198
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
ANIQ FANLAR
Ibragimov Husniddin Hikmatovich
Denov radbirkorlik va pedagogika instituti
khusniddin.ibragimov.74@mail.ru
UDK: 511.12
PIFAGOR SONLARI VA EYLER G’ISHTI
Kalit so‘zlar.
Pifagor
sonlari, Pifagor jufti,
Pifagor uchligi, yaratuvchi
Pifagor juftligi, Pifagor
taxtasi, Pifagor g‘ishti,
Eyler uchligi, Eyler g‘ishti.
Annotatsiya.
Bu ishda bir Pifagor juftligi yordamida boshqa
Pifagor juftliklarini topish usuli bayon qilingan. Сheksiz ko‘p
yaratuvchi Pifagor juftliklarini qurish jarayoni keltirilgan. Berilgan
Pifagor jufti yordamida Pifagor uchligini beruvchi parametrik
tenglama berilgan. Bitta Pifagor juftidan foydalanib cheksiz ko‘p
Eyler uchliklarini beruvchi parametrik tenglama berilgan.
ЧИСЛА ПИФАГОРА И КИРПИЧ ЭЙЛЕРА
Ибрагимов Хусниддин Хикматович
Денауский институт предпринимательства и педагогики
Ключевые слова.
Числа
Пифагора, пара Пифагора,
тройка Пифагора,
порождающая пара
Пифагора, доска
Пифагора, кирпич
Пифагора, тройка Эйлера,
кирпич Эйлера.
Аннотация.
В этой работе описывается метод построения
других пифагорейских пар с использованием одной
пифагорейской пары. Представлен процесс построения
бесконечного числа порождающих Пифагоровых пар.
Используя заданную пифагорову пару, можно получить
параметрическое уравнение, которое дает пифагорову тройку.
Приведено параметрическое уравнение, дающее бесконечное
число троек Эйлера с помощью одной пары Пифагора.
PYTHAGOREAN NUMBERS END EULER BRICKS
Ibragimov Khusniddin Khikmatovich
Denau Institute for Entrepreneurship and Pedagogy
Keywords:
Pythagorean
numbers, Pythagorean pair,
Pythagorean triple,
Pythagorean generating pair,
Pythagorean board,
Pythagorean brick, Euler
triple, Euler brick.
Abstract.
This paper describes a method for constructing other
Pythagorean pairs using a one Pythagorean pair. The process of
constructing an infinite number of generating Pythagorean pairs is
presented. Using a given Pythagorean pair, one can obtain a
parametric equation that yields a Pythagorean triple. A parametric
equation is given that gives an infinite number of Euler triples
using one Pythagorean pair.
Kirish
Respublikamizda 2023-yilni “Insonga e’tibor va sifatli ta’lim” yili deb e’lon
qilinganligi bejiz emas, chunki hozirgi davrda maktablarda ta’lim sifatini oshirish
hamda o‘qitishning innovatsion texnologiyalaridan foydalanish dolzarb masalalardan
hisoblanadi. Shu sababdan matematikadan o‘quvchilarga chuqur bilim berish, ularning
kognitiv faoliyatini rivojlantirish va matematik fikrlash usullariga o‘rgatish muhim
199
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
ahamiyat kasb etadi. Bunda matematikadan sinfdan tashqari mashg‘ulotlarda natural
va butun sonlar hamda ular bilan bog‘liq qiziqarli, o‘quvchilar bilim saviyalariga mos
keladigan tushunchalar va masalalar bilan o‘quvchilarni tanishtirish va bu borada
tadqiqotchilik ko‘nikmalarni shakllantirish maqsadga muvofiq. Ushbu maqolada
iqtidorli bolalar bilan to‘garaklarda sonlar nazariyasida Pifagor va Eyler g‘ishtlariga
doir nazariy ma’lumotlar va ularning qo‘llanilishi misollarining o‘rganilishi va tahlil
qilinishi bayon qilingan [1].
Mavzuning tarixiyligi
. Qadimda matematikaga doir manbaalarda
3, 4; 5
Pifagor
sonlari ma’lum bo‘lib, ular yordamida to‘g‘ri burchaklarni yasashgan. Messopotamiya
qabr toshlarida ikkita
9, 12
va
15
o‘lchamli uchburchaklardan tuzilgan teng yonli
uchburchak uchraydi. Firavn Snofru piramidalari
20, 21
va
29
hamda
18, 24
va
30
o‘lchamli uchburchaklardan foydalanib qurilgan.
Tadqiqot ob'ekti
. Shu bilan birga yaqin o‘tmishda ham Pifagor sonlari, Pifagor
taxtasi, Pifagor g‘ishti, Eyler g‘ishti kabi tushunchalar bilan ko‘plab matematiklar
shug‘ullanishgan. Biz Pifagor juftligi, Pifagor taxtasi, Pifagor g‘ishti, Eyler uchligi,
Eyler g‘ishti, Pifagor juftliklari sinfi hamda bu sinfni yaratuvchilari kabi tushunchalar
bilan ishlaymiz. Bu yerda biz Pifagor juftliklari sinfi yaratuvchisi yordamida boshqa
sinf yaratuvchisini qurish usulini ham bayon qilamiz.
Pifagor sonlari haqida juda ko‘p ma’lumotlar bo‘lsada, bu sonlarni o‘rganish
jarayonida yangi va qiziqarli ma’lumotlarga duch kelaveramiz. Bu sonlar haqida
ko‘pchilik yaxshi tushunchaga ega va ulardan kundalik hayotda ko‘p foydalanamiz.
Ishda esa mukammal g‘ishtning mavjudlik masalasi ikki parametrli butun
koeffitsiyentli kubik tenglamani ratsional sonlar maydonida yechish masalasiga
keltirish.
1-ta’rif.
Agar butun nolmas
𝑎
va b sonlari uchun shunday
𝑐
butun soni mavjud
bo‘lib,
𝑎
2
+ 𝑏
2
= 𝑐
2
tenglik o‘rinli bo‘lsa,
(𝑎, 𝑏)
juftlikka Pifagor juftligi deyiladi. Bu
holda tomonlari
𝑎
va
𝑏
bo‘lgan to‘g‘ri burchakli to‘rtburchak Pifagor taxtasi
deyiladi.(1-chizma)
Yuzasi eng kichik bo‘lgan Pifagor taxtasiga mos Pifagor jufti
−
bu
(3,4)
dir.
Hajmi eng kichik bo‘lgan Pifagor g‘ishtiga
(2, 1, 2)
Pifagor uchligi mos keladi. Pifagor
juftligi
(𝑎, 𝑏)
ning
𝑎
va
𝑏
sonlari Pifagor taxtasining tomonlari bo‘lganligi uchun ularni
Pifagor taxtasining tomonlari yoki katetlar deb,
𝑐
ni esa gipotenuza deb ham atashadi.
Agar
(𝑎, 𝑏)
Pifagor juftligi bo‘lsa, u holda
(𝑏, 𝑎)
ham Pifagor juftligi bo‘ladi.
Agar Pifagor taxtasining diagonali
𝑐
ni ko‘rsatishga zarurat tug‘ilsa
(𝑎, 𝑏)
juftlikni
(𝑎, 𝑏)(𝑐)
ko‘rinishda yozamiz. Bundan tashqari, agar
(𝑎, 𝑏)
Pifagor juftligi bo‘lsa, u
holda ixtiyoriy
𝑛 ∈ 𝑍
uchun
(𝑛𝑎, 𝑛𝑏)
ham Pifagor juftligi bo‘ladi. Xuddi shunga
o‘xshash tasdiq Pifagor uchligi uchun ham o‘rinli.
200
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
1-chizma.
Endi to‘g‘ri burchakli uchburchak bilan teng yonli uchburchak orasidagi quyidagi
𝑎
2
+ 𝑏
2
= 𝑐
2
va
(𝑎 + 𝑏 − 𝑐)
2
+ (𝑐 − 𝑎)
2
+ (𝑐 − 𝑏)
2
= (2𝑐 − 𝑎 − 𝑏)
2
ko‘rinishdagi bog‘lanishni sirkul va chizg‘ich yordamida chizib ko‘rsatamiz [3, (16-17
bet)].
Bizga
𝐴𝐵𝐷
to‘g‘ri burchakli uchburchak berilgan bolsin.
𝐴𝐷
kesmaga yotuvchi n
to‘g‘ri chiziqni,
𝐵𝐷
kesmaga yotuvchi s to‘g‘ri chiziqlarni 1-chizmadagiday chizamiz.Sirkul uchini
𝐵
nuqtaga qo‘yib,
𝐴𝐵
ni radius deb aylana chizsak,
𝑠
to‘g‘ri chizqdan aylana kesib o‘tadi
va bu nuqtani
𝑁
desak,
𝐴𝐵 = 𝐵𝑁 = 𝑐
ni hosil qilamiz.
𝐵𝑁 = 𝑐
,
𝐷𝐵 = 𝑏
ligidan,
𝐷𝑁 = 𝑐 − 𝑏
kelib chiqadi.
𝐴𝐷
ni radius deb aylana chizsak,
𝑠
to‘g‘ri chizqdan aylana kesib o‘tadi va bu nuqtani
𝐹
desak,
𝐴𝐷 = 𝐷𝐹 = 𝑎
ni hosil qilamiz.
𝐷𝐹 = 𝑎
,
𝐷𝑁 = 𝑐 − 𝑏
ligidan esa
𝐹𝑁 = 𝑎 + 𝑏 −
𝑐
kelib chiqadi. Bizga ma’lum bolgan kesmani sirkul va chizg‘ich bilan teng ikkiga
bo‘lib,
𝑁𝑀 = 𝑀𝐹
ni topamiz.
Sirkul uchini
𝐴
nuqtaga qo‘yib
𝐴𝐵
ni radius deb aylana chizsak,
𝑛
to‘g‘ri
chizqdan aylana kesib o‘tadi va bu nuqtani
𝑅
desak,
𝐴𝐷 = 𝑎
𝐴𝑅 = 𝑐
ligidan
𝐷𝑅 =
𝑐 − 𝑎
kelib chiqadi.Sirkul uchini
𝐷
nuqtaga qo‘yib
𝐷𝑅
ni radius deb aylana chizsak
𝐷𝐵
kesmani kesib o‘tadi va bu nuqtani
𝐺
desak,
𝐷𝑅 = 𝐷𝐺 = 𝑐 − 𝑎
kelib chiqadi.
𝑀
nuqtadan
𝑚
perpendikulyar to‘g‘ri chiziqni o‘tkazib,
𝑁𝐺
ni radius deb aylana chizsak,
𝑚
to‘g‘ri chizqdan aylana kesib o‘tadi va bu nuqtani
𝐾
deb belgilab va
𝑁
bilan
𝐾
nuqtalarni tutashtirib
𝑁𝐾
kesmani hosil qilamiz.
𝑁𝐷
ni radius deb aylana chizsak,
201
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
𝑁𝐾
kesmani kesib o‘tadi va bu nuqtani
𝑃
deb belgilasak,
𝑁𝐺 = 𝑁𝐷 + 𝐷𝐺 = 𝑁𝐾 =
2𝑐 − 𝑎 − 𝑏
va
𝑁𝐷 = 𝑁𝑃 = 𝑐 − 𝑏
Bundan esa
𝑃𝐾 = 𝐷𝐺 = 𝑐 − 𝑎
ga ega bo‘lamiz. Chizma bo‘yicha
𝐴𝐷
2
+ 𝐵𝐷
2
= 𝐴𝐵
2
dan
𝑁𝐹
2
+ 𝑁𝑃
2
+ 𝑃𝐾
2
= 𝐾𝐹
2
Kelib chiqadi.
3-ta’rif.
Agar
(𝑎, 𝑏)
va
(𝑎
1
, 𝑏
1
)
Pifagor juftliklari uchun shunday
𝑛 ∈ 𝑍
mavjud bo‘lib,
𝑎
1
= 𝑛𝑎,
𝑏
1
= 𝑛𝑏
tengliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda
(𝑎, 𝑏)
va
(𝑎
1
, 𝑏
1
)
Pifagor juftliklari bir sinfga qarashli deyiladi.
4-ta’rif.
Agar
𝜉
sinfga qarashli
(𝑎, 𝑏)
Pifagor juftligining
𝑎
va
𝑏
katetlari o‘zaro
tub bo‘lsa,
(𝑎, 𝑏)
Pifagor juftligiga shu sinfning yaratuvchisi deyiladi.
Masalan,
(3, 4)
Pifagor juftligi
𝜉:
𝜉 = {(3, 4)(5), (6, 8)(10), (9, 12)(15), … , (3𝑛, 4𝑛)(5𝑛), … }
(1)
Sinfning,
(5, 12)
Pifagor juftligi esa
𝜁:
𝜁 = {(5, 12)(13), (10, 24)(26), (15, 36)(39), … , (5𝑛, 12𝑛)(13𝑛), … }
sinfning yaratuvchisi bo‘ladi.
Ma’lumki, istalgan noldan farqli har xil
𝑛, 𝑚 ∈ 𝑍,
sonlari yordamida hosil
qilingan
𝑎 = 𝑛
2
− 𝑚
2
, 𝑏 = 2𝑛𝑚, 𝑐 = 𝑛
2
+ 𝑛
2
(2)
(𝑎, 𝑏)(𝑐)
juftlik Pifagor juftligini tashkil qiladi.
Endi bir Pifagor juftligi berilgan bo‘lsa, uning yordamida yangi Pifagor juftligini
hosil qilish usulini bayon qilamiz
.[7(105-106)]
1-teorema.
Bizga
(𝑎, 𝑏)(𝑐)
Pifagor juftligi berilgan bo‘lsin. U holda quyidagi
𝑎
1
= 2𝑎 + 𝑏 + 2𝑐, 𝑏
1
= 𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐, 𝑐
1
= 2𝑎 + 2𝑏 + 3c
(3)
tengliklar yordamida aniqlangan
(𝑎
1
, 𝑏
1
)(𝑐
1
)
juftlik Pifagor juftligi bo‘ladi.
Bu teoremaning isboti
𝑎
1
2
+ 𝑏
1
2
= 𝑐
1
2
tenglikni tekshirish bilan amalga oshiriladi.
Bu teoremani
(𝑎
1
, 𝑏
1
)(𝑐
1
)
juftlikka qo‘llab, yangi
(𝑎
2
, 𝑏
2
)(𝑐
2
)
Pifagor juftligini
hosil qilamiz. Shunday qilib, bir Pifagor juftligi berilsa, uning yordamida cheksiz ko‘p
Pifagor juftliklarini hosil qilish mumkin.
Faraz qilaylik,
(𝑎, 𝑏)(𝑐)
Pifagor juftligidan, 1-tеоremani qo‘llab yangi
(𝑎
1
, 𝑏
1
)( 𝑐
1
)
Pifagor juftligini hosil qilgan bo‘laylik. 1-teoremadagi (3) formuladan
ko‘rinadiki Pifagor juftligining katetlari orasidagi farq saqlanadi, ya’ni
𝑏 − 𝑎 = 𝑏
1
−
𝑎
1
tenglik o‘rinli.
(3, 4)(5)
Pifagor juftligi (1) bilan aniqlangan
𝜉
sinfning yaratuvchisi
va
𝑏 − 𝑎 = 1
tenglik o‘rinli. Shunday ekan biz quyidagi natijaga kelamiz.
Shuni aytish mumkinki,
𝑎
2
= 9𝑎 + 8𝑏 + 12𝑐, 𝑏
2
= 8𝑎 + 9𝑏 + 12𝑐, 𝑐
2
= 12𝑎 + 12𝑏 + 17c
tengliklar yordamida aniqlangan
(𝑎
2
, 𝑏
2
)(𝑐
2
)
juftlik Pifagor juftligi bo‘ladi.
202
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
Xuddi shunuingdek,
𝑎
3
= 50𝑎 + 49𝑏 + 70𝑐, 𝑏
3
= 49𝑎 + 50𝑏 + 70𝑐, 𝑐
3
= 70𝑎 + 70𝑏 + 99c
tengliklar yordamida aniqlangan
(𝑎
3
, 𝑏
3
)(𝑐
3
)
juftlik Pifagor juftligi bo‘ladi.
1-natija.
(3,4)
Pifagor juftligidan (3) formula yordamida hosil qilingan
(20, 21),
(119, 120),
(696, 697), …
Pifagor juftliklarining barchasi biror sinfning yaratuvchi Pifagor juftligi bo‘ladi.
(5,12)(13)
va
(8, 15)(17)
Pifagor juftliklaridan (3) formula yordamida hosil
qilingan
(48, 55)(73), (297, 304)(425), (1748, 1755)(2477) ….
(65, 72)(97),
(396, 403)(565),
(2325, 2332)(3293) ….
Pifagor juftliklari ham biror sinfning yaratuvchi Pifagor juftliklari bo‘ladi.
2-teorema.
Bizga
(𝑎, 𝑏)(𝑐)
Pifagor taxtasi (juftligi) berilgan bo‘lsin. U holda
quyidagi
𝑎
1
= 𝑐 + 𝑎, 𝑏
1
= 𝑐 + 𝑏, 𝑐
1
= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐, 𝑑
1
= 2𝑐 + 𝑎 + 𝑏,
(4)
tengliklar yordamida aniqlangan
(𝑎
1
, 𝑏
1
, 𝑐
1
)
uchlik Pifagor g‘ishtining qirralari
𝑑
1
esa
uning diagonali bo‘ladi
.
1-misol.
(3,4)(5)
Pifagor taxtasidan 3-teorema yordamida hosil qilinadigan
Pifagor g‘ishtining qirralari va diagonalini toping.
Yechish.
(4) formulada
𝑎 = 3, 𝑏 = 4, 𝑐 = 5
deb quyidagilarni olamiz.
𝑎
1
= 8, 𝑏
1
= 9, 𝑐
1
= 12, 𝑑
1
= 17.
Quyida biz 3-teorema yordamida hosil qilingan Pifagor taxtalariga mos Pifagor
g‘ishtlarining dastlabki 5 tasini keltiramiz:
Pifagor juftligi
Pifagor uchligi
(3, 4)(5)
(8, 9, 12)(17)
(5, 12)(13)
(18, 25, 30)(43)
(7, 24)(25)
(32, 49, 56)(81)
(8, 15)(17)
(25, 32, 40)(57)
(9, 40)(41)
(50, 81, 90)(131)
Quyidagicha savol qo‘yamiz. Agar Pifagor juftligining
𝑎
va
𝑏
katetlari o‘zaro tub
bo‘lsa, u holda Pifagor sonlari
𝑎, 𝑏, 𝑐
lardan hech bo‘lmaganda biri albatta tub son
bo‘ladimi? Quyidagi teorema ko‘rsatadiki, bu tasdiq umuman olganda noto‘g‘ri.
3-teorema.
Agar
(𝑎, 𝑏)(𝑐)
Pifagor juftligi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy
𝑟
butun son
uchun
𝑎
1
= 𝑎[(𝑏𝑟)
2
− 𝑐
2
], 𝑏
1
= 𝑏[(𝑏𝑟)
2
− 𝑐
2
(2𝑟 − 1)],
(5)
203
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
nolmas sonlar Pifagor juftligi bo‘ladi. Bunda
𝑐
1
= 𝑐[𝑐
2
+ (𝑟
2
− 2𝑟)𝑏
2
]
Pifagor
taxtasining diagonali bo‘ladi.
Shuni ta’kidlaymizki, agar
(𝑎, 𝑏)
Pifagor juftligidagi
𝑏
katet juft son bo‘lsa, u
holda
𝑟
parametrni
1
2
ga karrali qilib tanlanganda ham
𝑎
1
, 𝑏
1
; 𝑐
1
sonlari butun sonlar
bo‘ladi. Shunday ekan
(𝑎
1
, 𝑏
1
)
juftlik Pifagor juftligi bo‘ladi. Buni biz quyidagi
misolda ko‘rsatib beramiz.
2-misol.
𝑎 = 3, 𝑏 = 4, 𝑐 = 5
Pifagor juftligini olamiz va
𝑟 =
1
2
, hamda 𝑟 =
3
2
bo‘lgan hollarda 3-teoremadagi
𝑎
1
, 𝑏
1
; 𝑐
1
Pifagor sonlarini topamiz.
𝑟 =
1
2
deb (5) formula yordamida
𝑎
1
, 𝑏
1
; 𝑐
1
Pifagor juftliklarini hisoblaymiz:
𝑎
1
= 3 ⋅ [(4 ⋅ 0,5)
2
− 25] = 3 ⋅ 21 = 63,
𝑏
1
= 4 ⋅ [2
2
− 25 ⋅ 0] = 4 ⋅ 4 = 16,
𝑐
1
= 5 ⋅ [25 − 12] = 5 ⋅ 13 = 65.
Oddiy hisoblashlar ko‘rsatadiki
63
2
+ 16
2
= 65
2
tenglik o‘rinli. Bu yerda
63, 16
va
65
sonlarining barchasi murakkab sonlar,
𝑎 = 63
va
𝑏 = 16
sonlari o‘zaro tub sonlar.
Shunday ekan
(63, 16)
Pifagor juftligi yaratuvchi juftlik bo‘ladi. Bu yuqorida
qo‘yilgan savolga javob bo‘ladi.
Endi
𝑎 = 3, 𝑏 = 4, 𝑐 = 5 va 𝑟 =
3
2
desak, quyidagilarga ega bo‘lamiz.
𝑎
1
= 3 ⋅ 11 = 33, 𝑏
1
= 4 ⋅ 14 = 56,
𝑐
1
= 5 ⋅ 13 = 65.
Ma’lumki,
(33, 56)
juftlik Pifagor juftligi bo‘ladi. Bu juftlik ham yaratuvchi
Pifagor juftligidir. Shunday bo‘lsada uning tashkil etuvchilari
𝑎, 𝑏
va
𝑐
sonlari
murakkab sonlardir. Tashkil etuvchilari murakkab sonlar bo‘lgan yaratuvchi Pifagor
juftliklarini ko‘plab ko‘rsatish mumkin. Masalan,
(33, 544).
3-teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
2-natija.
Agar
(𝑎
1
, 𝑏
1
)(𝑐
1
)
Pifagor juftligi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy
𝑝
butun son
uchun
𝑎
2
= 𝑎
1
((𝑏
1
𝑝)
2
− 𝑐
1
2
), 𝑏
2
= 𝑏
1
((𝑏
1
𝑝)
2
− 𝑐
1
2
(2𝑝 − 1))
sonlar Pifagor juftligi bo‘ladi. Bu holda Pifagor taxtasining diagonali
𝑐
2
= 𝑐
1
(𝑐
1
2
+
(𝑝
2
− 2𝑝)𝑏
1
2
)
ga teng bo‘ladi.
Endi ikkita erkin parametrga bog‘liq bo‘lgan Pifagor juftliklarini hosil qiluvchi
tasdiqni keltiramiz
[4, 5-b.].
4-teorema.
Agar
(𝑎, 𝑏)(𝑐)
Pifagor juftligi bo‘lsa, u holda
𝑝
𝑞
≠
𝑐
𝑏
shartni
qanoatlantiruvchi barcha nolmas
𝑝
va
𝑞
butun sonlari uchun
𝑎
1
= 𝑎[(𝑏
2
𝑐𝑝
2
− 𝑐
3
𝑞
2
], 𝑏
1
= 𝑏[2𝑎𝑐
2
𝑝𝑞]
204
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
sonlar Pifagor juftligi,
𝑐
1
= 𝑐[𝑎𝑏
2
𝑝
2
+ 𝑎𝑐
2
𝑞
2
]
esa Pifagor taxtasining diagonali
bo‘ladi.
Endi Eyler g‘ishtlari haqidagi mulohazalarni bayon qilamiz.
5-ta’rif.
Agar butun nolmas
𝑒, 𝑙, 𝑟
sonlari uchun
𝑒
2
+ 𝑙
2
= 𝑑
𝑒𝑙
2
, 𝑙
2
+ 𝑟
2
= 𝑑
𝑙𝑟
2
, 𝑟
2
+ 𝑒
2
= 𝑑
𝑟𝑒
2
,
tengliklar o‘rinli bo‘lib,
𝑑
𝑒𝑙
, 𝑑
𝑙𝑟
, 𝑑
𝑟𝑒
sonlari ham butun bo‘lsa, u holda qirralari
𝑒, 𝑙, 𝑟
bo‘lgan to‘g‘ri parallelepiped Eyler g‘ishti,
(𝑒, 𝑙, 𝑟)
uchlikka Eyler uchligi deyiladi .
Masalan, hajmi minimal bo‘lgan Eyler g‘ishtining qirralari
44, 117, 240,
bo‘lib
quyidagi tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
44
2
+ 117
2
= 125
2
, 117
2
+ 240
2
= 276
2
,
240
2
+ 44
2
= 244
2
.
Quyida Eylerning o‘zi tomonidan keltirilgan Eyler uchliklarini qurishning bitta
parametrik tenglamasini keltiramiz (5 teoremaga qarang) [2, 52-56 b.: 6, 2-b.].
5-teorema.
Agar
(𝑎, 𝑏)(𝑐)
Pifagor juftligi bo‘lsa, u holda
𝑥 = 𝑎(4𝑏
2
− 𝑐
2
), 𝑦 = 𝑏(4𝑎
2
− 𝑐
2
), 𝑧 = 4𝑎𝑏𝑐
(6)
sonlar biror Eyler g‘ishtining qirralari, ya’ni
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
lar Eyler uchligi bo‘ladi.
Shuni ta’kidlaymizki
(𝑎, 𝑏)(𝑐)
Pifagor juftligi bo‘lsa, u holda
𝑥
1
= 4 𝑐
2
(2𝑎
2
− 2𝑏
2
+ 3𝑎𝑏), 𝑦
1
= 𝑎𝑏(−12𝑎
2
+ 12𝑏
2
+ 7𝑎𝑏), 𝑧
1
=
2 𝑏𝑐(8𝑎
2
− 3𝑏
2
+ 2𝑎𝑏)
(7)
sonlari ham Eyler uchligi bo‘ladi.
3-misol.
(5) formuladan foydalanib
(3, 4)(5)
Pifagor juftligiga mos Eyler
uchligini toping.
Yechish.
(5) formulada
𝑎 = 3, 𝑏 = 4, 𝑐 = 5
deyilsa, u holda
𝑥 = 3(64 − 25) = 3 ⋅ 39 = 117,
𝑦 = 4(4 ⋅ 9 − 5
2
) = 4(36 − 25) = 44
𝑧 = 4 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 12 ⋅ 20 = 240
tengliklarga ega bo‘lamiz. Bu
(117, 44, 240)
uchlik hajmi minimal bo‘lgan Eyler
g‘ishtiga mos Eyler uchligidir.
Quyida (5) formula yordamida hosil qilingan Pifagor juftliklariga mos Eyler
uchliklari keltirilgan:
Pifagor juftliklari
Mos Eyler uchliklari
(5, 12)(13)
(2035, −828, 3120)
(15, 8)(17)
(−495, 4888, 8160)
(7, 24)(25)
(11753, −10296, 16800)
(20, 21)(29)
(15939, 48460, 48720)
(9, 40)(41)
(42471, −54280, 59040)
205
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
Eyler uchliklarida masalan,
(2035, −828,3120)
da manfiy sonlar uchrayapti.
Agar biz bu uchlikni Eyler g‘ishtining qirralari desak, bu uchlikni
(2035, 828, 3120)
deb tushunamiz.
Ma’lumki,
(𝑎, 𝑏)
va
(𝑏, 𝑎)
Pifagor juftliklaridan (5) formula yordamida Eyler
uchliklarini hosil qilsak, ular ayni bitta Eyler uchligini beradi. Agar biz
(𝑎, 𝑏)
va
(𝑏, 𝑎)
Pifagor juftliklaridan (6) formula yordamida Eyler uchliklarini hosil qilsak, ular
boshqa-boshqa Eyler g‘ishtlari bo‘lishi mumkin. Biz buni quyidagi misolda ko‘rsatib
beramiz [5, 1-b.].
4-misol.
(6) formuladan foydalanib
(5, 12)(13)
va
(12, 5)(13)
Pifagor
juftliklariga mos Eyler uchliklarini quring.
Yechish.
(6) formulada
𝑎 = 5, 𝑏 = 12, 𝑐 = 13
deyilsa, u holda
𝑥 = −39208,
𝑦 = 110880,
𝑧 = −34944
bo‘ladi. Bu sonlarni 8 umumiy bo‘luvchisiga bo‘lib
𝑥
1
= −4901,
𝑦
1
= 13860,
𝑧
1
= −4368.
Eyler uchligini hosil qilamiz. (6) formulada
𝑎 = 12, 𝑏 = 5, 𝑐 = 13
deb, quyidagi
Eyler uchligini hosil qilamiz.
𝑥
2
= 141284,
𝑦
2
= −30240,
𝑧
2
= 77805.
Bu
(𝑥
1
, 𝑦
1
, 𝑧
1
)
va
(𝑥
2
, 𝑦
2
, 𝑧
2
)
Eyler uchliklari har xil Eyler g‘ishtlarini hosil qiladi.
6-teorema
.
Agar
(𝑎, 𝑏)(𝑐)
Pifagor juftligi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy
𝑟 ∈ 𝑍
uchun
𝑥 = 𝑎[(𝑏𝑟)
2
− 𝑐
2
] ⋅ {(2𝑏[(𝑏𝑟)
2
− 𝑐
2
(2𝑟 − 1)])
2
− (𝑐[𝑐
2
+ (𝑟
2
− 2𝑟)𝑏
2
])
2
},
𝑦 = 𝑏[(𝑏𝑟)
2
− 𝑐
2
(2𝑟 − 1)] ⋅ {(2𝑎[(𝑏𝑟)
2
− 𝑐
2
])
2
− (𝑐[𝑐
2
+ (𝑟
2
− 2𝑟)𝑏
2
])
2
},
(8)
𝑧 = 4𝑎𝑏𝑐[(𝑏𝑟)
2
− 𝑐
2
] ⋅ [(𝑏𝑟)
2
− 𝑐
2
(2𝑟 − 1)] ⋅ [𝑐
2
+ (𝑟
2
− 2𝑟)𝑏
2
]
noldan farqli
𝑥, 𝑦, 𝑧
sonlari Eyler uchligi bo‘ladi.
Teoremaning isboti quyidagi
𝑥
2
+ 𝑦
2
= 𝑑
𝑥𝑦
2
𝑥
2
+ 𝑧
2
= 𝑑
𝑥𝑧
2
𝑦
2
+ 𝑧
2
= 𝑑
𝑦𝑧
2
tengliklarni tekshirish orqali amalga oshiriladi.
Shuni ta’kidlaymizki, Eyler g‘ishtining yon yoqlarining diagonallari quyidagilar
bo‘ladi:
𝑑
𝑥𝑦
= (𝑐[𝑐
2
+ (𝑟
2
− 2𝑟)𝑏
2
])
3
,
𝑑
𝑥𝑧
= 𝑎[(𝑏𝑟)
2
− 𝑐
2
] ⋅ {(2𝑏[(𝑏𝑟)
2
− 𝑐
2
(2𝑟 − 1)])
2
+ (𝑐[𝑐
2
+ (𝑟
2
− 2𝑟)𝑏
2
])
2
},
𝑑
𝑦𝑧
= (𝑏[(𝑏𝑟)
2
− 𝑐
2
(2𝑟 − 1)] ⋅ {(2𝑎[(𝑏𝑟)
2
− 𝑐
2
])
2
+ (𝑐[𝑐
2
+ (𝑟
2
− 2𝑟)𝑏
2
])
2
}.
206
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
Eyler uchliklarini beruvchi (7) formulada
𝑟 ∈ 𝑍
ga qiymatlar berib Eyler
uchliklari beruvchi cheksiz ko‘p parametrik tenglamalarni hosil qilamiz.
5-misol.
(7) parametrik tenglamada
𝑟 = 1
ga mos keluvchi parametrik
tenglamani toping.
Yechish.
(7) formulada
𝑟 = 1
deb, quyidagini hosil qilamiz.
𝑥 = 𝑎[𝑏
2
− 𝑐
2
] ⋅ {(2𝑏[𝑏
2
− 𝑐
2
])
2
− (𝑐[𝑐
2
− 𝑏
2
])
2
},
𝑦 = 𝑏[𝑏
2
− 𝑐
2
] ⋅ {(2𝑎[𝑏
2
− 𝑐
2
])
2
− (𝑐[𝑐
2
− 𝑏
2
])
2
},
𝑧 = 4𝑎𝑏𝑐[𝑏
2
− 𝑐
2
] ⋅ [𝑏
2
− 𝑐
2
] ⋅ [𝑐
2
− 𝑏
2
]
.
Hosil qilingan
𝑥, 𝑦, 𝑧
sonlarni ularning umumiy bo‘luvchisi
(𝑏
2
− 𝑐
2
)
3
ga qisqartirib
quyidagiga ega bo‘lamiz:
𝑥 = 𝑎(4𝑏
2
− 𝑐
2
), 𝑦 = 𝑏(4𝑎
2
− 𝑐
2
), 𝑧 = 4𝑎𝑏𝑐.
Bu esa Eylerning birinchi parametrik tenglamasi (5) formula bilan ustma-ust tushadi.
6-misol.
(7) parametrik tenglamada
𝑟 = 2
va
𝑎 = 3
,
𝑏 = 4,
𝑐 = 5
ga mos
keluvchi Eyler g‘ishtining qirralarini toping.
Yechish.
(7) formulada
𝑟 = 2
deb, quyidagi parametrik tenglamani olamiz.
𝑥 = 𝑎[4𝑏
2
− 𝑐
2
]{(2𝑏[4𝑏
2
− 3𝑐
2
])
2
− 𝑐
6
},
𝑦 = 𝑏[4𝑏
2
− 3𝑐
2
]{(2𝑎[4𝑏
2
− 𝑐
2
])
2
− 𝑐
6
},
𝑧 = 4𝑎𝑏𝑐
3
[4𝑏
2
− 𝑐
2
] ⋅ (4𝑏
2
− 3𝑐
2
).
Endi
𝑎 = 3
,
𝑏 = 4,
𝑐 = 5
Pifagor juftliklariga mos Eyler g‘ishtining qirralarini
hisoblaymiz.
𝑥 = 3 ⋅ 39 ⋅ {(2 ⋅ 4 ⋅ 11)
2
− (125)
2
},
𝑦 = 4 ⋅ 11 ⋅ {(2 ⋅ 3 ⋅ 39)
2
− (125)
2
},
𝑧 = 4 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 125 ⋅ 39 ⋅ 11,
bundan esa
𝑥 = 3 ⋅ 39(88
2
− 125
2
),
𝑦 = 4 ⋅ 11(234
2
− 125
2
),
𝑧 = 4 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 125 ⋅ 39 ⋅ 11.
Natijada
𝑥 = 922077,
𝑦 = 1721764, 𝑧 = 2574000
Eyler uchligini olamiz.
Tekshirish:
922077
2
+ 1721764
2
= 1953125
2
,
922077
2
+ 2574000
2
= 2734173
2
,
1721764
2
+ 2574000
2
= 3096764
2
,
850225993929 + 2964471271696 = 3814697265625,
850225993929 + 6625476000000 = 7475701993929,
2964471271696 + 6625476000000 = 9589947271696.
207
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [1/2023].
Qirralari
(922077, 1721764, 2574000)
bo‘lgan, Eyler g‘ishtining yon
tomonining diagonallari bo‘lib
1953125, 2734173, 3096764
sonlar xizmat qiladi.
Xulosa
Ma’lumki
(𝑎, 𝑏)(𝑐)
Pifagor juftligi bo‘lsa u holda
(𝑏, 𝑎)(𝑐)
ham Pifagor juftligi
bo‘ladi.
(𝑒, 𝑙, 𝑟)
Eyler g‘ishti bo‘lsa, u holda
(𝑒, 𝑟, 𝑙), (𝑙, 𝑒, 𝑟), (𝑙, 𝑟, 𝑒),
(𝑟, 𝑒, 𝑙)
(𝑟, 𝑙, 𝑒)
lar ham Eyler g‘ishti bo‘ladi. Biz ularni bitta Eyler g‘ishti deb hisoblaymiz.
Agar Eyler g‘ishti, Pifagor g‘ishti ham bo‘lsa bunday g‘ishtga
mukammal g‘isht
deyiladi. Mukammal g‘ishtning mavjudlik masalasi hozirda ochiq muammo sifatida
turibdi. Muallif tomonidan olingan 6-teorema shu ochiq muammoni yechishga
qaratilgan bir ishlanmadir.
Agar 6-teoremada shunday
𝑟 ∈ 𝑍
mavjud bo‘lib biror butun
𝑑
uchun
𝑥
2
+ 𝑦
2
+ 𝑧
2
= 𝑑
2
tenglik bajarilsa, u holda
𝑥, 𝑦, 𝑧
sonlari mukammal g‘ishtning qirralari bo‘ladi.
ish Pifagor uchliklariga bag‘ishlangan. ishda esa mukammal g‘ishtning
mavjudlik masalasi ikki parametrli butun koeffitsiyentli kubik tenglamani ratsional
sonlar maydonida yechish masalasiga keltirilgan.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
O‘zbekiston Respublikasi prezidenti Sh.M. Mirziyoyevning Oliy Majlis va
O‘zbekiston xalqiga murojaatnomasi. 20-dekabr 2022-yil.
2.
A’zamov. Eyler g‘ishtlari. Fizika, matematika va informatika. 2012.№1, 52-56.
3.
Abdullayev J.I., Ibragimov H. H. Pifagor taxtasi yordamida Pifagor g‘ishtlarini
qurish. Ilmiy axborotnoma. Samarqand, 1-son (119), 2020. 15-21.
4.
Abdullayev J.I., Ibragimov H. H. Pifagor va Eyler g‘ishtlari. Buxoro davlat
universiteti Ilmiy axboroti. Buxoro, 2022/6(94). 10-15.
5.
By
Samuel
Bonaya
Buya
end
Whiteeagle
Joshua
Daddah.
A_method_of_Finding_Perfect_Euler_Bricks. 07.01.2017. 1-15.
6.
Oliver Knill. Treasure Hunting Perfect Eyler bricks. 24.02.2009. 1-5 .
7.
Е.А.Горин, Степени простых чисел в составе пифагоровых троекб Матем.
просв., 2008, выпуск 12. 25.02. 2023 г. 106-107 ст.
