задач динамики вязкоупругих тонкостенных элементов конструкций переменной толщины И Инженерно-строительный журнал. - Санкт-Петербург, 2014. - №5. - С. 83-94. (01.00.00, №27)

Абдикаримов Р.А., Худаяров Б.А. Динамическая устойчивость вязкоупругих гибких пластин переменной жесткости при осевом сжатии // Прикладная механика. - Киев, 2014. -№4(50). -41-51. (01.00.00, №40)

Abdikarimov R.A. and Khudayarov B.A. Dynamic stability of viscoelastic flexible plates of variable stiffness under axial compression // International Applied Mechanics. - New York, 2014. - Vol.50. - No4. - P. 389-398. (05.00.00; №12).

Абдикаримов Р.А. Некоторые основные зависимости закона изменения толщины пластин и оболочек // Проблемы архитектуры и строительства. - Самарканд, 2015. - №4. - С. 113-118. (05.00.00, №14)

Эшматов X., Ходжаев Д.А., Абдикаримов Р.А. Пакет прикладных программ для задач колебаний и динамической устойчивости вязкоупругих балок и пластин с сосредоточенными массами И Государственное патентное ведомство РУз. Свидетельство №DGU 00897. 02.02.2005.

Эшматов X., Бобаназаров Ш.П., Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Пакет прикладных программ для решения нелинейных задач динамики вязкоупругих тонкостенных конструкций из композиционного материала с переменной жесткостью и лежащих на вязкоупругом основании // Государственное патентное ведомство РУз. Свидетельство №DGU 01862. 26.11.2009.

Эшматов X., Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Программа расчета вязкоупругих ортотропных тонкостенных конструкций с переменной толщиной // Государственное патентное ведомство РУз. Свидетельство №DGU 02214. 10.01.2011.

Эшматов X., Абдикаримов Р.А., Абдуллаев З.С., Ходжаев Д.А. Программа для решения методом компьютерного моделирования задач динамики гидротехнических сооружений типа бетонных плотин И Агентство по интеллектуальной собственности Республики Узбекистан. Свидетельство №DGU 02363.25.11.2011.

Абдикаримов Р.А., Бобаназаров Ш.П., Ходжаев Д.А. Программа для расчета вязкоупругих элементов технических конструкций переменной жесткости // Агентство по интеллектуальной собственности Республики Узбекистан. Свидетельство №DGU 03090. 27.03.2015.

Абдикаримов Р.А., Бобаназаров Ш.П., Ходжаев Д.А., Абдумаликова Г.А. Динамический расчет вязкоупругих орторопных тонкостенных конструкций переменной жесткости // Агентство по интеллектуальной собственности Республики Узбекистан. Свидетельство №DGU 03149. 15.05.2015.

BykovtsevA.S., Abdikarimov R.A., HodjaevD.A., KkatzA.A. Free oscillations of viscoelastic rectangular plate with rectangular cutout // WSEAS Transactions on mathematics. Issue 3, Volume 2, July 2003. - Spain, Tenerife, ISSN 1109-2769. - PP. 225-228.

Абдикаримов P.A., Худаяров Б.А. Моделирование колебательных процессов вязкоупругих ортотропных пластин с переменной жёсткостью //Известия национальной академии наук Армении. Механика. - 2011.- 64, №4.-С. 30-38.

Абдикаримов Р.А., Голоскоков Д.П. Численное исследование нелинейных колебаний вязкоупругих пластин переменной толщины // Журнал Университета водных коммуникаций (Вестник государственного университета морского и речного флота им. адмирала С.О. Макарова). -Санкт-Петербург, 2011,- №2. - С. 102-107.

Абдикаримов Р.А., Худаяров Б.А. Исследование вязкоупругих круговых цилиндрических панелей переменной толщины // Вычислительная механика сплошных сред. - 2012. - Т.5, № 1. - С. 11-18.

Эшматов X., Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. Моделирование задачи о колебаниях и устойчивости вязкоупругой трубы при протекании через нее жидкости с учетом физической и геометрической нелинейности // Тезисы докладов международной научно-технической конференции. -Ташкент, 1994.-С.359.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. Динамическая устойчивость вязкоупругой трубы с протекающей через неё жидкостью // Материалы научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава Ташкентского института ирригации и механизации сельского хозяйства. -Ташкент, 1995.-С.28.

Абдикаримов Р.А., Эшматов X., Бобоназаров Ш.П. О колебаниях и устойчивости вязкоупругой трубы, содержащей движущейся жидкость в физической и геометрически нелинейной постановке И Сборник научных трудов “Актуальные проблемы прикладной механики”, Ташкент. -Ташкентский химико-техн, институт, 1995. - С. 87-89.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. О динамической устойчивости вязкоупругой трубы при протекании через нее пульсирующей жидкости // Тезисы докладов республиканской научной конференции “Современные проблемы алгоритмизации”. - Ташкент, 1996. - С. 37.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. Колебание и устойчивость вязкоупругой трубы, лежащей на вязкоупругом основании, с протекающей жидкостью // Тезисы докл. молодых ученых и специалистов, посвященных 660-летию Амира Тимура. - Ташкент, ТашГУ, 1996. - С. 89.

Эшматов X., Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. Параметрические колебания вязкоупругой трубы, содержащей движущуюся жидкость с учетом давления // Вопросы математического моделирования в агроинженерии. Сборник научных трудов. Выпуск 1. - Ташкент, 1998. - С.28-32.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. Колебание и динамическая устойчивость вязкоупругих цилиндрических оболочек с протекающей жидкостью // Актуальные проблемы распространения волн в жидкостях, многокомпонентных и сплошных средах. Ташкент, 1999. Часть 1. - Изд-во “ФАН”.

Абдикаримов Р.А., Киличов Ш.М. Параметрические колебания вязкоупругой цилиндрической оболочки с протекающей вязкой жидкостью // Проблемы алгоритмического программирования. - Ташкент, 2000.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П., Киличов Ш.М. Колебания вязкоупругой цилиндрической оболочки с протекающей вязкой несжимаемой жидкостью И Проблемы алгоритмического программирования. - Ташкент, 2000.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П., Ходжаев Д.А.. Влияние сосредоточенных масс на колебания вязкоупругих балок // Доклады и тезисы Республиканской научно-технической конференции “Современные проблемы механики”, 29-31 октября 2001 года, Ташкент-Самарканд. -Ташкент, 2001.-С. 176-179.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П., Ходжаев Д.А. Колебания вязкоупругих балок с сосредоточенными массами // Современные проблемы алгоритмизации и программирования: Докл. и тез. Респ. науч. конф. 5-7 сентября 2001. - Ташкент, 2001. - С. 63-64.

Преображенский И.Н., Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П., Киличов Ш.М. О влиянии присоединенной массы жидкости и гидростатического давления на колебания вязкоупругой цилиндрической оболочки // Научно-технический журнал “МГОУ-ХХ1-Новые технологии”. -Москва, 2001. - №2.

Преображенский И.И., Абдикаримов Р.А., Худояров Б.А., Кучаров О.Р. Флаттер вязкоупругой пластины И Научно-технический журнал “МГОУ-XXI-Новые технологии”. - Москва, 2001. - №5. - С. 9-14.

Преображенский И.Н., Эшматов X., Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П., Тухтабоев А.А. Исследования задачи о колебаниях плотин-пластинки при действии сейсмической нагрузки и гидродинамического давления воды // Научно-технический журнал “МГОУ-ХХ1-Новые технологии”. - Москва, 2001.-№5.-С. 4-9.

Абдикаримов Р.А., Киличов Ш.М. О колебаниях вязкоупругой цилиндрической оболочки с протекающей жидкостью при различных граничных условиях // Современные проблемы алгоритмизации и программирования: Докл. и тез. Респ. науч. конф. 5-7 сентября 2001. -Ташкент, 2001. - С. 64-65.

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Математическая модель динамической устойчивости вязкоупругого стержня с сосредоточенными массами / Алгоритмы: Сб. науч. тр. - Ташкент, ИК АН РУз, 2002. - Вып.88. -С. 201-203.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров III.П., Киличов Ш.М. Математическая модель динамической устойчивости напорных трубопроводов с пульсирующим потоком жидкости // Математическое моделирование и вычислительный эксперимент: Тез. докл. респ. науч. конф. 25-27 марта 2002. - Ташкент, 2002. - С.6.

Абдикаримов Р.А., Киличов Ш.М. Моделирование колебаний и устойчивости напорных вязкоупругих трубопроводов с потоком жидкости // Математическое моделирование и вычислительный эксперимент: Тез. докл. респ. науч. конф. 25-27 марта 2002. - Ташкент, 2002. - С.7-8.

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Модель задачи об устойчивости вязкоупругой пластины при динамическом нагружении с сосредоточенными массами И Математическое моделирование и вычислительный эксперимент: Тез. докл. респ. науч. конф. 25-27 марта 2002. - Ташкент, 2002. - С. 9-10.

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Колебания прямоугольной вязкоупругой пластинки с сосредоточенными массами // Труды III Всероссийской конф, по теории упругости с международным участием. 13-16 октября 2003. - Ростов-на-Дону, 2003. - С. 394-396.

Абдикаримов Р.А., Преображенский И.Н., Ходжаев Д.А. Свободные колебания вязкоупругого призматического стержня с отверстием непрямоугольной формы// Труды III Всероссийской конф, по теории упругости с международным участием. 13-16 октября 2003. - Ростов-на-Дону, 2003.-С. 10-12.

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Математическое моделирование задачи о колебаниях вязкоупругого стержня с сосредоточенными массами // IV Всероссийская конф. молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям: Тез. докл. 3-5 ноября 2003. - Красноярск, 2003. - С. 13.

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Нелинейные колебания вязкоупругих пластин с сосредоточенными массами // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тез. докл. межд. науч, конф., посвященной 80-летию со дня рождения профессора Л.А.Толоконникова. 18-21 ноября 2003. - Тула, 2003. - С. 60-62.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П., Ходжаев Д.А. Параметрические колебания вязкоупругой трубы при протекании через нее жидкости с учетом давления И Наука и инновации XXI века: Материалы открытой окружной конф, молодых ученых. 27-28 ноябрь 2003. - Сургут, 2003.-С. 13-14.

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Математическое моделирование нелинейных поперечных колебаний вязкоупругого стержня с сосредоточенными массами // Наука и инновации XXI века: Материалы открытой окружной конф, молодых ученых. 27-28 ноября 2003. - Сургут, 2003.-С. 15-16.

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Математическое моделирование задачи о колебаниях вязкоупругого стержня с центральным прямоугольным вырезом // Наука. Технологии. Инновации: Материалы докл. Всероссийской науч. конф, молодых ученых. 4-7 декабря 2003. - Новосибирск, 2003. - С. 88-89.

Эшматов X., Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А., Бобоназаров Ш.П. Колебания вязкоупругого стержня с сосредоточенными массами // Материалы республиканской научной конференции "Современные проблемы математики, механики и информационных технологий" посвященной 90-летнему юбилею национального университета Узбекистана. 8 мая 2008. -Ташкент, 2008. - С. 269-272.

Абдикаримов Р.А. О методе решения задачи о колебаниях вязкоупругого стержня с центральным прямоугольным вырезом // Интегральные ypaвнeния-2009=Integralequations-2009: Сборник тезисов конференции, 26-29 января 2009, Киев. - Киев: ИПМЭ им. Г.Е.Пухова НАН Украины, 2009.-С. 29-31.

Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. Математическое моделирование задач о колебаниях вязкоупругой трубы с протекающей через нее жидкостью. Интегральные ypaBHeHHfl-2009=Integralequations-2009: Сборник тезисов конференции, 26-29 января 2009, Киев. - Киев: ИПМЭ им. Г.Е.Пухова НАН Украины, 2009. - С. 31-33.

Верлань А.Ф., Абдикаримов Р.А. Математическое моделирование нелинейных задач динамики вязкоупругих систем с переменной жесткостью // Материалы Международной научной конференции «Моделирование-2010», 12-14 мая 2010, Киев. - Киев: Институт проблем моделирования в энергетике им. Г.Е.Пухова ПАН Украины, 2010. - Том 1. - С.80-84.

Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Динамическая устойчивость вязкоупругих прямоугольных пластин с переменной жесткостью И II Всероссийские научные Зворыкинские чтения. Сб. тез. докладов, Муром, 5 февраля 2010. - Муром, 2010. - С. 657.

Abdikarimov R.A. Deterministic Simulations of Nonlinear Vibration of Viscoelastic Elements in Thin-Walled Constructions with Variable Rigidity //2010 SSA Annual Meeting, USA, March/April 2010, Seismological Research Letters. -VO1.81.-N.2.-PP.343.

Abdikarimov R.A., Khodzhaev D.A. Deterministic Calculation of Dynamic Stability of Viscoelastic Elements in Thin-Walled Constructions with Variable Rigidity // 2010 SSA Annual Meeting, USA, March/April 2010, Seismological Research Letters. - Vol.81. - N.2. - PP.343.

Verlan A.F., Abdikarimov R.A. Mathematical and Computer Modeling of Some Problems of the Mechanics Resulted in the Integro-differential Equations // Proceedings of the International Conference “Integral Equations-2010” dedicated to 50 years of the Department of Numerical Mathematics, 25-27 August 2010, Lviv. - Lviv: PAIS, 2010. - P. 169-172.

Bykovtsev A.S., Abdikarimov R.A., Bobanazarov Sh.P., Khodzhaev D.A.Nonlinear Vibration and Dynamic Stability of High-Rise Special Structure // 2010 SCEC Annual Meeting, USA, Proceedings and Abstracts. September 11-15, 2010. - Vol.XX. - PP. 199-200.

Абдикаримов P.A., Жгутов B.M. Математическое и компьютерное моделирование нелинейных задач динамики ортотропных вязкоупругих пластин и оболочек переменной толщины / Пространственные конструкции зданий и сооружений (Исследования, расчет, проектирование и применение): Сб.статей. Вып.13 /МОО «Пространственные конструкции»; под ред. В.В.Шугаева и др. - М.: 2011.-С. 12-24.

Абдикаримов Р.А., Жгутов В.М. Математическое и компьютерное моделирование нелинейных задач о динамической устойчивости ортотропных вязкоупругих цилиндрических оболочек /Пространственные конструкции зданий и сооружений (Исследования, расчет, проектирование и применение): Сб.статей. Вып.13 /МОО «Пространственные конструкции»; под ред. В.В.Шугаева и др. - М.: 2011. - С. 25-32.

Abdikarimov R.A. Numerical research of nonlinear vibrations of isotropic viscoelastic plates with variable rigidity by the method of computer simulation // Social and Natural Sciences Journal. - Czech Republic, 2011. - Vol.3. - P. 46-49.