ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–5_ июня–2025
89
2181-
3187
KO‘RSATKICHLI FUNKSIYA VA UNING XOSSALARI.
Andijon 2-son politexnikum
Matematika fani oʻqituvchisi
Ruziyeva Yulduzxon Xusanboyevna
Annotatsiya.
Ushbu maqolada ko‘rsatkichli funksiyaning asosiy tushunchalari va uning
xossalari yoritilgan. Ko‘rsatkichli funksiya — bu ko‘rsatkich darajasi o‘zgaruvchi
bo‘lgan matematik funksiya bo‘lib, uning grafikasi, ta'rifi, doirasi va xususiyatlari
o‘rganiladi. Shuningdek, ko‘rsatkichli funksiya matematik analizda va amaliy fanlarda,
jumladan iqtisodiyot, fizika va biologiyada keng qo‘llanilishi haqida so‘z yuritiladi.
Maqola talabalarga ushbu mavzuni chuqur tushunishga yordam beradi.
Kalit so‘zlar.
ko‘rsatkichli funksiya, funksiyaning xossalari, grafik, matematik
analiz, o‘zgaruvchi, amaliy fanlar.
Ko‘rsatkichli funksiya — bu ko‘rsatkich sifatida o‘zgaruvchi qabul qilinadigan
matematik funksiya bo‘lib, uning o‘rganilishi matematikaning muhim sohalaridan
biridir. Bunday funksiyalar ko‘plab ilmiy va amaliy masalalarda uchraydi, jumladan
iqtisodiyot, fizika, kimyo va biologiyada. Ko‘rsatkichli funksiyaning o‘ziga xos
xossalari uning grafikasi, monotonligi, chegaralari va diferensial xossalari orqali
aniqlanadi. Ushbu mavzu talabalarga ko‘rsatkichli funksiyalarni chuqurroq tushunish
va ularni amaliy masalalarda qo‘llash imkonini beradi.
Ko‘rsatkichli funksiya — bu matematik ifoda bo‘lib, unda asos biror ijobiy son
bo‘ladi, ko‘rsatkich esa o‘zgaruvchi (odatda ) bo‘ladi. Ya’ni, bu turdagi funksiyada
o‘zgaruvchi son darajada joylashgan bo‘ladi.
Ko‘rsatkichli funksiya faqat musbat qiymatlar qabul qiladi (ya’ni, manfiy sonlar
chiqmaydi).
Bu funksiya o‘suvchi yoki kamayuvchi bo‘lishi mumkin — bu uning asosiga
bog‘liq.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–5_ июня–2025
90
2181-
3187
Grafikda uning egri chizig‘i hech qachon -o‘qini kesmaydi, ya’ni nol qiymatga
juda yaqinlashadi, lekin nolga teng bo‘lmaydi.
Bunday funksiyaning grafigi chapdan o‘ngga qarab tez o‘zgaradi — bu uni
boshqa funksiyalardan ajratib turadi.
Ko‘rsatkichli funksiyalar hayotda ko‘p uchraydi. Ular:
•
Aholi sonining o‘sishini modellash
•
Pul mablag‘lari ustiga foiz hisoblash
•
Kimyoviy moddalarning parchalanish tezligini tushuntirish
•
Radioaktiv elementlarning yemirilishini ifodalashda qo‘llaniladi
Bu funksiyalar vaqt o‘tishi bilan tez o‘zgaradigan hodisalarni ifodalashda juda
foydali. Ularni tushunish, real hayotdagi o‘sish yoki kamayish jarayonlarini matematik
tarzda izohlashga yordam beradi.
Ko‘rsatkichli funksiya — bu quyidagi ko‘rinishga ega funksiya:
bu yerda va , — haqiqiy son. Bu funksiya ko‘rsatkich sifatida o‘zgaruvchi ni
qabul qiladi.
Ko‘rsatkichli funksiyaning grafikasi
Agar bo‘lsa, funksiya monoton o‘suvchi bo‘ladi.
Agar bo‘lsa, funksiya monoton kamayuvchi bo‘ladi.
Grafik -o‘qiga yaqinlashadi, lekin hech qachon uni kesib o‘tmaydi (ya’ni, chizig‘i
funksiya uchun asimptota hisoblanadi).
Funksiyaning xossalari. Doira: Funksiya barcha haqiqiy sonlar uchun aniqlangan.
Qiymatlar to‘plami: .Monotonligi: Yuqorida aytib o‘tilganidek, ning qiymatiga
qarab o‘zgaradi.Chegaralar:
\lim_{x \to +\infty} a^x =
\begin{cases}
+\infty, & a > 1 \\
0, & 0 < a < 1
\end{cases}
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–5_ июня–2025
91
2181-
3187
\lim_{x \to -\infty} a^x = \begin{cases} 0, & a > 1 \ +\infty, & 0 < a < 1
\end{cases} ]
Diferensial xossalari. Ko‘rsatkichli funksiya har doim hosilasi mavjud va
\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a
Ko‘rsatkichli funksiyalar ko‘plab sohalarda qo‘llaniladi:
•
Populyatsiyaning o‘sishi va kamayishi modellari
•
Kimyoviy reaksiyalar kinetikasi
•
Moliyaviy hisob-kitoblar va foiz hisoblash
•
Fizikada radioaktiv parchalanish jarayonlari
Xulosa
Ko‘rsatkichli funksiya matematikaning muhim va amaliy qirralaridan biridir. U
real hayotda uchraydigan ko‘plab jarayonlarni, xususan, o‘sish va kamayish
dinamikasini ifodalashda keng qo‘llaniladi. Ushbu funksiya turining asosiy xossalarini
— grafikasi, aniqlanish sohasi, qiymatlar to‘plami, monotonligi va chegaralarini
chuqur o‘rganish, uni to‘g‘ri qo‘llash imkonini beradi.
Ko‘rsatkichli funksiyaning o‘ziga xos xususiyatlari tufayli u nafaqat
matematikada, balki boshqa fan sohalarida — fizika, kimyo, biologiya va iqtisodiyotda
ham muhim ahamiyat kasb etadi. Mazkur mavzuni puxta egallash o‘quvchilarga
analitik fikrlashni rivojlantirish, amaliy masalalarni hal qilishda matematik modeldan
foydalana olish ko‘nikmalarini shakllantirishga xizmat qiladi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. M.A.Mirzaahmedov, Sh.N.Ismailov, A.Q.Amanov. Matematika 10 (Algebra va
analiz
asoslari II qism). Toshkent-2017.
2. T.Jo`rayev, A.Sa‟dullayev, G.Xudoyberganov, H.Mansurov, A.Vorisov.
Oliymatematika asoslari. I qism. Toshkent- “O`zbekiston”-1995.
3. Murtozaqulov Z. M., Solayeva M. N. darslikdagi differensial tenglamalarni
yechishdagi yetishmayotgan metodlar va ma‟lumotlar //Academic research in
educational sciences. – 2021. – Т. 2. – №. CSPI conference 3. – С. 462-467.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–5_ июня–2025
92
2181-
3187
4. MURTOZAQULOV Z. M., ABDUJABBOROV S. H. F. Tenglamalar sistemasini
yechishda qulay bo‟lgan metod va ko‟rsatmalar //ЭКОНОМИКА. – С. 898-904
5.https://uz.m.wikipedia.org/wiki/Ko%CA%BBrsatkichli_funksiya
