ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-72
Часть–1_ июня–2025
188
2181-
3187
EHTIMOLLIK TA’RIFLARI
Mirzaazimova Aziza O‘tkir qizi,
Narzullayeva Nigora Asilbek qizi
Jizzax viloyat Zomin tuman 1-son
Politexnikumi matematika o‘qituvchisi
Annotatsiya:
Ushbu maqolada ehtimollik tushunchasining to‘rtta asosiy ta’rifi
– klassik, statistik, aksiomatik va geometrik ta’riflari yoritilgan. Har bir yondashuvning
nazariy asoslari, tatbiq doirasi, afzalliklari va cheklovlari tahlil qilingan. Geometrik
ehtimollik tushunchasi fazoviy ehtimolliklar bilan ishlashda qanday qo‘llanishi ham
ko‘rib chiqilgan. Bu ta’riflarning o‘zaro aloqadorligi va ehtimollik nazariyasidagi o‘rni
tizimli tarzda bayon etilgan.
Kalit so‘zlar:
ehtimollik, klassik ta’rif, statistik ta’rif, aksiomatik yondashuv,
geometrik ehtimollik, ehtimollik fazosi, Kolmogorov aksiomalari.
Kirish:
Tasodifiy hodisalarning yuzaga kelish ehtimoli ko‘plab sohalarda —
iqtisodiyotdan tortib texnikaviy modellashtirish, fizika va biologiyadan tortib
tibbiyotgacha — muhim rol o‘ynaydi. Ehtimollik nazariyasi bu jarayonlarning
matematik tahlilini beruvchi fan sifatida o‘zining asosiy kategoriyasi — ehtimollik
tushunchasiga tayanadi. Ehtimollik, soddaroq qilib aytganda, tasodifiy hodisaning
yuzaga kelish darajasini miqdoriy baholashdir. Tarixan ehtimollik nazariyasi XVII
asrda Blazé Paskal va Pyer Fermalar tomonidan qimor o‘yinlarini tahlil qilish
ehtiyojidan kelib chiqib shakllangan. XX asrda Andrey Kolmogorov ehtimollik
nazariyasining aksiomatik asoslarini ishlab chiqdi va uni zamonaviy matematik fanlar
tizimiga to‘liq integratsiya qildi. Bugungi kunda ehtimollik nazariyasi — stoxastik
modellar, sun’iy intellekt, mashinali o‘rganish, sug‘urta matematikasi, kvant fizika,
biometrik tizimlar va boshqa ko‘plab sohalarda keng qo‘llanilmoqda. Ehtimollik
tushunchasining bir nechta turli ta’riflari mavjud bo‘lib, ularning har biri ma’lum
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-72
Часть–1_ июня–2025
189
2181-
3187
ehtiyojlar va shartlar asosida vujudga kelgan: klassik, statistik, geometrik va
aksiomatik ta’riflar. Har bir yondashuv tasodifiylikni har xil usulda tavsiflaydi va
ehtimollikni har xil vositalar bilan o‘lchaydi.
Asosiy qism:
Klassik ehtimollik ta’rifiga ko‘ra, agar biror tajribaning barcha
mumkin bo‘lgan natijalari son jihatdan chekli bo‘lsa va bu natijalar teng ehtimollikda
yuzaga chiqsa, u holda hodisaning ehtimolligi bu hodisani ifodalovchi qulay natijalar
sonining, barcha mumkin bo‘lgan natijalar soniga nisbatiga teng bo‘ladi.
P(A)=n/m
bu yerda m – hodisani ifodalovchi natijalar soni, n – barcha mumkin bo‘lgan teng
ehtimollikdagi natijalar soni.
Statistik ehtimollik tajriba asosida aniqlanadigan ehtimollik bo‘lib, bu
yondashuvda ehtimollik hodisaning takroriy tajribalar davomida kuzatilgan
chastotasiga
asoslanadi. Agar hodisa tajribada ko‘p marta sodir etilsa va ularning ichida
nechta marta hodisa ro‘y bergani hisobga olinsa, u holda ehtimollik – bu hodisaning
tajribadagi nisbiy chastotasi sifatida ifodalanadi.
Tajriba soni ortgani sayin bu nisbat haqiqiy ehtimollikka yaqinlashib boradi. Bu
yondashuv amaliy tajribalar, eksperimentlar asosida ish yurituvchi fanlar (statistika,
eksperimental fizika va h.k.) uchun muhim ahamiyatga ega.
Aksiomatik ehtimollik ta’rifi ehtimollik nazariyasining matematik asoslangan
zamonaviy yondashuvi bo‘lib, u rus matematigi A.N. Kolmogorov tomonidan 1933-
yilda ishlab chiqilgan. Bu yondashuvda ehtimollik tushunchasi maxsus aksiomalarga
asoslangan rasmiy o‘lchov sifatida aniqlanadi.
Bu ta’rifda ehtimollik fazosi deb ataluvchi uchlik (natijalar to‘plami, hodisalar
sinfi, ehtimollik funksiyasi) aniqlanadi va ehtimollik — hodisalarga mos keladigan
sonli funksiya bo‘lib, u quyidagi uchta aksiomani qanoatlantiradi:
1.
Har qanday hodisa uchun ehtimollik manfiy bo‘lmasligi kerak
(ya’ni P(A)≥0).
2.
To‘liq ehtimollik fazosining ehtimolligi birlikka teng bo‘ladi (ya’ni
P(Ω)= 1).
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-72
Часть–1_ июня–2025
190
2181-
3187
3.
O‘zaro mos tushmaydigan (ya’ni bir vaqtning o‘zida ro‘y bera
olmaydigan) hodisalarning birlashmasining ehtimolligi ularning ehtimolliklari
yig‘indisiga teng bo‘ladi.
Geometrik ehtimollik ta’rifi, ehtimollikni fazodagi nisbiy o‘lchov
sifatida
tushuntiradi. Ya’ni, agar biror tasodifiy hodisa uzluksiz fazoda sodir bo‘lishi mumkin
bo‘lsa (masalan, chiziq, tekislik yoki fazoda), u holda hodisaning ehtimolligi
—
hodisaga mos keluvchi geometrik o‘lcham (masalan, uzunlik, maydon, hajm) ning
umumiy ehtimollar fazosining geometrik o‘lchamiga nisbatiga teng deb olinadi.
Har bir ehtimollik ta’rifi ma’lum matematik yoki amaliy sharoitlarda qulaylik
yaratadi. Klassik ehtimollik eng qadimgi va intuitiv yondashuv bo‘lib, u ko‘proq sodda,
diskret hodisalar uchun qo‘llaniladi. Statistik ehtimollik esa eksperiment natijalariga
asoslangan real kuzatishlar bilan bog‘liq bo‘lib, amaliy statistikada keng qo‘llanadi.
Zamonaviy ehtimollik nazariyasi esa aynan aksiomatik asos (Kolmogorov yondashuvi)
orqali qurilgan. Ushbu ta’rif ehtimollikni qat’iy matematik tuzilma doirasida
tushuntirish imkonini beradi va zamonaviy fan hamda texnologiyalar (sun’iy intellekt,
ehtimollik modellar, tarmoq nazariyasi, stoxastik jarayonlar)da ishlatiladigan asosiy
yondashuvdir.
Shu bilan birga, geometrik ehtimollik fazoviy modellashtirish, fizikaviy
hodisalarni tasvirlash, harakat trayektoriyalari yoki geometrik cheklovli muammolarni
yechishda muhim rol o‘ynaydi. U uzluksiz ehtimolliklar nazariyasiga o‘tishda ko‘prik
vazifasini bajaradi. Ehtimollikning turli ta’riflarini o‘zaro solishtirish orqali ularning
qo‘llanish chegaralarini aniq belgilash, ta’lim jarayonida har birini joyida qo‘llay olish
va o‘quvchilar tafakkurini izchil shakllantirish imkoniyati tug‘iladi. Ayniqsa,
matematikadan oliy bosqichlarda tahsil olayotgan talabalar uchun bu yondashuvlar
ustida tahliliy fikrlash, shakliy va mazmuniy farqlarni aniqlash muhim
kompetensiyadir.
Ehtimollar nazariyasiga oid masalalardan ko’rib o‘tamiz:
1-masala. Bitta oddiy o‘yin kartalari to‘plamidan (jami 52 ta) tasodifiy bitta karta
olinadi. Shu kartaning g‘isht (chervoniy) bo‘lish ehtimolini toping.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-72
Часть–1_ июня–2025
191
2181-
3187
Yechim:
G‘isht kartalari soni 13 ta, jami karta soni 52 ta.
Shunday qilib:
P(g‘isht)=13/52=1/4
Izoh: Bu klassik ehtimollik ta’rifiga asoslangan, chunki barcha kartalar teng
ehtimollikda tanlanadi.
2-masala. Bir klinikada 2000 bemorga yangi dori berilgan. Ulardan 1620 nafarida
ijobiy natija kuzatilgan. Shu dorining samarali bo‘lish ehtimolini statistik jihatdan
baholang.
Yechim:
P(ijobiy natija)≈1620/2000=0.81
Izoh: Bu ehtimollik kuzatishlar asosida empirik tarzda aniqlangan bo‘lib,
tajribaviy ehtimollik deb yuritiladi. Real klinik amaliyotda keng qo‘llaniladi.
Xulosa:
Ehtimollik nazariyasi matematikaning eng dolzarb, ko‘p yo‘nalishli va
real hayot bilan chambarchas bog‘liq bo‘lgan tarmoqlaridan biridir. U tasodifiylikni
o‘rganadi, ya’ni oldindan aniqlab bo‘lmaydigan, ammo statistik qonuniyatlarga
bo‘ysunadigan hodisalarni matematik model orqali ifodalaydi. Ushbu nazariyaning
markazida esa ehtimollik tushunchasi turadi. Ehtimollikni aniqlash uchun tarix
davomida turli yondashuvlar ishlab chiqilgan bo‘lib, ular har xil metodologik asoslar
va qo‘llanish doiralari bilan ajralib turadi.
Maqolada ko‘rib chiqilgan to‘rtta asosiy ta’rif — klassik, statistik, aksiomatik va
geometrik ehtimollik — bir-birini to‘ldiruvchi yondashuvlar bo‘lib, ularning har biri
tasodifiylikni o‘ziga xos uslubda tushuntiradi. Klassik yondashuv soddaligi va
intuitivligi bilan ajralib turadi. U teng imkoniyatli natijalar sharoitida juda qulay bo‘lsa-
da, real hayotdagi ko‘plab murakkab hodisalarni to‘liq qamrab ololmaydi. Statistik
ehtimollik esa eksperiment natijalari asosida ehtimollikni empirik yo‘l bilan baholaydi.
U ko‘plab sohalarda — ayniqsa, tajriba asosidagi fanlarda (tibbiyot, ijtimoiy so‘rovlar,
iqtisodiy prognozlar) juda keng qo‘llaniladi. Ammo u nazariy jihatdan to‘liq aniq emas,
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-72
Часть–1_ июня–2025
192
2181-
3187
ya’ni haqiqiy ehtimollikka faqat yaqinlashadi. Zamonaviy ehtimollik nazariyasining
asosi bo‘lib xizmat qiladigan aksiomatik ta’rif esa Kolmogorov tomonidan ishlab
chiqilgan bo‘lib, ehtimollikni qat’iy matematik aksiomalar orqali tushuntiradi. Bu ta’rif
har qanday murakkab, cheksiz, uzluksiz hodisalarni o‘rganishga imkon beradi.
Aksiomatik yondashuv zamonaviy statistik tahlil, mashinali o‘rganish, sun’iy intellekt,
ehtimollik modellashtirish va fizik nazariyalarni asoslashda keng qo‘llaniladi.
Geometrik ehtimollik, bir tomondan, klassik va statistik ehtimolliklar bilan bog‘liq
bo‘lsa, ikkinchi tomondan, uzluksiz ehtimolliklar uchun zarur ko‘prikdir. Shunday
qilib, ehtimollik ta’riflarining har biri o‘ziga xos sharoitlarda qo‘llaniladi va ulardan
foydalanish uchun tajriba tuzilmasi, natijalar soni (chekli/cheksiz), hodisalar tabiati
(diskret/uzluksiz) e’tiborga olinishi lozim. Matematika o‘qitishda, ayniqsa ehtimollik
nazariyasini o‘rgatishda, bu ta’riflar o‘rtasidagi farq va o‘zaro bog‘liqlikni chuqur
tushuntirish o‘quvchilar tafakkurini rivojlantiradi, ularni real muammolarga matematik
yondasha oladigan mutaxassis sifatida shakllantiradi.
Ehtimollik ta’riflarini o‘rganish — bu nafaqat matematik mahoratni oshirish,
balki hayotdagi tasodifiylikni tushunish, xavf tahlili va qaror qabul qilish
ko‘nikmalarini shakllantirishdir. Shuning uchun bu ta’limiy va ilmiy jarayon har
tomonlama izchil, zamonaviy metodikalar asosida olib borilishi lozim.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Kolmogorov A.N.
Probability Theory and Mathematical Foundations
.
Moscow: Nauka, 1933.
2.
Gmurman V.E.
Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika
. Moskva:
Vysshaya Shkola, 2003.
3.
Feller W.
An Introduction to Probability Theory and Its Applications
, Vol. 1.
Wiley, 1971.
4.
Ross S.M.
A First Course in Probability
. Pearson Education, 9th Edition,
2014.
5.
Ahmadjonov A.,
Yo‘ldoshev Sh.
Ehtimollar nazariyasi va matematik
statistika
. Toshkent: TATU nashriyoti, 2019.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-72
Часть–1_ июня–2025
193
2181-
3187
6.
Shiryaev A.N.
Probability
. 2nd edition, Springer, 2016.
7.
Bertsekas D., Tsitsiklis J.
Introduction to Probability
. Athena Scientific,
2008.
