Iqtisodiy taraqqiyot va tahlil, 2025-yil, iyun
www.sci-p.uz
253
VAQTLI QATORLARNI MURAKKAB IQTISODIY-MATEMATIK
USULLAR BILAN TAHLIL QILISH
Dotsent
Raximov Nuriddin Raxmonovich
Toshkent davlat iqtisodiyot universiteti
ORCID: 0009-0003-2869-0269
Qutbiddin A’zamzoda
Toshkent davlat iqtisodiyot universiteti
ORCID: 0000-0002-5832-6869
q.a’
zamzoda1967@gmail.com
Bozorov Asqar Xaitmurodovich
Toshkent davlat iqtisodiyot universiteti
ORCID: 0009-0005-1534-8258
Murodov Sardor Nurali o’g’li
University of Business and Science
ORCID: 0009-0001-1938-5567
Annotatsiya.
Mazkur maqolada vaqtli qatorlarning chiziqsiz trendlarini aniqlash,
matematik modellash, regressiya usullari bilan trend tenglamalarini topish va bashoratlash kabi
bosqichlar yoritilgan. Ayniqsa, iqtisodiy jarayonlarning murakkab dinamikasi hisobga olingan
holda, eksponensial, logarifmik va polinomial modellarning ustun jihatlari tahlil qilingan. Amaliy
misollar orqali bashorat natijalarining aniqligi va xatolik mezonlari ko‘rib chiqilgan.
Kalit so‘zlar:
vaqtli qatorlar, iqtisodiy jarayonlar, trend, matematik modellash, regressiya.
АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ СЛОЖНЫМИ ЭКОНОМИКО
-
МАТЕМАТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ
Рахимов Нуриддин Рахмонович
Ташкентский государственный экономический университет
Аъзамзода Кутбиддин
Ташкентский государственный экономический университет
Бозоров Аскар Хаитмуродович
Ташкентский государственный экономический университет
Муродов Сардор Нурали угли
UNIVERSITY OF BUSINESS AND SCIENCE
Аннотация.
В данной статье рассматриваются такие этапы, как определение
нелинейных трендов временных рядов, математическое моделирование, нахождение и
прогнозирование уравнений тренда с помощью методов регрессии. В частности, с учетом
сложной динамики экономических процессов проанализированы преимущества
экспоненциальных, логарифмических и полиномиальных моделей. На практических
примерах рассмотрены критерии точности и погрешности результатов
прогнозирования.
Ключевые
слова
:
временные
ряды,
экономические
процессы,
тренд,
математическое моделирование, регрессия.
UO‘K:
519.636.03
VI SON - IYUN, 2025
253-258
00
Iqtisodiy taraqqiyot va tahlil, 2025-yil, iyun
www.sci-p.uz
254
ANALYSIS OF TIME SERIES BY COMPLEX ECONOMIC-MATHEMATICAL METHODS
Raximov Nuriddin Raxmonovich
Tashkent State University of Economics
Azamzoda Kutbiddin
Tashkent State University of Economics
Bozorov Askar Xaitmurodovich
Tashkent State University of Economics
Murodov Sardor Nurali ugli
UNIVERSITY OF BUSINESS AND SCIENCE
Abstract.
This article covers stages such as determining nonlinear trends of time series,
mathematical modeling, finding trend equations using regression methods, and forecasting. In
particular, taking into account the complex dynamics of economic processes, the advantages of
exponential, logarithmic, and polynomial models were analyzed. The accuracy and error criteria
of the forecast results are considered using practical examples.
Keywords:
time series, economic processes, trend, mathematical modeling, regression.
Kirish.
Zamonaviy iqtisodiy tahlillarda vaqtli qatorlar muhim vosita hisoblanadi. Aksar iqtisodiy
ko‘rsatkichlar vaqt o‘tishi bilan qanday o‘zgarishini kuzatish va tahlil qilish uchun vaqtli
qatorlar tahlili qo‘llaniladi. Bu tahlillar orqali tendensiyalar aniqlani
b, kelajakdagi bashoratlar
tuziladi. Aksariyat holatlarda bu trendlar chiziqli bo‘lmasligi sababli murakkab iqtisodiy
-
matematik usullardan foydalanish zarur bo‘ladi.
Vaqtli qatorlar tahlili zamonaviy iqtisodiyotda muhim o‘rin tutadi, chunki iqtisodiy
ko‘rsatkichlarning vaqt o‘tishi bilan o‘zgarishi tendensiyalarni aniqlash, bashoratlar tuzish va
iqtisodiy jarayonlarni tushunish uchun asosiy vosita hisoblanadi. Global iqtisodiyotning
murakkablashuvi,
moliyaviy
bozorlarning
o‘zgaruvchanligi
va
makroiqtisodiy
ko‘rsatkichlarning chiziqli bo‘lmagan xususiyatlari vaqtli qatorlar tahlilining dolzarbligini
yanada oshiradi. Ushbu tahlil iqtisodiy siyosat ishlab chiqish, moliyaviy risklarni boshqarish va
strategik rejalashtirishda muhim ahamiyatga ega. Zamonaviy texnologiyalar, xususan,
mashinaviy o‘qitish va katta ma’lumotlar (big data) tahlili usullarining rivojlanishi vaqtli
qatorlar tahlilida yangi imkoniyatlar ochmoqda, bu esa ushbu sohaning dolzarbligini yanada
ta’kidlaydi.
Vaqtli qatorlarning trendi har doim chiziqli bo'lavermaydi. Ko'pgina iqtisodiy jarayonlar
nolinchiziqli trendlar, ya'ni eksponensial, logarifmik, polinomial yoki boshqa shakllarda bo'lishi
mumkin bularga quydagilar misol bo’la oladi.
Vaqtli qatorlar tahlilining iqtisodiyotda qo‘llanilishi, ayniqsa, chiziqli bo‘lmagan
dinamikani tahlil qilish va bashorat qilishda muhimligini ko‘rsatadi. Tursunov
(
2017
)
va
To‘xtasinov
(2020)
kabi mahalliy mualliflarning ishlari O‘zbekiston iqtisodiyoti sharoitida
ushbu usullarni qo‘llashning amaliy jihatlarini yoritadi, global miqyosda esa Box
-Jenkins,
Gujarati (2009), Engle va boshqalar fundamental asos yaratgan. Zamonaviy usullar, masalan,
mashinaviy o‘qitish, vaqtli qatorlar tahlilining dolzarbligini yanada oshiradi.
Adabiyotlar sharhi.
Vaqtli qatorlar tahlili zamonaviy iqtisodiyotda muhim ahamiyatga ega bo‘lib, iqtisodiy
ko‘rsatkichlarning vaqt o‘tishi bilan o‘zgarishini tahlil qilish va kelajakdagi tendensiyalarni
bashorat qilish uchun keng qo‘llaniladi.
Vaqtli qatorlar tahlilida eng muhim asoslardan biri sifatida Box-Jenkins metodologiyasi
(ARIMA modellar) keng tan olinadi. Ularning “Time Series Analysis: Forecasting and Control”
asarida taqdim etilgan usullari chiziqli bo‘lmagan vaqtli qatorlarni modella
shtirishda muhim
Iqtisodiy taraqqiyot va tahlil, 2025-yil, iyun
www.sci-p.uz
255
qadam bo‘ldi. Ularning fikricha, ARIMA modellar stasionar va nostatsionar qatorlarni tahlil
qilishda samarali bo‘lib, bashoratlarning aniqligini oshirishda katta ahamiyatga ega.
Kliv Granger o‘zining
“Some Properties of Time Series Data and Their Use in Econometric
Model Specification” maqolasida vaqtli qatorlarning sabab
-
oqibat munosabatlarini o‘rganishda
Granger sabablik testini taklif qildi. Bu usul iqtisodiy ko‘rsatkichlar o‘rtasidagi o‘zaro
bog‘liqlikni aniqlashda keng qo‘llaniladi.
Jeyms Hamiltonning “Time Series Analysis” kitobi vaqtli qatorlar tahlilida zamonaviy
yondashuvlarni umumlashtiradi. U chiziqli bo‘lmagan modellar, xususan, rejim o‘zgarishi
(regime-
switching) modellarini iqtisodiy sikllarni tahlil qilishda qo‘llashni takli
f qildi.
Hamiltonning fikricha, iqtisodiy ko‘rsatkichlarning chiziqli bo‘lmagan xususiyatlari tahlilda
murakkab matematik modellar talab qiladi.
Robert Engle va Kliv Grangerning kointegratsiya tahlili bo‘yicha ishlari iqtisodiy vaqtli
qatorlarning uzoq muddatli muvozanat munosabatlarini aniqlashda katta ahamiyatga ega.
Ularning “Co
-
integration and Error Correction” maqolasida keltirilgan usullar iq
tisodiy
ko‘rsatkichlar o‘rtasidagi uzoq muddatli bog‘liqlikni tahlil qilishda keng qo‘llaniladi. Ularning
“A Test for Independence Based on the Correlation Dimension” maqolasida vaqtli qatorlarning
chiziqli bo‘lmagan dinamikasini tahlil qilish uchun xaotik
tahlil usullari taklif etilgan. Bu usullar
iqtisodiy tizimlarda murakkab va oldindan aytib bo‘lmaydigan xatti
-harakatlarni aniqlashda
foydalidir.
Ruey Tsayning
(
2010
)
“Analysis of Financial Time Series” kitobida moliyaviy vaqtli
qatorlarni tahlil qilishda GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
modellar kabi chiziqli bo‘lmagan usullar muhokama qilinadi. Tsayning ta’kidlashicha, moliyaviy
bozorl
ardagi o‘zgaruvchanlikni modellashtirishda bu usullar muhim ahamiyatga ega.
Vaqtli qatorlar tahlili iqtisodiyotda tendensiyalarni aniqlash, bashorat qilish va murakkab
dinamikani tushunish uchun muhim vositadir. Box-Jenkins (2015), Granger (1981), Hamilton
(1994), Engle va boshqa (1987) olimlarning ishlari ushbu sohada fundamental asos yaratgan
bo‘lsa, zamonaviy usullar, masalan, mashinaviy o‘qitish va bayesiy tahlil, sohani yanada
rivojlantirmoqda. Ushbu tadqiqotlar iqtisodiy ko‘rsatkichlarning chiziqli bo‘lmagan
xususiyatlarini tahlil qilishda keng imkoniyatlar ochadi.
Metodologiya.
Agar vaqtli qator aniq chiziqli modelga mos kelmasa, quyidagi chiziqsiz trend
modellaridan biri qo'llaniladi:
a) Eksponensial trend
Ba'zi iqtisodiy jarayonlar tez o'sish yoki kamayish tendensiyasiga ega bo'lib, ularni
eksponensial tenglama bilan ifodalash mumkin:
𝑌
𝑡
= 𝑎𝑒
𝑏𝑡
(1.1)
bu yerda:
𝑎
-boshlang'ich qiymat,
𝑏
- o'sish yoki kamayish darajasi,
𝑡
-vaqt,
𝑒 = (2.718)
- tabiy logarifm asosi
Qo'llanilishi: aholi sonining o'sishida, inflatsiya darajasi, narxlarning o'sish modeli
sohalarida bajariiladi.
b) Logarifmik trend
Agar vaqtli qator tez o'sib, keyinchalik barqarorlashsa, u holda logarifmik model
qo'llaniladi:
𝑌
𝑡
= 𝑎 + 𝑏ln (𝑡)
(1.2)
bu yerda:
ln (𝑡)
- tabiiy logarifm ,
𝑎, 𝑏
- parametrlar
Iqtisodiy taraqqiyot va tahlil, 2025-yil, iyun
www.sci-p.uz
256
Qo'llanilishi: daromad va iste'mol o'rtasidagi bog'liqlik, yangi texnologiyalarni qabul
qilish tezligi sohalarida bajariiladi.
c) Polinomial trend
Agar vaqtli qator murakkab tebranishlarga ega bo'|sa, u n-darajali polinom orqali
ifodalanishi mumkin:
𝑌
𝑡
= 𝑎 + 𝑏
1
𝑡 + 𝑏
2
𝑡
2
+ 𝑏
3
𝑡
3
+ ⋯ + 𝑏
𝑛
𝑡
𝑛
(1.3)
Qo'llanilishi: Birja indekslari, ishsizlik darajasining dinamikasi, iqtisodiy o'sish prognozi,
matematik modellash va jadval sohalarida bajariladi (Granger, 1981
)
.
Misol: Oylik iqtisodiy ko'rsatkichlar ma'lum bir o'zgaruvchining besh oy davomida
o'zgarishini qiymatlari quydagi 1-jadvalda keltirilgan.
1-jadval
Iqtisodiy ko'rsatkichlar o'zgarish paremetrlari
Oy
𝒕
Sotuv hajmi
𝒀
𝐥𝐧 (𝒕)
𝒕
𝟐
𝒆
𝒕
Yanvar
1
100
0.000
1
2.718
Fevral
2
150
0.693
4
7.389
Mart
3
210
1.099
9
20.085
Aprel
4
280
1.386
16
54.598
May
5
360
1.609
25
148.413
Yuqoridagi jadvaldan foydalanib, 2-rasmda har bir trend modeliga mos keluvchi
tenglamalar paremetrlari.
№
Haqiqiy Y
Eksponensial Y
Logarifmik
𝒀
Polinomial Y
1
100
111.583706006
72.42242261034
100.0
2
150
150.212935735
179.2560081050
150.0
3
210
202.215241541
241.7496494369
210.0
4
280
272.220256608
286.00959359
280.0
5
360
366.460349591
320.48232624797
360.0
Iqtisodiy ko'rsatkichlar o'zgarish paremetrlaridan kelib chiqib chiziqsiz trend modellari
qo’llanilishi 1
-
rasmda keltirib o’tilgan.
1-rasm. Chiziqsiz trend modellari iqtisodiy ko'rsatkichlar o'zgarish paremetrlari
Iqtisodiy taraqqiyot va tahlil, 2025-yil, iyun
www.sci-p.uz
257
Yuqoridagi jadval va grafikda kelib chiqib quydagi natijalarga ega bo’lish mumkin:
1.
Moviy nuqtalar - haqiqiy vaqtli qator qiymatlari (sotuv hajmi).
2.
Qizil chiziq (eksponensial model) - ma'lumotlar eksponensial o'sishga ega bo'|sa
ishlatiladi.
3.
Yashil chiziq (logarifmik model) - dastlab tez o'sib, keyin sekinlashadigan jarayonlami
ifodalaydi.
4.
Sariq chiziq (polinomial model) - vaqtli qatorning murakkab dinamikasini aniqlaydi.
Ushbu modellardan qaysi biri yaxshiroq mos tushishini xatolik baholash orqali tekshirish
mumkin. Agar sizga MSE (Mean Squared Error) yoki boshqa baholash mezonlari bo'yicha
taqqoslash kerak bo'lsa, aytishingiz mumkin (Hamilton, 1994
)
.
Tahlil va natijalar muhokamasi.
Vaqtli qatorlarni tekislash (smoothing)
—
vaqt seriyalaridagi tasodifiy o'zgarishlarni
kamaytirish va asosiy tendensiyalarni (trendni) aniqroq ko'rish uchun qo'llaniladigan usuldir.
Tekislash usullari quyidagilarga bo'linadi:
a.
Harakatlanuvchi o'rtacha (Moving Average, MA)
b.
Eksponensial tekislash (Exponential Smoothing, ES)
c.
Holt-Winters modeli
d.
Harakatlanuvchi o'rtacha (Moving Average)
Bu usulda vaqtli qatorning har bir nuqtasi uchun ma'lum bir oraliqdagi o'rtacha qiymat
olinadi. Oddiy 3 oraliqli harakatlanuvchi o'rtacha formulasi:
𝑌
𝑡
′
=
𝑌
𝑡−1
+𝑌
𝑡
+𝑌
𝑡+1
3
(1.4)
Quyidagi 2-
rasmda vaqtli qatorlarni tekislash sxemasi keltirib o’tilgan:
2-
rasm. Vaqtli qatorlarni tekislashda harakatlanuvchi o’rtacha
Ko’rinib turibdiki, harakathanuvhi o’rtacha yordarmida vaqti qator tekislangan va
o'zgaruvchanlik kamaygan. Endi eksponensial tekislash usulini ham qo'llash mumkin (Engle,
& Granger, 1987
)
.
Eksponensial Tekislash usuli (Simple Exponential Smoothing).
Iqtisodiy taraqqiyot va tahlil, 2025-yil, iyun
www.sci-p.uz
258
3-rasm. Vaqtli qatorlarni tekislash sxemasi
Yuqoridagi jadval va grafikda eksponensial tekislashdan kelib chiqib quydagi natijalarga
ega bo’lish mumkin:
1.
Moviy nuqtalar va chiziq - haqiqiy vaqtii qator (sotuv hajmi).
2.
Yashil chiziq - elsponensial tekislash
(𝛼 = 0.3)
yordamida olingan natijalar.
Eksponensial tekislash harakatlanuvchi o'rtachaga qaraganda tezroq yangi
ma’lumotlarga moslashadi.
Xulosa va takliflar.
Vaqtli qatorlarni chiziqsiz shaklda tahlil qilish iqtisodiy jarayonlarning chuqurroq
tahlilini ta’minlaydi. Har bir iqtisodiy ko‘rsatkich o‘ziga xos trendga ega bo‘lganligi sababli, mos
trend modelini tanlash muhim ahamiyatga ega. Eksponensial, logarifmik yoki polinomial
regressiya modellari yordamida bu jarayonlar aniq ifodalanadi. Regressiya orqali aniqlangan
tenglamalar yordamida ishonchli bashoratlar tuzish va qaror qabul qilish mumkin.
Adabiyotlar
/Литература/Reference:
Bollerslev, T. (1986). Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of
Econometrics
,
31(3), 307
–
327.
Box, G. E. P., Jenkins, G. M., & Reinsel, G. C. (2015). Time Series Analysis: Forecasting and
Control (5th ed.). Wiley, 712 p.
Brock, W. A., Dechert, W. D., & Scheinkman, J. A. A Test for Independence Based on the
Correlation Dimension.
–
Econometric Reviews, 1996.
–
197
–
235 b.
Engle, R. F., & Granger, C. W. J. (1987) Co-integration and Error Correction: Representation,
Estimation, and Testing.
–
Econometrica,
–
251
–
276 b.
Granger, C. W. J. (1981) Some Properties of Time Series Data and Their Use in Econometric
Model Specification.
–
Journal of Econometrics,
–
121
–
130 b.
Gujarati, D. N. (2009) Basic Econometrics.
–
5th Edition.
–
McGraw-Hill,.
–
924 p.
Hamilton, J. D. (1994) Time Series Analysis.
–
Princeton University Press,
–
799 b.
To‘xtasinov Sh.T. (2020) Statistika va iqtisodiy tahlil. –
Toshkent: Fan,
–
320 b.
Tsay, R. S. (2010) Analysis of Financial Time Series.
–
3rd Edition.
–
Wiley,
–
720 b.
Tursunov, B. X. (2017) Iqtisodiy jarayonlarni modellashtirish.
–
Toshkent: Iqtisodiyot,
–
280.
