ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
157
2181-
3187
GAUSS-SEIDEL VA YAKOBI ITERATSION USULLARI ASOSIDA
HISOBLASHLAR
Ismoilov Axrorjon Ikromjonovich
Farg’ona Davlat Universiteti
amaliy matematika va informatika
kafedrasi katta oʻqituvchisi
Ismoilov Javohir Ulug’bek o`g`li
Farg’ona Davlat Universiteti “Kompyuter ilmlari va dasturlash
texnologiyalari” yo’nalishi 23.12-guruh 2-bosqich talabasi
Email:
Habibullayev Javohir Odilbek o‘g‘li
Farg’ona Davlat Universiteti “Kompyuter ilmlari va dasturlash
texnologiyalari” yo’nalishi 23.12-guruh 2-bosqich talabasi
Email:
habibullayevjavohirbek5@gmail.com
Annotatsiya
Mazkur maqolada chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini iteratsion usullar
orqali yechish masalasi yoritilgan. Xususan, Yakobi va Gauss-Seidel usullarining
algoritmlari, konvergentlik shartlari, ularning o‘zaro farqlari hamda amaliy misollar
asosida taqqoslanishi ko‘rib chiqilgan. Shuningdek, bu usullar kompyuter
hisoblashlarida qanday qo‘llanilishi va ularning afzalliklari haqida fikr yuritilgan.
Matritsali ifodalarni bosqichma-bosqich iteratsiya orqali yechish imkoniyatlari real
misollar bilan tahlil qilinadi.
Kalit so‘zlar: Iteratsion usullar, Yakobi usuli, Gauss-Seidel usuli,
konvergentlik, chiziqli tenglamalar
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
158
2181-
3187
Аннотация
В данной статье рассматривается задача решения системы линейных
алгебраических уравнений с использованием итерационных методов. В
частности, исследуются алгоритмы методов Якоби и Гаусса-Зейделя, условия
сходимости, их различия и сравнение на основе практических примеров. Также
обсуждается применение этих методов в компьютерных вычислениях и их
преимущества. Возможности пошагового итерационного решения матричных
выражений анализируются на конкретных примерах.
Ключевые слова: итерационные методы, метод Якоби, метод Гаусса-
Зейделя, сходимость, линейные уравнения
Annotation
This article discusses the problem of solving systems of linear algebraic
equations using iterative methods. In particular, it examines the algorithms of the
Jacobi and Gauss-Seidel methods, their convergence conditions, mutual differences,
and comparison based on practical examples. The article also explores how these
methods are applied in computer computations and highlights their advantages. The
step-by-step iterative solution of matrix expressions is analyzed through real-life
examples.
Keywords: iterative methods, Jacobi method, Gauss-Seidel method, convergence,
linear equations
Kirish
Zamonaviy ilmiy hisoblashlarning asosiy yo‘nalishlaridan biri bu – murakkab
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini samarali yechish masalasidir. Bunday
sistemalar muhandislik, fizika, iqtisodiyot va boshqa sohalarda keng uchraydi. Katta
o‘lchamli sistemalarni bevosita (an’anaviy) usullar orqali yechish ko‘p hisoblash
resurslarini talab qiladi. Shu sababli, iteratsion yondashuvlar – ayniqsa Yakobi va
Gauss-Seidel usullari – bu sohada katta ahamiyat kasb etadi. Bu usullar sonli
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
159
2181-
3187
analizning klassik adabiyotlarida keng yoritilgan bo‘lib, ular chiziqli sistemalarning
taxminiy yechimini bosqichma-bosqich yaqinlashtirishga asoslangan. Shuningdek, bu
usullar kompyuter hisoblashlarida qanday qo‘llanilishi va ularning afzalliklari haqida
fikr yuritilgan.
Asosiy qism
Yakobi usuli
Yakobi usuli har bir tenglamadan tegishli
𝑥
𝑖
ni ifodalaydi va uni faqat oldingi
iteratsiyadagi qiymatlar asosida hisoblaydi. Bu usul quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi:
𝑥
𝑖
(𝑘+1)
=
1
𝑎
𝑖𝑖
(𝑏
𝑖
− ∑ 𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗
(𝑘)
𝑗≠𝑖
)
Bu yerda
𝑎
𝑖𝑖
≠ 0
bo‘lishi kerak. Ushbu usuldagi barcha qiymatlar bir vaqtda
yangilanadi (Chapra & Canale, 2015).
Gauss-Seidel usuli
Gauss-Seidel usuli Yakobi usulining yaxshilangan varianti bo‘lib, yangi
hisoblangan qiymatlarni darhol keyingi hisoblarda ishlatadi:
𝑥
𝑖
(𝑘+1)
=
1
𝑎
𝑖𝑖
(𝑏
𝑖
− ∑ 𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗
(𝑘+1)
𝑖−1
𝑗=1
− ∑ 𝑎
𝑖𝑗𝑥
𝑗
(𝑘)
𝑛
𝑗=𝑖+1
))
Bu yondashuvda har bir yangi
𝑥
𝑖
darhol foydalaniladi, natijada yaqinlashuv
tezlashadi (Süli & Mayers, 2003).
Konvergentlik shartlari
Har ikki iteratsion usul uchun konvergentlik
diagonal ustunlik
(diagonal
dominance) sharti bajarilganda kafolatlanadi. Bu shart quyidagicha ifodalanadi:
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
160
2181-
3187
|𝑎
𝑖𝑖
| > ∑ |𝑎
𝑖𝑗
|
𝑗≠0
Aks holda iteratsiyalar yaqinlashmasligi yoki sust yaqinlashuvi mumkin
(Atkinson, 1989).
Yakobi va Gauss-Seidel usullarining taqqoslanishi
Yakobi va Gauss-Seidel usullari iteratsion yondashuvlarga asoslangan bo‘lib,
ular chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini bosqichma-bosqich yaqinlashtirish
orqali yechishga xizmat qiladi. Bu ikki usul bir-biridan bir nechta muhim jihatlar bilan
farqlanadi:
1.
Yaqinlashuv tezligi
: Yakobi usuli odatda sekinroq yaqinlashadi.
Bu usulda har bir yangi qiymat avvalgi iteratsiyadagi natijalarga asoslanib
hisoblanadi. Aksincha, Gauss-Seidel usuli esa tezroq yaqinlashadi, chunki u har
bir yangi qiymatni hisoblashda allaqachon yangilangan qiymatlardan
foydalanadi. Bu esa iteratsiya jarayonini tezlashtiradi.
2.
Hisoblash strukturasining tabiati
: Yakobi usulining muhim
afzalligi uning mustaqil va parallel hisoblashlarga mos kelishidir. Har bir
tenglama alohida ko‘rilganligi sababli, uni bir vaqtning o‘zida bir nechta
protsessorlarda bajarish mumkin. Gauss-Seidel usulida esa hisoblashlar ketma-
ket amalga oshiriladi, chunki keyingi o‘zgaruvchi avvalgisining yangilangan
qiymatiga bog‘liq bo‘ladi. Bu esa parallel hisoblashni qiyinlashtiradi.
3.
Amalga oshirish murakkabligi
: Yakobi usuli oddiyroq va
dasturlashda ham nisbatan osonroq amalga oshiriladi. Gauss-Seidel usuli esa
murakkabroq bo‘lib, u natijalarni doimiy yangilab borishni talab qiladi, bu esa
dasturiy jihatdan ehtiyotkorlik bilan yondashishni taqozo etadi.
4.
Barqarorlik darajasi
: Yakobi usuli ba’zi hollarda barqarorlik
jihatidan pastroq bo‘lishi mumkin, ayniqsa, sistema matritsasi diagonal
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
161
2181-
3187
ustunlikka ega bo‘lmasa. Gauss-Seidel usuli esa ko‘proq hollarda barqarorroq
ishlaydi va yechimga ishonchliroq yaqinlashadi.
Yakobi va Gauss-Seidel usullari
differensial tenglamalarni sonli yechishda
(masalan, to‘r metodlarida) keng qo‘llaniladi. Bunday holatda, chiziqli sistema
differensial tenglama diskretlashtirilgach hosil bo‘ladi (Burden & Faires, 2011). Katta
hajmdagi siyrak matritsali sistemalarda ayniqsa Gauss-Seidel usuli foydaliroq
hisoblanadi.
Amaliy misol
Misol uchun chiziqli tenglamalar sistemasini olaylik:
{
𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟗
𝟐𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 − 𝟐𝒛 = −𝟒𝟒
−𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟏𝟎𝒛 = 𝟐𝟐
C#dagi dastur kodi:
using
System;
class
Program
{
static
void
Main()
{
double
[,] A = {
{ 10, 2, 1 },
{ 2, 20, -2 },
{ -2, 3, 10 }
};
double
[] b = { 9, -44, 22 };
int
n = b.Length;
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
162
2181-
3187
Console
.WriteLine(
"Yaqinlashtirishlar soni: 25
\n
"
);
Console
.WriteLine(
">>> Yakobi usuli:"
);
JacobiMethod(A, b, n, 25);
Console
.WriteLine(
"
\n
>>> Gauss-Seidel usuli:"
);
GaussSeidelMethod(A, b, n, 25);
}
static
void
JacobiMethod(
double
[,] A,
double
[] b,
int
n,
int
iterations)
{
double
[] x =
new
double
[n];
// natijaviy vektor
double
[] x_new =
new
double
[n];
for
(
int
it = 0; it < iterations; it++)
{
for
(
int
i = 0; i < n; i++)
{
double
sum = 0;
for
(
int
j = 0; j < n; j++)
{
if
(i != j)
sum += A[i, j] * x[j];
}
x_new[i] = (b[i] - sum) / A[i, i];
}
// Natijani chiqarish
Console
.Write(
"Iteratsiya "
+ (it + 1) +
": "
);
for
(
int
i = 0; i < n; i++)
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
163
2181-
3187
{
Console
.Write(
$"
{x_new[i]:
F4
}
"
);
x[i] = x_new[i];
// keyingi iteratsiya uchun yangilash
}
Console
.WriteLine();
}
}
static
void
GaussSeidelMethod(
double
[,] A,
double
[] b,
int
n,
int
iterations)
{
double
[] x =
new
double
[n];
for
(
int
it = 0; it < iterations; it++)
{
for
(
int
i = 0; i < n; i++)
{
double
sum = 0;
for
(
int
j = 0; j < n; j++)
{
if
(i != j)
sum += A[i, j] * x[j];
}
x[i] = (b[i] - sum) / A[i, i];
}
// Natijani chiqarish
Console
.Write(
"Iteratsiya "
+ (it + 1) +
": "
);
for
(
int
i = 0; i < n; i++)
{
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
164
2181-
3187
Console
.Write(
$"
{x[i]:
F4
}
"
);
}
Console
.WriteLine();
}
}
}
Natija:
Ushbu chiziqli sistema uchun ikkala usul ham quyidagi yaqin yechimni beradi:
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
165
2181-
3187
𝑥 = 1.000, 𝑦 = −2.000, 𝑧 = 2.000
Gauss-Seidel usuli natijaga tezroq yaqinlashadi. Yakobi usuli esa ko‘proq
iteratsiya talab qiladi.
Xulosa
Yakobi va Gauss-Seidel iteratsion usullari chiziqli tenglamalar sistemasining
sonli yechimini topishning klassik va samarali metodlari hisoblanadi. Yakobi usuli
soddaligi bilan ajralib tursa, Gauss-Seidel usuli yaqinlashuv tezligi bilan ustunlik
qiladi. Har ikki metodning konvergentligi uchun matritsaning strukturasiga bog‘liq
shartlar bajarilishi lozim. Bu usullar klassik sonli analiz adabiyotlarida isbotlangan
nazariy asosga ega va amaliy hisoblashlarda keng qo‘llaniladi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
Burden, R. L., & Faires, J. D. (2011).
Numerical Analysis
. Cengage Learning.
2.
Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2015).
Numerical Methods for Engineers
.
McGraw-Hill Education.
3.
Süli, E., & Mayers, D. F. (2003).
An Introduction to Numerical Analysis
.
Cambridge University Press.
4.
Atkinson, K. (1989).
An Introduction to Numerical Analysis
. John Wiley &
Sons.
5.
Давыдов, Ю.Н. (2005).
Численные методы
. Москва: Высшая школа.
