192
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [2/2023].
ANIQ FANLAR
Касимов Одилбек Юнусович
Доктор философии физико-математических наук (PhD)
Термезский университет экономики и сервиса
УДК: 519.6
О ГЕОМЕТРИИ СИНГУЛЯРНЫХ РИМАНОВЫХ СЛОЕНИЙ В
3
R
Ключевое слово:
векторное поле,
векторных полей
Киллинга, скобку
Ли, орбиты
семейства
векторных полей,
сингулярное
слоение,
инвариантной
функцией.
Аннатоция.
В настоящее время, в мире, одной из актуальных
проблем современной геометрии является изучение геометрии
слоений и сингулярных слоений, порожденных орбитами
векторных полей. Регулярные римановы слоения, введен
Рейнхартом в [8] и изучались многими авторами. Сингулярные
римановы слоения были введены в монографии П. Молино [4].
Применение результатов по геометрии слоений в других
областях науки, в частности для решений задач механики,
теории динамических систем являются актуальными научными
направлениями. Геометрия орбит очень важна в геометрии и в
ее приложениях в теории управления. В этой статье исследуется
геометрия сингулярных римановых слоений, порожденных
орбитами векторных полей Киллинга в трехмерном евклидовом
пространстве. В показано, что орбиты семейства векторных
полей Киллинга, порождают сингулярное римановых слоение
трехмерное евклидова пространства, регулярными слоями
которого являются состоит из семейства концентрических сфер
с центром в начале координат. Сингулярное слои слоения
представляют собой точку т.е. начало координат.
ON THE GEOMETRY OF SINGULAR RIEMANNIAN FOLIATIONS IN
3
R
Qosimov Odilbek Yunusovich
Doctor of Philosophy in Physical and Mathematical Sciences (PhD)
Termez University of Economics and Service
Keywords
: vector
field, Killing
vector fields, Lie
bracket, orbit
family of vector
fields, singular
foliation, invariant
function.
Annotation.
At present, in the world, one of the urgent problems of
modern geometry is the study of the geometry of foliations and
singular foliations generated by the orbits of vector fields. Regular
Riemannian foliations, introduced by Reinhart in [8] and studied by
many authors. Singular Riemannian foliations were int roduced in the
monograph by P. Molino [4]. The application of results on the
geometry of foliations in other fields of science, in particular, for
solving problems in mechanics, the theory of dynamical systems, are
topical scientific areas. The geometry of orbits is very important in
193
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [2/2023].
geometry and in its applications in control theory. In this article, we
study the geometry of singular Riemannian foliations generated by the
orbits of Killing vector fields in three-dimensional Euclidean space. In
it is shown that the orbits of the family of Killing vector fields generate
a singular Riemannian foliation of a three-dimensional Euclidean
space, the regular fibers of which are composed of a family of
concentric spheres centered at the origin. The singular leaves of the
foliation is a point i.e. origin.
3
R
FAZODA SINGULYAR RIMAN QATLAMALAR GEOMETRIYASI
HAQIDA
FIZIKA –MATEMATIKA FANLARI FALSAFA DOKTORI (PhD)
Qosimov Odilbek Yunusovich
Fizika-matematika fanlari boʻyicha falsafa doktori (PhD)
Termiz iqtisodiyot va servis universiteti
Kalit so‘zlar:
Vektor maydonlar,
Killing vektor
maydonlari, Li
qavsi, vektor
maydonlar
oilasining orbitalari,
singular qatlamalar,
invariant funksiya.
Annotatsiya:
Hozirgi vaqtda dunyoda zamonaviy geometriyaning
dolzarb muammolaridan biri vektor maydonlar oilasining orbitalari
hosil qilgan qatlamalar va singulyar qatlamalar geometriyasini
o‘rganishdir. Regulyar Riman qatlamalari birinchi Reynhart
tomonidan [8] ishda kiritilgan va ko‘plab mualliflar tomonidan
o‘rganilgan. Singulyar Riman qatlamalari P. Molinoning
monografiyasida keltirilgan[4]. Qatlamalar geometriyasi natijalarini
fanning boshqa sohalarida, xususan, mexanika, dinamik sistemalar
nazariyasi masalalarini hal qilishda qo‘llash dolzarb ilmiy
yo‘nalishlardir. Orbitalar geometriyasi geometriya va boshqaruv
nazariyasi sohalarida qo‘llanilishi juda muhimdir.
ВВЕДЕНИЕ
Теперь приведем наиболее важную операцию над векторными полями –
скобку Ли, или коммутатор векторных полей.
Эту операцию можно рассматривать как дифференцирование функции.
Пусть
X
и
Y
−
гладкие векторные поля на многообразии
,
M
то их скобка Ли
,
X Y
−
единственное векторное поле, удовлетворяющее условию
[ , ]( )
( ( ))
( ( )),
X Y
f
X Y f
Y X f
=
−
(1)
для всех гладких функций :
.
f M
R
→
Легко проверяется, что
,
X Y
на самом
деле является векторным полем. Пусть векторные поля
,
X Y
в локальных
координатах задаются следующими равенствами соответственно
194
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [2/2023].
( )
1
n
i
i
i
X
x
x
=
=
,
( )
1
.
n
i
i
i
Y
x
x
=
=
(2)
Тогда
i
−
координатная функция скобки Ли
,
X Y
этих двух векторных
полей имеет следующий вид:
1
.
i
i
n
j
j
i
j
j
j
a
x
x
=
=
−
(3)
Пример 1.
Рассмотрим следующие векторные поля в трехмерное
евклидовом пространстве
2
2
2
,
2
2
(
1)
.
X
y
x
Y
xz
yz
z
x
y
x
y
z
x
y
z
= −
+
+
=
+
+
+
−
−
Легко проверяется что, для этих векторных полей скобка Ли имеет
следующий вид:
,
2
2
2
.
X Y
x
y
z
x
y
z
=
+
+
Тепер изучим важнейший класс векторных полей называемое векторными
полями Киллинга.
Определение 1.
Векторное поле
X
на
M
называется векторным полем
Киллинга, если однопараметрическая группа преобразований, порожденная
потокам векторного поля
,
X
состоит из изометрий.
В случае, когда
,
n
M
R
=
векторное поле
i
i
i
X
x
=
является векторным
полем Киллинга тогда и только тогда, когда выполняется условие
0,
,
0, ,
1, .
j
i
i
j
i
i
i
j
i j
n
x
x
x
+
=
=
=
(4)
Пример 2.
Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве
(
)
3
, ,
R
x y z
следующие векторные поля
1
,
X
z
=
2
.
X
z
x
x
z
= −
+
Для векторного поля
X
через
( )
t
X
x
обозначим интегральную кривую
векторного поля X, проходящую через точку
x
M
при
0
t
=
.
Поток векторных полей
,
X Y
состоит из следующих преобразований:
0
0
0
: ( , , )
{ ,
,
},
.
t
X
x y z
x y z
t t
R
→
+
195
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [2/2023].
0
0
0
0
0
co
.
s
sin
sin
,
co
: ( ,
)
{
,
,
},
s
s
Y
x
s
z
s y x
y
s
z
x
z
s s
R
→
−
+
Первое отображение является параллельным переносом по направлениям
оси
,
Oz
а второе– вращением вокруг оси
.
Oy
Эти два отображения являются
изометрическими отображениями в евклидовом пространстве, поэтому эти
векторные поля являются векторными полями Киллинга.
Пусть
M
−
гладкое многообразие размерности
,
n
D
−
семейство гладких
векторных полей, заданных на многообразии .
M
Семейство
D
может содержать
конечное и бесконечное число гладких векторных полей.
Определение 2.[5]
Орбита
( )
L x
семейства
D
векторных полей,
проходящая через точку
x
из M, определяется как множество таких точек
y
из
M, для которых существуют действительные числа
1
2
, ,...,
k
t t
t
и векторные поля
1
2
,
,...,
k
X X
X
из
D
(где
k
произвольное натуральное число) такие, что
1
1
1
1
(
(...(
( ))...))
k
k
t
t
t
k
k
y
X
X
X
x
−
−
=
(5)
Пример 3.
Пусть семейство
{ , }
D
X Y
=
гладких векторных полей в
3
,
R
где
,
X
y
х
х
у
=
+
2
.
Y
x
y
z
x
y
z
=
+
+
Потоки векторных полей
,
X Y
состоит из следующих преобразований:
: ( , , )
{
,
, },
,
t
X
x y z
xcht
ysht xsht
ycht z t
R
→
+
+
2
: ( , , )
{
,
,
},
.
s
s
s
s
Y
x y z
xe ye ze
s
R
→
Для этих векторных полей скобка Ли имеет следующий вид:
[ , ] 0.
X Y
=
Орбита семейство векторных полей
D
состоит из частей гиперболических
параболоидов. Эти части гиперболических параболоидов в месте с координатной
плоскости
0
z
=
и с осью
Oz
покрывают все пространство
3
.
R
Известно, что разбиение многообразия
M
на орбиты семейства
D
является
сингулярным слоением. Геометрия сингулярных слоений, порожденных
семейством орбит векторных полей, является объектом многочисленных
исследований [6], [9], [1], [2], [3].
Пусть
M
−
гладкое многообразие размерности
n
,
A
−
максимальный атлас,
определяющий на
M
структуру гладкого многообразия класса
,
r
C
где
0.
r
Многообразие
M
является также многообразием класса
,
s
C
если 0
.
s
r
Систему локальных криволинейных координат на
s
C
многообразии
M
обозначим через
.
s
A
Пусть теперь целое
k
удовлетворяет неравенствам 0
.
k
n
Определение 3.
Разбиение
F
многообразия
M
на подмногообразия
L
называется сингулярным слоением, если выполнены следующие условия:
196
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [2/2023].
1)
B
L
M
=
;
2) Для всех
,
B
имеет место обязательно
L
L
=
при
;
3) Каноническая инъекция
:
i L
M
→
является погружением;
4) Для каждой точки
x
M
существует
r
C
−
карта
( , ),
U
содержащая точку
x
такая, что
1
2
( )
,
U
V V
=
где
1
V
−
окрестность начало в
,
k
R
2
V
−
окрестность
начало в
,
n k
R
−
k
−
есть размерность слоя, проходящего через точку
x
;
5)
( ) (0,0);
x
=
6) Для каждого подмногообразия
L
такого, что
,
L
U
имеет место
равенство
1
1
(
),
L
U
V
l
−
=
где
1
2
{
:
(0, )
}.
l
v V
v
L
−
=
Подмногообразии
L
называются слоями сингулярного слоения
F
. Если
размерность слоев сингулярного слоения одинаковы, то слоение называется
регулярным слоением. Слой
L
слоения
F
называется регулярным, если
размерность слоя
L
максимален. Слой
L
слоения
F
называется сингулярным,
если он не является регулярным.
Определение 4.[6]
Сингулярное слоение
F
называется римановым, если
каждая геодезическая, ортогональная в некоторой точке слою, слоения
F
остается ортогональна всем слоям
F
во всех точки.
Известна следующая теорема [1]
Теорема 1.
Пусть
M
−
гладкое риманово многообразие размерности
,
n
D
−
семейство гладких векторных полей Киллинга. Предположим, что орбиты
семейства
D
имеют размерности меньшие чем
.
n
Тогда разбиение многообразия
на орбиты является сингулярным римановым слоением.
Орбита семейства векторных полей, рассмотренного в первом примере
выше, образует регулярный римановых слойений, а орбита семейства векторных
полей, рассмотренного во втором примере, образует сингулярный слой.
Известна следующая теорема [5].
Теорема 2.
Пусть группа
G
−
действует на многообразии
M
и
:
F M
→ −
гладкая функция. Тогда
F
является инвариантной функцией, тогда
и только тогда, когда каждое множество уровня
( )
:
,
x
M F x
c c
=
будет
G
−
инвариантным подмножеством многообразия
M
.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Пусть
{ , }
D
X Y
=
семейство гладких векторных полей в
3
,
R
где
{ ;0;
},
{
; ;0}.
X
z
x Y
y x
=
−
= −
197
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [2/2023].
Поток
векторного
поля
,
X Y
порождает
следующую
однопараметрическую группу преобразований
: ( , , )
{
, ,
},
.
X
x y z
xcos
zsin
y xsin
zcos
R
→
−
+
: ( , , )
{
,
, },
.
Y
x y z
xcos
ysin
xsin
ycos
z
R
→
−
+
Для этих семейств векторных полей
{ , }
D
X Y
=
справедлива следующая
теорема.
Teорема 3.
Орбиты семейство векторных полей
{ , }
D
X Y
=
порождают
сингулярное риманова слоение
,
F
пространства
3
,
R
регулярными слоями
которого являются концентрические сферы. Сингулярными слоем слоения
F
являются одна точка.
Доказательство.
Начало координат является неподвижной точкой
потоков обоих векторных полей. Таким образом одной из орбит является начало
координат, т.е.
1
{(0;0;0)}.
L
=
По теореме-2, функция
2
2
2
( ; ; )
F x y z
x
y
z
+
+
=
является инвариантной функцией для групп преобразований порожденными
векторными полями
,
X Y
, так как
( )
0, ( )
0.
X F
Y F
=
=
Поэтому поверхности
уровней этой функции являются инвариантными множествами для
преобразований, порожденными векторными полями
,
X Y
.
Поверхность уровня
3
2
2
2
2
{( ; ; )
:
,
0},
L
x y z
R
x
y
z
c c
+
=
+
=
состоит из
семейства концентрических сфер с центром в начале координат.
Берем две произвольные точки из множества
2
,
L
т.е.
1
1
1
2
2
2
2
( ; ; ), ( ;
;
)
.
A x y z
B x y z
L
Покажем, что найдутся такие параметры
,
что выполняются следу-
ющие равенство
(
)
(
)
(
)
1
1
1
2
2
2
,
,
,
,
Y
X
x y z
x y z
=
0
0
0
0
2
( ,
,
)
A x y z
L
, то имеет место следующее соотношение:
3
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
{ ( ;
; )
:
,
0},
k
k
k
L
A x y z
R
x
y
z
c
c
+
=
+
=
Если двигаться из точки
0
A
на орбите
2
k
L
по интегральной кривой
векторного поля
X
за некоторое время
, то мы попадем в точку
1
1
1
1
( ,
, ),
A x y z
т.е.:
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
( ,
,
)
(
cos
sin , ,
sin
cos )
X
A x y z
A x
z
y
x
z
⎯⎯→
−
+
.
Таким образом, справедливы следующие равенства:
1
0
0
1
0
1
0
0
cos
sin
sin
cos
x
x
z
y
y
z
x
z
=
−
=
=
+
198
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [2/2023].
Теперь нам нужно показать, что точка
1
A
принадлежит орбите
2
k
L
, т.е.
2
2
2
2
2
2
1
1
1
0
0
0
k
x
y
z
x
y
z
c
+
+
+
=
+
=
проверяем равенство.
2
2
2
0
0
0
0
0
(
cos
sin )
+( sin
cos )
k
x
z
y
x
z
c
−
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
cos
2
cos sin
sin
sin
2
sin cos
cos
k
x
x z
z
y
x
x z
z
c
−
+
+
+
+
+
=
После выполнения некоторых действий составляем следующее уравнение:
2
2
2
0
0
0
k
x
y
z
c
+
=
+
. Итак,
1
1
1
1
2
( ,
, )
A x y z
L
. Теперь, если двигаться некоторое время
вдоль интегральной линии векторного поля
Y
по орбите
2
k
L
из точки
1
1
1
1
( ,
, ),
A x y z
мы попадем в точку
2
2
2
2
(
,
,
)
A x
y z
, то есть:
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
( ,
, )
(
cos
sin , sin
cos , )
Y
A x y z
A x
y
x
y
z
⎯⎯→
−
+
.
Таким образом, у нас будет система уравнений:
2
1
1
2
1
1
2
1
cos
sin
sin
cos
x
x
y
y
x
y
z
z
=
−
=
+
=
. Теперь
нам нужно показать, что точка
2
A
принадлежит орбите
2
k
L
, т.е.
Проверим равенство
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
k
x
y
z
x
y
z
c
+
+
+
=
+
=
.
2
2
2
1
1
1
1
1
( cos
sin )
( sin
cos )
k
x
y
x
y
z
c
−
+
+
+
=
, здесь
2
2
2
0
0
0
k
c
x
y
z
+
+
=
2
2
0
0
0
0
0
0
((
cos
sin ) cos
sin )
( ( cos
sin )sin
cos )
x
z
y
x
z
y
−
−
+
−
+
+
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
( sin
cos )
(
cos
2
cos sin
sin ) cos
x
z
x
t
x z
t
t
z
t
s
+
+
=
−
+
−
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
2
cos sin (
cos
sin )
sin
cos
sin
2
cos sin sin
y
s
s x
t
z
t
y
s
x
t
s
x z
t
t
s
−
−
+
+
−
+
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
sin
sin
2
cos sin cos
2
sin sin cos
cos
z
t
s
x y
t
s
s
y z
t
s
s
y
s
+
+
−
+
+
2
2
2
2
0
0
0
0
sin
2
sin cos
cos
x
t
x z
t
t
z
t
+
+
Сделав некоторые упрощения, получим следующее выражение:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
cos
2
cos sin
sin
sin
2
sin cos
cos
k
x
t
x z
t
t
z
t
y
x
t
x z
t
t
z
t
c
−
+
+
+
+
+
=
Отсюда следует равенство:
2
2
2
0
0
0
k
x
y
z
c
+
=
+
. Отсюда следует, что точка
2
A
принадлежит орбите
2
k
L
. Поверхность уровня
2
L
орбиты состоит из семейства
концентрических сфер с центром в начале координат в трехмерном евклидовом
пространстве. Теорема доказана.
Краткое содержание. В данной работе найдена орбита семейства векторных
полей Киллинга в трехмерном евклидовом пространстве. Доказано, что это
множество орбит является сингулярным римановым слоем.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Нарманов А.Я., Аслонов Ж.О., Геометрия орбит векторных полей Киллинга.
Узбекский математический журнал, 2012, №2. cт.77 – 85.
2.
Нарманов А.Я., Касимов О. Геометрия сингулярных римановых слоений//
Узбекский математический журнал. -Ташкент, 2011. N-3. -с. 129-135.
199
TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA. ILMIY-USLUBIY JURNAL. ISSN: 2181-2659. [2/2023].
3.
Narmanov A. Ya., Saitova S.S. On Geometry of Vector Fields. Journal of
Mathematical Sciences(United States), 245,:3 (2020), pp 347-352.
4.
Molino P. Riemannian foliations. Progress in Mathematics Vol. 73, Birkhäuser
Boston Inc. 1988.
5.
Olver P. Application of Lie Groups to Differential Equations. Second edition. //
Springer 1993.
6.
Tondeur Ph. Geometry of foliations. Monographs in Mathematics, Vol. 90,
Birkhaeuser Verlag, Basel, 1997, P. 305.
7.
Tamura I. Topology of foliation: an introduction// Translations of mathematical
monographs. American Mathematical Soc.,2006.
8.
Reinhart B. L. Foliated manifolds with bundle-like metrics. Annals of
Mathematics, Second Series, Vol. 69, No. 1,1959, pp. 119 – 132.
9.
Zukova N.I. Ehresmann connections for singulsar foliations. J. Dyn. Control Syst.
2004, V.10. №1. P.143 – 145.
10.
Головина, Е. В. Модель семантического пространства образа женщины в
русской литературе / Е. В. Головина, Н. И. Ждакова. – Оренбург :
Оренбургский государственный университет, 2017. – 130 с. – ISBN 978-5-
7410-1637-4. – EDN ZVDBGD.
