DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
148
METALURGIYA ZAVODI UCHUN SIMPLEKS USULI ORQALI
OPTIMAL ISHLAB CHIQARISH REJASI
Mamatova Zilolaxon Xabibulloxonovna
Farg‘ona davlat universiteti dotsent, pedagogika
fanlari bo‘yicha falsafa doktori (PhD)
Orcid: 0009-0009-9247-3510
E-mail: mamatova.zilolakhon@gmail.com
Topvoldiyev Asadbek Nishonboy o’g’li
Farg‘ona Davlat Universiteti Amaliy matematika
yo‘nalishi 3-kurs talabasi 22-09-guruh talabasi
E-mail: topvoldievasadbek@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.15302839
Annotatsiya
: Simpleks usuli – chiziqli dasturlash masalalarini samarali
yechish uchun ishlatiladigan kuchli algoritmdir. Simpleks jadvali yordamida
iterativ hisob-kitoblar amalga oshirilib, optimal yechim topiladi. Ushbu usul
resurslarni taqsimlash, ishlab chiqarish rejalashtirish va logistika sohalarida
keng qo‘llaniladi. Ushbu maqolamda metalurgiya zavodining resurslardan
samarali foydalanish va maksimal foyda olish masalasi chiziqli dasturlash va
simpleks usuli yordamida tahlil qilib chiqaman.
Kalit so‘zlar:
Simpleks usuli, chiziqli dasturlash, optimal reja, maqsad
funksiyasi, cheklov shartlari, pivot elementi, simpleks jadvali, ishlab chiqarish
optimallashtirish, resurslarni taqsimlash, maksimal foyda, matematik
modellashtirish, chiziqli tenglamalar, tashkilot samaradorligi, iqtisodiy
optimallashtirish, mahsulot ishlab chiqarish, metalurgiya zavodi, xarajatlarni
kamaytirish, matematik dasturlash, bajariladigan iteratsiyalar, biznes
rejalashtirish.
Jarayonlar tadqiqoti va optimal boshqaruv – qaror qabul qilish va tizimlarni
optimallashtirishga yo‘naltirilgan fan sohalari.
1-Jarayonlar tadqiqoti resurslarni samarali taqsimlash uchun matematik
modellar,
chiziqli
dasturlash,
o‘yinlar
nazariyasi
va
tarmoqlarni
optimallashtirish kabi usullardan foydalanadi.
2-Optimal boshqaruv tizimlarning eng yaxshi boshqaruv strategiyalarini
aniqlash bilan shug‘ullanadi. Uning asosiy usullari Pontryaginning Maksimum
printsipi va Bellmanning dinamik dasturlashidir.
Adabiyotlar tahlili
Metalurgiya zavodining optimal ishlab chiqarish rejasi bo‘yicha adabiyotlar
tahlili ishlab chiqarish jarayonlarini optimallashtirish, resurslarni samarali
taqsimlash va foydani maksimal darajaga yetkazish bo‘yicha turli metodlarni
aniqlashga yordam beradi. L. Kantorovichning "Matematik dasturlash va
DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
149
iqtisodiy tahlil" (1959) asarida ishlab chiqarish jarayonlarida optimal reja tuzish
va resurslarni taqsimlash usullari bayon etilgan. G. Dantzig "Chiziqli dasturlash
va uning ilovalari" (1963) kitobida simpleks usuli va uni real ishlab chiqarish
sharoitlariga qo‘llash masalalari yoritilgan. R. Dorfman, P. Samuelson va R. Solou
"Chiziqli dasturlash va iqtisodiy tahlil" (1958) asarida optimal rejalashtirish,
cheklovlar va maqsad funksiyasi asosida qaror qabul qilish muhokama qilingan.
I. G. Bashmakovning "Optimal ishlab chiqarish tizimlari" (2005) kitobida
zamonaviy ishlab chiqarish jarayonlarini optimallashtirishga oid nazariy va
amaliy yondashuvlar ko‘rsatib berilgan. Shuningdek, G. N. Nemchinovning
"Chiziqli iqtisodiy modellar" (1972) kitobi iqtisodiy tizimlarda chiziqli
dasturlash va tahlil usullarining qo‘llanilishiga bag‘ishlangan.
Tadqiqot metodologiyasi
Ushbu tadqiqot metalurgiya zavodining optimal ishlab chiqarish rejasini
tuzish bo‘yicha chiziqli dasturlash metodlarini qo‘llashga qaratilgan. Tadqiqot
metodologiyasi empirik va nazariy tahlilni o‘z ichiga oladi. Tadqiqot davomida
adabiyotlar tahlili orqali optimal ishlab chiqarish rejasini shakllantirish bo‘yicha
mavjud ilmiy manbalar o‘rganiladi. Turli matematik modellashtirish usullari,
jumladan, simpleks usuli, grafik usul va dual metod yordamida ishlab chiqarish
jarayonlarini optimallashtirish imkoniyatlari tahlil qilinadi. Komparativ tahlil
orqali turli iqtisodiy modellar solishtiriladi va ularning metalurgiya zavodining
ishlab chiqarish jarayoniga mosligi aniqlanadi. Bunda ishlab chiqarish
resurslarining cheklanganligi, mahsulot turlarining foyda darajasi va talab
sharoitlari hisobga olinadi. Eksperimental tahlil esa nazariy asosda
shakllantirilgan optimal rejaning amaliyotga tatbiq etilishini o‘rganishga
qaratilgan bo‘lib, ishlab chiqarish hajmini oshirish va xarajatlarni kamaytirish
bo‘yicha tavsiyalar ishlab chiqiladi. Kvalitatif tahlil metodologik jihatlarni, ishlab
chiqarish jarayoni shartlarini va natijalarini sifat jihatidan baholashga
asoslanadi. Tadqiqot metodologiyasi ishlab chiqarish rejasini puxta
rejalashtirish, resurslarni samarali taqsimlash va maksimal foyda olish uchun
ilmiy yondashuvlarni aniqlashga qaratilgan. Bu metodlar yordamida ishlab
chiqarish jarayonini yanada takomillashtirish va iqtisodiy samaradorlikni
oshirish mumkin.
Tahlillar va natijalar
Simpleks usuli umumiy xolda agar chegaralarning tenglamalari va maqsad
funksiyalarning
tenglamalari
kanonik
ko‘rinishga
ega
bo‘lmasa
optimallashtirishning chiziqli masalalarini yechish uchun qo‘llanadi. Bu xolda
tenglamalar tizimining ko‘rinishi quyidagicha.
DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
150
v
0
...
...
...
...
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
z
x
с
x
с
x
с
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
n
n
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
(1)
Simpleks (usuli) 2 bosqichga bo‘linadi.
1-bosqich - Chegaralovchi tenglamalar va maqsad funksiyalarni kanonik
ko‘rinishga keltirish
2-bosqich - 1- bosqich natijasida simpleks algoritm yordamida xosil
qilingan maqsad funksiyani optimallashtirish.
1- bosqichni quramiz.
1-bosqichda sun'iy o‘zgartirishlar kiritish yo‘li bilan, chunonchi
o‘zgaruvchilar barcha tenglamalarga kiritiladi, tenglamalar tizimiga kanonik
ko‘rinish beriladi. Bazis xarakteridagi o‘zgaruvchilar bo‘lgan tenglamalarni
tizimda va maqsad funksiyalarda uchramaydigan o‘zgaruvchilar va 1-
koeffisientga ega bo‘lgan koeffisientlar, bundan istisno. Bundan tashqari tizimga
barcha sun'iy o‘zgaruvchilarning yig‘indisidan iborat bo‘lgan qo‘shimcha
tenglamalar kiritiladi.
Unda tenglamalari tizimi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi.
0
...
0
...
...
...
...
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
22
1
21
1
1
1
2
12
1
11
W
x
x
x
z
x
с
x
с
x
с
b
x
x
a
x
a
x
a
b
x
x
a
x
a
x
a
b
x
x
a
x
a
x
a
m
n
n
n
n
n
m
m
n
n
mn
m
m
n
n
n
n
n
n
bu yerda:
x
n+1
, x
n+2
, … , x
n+m
- sun'iy o‘zgaruvchilar;
W = x
n+1
+ x
n+2
+ … + x
n+m
- ularning yig‘indisi.
Barcha kattaliklar nomanfiy bo‘lishi kerak.
Buning
uchun
zarur
xolda
tenglamaning
chap
tomonidagi
o‘zgaruvchilarning ishoralarini o‘zgartirish lozim.
x
n+1
, x
n+2
, … , x
n+m
o‘zgaruvchilar oxirgi tenglama (W) ga kirgani uchun xosil bo‘lgan tizim xali
kanonik ko‘rinishga ega emas. Ularni yo‘qotish uchun - oxirgi tenglamaga
birinchi m tenglama qo‘shiladi va yig‘indini oxirgi tenglamadan ayiriladi. Bunda
quyidagi tenglamalar tizimi xosil buladi.
DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
151
0
...
...
...
...
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
22
1
21
1
1
1
2
12
1
11
z
x
с
x
с
x
с
b
x
x
a
x
a
x
a
b
x
x
a
x
a
x
a
b
x
x
a
x
a
x
a
n
n
m
m
n
n
mn
m
m
n
n
n
n
n
n
m
i
i
n
m
i
mn
m
i
i
m
i
i
b
W
x
a
x
a
x
a
1
1
2
1
2
1
1
1
...
m
i
ij
i
a
d
1
va
m
i
i
b
W
1
0
belgilash kiritamiz.
U xolda Simpleks usulning 1- bosqichi boshlanishi uchun oxirgi tenglamalar
tizimi:
0
...
...
...
...
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
22
1
21
1
1
1
2
12
1
11
z
x
с
x
с
x
с
b
x
x
a
x
a
x
a
b
x
x
a
x
a
x
a
b
x
x
a
x
a
x
a
n
n
m
m
n
n
mn
m
m
n
n
n
n
n
n
d
1
x
1
+ d
2
x
2
+ … + d
n
x
n
– W = - W
0
Simpleki usulning birinchi bosqichida odatdagi simpleks algoritm
yordamida z ga mos W funksiya minimallashtiriladi. Bu minimallashtirishning
kerakligi quyidagicha:
1)
d
j
-2
qiymatlari topiladi, agar barcha kattaliklar manfiy bo‘lsa, W ni
minimallashtirish mumkin emas, agar W>0 bulsa, yo‘l qo‘yilgan yechimning
imkoni yo‘q.
Agar kattaliklardan ba’zilari
d
j
<0
bulsa, noma’lumning
d
s
=min(d
j
)d
s
<0
shart
bo‘yicha bazisga kiruvchi S -indeksi tanlanadi.
2) Keyin bazisdan
b
r
/a
rs
=min(b
i
/a
is
)a
is
>0
shart bo‘yicha bazisdan
chiqariladigan IV noma'lumning indeksi topiladi.
3) 2-tizimning barcha tenglamalari o‘zgartiriladi. Bunda
d
j
va
W
0
larni
o‘zgartirishning qo‘shimcha funksiyalar xizmat qiladi:
r
dan boshqa barcha
ustunlar uchun
d
j
=d
j
-d
s
a
rj
/a
rs
,
r
ustun uchun
d
r*
=-d
s
/a
rs
W
0
=W
0
+ds b
r
/a
rs
Keyin 13 bandlarni barcha kattaliklar nomanfiy bo‘lmagunga kadar
takrorlanadi.
4) W aniqlanadi, W=0 bo‘lsa, ayonki barcha sun'iy o‘zgaruvchilar 0 gа teng.
Unda (2) tenglamalar tizimidan oxirgi tenglamani va barcha sun'iy
o‘zgaruvchilar yo‘qotilib (2) tizim qayta yoziladi. Xosil qilingan tizim kanonik
ko‘rinishga ega bo‘ladi. Agar W<0 bo‘lsa, yechim yo‘q.
2- bosqich 1-bosqichda olingan tizimning algoritmi yordamida
optimallashtirishdan iborat.
DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
152
Quyida simpleks usul strukturaviy tuzilish sxemasi ko‘rsatilgan:
Metalurgiya zavodining optimal ishlab chiqarish rejasi
Bir metalurgiya zavodi 4 xil mahsulot –Polat(A), Alyuminiy(B), Mis(C),
Broza(D) ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish temir rudasi, toza alyuminiy, mis
konsentrati va ishchi kuchi bilan cheklangan. Korxonaning maqsadi maksimal
foyda olish.
Berilgan ma’lumotlar:
Mahsulot
Foyda
(mln
so‘m)
Temir
rudasi
(kg)
Toza
alyuminiy
(kg)
Mis
konsentrati
(kg)
Ishchi
kuchi
(soat)
Polat (A)
8
3
2
2
4
Alyuminiy
(B)
6
2
3
1
3
Mis (C)
5
4
1
2
2
Bronza (D)
7
5
2
3
5
Korxona resurslari quyidagicha cheklangan:
Tenglamaning
standart ko’rinishdagi
yozuvi
r ni tanlash
Tenglamalarni
o’zgartirish
Sun’iy
o’zgaruvchilarni
kiritish
S ni tanlash
Sun’iy
o’zgaruvchilarni
yo’qotish
Tenglamalarni
kanonik ko’rinishga
keltirish
d
i
0
W > 0
Yo’l qo’yilgan
yechimlar to’plami
Simpleks usulning
qo’llanilishi
Yo’q
Yo’q
xа
DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
153
1.
Temir rudasi: 40 kg dan oshmasligi kerak.
2.
Toza alyuminiy: 25 kg dan oshmasligi kerak.
3.
Mis konsentrati: 20 kg dan oshmasligi kerak.
4.
Ishchi kuchi: 50 soatdan oshmasligi kerak.
Chiziqli dasturlash modeli:
O‘zgaruvchilar :
𝑥
1
-Polat ishlab chiqarish soni
𝑥
2
-Alyuminiy ishlab chiqarish soni
𝑥
3
-Mis ishlab chiqarish soni
𝑥
4
-Broza ishlab chiqarish soni
1.
Masala shakllantirish
max Z=8
𝑥
1
+6
𝑥
2
+5
𝑥
3
+7
𝑥
4
Cheklovlar:
3𝑥
1
+ 2𝑥
2
+ 4𝑥
3
+ 5𝑥
4
= 40
2𝑥
1
+ 3𝑥
2
+ 𝑥
3
+ 2𝑥
4
= 25
2𝑥
1
+ 𝑥
2
+ 2𝑥
3
+ 3𝑥
4
= 20
4𝑥
1
+ 3𝑥
2
+ 2𝑥
3
+ 5𝑥
4
= 50
Boshlang‘ich Simpleks jadvali
←
↑
Pivot ustun tanlash modul bo‘yicha e
ng katta manfiy qiymat tanlab
olamiz
𝒙
𝟏
(eng katta manfiy qiymat -8)
.
Ozod sonlarni tayanch ustun elementlariga bo‘lamiz va eng kichigini olamiz
Pivot element =
2
(3-qator, 1-ustun)
Endi esa simpleks jadval tuzib olamiz.
Bazis
𝒙
𝟏
𝒙
𝟐
𝒙
𝟑
𝒙
𝟒
O‘ng tomon
𝒙
𝟓
3
2
4
5
40
𝒙
𝟔
2
3
1
2
25
𝒙
𝟕
2
1
2
3
20
𝒙
𝟖
4
3
2
5
50
𝒁
-
8
-
6
-
5
-
7
0
DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
154
Xal qiluvchi ustun va satrlar o‘rni almashtiriladi.
←
↑
Pivot ustun tanlash modul bo‘yicha e
ng katta manfiy qiymat tanlab
olamiz ya’ni yagona manfiy qiymat -2 bo‘lganligi uchun o‘zzini olamiz
Ozod sonlarni tayanch ustun elementlariga bo‘lamiz va eng kichigini
olamiz
Pivot element =
2
(2-qator, 2-ustun)
Xal qiluvchi ustun va satrlar o‘rni almashtiriladi.
Pivot ustunini tanlashim uchun eng katta manfiy qiymat mavjud emas. Bu
optimal yechim ekanligini bildiradi
𝑥
1
= 8.75 𝑥
2
= 2.5 𝑥
3
= 0 𝑥
4
= 0
Simpleks jadval
𝒙
𝟕
𝒙
𝟐
𝒙
𝟑
𝒙
𝟒
O‘ng tomon
𝒙
𝟓
0 -1
0
2.5
10
𝒙
𝟔
0
2
-1
0
5
𝒙
𝟏
1 0.5
1 1.5
10
𝒙
𝟖
0 1
0 -1
10
𝒁
0 -2
3 5
80
Simpleks
jadval
𝒙
𝟕
𝒙
𝟔
𝒙
𝟑
𝒙
𝟒
O‘ng
tomon
𝒙
𝟓
0
0
-1.5
-2.5
12.5
𝒙
𝟐
0
1
-0.5
0
2.5
𝒙
𝟏
1
0
1.25 1.5
8.75
𝒙
𝟖
0
0
0,5
-1
7.5
𝒁
0
0
2 5
85
DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
155
𝑍
𝑚𝑎𝑥
= 85
Ya’ni optimal ishlab chiqarish rejasi
𝑥
1
-Polat ishlab chiqarish soni- 8.75 dona
𝑥
2
-Alyuminiy ishlab chiqarish soni -2.5 dona
𝑥
3
-Mis ishlab chiqarish soni -0 dona
𝑥
4
-Broza ishlab chiqarish soni – 0 dona
Maxsimal foyda -85 mln.so‘m
Metalurgiya zavodi uchun Simpleks usuli orqali optimal ishlab chiqarish
rejasi
Umumiy Xulosa
Bu masala chiziqli dasturlash usullaridan biri bo‘lgan Simpleks usuli orqali
metalurgiya zavodi ishlab chiqarish rejasini optimallashtirishga qaratilgan.
Zavod Polat(A), Alyuminiy(B), Mis(C), Broza(D) ishlab chiqaradi. Ishlab
chiqarish temir rudasi, toza alyuminiy, mis konsentrati va ishchi kuchi bilan
cheklangan.
Har bir mahsulot qancha foyda keltirishi va uni ishlab chiqarish uchun
qancha resurs talab qilinishi ko‘rsatilgan. Maqsad foydani maksimal qilish
bo‘lgani uchun maqsad funksiyasi yozildi. Resurslarning cheklanganligi cheklov
tenglamalari orqali ifodalandi. Tenglamalar qo‘shimcha o‘zgaruvchilar bilan
kuchaytirilib, dastlabki jadval shakllantirildi. Har bir bosqichda pivot elementi
tanlanib, jadval transformatsiyasi bajarildi. Maksimal foyda olish uchun qaysi
mahsulotlardan qanchadan ishlab chiqarish kerakligi aniqlab berildi.
Simpleks usuli resurslardan eng samarali foydalanish va maksimal foydani
olish uchun optimal strategiyani topishga yordam berdi. Bu usul nafaqat
metalurgiya zavodi, balki logistika, ishlab chiqarish va biznes rejalashtirish kabi
sohalarda ham qo‘llanilishi mumkin. Real biznesda bunday optimallash usullari
xarajatlarni kamaytirish va ishlab chiqarish samaradorligini oshirishga xizmat
qiladi.
Adabiyotlar:
1.
L. Kantorovich - "Matematik dasturlash va iqtisodiy tahlil" (1959). Ishlab
chiqarish jarayonlarida optimal reja tuzish va resurslarni taqsimlash usullari
bayon etilgan.
2.
G. Dantzig - "Chiziqli dasturlash va uning ilovalari" (1963). Simpleks usuli
va uni real ishlab chiqarish sharoitlariga qo‘llash masalalari yoritilgan.
3.
R. Dorfman, P. Samuelson, R. Solou - "Chiziqli dasturlash va iqtisodiy tahlil"
(1958). Optimal rejalashtirish, cheklovlar va maqsad funksiyasi asosida qaror
qabul qilish muhokama qilingan.
DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN
MODERN SCIENCES
International scientific-online conference
156
4.
I. G. Bashmakov - "Optimal ishlab chiqarish tizimlari" (2005). Zamonaviy
ishlab chiqarish jarayonlarini optimallashtirishga oid nazariy va amaliy
yondashuvlar ko‘rsatib berilgan.
5.
G. N. Nemchinov - "Chiziqli iqtisodiy modellar" (1972). Iqtisodiy tizimlarda
chiziqli dasturlash va tahlil usullarining qo‘llanilishiga bag‘ishlangan.
